《物理场论》标量位矢量位和波动方程
标量位与矢量位
2
A
(
A)
2 A t 2
t
J
2 ( A)
t
已定义了矢量场 A 的旋度， A B ， 必须再规定其散度。
为了简化计算，令
A Φ
t
洛伦兹条件
则前两式可以简化为
2 A 2 A J
t 2
2Φ 2Φ
t 2
仅与电流 J 有 关
仅与电荷 有关
原来两个相互关联的方程变为两个独立方程。
Jr,t r r
A(r,t)
v dV
4π V
r r
式中， V ' 为电流 J 的分布区域。
r2 v2 t2 0
式中 v 1
0 r
上式为函数 ( r) 的齐次波动方程，其通解为
r
f 1t
r v
f
2 t
r v
式中的第二项不符合实际的物理条件，应该舍
去。因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量电
位为
Φ(r,t)
f 1t
r v
r
已知位于原点的静止点电荷 q 产dV生的电位为
4. 标量位与矢量位 设介质是线性均匀且各向同性的，那么由麦
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
克斯韦方程可得
E 2 E J
t 2
t
H 2H J
t 2
利用矢量恒等式 A ，同 A时考2虑A 到
及 ，那 么B 上 0述两式 D变为
2 E 2 E J 1
t 2
t
2 H 2 H J
原来电磁场的矢量方程为
2 E 2 E J 1
t 2
t
2 H 2 H J
t 2
在三维空间中需要求解 6 个坐标分量
《物理场论》矢量场基本定理
算子
'
x'
ex
y '
ey
z
'
ez
，是对源点坐标微分，
积分是对源点坐标积分。
5、亥姆霍兹定理
证明：利用反证法，
设在无界空间有两个矢量函数
F
和
G
，有相同的
散度和旋度，即，
F G
F G
设
F
G
，令，
F
G
4、唯一性定理
定理描述：设 A 为定义在空间区域V内的一个矢
量场，S表示区域V内的边界闭合曲面。若在区域
V内
A
的散度
A
、旋度
A
以及在边界S上
A
的
切向分量
A（t 或
A
的法向
An 分 量 ） 已给 定 ， 则 矢
量场 A在V内将被唯一地确定。
证明：利用反证法， 假V内设散在度区相域同V内 同A1时 存在A2、两旋个度矢相量同场A1A和1 A2，A2 以在
区域V内存在一个标量函数
u
，使得
A
u，代
入（1）式，可以得到：
A u 2u 0
((u)2 u2u)dV (uu) dS
V
S
(u)2 dV (uu) dS
V
S
（3） （4） （5）
4、唯一性定理
矢量 A在边界面S上的切向分量为
《物理场论》第1篇：物理场论基础
第4节 矢量场基本定理
张元中
弹性波场理论基本概念介绍
弹性波场理论基本概念介绍引言测绘是一门数学性很强的学科，许多数学的理论在测绘中应用非常的普遍。
如最小二乘法，最小范数法，回归分析法，各种曲线拟合法，蒙特卡罗法，模拟退火法，遗传算法，等等。
只要是在数学领域可以应用的方法，在测绘的实际应用中同样可以。
同时，测绘学科也是一门与地球物理紧密相关的学科，在地球物理中的很多理论方法在解决测绘问题中都起到了非常重要的作用。
如流体力学的应用，弹性力学的应用，等等。
本文主要是介绍一下地球物理学的关于弹性波场的理论，最后做了简要的展望。
弹性波场就是在弹性介质中传播的波。
弹性介质在外力或扰动的作用下会发生体积和形状的变化(称为形变)，产生所谓应变。
应变可分为纵向(或胀缩)应变和横向(或剪切)应变。
这些应变用弹性常数来表示。
当一扰动作用于均匀各向同性完全弹性介质时，在弹性介质内有胀缩应变的纵向位移形式向前传播的纵波存在，同时也有以剪切横向位移形式向前传播的横波存在。
纵波传播速度比横放传播速度快，在地震时纵波比横波先到。
地震波的实质就是地下岩石中传播的弹性波。
在地震波传播范围内绝大部分岩石都可以 近似地看成理想弹性体或完全弹性体。
因此弹性力学的许多理论和概念可以引人地震勘查中 来。
在这里我们重复了一些弹性力学的概念，是为了将它们引伸到地震勘查范围中来，着眼点是从地震勘查的角度描述这些基本概念。
一 应力和应变(一)应力当弹性体在外力作用下发生形变时，总有一种阻止弹性体形变，欲恢复弹性体原状的内力，这种内力称为内应力，简称应力。
应力可定义为单位面积上的内力。
注意，应力的量纲不是力的量纲而是单位面积上力的量纲，因此有的书将应力称为“胁强”。
