3.2特殊平行四边形(2)课件
平行四边形复习课 优课教学课件
A x D 2x
E
3X
3x
B
C
B
C
如图，Rt△OAB的两条直角边在坐标轴上，已知
点A（0，2），点B（3，0），则以点O,A,B为其
中三个顶点的平行四边形的第四个顶点C的坐标
为 。 _________________
y
(-3,2)
3
2A
(3,2 )
O
B
7
-4 -3 -2 -1
12 34 x
-1
1
-2
证法2： 连接BD，交AC于点O ，连接DE,BF
∵四边形ABCD是平行四边形
BC=AD
∴BO=OD, AO=CO
∠1=∠2 CE=AF ∴ △BCE≌△DAF ∴BE=DF， ∠3=∠4 ∴BE∥DF
又∵AF=CE
∴AE=CF
∴EO=FO
∴四边形BEDF是平行四边形
∴ BE=DF， BE∥DF
课堂小结
5矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ B）
A、对角线相等
B、对角线互相平分
C、对角线互相垂直 D、四条边都相等
6.已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，
则两条对角线所成的锐角的度数（ D ）
A、50° B、60° C、70° D、80°
7、 已知菱形ABCD的周长为20cm。∠A： ∠ABC=1：2 ，则对角线BD的长等于 _____5_____cm。
四边形知识结构（定义）图
两组对边平行
角90° 个 一
矩形
一 组 邻 边 相 等
四边 形
平行四边
一角为直角且一组邻边相等
形
正方形
一 组 邻 边 相 等
菱形
3.2.2 矩形的性质与判定(二)课件(新北师大版九年级上)
对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 已知:四边形ABCD是平行四边形,AC=BD. 求证:四边形ABCD是矩形. A 证明：
有三个角是直角的四边形是矩形吗?
已知:如图,在四边形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°. 求证:四边形ABCD是矩形.
A
D
证明: ∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴AD∥BC,AB∥CD.
B ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形.
C
矩形判定方法二
布置作业
课本P16 1,2,3.
有三个角是直角的四边形是矩形
A D
B
C
∠A=∠B=∠C=90°
四边形ABCD 是矩形
议一议：
1. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎 么判断一个四边形是平行四边形呢？
2. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎 么判断一个四边形是菱形呢？ 3. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎 么判断一个四边形是矩形呢？
例：如图在□ABCD中，对角线AC和BD相较 于点O，△ABO是等边三角形，AB=4. 求□ABCD的面积. A
第一章 特殊平行四边形
知识回顾
矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形. 一个角是直角 矩形
平行四边形
矩 形 的 性 质
边 角
矩形的对边平行且相等. 矩形的四个角都是直角.
对角线 矩形的两条对角线相等 且互相平分.
情境一
如图，在一个平行四边形活动框架上，用两根橡 皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相 邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？
平行四边形的性质与定理
平行四边形的性质与定理平行四边形是指具有两组对边平行的四边形。
在数学中，平行四边形具有一些特殊的性质与定理，下面将逐一介绍。
1. 平行四边形定义平行四边形是一种特殊的四边形，其两组对边分别平行。
如果将平行四边形的对边延长，它们将永不相交。
2. 平行四边形的性质2.1 对边性质平行四边形的对边长度相等。
即，对边AB与CD长度相等，对边AD与BC长度相等。
2.2 对角线性质平行四边形的对角线互相平分。
即，对角线AC和BD相交于O点，且AO = OC，BO = OD。
2.3 到任意点的距离性质平行四边形上的任意一点到相邻两边的距离之差相等。
即，从点P到AB的距离减去从点P到CD的距离等于从点P到BC的距离减去从点P到AD的距离。
2.4 内角和性质平行四边形的内角和为360°。
即，∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°。
3. 平行四边形的定理3.1 对边定理如果一个四边形的对边分别平行且长度相等，那么这个四边形是平行四边形。
对边定理可以用于判断一个四边形是否为平行四边形。
3.2 邻补角定理在平行四边形中，相邻的内角互补，即相邻的内角之和为180°。
例如，∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°，以此类推。
3.3 余补角定理在平行四边形中，对角互补，即对角之和为180°。
例如，∠A +∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
