标量磁位和矢量磁位
谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)课后习题-第3章 静态电磁场及其边值问题的解【圣才出品】
第3章 静态电磁场及其边值问题的解（一）思考题3.1 电位是如何定义的？中的负号的意义是什么？答：由静电场基本方程▽×E＝0和矢量恒等式可知，电场强度E 可表示为标量函数φ的梯度，即式中的标量函数φ称为静电场的电位函数，简称电位；式中负号表示场强方向与该点电位梯度的方向相反。
3.2“如果空间某一点的电位为零，则该点的电场强度也为零”，这种说法正确吗？为什么？答：不正确。
因为电场强度大小是该点电位的变化率。
3.3“如果空间某一点的电场强度为零，则该点的电位为零”，这种说法正确吗？为什么？答：不正确。
此时该点电位可能是任一个不为零的常数。
3.4 求解电位函数的泊松方程或拉普拉斯方程时，边界条件有何意义？答：边界条件起到给方程定解的作用。
3.5 电容是如何定义的？写出计算电容的基本步骤。
答：两导体系统的电容为任一导体上的总电荷与两导体之间的电位差之比，即其基本计算步骤：①根据导体的几何形状，选取合适坐标系；②假定两导体上分别带电荷＋q和－q；③根据假定电荷求出E；④由求得电位差；⑤求出比值3.6 多导体系统的部分电容是如何定义的？试以考虑地面影响时的平行双导线为例，说明部分电容与等效电容的含义。
答：多导体系统的部分电容是指多导体系统中一个导体在其余导体的影响下，与另一个导体构成的电容。
计及大地影响的平行双线传输线，如图3-1-1所示，它有三个部分电容C11、C12和C22，导线1、2间的等效电容为；导线1和大地间的等效电容为；导线2和大地间的等效电容为图3-1-13.7 计算静电场能量的公式和之间有何联系？在什么条件下二者是一致的？答：表示连续分布电荷系统的静电能量计算公式，虽然只有ρ≠0的区域才对积分有贡献，但不能认为静电场能量只存在于有电荷区域，它只适用静电场。
表示静电场能量存在于整个电场区域，所有E≠0区域对积分都有贡献，既适用于静电场，也用于时变电磁场，当电荷分布在有限区域内，闭合面S无限扩大时，有限区内的电荷可近似为点电荷时，二者是一致的。
电磁场理论课件-5.3矢量磁位
2 ( Ax ex Ay ey Az ez ) 0 (Jx ex J y ey Jz ez )
2A222AAAxzy0J000JJJ可zxy 分解为三AAAzyx个 44标4000量VVV 的JJRJRRzyx泊dddVVV松方CCCzyx程
矢量泊松方程的解为
|2
l
2
e 0I {
( l z) 2
4 2 ( l z)2
2
( l z)
2
}
2 ( l z)2
2
l
l
l
B e 0I {
2
4 2 ( l )2
2
2}
2 ( l )2
2
21:11:50
e 0I 2 e 0I
4
2
15
方法二：先计算矢量磁位 A
再求磁感应强度 B
电流元 Idl在P点产生的矢量磁位为 l
A 0 JdV '
4 V ' R
E
B A
21:21:14
4
5.3 矢量磁位
三、库仑规范 矢量位 A 不是唯一的，它加上任意一个标量 的
梯度后，仍然表示同一个磁场，即
若： B A ，则对于 A A 有 A A A B
而： A A A A 2 0
4 V ' R
0 J (r ')2 ( 1 )dV '
4 V '
R
0 J (r ')[4 (r r ')]dV '
4 V '
0 J (r)
r r'
21:28:59
0
r r'
13
5.3 矢量磁位
《电磁场与电磁波》课程教学大纲
《电磁场与电磁波》课程教学大纲一、课程基本信息课程编码：07S2117B中文名称：电磁场与电磁波英文名称：E1ectromagneticFie1dandE1ectromagneticWave课程类别：专业核心课总学时：48总学分：3适用专业：电子科学与技术专业先修课程：高等数学、大学物理、场论、数学物理方程二、课程性质及目标教学性质：电磁场与电磁波是电子科学与技术专业学生的一门专业核心课程。
通过本课程的学习，要求学生系统地理解电磁场与电磁波的基本概念、基本性质和基本规律，掌握求解电磁场问题的基本方法，为进一步学习其他课程特别是专业课打下基础。
课程目标：1.通过本课程知识的学习，使学生了解电磁场论的发展历程，掌握电磁场论的基本概念、基本性质和基本规律，掌握求解电磁场问题的基本方法，为后续专业课程奠定基础。
