2019年高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练： 12 Word版含解析
2019-2020年高三数学二轮复习高考大题标准练二理新人教版
2019-2020年高三数学二轮复习高考大题标准练二理新人教版1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足bcosA=(2c+a)cos(π-B).(1)求角B的大小.(2)若b=4,△ABC的面积为,求a+c的值.【解析】(1)因为bcosA=(2c+a)cos(π-B).所以sinBcosA=(-2sinC-sinA)cosB.所以sin(A+B)=-2sinCcosB,所以cosB=-.即B=.(2)由S△ABC=acsinB=,得ac=4.由余弦定理,得b2=a2+c2+ac=(a+c)2-ac=16.故a+c=2.2.某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下：(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的均值和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些.(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值.【解析】(1)=(7+9+11+13+13+16+23+28)=15，=(7+8+10+15+17+19+21+23)=15，=[(-8)2+(-6)2+(-4)2+(-2)2+(-2)2+12+82+132]=44.75，=[(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82]=32.25，因为甲、乙两名队员的失分均值相等，甲的方差比乙的方差大，所以乙同学做解答题相对稳定些.(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别是p1=，p2=，两人失分均超过15分的概率为p1p2=，X的所有可能取值为0，1，2，依题意X～B，P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，所以X的分布列为：X 0 1 2PE(X)=2×=.3.如图所示,该几何体是由一个直三棱柱ADE-BCF和一个正四棱锥P-ABCD组合而成,AD⊥AF,AE=AD=2.(1)证明:平面PAD⊥平面ABFE.(2)求正四棱锥P-ABCD的高h,使得该四棱锥的体积是三棱锥P-ABF体积的4倍.【解析】(1)直三棱柱ADE-BCF中,AB⊥平面ADE,所以AB⊥AD,又AD⊥AF,AB∩AF=A,所以AD⊥平面ABFE,AD⊂平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABFE.(2)P到平面ABF的距离d=1,所以V P-ABF=S△ABF d=××2×2×1=,而V P-ABCD=S四边形ABCD h=×2×2h=4V P-ABF=,所以h=2.4.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且=6,直线y=kx与椭圆交于A,B两点.(1)若k=,且A,B,F1,F2四点共圆,求椭圆离心率e的值.(2)在(1)的条件下,设P(x0,y0)为椭圆上一点,且直线PA的斜率k1∈(-2,-1),试求直线PB的斜率k2的取值范围.【解析】(1)方法一:由得(b2+a2)x2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).所以x1+x2=0,x1x2=,由AB,F1F2互相平分且四点共圆,易知,AF2⊥BF2,因为=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),所以·=(x1-3)(x2-3)+y1y2=x1x2+9=0.即x1x2=-8,所以有=-8,结合b2+9=a2.解得a2=12,所以离心率e=.方法二:设A(x1,y1),又AB,F1F2互相平分且四点共圆,所以AB,F1F2是圆的直径, 所以+=9,又由椭圆及直线方程综合可得:前两个方程解出=8,=1,将其代入第三个方程并结合b2=a2-c2=a2-9,解得a2=12,所以e=.(2)椭圆方程为+=1,由题可设A(x1,y1),B(-x1,-y1),k1=,k2=,所以k1k2=,又==-,即k2=-,由-2<k1<-1可知,<k2<.5.设函数f(x)=clnx+x2+bx(b,c∈R,c≠0),且x=1为f(x)的极值点.(1)若x=1为f(x)的极大值点,求f(x)的单调区间(用c表示).(2)若f(x)=0恰有两解,求实数c的取值范围.【解析】f′(x)=+x+b=,因为x=1为f(x)的极值点,所以f′(1)=0,所以b+c+1=0.所以f′(x)=且c≠1,(1)若x=1为f(x)的极大值点,所以c>1,当0<x<1时,f′(x)>0;当1<x<c时,f′(x)<0;当x>c时,f′(x)>0.所以f(x)的递增区间为(0,1),(c,+∞);递减区间为(1,c).(2)①若c<0,则f(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,f(x)=0恰有两解,则f(1)<0,即+b<0,所以-<c<0;②若0<c<1,则f(x)的极大值为f(c)=clnc+c2+bc,f(x)极小值=f(1)=+b,因为b=-1-c,则f(x)极大值=clnc+c2+c(-1-c)=clnc-c-c2<0,f(x)极小值=--c<0,从而f(x)=0只有一解;若c>1,则f(x)极小值=clnc+c2+c(-1-c)=clnc-c-c2<0,f(x)极大值=--c<0,则f(x)=0只有一解;综上,使f(x)=0恰有两解的c的范围为-<c<0.。
2019年高考数学(理科,天津课标版)二轮复习专题能力训练 Word版含答案12
=
2������ ������2(������
+ +
1 1)2
=
1 ������2
‒
(������
1 +
1)2,
( ) ( ) [ ] 1 1
∴Tn= 12 - 22
+
11
1
1
1
22 - 32 +…+ ������2 - (������ + 1)2 =1-(������ + 1)2,
∴数列{Tn}是递增数列,
=1+3 3 +…+ 3
( ) 1 -
1 3
������
=3‒3×
1 ������.
( ) =
1
-
1 3
22
3
( ) 3 ‒ 3 × 1 ������
又当 n=1 时,an=2 2 3 =1,
( ) 3 ‒ 3 ×
则 an=2 2
1 ������
3 ,n∈N*.
