第十二章 非正弦周期电流电路
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谐波计算
§12 –3 3
有效值、 有效值、平均值和平均功率
前已指出，任一周期电流i 有效值I 前已指出，任一周期电流i的有效值I已经定义
1 T 2 I= i dt ∫0 T
•当然可以用非正弦周期函数直接进行上述定义的 当然可以用非正弦周期函数直接进行上述定义的 积分求有效值。 积分求有效值。这里主要是寻找有效值和各次谐 波有效值之间的关系。 波有效值之间的关系。
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的 频谱
§12 –1 §12 –2 §12 –3 §12 –4 非正弦周期信号 周期函数分解为傅利叶级数 有效值、 有效值、平均值和平均功率 非正弦周期电流电路的计算
§12 –2 周期函数分解为傅利叶级数 2
周期电流、电压、 周期电流、电压、信号等都可以用一个周期 函数表示， 函数表示，即：
§12 –1 1
非正弦周期信号
图（a）脉冲波形
图（b）方波电压
图
12－ 12－1
非正弦周期电流、 非正弦周期电流、电压波形
§12 –1 1
非正弦周期信号
图（c） 锯齿波 图 12－ 12－1
图（d）磁化电流
非正弦周期电流、 非正弦周期电流、电压波形
§12 –1 1
非正弦周期信号
图（e）半波整流波形 图 12－ 12－1 非正弦周期电流、 非正弦周期电流、电压波形
f (t ) = f (t + kT)
式中， 为周期函数 为周期函数f 的周期。 式中，T为周期函数f（t）的周期。 k＝0，1，2，… ＝
§12 –2 周期函数分解为傅利叶级数 2
如果给定的周期函数满足狄里赫利条件， 如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，它就能 展开成一个收敛的傅立叶级数， 展开成一个收敛的傅立叶级数，即
非正弦周期电流的电路xjh
03
工作原理
利用电容的阻抗随着频率的减小而减小，电感的阻抗随着频率的减小而
增加的特性，设计出对高频信号阻抗较小，对低频信号阻抗较大的电路。
带通滤波器设计
定义
带通滤波器允许某一频段的信号通过，抑制其他频段的信 号。
电路元件
由电阻、电容和电感组成，但电路结构更为复杂。
工作原理
通过调整元件的数值和连接方式，使得电路在某一频段内 呈现较小的阻抗，在其他频段呈现较大的阻抗，从而实现 信号的选择性传输。
03
开关电源：开关电源在工作过程中会产生非正弦周期电流 ，因为其工作原理涉及快速开关动作。
04
电路模型
05
非线性元件的等效电路：对于具有非线性电流-电压特性 的元件，可以使用等效电路模型来描述其行为。
06
平均模型：对于某些非正弦周期电流，可以使用平均模型 来简化分析，即将非正弦波形在一个周期内的平均值作为 等效值。
即电流的波形不是标准的正弦曲线，可能 是不规则的或具有其他特定形状。
周期性
产生原因
尽管波形不是正弦的，但非正弦周期电流 仍具有明确的周期性，即存在一个固定的 时间间隔，电流重复其波形。
非正弦周期电流的产生通常与非线性元件 或非线性电路行为有关。
产生原因与电路模型
01
产生原因
02
非线性元件：某些电子元件（如二极管、晶体管等）在特 定条件下会产生非线性电流-电压关系，导致非正弦周期 电流的产生。
平均值分析法
平均值分析法是一种基于非正弦周期电流波形平均值的电路分析方法。
在平均值分析法中，非正弦周期电流的波形被视为一系列矩形波的叠加，每个矩形 波的宽度为半个周期，高度为该矩形波所对应的电流值。
平均值分析法适用于分析非正弦周期电流电路中的电压、电流和功率等参数，特别 是对于具有对称性的波形，如方波、三角波等。
第十二章 非正弦周期电流电路
第十二章非正弦周期电流电路一重点和难点1 谐波分析法●根据线性网络的叠加原理，非正弦周期信号作用下的线性电路稳态响应，可以视为一个恒定分量和无穷多个正弦分量单独作用下，各稳态响应的叠加。
因此，非正弦周期信号作用下的线性电路稳态响应分析可以转化成直流电路和正弦交流电路的稳态分析。
