2018-2019年高中湘教版数学选修2-2训练：6-3(2)数学归纳法(二) Word版含解析

合集下载

2018年数学同步优化指导湘教版选修2-2练习：6-3 数学归纳法活页作业21 含解析精品

活页作业(二十一) 数学归纳法1．用数学归纳法证明“2n ＞n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：当n 取1,2,3,4时2n ＞n 2＋1不成立；当n ＝5时，25＝32＞52＋1＝26.故第一个能使2n ＞n 2＋1的n 值为5.答案：C2．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N ＋，n ＞1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12＜2B ．1＋12＋13＜2C ．1＋12＋13＜3D ．1＋12＋13＋14＜3解析：∵n ＞1且n ∈N ＋，∴n 取的第一个值n 0＝2. ∴第一步应验证：1＋12＋13＜2.答案：B3．设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1为( )A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1解析：S k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝S k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12k ＋2. 答案：C4．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N ＋)，则n ＝1时f (n )是( )A ．1B ．13C ．1＋12＋13D ．以上答案均不正确解析：∵f (n )共有(2n ＋1)项，∴当n ＝1时，有2＋1＝3项，即f (1)＝1＋12＋13.答案：C5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有(n ＋1)项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有(n 2－n )项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有(n 2－n ＋1)项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14解析：观察分母的首项为n ，最后一项为n 2，公差为1， ∴项数为n 2－n ＋1. 答案：D6．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N ＋)时第一步验证n＝1时，左边应取的项是______________.解析：当n ＝1时，左边要从1加到n ＋3，即1＋2＋3＋4. 答案：1＋2＋3＋47．已知每项都大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1，前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ≥2)，则a 81____________.解析：∵S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1， S 1＝a 1＝1，∴S 2＝9，S 3＝25，…，S n ＝(2n －1)2. 利用数学归纳法可证明S n ＝(2n －1)2. ∴a 81＝S 81－S 80＝640. 答案：6408．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，n ∈N ＋，用数学归纳法证明f (2n )＞n 2时，f (2n ＋1)－f (2n )＝______________.解析：f (n )有n 项，最后一项是1n ，f (2n )有2n 项，最后一项是12n ，f (2n ＋1)有2n＋1项，最后一项是12n 1，∴f (2n ＋1)比f (2n )多出的项为 12n＋1＋12n ＋2＋…＋12n ＋1. 答案：12n＋1＋12n ＋2＋…＋12n ＋1 9．设a ＞0，函数f (x )＝ax a ＋x ，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N ＋.(1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式． (2)用数学归纳法证明你的结论． (1)解：∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a 1＋a ，a 3＝f (a 2)＝a 2＋a ，a 4＝f (a 3)＝a3＋a .猜想a n ＝a(n －1)＋a (n ∈N ＋)．(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝a(1－1)＋a＝1.②假设当n ＝k 时猜想正确，即a k ＝a(k －1)＋a，则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a k a ＋a k ＝a ·a (k －1)＋a a ＋a (k －1)＋a ＝a (k －1)＋a ＋1＝a[(k ＋1)－1]＋a.这说明，当n ＝k ＋1时猜想也正确．综上可由①②知，对于任何n ∈N ＋，都有a n ＝a(n －1)＋a.10．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N ＋)，并用数学归纳法证明你的结论．解：当n ＝1时，21＋2＝4＞12；当n ＝2时，22＋2＝6＞22；当n ＝3时，23＋2＝10＞32；当n ＝4时，24＋2＝18＞42.由此可以猜想：2n ＋2＞n 2(n ∈N ＋)成立．用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边＞右边．故原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4.故左边＞右边.当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，故左边＞右边．②假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，即2k＋2＞k2，那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2＞2k2－2.要证当n＝k＋1时结论成立，只需证2k2－2≥(k＋1)2，即证k2－2k－3≥0，即证(k＋1)(k－3)≥0.又因为k＋1＞0，k－3≥0，所以(k＋1)(k－3)≥0.所以当n＝k＋1时，结论成立．由①②可知，n∈N＋时，2n＋2＞n2.11．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为()A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)B．34×34k＋1＋52×52kC．34k＋1＋52k＋1D．25(34k＋1＋52k＋1)解析：当n＝k时，34k＋1＋52k＋1可被8整除；当n＝k＋1时，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋1×34＋52k＋1×52＝56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．答案：A12．在平面几何中，有边长为a的正三角形内任意一点到三边距离之和为定值32a，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到4个面的距离之和为()A.43a B．63aC.54a D．64a解析：利用等体积法，四面体内一点和4个顶点连线将四面体分成4个四面体，这4个四面体体积之和等于大的四面体体积．答案：B13．用数学归纳法证明－1＋3－5＋…＋(－1)n·(2n－1)＝(－1)n n时，第二步中当n＝k ＋1时，要证明的式子应为__________________________.解析：当n ＝k ＋1时，左边＝－1＋3－5＋…＋(－1)k ＋1[2(k ＋1)－1]＝－1＋3－5＋…＋(－1)k ＋1(2k ＋1)．答案：－1＋3－5＋…＋(－1)k ＋1(2k ＋1)＝(－1)k ＋1(k ＋1)14．设f (n )＝n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N ＋)，则用数学归纳法证明f (n )能被9整除的过程中，f (k ＋1)＝f (k )＋______________.解析：f (k ＋1)＝(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3＝(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋k 3＋9k 2＋27k ＋27＝f (k )＋9k 2＋27k ＋27.答案：9k 2＋27k ＋2715．由下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．解：猜想第n 个不等式，即一般不等式为 1＋12＋13＋…＋12n －1＞n2(n ∈N ＋)．用数学归纳法证明如下： ①当n ＝1时，1＞12，猜想成立．②假设当n ＝k 时，猜想成立，即 1＋12＋13＋…＋12k －1＞k 2，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1＞k 2＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1＞k 2＋2k 2k ＋1＝k ＋12，即当n ＝k ＋1时，猜想也正确．所以对任意的n ∈N ＋，不等式成立．16．一种计算装置，有一个数据入口A 和一个运算出口B ，按照某种运算程序：①当从A 口输入自然数1时，从B 口得到13，记为f (1)＝13；②当从A 口输入自然数n (n ≥2)时，在B口得到的结果f (n )是前一个结果f (n －1)的2(n －1)－12(n －1)＋3倍．(1)当从A 口分别输入自然数2,3,4时，从B 口分别得到什么数？试猜想f (n )的关系式，并证明你的结论．(2)记S n 为数列{f (n )}的前n 项和．当从B 口得到16 192 575的倒数时，求此时对应的S n 的值．解：(1)由已知得f (n )＝2n －32n ＋1f (n －1)(n ≥2，n ∈N ＋)．当n ＝2时，f (2)＝4－34＋1f (1)＝15×13＝115.同理可得f (3)＝135，f (4)＝163.猜想f (n )＝1(2n －1)(2n ＋1).(*)用数学归纳法证明如下：①当n ＝1,2,3,4时，由上面的计算结果知(*)成立． ②假设n ＝k (k ∈N ＋)时，(*)成立，即f (k )＝1(2k －1)(2k ＋1)，那么当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝2k －12k ＋3f (k )＝2k －12k ＋3·1(2k －1)(2k ＋1)，即f (k ＋1)＝1[2(k ＋1)－1][2(k ＋1)＋1]，∴当n ＝k ＋1时，(*)也成立．综合①②可知，对所有的n ∈N ＋，f (n )＝1(2n －1)(2n ＋1)恒成立．(2)由(1)可得1(2n －1)(2n ＋1)＝116 192 575＝1(2×2 012－1)×(2×2 012＋1)，∴n ＝2 012.∵f (n )＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴S 2 012＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫14 023－14 025＝12⎝⎛⎭⎫1－14 025＝2 0124 025.。