. 6 ������2
-
2 ������
D.a5=0
3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-2n-1,则 a3+a17=( )
A.15
B.17
C.34
D.398
3
5
4.已知函数 f(x)满足 f(x+1)=2+f(x)(x∈R),且 f(1)=2,则数列{f(n)}(n∈N*)前 20 项的和为( )
A.305
B.315
C.325
2
所以 an=������2 - ������ + 2(n≥2).
又
a1=1
也满足上式,所以
2019届高三数学第二次(12月)联考理试题(含解析)人教新目标版
“皖南八校”2019届高三第二次联考数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则等于A. B. C. D.【答案】D【解析】因为集合，，则，故选D.2. 已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】A【解析】化简，由是纯虚数可得，解得，故选A.3. 已知向量满足，，，则A. B. 3 C. 5 D. 9【答案】B【解析】因为，所以，故选B.........................4. 已知直线平分圆的周长，且直线不经过第三象限，则直线的倾斜角的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】圆的标准方程为，故直线过圆的圆心，因为直线不经过第三象限，结合图象可知，，，故选A.5. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，所得图象的一条对称轴的方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍可得的图象，再向左平移个单位，所得的图象，由，，时图象的一条对称轴的方程是，故选C.6. 函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】C【解析】由可得函数，为奇函数，图象关于原点对称，可排除选项；又由可排除选项，故选C.7. 若，展开式中，的系数为-20，则等于A. -1B.C. -2D.【答案】A【解析】由，可得将选项中的数值代入验证可得，符合题意，故选A.8. 当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 28B. 36C. 68D. 196【答案】D【解析】执行程序框图，；；；，退出循环，输出，故选D.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9. 榫卯（）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式. 我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构. 图中网格小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为A. B.C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，这榫卯构件中榫由一个长方体和一个圆柱拼接而成，故其体积，表面积，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若在直线上存在点使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线上存在点使线段的中垂线过点，所以，根据种垂涎的性质以及直角三角形的性质可得，，，又因为，椭圆离心率的取值范围是，故选B.11. 已知，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，，令，则原式化为，解得舍去），故，则，即，即，，解得或，则，故选D.12. 已知函数若关于的方程至少有两个不同的实数解，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，关于的方程至少有两个不同的实数解等价于，至少有两个不同的实数解，即函数的图象与直线至少有两个交点，作出函数的图象如图所示，直线过定点，故可以寻找出临界状态下虚线所示，联立，故，即，令，解得，，故，结合图象知，实数的取值范围为，故选A.【方法点睛】已知函数有零点(方程根)的个数求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题：本小题4小题，每小题5分，共20分.13. 在1，2，3，4，5，6，7，8中任取三个不同的数，取到3的概率为_________．【答案】【解析】在、中任取三个不同的数，共有种取法，其中一定取到的方法有种，在、中任取三个不同的数取到的概率为，故答案为.14. 已知的面积为，角的对边分别为，若，，，则___________．【答案】【解析】，，，可得，所以得，由余弦定理可得，，故答案为.15. 已知函数是偶函数，定义域为，且时，，则曲线在点处的切线方程为____________．【答案】【解析】曲线在点处的切线方程为，又是偶函数，曲线在点处的切线方程与曲线在点处的切线方程故意轴对称，为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性以及利用导数求曲线切线题，属于中档题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.16. 已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段长的取值范围为__________ ．【答案】【解析】依题意，正方体的棱长为，如图所示，当点线段的中点时，由题意可知，截面为四边形，从而当时，截面为四边形，当时，平面与平面也有交线，故截面为五边形，平面截正方体所得的截面为四边形，线段的取值范围为，故答案为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∽21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17. 已知是等比数列，满足，且.（Ⅰ）求的通项公式和前项和；（Ⅱ）求的通项公式.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（I）由，令可解得，，从而可得的通项公式和前项和；（II）结合（I）的结论，可得，从而得时，，两式相减、化简即可得的通项公式.试题解析：（Ⅰ），，，，，，是等比数列，，的通项公式为，的前项和.（Ⅱ）由及得，时，，，，，的通项公式为.，18. 随着网络时代的进步，流量成为手机的附带品，人们可以利用手机随时随地的浏览网页，聊天，看视频，因此，社会上产生了很多低头族.某研究人员对该地区18∽50岁的5000名居民在月流量的使用情况上做出调查，所得结果统计如下图所示：（Ⅰ)以频率估计概率，若在该地区任取3位居民，其中恰有位居民的月流量的使用情况在300M∽400M之间，求的期望；（Ⅱ）求被抽查的居民使用流量的平均值；（Ⅲ）经过数据分析，在一定的范围内，流量套餐的打折情况与其日销售份数成线性相关关系，该研究人员将流量套餐的打折情况与其日销售份数的结果统计如下表所示：折扣销售份数试建立关于的的回归方程.附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】(Ⅰ)0.75；(Ⅱ)369M；(Ⅲ).