高数2016寒假训练试卷一(一元函数微积分学与微分方程)答案
一元函数微分学模拟试卷2(题后含答案及解析)
一元函数微分学模拟试卷2(题后含答案及解析)全部题型 2. 数学(选择题) 3. 数学(填空题) 4. 数学(解答题) 数学部分单项选择题1．设函数f(x)＝x.tanx.esinx，则f(x)是( )．A．偶函数B．无界函数C．周期函数D．单调函数正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学2．设A，B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．A．AB＝0的充分必要条件是A＝0或B＝0B．AB≠0的充分必要条件是A≠0或B≠0C．AB＝0且r(A)＝n，则B＝0D．若AB≠0，则｜A｜≠0或｜B｜≠0正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学3．设cosx-1=xsina(x),其中｜a(x)｜＜π/2,则当x→0时，a(x)是A．比x高阶的无穷小B．比x低阶的无穷小C．比x同阶但不等价的无穷小D．与x等价的无穷小正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学4．设A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且曰可逆，则A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C．矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学5．函数f(x)在点x＝a处可导，则函数｜f(x)｜在点x＝a处不可导的充分条件是( )．A．f(a)＝0且fˊ(a)＝0B．f(a)＝0且fˊ(a)≠0C．f(a)＞0且fˊ(a)＞0D．f(a)＜0且fˊ(a)＜0正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学6．设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )．A．λE-A＝λE-BB．A与B有相同的特征值和特征向量C．A与B都相似于一个对角矩阵D．对任意常数t，tE-A与tE-B相似正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学7．向量组α1，α2，…,αm线性无关的充分必要条件是( )．A．向量组α1，α2，…,αm，β线性无关B．存在一组不全为零的常数k1，k2，…，km，使得k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0C．向量组α1，α2，…,αm的维数大于其个数D．向量组α1，α2，…,αm的任意一个部分向量组线性无关正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学8．设A是n阶矩阵，且A的行列式｜A｜＝0，则A( )．A．必有一列元素全为0B．必有两列元素对应成比例C．任一列向量是其余列向量的线性组合D．必有一列向量是其余列向量的线性组合正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学9．设n阶方程A＝(α1，α2，…,αn)，B＝(β1，β2，…，βn)，AB＝(γ1，γ2，…γn)，记向量组(I)：1，α2，…,αn，(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，(Ⅲ)：γ1，γ2，…γn，如果向量组(Ⅲ)线性相关，则( )．A．向量组(I)与(Ⅱ)都线性相关B．向量组(I)线性相关C．向量组(Ⅱ)线性相关D．向量组(I)与(Ⅱ)中至少有一个线性相关正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学10．设函数f(x)在(-∞，+∞)内有定义，x0≠0是函数f(x)的极大值点，则( )．A．x0必是函数f(x)的驻点B．﹣x0必是函数﹣f(﹣x)的最小值点C．对一切x0都有f(x)≤f(x0)D．﹣x0必是函数﹣f(﹣x)的极小值点正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学11．函数y＝C1ex＋C2e﹣2x＋xex满足的一个微分方程是( )．A．y〞-yˊ-2y＝3xexB．y〞-yˊ-2y＝3exC．y〞＋yˊ-2y＝3exD．y〞＋yˊ-2y＝3xex正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学12．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax＝0仅有零解的充分条件是( )．A．A的列向量线性相关B．A的行向量线性相关C．A的行向量线性无关D．A的列向量线性无关正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学13．设A为n阶实矩阵，AT为A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)AX＝0和(Ⅱ)ATAx＝0必有( )．A．(Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解B．(I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(I)的解C．(I)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(I)的解D．(Ⅱ)的解是(I)的解，但(I)的解不是(Ⅱ)的解正确答案：A 涉及知识点：一元函数微分学14．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵(1/3 A2 )-1 有一个特征值等于A．4/3B．3/4C．1/2D．1/4正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学15．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A 的属于特征值A的特征向量，则矩阵(P-1 AP)T 属于特征值A的特征向量是A．P-1α．B．PT α．C．Pα．D．(P-1 )Tα．正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学填空题16．微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为__________.正确答案：2/x 涉及知识点：一元函数微分学17．微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=________.