2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练：第6章章末小结 Word版含解析

1．两种合情推理(1)归纳推理：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，步骤如下：①通过观察个别对象发现某些相同性质；②由相同性质猜想一般性命题．(2)类比推理：类比推理是由特殊到特殊的推理，步骤如下：①找出两类对象之间的相似性或一致性；②由一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题．2．演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理，一般模式为三段论．演绎推理只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得的结论就一定正确．注意错误的前提和推理形式会导致错误的结论．3．直接证明——综合法和分析法(1)综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，利用定理、定义、公理和运算法则证明结论．(2)分析法是“执果索因”，即从结论逆向转化，寻找一个已证的命题(已知条件或定义、公理、定理、公式等)．注意：①分析法是从结论出发，但不可将结论当作条件．②在证明过程中，“只要证”“即证”等词语不能省略．4．间接证明——反证法反证法证题的步骤为：反设－归谬－结论，即通过否定结论，得出矛盾来证明命题．注意：反证法的关键是将否定后的结论当条件使用．5．直接证明——数学归纳法(1)数学归纳法的两个步骤缺一不可，由n＝k⇒n＝k＋1时必须使用归纳假设，否则不算是数学归纳法．(2)数学归纳法虽然仅限于与正整数有关的命题，但并不是所有与正整数有关的命题都能使用数学归纳法．[例1] 给出下面的数表序列：表1 1 表21 34表3 …1 3 54 812其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3,5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)．[解] 表4为1 3 5 74 8 12 12 20 32它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．简单的归纳猜想问题通过观察所给的数表、数阵或等式、不等式即可得到一般性结论，较复杂的问题需将已知转换为同一形式才易于寻找规律．[例2] 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 .[解析] 分别观察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…归纳可知，第n 个叠放图形中共有n 层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，所以S n ＝n ＋[n (n －1)×4]÷2＝2n 2－n ，所以S 7＝2×72－7＝91. [答案]91解答此类题目时，需要细心观察图形，寻找每一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识．本题注意从图形中抽象出等差数列．1．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数．则f (4)＝________，f (n )＝________.解析：因为f (1)＝1，f (2)＝7＝1＋6，f (3)＝19＝1＋6＋12，所以f (4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f (n )＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n －1)＝3n 2－3n ＋1. 答案：37 3n 2－3n ＋12.如图给出了3层的六边形，图中所有点的个数S 3为28，按其规律再画下去，可得n (n ∈N ＋)层六边形，试写出S n 的表达式．解：设每层除去最上面的一个点的点数为a n ，则a n 是以5为首项，4为公差的等差数列，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋1＝n [5＋5＋4(n －1)]2＋1＝2n 2＋3n ＋1(n ∈N ＋).[例3] 在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D . 求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述论据，你能得到怎样的猜想，并说明理由．[证明] 如右图所示，由射影定理， AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ， ∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. ∵BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. ∴1AD 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，猜想四面体ABCD 中， AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 证明上述猜想成立．如右图所示，连接BE 交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2. ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 故猜想正确．(1)类比是以旧知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能．(2)类比推理的常见情形有：平面与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等．3．若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则有性质“若S m ＝S n (m ，n ∈N *且m ≠n )，则S m ＋n ＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n }为等比数列时，写出一个正确的性质：____________________________.答案：数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积，若T m ＝T n (m ，n ∈N *，m ≠n )，则T m ＋n ＝14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径为r ＝12a 2＋b 2，把上述结论类比到空间，写出相似的结论．解：取空间中三条侧棱两两垂直的四面体A -BCD 且AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则此四面体的外接球半径为R ＝12a 2＋b 2＋c 2.[例4] 设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8. [证明] 法一：(综合法) ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4.又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立. 法二：(分析法)∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只要证⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋a ＋bab ≥8，只要证⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4. 即证b a ＋a b≥2.由基本不等式可知，当a ＞0，b ＞0时，b a ＋ab ≥2成立⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，所以原不等式成立．综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．5．已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)．(1)证明：函数f(x)的图象在y轴一侧；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)是图象上的两点，证明：直线AB的斜率大于零．证明：(1)由a x－1>0，得a x>1.①当a>1时，x>0，函数图象在y轴右侧；②当0<a<1时，x<0，函数图象在y轴左侧．故函数图象总在y轴一侧．(2)由于k AB＝y1－y2x1－x2，又由x1<x2，故只需证y2－y1>0即可．因为y2－y1＝log a(a x2－1)－log a(a x1－1)＝log a a x2－1a x1－1.