【解析】试题分析：（I）直接根据二项分布的期望公式求解即可；（II）根据频率分布直方图中数据，每组数据中间值与纵坐标的乘积之和即是被抽查的居民使用流量的平均值；(Ⅲ)先根据平均值公式求出样本中心点的坐标，利用公式求出，样本中心点坐标代入回归方程可得，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）依题意，∽，故；（Ⅱ）依题意，所求平均数为故所用流量的平均值为；（Ⅲ)由题意可知，，，所以，关于的回归方程为： .【方法点晴】本题主要考查二项分布的期望公式、直方图的应用和线性回归方程的求法，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19. 在四棱锥中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，，是的一个三等分点（靠近点），与的延长线交于点，连接.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的正切值【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（I）由线面垂直的性质可得，由矩形的性质可得，从而由线面垂直的判定定理可得平面，进而由面面垂直的判定定理可得结论；（II）以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得夹角余弦值，利用同角三角函数之间的关系可得正切值.试题解析：（Ⅰ）证明：因为平面，所以又因为底面是矩形，所以又因为，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（Ⅱ)解：方法一：（几何法)过点作，垂足为点，连接.不妨设，则.因为平面，所以.又因为底面是矩形，所以.又因为，所以平面，所以A.又因为，所以平面，所以所以就是二面角的平面角.在中，由勾股定理得，由等面积法，得，又由平行线分线段成比例定理，得.所以.所以.所以.所以二面角的正切值为.方法二：（向量法）以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系：不妨设，则由（Ⅱ）可得，.又由平行线分线段成比例定理，得，所以，所以.所以点，，.则，.设平面的法向量为，则由得得令，得平面的一个法向量为；又易知平面的一个法向量为；设二面角的大小为，则.所以.所以二面角的正切值为.【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，当点的纵坐标为1时，. （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若抛物线上存在点，使得，求直线的方程.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（I）利用拋物线的定义,结合即可得，，从而抛物线的方程为；（II）方程为，由得，令，，,利用韦达定理及,建立关于的方程,解方程即可求直线的方程.试题解析：（Ⅰ）的准线方程为，当点纵坐标为1时，，，势物线的方程为.（Ⅱ）在上，，又,设方程为，由得，令，，则，，，，,，或0，当时，过点（舍），，方程为.21. 已知函数.（Ⅰ）若，证明：函数在上单调递减；（Ⅱ）是否存在实数，使得函数在内存在两个极值点？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. （参考数据：，）【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（I）；求导得，只需利用导数研究函数的单调性，求出最大值，从而证明即可得结论；（II）讨论时，时两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，排除不合题意的情况，从而可得使得函数在内存在两个极值点的实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域是.求导得.设，则与同号.所以，若，则对任意恒成立.所以函数在上单调递减.又，所以当时，满足.即当时，满足.所以函数在上单调递减.（Ⅱ）①当时，函数在上单调递减.由，又，时，，取，则，所以一定存在某个实数，使得.故在上，；在上，.即在上，；在上，.所以函数在上单调递增，在上单调递减.此时函数只有1个极值点，不合题意，舍去；②当时，令，得；令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.故函数的单调情况如下表：要使函数在内存在两个极值点，则需满足，即，解得又，，所以.此时，，又，；综上，存在实数，使得函数在内存在两个极值点.选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分.22. 平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求直线的极坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，求.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)3.【解析】试题分析：（I）利用代入法消去参数，将直线的参数方程化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，再利用互化公式可得到直线的极坐标方程；（II）将直线的极坐标方程代入曲线的极坐标方程,可得关于的一元二次方程,然后根据韦达定理以及极径的几何意义,可以得到的值.试题解析：（Ⅰ）由得，的极坐标方程为即，.（Ⅱ）由得，设，，则，.23. 已知函数.（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（I）对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得不等式的解集；（II）利用基本不等式求得的最小值为，不等式对任意恒成立，等价于，平方后利用一元二次不等式的解法求解即可求得实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）时，，由得，不等式的解集为.（Ⅱ）对成立，又对成立，，，即.。
高三数学(人教版理)二轮复习高考大题专攻练 12 Word版含解析
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高考大题专攻练
.函数与导数(组)
大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!
.已知函数()[()()](其中∈).
()若为()的极值点,求的值.
()在()的条件下,解不等式()>().
【解析】()因为()[()()],
所以′()[()][()()]
[()].
因为为()的极值点,所以由′(),
解得,
检验,当时′(),
当<时′()<,
当>时′()>,
所以为()的极值点,故.
()当时,不等式()>()()⇔()>(),
整理得()>,
即或
令(),
()′()()′(),
当>时′()>,
当<时′()<,
所以()在(∞)上单调递减,在(∞)上单调递增,
所以()>(),即′()>,
所以()在上单调递增,而();
故>⇔>;
<⇔<,
所以原不等式的解集为{<或>}.
.已知函数()，其中∈，令函数()().
()当时，求函数()在处的切线方程.
()当时，证明：()≤.
