初中数学凹凸函数性质公式解析汇总
凹凸函数的性质
凹凸函数的性质李联忠1文丽琼21 营山中学 四川营山 637700 2营山骆市中学 四川营山 638150摘要：若函数f(x)为凹函数，则nf f f nf x x x x xx n n )()()()(2121+++≤+++若函数f(x)为凸函数，则nf f f nf x x x x x x n n )()()()(2121+++≥+++从而使一些重要不等式的证明更简明。
中图分类号： 文献标识号： 文章编号：高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。
学有余力的学生，会去证多个数的情形。
仿照书上去证，几乎不可能。
下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。
凹函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)叫做凹函数。
如图（一）凸函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。
如图（二）性质定理 若函数f(x)是凹函数，则nf f f nf x x x x x x n n )()()()(2121+++≤+++若函数f(x)是凸函数，则 nf f f nf x x x x x x n n)()()()(2121+++≥+++证明：若函数f(x)是凹函数，如下图点P （)(,2121nf nx x x x x x n n ++++++ ）在f(x)上设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则b na nf x xx x x x n n++++⋅=+++ 2121)( （1）∵f(x) 是凹函数，切线在函数图像下方∴b a f x x +≥11)(;b a f x x +≥22)(;…;b a f x x n n +≥)( ∴b na nf f f x xx x x x n n ++++⋅≥+++ 2121)()()( (2)由（1），（2）得nf f f nf x x x x x x n n )()()()(2121+++≤+++若函数f(x)为凸函数，如下图点P （)(,2121nf nx x x x x x n n ++++++ ）在f(x)上设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则b na nf x xx x x x n n++++⋅=+++ 2121)( （1）∵f(x) 是凸函数，切线在函数图像上方∴b a f x x +≤11)(;b a f x x +≤22)(;…;b a f x x n n +≤)(∴b na nf f f x xx x x x n n ++++⋅≤+++ 2121)()()( (2)由（1），（2）得nf f f nf x x x x x x n n)()()()(2121+++≥+++定理证明过程要结合图像形象理解，也便于掌握。
凸函数 凹函数
凸函数凹函数凸函数与凹函数是微积分中常见的概念，一般用于描述函数的形态。
它们的定义都是在定义域上，凸函数是函数在定义域内的任意两点之间的连线所形成的线段上的所有函数值不超过该线段端点的函数值，凹函数则是函数在定义域内的任意两点之间的连线所形成的线段上的所有函数值都不少于该线段端点的函数值。
简单来说，凸函数就是“弯弯的”向上的函数，凹函数则是“弯弯的”向下的函数。
下面我们将详细介绍凸函数和凹函数的定义以及一些例子和应用。
一、凸函数1.1 定义：若函数 f(x) 的定义域 D 是一个凸集合，并且对于 D 中的任意两点 x1, x2 以及任意实数λ ∈ [0,1]，都有：f(λx1 + (1-λ)x2) ≤ λf(x1) + (1-λ)f(x2)则函数 f(x) 称为凸函数。
其中，λx1 + (1-λ)x2 是点 x1 和 x2 之间的中点，λ表示分配参数，(1-λ)表示剩余参数。
1.2 示例：函数 f(x) = x2 + 2x + 1 在 (-∞,+∞) 上是一个凸函数。
这个二次函数开口向上，图形很像一个碗，我们可以根据凸函数定义来验证它是否是凸函数。
首先，函数的定义域为 (-∞,+∞)，包含了所有的实数，是一个凸集合；其次，在该定义域内，任取两点 x1和x2，且λ∈[0，1]，我们可以在两点间连接一条线段，然后将这条线段分割为λx1和(1-λ)x2两部分，其中λx1表示x1所占的比重，(1-λ)x2表示x2所占的比重。
因为 f(x) 是一个二次函数，所以它是圆形的，当λ=0.5 时，分割点正好在圆心上，所以分割点的函数值就等于函数的最小值，即：f(λx1 + (1-λ)x2) = f((x1+x2)/2) = (x1+x2)2/4 + 2(x1+x2)/2 + 1 = (x1+x2)2/4 + x1 + x2 + 1/2。
此时，我们将 f(x1) 和 f(x2) 带入定义式中计算：λf(x1) + (1-λ)f(x2) = λ(x1)2 + 2λx1 + λ + (1-λ)(x2)2 + 2(1-λ)x2 + 1-λ= λx1^2 + (1-λ)x2^2 + 2λx1 + 2(1-λ)x2 + λ + 1-λ= λx12 + (1-λ)x22 + 2λx1 + 2(1-λ)x2 + 1我们可以发现，当将上式中“+λ+1-λ”化简后，它们和上面的 f(x1) + f(x2) 等价，且还多了一些其他的正数。
函数凹凸性的性质判定及应用