①当a>1时，由0<x1<x2，得a0<a x1< a x2，即0<a x1－1<a x2－1.故有a x2－1a x1－1>1，log aa x2－1a x1－1>0，即y2－y1>0.②当0<a<1时，由x1<x2<0，得a0>a x1>a x2>1.即a x1－1>a x2－1>0.故有0<a x2－1a x1－1<1，∴y2－y1＝log a a x2－1a x1－1>0，即y2－y1>0. 综上，直线AB的斜率总大于零.[例5]已知a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6，求证：a，b，c中至少有一个大于0.[证明]假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，得a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故假设不成立． ∴a ，b ，c 中至少有一个大于0.(1)用反证法证题时，先假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．(2)反证法证题的思路是：“假设—归谬—存真”．6．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．答案：A[例6] 已知数列{a n }满足：a 1＝1,4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9(n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3，a 4；(2)由(1)的结果猜想a n 用n 表示的表达式； (3)用数学归纳法证明(2)的猜想． [解] (1)由a 1＝1及a n ＋1＝9－2a n4－a n，得 a 2＝9－2a 14－a 1＝73，a 3＝9－2a 24－a 2＝9－2×734－73＝135，a 4＝9－2a 34－a 3＝9－2×1354－135＝197.所以a 2＝73，a 3＝135，a 4＝197.(2)观察a1，a2，a3，a4的值，分母构成正奇数数列2n－1，分子构成首项为1，公差为6的等差数列，故猜想：a n＝6n－52n－1，n∈N＋.(3)用数学归纳法证明上面的猜想．①当n＝1时，a1＝6×1－52×1－1＝1，猜想正确．②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，猜想正确，即a k＝6k－5 2k－1.所以当n＝k＋1时，a k＋1＝9－2a k4－a k＝9－2·6k－52k－14－6k－52k－1＝6(k＋1)－52(k＋1)－1.这就是说n＝k＋1时猜想也成立．由①②可知，猜想对任意正整数n都成立．探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证明往往用到数学归纳法．7．在数列{a n}中，a1＝12，a n＋1＝3a na n＋3，求a2，a3，a4的值，由此猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．解：a1＝12＝36，a2＝37，a3＝38，a4＝39，猜想a n＝3n＋5，下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝31＋5＝12，猜想成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想成立，即a k＝3k＋5，则当n＝k＋1时，a k＋1＝3a ka k＋3＝3·3k＋53k＋5＋3＝3(k＋1)＋5，所以当n＝k＋1时猜想也成立．由①②知，对n∈N＋，a n＝3n＋5都成立．(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第()A．22项B．23项C．24项D．25项解析：两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项．答案：C2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是()A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数解析：应对结论进行否定，则2＋3不是无理数，即2＋3是有理数．答案：D3．用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N＋)”时，第一步验证n＝1时，左边应取的项为()A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析：当n＝1时，左边的最后一项为4，故为1＋2＋3＋4.答案：D4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面()A．各正三角形内任一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．答案：C5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( )A ．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B ．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C ．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D ．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B 选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D 选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C 选项，故选A.答案：A6．用数学归纳法证明“1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1”时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是( )A.2k (k ＋2)B.1k (k ＋1)C.1(k ＋1)(k ＋2)D.2(k ＋1)(k ＋2)解析：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋(k ＋1)＝2(k ＋1)(k ＋2).答案：D7．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 019的末两位数字为( ) A ．01 B ．43 C ．07D ．49解析：∵75＝16 807,76＝117 649,77＝823 543，78＝5 764 801，… ∴7n (n ∈N ＋，且n ≥5)的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记7n (n ∈N ＋，且n ≥5)的末两位数为f (n )，则f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)， ∴72 019与73的末两位数相同，均为43.8．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论： ①a ·b ＝b ·a ； ②(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )； ③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ； ④由a ·b ＝a ·c (a ≠0)可得b ＝c .以上通过类比得到的结论正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确， ②错误；由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得a ·(b －c )＝0，从而b －c ＝0或a ⊥(b －c )，故④错误．答案：B9．已知a >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋a x n ≥n ＋1，则a 的值为( )A ．n 2B ．n nC ．2nD ．22n －2解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋n nx n ≥n ＋1，故a ＝n n . 答案：B10．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3.11．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，则△ABC 的内切圆半径为r ＝2Sa ＋b ＋c.