正确答案：1/x 涉及知识点：一元函数微分学18．微分方程y”-2y’+2y=ex的通解为________.正确答案：ex(C1cosx+C2sinx+1) 涉及知识点：一元函数微分学19．若x→0时，(1-ax2)1/4-1与xsinx的等价无穷小，则a＝________．正确答案：-4 涉及知识点：一元函数微分学20．已知fˊ(lnx)＝1＋x，则f(x)＝_________．正确答案：x+ex+C 涉及知识点：一元函数微分学21．若四阶矩阵A与B为相似矩阵，A的特征值为1／2、1／3、1／4、1／5，则行列式｜B-1-E｜＝_______．正确答案：24 涉及知识点：一元函数微分学22．设A，B为3阶矩阵，且｜A ｜=3，｜B ｜=2，｜A-1+B｜=2，则｜A+B-1 ｜=_____________.正确答案：3 涉及知识点：一元函数微分学23．设A为3阶矩阵，｜A｜=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则｜BA*｜=__________．正确答案：-27 涉及知识点：一元函数微分学24．若a1，a2，a3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜a1，a2，a3，β1｜=m，｜a1，a2，β2，a3｜=n，则4阶行列式｜a1，a2，a3，β1+β2｜=正确答案：n-m 涉及知识点：一元函数微分学25．设A，B均为n阶矩阵，｜A ｜=2，｜B｜=-3，则｜2A*B-1｜=_______．正确答案：-22n-1/3 涉及知识点：一元函数微分学26．若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式｜B-1-E ｜=_________.正确答案：24 涉及知识点：一元函数微分学解答题27．求微分方程y”-2y’-e2x=0满足条件y(0)=1，y’(0)=1的解．正确答案：齐次方程y”-2y’=0的特征方程为λ2-2λ=0．由此求得特征根λ1=0，λ2=2.对应齐次方程的通解为y=C1+C2e2x．设非齐次方程的特解为y”=Axe2x，则(y*)’=(A+2Ax)e2x，(y*)”=4A(1+x)e2x代入原方程，可得A=1/2，从涉及知识点：一元函数微分学28．求：微分方程y〞＋y＝-2x的通解．正确答案：方程y〞＋y＝-2x对应的齐次方程的特征方程为λ2＋1＝0，特征根为λ1，2＝±i，故对应的齐次方程通解为C1cosx＋C2sinx．因为a＝0不是特征根，因此原方程的特解可设为y*＝Ax＋B，代入原方程得A＝-2，B＝0．所以原方程的通解为y＝C1cosx＋C22sinx-2x．涉及知识点：一元函数微分学。
高一数学必修1微积分测试题及答案
高一数学必修1微积分测试题及答案本文档为高一数学必修1微积分的测试题及答案，旨在帮助学生巩固和提高他们在微积分方面的知识和能力。
以下是题目及答案：题目一已知函数 f(x) 的导数 f'(x) = 2x + 3，求 f(x)。
答案：f(x) = x^2 + 3x + C （C为常数）题目二已知曲线 y = x^2 + 2x + 1，求曲线上任意点的切线方程。
答案：设曲线上某点的横坐标为 a，纵坐标为 b。
由题意可得，该点的切线斜率为曲线在该点的导数值。
曲线的导数为 f'(x) = 2x + 2。
将 a 代入 f'(x) 可得切线斜率 k = 2a + 2。
切线方程为 y - b = k(x - a)，将点的坐标代入可得切线方程。
题目三已知函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x，求函数 f(x) 的极值点和拐点。
答案：首先，求 f'(x)：f'(x) = 6x^2 - 6x + 2令 f'(x) = 0，求得极值点：x = (6 ± sqrt(36 - 48)) / 12，化简得 x = 0.5 或 x = 1将 x = 0.5 和 x = 1 代入 f(x) 可求得对应的 y 值。
其次，求 f''(x)：f''(x) = 12x - 6令 f''(x) = 0，求得拐点：x = 0.5将 x = 0.5 代入 f(x) 可求得对应的 y 值。
以上为高一数学必修1微积分的部分测试题及答案，希望对您有帮助。
高数(一元函数微积分)试卷含答案
《高等数学》（一元微积分）考试试卷试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分 一、填空题：(共5小题，每小题2分，共10分) 1. 函数5()(3)(4)(5)x f x x x x -=---无穷型间断点是 34x x ==， ；2. 曲线()2132x f x x x -=-+的水平渐近线有 0y = ；3. 定积分141(sin +)d x x x x -=⎰23；4. 设方程23210x xy y -+-=确定函数()y y x =,则d d x yx-=32; 5.不定积分(x x x =⎰ 5321235x x C ++ .二、单项选择题： (共5小题，每小题2分，共10分) 1.若函数2sin x 是()f x 的一个原函数，则()f x =（C ）. (A) 2sin x C + (B) 22sin x x (C) 22cos x x (D) 2sin x 2. 函数()3f x x=在[0,3]上满足拉格朗日中值定理中的ξ=（C ）. (A)(D) 以上都不对 3.设)(x f 在[]b a ,上连续，且t x 与无关，则（ B ） （A ）()d ()d bbaatf x t t f x t =⎰⎰ （B ）()d ()d bbaatf x x t f x x =⎰⎰（C ）()d ()d b b aatf x x f x t x =⎰⎰ (D) ()d ()d b baaf tx x t f x x =⎰⎰4. 下列广义积分收敛的个数是（ B ）. (1)211d x x +∞⎰；（2）31d ln x x x +∞⎰；（3）1211d x x -⎰；（4）10x ⎰ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5.曲线21e x y += 在(,0)-∞内是（ A ）.（A ）凹曲线 （B ）凸曲线 （C ）增加曲线 （D ）有界曲线.三、判断题：（正确的填对，错误的填错）：(共5小题，每小题2分，共10分) 1.一切初等函数在其定义域内连续（ 错 ）；2.区间上连续函数一定存在最大值与最小值（ 错 ）；3.闭区间上连续函数一定可积（ 对 ）；4.函数()f x 在点0x 连续是在点0x 可导的必要条件（对 ）；5. 若()f x 连续，则21()d ()d 2a axf x x f u u =⎰⎰（ 错 ）.四、计算下列各题:(共7小题，每小题5分，共35分) 1.求极限 3lim()3xx x x →∞+-, 解 36663366lim()=lim(1+)=lim(1+)333x xx x x x x x x e x x x --→∞→∞→∞+=---.2. 