根据力的分解定理，可将弹性体内任意方向的应力分解为垂直于单位面积的法向应力和 相切于单位面积的剪切应力。
描述弹性体内某一点M 的应力，在直角坐标系中常取一小平行六面体、六面体的每个面都垂直坐标轴(图1)，考虑这些面上的应力，可得九个应力分量，即法向应力xx σ，yy σ，zz σ剪切应力xy σ，xz σ，yx σ，yz σ，zx σ，zy σ。
《物理场论》时变电磁场
第2节 完备的 Maxwell方程组
说明：Maxwell方程组中7个方程是独立的 ， 本构方程中9个方程是独立的，共16个方程，16 个未知数，因此理论上可以求解。
Maxwell方程组的积分形式
B
l E dl S t dS
B
l H dl S (J t ) dS
电磁感应定律应用举例 涡流与电磁炉原理！
有一半径为a、高度为h的圆盘，电导率为。
把圆盘放在磁感应强度为B的磁场中, 其方向垂直
盘面。设磁场随时间变化，且dB/dt=k，k为一常
量。求盘内的感应电流。
r dr
h
a
h
B
r dr
已知
R,
h,
, B , dB
dt
k
求： I
r dr
h
解： 如图取一半径为 r ,宽度 为dr ,高度为h 的圆环。
A
2
A
(
A
)
J
t 2
t
引入附加条件—洛伦兹规范
：
A
0
t
可得 A 形式的波动方程：
2 2
t 2
2
A
场论的名词解释
场论的名词解释引言：场论（Field Theory），是物理学中的一个重要分支。
它被广泛应用于粒子物理学、相对论、统计力学等领域，为我们理解自然界的基本原理提供了一种深入的思考方式。
本文将对场论进行详细解释和探讨，带领读者进入这个神秘而美妙的世界。
1. 场的概念与特性在物理学中，场是一种描述物质或物质运动的物理量分布的数学对象。
它可以是标量场（Scalar Field）、矢量场（Vector Field）、张量场（Tensor Field）等。
场具有局部性、连续性和相对性等基本特性。
局部性意味着场的值在空间中的任意一点都是独立的；连续性表示场的取值在空间中任意两点之间是连续变化的；相对性则是指场的取值与观察者的参考系有关。
2. 场的基本描述场论采用数学上的场方程来描述和推导物理现象。
典型的场方程包括著名的波动方程、麦克斯韦方程组和薛定谔方程等。
这些方程可以通过变分原理和作用量原理来推导，从而获得代表系统演化的微分方程。
通过求解这些方程，我们可以得到描述场的物理量和它们随时间和空间的变化而变化的解。
3. 场与粒子的关系场论的一个重要概念是“场粒子二重性”。
根据量子力学的观点，场与粒子是密不可分的。
简单来说，场是描述粒子的数学对象，而粒子则是场的激发或扰动。
例如，在量子场论中，电子场和正电子场可以相互作用，从而产生电子-正电子对。
这种相互作用过程可以通过费曼图等图形进行描述，使我们对粒子的产生和湮灭有更直观的理解。
4. 场的量子化场论的量子化是将经典场论转化为量子场论的过程。
在经典场论中，场是连续的，而在量子场论中，场被量子化成离散的粒子。
量子场论采用了量子力学和量子统计的框架，引入了算符和正则量子化方法等技巧，从而使得场可以像粒子一样被描述。
量子场论的发展为我们理解基本粒子和宇宙微观结构提供了理论基础。
5. 场论的应用和发展场论的应用广泛涉及微观和宏观世界的各个领域。
在粒子物理学中，场论为我们理解基本粒子的相互作用提供了框架。
矢量场与标量场以及计算方法PPT课件
换句话说， 在某一空间区域中，物理量的无穷集合表示 一种场。如在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电 位的分布确定了一个电位场。（物理量的值可相等）
场的一个重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间
•终点一般称为矢性函数A(t)的矢端曲线。
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z
Z
P(X, Y, Z)
r
Aazz Aaxx O
Y Aayy
y
X
x
图1-1 直角坐标系中一点的投影
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02. 矢量的乘积
•矢量的乘积包括标量积和矢量积。
1） 标量积
任意两个矢量A与B的标量积
(Scalar Product)是一个标量，
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2. 旋度