将此结论类比到空间四面体：设四面体S -ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，体积为V ，则四面体的内切球半径为r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为：V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.答案：C12．下面的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的．第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第4个数(从左往右数)为( ) A.1360 B.1504 C.1840D.11 260解析：依题意，结合所给的数阵，归纳规律可知第8行的第一个数、第二个数分别等于18，17－18，第9行的第一个数、第二个数、第三个数分别等于19，18－19，⎝⎛⎭⎫17－18－⎝⎛⎭⎫18－19，第10行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别等于110，19－110，⎝⎛⎭⎫18－19－⎝⎛⎭⎫19－110，⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫17－18－⎝⎛⎭⎫18－19－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫18－19－⎝⎛⎭⎫19－110＝1840. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，将命题类比到三棱锥中去得到一个类比的命题为________．答案：在三棱锥A -BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG ―→＝13(AB ―→＋AC ―→＋AD ―→)14．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和315．观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N ＋，1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.解析：∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…， ∴归纳可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2. 答案：n 216．五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②当报出的数为3的倍数时，则报该数的同学需拍手一次．当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为________．解析：设报出的第n 个数为a n ，则有a n ＋a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N ＋.a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝5，a 6＝8，a 7＝13，a 8＝21，…，所以a 4，a 8为3的倍数，a 12＝a 10＋a 11＝2a 10＋a 9＝2a 8＋3a 9也为3的倍数，可得规律a 4m ( m ∈N ＋)为3的倍数．则当第30个数被报出时，报出的数中是3的倍数的有a 4，a 8，a 12，a 16，a 20，a 24，a 28，故五位同学拍手的总次数为7.答案：7三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)画出图形，可知凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，请归纳猜测凸n (n >3，n ∈N ＋)边形对角线的条数f (n )，并证明所得结论．解：由题意得，当n ＝4时，f (4)＝2＝4×12；当n ＝5时，f (5)＝5＝5×22；当n ＝6时，f (6)＝9＝6×32；…，由此猜测f (n )＝n (n －3)2，即凸n (n >3，n ∈N ＋)边形有n (n －3)2条不同的对角线．证明：因为凸n (n >3，n ∈N ＋)边形中从每一个顶点出发的对角线有(n －3)条，所以从所有的顶点出发的对角线有n (n －3)．又每条对角线都被数了两次，所以凸n (n >3，n ∈N ＋)边形的对角线的条数为n (n －3)2.18．(本小题满分12分)△ABC 的三条高分别为h a ，h b ，h c ，r 为内切圆半径，且h a ＋h b ＋h c ＝9r ，求证：该三角形为等边三角形．证明：设三角形三边分别为a ，b ，c ，故只需证a ＝b ＝c . 因为h a ＝2S a ，h b ＝2S b ，h c ＝2Sc ，其中S 为△ABC 的面积，所以h a ＋h b ＋h c ＝2S ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c .又因为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，h a ＋h b ＋h c ＝9r ，所以(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ＝9.所以a 2b ＋a 2c ＋b 2a ＋b 2c ＋c 2a ＋c 2b －6abc ＝0. 将上式分解因式，得a (b －c )2＋b (c －a )2＋c (a －b )2＝0. 因为a >0，b >0，c >0，所以(b －c )2＝(c －a )2＝(a －b )2＝0.所以a ＝b ＝c .∴该三角形为等边三角形．19.(本小题满分12分)如图所示，设SA ，SB 是圆锥SO 的两条母线，O是底面圆心，C 是SB 上一点，求证：AC 与平面SOB 不垂直．证明：假设AC ⊥平面SOB ，因为直线SO 在平面SOB 内，所以SO ⊥AC ，因为SO ⊥底面圆O ，所以SO ⊥AB . 因为AB ∩AC ＝A ，所以SO ⊥平面SAB . 所以平面SAB ∥底面圆O ，这显然与平面SAB 与底面圆O 相交矛盾，所以假设不成立，即AC 与平面SOB 不垂直．20．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N ＋)，试利用三段论形式证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明：(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)21．(本小题满分12分)十字绣有着悠久的历史，如下图，①②③④为十字绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图案包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1(n ≥2)的值．解：(1)按所给图案的规律画出第五个图如下：由图可得f (5)＝41. (2)可得f (2)－f (1)＝4×1； f (3)－f (2)＝8＝4×2； f (4)－f (3)＝12＝4×3； f (5)－f (4)＝16＝4×4； ……由上式规律，可得f (n )－f (n －1)＝4(n －1)．由以上各式相加可得f (n )－f (1)＝4[1＋2＋…＋(n －1)]＝4×(1＋n －1)(n －1)2＝2n 2－2n ，又f (1)＝1，∴f (n )＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n 2－2n ＝12n (n －1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ，∴原式＝11＋121－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n . 22．(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．解：(1)S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1， ∵a n >0，∴a 1＝1.S2＝a1＋a2＝12⎝⎛⎭⎫a2＋1a2，得a22＋2a2－1＝0，∴a2＝2－1，S3＝a1＋a2＋a3＝12⎝⎛⎭⎫a3＋1a3.得a23＋22a3－1＝0，∴a3＝3－ 2.(2)猜想a n＝n－n－1(n∈N＋)．证明如下：①n＝1时，a1＝1－0＝1，命题成立；②假设n＝k时，a k＝k－k－1成立，则n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎫a k＋1＋1a k＋1－12⎝⎛⎭⎫a k＋1a k，即a k＋1＝12⎝⎛⎭⎫a k＋1＋1a k＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫k－k－1＋1k－k－1＝12⎝⎛⎭⎫a k＋1＋1a k＋1－k.∴a2k＋1＋2ka k＋1－1＝0.∴a k＋1＝k＋1－k.即n＝k＋1时，命题成立．由①②知，n∈N＋时，a n＝n－n－1.。