求极限2030lim(cos 1)t t xt t-→+⎰．解: 原式2301lim 2tt x t -→==⎰200112sin()1lim 2233t t t t t --→→-==-. .3.设20,()1x x f x e ax bx →=---是2x 的高阶无穷小，求,a b .解 由220012lim0,lim 012x x x x e ax bx e ax b b x x→→-----==⇒=， 021lim 022x x e a a →-=⇒=.4.已知1ln1xy x-=+，求d y ； 解 221(1)(1)21(1)11x x y x x x x-+---'==-+-+，22d =d 1y x x--.5. 设sin 1cos .x t t y t =-⎧⎨=-⎩，求d d y x 与22d d yx .解d sin =d 1cos y tx t-， 222d sin 11=1cos 1cos d (1cos )y t t t x t -'=---（）.6. 求不定积分sin cos d sin cos x xx x x-+⎰．解 原式22(sin cos )11d d(sin cos )(sin cos )(sin cos )sin cos x x x x x C x x x x x x'+=-=-+=++++⎰⎰ . 7. 求定积分120e d x x x -⎰.解 12201e d =13e )4x x x ---⎰（五、解答下列各题(共3小题，每小题10分，共30分).1．试问a 为何值时，函数3()2023f x x ax =++在1x =处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值．解 因为2()3f x x a '=+．函数()f x 在1x =处取得极值，则(1)0f '=，得3a =-．由()6f x x ''=，得(1)60f ''=>，故函数3()2023f x x ax =++在1x =处取得极小值，此极小值为2021.2. 设函数1sin ,0,()0,0.x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（2）220,()2sin cos ()2sin cos x f x x x x x x x x x'≠=+⋅-=-.3．设抛物线2(0),y x x =≥与直线1,0y x ==所围图形为D ， （1）求D 的面积；（2）求图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.六、证明题(共1小题，5分，) .证明方程5310x x -+=在0,1（）内至少有一个实根.证明 令5()=31f x x x -+，由于()f x 在[0,1]上连续，且(0)=10,(1)10f >=-<，则零点存在定理。
考研数学一(一元函数微分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学一（一元函数微分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1998年)函数f(x)=(x2一x一2)|x3一x|不可导点的个数是( )A．3B．2C．1D．0正确答案：B解析：方法一：当函数中出现绝对值号时，就有可能出现不可导的“端点”，因为这时的函数是分段函数。
f(x)=(x2一x一2)|x||x2一1|，当x≠0，±1时f(x)可导，因而只需在x=0，±1处考虑f(x)是否可导。
在这些点我们分别考虑其左、右导数。
由即f(x)在x=一1处可导。
又所以f(x)在x=0处不可导。
类似，函数f(x)在x=1处亦不可导。
因此f(x)只有两个不可导点，故应选B。
方法二：利用下列结论进行判断：设函数f(x)=|x一a|φ(x)，其中φ(x)在x=a 处连续，则f(x)在x=a处可导的充要条件是φ(a)=0。
先证明该结论：由导数的定义可知：其中可见，f′(a)存在的充要条件是φ(a)=一φ(a)，也即φ(a)=0。
再利用上述结论来判断本题中的函数有哪些不可导点：首先，绝对值函数分段点只可能在使得绝对值为零的点，也就是说f(x)=(x2一x一2)|x3一x|只有可能在使得|x3一x|=0的点处不可导，也即x=一1，x=0以及x=1。
接下来再依次对这三个点检验上述结论：对x=一1，将f(x)写成f(x)=(x2一x一2)|x2一x||x+1|，由于(x2一x-2)|x2一x|在x=一1处为零，可知f(x)在x=一1处可导。
对x=0，将f(x)写成f(x)=(x2一x一2)|x2一1||x|，由于(x2一x 一2)|x2一1|在x=0处不为零，可知f(x)在x=0处不可导。
对x=1，将f(x)写成f(x)=(x2一x一2)|x2+x||x+1|，由于(x2一x一2)|x2+x|在x=1处不为零，可知f(x)在x=1处不可导。
专升本高等数学二(一元函数微分学)模拟试卷1(题后含答案及解析)
专升本高等数学二（一元函数微分学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设函数f(x)在点x0的某邻域内可导，且f(x0)为f(x)的一个极小值，则= ( )A．一2B．0C．1D．2正确答案：B解析：因f(x)在x=x0处取得极值，且可导，于是f’(x0)=0．又=2f’(x0)=0．知识模块：一元函数微分学2．设函数f(x)=e－x2，则f’(x)等于( )A．一2e－x2B．2e－x2C．一2xe－x2D．2xe－x2正确答案：C解析：因f(x)=e－x2，则f’(x)=e－x2．(一2x)=一2xe－x2．知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)=2lnx+ex，则f’(2)= ( )A．eB．1C．1+e2D．ln2正确答案：C解析：因f(x)=2lnx+ex，于是f’(x)=＋ex，故f’(2)=1+e2．知识模块：一元函数微分学4．设y=exsinx，则y’’’= ( )A．cosx．exB．sinx．exC．2ex(cosx—sinx)D．2ex(sinx—cosx)正确答案：C解析：y’=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)，y’’=ex(sinx+cosx)+ex(cosx—sinx)=2excosx，y’’’=2excosx一2exsinx=2ex(cosx—sinx)．知识模块：一元函数微分学5．设f(x)可导，且满足=一2，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为( )A．4B．一4C．1D．一1正确答案：D解析：=2f’(1)=一2，故f’(1)=一1．知识模块：一元函数微分学6．曲线y=1+( )A．有水平渐近线，无铅直渐近线B．无水平渐近线，有铅直渐近线C．既有水平渐近线，又有铅直渐近线D．