函数凹凸性的判定性质及应用曹阳数学计算机科学学院摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。
本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及判定定理。
在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。
一元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。
本文主要讨论了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍了它们应用。
关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用；Convex function of Judge Properties and Applications Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance. In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem. On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application. One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function tore-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties. This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application.Keywords: Convexity; One Function; Binary function; Multiple functions; Criterion; Applications;1.引言凸函数是数学中一类极其重要的函数，它在最优化，运筹与控制理论，模具设计等方面具有重要的理论和实践意义。
《函数曲线的凹凸性》课件
CONTENTS 目录
• 引言 • 函数曲线的凹凸性判定 • 函数曲线的凹凸性性质 • 函数曲线的凹凸性与导数的关系 • 函数曲线的凹凸性与几何意义 • 总结与展望
CHAPTER 01
引言
凹凸性的定义
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) geq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
函数曲线的凹凸性可能会随着自变量x 的变化而发生变化。
凸函数曲线
表示函数图像呈上凸的几何形状，即 任意两点之间的连线位于曲线上方。
几何形状的凹凸性实例
下凹函数曲线
$f(x) = x^2$，$f(x) = sin x$
上凸函数曲线
$f(x) = log x$，$f(x) = e^x$
几何形状的凹凸性与生活中的应用
02
二次函数是典型的凹函数和凸函数，其图像为抛物 线。
03
指数函数和幂函数在其定义域内是凹函数，对数函 数在其定义域内是凸函数。
CHAPTER 04
函数曲线的凹凸性与导数的关系
导数与凹凸性的关系
01
导数大于0的区间内，函数曲线为 凹；
02
导数小于0的区间内，函数曲线为 凸。
导数在判断凹凸性中的应用
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) leq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
函数凹凸的定义
02 函数凹凸的几何意义
凹函数的几何意义
凹函数图像呈下凹状，即对于函数图 像上的任意两点A和B，如果A、B两 点连线的中点始终位于A、B连线的下 方，则该函数为凹函数。
在几何意义上，凹函数具有一个明显 的特征，即函数图像上任意两点的连 线的斜率始终小于或等于该点处的函 数导数。
凸函数的几何意义
通过分析函数的凹凸性，我们可以确定函数的拐点，从而更好地理解函数 的性质，为求解最优化问题提供指导。
在求解无约束最优化问题时，可以利用函数凹凸性选择合适的算法，如梯 度下降法、牛顿法等，以提高求解效率。
在经济学中的应用
函数凹凸性在经济学中也有 广泛应用，它可以帮助我们 理解经济现象和预测经济行
为。
函数凹凸的定义
目录
• 函数凹凸的基本概念 • 函数凹凸的几何意义 • 函数凹凸的判定方法 • 函数凹凸的应用 • 函数凹凸的反例 • 函数凹凸的扩展知识
01 函数凹凸的基本概念
凹函数
01
凹函数是指函数图形在任意两点 之间总是位于这两点连线的下方， 即对于定义域内的任意x1和x2， 都有 f((x1+x2)/2)≥f(x1)+f(x2)/2。
03
在计算机科学中，函数凹凸性可以帮助我们设计更有效的算法和数据 结构，如动态规划、图算法等。
04
在生物学中，函数凹凸性可以帮助我们理解生物系统的复杂性和行为， 如生态学、生物化学反应等。
05 函数凹凸的反例
凹函数的反例
总结词
凹函数的反例是指函数图像呈现下凹形状的反例。
详细描述
凹函数的反例通常是指那些在一定区间内，函数值随着自变量的增加而减少的函数。例如，二次函数 $f(x) = x^2$在区间$(-infty, 0)$内是一个凹函数的反例，因为在这个区间内，函数值随着$x$的增加 而减少。
3-4凸凹性
3.函数作图
一、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 .