●应用电阻电路计算方法计算出恒定分量作用于线性电路时的稳态响应分量。
注：C－断路L－短路。
●应用相量法计算出不同频率正弦分量作用于线性电路时的稳态响应分量。
各次谐波单独作用，利用相量法1 Lk CkX Xk Ck Lωω==。
●对各分量在时间域进行叠加。
即可得到线性电路在非正弦周期信号作用下的稳态响应。
2 非正弦周期电流、电压有效值的计算注意：在正弦电路中，正弦量的最大值与有效值之间存在2倍的关系，。
而对于非正弦周期信号，其最大值与有效值之间并无此种简单关系。
3 不同频率的电压与电流只构成瞬时功率，不能构成平均功率，只有同频率的电压与电流才能构成平均功率；电路的平均功率等于直流分量和各次谐波分量各自产生的平均功率之和，即平均功率守恒。
二典型例题分析【例题12-1】：非正弦周期电流、电压有效值的计算。
求图12.1（a）所示电路中，各表的读数(有效值)及电路吸收的功率。
已知：图12.1（a）解：(1)当直流分量u0=30V作用于电路时，L1、L2短路，C1、C2开路，等效电路如图（b）所示。
（b）所以：(2)基波作用于电路，u1=120cos1000t V；L1、C1对基波发生并联谐振。
所以，基波电压加于L1、C1并联电路两端，故：；；。
(3) 二次谐波u2=60cos(2000t+π/4)V作用于电路，有L2、C2对二次谐波发生并联谐振。
所以，电压加于L2、C2并联电路两端，故：；。
所以电流表A1=1A；A2=；A3 =电压表V1 =；V2 =【例题12-2】：在图12.2(a)所示的电路中，已知电源u(t)是周期函数，其波形如图12.2（b）所示，L=1/2πH，C=125/πμF。
非正弦周期电流电路及电路频率特性
电压分配
电感与电容两端的电压相等且相位相反，总电压 等于电阻两端的电压。
阻抗最小
在谐振频率下，电路的阻抗达到最小值，使得电 流达到最大值。
品质因数
串联谐振电路的品质因数Q较高，表示电路的选 择性较好。
并联谐振条件及特点
并联谐振条件
阻抗最大
电流分配
品质因数
在RLC并联电路中，当电源频 率等于电路的固有频率时，电 路发生并联谐振。此时，电路 中的阻抗最大，电流最小，且 电感与电容支路的电流相等且 相位相反。
电路频率特性的研究
探讨非正弦周期电流电路在不同频率下的响应特性，包括幅频特性、 相频特性和阻抗特性等，并分析这些特性对电路性能的影响。
实际应用案例
结合具体实例，展示非正弦周期电流电路及其频率特性在实际应用中 的价值，如电力电子设备、通信系统和控制系统等。
02
非正弦周期电流电路基本概 念
非正弦周期信号定义
非正弦周期信号
与正弦信号不同，非正弦周期信号的 波形在一个周期内不能简单地用正弦 函数描述。这种信号可以分解为一系 列不同频率的正弦波分量。
周期与非周期信号
周期信号是指在一个固定时间间隔内 重复出现的信号，而非周期信号则不 具有这种重复性。非正弦周期信号属 于周期信号的一种。
傅里叶级数展开与频谱分析
通频带
对于具有一定带宽的信号而言，能够通过谐振电路并被放大的频率范围称为通频带。通频带的宽度与 电路的品质因数Q有关，Q值越高则通频带越窄，反之则越宽。在实际应用中，需要根据信号的特点 和电路的要求来选择合适的通频带宽度。
06
非正弦周期电流电路实验验 证与仿真分析
实验目的和步骤
01
实验目的：通过搭建非正弦周期电流电路，验证其工作原 理和特性，并利用仿真软件进行分析，深入理解电路的频 率响应。
电感与电容两端的电压相等且相位相反，总电压 等于电阻两端的电压。
阻抗最小
在谐振频率下，电路的阻抗达到最小值，使得电 流达到最大值。
品质因数
串联谐振电路的品质因数Q较高，表示电路的选 择性较好。
并联谐振条件及特点
并联谐振条件
阻抗最大
电流分配
品质因数
在RLC并联电路中，当电源频 率等于电路的固有频率时，电 路发生并联谐振。此时，电路 中的阻抗最大，电流最小，且 电感与电容支路的电流相等且 相位相反。
电路频率特性的研究
探讨非正弦周期电流电路在不同频率下的响应特性，包括幅频特性、 相频特性和阻抗特性等，并分析这些特性对电路性能的影响。
实际应用案例
结合具体实例，展示非正弦周期电流电路及其频率特性在实际应用中 的价值，如电力电子设备、通信系统和控制系统等。