既无水平渐近线，也无铅直渐近线正确答案：C解析：对于曲线y==1，故有水平渐近线y=1；又=一∞，故曲线有铅直渐近线x=一1．知识模块：一元函数微分学7．曲线y==1的水平渐近线的方程是( )A．y=2B．y=一2C．y=1D．y=一1正确答案：D解析：=一1，所以水平渐近线为y=一1．知识模块：一元函数微分学8．曲线y=(x一1)2(x一3)2的拐点个数为( )A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：本题考察曲线拐点的概念，可直接求函数二阶导数为零的点，再判断在零点左右两侧的二阶导数是否异号，以求出拐点，但由于函数的一阶、二阶导数有明显的几何意义，因而这类题目若能结合曲线的形状，往往判断起来更为方便，本题的曲线对称于直线x=2，所以它或者没有拐点，或者只有两个拐点，因此B与D被排除掉，又y’=4(x一1)(x一2)(x一3)，对导函数y’应用罗尔定理，知y’’有两个零点，从而知曲线有两个拐点，故选C．知识模块：一元函数微分学9．方程x3一3x+1=0 ( )A．无实根B．有唯一实根C．有两个实根D．有三个实根正确答案：D解析：令f(x)=x3一3x+1，则f’(x)=3(x＋1)(x－1)，可知，当一1＜x＜1时，f’(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞1或x＜一1时，f’(x)＞0，f(x)单调递增，因f(一2)=一1＜0，f(一1)一3＞0，f(1)=一1＜0，f(2)一3＞0，由零点定理及f(x)的单调性知，在(一2，一1)，(－1，1)及(1，2)各存在一个实根，故f(x)=x3一3x+1有且只有三个实根，故选D．知识模块：一元函数微分学填空题10．设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，f’(0)=b，若F(x)=在x=0处连续，则常数A=________．正确答案：a+b解析：由函数F(x)在x=0处连续可得=F(0)，即=b+a=A．知识模块：一元函数微分学11．设y=2x，则y(n)=________．正确答案：(ln2)n2x解析：y=2x，y’=2xln2，y’’=2x．ln2．ln2=(ln2)22x，y’’’=(ln2)2．2x．ln2=(ln2)3．2x，…y(n)=(ln2)n2x．知识模块：一元函数微分学12．设y=，则y’=_________．正确答案：解析：知识模块：一元函数微分学13．设f(x)=ax3一6ax2+b在区间[一1，2]的最大值为2，最小值为一29，又知a＞0，则a=_________，b=_________．正确答案：，2解析：f’(x)=3ax2－12ax，f’(x)=0，则x=0或x=4，而x=4不在[一1，2]中，故舍去，f’’(x)=6ax一12a，f’’(0)=一12a，因为a＞0，所以f’’(0)＜0，所以x=0是极大值点．又因f(一1)=一a一6a+b=b一7a，f(0)=b，f(2)=8a一24a+b=b一16a，因为a＞0，故当x=0时，f(x)最大，即b=2；当x=2时，f(x)最小．所以b一16a=一29，即16a=2+29=31，故a=．知识模块：一元函数微分学14．若=1，则f(x)在x=a处取极_________值．正确答案：小解析：一1＞0，又有(x一a)2＞0，则由极限的保号性可知f(x)一f(a)＞0，故f(a)为极小值．知识模块：一元函数微分学解答题15．求y=的n阶导数．正确答案：y’=，y’’=，y’’’=，依次类推y(n)=(一1)n．涉及知识点：一元函数微分学16．求函数y=ln(x+)的二阶导数y’’．正确答案：y’’=．涉及知识点：一元函数微分学17．设x=φ(y)是严格单调的连续函数y=f(x)的反函数，且f(1)=9，f’(1)=一，求φ’(9)．正确答案：φ’(y)=，而f(1)=9，f’(1)=一，故φ’(9)=．涉及知识点：一元函数微分学18．设y=y(x)由所确定，f’’(t)存在且f’’(t)≠0，求．正确答案：涉及知识点：一元函数微分学19．设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且f(0)=f’(0)=0，试求函数g(x)=的导数．正确答案：当x≠0时，g’(x)=；涉及知识点：一元函数微分学20．求曲线y=x3一3x+5的拐点．正确答案：y’=3x2一3，y’’=6x．令y’’=0，解得x=0．当x＜0时，y＜0；当x＞0时，y’’＞0，当x=0时，y=5．因此，点(0，5)为所给曲线的拐点．涉及知识点：一元函数微分学已知f(x)是定义在R上的单调递减的可导函数，且f(1)=2，函数F(x)=∫0xf(t)dt一x2—1．21．判别曲线y=F(x)在R上的凹凸性，并说明理由；正确答案：∵F’(x)=f(x)一2x，F’’(x)=f(x)一2，且由题意知f’(x)≤0(x∈R)，∴F’’(x)＜0(x∈R)，故曲线y=F(x)在R上是凸的；涉及知识点：一元函数微分学22．证明：方程F(x)=0在区间(0，1)内有且仅有一个实根．正确答案：显然F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=一1＜0，F(1)=∫01f(t)dt一2＞∫012dt一2=0，∴方程F(x)=0在区间(0，1)内至少有一个实根．由F’’(x)＜0知F’(x)在R上单调递减，∴x＜1时，有F’(x)＞F’(1)=f(1)一2=0，由此知F(x)在(0，1)内单调递增，因此方程F(x)=0在(0，1)内至多只有一个实根，故方程F(x)=0在区间(0，1)内有且仅有一个实根．涉及知识点：一元函数微分学23．若f(x)在[0，1]上有三阶导数，且f(0)=f(1)=0，设F(x)=x3f(x)，试证在(0，1)内至少存在一个ξ，使F’’’(ξ)=0．正确答案：由题设可知F(x)，F’(x)，F’’(x)，F’’’(x)在[0，1]上存在，又F(0)=0，F(1)=f(1)=0，由罗尔定理，存在ξ1∈(0，1)使F’(ξ1)=0．又F’(0)=[3x2f(x)+x3f’(x)]｜x=0=0，F’(x)在[0，ξ1]上应用罗尔定理，存在ξ2∈(0，ξ1)(0，1)使F’’(ξ2)=0，又F’’(0)=[6xf(x)+6x2f’(x)+x3f’’(x)]｜x=0=0，对F’’(x)在[0，ξ2]上再次用罗尔定理，存在ξ∈(0，ξ2)(0，1)使F’’’(ξ)=0．涉及知识点：一元函数微分学24．设0＜a＜b＜1，证明不等式arctanb—arctana＜．正确答案：只需证明，在[a，b]上用拉格朗日中值定理，涉及知识点：一元函数微分学25．证明：当x＞0时，有不等式(1+x)ln(1+x)＞arctanx．正确答案：令f(x)=(1+x)ln(1+x)一arctanx，f’(x)=ln(1+x)+1一，f’’(x)=当x＞0时，f’’(x)＞0，则f’(x)单调递增，故有f’(x)＞f’(0)=0，则f(x)单调递增，故有f(x)＞f(0)=0，即(1+x)ln(1+x)＞arctanx．涉及知识点：一元函数微分学26．证明当x＞0时，x＞ln(1+x)．正确答案：令F(x)=x—ln(1+x)，由F’(x)=1－＞0(当x＞0时)知F(x)单调增加，又F(0)=0，所以，当x＞0时，F(x)＞0，即x—ln(1+x)＞0，即x＞ln(1+x)．涉及知识点：一元函数微分学27．设有底为等边三角形的直柱体，体积为V，要使其表面积为最小，问底边的长应为多少?正确答案：设底边长为x，直柱体高为y，则V=，S’=，令S’=0得为极小值点，故在实际问题中，也为最小值点，即底边为时，表面积最小．涉及知识点：一元函数微分学。