引导学生学习科技发展史，树立科技强国意识，感受中国在电子领域的先进成果，激励学生自觉融入到实现中华民族伟大复兴的中国梦进程中。
2.通过本课程知识的学习，使学生掌握电磁场论计算理论的基本方法，并能在具体电子科学与技术专业的具体问题中加以应用。
培养学生解决问题方法的多样性，提高学生数学分析的能力。
3.通过本课程知识的学习，使学生掌握电磁场论分析问题的基本方法，并能在复杂的实际情况中加以应用。
培养学生逻辑思维和创新能力，提高学生设计、开发系统的能力。
不同介质和边界条件对应的场方程形式不同，引导学生用发展的眼光看问题，终身学习，与时俱进，始终拥有先进的理念和较高的职业素养。
I.采用启发式、案例式教学，激发学生主动学习的兴趣，培养学生独立思考、分析问题和解决问题的能力。
2.结合科研生产中的实际例子对课程进行讲解，通过课堂讲解，加强学生对基础知识及基本理论的理解。
3.教学以课堂讲授为主，多媒体辅助教学，提高课堂教学信息量，增强教学的直观性、形象性。
4.通过课内讨论与课外答疑、线下辅导与线上交流相结合的方式，调动学生学习的主观能动性，培养学生的自学能力。
稳恒磁场问题求解
L1 I 12
MI1I 2
1 2
L2
I
2 2
六、磁场能量
【例1】长度为l ,内外导体半径分别为 R1 与 R2 的同轴电缆，通有电流 I ， 试求电缆储存的磁场能量与自感。
【解】由安培环路定律，得
H
I
2
e
I
2 R12
e
I 2
e
0 R1 ••R 1 R2
磁能为 自感
1
a
O
I
b
cIOr来自adrbc e
外磁链
【分析】 该磁通链由三部分磁通形成：外
导体中的磁通，内外导体之间的磁通以及内
导体中的磁通。由于外导体通常很簿，穿过其
内的磁通可以忽略。
I
【解】
由••
H
L
dl
I
Bo
0I
2πr
e •••• a
r
b
Bi
0 Ir
2πa 2
e •••0
r
a
o o
S Bo dS
μ0 I 4π
L L
dz R
ez
ez
μ0 I 4π
L
dz'
L ρ2 (z z')2 1 2
A
ez
μ0 I 4π
ln
ρ2 L z2 L z ρ2 L z2 L z
A
μ0I 2π
ln
2L ρ
ez
(L )
问题：L趋向无限大 该如何处理
B
A
AZ ρ
eφ
μ0 I 2πρ
eφ
A
sin
v B
v A
r er
1
标量位与矢量位
2
A
(
A)
2 A t 2
t
J
2 ( A)
t
已定义了矢量场 A 的旋度， A B ， 必须再规定其散度。
为了简化计算，令
A Φ
t
洛伦兹条件
则前两式可以简化为
2 A 2 A J
t 2
2Φ 2Φ
t 2
仅与电流 J 有 关
仅与电荷 有关
原来两个相互关联的方程变为两个独立方程。
Jr,t r r
A(r,t)
v dV
4π V
r r
式中， V ' 为电流 J 的分布区域。
r2 v2 t2 0
式中 v 1
0 r
上式为函数 ( r) 的齐次波动方程，其通解为
r
f 1t
r v
f
2 t
r v
式中的第二项不符合实际的物理条件，应该舍
去。因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量电
位为
Φ(r,t)
f 1t
r v
r
已知位于原点的静止点电荷 q 产dV生的电位为
4. 标量位与矢量位 设介质是线性均匀且各向同性的，那么由麦
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
克斯韦方程可得
E 2 E J
t 2
t
H 2H J
t 2
利用矢量恒等式 A ，同 A时考2虑A 到
及 ，那 么B 上 0述两式 D变为
2 E 2 E J 1
t 2
t
2 H 2 H J
原来电磁场的矢量方程为
2 E 2 E J 1
t 2
t
2 H 2 H J
t 2
在三维空间中需要求解 6 个坐标分量
4.3矢量磁位和标量磁位
'
0 Ia a cos ' x sin ')d ' A ( 1 sin cos ')( y 4r 0 r
x
0 Ia 2 sin A 4r 2
ˆ
A
0 Ia 2 sin ˆ A 2 4r
小电流环也称为磁偶极子
r
大小和方向用磁偶极矩表示
Thinking ！
矢量合成后，得
A
4π
V
