高二数学 9.1平面的基本性质(备课资料)大纲人教版必修

●备课资料《名师授课录》 思考与练习答案：①向两个方向无限伸长的 ②向四周无限扩展的 ③AB或a④⑤用直线上的两个点表示（用两个大写字母表示）或用一个小写字母表示 ⑥用对角顶点的两个大写字母表示或用一个希腊字母表示 ⑦表示被遮住的线条（看不见的线条）2.请将下面两图中的部分虚线画成实线,使其成为从不同角度观察的正方体答案：（略）3.如何用符号语言表示下列文字语言？（1）点P 在直线l 上 ；（2）点P 在直线l 外 ；（3）点P 在平面α内 ；（4）点Q 在平面α外 ；（5）直线l 在平面α内 ；（6）直线l 在平面α外 ；记作读作 记作读作记作读作记作读作记作读作记作读作（7）平面α和β相交,交线是l ；（8）直线a 和b 相交于点P .答案：（1）P ∈l （2）P ∉l （3）P ∈α （4）Q ∉α （5）l ⊂α （6）l ⊄α （7）α∩β=l （8）a ∩b =P4.（1）两个平面相交,交线是 且所有公共点都在 上,交线上的每一点都是两平面的 .（2）画两平面相交时必须画出它们的 . 答案：（1）两平面的公共直线 交线 公共点 （2）交线6.观察图（1）和图（2）,用模型说明它们的位置有什么不同,并用字母表示平面.a(2)aa答案：略.7.两条直线划分平面有几种不同的划分方法？请画图说明. 答案：有两种不同的划分方法.当l 1∥l 2时,两直线将平面划分成三部分；当l 1与l 2相交时,两直线将平面划分成四部分. 如图：12l l 12l l8.点P 在直线l 上,而直线l 在平面α内,用符号表示为 A.P ⊂l ⊂α B.P ∈l ∈α C.P ⊂l ∈α D.P ∈l ⊂α 答案：D9.下列几种说法中,正确的是 A.四边形一定是平面图形 B.空间三个点确定一个平面 C.桌面是一个平面 D.三角形一定是平面图形 答案：D10.“已知α∩β=l ,若点P ∈α且点P ∈β,则P ∈l ”.用文字语言应叙述为 . 答案：已知平面α与平面β相交于直线l ,如果点P 既在平面α内又在平面β内,那么点P记作读作记作读作在直线l上●备课资料思考与练习一、选择题1.下列命题中,正确命题的个数是①有三个公共点的两个平面重合②梯形的四个顶点在同一平面内③三条互相平行的直线必共面④四条线段顺次首尾连结,构成平面图形A.0B.1C.2D.3答案：B2.下列命题正确的是A.两条直线可以确定一个平面B.一条直线和一个点可以确定一个平面C.空间不同的三点可以确定一个平面D.两条相交直线可以确定一个平面答案：D3.四条直线相交于一点,它们能确定的平面的个数为A.1B.4C.6D.1或4或6答案：D4.空间四点,没有三点共线,可确定平面的个数为A.1B.4C.1或4D.0或1答案：C5.长方体各面上的对角线所确定的平面的个数为A.6B.12C.14D.20答案：D6.在空间中,下列命题错误的是A.圆上三点可确定一个平面B.圆心和圆上两点可确定一个平面C.四条平行直线不能确定五个平面D.空间四点中,若四点不共面,则任意三点不共线答案：B7.在空间,下列命题错误的是A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.两组对边分别平行的四边形是平行四边形C.一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形答案：D8.空间四点中“三点共线”是“四点共面”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：A9.若给定空间三条直线共面的条件,这四个条件中不正确的是①三条直线两两相交 ②三条直线两两平行 ③三条直线中有两条平行 ④三条直线共点A.②B.②③C.②③④D.①②③④ 答案：D10.空间三个平面两两相交,那么 A.