3.4 对顶角定理在平行四边形中，对顶角相等。
即，∠A = ∠C，∠B = ∠D。
4. 平行四边形的应用平行四边形的性质与定理在几何应用中有广泛的应用。
4.1 建筑设计平行四边形的性质可用于建筑设计中的墙体、天花板、地板等结构的布置。
设计师可以利用平行四边形的特性来构建更美观、稳定的建筑。
4.2 求解几何问题在解题过程中，利用平行四边形的性质可以简化许多几何问题。
例如，通过对边性质可以判断两条线段是否平行，通过对角线性质可以判断四边形是否为平行四边形。
《特殊平行四边形》第三课时参考课件
D
H
D
C
G
依次连接等腰梯形各边中点呢？
B
练一练
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、 H分别是AB，BC，CD，DA的中点，请 添加一个条件，使四边形EFGH为菱形。 AC=BD 解：添加的条件是_______
A E B F G C H D
思 2、中点四边形可能是等腰梯形吗？可能是 考 四边形的形状是相同的？ 任意四边形吗？ 1、为什么矩形和等腰梯形的中点
探索思考
四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD， 顺次连接四边形ABCD四边的中点得到四边形 A1B1C1D1，又依次连接四边形A1B1C1D1四边的中点 得到四边形A2B2C2D2,依次类推，得到四边AnBnCnDn。
问题4
依次连接矩形各边中点所得到的四边形是一 个怎样的图形呢？先猜一猜,再说说理由吧！
A
H D
E
B
F
哦，是 菱形
G
C
问题5
依次连接平行四边形各边中点所得到的四边 形是一个怎样的图形呢？
A H D G C E F B
想一想
依次连接四边形各边中点所得到的新四边 形（中点四边形）的形状与哪些线段有关？
(2)四边形ABCD的面积是_____， 24 四边形A1B1C1D1的面积是_____， 12 四边形A2B2C2D2的面积是_____。 6 四边形A3B3C3D3的面积是_____。 A 3
(3)四边形AnBnCnDn的 1 12 n 1 面积是________； 2
A1
D3
D2
C3
D1 D
A A1
D3
平行四边形的性质
平行四边形的性质平行四边形是一个具有特殊性质的四边形形状。
在本文中，我们将探讨平行四边形的定义、性质以及相关的定理。
1. 定义：平行四边形是指有四条边都相互平行的四边形。
这意味着对于平行四边形ABCD，边AB与边CD平行，边AD与边BC平行。
2. 性质：平行四边形具有以下性质：2.1 对角线性质：平行四边形的两条对角线相等，即对角线AC与对角线BD相等。
2.2 边性质：平行四边形的对边相等且平行，即边AB与边CD相等且平行，边AD与边BC相等且平行。
2.3 角性质：平行四边形的对角线相交处所成的角相等，即∠CAB = ∠CDA，∠BCD = ∠BAC。
2.4 对角性质：平行四边形的每个对角的两个邻角互补，即∠CAB + ∠DAC = 180°，∠BCD + ∠BDA = 180°。
3. 定理：在考察平行四边形时，我们还可以利用一些定理来判断和证明相关性质。
3.1 平行四边形的基本定理：如果一个四边形的对边相等且平行，那么这个四边形是一个平行四边形。
依据这个定理，我们可以通过观察对边是否相等且平行来判断一个四边形是否为平行四边形。
3.2 平行四边形的推论定理：基于平行四边形的基本定理，我们可以得出以下推论定理：3.2.1 平行四边形的对边平分定理：平行四边形的对边等分对角线，即对边AB与CD平分对角线AC和BD，对边AD与BC平分对角线AB和CD。
3.2.2 平行四边形的同位角定理：平行四边形的同位角互相等，即对边的内角相等，对边的外角相等。
3.2.3 垂直平行四边形定理：如果一个四边形既是平行四边形又是矩形，那么这个四边形就是垂直平行四边形。
4. 应用：平行四边形的性质在几何学和物理学中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，平行四边形的性质可以用来确定墙面是否水平，从而保证建筑物的结构稳定。
在力学中，平行四边形的性质可以用来分析力的平衡和作图。
总之，平行四边形是一个具有特殊性质的四边形，它的对角线相等，对边平行且相等，以及对角线相交处所成的角相等。
《特殊平行四边形》第二课时参考课件
=2×△ABD的面积 =2×△ABD的面积 ×△ABD 1 = 2× × BD× AE 2 1 2 = 2× ×10×12 =120(cm ). 2
菱形的判定
定理:四条边都相等的四边形是菱形. 定理:四条边都相等的四边形是菱形. 已知:如图,在四边形ABCD中 已知:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. ABCD 求证:四边形ABCD是菱形. 求证:四边形ABCD是菱形. ABCD是菱形 分析: 分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的 四边形是平行四边形,可使问题得证. 四边形是平行四边形,可使问题得证. D 证明: AB=BC=CD=DA, 证明: ∵AB=BC=CD=DA, AB=CD,BC=DA. ∴AB=CD,BC=DA. A 四边形ABCD是平行四边形. ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是平行四边形. B ∵AB=AD, 四边形ABCD是菱形. ABCD是菱形 ∴四边形ABCD是菱形.
