第一节 线段、角、相交线与平行线
2023年中考数学一轮复习课件：线段、角、相交线与平行线(含命题)
个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题
随堂练习
1. 如图，A，B两点之间的距离为8，①，②，③，④分别代表从点A到
点B的不同路线，点C是线段AB的中点，点D在AB上，且AD＝3.(1)从点
A到点B的4条不同路线中，最短的是________；②(2)BD＝______，CD＝
______． 5
1
第1题图
2.点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12 cm，
则线段BD的长为( C )A. 10 cm
B. 8 cmC. 10 cm或8 cm
D. 2 cm或4 cm
3. 如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，点E是OD上一点，过点
E作EF⊥AB于点F.(1)若∠AOD＝28°30′，则∠AOD的余角为________，
平行
【知识拓展】平行线求角度的辅助线作法：情形一： ∠ABE＋∠DCE＝∠BEC
情形二： ∠ABE＋∠DCE＋∠BEC＝360°
情形三： ∠ABE－∠DCE＝∠BEC
考点5 命题
命题 判断一件事情的语句，叫做命题，命题有题设和结论两部分 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题 假命题 如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题
同位角 ∠1与___∠__5___，∠2与∠6，∠4与_∠__8___，∠3与___∠__7___ 内错角 ∠2与__∠__8____，∠3与∠5 同旁内角 ∠2与∠5，∠3与__∠__8____
2. 垂线及性质 垂线段
过直线外一点，作已知直线的垂线， 该点与垂足之间的线段
21第21讲 线段、角、相交线与平行线
第二部分空间与图形第五章简单平面图形的认识与三角形第21讲线段、角、相交线与平行线本讲重点：直线、线段、射线，角的概念、度量和分类，相交线，平行线性质及判定.【考点链接】1．直线和线段的性质（2）直线和线段的性质：直线的性质：（1）经过两点有且只有一条直线，即两点一条直线；（2）两条直线相交，有且只有个交点．一线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短，即两点之间，最短．2．角与角的平分线的性质（1）角的定义：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角；角也可以看成是由一条射线绕着它的端点而成的图形．（2）角的度量：把平角分成180份，每一份是1°的角， 1°=6 0′，1′= 6 0″.（3）角的分类：（4）相关角及其性质：余角：如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角；同角或等角的余角 . 补角：如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；同角或等角的补角．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．对顶角．（5）角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个的角，这条射线叫做这个角的平分线．角平分线上的点到角两边的距离 .3．同位角、内错角、同旁内角的认识（1）同一平面内两条直线的位置关系是：相交或．（2）“三线八角”的识别：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同，即“同旁”和“同规”；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”．4．平行线的性质和判定（1）平行线的定义：在同一平面内．的两条直线是平行线．（2）平行线的性质：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，相等，同旁内角互补．②过直线外一点有且只有条直线和已知直线平行．（3）平行线的判定：①两条直线被第三条直线所截，如果同位角，那么这两条直线平行；如果内错角．那么这两条直线平行；如果同旁内角，那么这两条直线平行．②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相．（4）平行线之间的距离：两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的就是两条平行线之间的距离.【典例探究】考点1 直线公理的应用及线段长的计算『例1』（1）（2012长沙模拟）经过任意三点中的两点共可以画出的直线的条数是（）A.一条或三条B.三条C.两条D.一条（2）（教材练习题改编）已知n（n≥2）个点P1，P2，P3，……，P n在同一个平面内，且其中没有任何三点在同一条直线上，设S n表示过这n个点中的任意两个点所作的直线条数，显然S2=1，S3=3，S4=6，S5=10，…，由此可推断S n=___ ___．（3）（2012三门模拟）如图，C、D是线段AB上的两点，若CB=4厘米，DB= 7厘米，且D 是AC的中点，则AC的长等于（）A．3厘米 B．6厘米 C．11厘米 D．