实数专题复习
实数的复习
二、立方根的概念
1、一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a, 那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方 根）．记为：3 a 2、立方根的性质 正数的立方根是正数；负数的 立方根是负数；0的立方根是0．
3、重要公式
( a ) a,
3 3 3
a a,
3
3
a a .
3
三、实数的概念
11．若
(3 x 2) 1
3
，则
1 4
x 等于（
）.
1
A、
2 1 C、 4
B、
D、
9 4
巩固练习
12．计算： （1） 2
5 5 1
（2） 1 0 3
2
10 4
（3）
2
3 2 4
3
（4） 32 2 50
1 4
1 2
1 2
1 8
2
5
x y
2
2
(x y )3
2 2
底数a>0这个条件不可少. 若无此条件会引起混乱，
1
2
(-1) 3 和(-1) 6
这就说明分数指数幂在底数小于0时无意义.
在把根式化成分数指数幂时，要注意使底数大于0，同时，负数开 奇数次方根是有意义的，所以当奇数次根式要化成分数指数幂时， 先要把负号移到根号外面去，然后再按规定化成分数指数幂，例如，
实数复习
一、平方根的概念 1、一般地，如果一个数的平方等于a， 那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 而把正的平方根叫算术平方根.
若x2=a，那么x叫做a的平方根.记作： a （ a叫做被开方数） 2、求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. 平方与开平方互逆运算. 3、平方根的性质 一个正数有两个平方根,它们互为相反数. 0的平 方根是0.负数没有平方根. 4、重要公式 2 2 ( a ) a (a 0), a a
实数总复习题及答案
实数总复习题及答案一、选择题1. 下列哪个数不是实数？A. √2B. πC. -3D. 1/02. 实数集R中的元素包括：A. 有理数B. 无理数C. 复数D. A和B3. 以下哪个表达式等于0？A. √4B. 1 - 1C. 2^0D. 1/∞4. 绝对值的定义是什么？A. 一个数的平方B. 一个数的立方C. 一个数的平方根D. 一个数的正数或05. 如果a是一个正实数，那么1/a是一个：A. 正实数B. 负实数C. 零D. 复数二、填空题6. 一个实数的绝对值总是_________或0。
7. 两个相反数的和是_________。
8. 无理数是_________的数。
9. 实数的运算包括加法、减法、乘法、除法以及_________。
10. 一个数的相反数是_________。
三、解答题11. 证明：对于任意实数a和b，如果a > b，则a - b > 0。
12. 解释实数的完备性。
13. 给出一个无理数的例子，并说明为什么它是无理数。
14. 计算下列表达式的值：(-3)^2 + √4 - 2π。
15. 讨论实数集R的性质。
四、应用题16. 一个圆的半径是5，求圆的周长和面积。
17. 如果一个物体从静止开始以恒定加速度运动，经过2秒后，求其位移和速度。
18. 一个水库的水位在24小时内下降了3米，如果下降速率是恒定的，求每小时的平均下降速率。
答案一、选择题1. D2. D3. B4. D5. A二、填空题6. 非负数7. 08. 不能表示为两个整数的比9. 幂运算10. 与原数符号相反的数三、解答题11. 证明：设a和b是任意实数，且a > b。
根据实数的性质，我们可以定义一个数c = a - b。
由于a > b，c是一个正数。
因此，a - b > 0。
12. 实数的完备性指的是，任意实数序列的极限仍然是一个实数。
这意味着实数集没有“漏洞”，即不存在任何“缺失”的数。
九年级数学复习——实数
初中数学知识复习 第一讲：实数 一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数⇔a+b=0，a=-b 2、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
4、n 次方根（1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。
（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。
（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。
三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。
实数和数轴上的点是一一对应的关系。
四、实数大小的比较 1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。
2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。
五、实数的运算1、加法：（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
可使用加法交换律、结合律。
第四章 实数章末复习
D. −
CC ）
3. （多选）（威海实验中学模拟）关于 的叙述正确的是（
A. （ ）2＝8
B. 面积是8的正方形的边长是
C. 是有理数
D. 在数轴上可以找到表示 的点
ABD ）
ABD
考点二：平方根与立方根
4. （铜仁中考）9的平方根是（
A. 3
B. －3
C ）
C. ±3
5. 若 − ＝5，则 x 的算术平方根是（ CC
（ − ） ＋ （ − ） － （ − ） .
◉答案 解：由实数 a ， b 在数轴上的对应点的位置可知 a ＞ b ，0＜ a ＜1， b ＜－
1，所以 a － b ＞0， b －1＜0， a －1＜0.所以原式＝｜ a ｜＋｜ b ｜＋｜ a － b ｜
＋｜ b －1｜－｜ a －1｜＝ a － b ＋ a － b ＋1－ b ＋ a －1＝3 a －3 b .
