2018年苏教版高中数学选修2-1第1章常用逻辑用语章末复习PPT课件

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苏教版高中数学选修2-1：常用逻辑用语_课件1(1)

－2(1x－12)2＋12；当 x∈[12，2]，1x∈[12，2]，
从而－2(1x－12)2＋12∈[－4，12]；
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(1)若 P∩Q＝P，则 P⊆Q，即对∀x∈[12，2]，不等式 a>－2(1x－12)2＋12恒成立； ∴a>[－2(1x－12)2＋12]max，从而只需 a>12，故 a∈(12，＋∞)． (2)若 P∩Q≠∅，即∃x∈P，使得 a>－2(1x－12)2＋12成立，只需 a>－4，故 a∈(－4，＋∞)．点评：全称命题、存在性命题往往分别对应恒成立问题与存在性问题，注意把握条件的数学语言翻译是解决这类问题的关键．
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点评：“充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分条件也不必要条件”反映了条件p和结论q之间的因果关系，在进行具体判断时，要注意：(1)确定条件是什么，结论是什么；(2)尝试从条件推结论，结论推条件；(3)确定条件是结论的什么条件．
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专题二含有逻辑联结词的范围问题
要条件；若A⃘B且B⃘A，则p是q的既不充分又不必要条件．
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【例1】已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是
13 <x<
1， 2
求实数m的取值范围．
解 ∵|x－m|<1可化为m－1<x<m＋1，
又∵不等式|x－m|<1 成立的充分不必要条件是13<x<12，
(如图)
∴mm－＋11≤ ≥1312，，解得mm≤ ≥43－，12，即－12≤m≤43.
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4．简单的逻辑联结词

2018学年高中数学选修2-1课件：第1章常用逻辑用语1.1.1 精品

1．下列语句不是命题的个数是( )
①2<1；②起立！③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x3是R上
的奇函数．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析： ①③④是命题，②不是陈述句，不是命题．
答案： B
2．下列命题中假命题的个数为( )
①面积相等的两个三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
判断下列命题的真假： (1)一个数的算术平方根一定是正数； (2)若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行； (3)若G2＝ab，则a，G，b成等比数列； (4)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根．思路点拨：根据真、假命题的定义进行判断．
解析： (1)是假命题．因为一个数的算术平方根为非负数．
解析： (1)若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．其中条件p：一个三角形是等边三角形，结论q：它的三个内角相等．
(2)当a＞0时，若x的值增加，则函数y＝ax＋b的值也随之增加．其中条件p：x的值增加(a＞0)，结论q：函数y＝ax＋b的值也随之增加．
(3)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等．其中条件p：若一个点是一个角的平分线上的点，结论q：该点到这个角的两边的距离相等．
答案：一个函数是奇函数函数的图象关于原点对称
4．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：
(1)奇数不能被2整除； (2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1； (3)两个相似三角形是全等三角形； (4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．
解析： (1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题；

高中数学(苏教版选修2-1)课件第1章常用逻辑用语 3.1

立”.
要点一全称量词与全称命题例1 试判断下列全称命题的真假：
(1)∀x∈R，x2＋2>0；
解由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题.
(2)∀x∈N，x4≥1；
解由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，
所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题.
行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句
(3)(4)是命题.
[预习导引] 1.全称量词和全称命题 (1)全称量词：短语“所有”“每一个”“任意”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 “∀” 表示. (2)全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题 “对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M， p(x) ，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.
∴只要 m<－ 2即可.
∴所求 m 的取值范围是(－∞，－ 2).
(2)存在实数x，不等式sin x＋cos x>m有解，求实数m的取值
范围. 解令y＝sin x＋cos x，x∈R， π ∵y＝sin x＋cos x＝ 2sin(x＋4)∈[－ 2， 2].
又∵∃x∈R，sin x＋cos x>m有解，
∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，
7 7 解得 a≥4，∴实数 a 的取值范围为[4，＋∞).
(2)若命题 p： 1－sin 2x＝sin x－cos x 是真命题，求实数 x 的取值范围.
解由 1－sin 2x＝sin x－cos x，
得 sin2x＋cos2x－2sin xcos x＝sin x－cos x，