()试判断方程()是否有实数解，并说明理由.。
2019年高考数学(理科,天津课标版)二轮复习题型练 Word版含答案 2
题型练2 选择题、填空题综合练(二)能力突破训练1.(2018浙江,1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=( )A .⌀B .{1,3}C .{2,4,5}D .{1,2,3,4,5}2.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为( )A .πB .π13+2313+23C .πD .1+π13+26263.已知sin θ=,cos θ=,则tan 等于( )m -3m +54-2m m +5(π2<θ<π)θ2A .B .m -39-mm -3|9-m |C .D .5134.已知实数x ,y 满足约束条件则z=2x+4y 的最大值是( ){x +y +5≥0,x -y ≤0,y ≤0,A .2B .0C .-10D .-155.已知等差数列{a n }的通项是a n =1-2n ,前n 项和为S n ,则数列的前11项和为( ){S nn }A .-45B .-50C .-55D .-666.已知P 为椭圆=1上的一点,M ,N 分别为圆(x+3)2+y 2=1和圆(x-3)2+y 2=4上的点,则|PM|+|PN|x 225+y 216的最小值为( )A .5B .7C .13D .157.(2018全国Ⅰ,理12)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A .B .C .D .33233238.已知a>0,a ≠1,函数f (x )=+x cos x (-1≤x ≤1),设函数f (x )的最大值是M ,最小值是N ,则( )4a x +2a x +1A .M+N=8B .M+N=6C .M-N=8D .M-N=69.已知=1+i(i 为虚数单位),则复数z= . (1-i )2z 10.若a ,b ∈R ,ab>0,则的最小值为 . a 4+4b 4+1ab11.已知f (x )为偶函数,当x<0时,f (x )=ln(-x )+3x ,则曲线y=f (x )在点(1,-3)处的切线方程是 .12.已知圆C 的参数方程为(θ为参数),以原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标{x =cos θ,y =sin θ+2系,直线的极坐标方程为ρsin θ+ρcos θ=1,则直线截圆C 所得的弦长是 . 13.执行如图所示的程序框图,若输入a=1,b=2,则输出的a 的值为 .14.已知直线y=mx 与函数f (x )=的图象恰好有三个不同的公共点,则实数m 的取值范围{2-(13)x,x ≤0,12x 2+1,x >0是 .思维提升训练1.复数z=(i 为虚数单位)的虚部为( )2+iiA .2B .-2C .1D .-12.已知a=,b=,c=2,则( )243425513A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b3.若实数x ,y 满足|x-1|-ln =0,则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )1y4.已知简谐运动f (x )=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期T (ω>0,|φ|<π2)和初相φ分别为( )A .T=6π,φ=B .T=6π,φ=π6π3C .T=6,φ=D .T=6,φ=π6π35.(2018天津,理8)如图,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥BC ,AD ⊥CD ,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E 为边CD 上的动点,则的最小值为( )AE ·BE A .B .211632C .D .325166.在△ABC 中,AC=,BC=2,B=60°,则BC 边上的高等于( )7A .B .32332C .D .3+623+3947.已知圆(x-1)2+y 2=的一条切线y=kx 与双曲线C :=1(a>0,b>0)有两个交点,则双曲线C 的离心34x 2a 2‒y 2b2率的取值范围是( )A.(1,) B.(1,2)3C.(,+∞)D.(2,+∞)38.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 1=1,S 2=2,且S n+1-3S n +2S n-1=0(n ∈N *,n ≥2),则此数列为( )A .等差数列B .等比数列C .从第二项起为等差数列D .从第二项起为等比数列9.设集合A={x|x+2>0},B=,则A ∩B= .{x |y =13-x}10.已知x ,y 满足约束条件则z=-2x+y 的最大值是 .{x -y ≥0,x +y -4≤0,y ≥1,11.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为 m 3.12.设F 是双曲线C :=1的一个焦点.若C 上存在点P ,使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点,x 2a 2‒y 2b 2则C 的离心率为 .13.下边程序框图的输出结果为 .14.(x+2)5的展开式中,x 2的系数等于 .(用数字作答)##题型练2 选择题、填空题综合练(二)能力突破训练1.C 解析 ∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C .2.C 解析 由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为V 1=,下面是底面积为1,2212×43π×(22)3=2π6高为1的四棱锥,体积V 2=1×1=,故选C .13×133.D 解析 利用同角正弦、余弦的平方和为1求m 的值,再根据半角公式求tan ,但运算较复杂,试根θ2据答案的数值特征分析.由于受条件sin 2θ+cos 2θ=1的制约,m 为一确定的值,进而推知tan 也为一确θ2定的值,又<θ<π,所以,故tan >1.π2π4<θ2<π2θ24.B 解析 实数x ,y 满足约束条件对应的平面区域为如图ABO 对应的三角形区域,当动{x +y +5≥0,x -y ≤0,y ≤0,直线z=2x+4y 经过原点时,目标函数取得最大值为z=0,故选B .5.D 解析 因为a n =1-2n ,S n ==-n 2,=-n ,所以数列的前11项和为=-66.故选n (-1+1-2n )2S n n {S n n }11(-1-11)2D .6.B 解析 由题意知椭圆的两个焦点F 1,F 2分别是两圆的圆心,且|PF 1|+|PF 2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF 1|+|PF 2|-1-2=7.7.A 解析 满足题设的平面α可以是与平面A 1BC 1平行的平面,如图(1)所示.图(1)再将平面A 1BC 1平移,得到如图(2)所示的六边形.