JdV R
因此，线电流元引起的磁矢位为
Id l I d l A l 4π R 4π l R
这里事实是给了一种计算磁场的积分方法，先求矢量磁位关于电流的积 分，再对磁位 A 求旋度可得磁场 B 。
矢量磁位 A 、标量磁位 φm 与电位 φ 的比较
例1. 求半径为a电流为I的小电流环在远处(r>>a)的磁场. 0 J (r ' ) 解: 利用矢量磁位计算磁场 A(r ) 4 R dV ' V 对于线电流 JdV ' Idl '
z
取
ˆ' dl ' ad '
A(r ) 0 4
Idl ' R l
取场点
r
r
R
Hale Waihona Puke 源点到场点距离R2
'
I
a
y
ˆ' dl ' ad '
R
2
(r cos ) (r sin ) 2 a 2 2ar sin cos '
r 2 a 2 2ar sin cos '
3.2 矢量磁位
0 1 1 0 a z I a z I ln ln 2 2 r1 r2
0 I r2 a 2 r 2 2ar cos .... ln 2 2 ln A az 2 r a r 2 ar cos 1
B A Aa z A a z 0 A A ar a ? r r
请大家在课后自己完成。
电磁场与电磁波
16
0 I r0 A az ln r 2 A az
0
通常取离开直线电流单位距离 的地方是矢量磁 位的参考0点。 I 1
2
ln
r
13
电磁场与电磁波
例2. 平行(双)传输线周围磁场？
传输线间距：2a 分析：
1. 2. 3. 矢量磁位的方向 磁通密度的方向 如何建立柱座标系？
矢量磁位的方向？
• 与电流同向 • 有时与电流元成简单的线性关系 • 二阶偏微分方程常可分解成标量泊松方程形式
电磁场与电磁波
5
小结
矢量磁位(Vector Mag… Po…)
磁通密度(… Density) B
A
B 0 B 0 J 磁场强度(Magnetic Field Intensity) H B
§3.2 矢量磁位(Vector Magnetic Potential)
在§3.1曾推出——
A 矢量磁位
0 I dl B A 4 C R
由……定理可知：还需要规定 A的散度，才能确定A
电磁场的矢量势与标量势在电磁场计算中的转换
电磁场的矢量势与标量势在电磁场计算中的转换电磁场理论是描述电磁相互作用的基础理论之一，在电磁场的计算和分析中，矢量势和标量势是非常重要的概念。
这两个势函数在电磁场的描述和推导中起着至关重要的作用，通过它们的转换可以简化复杂的计算过程，提供了解释电磁场现象的新视角。
矢量势和标量势的定义矢量势是一种矢量场，用来描述电荷体系产生的电磁场。
矢量势的定义如下：\\[ \mathbf{A} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r’})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r’}|} d\tau’ \\] 其中，$\\mathbf{A}$ 是矢量势，$\\mathbf{J}$ 是电流密度，$\\mu_0$ 是真空中的磁导率，$\\mathbf{r}$ 是观察点的位置，$\\mathbf{r'}$ 是积分变量，$d\\tau'$ 是体积元。
标量势是一种标量场，用来描述电荷体系的电势分布。
标量势的定义如下：\\[ \Phi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r’})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r’}|} d\tau’ \\] 其中，$\\Phi$ 是标量势，$\\rho$ 是电荷密度，$\\epsilon_0$ 是真空中的介电常数。
矢量势和标量势之间的关系根据麦克斯韦方程组的推导，可以得到矢量势和标量势之间的关系。
电磁场的矢量势和标量势之间的转换关系为： \\[ \mathbf{E} = -abla \Phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \\] \\[ \mathbf{B} =abla \times \mathbf{A} \\] 其中，$\\mathbf{E}$ 和 $\\mathbf{B}$ 分别是电场和磁场。