14厘米『解析』（1）当三点都在同一条直线上时，可以画出一条直线，当三点不在同一条直线上时，根据“两点确定一条直线”，可以画出三条直线.故选A.（2）∵n个点中任意三点不在同一直线上．∴其中这一点分别与其他（n-1）个点可作（n-1）条直线．这样共可作n（n-1）条直线，此时两点间的直线重复作了一次，故S n=12n（n-1）．（3）求AC的长关键是求DC，而DC=BD-BC，因为CB=4厘米，DB= 7厘米，所以DC=BD-BC=3厘米，又因为D是线段AC的中点，所以AC=2DC=6厘米.选B.『备考兵法』求有关线段的长度时，要注意把已知量和未知量与图形对照起来，认真审题，仔细推敲条件，相信你记住这点，能很快找到解决问题的办法.考点2 补角与余角的概念及角的有关计算『例2』（1）（2012江苏南通）已知∠α＝32º，则∠α的补角为( ) A．58º B．68º C．148º D．168º（2）（课本习题改编题）一个角的补角比这个角的余角的4倍还多15°15′，求这个角的度数.（3）（2012北京市）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOD，若∠BOD=760，则∠BOM 等于( )A．38︒B．104︒C．142︒D．144︒(4) （2012山东滨州）借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角（）A ．65°B ．75°C ．85°D ．95° 『解析』（1）根据互为补角的和等于180°列式计算即可得解：∵∠α=32°，∴∠α的补角为180°－32°=148°.故选C.（2）设这个角是x °，那么它的补角是180°－x °，它的余角是90°－x °． 根据题意，得180°－x °＝4(90°－x °)＋15°15′，180°－x °＝360°－4x °＋15°15′，3x °＝195°15′，x °＝65°5′. 答：这个角是65°5′.（3）由∠BOD=760，根据对顶角相等的性质，得∠AOC=760，根据补角的定义，得∠BOC=1040.由射线OM 平分∠AOD，根据角平分线定义，∠COM=380.∴∠BOM=∠COM＋∠BOC=1420.故选C. (4) 利用一副三角板可以画出75°角，用45°和30°的组合即可.故选B.『备考兵法』在几何的求解问题中，经常用列方程的方法来求解，代数中等式的性质同样适用于几何中的量，如长度、角度等等.就是说，在等式的两边都加上或减去相等的量，仍是等式；等式两边都乘以或除以同一个数(除数不能是零)，仍是等式.这样给几何中的求解问题提供了一种好的解法.考点3 相交线、平行线的性质与判定『例3』(1) （2012四川内江）如图=∠=∠=∠3,1402,651,//00则b a ( )A.0100B.0105 C.0110 D.0115(2) （2012宁夏区）如图，C 岛在A 岛的北偏东45°方向，在B 岛的北偏西25°方向，则从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB＝ 度．(3) （2012四川广元）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度可能为( )A. 先向左转130°，再向左转50°B. 先向左转50°，再向右转50°C. 先向左转50°，再向右转40°D. 先向左转50°，再向左转40°『解析』(1) 如图，反向延长b ，形成∠4.∵//a b ，∴∠3=1800－∠4.又∵∠2=∠1＋∠4，即∠4=∠2—∠1.∴()()031802118014065105∠=-∠-∠=--=.故选B.(2) 如图，作北向线的平行线CD ，则由已知，根据两直线平行，内错角相等的性质，得∠ACD=450，∠BCD=250，∴∠ACB＝450＋250=700.(3) 根据题意画出图形，然后利用同位角相等，两直线平行与内错角相等，两直线平行，即可判定：如图：A 、∵∠1=130°，∴∠3=50°=∠2.∴a∥b，且方向相反；B 、∵∠1=∠2=50°，∴a∥b；C 、∵∠1=50°，∠2=40°，∴∠1≠∠2，∴a 不平行于b ；D 、∵∠2=40°，∴∠3=140°≠∠1，∴a 不平行于b.故选B.『备考兵法』反复运用平行线的性质和对顶角相等是解这类问题的关键.【当堂过关】1. （2011绍兴）如图，已知//,,34AB CD BC ABE C BED ∠∠=︒∠平分，则 的度数是( )A.17︒B. 34︒C. 56︒D. 68︒『解析』∠BED=2∠C. 『答案』D2. （2011杭州市）如图，三条直线相交于一点O ，其中，AB ⊥CO ，则∠1与∠2（ ）A ．互为补角B ．互为余角C ．相等D ．对顶角『解析』因为AB ⊥CO ，所以∠1+∠3=90°，而∠2=∠3，所以∠1+∠2=90°，所以∠1与∠2互为余角. 『答案』B3. （2012山西省）如图，直线AB∥CD，AF 交CD 于点E ，∠CEF=140°，则∠A 等于( ) A ． 35° B ． 40° C ． 45° D ． 50°『解析』∵∠CEF=140°，∴∠FED=180°﹣∠CEF=180°﹣140°=40°.∵直线AB∥CD，∴∠A=∠FED=40°.故选B.『答案』B4. （2011金华）如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（）A．30° B.25° C.20° D.15°『解析』∠2=45°－∠1＝25°.