图(2)图(3)设AE=a ,如图(3)所示,可得截面面积为S=[(1-a )+a+a ]2-3(a )2(-2a 2+2a+1),所以当a=时,S max =12×222×32×12×2×32=321232×(-2×14+2×12+1)=334.8.B 解析 f (x )=+x cos x=3++x cos x ,设g (x )=+x cos x ,则g (-x )=-g (x ),函数g (x )是奇函4a x +2a x +1a x -1a x +1a x -1a x +1数,则g (x )的值域为关于原点对称的区间,当-1≤x ≤1时,设-m ≤g (x )≤m ,则3-m ≤f (x )≤3+m ,∴函数f (x )的最大值M=3-m ,最小值N=3+m ,得M+N=6,故选B .9.-1-i 解析 由已知得z==-1-i .(1-i )21+i =-2i 1+i =-2i (1-i )(1+i )(1-i )=-2-2i210.4 解析 ∵a ,b ∈R ,且ab>0,=4ab+∴a 4+4b 4+1ab ≥4a 2b 2+1ab1ab ≥4(当且仅当{a 2=2b 2,4ab =1ab ,即{a 2=22,b 2=24时取等号).11.y=-2x-1 解析 当x>0时,-x<0,则f (-x )=ln x-3x.因为f (x )为偶函数,所以f (x )=f (-x )=ln x-3x ,所以f'(x )=-3,f'(1)=-2.1x 故所求切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.12.213.32 解析 第一次循环,输入a=1,b=2,判断a ≤31,则a=1×2=2;第二次循环,a=2,b=2,判断a ≤31,则a=2×2=4;第三次循环,a=4,b=2,判断a ≤31,则a=4×2=8;第四次循环,a=8,b=2,判断a ≤31,则a=8×2=16;第四次循环,a=16,b=2,判断a ≤31,则a=16×2=32;第五次循环,a=32,b=2,不满足a ≤31,输出a=32.14.(,+∞) 解析 作出函数f (x )=的图象,如图.2{2-(13)x,x ≤0,12x 2+1,x >0直线y=mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线.当斜率m ≤0时,直线y=mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点;当m>0时,直线y=mx 始终与函数y=2-(x ≤0)的图象有一个公共点,故要使直线(13)xy=mx 与函数f (x )的图象有三个公共点,必须使直线y=mx 与函数y=x 2+1(x>0)的图象有两个公共点,12即方程mx=x 2+1在x>0时有两个不相等的实数根,即方程x 2-2mx+2=0的判别式Δ=4m 2-4×2>0,解12得m>故所求实数m 的取值范围是(,+∞).2.2思维提升训练1.B 解析 z==1-2i,得复数z 的虚部为-2,故选B .2+ii =(2+i )i i 22.A 解析 因为a==b ,c=2=a ,所以b<a<c.243=423>425513=523>4233.B 解析 已知等式可化为y=根据指数函数的图象可知选项B 正确,故选(1e)|x -1|={(1e)x -1,x ≥1,(1e )-(x -1),x <1,B .4.C 解析 由图象易知A=2,T=6,∴ω=π3.又图象过点(1,2),∴sin =1,(π3×1+φ)∴φ+=2k π+,k ∈Z ,π3π2又|φ|<,∴φ=π2π6.5.A 解析 如图,取AB 的中点F ,连接EF.AE ·BE=(AE +BE 2-(AE -BE )24==||2-(2FE )2-AB24FE 14.当EF ⊥CD 时,||最小,即取最小值.EF AE ·BE 过点A 作AH ⊥EF 于点H ,由AD ⊥CD ,EF ⊥CD ,可得EH=AD=1,∠DAH=90°.因为∠DAB=120°,所以∠HAF=30°.在Rt △AFH 中,易知AF=,HF=,1214所以EF=EH+HF=1+14=54.所以()min =AE ·BE (54)2‒14=2116.6.B 解析 设AB=a ,则由AC 2=AB 2+BC 2-2AB·BC cos B 知7=a 2+4-2a ,即a 2-2a-3=0,∴a=3(负值舍去).∴BC 边上的高为AB·sin B=3×32=332.7.D 解析 由已知得,解得k 2=3.|k |k 2+1=32由消去y ,得(b 2-a 2k 2)x 2-a 2b 2=0,{y =kx ,x2a2-y 2b2=1,则4(b 2-a 2k 2)a 2b 2>0,即b 2>a 2k 2.因为c 2=a 2+b 2,所以c 2>(k 2+1)a 2.所以e 2>k 2+1=4,即e>2.故选D .8.D 解析 由S 1=1得a 1=1,又由S 2=2可知a 2=1.因为S n+1-3S n +2S n-1=0(n ∈N *,且n ≥2),所以S n+1-S n -2S n +2S n-1=0(n ∈N *,且n ≥2),即(S n+1-S n )-2(S n -S n-1)=0(n ∈N *,且n ≥2),所以a n+1=2a n (n ∈N *,且n ≥2),故数列{a n }从第2项起是以2为公比的等比数列.故选D .9.{x|-2<x<3} 解析 由已知,得A={x|x>-2},B={x|x<3},则A ∩B={x|-2<x<3}.10.-1 解析 作出约束条件的可行域如图阴影部分所示,平移直线l 0:y=2x ,可得在点A (1,1)处z 取得最大值,最大值为-1.11.2 解析 由三视图知四棱锥高为3,底面平行四边形的底为2,高为1,因此该四棱锥的体积为V=13(2×1)×3=2.故答案为2.×12 解析 不妨设F (c ,0)为双曲线右焦点,虚轴一个端点为B (0,b ),依题意得点P 为(-c ,2b ),又点P 在.5双曲线上,所以=1,得=5,即e 2=5,因为e>1,所以e=(-c )2a2‒(2b )2b2c 2a25.13.8 解析 由程序框图可知,变量的取值情况如下:第一次循环,i=4,s=;14第二次循环,i=5,s=;14+15=920第三次循环,i=8,s=;920+18=2340第四次循环,s=不满足s<,结束循环,输出i=8.23401214.80 解析 通项公式为T r+1=x 5-r 2r,令5-r=2,得r=3.C r 5则x 2的系数为23=80.C 35·。
【精】高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练： 3 Word版含解析
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练： 3 Word版含解析
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高考大题专攻练
3.数列(A组)[来源:Z_xx_]
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1.设数列的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，bn=-1-log2，数列的前n项和为Tn，cn=.世纪金榜导学号
92494439
(1)求数列的通项公式与数列前n项和
An.
(2)对任意正整数m，k，是否存在数列中的项an，使得≤32an成立？若存在，请求出正整数n的取值集合，若不存在，请说明理由
.