必相交于一点 B.必相交于一条直线 C.必相交于三条平行直线 D.不可能有且只有两条交线 答案：D 二、填空题1.四条平行直线最多能确定 个平面. 答案：62.直线与平面公共点的个数可能为 . 答案：0或1或无穷多3.一条直线和这条直线外不共线的三点能确定的平面的个数为 . 答案：1或3或44.“点P 在直线l 上,点P 不在平面α内,直线l 与平面α相交于点O ”,用符号语言叙述可表示为 .答案：P ∈l ,P ∉α,l ∩α=O5.根据下图,写出图中的元素应满足的条件.αγ(1)c a bA(2)（1）对于图（1）,α∩β= ;β∩γ= ;= ;A α;A β. （2）对于图（2）, =PQ ; =B ; =C ; =A .答案：（1）a b c ∈ ∈ （2）α∩β AB ∩α AC ∩β AB ∩AC三、解答题1.同时过空间四点可以作几个平面?答案：当这四点共线时,同时过这四点可以作无数个平面； 当这四点有且只有三点共线时,同时过这四点可以作一个平面；当这四点分别在两条直线上,且这两条直线平行或相交时,同时过这四点可以作一个平面； 不是上述情况,则不存在同时经过这四个点的平面.2.根据下列条件画出图形：平面α∩平面β=AB ,直线a ⊂α,直线b ⊂β,a ∥AB ,b ∥AB . 答案：αβb aAB3.如图,A ∈α,直线AB 和AC 不在α内,画出AB 和AC 所确定的平面β,并画出直线BC和平面α的交点.答案：4.如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm,M 、N 、P 分别是AB 、A1D 1、BB 1的中点.1（1）画出过M 、N 、P BB 1C 1C 的交线； （2）设过M 、N 、P 三点的平面与解：（1）设M 、N 、P 1MP .设MP ∩A 1B 1=R ,则RN 是α与平面A 1B 1C 1D 1的交线. 设RN ∩B 1C 1=Q .则PQ 是α与平面BB 1C 1C的交线.1R（2）∵正方体的棱长为8 cm, ∴B 1R =BM =4 cm. 在△RA 1N 中,1111RA RB N A Q B =, ∴B 1Q =.344124=⨯ 在Rt △PB 1Q 中, ∵PB 1=4,B 1Q =34, ∴PQ =1034)34(422=+ (cm). 故所求PQ 的长为1034cm. ●备课资料 思考与练习1.已知一条直线与三条平行直线都相交,求证：这四条直线共面. 为了证明过程叙述的方便,先写出已知、求证,用符号语言表示.已知：直线a∥b∥c,直线l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证：l与a、b、c共面.证明：∵a∥b,∴a、b确定一个平面,设为α.又l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α,B∈α.又A∈l,B∈l,∴AB⊂α,即l⊂α.同理b、c确定一个平面β,l⊂β.∴平面α与β都过两相交直线b与l.由推论2,两条相交直线确定一个平面,∴α与β重合.故l与a、b、c共面.2.不共点的四条直线两两相交,求证：这四条直线在同一个平面内. 已知：直线AB、BC、CD、DA两两相交,且不过同一点.αCDAMB（注：两两相交的意思是,如果n条直线两两相交,那么任一条直线与另外（n-1）条直线都相交,都有公共点）求证：直线AB、BC、CD、DA共面.证明：设AB、CD相交于M,则AB、CD确定一个平面,设为α.∵A∈AB,B∈AB,C∈CD,D∈CD,∴A∈α,B∈α,C∈α,D∈α.由公理1知AD、BC⊂α,故AB、BC、CD、DA四条直线共面.假如根据题目的文字语言,作出的图形如下图,则已知就不能写成AB、BC、CD、DA两两相交,而应写成：AC BDβ已知：直线AB、BD、CD、AD两两相交,且不过同一点.