特殊平行四边形（ 3.2 特殊平行四边形（二）
议一议
菱形的性质
A
D C B
定理:菱形的四条边都相等. 定理:菱形的四条边都相等. 已知:如图,四边形ABCD是菱形. 已知:如图,四边形ABCD是菱形. ABCD是菱形 求证:AB=BC=CD=DA. 求证:AB=BC=CD=DA.
分析:由菱形的定义,利用平行四边形性质可使问题得证 分析:由菱形的定义,
B E E D
C
四边形ABCD是菱形, ABCD是菱形 解:(1) ∵四边形ABCD是菱形,
1 1 BD = ×10 = 5(cm). 2 2 2 2 2 2 ∴AE = AD − D = 13 −5 =12(cm). E
∴∠AED=900, DE =
∴AC=2AE=2× ∴AC=2AE=2×12=24(cm). (2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积 (2)菱形ABCD的面积= ABD的面积+ CBD的面积 菱形ABCD的面积 的面积
特殊平行四边形
课题引入
新课教学 验证新知
课后反馈
课题引入
1.你了解哪些特殊的平行四边形？ 2.你还记得他们与平行四边形之间的关系吗？
你能用一张图来表示他们之间的关系吗？
矩形
平行四边形 菱形 正方形
四边形
等腰梯形
梯形 直角梯形
矩形 平行四边形
性质一：矩形的四个角都是直角。 性质二：矩形的对角线相等。
矩形相对于一般的 平行四边形有哪些 特殊的性质？
1 OB OD BD . 2 OA OD . 2
∵∠AOD=1200,
你认为例1还可以 怎么去解？
1800 1200 0 30 . ∴∠ODA=∠OAD= 2
∵∠DAB=900, ∴BD=2AB=2×2.5=5(cm).
课堂小结
本节课你都掌握了哪.4 （1）
学生证明 1、定理：矩形的四个角都是直角。 2、定理：矩形的对角线相等。学生证明
议一议 设矩形的对角线AC与BD的 交点为E，那么BE是Rt△ABC 中一条怎样的特殊线段？它与 AC有什么大小关系？为什么？
A
D
E B C
推论
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例题欣赏
已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD 相交于点O,∠AOD=1200,AB=2.5cm. A D 求矩形对角线的长. 解: ∵四边形ABCD是矩形, 1 O OA OC AC . ∴AC=BD,且 B C
2、教学目标
知识目标：
1、掌握矩形的概念及性质及其判定定理。 2、会用证明的方法证上述定理以及解决部分与矩形有关的现实问题。
能力目标：
1、体会证明的思路以及证明过程中所运用的技能方法与数学思想：如转 化、归纳等。 2、能依据思路，运用数学符号与数学语言，条理清晰地写出证明过程。
3.2特殊平行四边形 课件1(北师大版九年级上册)
A
B
O
D
=90
你有什么 发现？
C
A D
已知：如图,四边形ABCD是菱形, 且AB=AD. 求证：AB=BC=CD=AD B
C
证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴ AB=DC AD=BC(菱形的两组对边分别相等）
又∵ AB=AD
(菱形的定义）
学.科.网
∴ AB=BC=CD=AD
菱形的性质 2 ：
菱形的两条对角线互相垂直，每一 条对角线平分一组对角。
2 2 2 2
E
B
在Rt△DAE中,由勾股定理得 （3）
∴ S菱形ABCD 1 AC BD
2
AB BO 4 2 2
3
3
1 4 3 4 2
∴ AC=4
8 3
想一想：通过这节课的学习你有哪些收获？
1、 平行四边形与特殊平行四边形的关系.