『答案』B5. （2011浙江省）已知∠A=40°,则∠A的补角等于．『解析』∠A的补角等于180°－∠A=140º.『答案』140º6. （2011温州）如图，a∥b，∠1＝40°，∠2=80°，则∠3=度．『解析』∠3=∠1+∠2=120°.『答案』1207. （2012福建厦门）已知∠A＝40°，则∠A的余角的度数是．『解析』设∠A的余角是∠B，则∠A+∠B=90°，∵∠A=40°，∴∠B=90°－40°=50°. 『答案』50°8. （2012山东菏泽）已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC= cm．『解析』分类讨论.『答案』5或119. （2012山东德州）有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）解：作图如下：C1，C2就是所求的位置.（1）作两条公路夹角的平分线OD或OE；（2）作线段AB的垂直平分线FG.则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置.10. （2012甘肃白银）为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．解：已知：A村、B村、C村，求作：一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等.作图如下：【浙江两年中考】1. （2012丽水）如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点．这时，∠ABC的度数是（）A．120° B．135° C．150° D．160°『解析』由题意得：∠1＝30°，∠2＝60°，∵AE∥BF，∴∠1＝∠4＝30°.∵∠2＝60°，∴∠3＝90°－60°＝30°.∴∠ABC＝∠4＋∠FBD＋∠3＝30°＋90°＋30°＝150°.故选C.『答案』C2. （2012嘉兴）已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于（）A．40° B．60° C．80° D．90°『解析』设∠A=x，则∠B=2x，∠C=x+20°，则x+2x+x+20°=180°，解得x=40°，即∠A=40°. 『答案』A3. （2012义乌）如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为．『解析』如图，∵∠1=40°，∴∠3=180°﹣∠1﹣45°=180°﹣40°﹣90°=50°.∵a∥b，∴∠2=∠3=50°.『答案』50°4. （2012宁波）如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB=度．『解析』∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC.∵∠ACD=110°，∴∠ACB=∠BAC=70°.∴∠B=∠40°，∵AE∥BD，∴∠EAB=40°.『答案』405. （2011衢州）如图，直尺一边AB与量角器的零刻度线CD平行，若量角器的一条刻度线OF的读书为70°，OF与AB交于点E,那么AEF∠=度.『解析』AEF∠=∠COF=70°.『答案』70【命题趋势提醒】角的有关概念，角的计算，线段的中点及各种角之间的关系、平行线的性质与判定、余角补角性质，在近几年各地区中考试卷中，常以填空、选择的形式为主进行考查，考查的题目较少，一般有一个或二个题．本章主要以考查基础知识为主，题目较简单，容易得分.【迎考精炼】一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分）1. (2012福州)如图，直线a∥b，∠1=70º,那么∠2的度数是( )A.50ºB.60ºC.70ºD.80º『解析』由题意直线a∥b，∠1与∠2的关系属于同位角，则∠1=∠2=70°.『答案』C2. （2011湖北黄石）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线，则n的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8『解析』先考查简单情形.『答案』B3. （2012福州模拟）下列四个角中,最有可能与70o角互补的角是（）BA C D『解析』70o角的补角是130°.『答案』D4. （2012贵州毕节）如图，△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( )A.40°B.60°C.80°D.120°『解析』∵a∥b，∴∠ABC=∠2=80°.∵∠1=120°，∠3=∠1－∠ABC.∴∠3=120°－80°=40°.『答案』A5. （2012四川凉山）如图，已知AB∥CD，∠DFE=135°，则∠ABE的度数为( )A．30 B．45C．60 D．90『解析』∵∠DFE=135°，∴∠CFE=180°－135°=45°.∵AB∥CD，∴∠ABE=∠CFE=45°. 『答案』B6. （2012山东临沂）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是( )A．40°B．50°C．60°D．140°『解析』根据对顶角，平行线性质计算.『答案』B7. （2012北京四中模拟26）如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（） A．