湘教版高中数学选修2-2同步精练：6.3 数学归纳法含解析

1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝错误!（a≠1,n∈N＋）,验证n＝1时等式的左边为( )．A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a32．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为错误!n(n－3）条时,第一步验证n等于（)．A．1 B．2 C．3 D．03．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是( )．A．假设n＝2k＋1时正确,再推n＝2k＋3时正确B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确C．假设n＝k时正确,再推n＝k＋1时正确D．假设n≤k（k≥1）,再推n＝k＋2时正确4．用数学归纳法证明“1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＜n(n∈N＋且n ＞1)”时,由n＝k(k＞1）时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是（)．A．2k－1B．2k－1 C．2k D．2k＋15．设f（x)是定义在正整数集上的函数，且f(x）满足：“当f （k）≥k2成立时，总可推出f(k＋1）≥（k＋1)2成立．”那么，下列命题总成立的是（)．A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f（k）≥k2成立B．若f（5）≥25成立，则当k≤5时，均有f（k)≥k2成立C．若f(7）＜49成立，则当k≥8时，均有f（k）＜k2成立D．若f（4）＝25成立,则当k≥4时，均有f（k)≥k2成立6．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中,当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为________．7．将正△ABC分割成n2（n≥2,n∈N＋)个全等的小正三角形(图甲，图乙分别给出了n＝2，3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时），都分别依次成等差数列．若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f（n)，则有f（2)＝2,f（3）＝__________,…,f（n)＝__________.甲乙8．证明tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan（n－1)α·tan nα＝错误!－n（n≥2，n∈N＋)．9．某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍代的木材量为b，设a n为n年后该地区森林木材存量．（1)求a n的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材量应不少于错误!a，如果b＝错误!a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg 2≈0.30）参考答案1．C 当n＝1时，左边＝1＋a＋a2.2．C 在凸n边形中，边数最少的是三角形．3．B4．C 增加的项数为（2k＋1－1）－（2k－1）＝2k＋1－2k＝2k。