2018年苏教版高中数学选修2-1第1章1.2第2课时“非”PPT课件

含逻辑联结词的命题的真假判断
分别判断由下列命题构成的 “p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题
的真假. (1)p：函数y＝x2和函数y＝2x的图象有两个交点； q：函数y＝2x是增函数. 解因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题. (2)p：7＞7；q：7＝7. 解因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为
知识点三思考答案
命题的否定与否命题
已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角
命题p的否定，并结合本题说明一个命题的否命题与其否定有何区别？线不相等；命题p的否定：平行四边形的对角线不相等. 命题的否命题与命题的否定有着本质的区别，命题的否定只否定原命题的结论，不能否定原命题的条件，而否命题是对原命题的条件和结论都否定.
解答
反思与感悟判断复合命题真假的关键是准确判断简单命题的真假.
跟踪训练2
已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都
④ 填序号) 是负数，则下列命题中为真命题的是_____.( ①(綈p)∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④(綈p)∨(綈q).
解析
由于命题p 为真命题，命题q 为假命题，因此，命题綈p 是假命题，
解答
引申探究写出本例中所给命题的否命题. 解 (1)面积不相等的三角形不都是全等三角形.
(2)若m2＋n2≠0，则实数m，n不全为零.
(3)若xy≠0，则x≠0且y≠0.
解答
反思与感悟
綈 p是对命题p 的全盘否定，对一些词语的正确否定是
写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是 “至少三个”、“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q条件不变的前提下，对(1)判断“(綈p)∧q”“(綈q)∨p”的真假；对 (2)判断“p∧(綈q)”“p∨(綈q)”“(綈p)∧(綈q)”“(綈p)∨(綈q)”的真假. 解 (1)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以綈p是真命题，綈q是假命题，即(綈p)∧q为真命题，(綈q)∨p为假命题. (2)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以綈p是真命题，綈q是假命题，所以p∧(綈q)为假命题，p∨(綈q)为假命题； (綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨(綈q)为真命题.

2018年优课系列高中数学苏教版选修2-1课件： 1.2 简单的逻辑连接词课件(25张)

反思与感悟
解析答案
跟踪训练2
写出由下列命题构成的“p且q”“p或q”形式的新命题，
并指出其真假. (1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}；解 p且q：4∈{2,3}且2∈{2,3}，假.
p或q：4∈{2,3}或2∈{2,3}，真.
(2)p：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－4<x<2}，
p∨q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻
的任何一个内角；
綈p：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1
指出下列命题分别由“p且q”“p或q”“非p”中的哪种形式
构成，并写出其中的命题p，q. (1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；解 “p且q”的形式.其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形， q：两个角是45°的三角形是直角三角形.
②p： 3是无理数，q： 3是实数.
解 p∧q： 3是无理数且是实数；
p∨q： 3是无理数或是实数；
綈 p： 3不是无理数.
解析答案
③p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
解 p∧q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不
相邻的任何一个内角；
q：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|x<－4或x>2}.
解 p且q：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－4<x<2}且是{x|x<－4或x>2}. p或q：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－4<x<2}或是{x|x<－4或x>2}. ∵不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－4<x<2}， ∴p且q为假，p或q为真.