1个 B.2个 C.3个 D.4个『解析』与∠CAB互余的角有∠CBA和∠BCD.『答案』B8. （2012山东聊城）将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( )A．75° B．90° C．105° D．120°『解析』如图，先根据直角三角形的性质得出∠BAE及∠E的度数，再由三角形内角和定理及对顶角的性质即可得出结论：∵图中是一副直角三角板，∴∠BAE=45°，∠E=30°.∴∠AFE=180°﹣∠BAE﹣∠E=105°.∴∠α=105°.『答案』C9. （2012山东济宁）如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于( )A．40° B．75° C．85° D．140°『解析』如图，∵AE，DB是正南正北方向，∴BD∥AE.∵∠DBA=45°，∴∠BAE=∠DBA=45°. ∵∠EAC=15°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°.又∵∠DBC=80°，∴∠ABC=80°﹣45°=35°，∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣60°﹣35°=85°.『答案』C10. （2012江苏连云港）如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为( )A．50° B．60° C．70° D．80°『解析』如图，∵△BCD中，∠1＝50°，∠2＝60°，∴∠4＝180°－∠1－∠2＝180°－50°－60°＝70°.∴∠5＝∠4＝70°.∵a∥b，∴∠3＝∠5＝70°.故选C.『答案』C二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在横线上）11. （2012广西南宁）如图所示，用直尺和三角尺作直线AB ，CD ，从图中可知，直线AB 与直线CD 的位置关系为 ．『解析』同位角相等，两直线平行.『答案』AB∥CD12. （2012四川绵阳）如图，AB∥CD，AD 与BC 交于点E ，EF 是∠BED 的平分线，若∠1=30°，∠2=40°，则∠BEF= 度.『解析』∵AB ∥CD ， ∴∠D=∠1=30°.∴∠BED =∠D+∠2=30°+40°=70°.∵EF 是∠BED 的平分线，∴∠BEF=35°.『答案』3513. （2012衢山初中一模）如图，在△ABC 中，∠C ＝90º，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ．若BD ＝10cm ，BC ＝8cm ，则点D 到直线AB 的距离是 cm ．『解析』角平分线上的点到角两边的距离相等.『答案』614. （2012河北）如图，AB CD ，相交于点O ，AC CD 于点C ，若BOD ∠=38，则A ∠等于 ．B『解析』观察图形得知BOD ∠与AOC ∠是对顶角，AOC BOD ∴∠︒=∠=38，又在Rt ACO ∆中，两锐角互余，52A ∴∠︒︒=︒=90-38.『答案』52︒15. （2011安徽芜湖）一个角的补角是3635'，这个角是 ．『解析』180°－3635'=14325'.『答案』14325'16. （2012四川乐山）如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点An ．设∠A=θ．则（1）∠A 1= ；（2）∠A n = ．『解析』考查简单情形找规律. 『答案』2θ；n 2θ 三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17.（6分）（2012甘肃白银）如图，直线l 1∥l 2，根据图中数据求∠α的度数.:Z§xx§]解：∵l 1∥l 2，∴130°所对应的同旁内角为180°－130°=50°.又∵α与（70°+50°）的角是对顶角，∴∠α=70°+50°=120°.18.（8分）（2012淄博市模拟）如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A =37º，求∠D 的度数．解: ∵AB ∥CD , ∠A =37º,∴∠ECD =∠A =37º. ∵DE ⊥AE ,∴∠D =90º–∠ECD =90º–37º=53º.19.（8分）（ 2012江津模拟）A 、B 两所学校在一条东西走向公路的同旁,以公路所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系,且点A 的坐标是(2,2),点B 的坐标是(7,3).(1)一辆汽车由西向行驶,在行驶过程中是否存在一点C,使C 点到A 、B 两校的距离相等,如果有?请用尺规作图找出该点,保留作图痕迹,不求该点坐标.(2)若在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之各最小,通过作图在图中找出建游乐场的位置,并求出它的坐标.解： (1)存在满足条件的点C ，作图略；（2）作出点A 关于x 轴的对称点A /(2,-2), 连接A /B ，与x 轴的交点即为所求的点P.设A /B 所在的直线的解析式为： y=kx+b, 把A /(2,-2), B(7,3)分别代入得：⎩⎨⎧-=+=+2237b k b k 解得：⎩⎨⎧-==41b k .