【解析】(1)因为an=5Sn+1，令n=1⇒a1=-，[来源:学§科§网
]
由得，an+1=-an，所以等比数列{an}的通项公式an=，
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2019高考数学(理科)二轮复习(全国通用版)：回扣4 数 列Word版含答案
回扣4数列1．牢记概念与公式等差数列、等比数列2.活用定理与结论(1)等差、等比数列{a n}的常用性质(2)判断等差数列的常用方法①定义法a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．②通项公式法a n＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．③中项公式法2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．④前n项和公式法S n＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)判断等比数列的常用方法①定义法a n＋1a n＝q(q是不为0的常数，n∈N *)⇔{an}是等比数列．②通项公式法a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． ③中项公式法a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． 3．数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．(2)形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列，利用错位相减法求和． (3)通项公式形如a n ＝c (an ＋b 1)(an ＋b 2)(其中a ，b 1，b 2，c 为常数)用裂项相消法求和．(4)通项公式形如a n ＝(－1)n ·n 或a n ＝a ·(－1)n (其中a 为常数，n ∈N *)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n 为奇数、偶数两种情况讨论．(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列． (6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n .1．已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a n b n 时，无法正确赋值求解．4．易忽视等比数列中公比q ≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．5．运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论．6．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项． 7．裂项相消法求和时，裂项前后的值要相等， 如1n (n ＋2)≠1n －1n ＋2，而是1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.8．通项中含有(－1)n 的数列求和时，要把结果写成n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式．1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 13>0，S 14<0，若a k ·a k ＋1<0，则k 等于( ) A ．6B ．7C ．13D ．14 答案 B解析 因为{a n }为等差数列，S 13＝13a 7，S 14＝7(a 7＋a 8)， 所以a 7>0，a 8<0，a 7·a 8<0，所以k ＝7.2．已知在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝12，则a 5＋a 6等于( ) A ．3B ．15C ．48D ．63 答案 C解析 a 3＋a 4a 1＋a 2＝q 2＝4，所以a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)·q 2＝48.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．12 D ．13答案 C解析 ∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零， 又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0， ∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.4．已知数列{a n }满足13n a ＋＝9·3n a(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则15793log ()a a a ＋＋等于( ) A ．－13B ．3C ．－3 D.13答案 C解析 由已知13n a＋＝9·3n a＝23n a ＋，所以a n ＋1＝a n ＋2，所以数列{a n }是公差为2的等差数列，a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋3d )＋(a 4＋3d )＋(a 6＋3d ) ＝(a 2＋a 4＋a 6)＋9d ＝9＋9×2＝27，所以15793log ()a a a ＋＋＝13log 27＝－3.故选C.5．已知正数组成的等比数列{a n }，若a 1·a 20＝100，那么a 7＋a 14的最小值为( ) A ．20 B ．25 C ．50 D ．不存在答案 A解析 在正数组成的等比数列{a n }中，因为a 1·a 20＝100，由等比数列的性质可得a 1·a 20＝a 7·a 14＝100，那么a 7＋a 14≥2a 7·a 14＝2100＝20，当且仅当a 7＝a 14＝10时取等号，所以a 7＋a 14的最小值为20.6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n 等于( ) A ．2n ＋1B ．2nC ．2n －1D ．2n －2答案 A解析 a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)⇒a n ＋1＝2a n ，再令n ＝1，∴S 1＝2a 1－4⇒a 1＝4， ∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，故选A.7．已知等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3等于( )A ．2B ．3C ．5D ．7 答案 B解析 ∵在等差数列{a n }中，a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，∴d 2＝a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝a 1，∴a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝15a 15a 1＝3，故选B.8．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n (4＋cos n π)＝n (2－cos n π)(n ∈N *)，则S 20等于( ) A ．31 B ．122 C ．324 D ．484答案 B解析 由题意可知，因为a n (4＋cos n π)＝n (2－cos n π)， 所以a 1＝1，a 2＝25，a 3＝3，a 4＝45，a 5＝5，a 6＝65，…，所以数列{a n }的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，偶数项构成首项为25，公差为25的。