矩形
平行四边形
正方形 菱形
B
O C
D
BO AB2 AO2 12(cm） BD 2BO 24cm
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积
1 1 BD AO BD CO 2 2 1 BDAO CO 2 1 BD AC 2 120 cm2
菱形的面积与它的 两条对角线有什么 吗关系？
菱形的性质 2 ：
菱形的两条对角线互相垂直，每一 条对角线平分一组对角。
A
12
已知:四边形ABCD是菱形, 求证:AC⊥BD， AC平分∠BAD和∠BCD BD平分∠ABC和∠ADC
B
3 4
O
D
证明： ∵四边形ABCD是菱形 ∴ AB=AD,OB=OD 又∵ AO=AO
第3章_证明(三)
第三章证明（三）．证明：夹在两条平行线间的平行线段相等．，AB、CD是l1、l之间的任意平行线段．求证：__________.ABCD 中，∠A∶∠D．下列命题中，能判定出等腰梯形的是四、课时小结1、本节课我们主要利用前面学过的公理和定理来证明了平行四边形的性质定）若四边形ABCD是平行四边形，则∠A ABCD是平行四边形，则AB＝______定理：三角形的中位线平行于第三边．且等于第三边的一半．ABC的中位线，1BC．，DE＝2的中位线，因此：MN＝“比赛的名次”．．前面我们已探讨过矩形的性质，矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相ABCD，求证：AC＝DB定理：矩形的四个角都是直角．矩形的对角线相等．．如图，设矩形的对角线AC与的交点为E，那么BE直接应用：∵BE是Rt△ABC的AC上的中线，AC．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）2．如图：已知在菱形ABCD中，对角线AC求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCDBDABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线的长度；（2）菱形ABCD推论：菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半．定理：四条边都相等的四边形是菱形．对角线互相垂直平分的四边形是菱形．P88，随堂练习1．想一想议一议依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形．这个题是先证明了四边形A1B1C1D的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边用类比的方法，证明了连结平行四边形及特殊平行四边形各边中点得到的图形，那么大家能否得出一个一般性的结沦，即依次连结四边形各边小点所得的新四边形的形状与哪些线段有关？有怎样的关系？只要四边形的对角线互相垂直，那么连接这个四边形各边的中点所得到的图在命题的探索和证明过程中，蕴涵着一些数学思想方法．如：归纳、类比、ABC中，AB＝AC D是BC的中点，DE本节课我们重点复习了本章所学的内容．在这一章里，不仅要理清特殊四边形之间的关系，还要会用几何推理来证明一些问题，而且还要体会数学思想方法。
3.2特殊平行四边形
下列各类“中点四边形”的形状分别是： （1）任意四边形的“中点四边形”是平行四边形；
（2）平行四边形的“中点四边形”是 平行四边形；
（3）矩形的“中点四边形”是 菱形 矩形 ；
（4）菱形的“中点四边形”是
；
（5）正方形的“中点四边形”是 正方形 .
课堂小结 ：
通过本节课的学习，我们知道了依次连接四边形 各边中点所得的四边形（中点四边形）的形状与原四 边形的关系： “中点四边形”的形状取决于原四边形两条对角 线的位置关系和数量关系. 若四边形两条对角线互相垂直，则“中点四边形” 四个角是直角（矩形或正方形）； 若四边形两条对角线相等，则“中点四边形”四 条边相等（菱形或正方形）.
平行四边形
矩形
正方形
菱形
它们既然是平行四边形，就具有平行四边形的性 质．又因为它们是特殊的平行四边形，所以它们又具 有各自的独特性质． 我们分开来研究它们的特殊性质．
还记得矩形的性质吗？
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矩形具有平行四边形的所有性质.
大家先来独自证明矩形的性质，然后与同伴交流 你的证明思路. 已知：四边形ABCD是矩形． 求证：1.∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90° 2. AC＝DB． A
例1 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O， 已知∠AOD＝120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长.
A O B C D
分析：欲求对角线的长，由于∠BAD＝90°， AB=2.5cm，则再知道AD的长或Rt△ABD中一个锐角 的度数，就可求得BD的长. 而题中已知∠AOD＝ 120°，应用矩形的性质可知∠ADB＝30°，这样即可 求出对角线BD的长．
1 斜边AC上的中线，它与AC的大小关系为BE＝ AC. 2
2 2
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回顾与思考
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论 (求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用符号语言写出“已知” 和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导 “果”,执“果”索“因”.); (5)依据思路,运用数学符号和数学语言 条理清晰地写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善.