02
非正弦周期电流电路基本概 念
非正弦周期信号定义
非正弦周期信号
与正弦信号不同，非正弦周期信号的 波形在一个周期内不能简单地用正弦 函数描述。这种信号可以分解为一系 列不同频率的正弦波分量。
周期与非周期信号
周期信号是指在一个固定时间间隔内 重复出现的信号，而非周期信号则不 具有这种重复性。非正弦周期信号属 于周期信号的一种。
傅里叶级数展开与频谱分析
通频带
对于具有一定带宽的信号而言，能够通过谐振电路并被放大的频率范围称为通频带。通频带的宽度与 电路的品质因数Q有关，Q值越高则通频带越窄，反之则越宽。在实际应用中，需要根据信号的特点 和电路的要求来选择合适的通频带宽度。
06
非正弦周期电流电路实验验 证与仿真分析
实验目的和步骤
01
实验目的：通过搭建非正弦周期电流电路，验证其工作原 理和特性，并利用仿真软件进行分析，深入理解电路的频 率响应。
非正弦周期电流的电路.pptx
k p
第39页/共46页
一、非正弦周期函数的平均值
若 u(wt) = U0 + U km sin(kwt + k ) k =1
正弦量的平均值为0
则其平均值为： (直流分量)
U AV
=
1
2
2
0 u(wt)dwt = U0
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二、非正弦周期函数的有效值
若 u(wt) = U0 + U km sin(kwt + k ) k =1
is3
=
100 sin 3
3106 t
μA
Z (3w1) = 374 .5 89.19
U 3 = IS 3 Z (3w1)
= 33.3 10 6 374 .5 89.19 2
= 12.47 89.2 mV 2
第25页/共46页
4. 五次谐波 作用
20Ω
R
is3
C L u3
is5
直流分量+基波+三次谐波
第10页/共46页
三次谐波
频谱图
时域
U
Um
T
t
4U m
=U0
U0
3
w 3w
频域
U0
5w
5w
U = 4Um (sinwt + 1 sin 3wt + 1 sin 5wt +)
3
5
时域 周期性函数
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频域 离散谱线
§5.3 非正弦周期交流电路的分析 和计算 要点
f (wt) = A0 + Bkm sin kwt + Ckm cos kwt
k =1
k =1
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一、非正弦周期函数的平均值
若 u(wt) = U0 + U km sin(kwt + k ) k =1
正弦量的平均值为0
则其平均值为： (直流分量)
U AV
=
1
2
2
0 u(wt)dwt = U0
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二、非正弦周期函数的有效值
若 u(wt) = U0 + U km sin(kwt + k ) k =1
is3
=
100 sin 3
3106 t
μA
Z (3w1) = 374 .5 89.19
U 3 = IS 3 Z (3w1)
= 33.3 10 6 374 .5 89.19 2
= 12.47 89.2 mV 2
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4. 五次谐波 作用
20Ω
R
is3
C L u3
is5
直流分量+基波+三次谐波
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三次谐波
频谱图
时域
U
Um
T
t
4U m
=U0
U0
3
w 3w
频域
U0
5w
5w
U = 4Um (sinwt + 1 sin 3wt + 1 sin 5wt +)
3
5
时域 周期性函数
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频域 离散谱线
§5.3 非正弦周期交流电路的分析 和计算 要点