2019届高三数学二轮复习高考大题标准练一理新人教版
高考大题标准练 ( 一)分 60 分, 模 ,60 分拿到高考主高分!1. 已知数列 {b n} 的前 n 和 B n=.(1)求数列 {b n} 的通公式 .(2)数列 {a n} 的通 a n=[b n+(-1) n] ·2n, 求数列 {a n} 的前 n 和 T n.【分析】 (1) 当 n>1 ,bn =B -Bn-1n=-=3n-2,*当 n=1, 得 b1=1, 所以 b n=3n-2(n ∈ N ).(2) 由意知 a n=[b n+(-1)n] · 2nn n n=b ·2 +(-1) 2 ,n{b n· 2n} 的前 n 和 S n,{(-1)n2n} 的前 n 和 H n,因 b n· 2n=(3n-2)2 n, 所以 S n=(3 × 1-2) · 2+(3 × 2-2)· 22+⋯ +(3n-2)· 2n, 2S n =(3 × 1-2) · 22+(3 × 2-2) · 23+⋯+[3(n-1)-2]· 2n+(3n-2)· 2n+1,两式相减得n23n n+1n+1 -S =2+3· (2+2 +⋯ +2 )-(3n-2)· 2 =-10+(5-3n)·2 ,所以 S n=10+(3n-5)· 2n+1,nn+· (-2),又 H=-n n n·n+1n=+(3n-5) ·2n+1+ · (-2)n.所以 T =S +H =10+(3n-5) 2 +· (-2) -2. 微信是企业推出的一种手机通件，它支持送音短信、、片和文字，一推出便靡全国，甚至涌出一批在微信的朋友圈内售商品的人( 被称微商 ). 了每日微信誉使用微信的，某化品的微商在一广随机采男性、女性用各50 名，此中每日玩微信超6小的用列“微信控” ，否称其“非微信控” ，果以下：微信控非微信控合男性262450女性302050合5644100(1) 依据以上数据，可否在犯的概率不超的前提下( 有 60%的掌握 ) “微信控”与“性”相关？(2) 现从检查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人赠予营养面膜 1 份，求所抽取 5 人中“微信控”和“非微信控”的人数.(3) 从 (2)中抽取的 5 人中再随机抽取 3 人赠予200 元的护肤品套装，记这 3 人中“微信控”.的人数为X，试求X的散布列与数学希望22参照公式： K (X )=，此中 n=a+b+c+d.参照数据：P(K2≥k0)k0【分析】 (1) 由列联表可得：=≈ <，所以不可以在出错误的概率不超出的前提下( 没有 60%的掌握 ) 以为“微信控” 与“性别” 相关 .(2)依题意可知，所抽取的 5 位女性用户中，“微信控”有 3 人，“非微信控”有 2 人 .(3)X 的全部可能取值为 1， 2， 3.P(X=1)==，P(X=2)== ， P(X=3)= =，所以 X 的散布列为X123PE(X)=1 ×+2×+3×= .3. 如图，在直角梯形ABCD 中， AD∥ BC，∠ ADC=90°， AE⊥平面ABCD， EF∥ CD，BC=CD=AE=EF=AD=1.(1)求证： CE∥平面 ABF.(2)在直线 BC上能否存在点 M，使二面角 E-MD-A 的大小为？若存在，求出 CM的长；若不存在，说明原因.【分析】 (1) 如图，作 FG∥ EA，AG∥ EF，连结 EG交 AF 于 H，连结 BH， BG，因为 EF∥ CD， EF=CD，所以 AG∥ CD，即点 G在平面 ABCD内，由 AE⊥平面 ABCD知 AE⊥ AG，所以四边形 AEFG是正方形，四边形 CDAG为平行四边形， H 为EG的中点， B 为 CG的中点，所以 BH∥ CE，BH在平面 ABF内， CE在平面 ABF外，所以 CE∥平面 ABF.(2) 如图，因为四边形AGCD为平行四边形，∠ADC=90°， AE⊥平面ABCD.以 A 为原点， AG 为 x 轴， AD为 y 轴， AE为 z 轴，成立空间直角坐标系.则 A(0， 0， 0) ， E(0， 0， 1) ，D(0， 2，0) ，设 M(1， y ， 0) ，所以=(0 ， 2， -1) ，=(1 ， y-2 ，0) ，00设平面 EMD的一个法向量为n=(x ， y， z) ，则令 y=1，得 z=2， x=2-y 0，所以 n=(2-y 0， 1， 2).又因为 AE⊥平面 AMD，所以=(0 ， 0，1) 为平面 AMD的一个法向量，所以==cos =，解得y0=2±，所以在直线BC上存在点M，且==.4. 已知椭圆+ =1(a>b>0) 经过点 M(-,), 且离心率等于.(1)求椭圆的方程 .(2) 若直线l :y=x+m 与椭圆交于A,B 两点 , 与圆 x2+y2=2 交于 C,D 两点 .①当=2 时, 求直线l的方程 ; ②若λ =, 试求λ的取值范围.【分析】 (1) 由已知可得解得所以椭圆方程为+=1.(2) ①因为=2, 圆心 (0,0)到直线 l :y=x+m的距离d==1,于是=1 即=,m=或 -,所以直线的方程为y=x+或y=x-.②y=x+m 代入 +=1 整理得3x 22+4mx+2m-8=0,设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则 x1+x2=-,x 1x2=.==.又圆心 (0,0) 到直线l的距离 d=,于是=2=.所以λ ===,又因为直线与椭圆、圆都订交,所以2解得 0≤ m<4, 于是≤ -2,1-≥ 3,≥,所以λ≥.5. 已知函数 f(x)=e x(sinx-ax2+2a-e) ，此中 a∈ R， e=⋯自然数的底数 .(1) 当 a=0 ，函数f(x)的性 .(2) 当≤ a≤ 1 ，求：随意的 x∈ [0 ， +∞ ) ， f(x)<0.【分析】 (1) 当 a=0 ， f(x)=e x(sinx-e)， x∈ R，f ′ (x)=e x(sinx+cosx-e)=e x，因当 x∈R ，sin≤，所以 f ′ (x)<0 ，所以函数 f(x) 在 R上减 .(2)g(x)=sinx-ax2+2a-e ， x∈[0 ， +∞ ) ， g′ (x)=cosx-2ax，令 h(x)=g ′ (x)=cosx-2ax ， x∈ [0 ， +∞) ， h′ (x)=-sinx-2a，当≤ a≤ 1 ， x∈ [0 ， +∞) ，有 h′(x) ≤ 0，所以 h(x) 在 [0 ， +∞) 上是减函数，即 g′ (x)在[0 ， +∞ ) 上是减函数，又因 g′(0)=1>0 ， g′=≤<0，所以 g′ (x) 存在独一的 x0∈，000使得 g′ (x )=cosx-2ax=0，所以当 x∈(0 ， x0) ， g′ (x)>0 ， g(x)在区 (0 ， x0) 上增；当 x∈ (x 0， +∞ ) ， g′(x)<0 ，g(x) 在区 (x 0， +∞) 上减，所以在区[0 ， +∞ ) 上，g(x)=g(x )=sinx0-a+2a-e ，max因 为 cosx 0-2ax 0=0 ，所 以x 0= cosx 0 ， 将 其 代 入 上 式 得g(x)max=sinx 0-cos 2x 0+2a-e=sin 2x 0+sinx 0-+2a-e ，令t=sinx0， x 0 ∈，则t ∈，即有 p(t)=t 2 +t- +2a-e ， t ∈ ，因为 p(t) 的对称轴 t=-2a<0 ，所以函数 p(t) 在区间上是增函数，且≤ a ≤ 1，所以 p(t)<p= - +2a-e ≤ + -e<0 ，即随意 x ∈[0 ， +∞ ) ， g(x)<0 ，所以 f(x)=e x g(x)<0 ，所以对随意 x ∈ [0 ，+∞ ) ， f(x)<0.。
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高考大题专攻练
12.函数与导数(B组)
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1.已知函数f(x)=ln(2ax+a2-1)-ln(x2+1)，其中a∈R. 世纪金榜导学号92494448
(1)求f(x)的单调区间.