所以： y=x －4. 当y=0时，x=4,所以交点P 为（4，0）.20.（8分）（2012重庆模拟）为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M 到广场的两个入口A 、B 的距离相等，且到广场管理处C 的距离等于A 和B 之间距离的一半，A 、B 、C 的位置如图所示．请在原图上利用尺规作出音乐喷泉M 、位置．(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)解：如图：AB C DE.A(2, 2) .B(7, 3) y O x21.（8分）（2012广东佛山）比较两个角的大小，有以下两种方法(规则)①用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大；②构造图形，如果一个角包含(或覆盖)另一个角，则这个角大．对于如图给定的∠ABC 与∠DEF，用以上两种方法分别比较它们的大小．注：构造图形时，作示意图（草图）即可．解：①用量角器度量∠AOB的度数时，把量角器的圆心和角的顶点重合，零刻度线和角的一条边OA重合，角的另一条边OB落在读数为130°的刻度线上，连接AB，则∠ABO=180°－130°=50°；同法量出∠DEF=70°.∴∠DEF＞∠ABC.②如图：把∠ABC放在∠DEF上，使B和E重合，边EF和BC重合，DE和BA在EF的同侧，从图形可以看出∠DEF包含∠ABC，即∠DEF＞∠ABC.22.（8分）（2012杭州市模拟）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 点A(0,8), 点B(6 , 8 ).(1) 只用直尺(没有刻度)和圆规, 求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件(要求保留作图痕迹, 不必写出作法)：1）点P到A，B两点的距离相等；的两边的距离相等.2）点P到xOy(2) 在(1)作出点P后, 写出点P的坐标.解：(1) 如图, 点P 即为所求作的点;(2) 设AB 的中垂线交AB 于E ，交x 轴于F ，由作图可得, EF AB ⊥, EF x ⊥轴, 且OF =3, ∵OP 是坐标轴的角平分线，∴P (3，3).。
几何图形初步线、角、平行线
几何图形：点、线、面、体称为几何图形。
圆柱体、圆锥体、球体等各个部分不在同一个平面内的几何图形称为_________.而直线、射线、角、三角形、平行四边形、梯形和圆也都是几何图形，这些图形所表示的各个部分都在同一平面内，称为___________。
线段、射线和直线：线段可以用表示它的两个端点的大写字母表示，也可以用一个小写字母表示，如图的线段可以记作“线段AB”或“线段BA”，也可以记作“线段a”。
A Ba直线可以用它上面任意两个点的大写字母表示，也可以用一个小写字母表示。
如图的直线可以记作“直线AB”或“直线BA”，也可以记做“直线l”。
射线用表示它的端点和射线上另外任意一点的两个字母表示，表示端点的字母要写在前面。
如图的射线记做“射线_______”，而不能记做“射线_______”。
为什么？经过两点_________________直线，即两点确定一条直线。
将线段向一个方向无限延长就形成了________；将线段向两个方向无限延长就形成了______；直线上两点间的部分就是______；直线上一点的一旁部分就是________。
如何用直尺和圆规作出一条线段，使它们等于已知线段a?两点之间______最短。
角角可以看成由两条________的射线所组成的图形，这个公共端点叫这个角的_______，或由一条______绕着它的__________旋转而成的图形，起始位置的射线叫做__________，终止位置的射线叫做________角的三种表示方法：______________________________________________-____________________________________________________________________________________________等于90度的角叫______，小于90度的角就是_____，大于直角而小于平角的角是_______如果两个锐角的和为_______,我们就说这两个角互为_______,简称_______;如果两个角的和为平角,我们就说这两个角互为_______,简称_______;从一个角的顶点引出的一条射线。
线段、角、相交线和平行线
类型二
相交线
例2 (2013·金华、丽水)如 图， 在Rt△ABC中，∠A＝Rt∠， ∠ABC的平分线BD交AC于点D， AD＝3，BC＝10，则△BDC的面 积是________． 【思路分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求 出DE＝3，根据三角形的面积求出即可． 【答案】过D作DE⊥BC于E， ∵∠A＝90°，∴DA⊥AB， ∵BD平分∠ABC，∴AD＝DE＝3，
【思路分析】先设AE＝2x则FB＝4x，AB＝9x， ∴AD＝BD＝4.5x，∴4x＝12，即可解． 【答案】设AE＝2x，EF＝3x，FB＝4x，则AB＝9x. ∵D是AB的中点，∴AD＝BD＝4.5x. ∵FB＝12，∴4x＝12，x＝3. 又∵AF＝2x＋3x＝5x， ∴DF＝5x－4.5x＝0.5x＝0.5×3＝1.5. ∴AE∶AD＝2x∶4.5x＝2∶4.5＝4∶9.