f (wt) = A0 + Bkm sin kwt + Ckm cos kwt
k =1
k =1
电工技术-第十二章 非正弦交流电
❖ 2. 负载方面
❖ 电路中含有非线性元件，则元件在外加电压的作用下， 电路中的电流不与电压成正比变化。
例如半波整流电路，虽然电源电动势是正弦波，但电 路中的电流及负载上所输出的电压却是非正弦的。
（a）半波整流电路
（b）电路的电流波形
图12-1-2 半波整流的电路与波形
二、非正弦周期量的傅里叶级数表达式
❖ 二次以上谐波统称为高次谐波，频率均为 基波频率的整数倍。
❖ 实验和理论分析都证明：
❖非正弦交流电可以被分解成一 系列频率成整数倍的正弦成分。
❖也就是说，我们在实际工作中 所遇到的各种波形的周期信号， 都可以由许多不同频率的正弦 波组成。
❖ 两个不同频率的正弦电压相加的情况。
设 u1 Um sint
X Ln nL
X Cn
1
nC
电阻是一个恒定值。
❖ （3）分别计算各谐波分量单独作用时电路 中的电流或电压。
❖ （4）利用叠加原理，把所求得的同一支路 的各电流分量（或电压分量）进行叠加， 即可得各支路电流（或电压）。
本章小结
❖ 一、非正弦量的（傅里叶级数）分解 ❖ 1. 周期性的非正弦电压或电流均能被分解为一系列
❖ 凡是奇次对称的信号都只有基波、三次、五次等奇次谐波，而不存在直 流成分以及二次、四次等偶次谐波。
（a）
（b）
（c）
图12-1-4 奇次对称性波形
2. 偶次对称性
❖ 偶次对称谐波的特点是： ❖ 波形的后半周期重复前半周期的变化，且符号相同（即前半
周与后半周都是正的），波形所具有的这种性质被称为偶次 对称性。
《电工技术》
第十二章 非正弦交流电
12-1 非正弦量的 （傅里叶级数）分解与计算
第十二章 非正弦周期电流电路
由傅立叶级数演变出一种从时间域到频率域的变换——傅立叶 变换，是信号分析与处理的极其重要的数学工具。通过傅立叶变 换，可以将随时间变化的函数（信号）变换为幅值随频率变化的 信号，可以方便地分析不同频率下信号的特点和贡献幅值大小。
前边已经讲到过一种变换——相量，是将正弦函数变换到复 频域的相量的一种数学变换。再后边还要讲到拉普拉斯变换， 也是一种数学上的变换，是专门解决动态电路问题的，拉普拉 斯变换可以将一个高阶微分方程变换为一个代数方程，可以避 免求解微分方程的困难。
4Em
3
频率为5ω1的5次谐波成分幅值为：
4Em
5
2019/5/30
15
§12-3有效值、平均值和平均功率
一、有效值
定义：非正弦周期电流 i(t)的有效值定义为： I 1 T i2 t dt
T0 如果将i(t)的傅立叶级数展开为如下表达式：
f t I0 I1m cost 1 I2m cos2t 2
代替原函数，但工程上只要达到要求的精度，取前若干项也就
2019/5/30
7
可以了。
2、傅氏级数另一种表达式：
将 an cos nt bn sin nt 合并（进行和差化积）可得：
f t fT t A0 A1m cost 1 A2m cos2t 2
bk
4kEm。所以可得：
f
t
4Em
sin 1t
1 3
s
in
31t
1 5
sin51t
若只取前3项，合成的波形如下图(a) ：
2019/5/30
13
若取到前5项， 即取到9次谐波， 合 Nhomakorabea的波形如 下图(b)：
非正弦周期性电流电路
增加能耗
非正弦周期性电流可能导致额外的 能耗，增加能源消耗和运营成本。
非正弦周期性电流的消除方法
电路中加入滤波器可以 滤除非正弦周期性电流成 分。
优化电源设计
优化电源设计，提高电源 的输出质量，减少非正弦 周期性电流的产生。
采用线性负载
采用线性负载可以减少谐 波干扰和非正弦周期性电 流的影响。
非正弦周期性电流电 路
目录
• 非正弦周期性电流电路概述 • 非正弦周期性电流的产生与影响 • 非正弦周期性电流电路的分析方法
目录
• 非正弦周期性电流电路的实验研究 • 非正弦周期性电流电路的工程应用 • 非正弦周期性电流电路的发展趋势与展望
01
非正弦周期性电流电路概 述
定义与特点
特点
定义：非正弦周期性电流电 路是指电路中的电流呈非正
在控制系统中的应用
执行器控制