设 A ex Ax ey Ay ez Az dl exdx eydy ezdz
得
A dl
L
L ( Axdx Aydy Azdz)
s
(
Az y
Ay z
)dydz
(Ax z
Az x
)dzdx (Ay x
Ax y
)dxdy
•上式右面的积分可以看成是矢量
M为S中的某一点，令 向S p点收缩，则
有旋度定义的极限形式：
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rotn
A
=
lim
S 0
l A dl lim d
S
S0 S ds
由此可见， rotnA表示矢量场A在P点的环量密度，它与该 点的曲面元的法线方向有关。当旋度rotA与n的方向相同时， 环量密度取得最大值。
矢量分析与场论(包括旋度等在不同坐标上的公式)
第一章 矢量分析与场论实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量，而一个既有大小又有方向特性的量称之为矢量。
无论是标量还是矢量，一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的量即所谓的物理量。
物理量数值的无穷集合称为场。
如果这个物理量是标量，就称其为标量场；如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。
场的一个重要属性是它占有一个空间，而且在该空间域内，除有限个点或表面外它是处处连续的。
如果场中各处物理量不随时间变化，则称该场为静态场，不然，则称为动态场或时变场。
本章从定义标量和矢量出发，讨论矢量在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系三种坐标系中的表示法及其代数运算和相互关系；然后介绍了矢量及标量的微分和积分几及其性质；最后引入亥姆霍兹定理，它是矢量场共同性质的总结。
1.1 矢量及其代数运算一、标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（scalar ）和矢量(vector)。
一个仅用大小就能够完整地描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。
实际上，所有实数都是标量。
一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。
例如，矢量A 可以写成A a A = A Aa =（1-1-1）其中A 是矢量A 的大小，a 的大小等于1，代表矢量A 的方向。
一个大小为零的矢量称为空矢（null vector ）或零矢（zero vector ），一个大小为1的矢量称为单位矢量（unit vector ）。
在直角坐标系中，用单位矢量x a 、y a 和z a 表征矢量分别沿x 、y 和z 轴分量的方向。
空间的一点()Z Y X P ,,能够用它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定如图1-1所示。
从原点指向点P 的矢量r 称为位置矢量(position vector)，它在直角坐标系中表示为Z Y X z y x a a a r ++= （1-1-2）式中，Y X ,和Z 是r 在x 、y 和z 轴上的标投影。
第四章 矢量位与标量位
E ， 称为静电场的标量位函数，又称电位函数
E x x E y y E z z
直角坐标系
E e x ey ez x y z
◇ E在任意方向上的分量
El
l
1 q eR q dR q 1 1 q d l C 2 4 0 R R 4 0 R R 4 0 R Rp 4 0 R
RP RP
若取 RP 处的电位为零，则
q 4 0 R
● 体电荷 d 、面电荷 d S 、线电荷 l d l产生的电位分别为
t
（洛仑兹条件)
所以
2A A 2 J t
2
同理
2 2 t
2
• 以上二方程称为达朗贝尔方程。 • 此方程表明矢位 A 的源是 J ，而标位 的源是 。时变场中J 和 是相互连系的
4.4 求解位函数
● 对于点电荷的电场，其电位为
洛伦兹规范库仑规范41矢量磁位矢量位的泊松方程规定其散度直角坐标系42标量位因为若选取为电位参考点则任意点的电位为43用位函数表示非均匀波动方程由麦氏第一方程体电荷面电荷线电荷44求解位函数在直角坐标系中体电流面电流线电流idl产生的矢量位分别为解