2018版高中数学选修2-1课件：第一章常用逻辑用语 1-2

解析答案
(3)p： 3是无理数，q： 3是实数；
解 p∧q： 3是无理数且是实数；
∵p真，q真，∴p∧q为真.
p∨q： 3是无理数或是实数； ∵p真，q真，∴p∨q为真.
(4)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两
根的绝对值相等. 解 p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；
第1章常用逻辑用语
1.2 简单的逻辑联结词
学习目标
1.了解联结词“且”“或”“非”的含义. 2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假. 3.通过学习，明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.
栏目索引
知识梳理
题型探究当堂检测
自主学习
重点突破自查自纠
知识梳理
a>2或a<－2， ∴a<－2或a≥6； ①若 p 真 q 假，则有 a≤2或a≥6，－2≤a≤2， ②若 p 假 q 真，则有通过分析可知不存在这样的 a. 2<a<6，
综上，a<－2或a≥6.
解析答案
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当堂检测
1
2
3
4
5
1.命题p ： “x>0” 是 “x2>0” 的必要不充分条件，命题 q ：△ABC 中，
(2)命题的否定与否命题有什么区别？
答案命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论.
答案
返回
题型探究
重点突破
题型一 p∧q命题及p∨q命题
例1 分别写出下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式，并判断它们
的真假.
(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；解 p∧q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；

高中数学苏教版选修2-1第1章《常用逻辑用语》(1.2 第1课时)ppt课件

第1课时充分条件和必要条件
12
(2)若f(x)＝x，则f(x)为增函数；解 ∵p⇒q，而q p，∴p是q的充分不必要条件. (3)若x为无理数，则x2为无理数；
解 ∵p q，而q⇒p，∴p是q的必要不充分条件. (4)若x＝y，则x2＝y2；解 ∵p⇒q，而q p，∴p是q的充分不必要条件.
第1课时充分条件和必要条件
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跟踪演练2 已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，
若M是N的充分条件，求a的取值范围.
解由(x－a)2<1得，x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0，
∴a－1<x<a＋1.
又由x2－5x－24<0得，－3<x<8.
∵M是N的充分条件，∴M⊆N，
1234
2.“θ＝0”是“sin θ＝0”的_充__分__不__必__要__条件. 解析由于“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件.
第1课时充分条件和必要条件
21
3.“a>b”是“a>|b|”的_必__要__不__充__分__条件. 解析由a>|b|⇒a>b，而a>b推不出a>|b|.
解 ∵x2＝2x＋1 x＝ 2x＋1，
x＝ 2x＋1⇒x2＝2x＋1， ∴p是q的必要不充分条件.
(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；解 ∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0， a＋b＝0 a2＋b2＝0， ∴p是q的充分不必要条件.
第1课时充分条件和必要条件
8
(3)p：x＝1 或 x＝2，q：x－1＝ x－1；解 ∵当 x＝1 或 x＝2 成立时，可得 x－1＝ x－1成立，反过来，当 x－1＝ x－1成立时，可以推出 x＝1 或 x＝2， ∴p既是q的充分条件也是q的必要条件.

高中数学苏教版选修2-1第1章《常用逻辑用语》(章末复习提升)ppt课件

章末复习提升
29
2.充分条件、必要条件和充要条件是对命题进行研究和考查的重要途径，是高考重点考查的内容，往往在不同知识点的交汇处进行命题，考查面十分广泛，涵盖函数、立体几何、不等式、向量、三角函数等内容.通过对命题条件和结论的分析，考查对数学概念的准确记忆和深层次的理解.
章末复习提升
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3.逻辑联结词在近几年的高考试题中经常出现，主要是含有逻辑联结词的命题的真假判断问题，所以正确理解逻辑联结词的含义，准确把握含有逻辑联结词的命题的真假判断方法，熟记规律：已知命题p、q，只要有一个命题为假，p∧q就为假；只要有一个为真，p∨q就为真，綈p与p真假相反.另外注意命题的否定与命题的否命题的区别，这是两个很容易混淆的概念，要准确把握它们的基本形式，不能混淆.
即 1＜m≤2.
1＜m＜3，
综上，m的取值范围是{m|1＜m≤2或m≥3}.
章末复习提升
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跟踪演练4 已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数. 若“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围. 解 p真：Δ＝(－a)2－4×4≥0，∴a≤－4或a≥4. q 真：－a4≤3，∴a≥－12.
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题型四分类讨论思想若命题“p∨q”“p∧q”中含有参数，在求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p∨q”“p∧q”的真假情况分类讨论参数的取值范围.
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例4 已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：4x2＋
4(m－2)x＋1＝0无实根，若p、q一真一假，求m的取值范围.

