高一函数基本初等函数

函 数 的 定 义 域 和 值 域
第 二 课 时
基础过关
一、定义域： 1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 2．常见的三种题型确定定义域： ① 已知函数的解析式，就是 . ② 复合函数f [g(x)]的有关定义域，就要保证内函数 g(x)的 域是外函数f (x)的 域. ③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的 自变量的取值集合.
二、值域： 1．函数y＝f (x)中，与自变量x的值 的集合. 2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决 于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法； ③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法； ⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法） 例如：① 形如y＝ ，可采用 法；② y＝ ，可采用 法或 法；③ y＝a[f (x)]2＋bf (x)＋c，可采用 法；④ y＝x－ ，可采用 法；⑤ y＝x－ ，可采 用 法；⑥ y＝ 可采用 法等.
①³2-②得 3f（x）=6x-
例 3. 等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AD=2a，BC=a，∠BAD=45°， 作直线 MN⊥AD 交 AD 于 M，交折线 ABCD 于 N，记 AM=x，试将 梯形 ABCD 位于直线 MN 左侧的面积 y 表示为 x 的函数，并写 出函数的定义域
解：作 BH⊥AD，H 为垂足，CG⊥AD，G 为垂足， 依题意，则有 AH=
(3)y= 25 x +lgcosx;
2
2 x 0 x 2 2 解：（1）由 12 x x 0, 得 3 x 4, x 1 x 1 0
所以-3＜x＜2 且
故所求函数的定义域为（-3，1）
3 x 4 4 x 3 0 1 （2）由 得 x , 4 x 3 1 , 2 5 x 4 0 4 x 5
1 2 x 2 a2 1 综上：y= ax 8 2 1 5a 2 2 x 2ax 4 2
a x 0, 2 a 3 x , a . 2 2 3 x a , 2a 2
x 2 , 1, 变式训练 3：已知函数 f(x)= 1 , x
典型例题
例 1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）. x A. y 1, y B. y x 1 x 1, y x2 1 x C. y x, y 3 x3 D. y | x |, y ( x )2
解：C
变式训练 1：下列函数中，与函数 y=x 相同的函数是
a 3 ，AG= 2 2
（1）当 M 位于点 H 的左侧时，N∈AB， 由于 AM=x， ∴y=S△AMN= x （0≤x≤
1 2
2
a ） 2
（2）当 M 位于 HG 之间时，由于 AM=x， ∴MN=
a a ，BN=x2 2 1 a 2 2 a ）］ 2
∴y=S AMNB = · ［x+（xa2 a 3 1 = ax- ( x a). 2 8 2 2
借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为 5,