求证：直线AB、BD、CD、AD共面.证明：∵AB∩CD=C,∴AB、CD确定一个平面,设为β.∵A∈AB,D∈CD,B∈AB,∴A∈β,D∈β,B∈β.由公理1知AD⊂β,BD⊂β,∴AB、CD、AD、BD共面.3.已知点E、F、G、H分别是空间四边形AB、AD、CB、CD上的点,且直线EF和HG 交于点M,求证：点B、D、M在同一直线上.AEFD M GB H C证明：连结BD ,则BD =面ABD ∩面CBD . ∵E ∈AB ,F ∈AD ,∴EF ⊂面ABD . 又M ∈EF ,∴M ∈面ABD . ① 同理可证HG ⊂面CBD ,M ∈面BCD . ② 由①和②可得M ∈面ABD ∩面BCD =BD . 故点B 、D 、M 在同一直线上.4.如图,AB ∩α=P ,CD ∩α=P ,点A 、D 与点B 、C 分别在面α的两侧,AC ∩α=Q ,BD ∩α=R.求证：P 、Q 、R 三点共线. 证明：∵AB ∩α=P , CD ∩α=P , ∴AB ∩CD =P .∴AB 、CD 可确定一个平面,设为β. ∵A ∈AB ,C ∈CD ,B ∈AB ,D ∈CD , ∴A ∈β,C ∈β,B ∈β,D ∈β.∴AC ⊂β,BD ⊂β,平面α、β相交. ∵AB ∩α=P ,AC ∩α=Q ,BD ∩α=R ,∴P 、Q 、R 三点是平面α与平面β的公共点. ∴P 、Q 、R 都在α与β的交线上. 故P 、Q 、R 三点共线.5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,A 1C 与面DBC 1交于O 点.AC 、BD 交于点M ,求证：C 1、O 、M 三点共线.1证明：∵C 1、O 、M ∈面BDC 1,又C 1、O 、M ∈面A 1ACC 1,由公理2,知点C 1、O 、M 在平面BDC 1与平面A 1ACC 1的交线上, ∴C 1、O 、M 三点共线.6.三个平面两两相交于三条直线,若这三条直线不平行,求证：这三条直线交于一点.αβγ111A AB BC C 已知：平面α、β、γ两两相交,α∩β=CC 1,β∩γ=AA 1,α∩γ=BB 1,且AA 1、BB 1、CC 1不平行. 求证：AA 1、BB 1、CC 1相交于一点. 证明：∵AA 1⊂γ,BB 1⊂γ,AA 1BB 1, ∴AA 1与BB 1相交.设AA 1∩BB 1=P , ① 则P ∈AA 1⊂β,P ∈BB 1⊂α. ∴P ∈α∩β=CC 1. ② 由①、②,得AA 1、BB 1、CC 1相交于一点P . 7.已知：a ⊂α,b ⊂α,a ∩b =A ,P ∈b ,PQ ∥a ,αA PQa b 求证：PQ ⊂α.证明：∵PQ ∥a ,∴PQ 、a 确定一个平面,设为β.∴P ∈β,a ⊂β,P ∉a . 又P ∈α,a ⊂α,P ∉a ,由推论1知过P 、a 有且只有一个平面, ∴α、β重合.∴PQ ⊂α.8.如图,在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,点M 、N 分别是AA 1、D 1C 1的中点,过D 、M 、N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l ,（1）画出l 的位置；（2）设l ∩A 1B 1=P ,求PB 1的长.1Q 解：（1）平面DMN 与平面AD 1则平面DMN 与平面A 1C 1QN 即为所求作的直线l .（2）设QN ∩A 1B 1=P ,∵△MA 1Q ≌△MAD ,∴A 1Q =AD =a =A 1D 1.∴A 1是QD 1的中点. 又A 1P ∥D 1N ,∴A 1P =21D 1N =41C 1D 1=41a . ∴PB 1=A 1B 1-A 1P =a -41a =43a .。