非正弦周期性电流电路可以用于执行器的控制，以实现系统的稳 定性和动态性能。
传感器信号处理
非正弦周期性电流电路可以用于传感器信号的处理，以提取有用 的信息并进行反馈控制。
伺服系统
非正弦周期性电流电路可以用于伺服系统的设计，以实现精确的 位置和速度控制。
06
非正弦周期性电流电路的 发展趋势与展望
如雷电、电磁场等外部因素可能对电 路产生干扰，导致非正弦周期性电流 的产生。
电路中元件的非线性
电路中的元件，如电阻、电容、电感 等，可能具有非线性特性，导致非正 弦周期性电流的产生。
非正弦周期性电流对电路的影响
电压波动
非正弦周期性电流可能导致电压 波动，影响用电设备的正常运行。
谐波干扰
非正弦周期性电流可能产生谐波干 扰，影响通信和信号处理设备的性 能。
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IS 0
is1
is3
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§12-3 有效值、平均值和平均功率
一. 有效值
根据周期量有效值的定义, 为其方均根值:
I
1 T
0
T
[it ] dt U
2
1 T
0
T
[u t ]2 dt
it I 0 I km cos(k1t k )
k 1
P U 0 I 0 U k I k cos k
k 1
（三角函数的正交性）
U 0 I 0 U 1 I1 cos1 U 2 I 2 cos 2 U k I k cos k
Um Im 式中 : U k , Ik , k uk ik , k 1,2, 华东理工大学 2 2
0
ui
t
+ uo
③非正弦激励下的线性电路
0
－
+
0
t
ui
t
uo
0
t
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§12-2 周期函数分解为傅里叶级数 (谐波分析) 一. 数学分析
设非正弦周期电流i(t)=i(t+T) ,当满足狄里赫利条件 ( ① i(t)在一周期内连续or有有限多个第一类间断点; ② i(t)在一周期内有有限多个极大值与极小值 )时, 可展成收敛的傅里叶级数：
I av
1 T i dt 0 T
例：正弦电流的平均值 为 1 T 2 I av 0 I m cost dt I M 0.898 I M 0.637 I T 恒定分量（直流分量） 磁电系仪表：
电磁系仪表： 全波整流仪表：
有效值 平均值 华东理工大学 上 页 下
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三. 平均功率（有功功率）
L 1 C 1 I I
Z L 1
1 200 / 20 U R 1 I 2.21 38.7 A Z 1 50 j 40
j 20 2.21 38.7 2.21141.3 A 1 j 20 j 40 j L j C 1 j j 40 C I L 1 I R 1 2.21 38.7 4.42 38.7 A 1 j 20 j 40 jL j C U L 1 I L 1 Z L 1 4.42 38.7 j 20 88华东理工大学 .451.3 V C 1 I R 1 I
iR t I R 0 iR 1 t iR 2 t 4 2.21 2 sint 38.7 1.11 2 sin2t 38.7 A iC t I C 0 iC 1 t iC 2 t 2.21 2 sin t 141.3 2.22 2 0 V ZC 2 2 －
L 2 C 2 I I
Z L2
2 100 / 20 U R 2 I 1.1138.7 A Z2 50 j 40 j 2L j 40 IC 2 I R2 1.1138.7 2.2238.7 A 1 j 40 j 20 j 2L j 2C
R 1 I
R
U0
－
+ 200 U 1 0 V 2 Z C 1 －
L 1 C 1 I I
Z L 1
IR(0) =U0 / R=200 / 50=4A IC(0) =0
IL(0)= IR(0) =4A UL(0) = 0
1 Z C 1 j j 40 C Z L 1 jL j 20
例1.