数学选修2-1苏教版：第1章常用逻辑用语章末复习

章末复习学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．1．命题及其关系(1)判断一个语句是否为命题，关键是：①为陈述句；②能判断真假．(2)互为逆否命题的两个命题的真假性相同．(3)四种命题之间的关系如图所示．2．充分条件、必要条件和充要条件(1)定义若p则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p ⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)特征充分条件与必要条件具有以下两个特征：①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件；②传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件．即若p⇒q，q ⇒r，则p⇒r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定．3．简单的逻辑联结词与量词(1)常见的逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．(2)短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词，通常用符号“∀x ”表示“对任意x ”．(3)短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词，通常用符号“∃x ”表示“存在x ”．(4)含有全称量词的命题叫做全称命题，含有存在量词的命题叫做存在性命题．1．已知命题p ：∀x ＞0，x 3＞0，那么綈p ：∃x ＞0，x 3≤0.(√) 2．命题“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”的否命题是假命题．(√) 3．“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件．(×)4．“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题是真命题．(×)类型一命题及其关系例1 (1)有下列命题：①“若x ＋y >0，则x >0且y >0”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”．其中是真命题的是________．(填序号) 考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 ①③(2)设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是________．(填序号) ①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨(綈q )．考点 “p ∨q ”形式的命题题点判断“p ∨q ”形式命题的真假答案 ①解析由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故①为真命题．反思与感悟 (1)互为逆否命题的两命题真假性相同．(2)“p 与綈p ”一真一假，“p ∨q ”一真即真，“p ∧q ”一假就假．跟踪训练1 (1)命题“若x 2>1，则x <－1或x >1”的逆否命题是________．考点四种命题题点四种命题概念的理解答案若－1≤x ≤1，则x 2≤1(2)设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是________．(填序号) ①p 为真；②q 为真；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真．考点 “p ∧q ”形式的命题题点判断“p ∧q ”形式命题的真假答案 ③解析由题意知p 是假命题，q 是假命题，因此只有③正确．类型二充分条件与必要条件例2 已知p ：x －5x －3≥2，q ：x 2－ax ≤x －a ，若綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解由p 得1≤x <3，∵q ：x 2－ax ≤x －a ，∴x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0，即(x －1)(x －a )≤0， ①当a <1时，a ≤x ≤1； ②当a ＝1时，x ＝1； ③当a >1时，1≤x ≤a .∵綈p 是綈q 的充分条件，∴q 是p 的充分条件．设q 对应集合A ，p 对应集合B ，则A ⊆B ，当a <1时，A ⊈B ，不合题意；当a ＝1时，A ⊆B ，符合题意；当a >1时，1≤x ≤a ，要使A ⊆B ，则1<a <3. 综上所述，a 的取值范围为[1,3)．反思与感悟若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，即q 的充分条件是p ，p 的必要条件是q .如果将“必要条件”理解为“必然结果”，则可认为p 的必然结果是q ，q 是p 的必然结果．则p ⇏q 易表述为以下几种说法： p 是q 的不充分条件，q 的不充分条件是p ；q 是p 的不必要条件，p 的不必要条件是q .跟踪训练2 已知命题p ：(4x －3)2≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解由(4x －3)2≤1，得－1≤4x －3≤1，即12≤x ≤1.由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得(x －a )(x －a －1)≤0，即a ≤x ≤a ＋1. 因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.即实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，12 类型三等价转化思想的应用例3 已知c >0且c ≠1，设p ：函数y ＝log c x 在(0，＋∞)上是减少的；q ：不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R .如果p 和q 有且仅有一个为真命题，求c 的取值范围．解函数y ＝log c x 在(0，＋∞)上是减少的⇔0<c <1. 不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R ⇔函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上恒大于1.∵x ＋|x －2c |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2c ，x ≥2c ，2c ，x <2c ，∴函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上的最小值为2c ， ∴2c >1且c ≠1，得c >12且c ≠1.