思想二：分类讨论思想
21. 已知2 a ＋5与－3 a ＋25是一个数的平方根，求这个数.
◉答案 解：当2 a ＋5与－3 a ＋25是这个数的同一个平方根时，2 a ＋5＝－3 a ＋
25，解得 a ＝4，则2 a ＋5＝13，所以这个数是132＝169；当2 a ＋5与－3 a ＋25是
这
个数的不同的平方根时，2 a ＋5＋（－3 a ＋25）＝0，解得 a ＝30，所以2 a ＋5＝
B. a ＝100 b
C. a ＝1000000 b
D. a ＝1000 b
16. （南充中考）计算：｜1－ ｜＋（π－ ）0＝
）
.
17. 计算.
（1）（－1）2024＋｜1－ ｜－
实数知识点总复习含答案解析
【解析】
【分析】
由于 ，于是 ，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．
【详解】
由于 ，于是 ，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．
解：∵ ，
∴ ，
10与9的距离小于16与10的距离，
∴与 最接近的是3．
故选：A．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
【答案】B
【解析】
分析：直接利用2＜ ＜3，进而得出答案．
详解：∵2＜ ＜3，
∴3＜ +1＜4，
故选B．
点睛：此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出 的取值范围是解题关键．
10．若 则 的值是（）
A．2 B、1 C、0 D、
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B．
【详解】
，
∴25的算术平方根是：5.
故答案为：5.
【点睛】
本题考查了算术平方根，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
19．估计 的值是在（）
A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间
【答案】B
【解析】
解：由于16＜19＜25，所以4＜ ＜5，因此6＜ +2＜7．故选B．
点睛：本题主要考查了估算无理数的大小的能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
4．在－3.5， ，0， ，－ ，－ ，0.161161116…(相邻两个6之间依次多一个1)中，无理数有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
实数复习题含答案
实数复习题含答案一、选择题1. 下列各数中，是实数的是（）A. -3√2B. √(-1)C. √2D. 1/0答案：A2. 若a是实数，下列表达式中不可能为实数的是（）A. a^2B. a^3C. a^4D. 1/a答案：D3. 实数x满足|x-2| < 1，则x的取值范围是（）A. 1 < x < 3B. 0 < x < 4C. 1 ≤ x ≤ 3D. 0 ≤ x ≤ 4答案：A二、填空题1. 若实数x满足x^2 - 4x + 4 = 0，那么x的值为____。
答案：22. 一个实数的绝对值等于它自己，那么这个实数是____。
答案：非负数3. 若实数a和b满足a + b = 5，且a - b = 3，那么a和b的值分别是____和____。
答案：4，1三、解答题1. 证明：对于任意实数a和b，(a+b)^2 ≤ 2(a^2 + b^2)。
证明：根据平方和公式，有(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2而2(a^2 + b^2) = 2a^2 + 2b^2由于2ab ≤ 2a^2 + 2b^2（根据基本不等式），所以(a+b)^2 ≤ 2(a^2 + b^2)。
2. 已知实数x满足x^2 - 5x + 6 = 0，求x的值。
解：将方程x^2 - 5x + 6 = 0进行因式分解，得到(x-2)(x-3) = 0因此，x的值为2或3。
四、应用题1. 一个长方形的长是宽的两倍，且面积为24平方米。
求长方形的长和宽。
解：设长方形的宽为x米，则长为2x米。
根据面积公式，有x * 2x = 24即 x^2 = 12解得x = √12 = 2√3因此，长方形的宽为2√3米，长为4√3米。
五、综合题1. 已知实数a，b，c满足a < b < c，且a + b + c = 1。
证明：1/a > 1/b + 1/c。
证明：由于a < b < c，所以1/a > 1/b > 1/c。
实数专题复习
实数专题复习【课标要求】1．了解无理数与实数的意义；2．了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用； 3．能利用化简对实数进行简单的四则运算； 4．了解实数的意义，能对实数按要求进行分类； 5．掌握有理数的运算法则在实数范围内仍然适用； 6．能利用实数的性质熟练地进行四则运算；7．注意：（1）无理数应满足：①是小数；②是无限小数；③不循环；（2）无理数不是都带根号的数（例如π就是无理数），反之，带根号的数也不一定都是无理数（例如4，327就是有理数）．【知识网络】（1）按实数的定义分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 （2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数第1讲 实数的有关概念【知识要点】 1．