已知: u=200+200sinωt + 100sin2ωt
iR
+
R
R=50Ω, ωL=20 Ω, 1/ ωC =40 Ω
iC
C L
iL
V
u
求： iR , iC , iL ,电流表、电压表 读数及电路中消耗的平均功率。 ⑵ 对基波分量：
A － 解： ⑴ 对直流分量： IR(0) R + IC(0) IL(0)
n 1
f (t ) a0 (an cosnt bn sin nt )
其中: A0
cos(nt n ) T / 2 2 n 1 bn f (t ) sin ntdt T /2 T T / 2 1 a0 f (t )dt 2 2 A mn a n b n T T / 2 T /2 bn 2 arctan an f ( t ) cos n tdt n 华东理工大学 an T T/ 2
2 k 1 2 k 2 0 2 1 2 2 2 k
结论: 非正弦周期电流（电压）的有效值，等于它的直流分量
的平方与各次谐波的有效值的平方和的平方根。 例1. u 0
设正弦交流电压的最大值U m 2 220 V , 求经过半波整流后电压的有效值。
解： 取傅里叶级数展开式的前三项：
1 1 ω t u U m ( 2 4 cos 1t 3 cos 21t ) Um Um 2Um cos 1t cos 21t 2 3 2
画各分电路图注意点: ①直流分量激励下，C开路，L短路； XLk=kωL ②各次谐波分量激励下，电抗值不同
XCk=1/kωC
3. 将直流分量和各次谐波分量的瞬时响应叠加求和。
I0 1 I 2 注意： it I 0 i1 t i2 t I I 华东理工大学
iS
Im
T/2 T
Im iS (t ) 0
T 0 t 2 T t T 2
t
is 的展开式为：
Im 2Im 1 1 iS (sin t sin 3t sin 5t ) 2 3 5
华东理工大学 上 页 下
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周期性方波波形分解
直流分量
t
三次谐波 五次谐波
P U 0 I 0 U 1 I1 cos1 U 2 I 2 cos 2 U k I k cos k
结论: 非正弦周期电流电路中的平均功率为直流分量构成
的功率与各次谐波构成的平均功率之和。
Notes: 1. 谐波次数不同的电压电流在电路中不构成平均功率； eg. 若u=u1+u2, i=I0+i1+i3 则P U I cos
基波
t
t
七次谐波
华东理工大学 上 页 下
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直流分量+基波
直流分量
基波 直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
华东理工大学 上 页 下
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等效电源
iS
Im
t T/2
T
IS0
is1 is 3 is 5
is5
I m 2I m 1 1 iS (sin t sin 3t sin 5 t ) 2 3 5
华东理工大学 上 页 下
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Z 1 R Z C 1 // Z L 1
j 40 j 20 50 j 40 j 20 50 j 40
R 1 I
R
+ 200 U 1 0 V 2 Z C 1 －
I
1 T 2 [ I 0 I km cos(k1t k )] dt 0 k 1 T
2 2 k 2 0 2 1 2 2 2 k
I I0 I I I I I
k 1
华东理工大学
同理有：U U 0 U U U U U
j L
⑶ 对二次谐波：
R 2 I
R
ZC 2
1 j j 20 2C
j 20 j 40 Z R Z // Z 50 50 j 40 j 20 j 40
2 C 2 L 2
Z L 2 j 2L j 40
iL t I L 0 iL 1 t iL 2 t 4 4.42 2 sint 38.7 1.11 2 sin2t 141.3 A
L 2 I R 2 I j 20 1.1138.7 1.11 141.3 A 1 j 40 j 20 j 2L j 华东理工大学 上 页 下 页 2C