y
C M
y f (x)
y kxb
例如, 双曲线
L
PN
o
x y 0 a b
y
x
o
有渐近线
x
1. 水平与铅直渐近线 若
推论：如果f ( x)在[a, b]上连续， , b)内二阶可导， (a 且f ( x)在[a，b]上是下凸（上凸）的, 则f ( x) 0(或f ( x) 0)。
推论：f ( x)在[a, b]上下凸（上凸），a, b 内可导 则任意点处的切线在曲线的下方（上方）。
定义2. 若函数f ( x)在区间I 上连续，x0为I的的内点。 曲线在点(x0 , f ( x0 )左右凸凹性相反， 则称点( x0 , f ( x0 ))为曲线y f ( x)的拐点。
作业 第177页
14.⑵⑷15.⑵⑷⑹16. 21.⑶ ,22 (4)
(或 x )
则曲线 则曲线
有水平渐近线 y b . 有垂直渐近线 x x0 .
若
(或 x x0 )
例1. 求曲线
的渐近线 .
2 1
1 解: lim ( 2) 2 x x 1
y 2 为水平渐近线; 1 lim ( 2) , x 1为垂直渐近线. x1 x 1
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x ( ,1) 1 (1,0) 0
( x ) ( x )
( x )
( 0,1)
1
导数凹凸变换
导数凹凸变换导数凹凸变换（Derivative Convexity Transformation）是数学中一个重要的概念，它在微积分、优化以及数学建模等领域中具有重要的应用价值。
本文将对导数凹凸变换的概念、性质以及应用进行详细的介绍。
一、导数凹凸变换的定义在数学中，函数的凹性与凸性是非常重要的概念。
若函数在其定义域内的曲线始终向上凸起，那么这样的曲线就称为凸函数（convex function）；若函数在其定义域内的曲线始终向上凹陷，那么就称为凹函数（concave function）。
显然，凸函数和凹函数的概念是互补的。
在微积分中，函数的凹性与凸性可以通过导数来刻画。
若函数在其定义域内的一切点都是凸的，则相应的导数也是凸的；若函数在其定义域内的一切点都是凹的，则相应的导数也是凹的。
这样的操作被称为导数凹凸变换，简称导凸变换。
具体来说，设$f(x)$在区间$I$内可导，则：若$f'(x)$在$I$内单调不降，则$f(x)$为$I$内的凸函数。
若$f'(x)$在$I$内单调不增，则$f(x)$为$I$内的凹函数。
需要注意的是，导数凹凸变换只能用来判断一阶导数的凸凹性，对于高阶导数的凸凹性，需要使用更高级的方法。
二、导数凹凸变换的性质1、性质1：导数凹凸变换的反向性导数凹凸变换具有反向性。
具体来说，若$f(x)$在区间$I$内可导，则：若$f(x)$为$I$内的凸函数，则$f'(x)$在$I$内单调不降。
若$f(x)$为$I$内的凹函数，则$f'(x)$在$I$内单调不增。
2、性质2：导数凹凸变换的充要条件导数凹凸变换具有充要条件。
具体来说，若$f(x)$在区间$I$内二次可导，则：若$f''(x)\geqslant 0$在$I$内恒成立，则$f(x)$为$I$内的凸函数。
若$f''(x)\leqslant 0$在$I$内恒成立，则$f(x)$为$I$内的凹函数。
函数凹凸的定义(精)
f x2 f x1 f x1 f x2 , x2 x1
所以 f 为I上的递增函数。
( 2) ( 3) : 在 以 x1 , x2 x1 x2 为端点的区间上，应用拉格朗日中值定理 和 f 递增条件，有
f x2 f x1 f x2 x1 f x1 x2 x1 . 即f x2 f x1 f x1 x2 x1 .
定义
设f ( x )定义在区间 I 上, 如果 x1 , x2 I , (0,1), 恒有 f (x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ), 那末称 f ( x ) 为 I 上的凸函数。
如果 x1 , x2 I , (0,1), 恒有 f (x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ), 那末称 f ( x ) 为 I 上的凹函数。
f x1 f x3 f x3 x1 x3
(1 ) f x2 (1 ) f x3 (1 ) f x3 ( x2 x3 )
两式相加，并将 x3 x1 1 x2代入,
f x1 1 f x2 f x3 f x1 1 x2 .