(2)是否存在a的值，使得f(x)在[0，+∞)上既存在最大值又存在最小值？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)f(x)=ln(2ax+a2-1)-ln(x2+1)
=ln.
设g(x)=，g′(x)=-.
①当a=0时，f(x)无意义，所以a≠0.
②当a>0时，f(x)的定义域为.
令g′(x)=0，得x1=-a，x2=，g(x)与g′(x)的情况如表：
-(-a)=>0，所以>-a.
-=-<0，所以<.
故f(x)的单调递增区间是；
单调递减区间是.
③当a<0时，f(x)的定义域为.令g′(x)=0，得x1=-a，x2=，g(x)与g′(x)的情况如表：
-(-a)=<0，所以<-a.
-=->0，所以>.
所以f(x)的单调递增区间是；
单调递减区间是.
(2)①当a>0时，由(1)可知，f(x)在上单调递增，在
上单调递减，所以f(x)在[0，+∞)上存在最大值f=lna2. 下面研究最小值：
由于f(x)的定义域为.
(ⅰ)若≥0，即0<a≤1时，结合f(x)的定义域可知f(x)在[0，+∞)上没有最小值，不合题意.
(ⅱ)若<0，即a>1时，因为在上单调递增，
所以f(x)在上存在最小值f(0)；
因为f(x)在上单调递减，
所以f(x)在上不存在最小值.
所以，要使f(x)在[0，+∞)上存在最小值，
只可能是f(0)=ln(g(0)).
计算整理g(x)-g(0)=-(a2-1)
=.
要使f(x)在[0，+∞)上存在最小值，
只需x∈[0，+∞)，g(x)-g(0)≥0.
因为x2+1>0，则问题转化为x∈[0，+∞)时，(1-a2)x+2a≥0恒成立.
设h(x)=(1-a2)x+2a，则只需或
解得0≤a≤1，这与a>1相矛盾，
所以f(x)在[0，+∞)上没有最小值，不合题意.
②当a<0时，由于f(x)的定义域为.
(ⅰ)若≤0，即-1≤a<0时，f(x)在[0，+∞)上没有意义，也不存在最大值和最小值.
(ⅱ)若>0，即a<-1时，由(1)可知f(x)在上单调递减，f(x)存在最大值，但不存在最小值.
综上，不存在a的值，使得f(x)在[0，+∞)上既存在最大值又存在最小值.
2.已知函数f(x)=ae x+(2-e)x(a为实数，e为自然对数的底数)，曲线y=f(x)在x=0处的切线与直线(3-e)x-y+10=0平行. 世纪金榜导学号92494449
(1)求实数a的值，并判断函数f(x)在区间[0，+∞)内的零点个数.
(2)证明：当x>0时，f(x)-1>xln(x+1).
【解析】(1)f′(x)=ae x+2-e，由题设，可知曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率k=f′(0)=a+2-e=3-e，解得a=1，
所以f(x)=e x+(2-e)x，
所以x≥0时，f′(x)=e x+2-e≥e0+2-e>0，
所以f(x)在区间[0，+∞)内为增函数，
又f(0)=1>0，所以f(x)在区间[0，+∞)内没有零点.
(2)当x>0时，f(x)-1>xln(x+1)等价于>ln(x+1)，记g(x)=e x-(x+1)，
则g′(x)=e x-1，当x>0时，g′(x)>0，
所以当x>0时，g(x)在区间(0，+∞)内单调递增，
所以g(x)>g(0)=0，即e x>x+1，两边取自然对数，得x>ln(x+1)(x>0)，
所以要证明>ln(x+1)(x>0)，只需证明≥x(x>0)，即证明当x>0时，e x-x2+(2-e)x-1≥0，①
设h(x)=e x-x2+(2-e)x-1，则h′(x)=e x-2x+2-e，
令φ(x)=e x-2x+2-e，
则φ′(x)=e x-2，当x∈(0，ln2)时，φ′(x)<0；
当x∈(ln2，+∞)时，φ′(x)>0.
所以φ(x)在区间(0，ln2)内单调递减，在区间(ln2，+∞)内单调递增，又φ(0)=3-e>0，φ(1)=0，0<ln2<1，所以φ(ln2)<0，所以存在x0∈(0，1)，使得φ(x0)=0，
所以当x∈(0，x0)，或x∈(1，+∞)时，φ(x)>0；
当x∈(x0，1)时，φ(x)<0，所以h(x)在区间(0，x0)内单调递增，在区间(x0，1)内单调递减，在区间(1，+∞)内单调递增，
又h(0)=h(1)=0，所以h(x)=e x-x2+(2-e)x-1≥0，当且仅当x=1时，取等号，即①式成立.
所以f(x)-1>xln(x+1).
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