第 4章
矢量位与标量位
相对于电场与磁场的研究来说，有时先去研究 一个位函数可能会容易很多，当然这个位函数一定 是与场有关的，比如对这个位函数的微分即可得到 场。下面我们将要来寻找这种适合于电场和磁场的 位函数，本章所得到的结果将成为我们分析电场和 磁场时的基本方法。
B A El d l
A
B
El d l
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第3节 标量位、矢量位和波动方程
张元中
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
主要内容
1. 矢量场的分类 2. 标量位 3. 矢量位 4. 波动方程
1、矢量场的分类
无源场：若
A
0
，则
A
为无源场，又称
无散场，涡旋场，如磁感应强度场。
无旋场：若
3、矢量位
矢量位：若场
B是无源场，
B
0
，则可找到
一个矢量场
(x,
y,
z,
t)
，使其满足
B
，称
为
场
B
的矢量位(矢位，矢势)。
散度是对源的精细描述，散度为0必定无源。
如果一个矢量场散度处处为零，即
A
0
，
则矢量场中的每条矢线都将闭合。
典型的例子是磁力线
矢量场
A
与势函数
v
的关系是
A
v
。
有势场是一个梯度场。
有势场的势函数有无穷多个，相互之间差一个
常数。
定理：矢量场
A
为有势场的充要条件是
A
为无
旋场。即
A 0。
有势场也称为保守场或无旋场。
(u) 0的物理意义是：对应有梯度的矢量场 必无旋。简言之：有势必无旋。
y,
z)，使其满足
A
，
称为
标量位（标位，标势）。 此为无旋场叫有位
（势）场的原因。
定义
：设有矢量场
A(M
)
，若存在单
值数性
函
数（数量场）u(M ) 满足：
A u
则称此矢量场为位场（有势场）；令 v u ，并
称 v 为这个场的位函数（势函数，标量位）。
2、标量位
位函数的规范化条件。如洛伦兹规范条件、库 仑规范条件等。
4、波动方程 场：发生物理现象的空间称为场；场是物理量 的空间函数。
波：在空间以特定形式传播的物理量或物理量 的扰动，形成波；分机械波和电磁波两大类。
波的共同特征：周期(频率)；相位；幅度；反 射和折射；叠加；干涉；衍射；偏振等。
波动方程：波在空间传播的物理规律用数学形 式表示出来，即物理量满足的偏微分方程组。
若方程的解是无源的非稳矢量场，则这样的场 是横波场；
否则是混合波场。
A
0
，则
A
为无旋场，通常
又叫有位场或有势场。
无旋无源场：若
A
0，
A0，则源自A 为无旋无源场，均匀矢量场为无旋无源场：如稳
恒电流场。
一般矢量场：不一定满足上述条件的矢量场 。
2、标量位
标量位：若场
A
是无旋场，
A
0，则可找
到一个标量场
(x,
4、波动方程
波函数：波动方程在特定边界条件下的解，也
是物理量在空间的分布规律。
如果矢量场
A
中恒有
A
0与
A
0 ，则称此
矢量场为调和场（无源无旋场），比如静电场。
设矢量场
A
为调和场，按照定义有
A
0
，因
此存在函数 u 满足
A u
。
矢量场
A
同时满足
A
0，于是有
(u)
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0
4、波动方程
Laplace方程： 2u 2u 2u u 0
x2 y 2 z 2
Poisson方程： u
达朗伯方程（d’Alembert Equation），非齐次 波动方程）：
B
,磁力线是无头无尾的闭
合曲线，B
上任何一点散度为零，即
B
0
。
3、矢量位
矢量场
A
，若其散度
A 0
，则称此矢量场
为管形场。管形场就是无源场。
矢量场 A为管形场的充要条件是：它为另外一个
矢量场
B
的旋度场。即
A B
矢量场
B
称为矢量场
A
2
1 v2
2
t 2
表示一个标量场或矢量场；v通常表示波速。
(x, y, z,t) 表示一个已知的函数。
4、波动方程
(x, y, z,t) 0 达朗伯方程变成为齐次波动方程，
也是通常所说的波动方程：
2
1 v2
2
t 2
0
若方程的解是无旋的非稳矢量场，则这样的场 是纵波场；
的矢量位（矢量势）。
( A) 0
的物理意义是：对应旋度场的矢量
场必无源。简言之：有旋必无源。
3、矢量位 引入标量位和矢量位的好处：减少运算；简化
运算；简化波动方程求解。 “规范不变性”：标量位和矢量位的不确定性
并不影响场函数的唯一性。 满足某种条件的位函数是确定的，该条件叫做