3 2
3 ,5. ( , ) 2 2 2
例 2. 设函数 y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域 （1）y=f(3x); (3)y=f( x ) f ( x )
变式训练 2：（1）已知 f（ 1 ）=lgx，求 f（x）； （2）已知 f（x）是一次函数，且满足 3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求 f（x）； （3）已知 f（x）满足 2f（x）+f（
解：(1)令
2 2 +1=t，则 x= ， t 1 x 2 2 ，∴f（x）=lg t 1 x 1
2 x
1 ）=3x，求 f（x） x
∴f（t）=lg
（2）设 f（x）=ax+b，则 3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17， ∴a=2，b=7，故 f（x） （3）2f（x）+f（
1 ）=3x， x
把①中的 x 换成
1 1 3 ，得 2f（ ）+f（x）= x x x 3 1 ，∴f（x）=2x- . x x
x 0, x 0, x 0.
（1）画出函数的图象；（2）求 f(1)，f(-1),f f (1) 的值.
解：（1）分别作出 f(x)在 x＞0,x=0,x＜0 段上的图象， 如图所示，作法略.
（2）f(1)=1 =1,f(-1)=-
2
1 1, f f (1) =f(1)=1. 1
2 2 2 2
则 f(t)=(t-1) +2(t-1)=t -1,即 f(x)=x -1,x∈［1， 2 （2）设 f(x)=ax 2 ∴f(x+2)=a(x+2) 则 f(x+2)4a 4 ∴ ， 4 a 2 b 2 a 1 2 ，又 f(0)=3 c=3,∴f(x)=x -x+3. b 1
综上所述：当 0≤a≤ 时，定义域为［a，1-a］；
1 当- ≤a≤0 时，定义域为［-a，1是［0，1］，
1 则 f(x+a)²f(x-a)（0＜a＜ ）的定义域是 2
（
）
A. C.［-a，1+a］
解： B
B.［a，1-a］ ［0，1］
点燃希望
小结归纳
1．了解映射的概念，应紧扣定义，抓住任意性和唯 一性． 2．函数的解析式常用求法有：待定系数法、换元法 （或凑配法）、解方程组法．使用换元法时，要注 意研究定义域的变化． 3．在简单实际问题中建立函数式，首先要选定变量， 然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意 定义域．若函数在定义域的不同子集上的对应法则 不同，可用分段函数来表示．
x2 A.y= x
（
x
） D.y= 2lo g2 x
B.y=( x )
2
解：C
例 2.给出下列两个条件：（1）f( x +1)=x+2 x (2)f(x)为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2. 试分别求出 f(x)的解析式
解：（1）令 t= x +1,∴t≥1，x=（t-1）
1 3 1 3
(2)y=f(
1 x
(4)y=f(x+a)+f(x-
解：（1）0≤3x≤1,故 0≤x≤
1 3
的定义域为［0,
1 ］ 3
（2）仿（1）解得定义域为［1，
（3）由条件，y 的定义域是 f ( x ) 与 ( x ) 定义域的交集
1 2 1 0 x 1 x 1 2 3 3 3 列出不等式组 x , 3 3 0 x 1 1 1 x 4 3 3 3
第1.2章 函数 基本初等函数
章末复习
目录
• • • • • • • • • • • 函数及其表示 函数的定义域及其值域 函数的单调性 函数的奇偶性 指数函数 对数函数 函数的图像 幂函数 函数与方程 函数与模型的应用 单元测试
定义域
区间
一元二次函数 一元二次不等式
知识网络
定 义
对应法则 值域 指 数 函 数
3 1 1 4 4 函数的定义域为 , ( , ) ( ,). 4 2 2 5 5
5 x 5 25 x 2 0 , （3）由 ,得 cos x 0 2 k x 2 k ( k Z ) 2 2
x 1 x 1 0 , ∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞） ,即 x 1 x 1 0
变式训练 1：求下列函数的定义域：
x2 0 （1）y= +(x-1) ; (2)y= +(5x-4) ; 2 lg(4 x 3) 12 x x
0
lg(2 x)
（3）当 M 位于点 G 的右侧时，由于 AM=x，MN=MD=2a∴y=S ABCD-S△MDN
1 a 1 3a 2 1 1 2 5a 2 3 2 2 2 (4a 4ax x ) x 2ax ( a x 2a). = · (2a a) (2a x) 2 2 2 4 2 2 4 2
故 y=f ( x ) f ( x ) 的定义域为 . , 3 3 3 3
1 1 1 3 1 3
1 2


0 x a 1 a x 1 a （４）由条件得 , 讨论： 0 x a 1 a x 1 a a 1 a, 1 ①当 即 0≤a≤ 时，定义域为［a,1-a］ 2 1 a 1 a, a a, 1 ②当 即- ≤a≤0 时，定义域为［-a,1+a］ 2 a 1 a,
x 1 即 . 故函数的定义域为{x|x＜0 且 x≠-1}. x 0
x2 3 0 x 3 , （2）由题意可得 解得 . 2 5 x 0 5 x 5
故函数的定义域为{x|- 5 ≤x≤ 5 且 x≠± 3
（3）要使函数有意义，必须有
典型例题
例 1. 求下列函数的定义域： （1）y=
( x 1)0 | x | x
(2)y=
1
3
x2 3
5 x 2 ; (3)y= x 1· x 1 .
解：（1）由题意得
x 1 x 1 0 , , 化简得 | x | x | x | x 0
根式
分数指数 指数方程 对数方程 对数的性质
映 射 函 数 性 质 奇偶性 单调性 周期性