高中湘教版数学选修2-2分层训练：6-3(2)数学归纳法(二) Word版含解析

6.3 数学归纳法(二)一、基础达标1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)，验证n ＝1时，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4答案 D解析等式左边的数是从1加到n ＋3.当n ＝1时，n ＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．6 答案 C解析当n 取1、2、3、4时2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5，故选C.3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 B解析左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1124(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，下列说法正确的是( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1和12(k ＋1)C ．增加了B 中的两项，但又减少了一项1k ＋1 D ．增加了A 中的一项，但又减少了一项1k ＋1答案 C解析当n ＝k 时，不等式左边为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，当n ＝k ＋1时，不等式左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，故选C. 5．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开________．答案 (k ＋3)3解析假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将 (k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________．答案 S n ＝2nn ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.7．已知正数数列{a n }(n ∈N *)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n，用数学归纳法证明：a n ＝n －n －1.证明 (1)当n ＝1时．a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，∴a21＝1(a n>0)，∴a1＝1，又1－0＝1，∴n＝1时，结论成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即a k＝k－k－1. 当n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k＋1＋1a k＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫a k＋1a k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k＋1＋1a k＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫k－k－1＋1k－k－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k＋1＋1a k＋1－k∴a2k＋1＋2ka k＋1－1＝0，解得a k＋1＝k＋1－k(a n>0)，∴n＝k＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n∈N*都有a n＝n－n－1.二、能力提升8．k(k≥3，k∈N*)棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为() A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2答案 A解析三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面[0＋2＝0＋(3－1)]；五棱柱有5个对角面[2＋3＝2＋(4－1)]；六棱柱有9个对角面[5＋4＝5＋(5－1)]；….猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面．9．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n＝k(n∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<k2＋3k＋2＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法() A．过程全部正确B．n＝1验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确答案 D解析从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．10．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立．则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是________．答案 122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3解析观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3. 11．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56. 则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＝56，所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．12．已知数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．解当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2.∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)．则有：S 1＝a 1＝－23， S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45，S 4＝－1S 3＋2＝－56，由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)．用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2.即n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想结论均成立．三、探究与创新13．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12a 2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12a n ≤m 2a n ＋1对任意n ∈N *，试猜想出实数m的最小值，并证明．解(1)设数列{a n}公差为d(d＞0)，由题意可知a1·a4＝a22，即1(1＋3d)＝(1＋d)2，解得d＝1或d＝0(舍去)．所以，a n＝1＋(n－1)·1＝n.(2)不等式等价于12·34·56·…·2n－12n≤m2n＋1，当n＝1时，m≥32；当n＝2时，m≥358；而32＞358，所以猜想，m的最小值为32.下面证不等式12·34·56·…·2n－12n≤322n＋1对任意n∈N*恒成立．下面用数学归纳法证明：证明(1)当n＝1时，12≤323＝12，成立．(2)假设当n＝k时，不等式，12·34·56·…·2k－12k≤322k＋1成立，当n＝k＋1时，12·34·56·…·2k－12k·2k＋12k＋2≤322k＋1·2k＋12k＋2，只要证322k＋1·2k＋12k＋2≤322k＋3，只要证2k＋12k＋2≤12k＋3，只要证2k＋12k＋3≤2k＋2，只要证4k2＋8k＋3≤4k2＋8k＋4，只要证3≤4，显然成立．所以，对任意n ∈N *，不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1恒成立．。

2018学年湘教版数学选修2-2分层训练：6-3(1)数学归纳法(一)

6.3 数学归纳法(一)一、基础达标1．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时，该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题成立，那么可推导出() A．当n＝6时命题不成立B．当n＝6时命题成立C．当n＝4时命题不成立D．当n＝4时命题成立答案 B2．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则() A．该命题对于n>2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对答案 B解析由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立．且n＝2，故对所有的正偶数都成立．3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步验证n等于()A．1 B．2 C．3 D．0答案 C解析因为是证凸n边形，所以应先验证三角形，故选C.4．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n＋1(n∈N*)，则n＝1时f(n)是()A．1 B.1 3C ．1＋12＋13 D ．以上答案均不正确答案 C5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程中，第二步假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________．答案 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k ＋1－1解析由n ＝k 到n ＝k ＋1等式的左边增加了一项． 6．已知f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝________. 答案 f (k )＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2－1k ＋17．用数学归纳法证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋2＝2n ＋2(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋2＝2k ＋2，当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋3＝2k ＋2⎝⎛⎭⎪⎫1－1k ＋3＝2(k ＋2)(k ＋2)(k ＋3)＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋2，所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立．二、能力提升8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1答案 B解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．9．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13 B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14 C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13 D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14 答案 D解析观察分母的首项为n ，最后一项为n 2，公差为1， ∴项数为n 2－n ＋1.10．以下用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为________．答案缺少步骤(1)，没有递推的基础证明假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立． 11．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2. 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－1×1×22＝1，结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立．即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2 ＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k (k ＋1)2 ＝(－1)k ·(k ＋1)－k ＋2k ＋22＝(－1)k ·(k ＋1)(k ＋2)2＝(－1)k ＋1－1·(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2.即n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立．12．已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式． (1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10， a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝⎩⎨⎧5 n ＝15×2n －2， (n ≥2，n ∈N *). (2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，公式成立． ②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时成立，即a k ＝5×2k －2，当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有 a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2.＝5＋5(1－2k －1)1－2＝5×2k －1＝5×2(k ＋1)－2.故n ＝k ＋1时公式也成立．由①②可知，对n ≥2，n ∈N *，有a n ＝5×2n －2. 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎨⎧5 (n ＝1)5×2n －2 (n ≥2，n ∈N *). 三、探究与创新13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－na n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．解 (1)计算得a 1＝12；a 2＝16；a 3＝112；a 4＝120. (2)猜想a n ＝1n (n ＋1).下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，猜想显然成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝1k (k ＋1).那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1，即S k ＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1.又S k＝1－ka k＝kk＋1，所以kk＋1＋a k＋1＝1－(k＋1)a k＋1，从而a k＋1＝1(k＋1)(k＋2)＝1(k＋1)[(k＋1)＋1].即n＝k＋1时，猜想也成立．故由①和②可知，猜想成立.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321AC1FDAB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DF45°DBa+b-aa 45°A BE1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DBa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DEa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DAB CFEDCDC。