1 j 2C
L2 I L 2 Z L 2 1.11 141.3 j 40 44.4 51.3 V U
2 0 2 1 2 2 2 k 2 0 2 1 2 2 2 k
S U 0 I 0 U 1 I1 U 2 I 2 U k I k 华东理工大学 上 页 下 页
§12-4 非正弦周期电流电路的计算
理论依据: 傅里叶级数 + 叠加定理
计算步骤:
1. 求所给定的非正弦激励源的傅里叶级数(查表),根据准确度 要求取若干项。 2. 分别求出激励的直流分量和各次谐波分量单独作用时的响应。
§12-1 非正弦周期信号
一. 非正弦信号
1. 定义: 电路中的电压电流变量随时间不是按正弦规律 变化时统称为非正弦信号。
2. 种类: 非周期性 (“信号与系统”中研究)
周期性[ i(t)=i(t+T) / u(t)=u(t+T)]
例: 电子技术中常用的非正弦周期信号--微分脉冲电流、方波电压、锯齿波电压、 半波整流电压等。
2 2 2
UM 1 UM 1 2UM 2 2 2 则有：U U 0 U1 U 2 155.2 V 23 2 2 华东理工大学
二. 平均值
is1
is3
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§12-3 有效值、平均值和平均功率
一. 有效值
根据周期量有效值的定义, 为其方均根值:
I
1 T
0
T
[it ] dt U
2
1 T
0
T
[u t ]2 dt
it I 0 I km cos(k1t k )
k 1
P U 0 I 0 U k I k cos k
k 1
（三角函数的正交性）
U 0 I 0 U 1 I1 cos1 U 2 I 2 cos 2 U k I k cos k
Um Im 式中 : U k , Ik , k uk ik , k 1,2, 华东理工大学 2 2
0
ui
t
+ uo
③非正弦激励下的线性电路
0
－
+
0
t
ui
t
uo
0
t
页
－ 华东理工大学 上 页 下
§12-2 周期函数分解为傅里叶级数 (谐波分析) 一. 数学分析
设非正弦周期电流i(t)=i(t+T) ,当满足狄里赫利条件 ( ① i(t)在一周期内连续or有有限多个第一类间断点; ② i(t)在一周期内有有限多个极大值与极小值 )时, 可展成收敛的傅里叶级数：
I av
1 T i dt 0 T
例：正弦电流的平均值 为 1 T 2 I av 0 I m cost dt I M 0.898 I M 0.637 I T 恒定分量（直流分量） 磁电系仪表：
电磁系仪表： 全波整流仪表：
有效值 平均值 华东理工大学 上 页 下
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三. 平均功率（有功功率）
L 1 C 1 I I
Z L 1
1 200 / 20 U R 1 I 2.21 38.7 A Z 1 50 j 40
j 20 2.21 38.7 2.21141.3 A 1 j 20 j 40 j L j C 1 j j 40 C I L 1 I R 1 2.21 38.7 4.42 38.7 A 1 j 20 j 40 jL j C U L 1 I L 1 Z L 1 4.42 38.7 j 20 88华东理工大学 .451.3 V C 1 I R 1 I
iR t I R 0 iR 1 t iR 2 t 4 2.21 2 sint 38.7 1.11 2 sin2t 38.7 A iC t I C 0 iC 1 t iC 2 t 2.21 2 sin t 141.3 2.22 2 0 V ZC 2 2 －
L 2 C 2 I I
Z L2
2 100 / 20 U R 2 I 1.1138.7 A Z2 50 j 40 j 2L j 40 IC 2 I R2 1.1138.7 2.2238.7 A 1 j 40 j 20 j 2L j 2C
R 1 I
R
U0
－
+ 200 U 1 0 V 2 Z C 1 －
L 1 C 1 I I
Z L 1
IR(0) =U0 / R=200 / 50=4A IC(0) =0
IL(0)= IR(0) =4A UL(0) = 0
1 Z C 1 j j 40 C Z L 1 jL j 20
例1.