A．45° B．54° C．40° D．50° 【思路分析】根据三角形的内角和定理求出∠BAC， 再根据角平分线的定义求出∠BAD，然后根据两直线 平行，内错角相等可得∠ADE＝∠BAD.
【答案】∵∠B＝46°，∠C＝54°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－46°－54° ＝80°， ∵AD平分∠BAC，
【解后感悟】在解答有关线段的计算问题时，一 般要注意以下几个方面： ①按照题中已知条件画出符合题意的图形是正确 解题的前提条件； ②学会观察图形，找出线段之间的关系，列算式 或方程来解答．
(学P58)
1．在直线l上，线段AB＝7cm，BC＝3cm，D是AC的 中点，求DB的长度．
线段 角 相交线 平行线知识点总结
线段角相交线平行线知识点总结知识点一线段射线和直线1．线段的性质(1)所有连接两点的线中，最短(2)线段的中垂线定理2．射线、线段又可看作是直线的一部分，即整体与部分的关系；将线段无限延长一方得到射线，两方无限延长可得到直线．3．直线、射线、线段的区别与联系知识点二角1．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；如果一个角的两边成一条直线，那么这个角叫做；平角的一半叫；大于直角小于平角的角叫做，大于0°小于直角的角叫做．2．1周角＝度，1平角＝度，1直角＝度，1°＝分，1分＝秒．3．余角、补角及其性质互为补角：如果两个角，那么这两个角叫做互为补角．互为余角：如果两个角，那么这两个角叫做互为余角．余角性质：．补角性质：．知识点三相交线1．对顶角及其性质对顶角：两条直线相交所得到的四个角中，没有公共边的两个角叫做．性质：．2．垂线及其性质垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线．性质：①经过一点有 条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连结的所有线段中， 最短(简说成： )． 知识点四 平行线1．平行线的定义在同一平面内， 的两条直线，叫平行线．2．平行公理经过已知直线外一点，有且只有 条直线与已知直线平行．3．平行线的性质(1)如果两条直线平行，那么 相等；(2)如果两条直线平行，那么 相等；(3)如果两条直线平行，那么 互补．4．平行线的判定(1)定义：在同一平面内不相交的两条直线，叫平行线；(2) ，两直线平行；(3) ，两直线平行；(4) ，两直线平行．考点练习1、如图，C 、D 是线段AB 上两点，若CB ＝4cm ，DB =7cm ，且D 是AC 的中点，则AC 的长等于（ ）A ．3cmB ．6cmC ．11cmD ．14cm 2、（2007重庆）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）（A ）200 （B ）1200 （C ）200或1200 （D ）3603、已知∠α与∠β互余，且∠α=40°，且∠β的补角为______度．4、如图，已知a ∥b ，∠1=50°，则∠2=______度．5、如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交BC 于点F ．求证：BF=2CF ．第3题图D C B A。
线段、角、相交线与平行线 PPT
点拨
解答
解 ∵AM∶MB＝5∶11， ∴可设AM＝5x，∴MB＝11x，AB＝16x， ∵AN∶NB＝5∶7，∴AN＝152AB＝230x， ∵MN＝AN－AM，
∴1.5＝230x－5x，解得：x＝0.9， ∴AB＝16x＝16×0.9＝14.4. 答：AB长度为14.4.