2018-2019学年高中数学第6章推理与证明 6.3 数学归纳法(1)课堂讲义配套课件湘教版选修2-2

要点二证明与自然数 n 有关的等式例 2 已知 n∈N*，证明：1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋
n＋1 2＋…＋21n. 证明 (1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立；
(2)假设当 n＝k(k≥1，且 k∈N*)时等式成立，即： 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k. 则当 n＝k＋1 时，左边＝1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＋2k＋11－1 －2k＋1 1
由①、②知对于 n∈N*，上述结论都成立.
再见
所以当 n＝k＋1 时，结论也成立．根据①②可知，当 n≥2 时，这个数列的通项公式是
an＝n－n212，∴an＝1n－n212
n＝1， n≥2.
规律方法 (1)数列{an}既不是等差数列，又
不是等比数列，要求其通项公式，只能根据给出的递推式和初始值，分别计算出前几项，
然后归纳猜想出通项公式an，并用数学归纳
即 a1＋a2＋a3＝6a3，解得 a3＝210. 令 n＝4，得 S4＝4×42＋1a4，即 a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，解得 a4＝310.
(2)由(1)的结果猜想 an＝n＋11n＋2，下面用数学归纳法给予
证明：
①当 n＝1 时，a1＝16＝1＋111＋2，结论成立．
②假设当 n＝k(k∈N*)时，结论成立，即 ak＝k＋11k＋2，
则当 n＝k＋1 时，Sk＝k·k2＋1ak，
①
Sk＋1＝k＋12k＋2ak＋1，
②
②与①相减得 ak＋1＝k＋12k＋2ak＋1－k·k2＋1ak，
整理得
ak
＋
1
＝

2018年数学同步优化指导湘教版选修2-2练习：6-3 数学

第6章 6.31．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确D ．假设n ≤k (k ≥1)，再推n ＝k ＋2时正确(以上k ∈N ＋)解析：因为n 为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n ＝2k －1正确，再推第(k ＋1)个正奇数，即n ＝2k ＋1正确．答案：B2．某同学回答“用数学归纳法证明n (n ＋1)＜n ＋1(n ∈N *)”的过程如下：证明：①当n ＝1时，显然命题是正确的；②由题设n ＝k 时，有k (k ＋1)＜k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＜k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时命题是正确的．由①②可知，对于(n ∈N *)，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于( )A ．从k 到k ＋1的推理过程没有使用归纳假设B ．归纳假设的写法不正确C ．从k 到k ＋1的推理不严密D ．到n ＝1时，验证过程不具体解析：在由n ＝k 到n ＝k ＋1的证明过程中没有用归纳假设．答案：A3．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＞1324的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( )A ．增加12(k ＋1)B ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)C ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)，减少1k ＋1D ．增加12(k ＋1)，减少1k ＋1解析：当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k，当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)，又1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)－⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加12k ＋1＋12(k ＋1)，减少1k ＋1. 答案：C4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N ＋)的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1， ∴当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N ＋，等式都成立．上述证明的错误是____________________________.解析：当n ＝k ＋1时正确的解法是1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1，即一定用上第二步中的假设．答案：没有用归纳假设进行递推5．用数学归纳法证明：⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n(n ≥2，n ∈N ＋)．证明：①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边．∴当n ＝2时等式成立．②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时等式成立，即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k .那么n ＝k ＋1时，利用归纳假设有⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， ∴当n ＝k ＋1时等式也成立．综合①②知，对任意n ≥2，n ∈N ＋等式恒成立．。

高中数学选修2-2 同步练习专题2.3 数学归纳法(原卷版)

第二章推理与证明2.3 数学归纳法一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．用数学归纳法证明“凸n 边形的内角和S ＝(n －2)π对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时,第一步证明中的起始值n 0应取 A ．2 B ．3 C ．4D ．52．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设，且为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证 A ．时等式成立 B ．时等式成立C ．时等式成立D ．时等式成立 3．用数学归纳法证明“”,则当时,应当在时对应的等式的两边加上 A ．B ．C ．D ．4．设()()*111122f n n n n n=++⋅⋅⋅+∈++N ，那么()()1f n f n +-= A ．121n + B ．122n +C ．112122n n +++ D ．112122n n -++ 5．当是正整数时，用数学归纳法证明从到等号左边需要增加的代数式为 A ． B ． C ．D ．二、填空题：请将答案填在题中横线上． 6．用数学归纳法证明：()22311111n n c c c c cc c++-+++++=≠-，当1n =时，左边为__________．7．对于不等式<n+1(n ∈N *),某同学用数学归纳法证明的主要过程如下:（1）当n =1时,<1+1 ,不等式成立;（2）假设当n =k (k ∈N *)时,不等式成立,有<k+1,即k 2+k <(k+1)2, 则当n =k+1时,=<==(k+1)+1,所以当n =k+1时,不等式也成立.则下列说法中正确的有__________.(填出所有正确说法的序号) ①证明过程全部正确;②n =1的验证不正确;③n =k 的归纳假设不正确;④从n =k 到n =k+1的推理不正确. 8．用数学归纳法证明不等式()*1111223212nnn n ++++>≥∈-N ，的过程中，由“”到“”时，左边增加了__________项三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．求证:++…+=1-(其中n ∈N *).10．证明：.11．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除.12．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*),并用数学归纳法证明你的结论.13．在数列中，，其中.（1）计算的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.。