专升本一元函数微分学题目与答案A
二、一元函数微分学 练习题（A ） 一．选择题1．()1sin,00,0x f x x x x ⎧⎪=≠⎨⎪=⎩在0x =处 ( )A ． 极限不存在B ．极限存在但不连续C ．连续但不可导D ．可导但不连续 2．设()2421,f x x x =++则 ()=-'1f ( ) A ．1 B ．3 C ． -1 D ． -3 3．设()()ln 1f x x =+，则()()5f x = ( ) A ．()54!1x + B ．()54!1x -+C ．()55!1x + D ．()55!1x -+4．设()y f x =由方程()2cos 1x y e xy e +-=-所确定，则曲线()y f x =在点（0，1）的切线斜率(0)f '= ( )A ．2B ． -2C ．12 D ． -125．设()f x 在1x =有连续导数，且()12f '=,则(0lim x df dx+→= ( )A ． 1B ． -1C ． 2D ．-26. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且2)]([)('x f x f =, 则当n 为大于2的正整数时, f(x)的n 阶导数是 ( )A. 1)]([!+n x f nB. 1)]([+n x f nC. n x f 2)]([D. n x f n 2)]([!7．设函数y = f(x)在点x 0处可导, 当自变量x 由x 0增加到x 0 + ∆x 时, 记∆y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分, xdyy x ∆-∆→∆0lim等于 ( )A.－1B. 0 C .1 D. ∞8. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=b ax xx x f 1sin)(200≤>x x 在x = 0处可导, 则 ( ) A.a = 1, b = 0 B. a = 0, b 为任意常数 C. a = 0, b = 0 D.a = 1, b 为任意常数 9. 曲线2211x x ee y ---+=（ ）A.没有渐近线；B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线 10. 设函数()x f 在点0可导，且()00=f ，则()=→xx f x 0lim( )A ．()x f 'B ．()0f 'C ．不存在D ．∞ 11. 当x =4π时，函数1()cos cos 44f x a x x =-取得极值，则a =（ ） A ．-2 B． CD ．212. 曲线y =322(1)x x -（ ） A ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线 B ．只有水平渐近线 C ．有垂直渐近线x=1D ．没有渐近线13. 设00()()0f x f x '''==，0()0f x ''<，则有（ ）A ．0()f x 是()f x 极大值；B ．0()f x 是()f x 极小值；C ．0()f x '是()f x '的极值；D ．点00(())x f x ，是曲线)(x f y =的拐点14. 已知函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则()0f x '=有（ ）实根A 一个B 两个C 三个D 四个15. 设函数()f x 在(,)a b 内可导，则在(,)a b 内()0f x '>是函数()f x 在(,)a b 内单调增的 （ ）A 必要非充分条件B 充分非必要条件C 充要条件D 无关条件 二．填空题1．设6y x k =+是曲线23613y x x =-+的一条切线，则k =2． 设()f x 在2x =连续，且(2)f =4，则2214lim ()24x f x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝⎭3． 直线l 与x 轴平行，且与曲线x y x e =-相切，则切点坐标是 4．()y f x =由方程33sin 60x y x y +-+=确定，则0x dy =∣= 5．设()10110n n n f x a x a x a x a --=++⋯++，则 ()()0n f = 6 . 设)('31)()(lim0000x f x x f x k x f x =∆-∆+→∆, 则k = ________.7. 设函数y = y(x)由方程0)cos(=++xy e y x 确定, 则=dxdy____ __ 8. 已知f(－x) =－f(x), 且k x f =-)('0, 则=)('0x f ____ __9. 设f(x)可导, 则=∆∆--∆+→∆xx n x f x m x f x )()(lim000___ ____10. 设f 为可导函数, )]}([sin sin{x f f y =, 则=dxdy_____ __ 11. x xx f +-=11)(, 则)()(x f n = ___ ____12．设()f x =()f e '= 13． 7186223---=x x x y 单调区间_____ __14． )0(82>+=x x x y 单调区间___________ 15． x x x y 6941023+-=单调区间___________ 16． )1ln(2x x y ++=单调区间___________17． 53523++-=x x x y 拐点及凹或凸区间 __________ 18． )1ln(2+=x y 拐点及凹或凸区间___________ 19．)1ln(x x y +-=的极值___________ 20．x x y -+=1的极值____________21. 曲线32x y x =+的铅直渐近线为三、计算题 1.求下列函数的导数 (1)．531-=x y (2)．x x e y x+=1(3)．1004)13(-=x y (4)．122-+-=x x e y(5)．bx e y ax sin =（b a ,为常数） (6)．3cos 12e ey x x ++= (7)．xxy --+=1111 (8)．x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=(9)．)