【变式1】 (1)如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点， 若AB＝10cm，BC＝4cm，则AD的长为( B )
类型五 平行线的判定与性质的应用
【例5】 (2017·潍坊)如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足( B )
A.∠α＋∠β＝180° C.∠β＝3∠α
B.∠β－∠α＝90° D.∠α＋∠β＝90°
点拨
解
答案
【变式5】 (1)(2017·德州)如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P 作直线l的平行线的方法，其理由是__同__位__角__相__等__，__两__直__线__平__行___．
解
答案
解题要领 角平分线、直角、平角等是进行有关角的证明、计算与大小 比较的常用工具，因此熟悉角平分线的性质和角的概念是解决此类问题 的关键.
类型三 相交线
【例3】 如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD＝50°，则∠BOC＝ ___5_0____°.
点拨 根据对顶角的性质可得答案． 解 ∵∠BOC与∠AOD是对顶角， ∴∠BOC＝∠AOD＝50°.
A.60°
B.70°
解 ∵直线a∥b， ∴∠3＝∠1＝110°， ∴∠2＝180°－110°＝70°.
C.80°
D.110°
解
答案
(2)(2017·贵 港 ) 如 图 ， AB∥CD ， 点 E 在 AB 上 ， 点 F 在 CD 上 ， 如 果 ∠CFE∶∠EFB＝3∶4，∠ABF＝40°，那么∠BEF的度数为__6_0_°____．
第1讲 线段、角、相交线和平行线
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线段、角、相交线与平行线
平行线的作图
利用三角板和直尺
通过利用三角板的直角和直尺， 可以画出平行线。
利用平行线的性质
根据平行线的性质，可以通过已 知的一条直线和一点，画出与已
知直线平行的直线。
利用辅助线
在几何问题中，常常通过添加辅 助线来解决问题，其中包括作平 行线的问题。通过添加适当的辅 助线，可以构造出平行线，并解
决相关问题。
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02 角
角的定义与性质
定义
角是由两条射线共同端点形成的 平面图形。
性质
角的大小与射线的长度无关，只 与射线的夹角有关；角可以平分 ，角的内部和外部可以区分。
角的度量
度量单位
角度的度量单位是度（°），1度 等于360分之一圆周。度量工具来自可以使用量角器来测量角度的大小。
特殊角度
常见的特殊角度有0°、30°、45°、 60°和90°。
线段、角、相交线与平行线
目 录
• 线段 •角 • 相交线 • 平行线
01 线段
线段的定义与性质
线段是两点之间所有 点的集合，具有确定 的长度，并且只存在 于平面内。
线段是直线的一部分， 具有直线的所有性质， 如两点之间线段最短 等。
线段具有方向性，其 起点和终点是固定的， 但整个线段本身没有 方向。
性质
相交线具有角的补角性质、对顶角相 等性质、同位角相等性质等。
相交线的交角
交角的概念
两条相交线形成的角度称为交角，包括锐角、直角和钝角。
交角的性质
相交线的交角满足角度和为180度，即互补性质。此外，同 位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质也适用于相交 线的交角。
相交线的作图
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图1
第一节 线段、角、相交线与平行线
3. 线段的和与差 如图2，点B是线段AC上的一点，则有： AB＝AC___－_____BC； BC＝AC___－_____AB； AC＝AB__＋______BC.
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图2
第一节 线段、角、相交线与平行线
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考点 2 角及角平分线
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余角 概念：如果两个角的和为__9_0_°____，那么这两个角互为余角
余角和
性质：同角(等角)的余角__相__等____
补角
概念：如果两个角的和为__1_8_0_°____，那么这两个角互为补角 补角
性质：同角(等角)的补角_相__等_____
性质 角平分线上的点到角两边的距离_相__等_____ 角平分
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提分必练
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1. 经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨 线．能解释这一实际应用的数学知识是_两__点__确__定__一__条__直__线___． 2. 如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD＝1，则AB＝ ____4____．
第2题图
第一节 线段、角、相交线与平行线
第一节 线段、角、相交线与平行线
面对面“过”考点
【对接教材】人教：七上P125～P141，七下P1～P27， 八上P48～P52、P60～P61；
北师：七上P105～P121，七下P38～P54， 八上P162～P177，八下P22～P32；
华师：七上P138～P184，八上P54～P55、P92～P99.