a b c 3
a a bbc c , 其中a，b，c为正数。
1 证 设 f x x ln x , x 0, 则 f x ln x 1, f x ， x 显然x 0时，f ( x ) 0, 故f为严格凸函数 ,
a b c 1 f f a f b f c , 3 3 abc abc 1 即 ln a ln a b ln b c ln c , 3 3 3 a b c abc 3 a b c a b c abc , 故 a b c . 又 3 3
函数的凹凸性与拐点
课程思政
课程思政：奥运精神 播放视频《谷爱凌自由式滑雪夺冠》
播放视频
曲线的凹凸性正如滑雪运动员在跳台上滑过的优美曲线。北京2022 年冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛，中国选手谷爱凌在最后一跳中 首次跳出了1620的超高难度，夺得金牌！ 赛后，谷爱凌表示，采取超 高难度动作，想要挑战自己，并不是为了赢对手，展示自己的体育精 神。谷爱凌希望自己的精神，让大家能够体会体育精神，做到打破和 突破，成就最好的自己。我们在学习和生活中也应该向她学习不屈不 挠的奥运精神，突破自己，展现自我。
凹的
99
2凹凸性的定理 练习2 求函数y x4的凹凸性
1100
谢谢观看
2凹凸性的定理
定理 设函数 y f (x) 在 (a,b)内有二阶导数。 那么（1）若在 (a,b) 内 f (x) 0，则曲线在 (a,b) 内上凹。 （2）若在 (a,b) 内 f (x) 0，则曲线在 (a,b)内下凹。
7
2凹凸性的定理
拐点：如果点P的两侧，函数的凹凸性不一样，那么 这样的点P叫做函数的拐点。
8
2凹凸性的定理
例2 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及凹、凸的区间
解： D : (,)
y 12x3 令y 0,
12x2 , 得 x1
0,
y x2
36x(x 2. 3
2). 3
x
(,0)
0
(0, 23)
2 3
(
2 3
,)
f (x)
00Biblioteka 拐点拐点f (x)
凹的
0,1 凸的
（2，11） 3 27
曲线的凹凸性与拐点
数学教研室
目录
CONTENT
函数凹凸的定义(精)
x1 h x1 x2 x2 h,
根据f 的凸性及引理有
f x1 f x1 h f ( x2 ) f x1 f x2 h f x2 . h x2 x1 h
f x1 f x1 h f ( x2 ) f x1 f x2 h f x2 . h x2 x1 h
y
y f ( x)
o
x1
x2
x3 x
定理
设f为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价：
(1) f为I上凸函数, ( 2) f 为I上的增函数，
(3) 对I上的任意两点 x1 , x2 有
f x2 f x1 f x1 x2 x1 .
证
任取I上两点 x1 , x2 x1 x2 及充分小的正数h ,由于
f x2 f x1 f x3 f x2 即 . x2 x1 x3 x2
充分性
在I上任取两点 x1 , x3 x1 x3 , 在 [ x1 , x3 ] 上任取一点 x3 x2 x2 x1 1 x3 , 0,1 即 . x3 x1 由必要性的推导逆过程，可证得
§5 函数的凸性与拐点
y
C
B
A
x
一、函数凹凸的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
y f ( x)
y
o y f ( x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
任意弧段位于所张弦 的下方，任意点的切 线在曲线下方
任意弧段位于所张弦 的上方, 任意点的切 线在曲线上方
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1、凹凸函数定义及几何特征
⑴引出凹凸函数的定义：
如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。
把形如)(1x f 的 增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。
⑵凹凸函数定义
设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有：
（1）1212()()(
)22
x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()()()22
x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。
⑶凹凸函数的几何特征：
几何特征1（形状特征）
图4（凹函数） 图5（凸函数）
凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。
简记为：形状凹下凸上。
几何特征2（切线斜率特征）
图6（凹函数） 图7（凸函数）
设21,A A 是函数y=)(x f 曲线上两点，函数曲线1A 与2A 之间任一点A 处切线的斜率：凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而增大； 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而减小； 简记为：斜率凹增凸减。
几何特征3（增量特征）
图8（凹函数） 图9（凸函数）
图10（凹函数） 图11（凸函数）
凹函数的增量特征是：Δｙｉ越来越大；凸函数的增量特征是：Δｙｉ越来越小； 简记为：增量凹大凸小。
2、利用二阶导数判断曲线的凹凸性
设函数)(x f 在区间),(b a 内存在二阶导数, 则在),(b a 内 ⑴ )( ,0)(x f x f ⇒<''在),(b a 内严格是凸的; ⑵ )( ,0)(x f x f ⇒>''在),(b a 内严格是凹的。