1lg()1(22x e x y x -++=- (10)．)1ln(2x x y ++=(11)．xy 1tan 2= (12)． 322)13(+=x y(13)．101010lg 10x y x x =+++ (14).(2)a b y u +=(15).3333x y x =+ (16).3y =(17).2()(21)f t t t =- (18).y =(19). ln(y x = (20)．4)sin(=++xy e y x(21). x y x = (22). 22arctan()1xy x=-(23) ln(y x x = (24) 21(1)arctan cos 2y x x x =++(25) 2cos 3y x = (26) 22sin 0y x y --=(27) ln()y xy = (28) x y e y ln =2. 求下列函数的高阶导数（1）()2ln 1y x =-，求y ''； （2）()2y f x b =+，求y ''；（3）arcsin y x =，求y ''； （4）22arctan 1xy x=-，求y ''；（5）3ln y x x =，求 (4)y ； （6）11xy x-=+，求()n y ；（7）．已知2sin()0xy y π-=，求01|x y y =='及01|x y y ==-''；（8）.223=-y x y ，求22dxyd ；（9）. ln y x x = , 求 y ''.3.根据导数定义，求下列函数的导数 （1）12+=x y ，求1='x y ； （2）()ln f x x =，求()f x '.4. 求下列函数的微分 (1) 设 )ln(ln x y =，求 dy ；(2) 设ln tan 2xy =, 求dy ；(3) sin()y x y =+ ，求 'y 及 dy ；(4) 221cos 5ln xx y -+= ，求 y ' 及 dy ；(5) y e = y ' 及 dy ；(6) xy e y x -=, 求 y ' 及 dy ；(7) 求 13cos x y e x -= 的微分；(8) 设 cos 2x y e = ，求 dy ；(9) 3cos cos x y x x e =+，求 dy ；(10) 求 2xe y x= 的微分.5.求下列函数的极限(1)．x xx 5tan 3sin lim π→ (2). 求02lim sin x x x e e x x x-→---(3)．22)2(sin ln lim x xx -→ππ (4)．)0(lim ≠--→a a x a x nnm m a x(5)．xxx 2tan ln 7tan ln lim 0+→ (6)．x x x x cos sec )1ln(lim 20-+→(7). xx x x x x sin 114lim 22+++-+-∞→ (8). 0lim sin x xx e e x-→-(9). 2ln cos 2lim()x x x ππ→- (10). cot limcot 3x xx π→(11). 0ln lim ln cot x xx+→ (12). 2lim x x x e -→+∞四．综合题1．设()f x 有任意阶导数，且()()2f x f x '=⎡⎤⎣⎦，求()()n f x .2. ')]310ln[cos(2y x y ，求+=.3. 方程 2cos 0y y x e += 确定 y 是 x 的函数，求 y '.4. 方程 0y x e e xy -+= 确定 y 是 x 的函数，求 y '.5. 已知 ()sin3f x x = ，求 ()2f π''.6. 判断函数的单调性（1）判断函数x y e x =-的单调性.（2）判断函数cos sin y x x x =+在区间3[,]22ππ的单调性.7．求下列函数的单调区间(1) 31292)(23-+-=x x x x f ； (2) 2()2ln f x x x =-；(3) ()f x = (4) 2()1xf x x=+.8.求拐点及凹凸区间（1）求曲线32231214y x x x =+-+的拐点；（2）问曲线 4y x =是否有拐点；（3）求曲线y =（4）求曲线43341y x x =-+的拐点及凹、凸的区间。
一元函数微分学练习试卷2(题后含答案及解析)
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正确答案：涉及知识点：一元函数微分学
2．
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
3．
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
4．求函数极限：
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
5．求函数极限：
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
6．求函数极限：
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
7．求函数单调区间和极值：
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
8．求函数单调区间和极值：
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
9．求函数单调区间和极值：
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涉及知识点：一元函数微分学
10．求函数单调区间和极值：
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涉及知识点：一元函数微分学
11．求函数单调区间和极值：
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
12．求函数单调区间和极值：
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
13．
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
14．
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涉及知识点：一元函数微分学
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正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
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正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
17．
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