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思维导图
两点确定一条直线
两个基 本事实
两点之间线段最短
线段的和与差 直线与
线段的中点 线段
两点的距离
度分秒的换算
余角 余角、
补角 补角 角及角
性质
平分线
线段、角、相 交线与平行线
性质 逆定理
角平分线
相交线
平行线 的性质 及判定
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对顶角 对顶角 和邻补角 邻补角
三线 八角
同位角 内错角 同旁内角
第5题图
第6题图
6. 如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA
的距离为__、角、相交线与平行线
7. (人教七上P8习题第2题)如图，直线AB、CD、EF相交于点O.
(1)∠AOD的对顶角是__∠__C_O__B___；
∠EOC的对顶角是___∠___D_O_F_____；
线 逆定理 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
第一节 线段、角、相交线与平行线
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度、分、秒转换
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度、分、秒是常用的角的度量单位.1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′
＝60″.
第一节 线段、角、相交线与平行线
提分必练 3. 下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( B )
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考点 3 相交线
1. 三线八角 如图3，两条直线被第三条直线所截， 则(1)同位角有：∠1与__∠__5____，∠2与∠6， ∠4与_∠___8____，∠3与__∠__7____． (2)内错角有：∠2与__∠__8____，∠3与∠5. (3)同旁内角有：∠3与∠8，∠2与__∠__5____． (4)对顶角有：∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8. 对顶角的性质：对顶角_相__等_____．
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4. 已知∠α＝34°56′，则∠α的余角为_5_5_°__4_′__，补角为_1_4_5_°__4_′_．
第一节 线段、角、相交线与平行线
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5. (人教七上P136习题第3题改编)如图，点O是直线AB上一点，OD是∠AOC的平 分线，∠COD＝35°，则∠BOD的度数为___1_4_5_°__．
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第一节 线段、角、相交线与平行线
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(4)线段的垂直平分线定理及其逆定理
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定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离__相__等____．如图4，若l⊥AB， OA＝OB，则AP＝BP； 逆定理：到一条线段两端点距离__相__等____的点在这条线段的垂直平分线上．
图4
第一节 线段、角、相交线与平行线
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提分必练
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8. 已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝4，则PB＝___4_____．
第一节 线段、角、相交线与平行线
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考点 4 平行线的性质及判定
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平行公理 经过直线外一点有且只有__一____条直线与已知直线平行
平行公理的 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也__平__行____
垂线的性质 线段垂 性质 直平分线 逆定理
命题
命题 真命题 假命题 互逆命题
第一节 线段、角、相交线与平行线
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考点 1 直线与线段
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1. 两个基本事实
(1)经过两点，有且只有一条直线；
(2)两点之间线段最短．
2. 线段的中点及性质
如图1，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中
推论
性质 (1)两直线平行性质
判定 平行线的性
质和判定 (2)两直线平行性质 性质 判定
同位角相等； 内错角相等；
第一节 线段、角、相交线与平行线
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返回思维导图 图3
第一节 线段、角、相交线与平行线
(5)邻补角有：∠1与∠4，∠2与∠3，∠5与∠8，∠6与∠7等． 邻补角的性质：邻补角之和等于__1_8_0____．
°
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第一节 线段、角、相交线与平行线
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2. 垂线及性质 (1)垂线段：过直线外一点，作已知直线的垂线，该点与垂足之间的线段． (2)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度． (3)垂线的基本性质： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段__最__短____．
(2)∠AOC的邻补角是_∠__A_O__D_或__∠__C_O__B_；
∠EOB的邻补角是__∠__A_O__E_或__∠__B_O__F_____；
(3)若∠AOC＝50°，则∠BOD＝_5_0_°_， ∠COB＝_1_3_0_°_．
第7题图
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第一节 线段、角、相交线与平行线