C
学以致用 已知，AD是△ABC的角平分 线，DE∥AC交AB于点E， DF∥AB交AC于点F。 求证：四边形AEDF是菱形。
B E
A
F
C 证明: D ∵DE∥AC,DF∥AB, ∴四边形AEDF是平行四边形 ∴∠ADE=∠DAF. ∵DE∥AC, ∵AD是△ABC的角平分线, ∴∠DAE=∠DAF. ∴∠DAE=∠ADE. ∴AE=ED. ∴平行四边形AEDF是菱形.
菱形的面积等于两条 对角线乘积的一半
学以致用
已知菱形ABCD的两条 对角线AC与BD相交于点 O,且AC=8cm,BD=6cm， 求菱形的周长和面积．
D A O C
解得:
B
菱形的周长为20cm ,面积为24cm2
想一想
怎样判别一个四边形(平行四边形) 是菱形? 菱形的判别方法:
一组邻边相等的平行四边形是菱形. 四条边都相等的四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱
学以致用
A
D
已知菱形ABCD中，E、F 分别是CB、CD上的点， 且BE=DF。 求证： ∠AEF=∠AFE 证明: B ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD, ∠B=∠D ∵BE=DF ∴△ABE≌△ADF(SAS) ∴AE=AF ∴∠AEF=∠AFE.
F
E
C
菱形的性质 本课 小结 定理:菱形的四条边都相等. ∵四边形ABCD是菱形, D ∴AB=BC=CD=AD.
九年级数学(上) 第三章证明(三)
2.特殊的 平行四边形－菱形
驶向胜利 的彼岸
想一想
什么样的图形叫做菱形? 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形 叫做菱形 菱形有哪些性质?
菱形是特殊的平行四边形,除具有平行四边形的 一切性质外,还具有一些特殊的性质: 菱形的四条边都相等,两条对角线互相垂直平分, 每一条对角线平分一组对角. 定理:菱形的四条边都相等 定理:菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线 平分一组对角
形. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
我思,我进步
菱形的判定
定理:四条边都相等的四边形是菱形. D 已知:如图,在四边形ABCD A C 中, AB=BC=CD=DA. 求证:四边形ABCD是菱形. B 分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的 四边形是平行四边形,可使问题得证. 证明: ∵AB=BC=CD=DA, ∴AB=CD,BC=DA. ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵ ..AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形.
小试牛刀
菱形的性质
定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角 线平分一组对角. 已知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相 交于点O. 求证: (1).AC⊥BD; D (2).AC平分∠BAD和∠BCD, BD平分∠ADC和∠ABC. O A C 证明:(1) ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴AD=CD,AO=CO. ∵DO=DO, B ∴△AOD≌△COD(SSS). ∴∠AOD=∠COD=900. ∴AC⊥BD. (2)∵AD=AB,DA=DC,AC⊥BD; ∴AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.
D
A C A O C
B
B
定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且 每条对角线平分一组对角. ∵AC,BD是菱形ABCD的两条对角线. ∴AC⊥BD,
AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.
菱形的判定 本课 小结 定理:四条边都相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中, ∵AB=BC=CD=AD, D ∴四边形ABCD是菱形.
2 2 AD 2 DE 2 132 52 12cm .
E
D
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
C
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积 =2×△ABD的面积
1 2 BD AE 2 1 2 10 12 120 cm 2 . 2
D A O B C
A
B
C
定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,AC⊥BD.
∴四边形ABCD是菱形.
独立 作业
P99习题3.5 2,3题.
祝你成功！
下课了!
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德
之于人. • 条理清晰，因果相应,言必有 据.是初学证明者谨记和遵循 的原则.
我思,我进步2
菱形的判定
定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD. D 求证:四边形ABCD是菱形. 分析:要证明□ABCD是菱形, O A 就要证明有一组邻边相等即可. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. B ∴AO=CO. ∵AC⊥BD, ∴ DA=DC.(线段垂直平分线上的点到线段两 端点的距离相等) ∴四边形ABCD是菱形.
小试牛刀
菱形的性质
D C
定理:菱形的四条边都相等.
已知:如图,四边形ABCD是菱形. 求证:AB=BC=CD=DA. A 分析:由菱形的定义,利用平 行四边形性质可使问题得证.
B
证明: ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,AD=BC. ∴ AB=BC=CD=AD.
例题解析
菱形性质的应用
A
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱 形,其中对角线BD长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形ABCD的面积. 解:(1)∵四边形ABCD是菱形, B 1 1 0 ∴∠AED=90 ,DE BD 10 5cm .
AE