18．
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学。
专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷3(题后含答案及解析)
专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设函数f(x)在x=0处连续，且=1，则A．f(0)=0且f－’(0)存在B．f(0)=1且f－’(0)存在C．f(0)=0且f＋’(0)存在D．f(0)=1且f＋’(0)存在正确答案：C解析：因为f(x)在x=0处连续，且=1，所以f(0)=0．从而有=f＋’(0)，故选C．知识模块：一元函数微分学2．设f(x)=e2+，则f’(x)= ( )A．B．C．D．正确答案：B解析：f’(x)=(e2)’+．知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)=xsinx，则f’()= ( )A．B．1C．D．2π正确答案：B解析：因为f’(x)=sinx+xcosx，所以=1．知识模块：一元函数微分学4．函数f(x)=在x=0处( )A．连续且可导B．连续且不可导C．不连续D．不仅可导，导数也连续正确答案：B解析：因为=0=f(0)，所以函数在x=0处连续；又因不存在，所以函数在x=0处不可导．知识模块：一元函数微分学5．设y=x2+2x一1(x＞0)，则其反函数x=φ(y)在y=2处导数是( )A．B．C．D．正确答案：A解析：y=x2+2x一1(x＞0)，y’=2x+2，y=2时，x=1或x=一3(舍)，y’(1)=4，所以x=φ(y)在y=2处的导数为φ’(2)=，故选A．知识模块：一元函数微分学6．已知f(x)在x=0的某个邻域内连续，且f(0)=0，=2，则在点x=0处f(x) ( )A．不可导B．可导且f(0)≠0C．取得极大值D．取得极小值正确答案：D解析：因为＞0，由极限的保号性知，存在x=0的某个邻域使＞0，因此在该邻域内有f(x)＞f(0)，所以f(x)在x=0处取极小值，故选D．知识模块：一元函数微分学7．函数y=ex+arctanx在区间[一1，1]上( )A．单调减少B．单调增加C．无最大值D．无最小值正确答案：B解析：因y’=ex+＞0处处成立，于是函数在(－∞，+∞)内都是单调增加的，故在[一1，1]上单调增加，在区间端点处取得最值．知识模块：一元函数微分学8．设函数f(x)满足关系式f’’(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，则( )A．f(0)是f(x)的极大值B．f(0)是f(x)的极小值C．点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D．f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：C解析：由f’(0)=0及f’’(x)+[f’(x)]2=x知f’’(0)=0且f’’(x)=x一[f’(x)]2，又x，f’(x)可导，所以f’’(x)可导，于是f’’’(x)=1—2f’(x)f’’(x)，f’’’(0)=1＞0，而f’’’(0)=，故f’’(x)在x=0左、右两侧异号，故选C．知识模块：一元函数微分学9．设f(x)在[0，a]上二次可微，且xf’(x)一f(x)＜0，则在区间(0，a)内是( )A．单调减少B．单调增加C．有增有减D．不增不减正确答案：A解析：在区间(0，a)内单调减少．知识模块：一元函数微分学10．点(0，1)是曲线y=ax3+bx2+c的拐点，则有( )A．a=1，b=一3，c=1B．a≠0，b=0，c=1C．a=1，b=0，c为任意D．a、b为任意，c=1正确答案：B解析：(0，1)在曲线上，所以c=1，y’=3ax2+2bx，y’’=6ax+2b，(0，1)为拐点，所以y’’(0)=0，得a≠0，b=0，故选B．知识模块：一元函数微分学填空题11．设f’(x)=g(x)，则[f(sin2x)]=________．正确答案：g(sin2x)sin2x解析：[f(sin2x)]=f’(sin2x)．(sin2x)’=2sinxcosxf’(sin2x)=sin2xg(sin2x)．知识模块：一元函数微分学12．设y=(3x+1)27，则y(27)=________．正确答案：327．27！解析：对于形如y=(ax+b)n的函数，其k阶导为y(k)=ak(ax+b)n－k，对于此题n=k=27，a=3，b=1，所以y(27)=27！．327．知识模块：一元函数微分学13．若f’(x0)=1，f(x0)=0，则=_________．正确答案：一1解析：=－f’(x0)=－1．知识模块：一元函数微分学14．函数F(x)=∫1x(2－)dt(x＞0)的单调递减区间是_________．正确答案：0＜x＜解析：由F(x)=∫1x(2一)dt(x＞0)，则F’(x)=2一．令F’(x)=0，得时，F’(x)＜0，F(x)单调递减．知识模块：一元函数微分学15．设点(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点，且f’’(x0)≠0，则f’’(x0)必定_________．正确答案：不存在解析：拐点是二阶导数为0的点或是二阶导数不存在的点．知识模块：一元函数微分学解答题16．当h→0，f(x0+3h)一f(x0)+2h是h的高阶无穷小量，求f’(x0)．正确答案：因为h→0，f(x0+3h)－f(x0)+2h是h的高阶无穷小量，即所以，3f’(x0)+2=0，即f’(x0)=．涉及知识点：一元函数微分学17．求曲线处的切线方程．正确答案：则根据点斜式求得切线方程为y=a+[x一a[一1)]=x－+2a．涉及知识点：一元函数微分学18．设f(x)在x=1处有连续导数，且f’(1)=2，求．正确答案：涉及知识点：一元函数微分学19．设y=y(x)由所确定，求．正确答案：，由隐函数求导涉及知识点：一元函数微分学20．计算lnl．01的近似值．正确答案：由微分定义可知f(x+△x)=f(x)+f’(x)△x，令f(x)=lnx，则ln1．01=f(1．01)=f(1)+f’(1)．0．01=0+1．0．01=0．01．涉及知识点：一元函数微分学给定曲线y=。
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淮安现代教育2016年“专转本”高等数学寒假训练试卷一参考答案(一元函数微积分学与微分方程)
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、（ B ） 2、（ B ） 3、（ C ） 4、（ A ） 5、（ C ） 6、（ D ） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
7、2ln 2 8、-2 9、-2 10、2
2sin x x dx - 11、1266