湘教版数学选修2-2分层训练6-3(1)数学归纳法(一) Word版含解析

数学归纳法(一)一、基础达标．某个命题与正整数有关，如果当＝(∈*)时，该命题成立，那么可推得＝＋时，该命题也成立．现在已知当＝时，该命题成立，那么可推导出( ) ．当＝时命题不成立．当＝时命题成立．当＝时命题不成立．当＝时命题成立答案．一个与正整数有关的命题，当＝时命题成立，且由＝时命题成立可以推得＝＋时命题也成立，则( ) ．该命题对于>的自然数都成立．该命题对于所有的正偶数都成立．该命题何时成立与取值无关．以上答案都不对答案解析由＝时命题成立可以推出＝＋时命题也成立．且＝，故对所有的正偶数都成立．．在应用数学归纳法证明凸边形的对角线为(－)条时，第一步验证等于( ) ．．．．答案解析因为是证凸边形，所以应先验证三角形，故选.．若()＝＋＋＋…＋(∈*)，则＝时()是( ) ．．＋＋．以上答案均不正确答案．用数学归纳法证明＋＋＋…＋－＝－(∈*)的过程中，第二步假设当＝(∈*)时等式成立，则当＝＋时应得到．答案＋＋＋…＋－＋＝＋－解析由＝到＝＋等式的左边增加了一项．．已知()＝＋＋…＋(∈*)，则(＋)＝.答案()＋＋＋－．用数学归纳法证明…＝(∈*)．证明()当＝时，左边＝－＝，右边＝＝，等式成立．()假设当＝(≥，∈*)时等式成立，即…＝，当＝＋时，…·＝＝＝＝，所以当＝＋时等式也成立．由()()可知，对于任意∈*等式都成立．二、能力提升．用数学归纳法证明等式(＋)(＋)…(＋)＝···…·(－)(∈*)，从到＋左端需要增乘的代数式为( ) ．＋．(＋)答案解析＝＋时，左端为(＋)(＋)…[(＋)＋(－)]·[(＋)＋]·(＋)＝(＋)(＋)…(＋)·(＋)·，∴应增乘(＋)．．已知()＝＋＋＋…＋，则( ) ．()中共有项，当＝时，()＝＋．()中共有＋项，当＝时，()＝＋＋．()中共有－项，当＝时，()＝＋．()中共有－＋项，当＝时，()＝＋＋答案解析观察分母的首项为，最后一项为，公差为，∴项数为－＋.。

湘教版高中数学选修2

湘教版高中数学选修2-2目录：第六章推理与证明第一节合情推理和演绎推理第二节直接证明与间接证明第三节数学归纳法第六章推理与证明第三节数学归纳法第一课时我的学习目标：1.在学习过程中体会数学的简洁美，培养自己抽象、概括和简洁的表述能力2.体会特殊与一般，有限与无限的数学思想3.掌握数学归纳法证题的两个步骤，会用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题4.知道数学归纳法的本质就是“递推思想”我的学习过程：一、生活引入（10分）1.每日一忆：数学中的推理有2.如果我们发现某座建筑里面有这么一个现象，第一个房间有一个人，第二个房间有2人，第三个房间有3人……，那么我们会做出什么样的猜想呢？二、基本功训练：1、知识点学习(20分)（1）掌握数学归纳法证明命题的步骤：1）观察与思考（多米诺骨牌flash课件播放）：怎样保证所有骨牌都会倒下呢？2）类比多米诺骨牌原理解决数学问题。

3）应用数学归纳法为什么要两个步骤？（2）数学归纳法的本质（原理）是：1）数学归纳法原理的理解：2）你能举例说明递推思想在现实生活中的体现吗？2、知识点演练（30分）（1）用数学归纳法证明：如果{}n a 是一个等差数列，那么d n a a n )1(1-+=对一切的*N n ∈都成立。

（2）指出甲同学以下解题中存在的问题：关于等式：1+3+5+…+(2n -1)=n 2+1(n∈N +) 是否对一切正整数成立？（同学甲）：成立。

（证明如下）证明：假如当n=k 时等式成立，即 1+3+5+…+(2k -1)=k 2+1 那么当n=k+1时，1+3+5+…+(2k -1)+(2k+1)=k 2+1+(2k+1)=(k+1)2+1 即当n=k+1时，等式也成立。

所以命题对于一切n∈N +都成立。

（3）指出以下乙同学解题中存在的问题：用数学归纳法证明： 1+3+5+…+(2n -1)=n 2(n∈N+) （同学乙）证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。