已知: u=200+200sinωt + 100sin2ωt
iR
+
R
R=50Ω, ωL=20 Ω, 1/ ωC =40 Ω
iC
C L
iL
V
u
求： iR , iC , iL ,电流表、电压表 读数及电路中消耗的平均功率。 ⑵ 对基波分量：
A － 解： ⑴ 对直流分量： IR(0) R + IC(0) IL(0)
n 1
f (t ) a0 (an cosnt bn sin nt )
其中: A0
cos(nt n ) T / 2 2 n 1 bn f (t ) sin ntdt T /2 T T / 2 1 a0 f (t )dt 2 2 A mn a n b n T T / 2 T /2 bn 2 arctan an f ( t ) cos n tdt n 华东理工大学 an T T/ 2
2 k 1 2 k 2 0 2 1 2 2 2 k
结论: 非正弦周期电流（电压）的有效值，等于它的直流分量
的平方与各次谐波的有效值的平方和的平方根。 例1. u 0
设正弦交流电压的最大值U m 2 220 V , 求经过半波整流后电压的有效值。
解： 取傅里叶级数展开式的前三项：
1 1 ω t u U m ( 2 4 cos 1t 3 cos 21t ) Um Um 2Um cos 1t cos 21t 2 3 2
画各分电路图注意点: ①直流分量激励下，C开路，L短路； XLk=kωL ②各次谐波分量激励下，电抗值不同
XCk=1/kωC
3. 将直流分量和各次谐波分量的瞬时响应叠加求和。
I0 1 I 2 注意： it I 0 i1 t i2 t I I 华东理工大学
iS
Im
T/2 T
Im iS (t ) 0
T 0 t 2 T t T 2
t
is 的展开式为：
Im 2Im 1 1 iS (sin t sin 3t sin 5t ) 2 3 5
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周期性方波波形分解
直流分量
t
三次谐波 五次谐波
P U 0 I 0 U 1 I1 cos1 U 2 I 2 cos 2 U k I k cos k
结论: 非正弦周期电流电路中的平均功率为直流分量构成
的功率与各次谐波构成的平均功率之和。
Notes: 1. 谐波次数不同的电压电流在电路中不构成平均功率； eg. 若u=u1+u2, i=I0+i1+i3 则P U I cos
基波
t
t
七次谐波
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直流分量+基波
直流分量
基波 直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
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等效电源
iS
Im
t T/2
T
IS0
is1 is 3 is 5
is5
I m 2I m 1 1 iS (sin t sin 3t sin 5 t ) 2 3 5
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Z 1 R Z C 1 // Z L 1
j 40 j 20 50 j 40 j 20 50 j 40
R 1 I
R
+ 200 U 1 0 V 2 Z C 1 －
I
1 T 2 [ I 0 I km cos(k1t k )] dt 0 k 1 T
2 2 k 2 0 2 1 2 2 2 k
I I0 I I I I I
k 1
华东理工大学
同理有：U U 0 U U U U U
j L
⑶ 对二次谐波：
R 2 I
R
ZC 2
1 j j 20 2C
j 20 j 40 Z R Z // Z 50 50 j 40 j 20 j 40
2 C 2 L 2
Z L 2 j 2L j 40
iL t I L 0 iL 1 t iL 2 t 4 4.42 2 sint 38.7 1.11 2 sin2t 141.3 A
L 2 I R 2 I j 20 1.1138.7 1.11 141.3 A 1 j 40 j 20 j 2L j 华东理工大学 上 页 下 页 2C
1 j 2C
L2 I L 2 Z L 2 1.11 141.3 j 40 44.4 51.3 V U
2 0 2 1 2 2 2 k 2 0 2 1 2 2 2 k
S U 0 I 0 U 1 I1 U 2 I 2 U k I k 华东理工大学 上 页 下 页
§12-4 非正弦周期电流电路的计算
理论依据: 傅里叶级数 + 叠加定理
计算步骤:
1. 求所给定的非正弦激励源的傅里叶级数(查表),根据准确度 要求取若干项。 2. 分别求出激励的直流分量和各次谐波分量单独作用时的响应。
§12-1 非正弦周期信号
一. 非正弦信号
1. 定义: 电路中的电压电流变量随时间不是按正弦规律 变化时统称为非正弦信号。
2. 种类: 非周期性 (“信号与系统”中研究)
周期性[ i(t)=i(t+T) / u(t)=u(t+T)]
例: 电子技术中常用的非正弦周期信号--微分脉冲电流、方波电压、锯齿波电压、 半波整流电压等。
2 2 2
UM 1 UM 1 2UM 2 2 2 则有：U U 0 U1 U 2 155.2 V 23 2 2 华东理工大学
二. 平均值