(cos sin )22
x
y e C x C x =+ 12、 2π （注：原题须修改为
(
)
2
2
201322arctan 4-+-⎰
dx x x x ）
三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 13、求极限：2
03
arcsin lim
ln(1)tan(121)
x x tdt
x x →---⎰
解：原式2
03arcsin lim 41()(2)
2
x x tdt
x x →'=-⋅-⎰
223300arcsin 211lim lim 8422x x x x x x x x →→⋅⋅'=== 14、设函数)(x y y =由参数方程2
arctan ln(1)
x t
y t =⎧⎨=+⎩确定，求2
2,dx y
d dx dy 解：22
211124t dy dt t dx dt
t dy
t dx
++'
==
=
2
22
21
122(1)8t d y t dx +'==+
15、求曲线1y y xe -=在点()0,1处的切线方程 解：方程两边对x 求导得:
0,
51y
y y
y
e y e xe y y xe
''''--⋅==- 切线斜率01
x y k y e =='
== ， 则切线方程为:1y e x -=⋅，即:108ex y '-+=
16、设x
y x =，求dy
dx
解：
ln 2x x x
y x e
'== ，()ln 1ln ln 18x x x
dy e x x x x dx x ⎛⎫'=+⋅=+ ⎪⎝
⎭
17、求微分方程()2
2210x dy xy x dx +-+=的通解
解：原方程可化为：2221
2x y y x x
-'+
= ， 所以 通解22
2
216dx dx x x x y e e dx C x -⎛⎫-⎰⎰'=+ ⎪⎝⎭⎰ ()222118-'=-+=-+ C x x x C x x 18、计算不定积分2
cos x xdx ⎰
解：2cos x xdx ⎰2222
(sin )sin sin ()sin 2sin 4x d x x x xd x x x x xdx '==-=-⎰⎰⎰
22
sin 2(cos )sin 2(cos cos )x x xd x x x x x xdx =+=+-⎰⎰
2
sin 2cos 2sin 8x x x x x C '=+-+ 19、计算定积分
52
31
dx
x +-⎰
解：令1x t -= ，则2
1,22x t dx tdt '=+=
5
222
121123
5
52(1)2[3l n (3)]
26l n 8
334
31''==-=-+=-+++-⎰⎰⎰ dx tdt dt t t t t x 20、利用函数的单调性证明不等式: 当0x >时，(1)ln(1)arctan x x x ++>
证明：令()(1)ln(1)arctan 2f x x x x '=++- ，()2
22
11ln(1)ln(1)4111x x f x x x x x x
+''=++-=+++++ 当0>x 时，()0f x '>，于是()f x 在()0,+∞内单调递增，且()f x ∞在[0,+)内连续，
所以()()00>=f x f ，因而有(1)(1)arctan 8x ln x x '++>
四、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分） 21、证明：方程4
410x x -+=有且仅有一个小于1的正实根
证明：(1)存在性：令4
()41f x x x =-+，则()f x 在[0，1]上连续2'
()()010,120f f =>=-<，由零点定理知，()()0,10f ∃∈=ξξ使
即方程4
410x x -+=有小于1的正实根5ξ'
(2)唯一性：4
()41f x x x =-+ ，()33
0,1()44=410x f x x x '∈=--当时，()<7'
()f x ∴在[0，1]上单调减少,故()0f x =在[0，1]上最多有一个实根
综上所述:()0f x = 有且仅有一个小于1的正实根9'
22、证明函数2
1sin 20
()sin 0x x x f x x
x x
x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩在点0x =可导且连续 证明：由0(0)(sin )02x f x x ='=+= ，所以
20001
sin 2()1(0)lim lim lim(sin 2)25x x x x x
f x x f x x x x
---
-→→→+''===+= 000()sin sin (0)lim lim lim (1)28x x x f x x x x
f x x x
+++
+→→→+''===+= 得(0)2f '=，再由可导是连续的充分条件， 因此，函数()f x 在点0x =可导且连续.9'
五、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 23、已知函数()21
2
x
t f x t e
dt -=⋅⎰
，试求：(1) 函数()x f 的极值；(2) 曲线()x f 的拐点.
解：()21
2
x f x xe
-'=，()()22112
2
x x f x e
xe
x --''=+-()212
2
12x x
e
-'=-
(1) 由()0f x '=得0x =，()010f ''=>，所以()x f 取得极小值()006f '= (2) 由()0f x ''=得1x =±，列表如下：
x (),1-∞-
1-
()1,1-
1
()1,+∞
()f x '' -
0 +
0 -
()f x
拐点
拐点
()22
20
11111
12
2
2
2
2
00
1
11()12
t t t f t e
dt e
d t
e e
--------=⋅=--==-⎰⎰，同理()1211f e
-=-
拐点为12
(1,1)e
-
--与12
(1,1)10e -
'-
24、设平面图形P 由抛物线2
2y x =与其在点M(2，2)处的切线L 及x 轴围成，试求： (1)切线L 的方程； (2)平面图形P 的面积S ；
(3)平面图形P 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积V . 解：(1)由2
2y x = 得2y x =
，切线斜率2
2
11(2)2
2x x k x x
=='
==
=
， 切线方程为1
2(2)2
y x -=
-，即：2204x y '-+= (2) 由220x y -+=得22x y =-，令0y =得2x =-，
所以2
201(222S y y dy ⎛⎫=
-- ⎪⎝⎭
⎰322
014[2]63y y y =-+=， 或：0
220114
(1)(12)7223S x dx x x dx -'=
+++-=⎰⎰ (3) 2222
20011642410333
V y dx x ππππ'=⋅⋅-=-=⎰。