实数的性质（1）实数范围内仍然适用在有理数范围内定义的一些概念（如倒数，相反数）； （2）两实数的大小关系：正数大于0，0大于负数；两个正实数，绝对值大的实数大；两个负实数，绝对值大的实数反而小；（3）在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方五种运算是畅通无阻的，但是开方运算要注意，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方；（4）有理数范围内的运算律和运算顺序在实数范围内仍然相同． 2．实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．3．实数的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负有理数零正有理数有理数实数4．实数的大小比较两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个正实数，绝对值大的实数较大；两个负实数，绝对值大的实数反而小．实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个实数，右边的数总大于左边的数． 【典型例题】例1若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －a 2 B. －( a +1)2 C.－2a D.－(a -+1)分析：本题主要考查负数和非负数的概念,同时涉及考查字母表示数这个知识点.由于a 为实数, a 2、( a +1)2、2a 均为非负数，∴－a 2≤0，－( a +1)2≤0，－2a ≤0．而0既不是正数也不是负数，是介于正数与负数之间的中性数．因此，A 、B 、C 不一定是负数．又依据绝对值的概念及性质知－(a -+1)﹤0．故选D例2 实数a 在数轴上的位置如图所示,化简:2)2(1-+-a a =分析：这里考查了数形结合的数学思想,要去掉绝对值符号,必须清楚绝对值符号内的数是正还是负.由数轴可知:1﹤a ﹤2,于是,22)2(,112a a a a a -=-=--=-所以, 2)2(1-+-a a =a －1+2－a =1.例3 如图所示,数轴上A 、B 两点分别表示实数1，5，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的实数为（ ）A. 5－2B. 2－5C.5－3 D.3－5分析：这道题也考查了数形结合的数学思想,同时又考查了对称的性质．B 、C 两点关于点A 对称，因而B 、C 两点到点A 的距离是相同的，点B 到点A 的距离是5－1，所以点C 到点A 的距离也是5－1，设点C 到点O 的距离为a ，所以a +1=5－1，即a =5－2．又因为点C 所表示的实数为负数，所以点C 所表示的实数为2－5．例4 已知a 、b 是有理数，且满足（a －2）2+3-b =0，则a b 的值为 分析：因为（a －2）2+3-b =0，所以a －2=0，b －3=0。
实数知识点总复习含答案
【答案】C
【解析】
【分析】
由无理数的估算，得到 ， ， ，然后进行判断，即可得到答案.
【详解】
解：∵ ，
∴ ，即3<甲<4，
∵ ，
∴ ，即1<乙<2，
∵ ，
∴ ，即4<丙<5，
∴乙 甲 丙；
故选：C.
【点睛】
本题考查了实数比较大小，以及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算，以及比较大小的法则.
【详解】
原式=4 ，
由于2 3，
∴1＜4 2．
故选：A．
【点睛】
本题考查实数与数轴、估算无理数的大小，解题的关键是掌握估算无理数大小的方法．
13．在实数范围内，下列判断正确的是（）
A．若 ，则m=nB．若 ，则a＞b
C．若 ，则a=bD．若 ，则a=b
【答案】D
【解析】
【分析】
根据实数的基本性质，逐个分析即可.
A．点AB．点BC．点CD．点D
【答案】B
【解析】
【分析】
，计算-1.732与-3，-2，-1的差的绝对值，确定对值最小即可.
【详解】
，
，
，
，
因为0.268＜0.732＜1.268，
所以 表示的点与点B最接近，
故选B.
16．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为-1和 ，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（）
【详解】
解： ， ， ，
，
最小的数是 ，
故选： ．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较法则，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键．
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实数专题复习
一、知识点巩固
算术平方根的性质:
1.一个正数的算术平方根是一个；0的算术平方根是0；
没有算术平方根．
２. 求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算,利用这个互逆运算关系求非
负数的算术平方根.
3.算术平方根的概念,式子a 中的双重非负性:一是ａ≥0，二是a ≥0．
练习:1.若一个数的算术平方根是7,那么这个数是； ２．9的算术平方根是；3．2)32
(的算术平方根是；
平方根 1.一个正数的平方根有2个,它们互为相反数。
2.一个正数a 的正的平方根,记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a -”。
3.这两个平方根合起来记作“a ±”，读作“正，负根号a ”.
练习： (1)1214
的平方根是＿_＿_＿____; (２)(-41
)2的算术平方根是__＿＿_＿＿__;
（3）4的值等于_____＿_＿_,4的平方根为_＿_______;
(７)（－4）2的平方根是＿_＿＿_＿＿__，算术平方根是＿＿＿__＿_＿_.
（8)2)2(-的化简结果是 （ )
A ．2
B ．-2 C.2或－２D.４
立方根
1． 如果一个数ｘ的立方等于a ，即a x =3,那么x 叫做a 的立方根。
记作“3a x =”。
2． 任意实数都只有一个立方根。
3． 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。
练习:
1．下列说法中,不正确的是（ ）
A 、－1的立方是－1
B 、-１的立方根是－1
C 、－１的平方是1
D 、-1的平方根是－1
2、下列判断正确的是( ）
Ａ6４的立方根是±4 B （－1)1-的立方根是１
C
B
A
Ｃ64的立方根是２ D 如果3a =a ，则a=０ ３．()33
7-的正确结果是 ( ) Ａ、7 B 、-7 C 、±7 D 、无意义
4．某数的立方根是它本身，这样的数有 ( ）
A 、１个
B 、2个
C 、3个 Ｄ、4个
专题一 非负数求和
1．已知|1|0a +=,则a b -=．
2．（2009，怀化)若()2240a c --=，则=+-c b a .
３．(2００9，莆田)3a =-，则a 与3的大小关系是（ )
A ． 3a < B.3a ≤ C. 3a > Ｄ．3a ≥
4.|2a －5|与2+b 互为相反数,求ab 的值.
5、已知实数211,,a-b 0,24c a b c c c ab
-+=满足则的算术平方根是。
6.△ABC 的三边长为a 、b 、ｃ，a 和b 2440b b -+=,求c 的取值范围。
专题二算术平方根的双重非负性问题（0,0≥≥=a a ） 1、若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为＿___．:若12+x 有意义,则ｘ范围是______
＿＿．
2、若
x x 2+有意义,则x 范围是___＿__＿_;有意义的x 的取值范围是。
3、已知｜x －4｜+y x +2=0，那么x=_＿______,y=_____＿__
4、若3222+-+-=x x y ,则=xy 。
专题三、公式a a =2,a a =2)(的运用
1、计算与归纳====
2、:)1_______.a =≥=
３、若==m ,3.1则m ,若==n ,52则n 。
4、已知a 为实数,化简：a
a a 13---＝。
5、已知223)21(2-=-,则2
23-的算术平方根是。
6、当0,0<<b a 时，229124b ab a ++=。
7.已知ａ、b 两数表示点A 、B 在数轴上的位置，请化简:22)(b a b a +--
专题四 一个数的平方根互为相反数
1、 已知:2m ＋2的平方根是±4,3ｍ＋n ＋1的平方根
是±5,求ｍ+２ｎ的平方根．
2、 :已知某数有两个平方根分别是a +３与2a -1５，a=,这个数。
3、 若2431m m --与是同一个数的平方根,则m=__＿__＿＿_＿.
4.已知2m-3和m-12是数p 的平方根，试求p 的值。
专题五、比较实数的大小
1.比较下列数的大小（１)4
328.2和 （2)7667和 （３）3553--和 ２.比较大小：22＿＿_____π．(填“＞”、“＜”或“=”）
３.设62,53,A B =
+=+则A 、B 中数值较小的是。
4、设76a =,则下列关于a 的取值范围正确的是（ ）．
A 8.08.2a <<； B.8.28.5a <<； Ｃ 8.58.8a << ；D.8.89.1a <<
5．如图,在数轴上点A 和点B 之间的整数是．
专题六 无理数整数小数分开法
1.2a 2
的整数部分为，小数部分为b ，求-16ab-8b 的立方根。
２.已知５+11的小数部分为ａ，5－11的小数部分为ｂ，
求:(１)a ＋ｂ的值;（2)a －b 的值.
专题七 实数的混合运算 (最简二次根式 分母有理化）
(2009,南昌）计算:1)21(2
48-+-=________. (2009,大连)计算)13)(13(-+=__＿______＿_.
（2009，烟台)化简0293618(32)(12)23
+-B O A
（20０９，南充）计算
:0(π2009)2|-+
（2０09
，乌鲁木齐）计算：⎛
÷ ⎝(2009,温州）计算：()121240-++-；
1021()2)(2)3--+-122323--
-+- 专题八 探索规律
由下列等式
:
===…… 所揭示的规律，可得出一般的结论是。
1、 观察下列各式： ①17441744=-;②26552655=-；③ 37
663766=- 针对上述各式反映的规律,（1）请写出第4个等式,（２)猜想一般规律,并用含n 表示其等式，
说明理由。
补充:竞赛提高
1． x 满足020112010=--+
-x x x ,试求22010-x 的值。
2.已知
,,x y z =试求x,y,z 的值。
3、已知n m ,为正数，且满足34424=+--+n n m mn m ，
求：201128
2++-+n m n m 的值。
4、(1）已知121222++++-=
x x x x y ,求ｙ的最小值 （3)已知16)8(422+-++=
x x y ，求y 的最小值。
5.设0,0,0,200420032002333>>>==z y x z y x ，且3222200420032002z
y x ++＝
92|21|)3(12-+----
333200420032002++,求：z
y x 111++的值。