如果p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧0<c <1，0<c ≤12，解得0<c ≤12；如果q 真p 假，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＞1，c >12且c ≠1，解得c ＞1.∴c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)．反思与感悟等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想，本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化．跟踪训练3 已知命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． (1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若m ＝5，“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数x 的取值范围．解 (1)由命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，解得－1≤x ≤5. 命题q ：1－m ≤x <1＋m (m >0)．∵p 是q 的充分条件，∴[－1,5]⊆[1－m,1＋m ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－1，5≤1＋m ，解得m ≥4，则实数m 的取值范围为[4，＋∞)． (2)∵m ＝5，∴命题q ：－4≤x ≤6. ∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， ∴命题p ，q 为一真一假．当p 真q 假时，可得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤5，x <－4或x ＞6，无解；当q 真p 假时，可得⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >5，－4≤x ≤6，解得－4≤x <－1或5<x ≤6.因此x 的取值范围是[－4，－1)∪(5,6]．类型四分类讨论思想的应用例4 命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2. 又∵函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数， ∴3－2a >1，∴a <1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2；②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[1,2)．反思与感悟分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一，利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点．这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖较多的知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类讨论思想与技巧，因此有利于对能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题相联系．解决分类讨论问题的实质是：整体问题化为部分来解决，化成部分后，可以增加题设条件，这也是解分类讨论问题总的指导思想．跟踪训练4 已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p ∨q 为真，p ∧q 为假，求a 的取值范围．解方法一由题意知，p 和q 有且只有一个为真．p 为真时，0＜a ＜1；∵y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同交点，∴Δ＝(2a －3)2－4＞0，得a ＜12或a ＞52，即q 为真时，0<a ＜12或a ＞52. (1)当p 为真，且q 为假时，a ∈(0,1)∩⎝⎛⎭⎫⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎦⎤1，52，即a ∈⎣⎡⎭⎫12，1. (2)当p 为假，且q 为真时，a ∈(1，＋∞)∩⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞，即a ∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 综上，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 方法二 ∵A ＝{a |p (a )}＝{a |0<a <1}，B ＝{a |q (a )}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪0<a <12或a >52， ∴p 和q 有且只有一个为真⇔a ∈A ∪B 且a ∉A ∩B ，故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.1．设命题p ：∃n ∈N *，n 2>2n ，则綈p 为_______________．答案 ∀n ∈N *，n 2≤2n解析将命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”．2．已知命题p ：|x ＋1|>2，命题q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析綈p 是綈q 的充分不必要条件的等价命题为q 是p 的充分不必要条件，即q ⇒p ，而p ⇏q ，命题p 化简为x >1或x <－3，所以当a ≥1时，q ⇒p . 3．给出以下四个判断：①若“p 或q ”为真命题，则p ，q 均为真命题；②命题“若x ≥4且y ≥2，则x ＋y ≥6”的逆否命题为“若x ＋y ＜6，则x ＜4且y ＜2”；③若x ≠300°，则cos x ≠12；④命题“∃x ∈R ，e x ≤0”是假命题．其中是真命题的是________．(填序号) 考点命题真假性的判断题点命题的真假性判断答案 ④解析若“p 或q ”为真命题，则p ，q 至少有一个为真命题，故①错误；命题“若x ≥4且y ≥2，则x ＋y ≥6”的逆否命题为“若x ＋y ＜6，则x ＜4或y ＜2”，故②错误；若x ≠300°，则cos x ≠12，错误，如x ＝60°≠300°，但cos 60°＝12；由指数函数的值域可知，命题“∃x ∈R ，e x ≤0”是假命题．4．对任意x ∈[－1,2]，x 2－a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．考点全称命题的真假性判断题点恒成立求参数的取值范围答案 (－∞，0]解析由x 2－a ≥0，得a ≤x 2，故a ≤(x 2)min ，得a ≤0.5．分别指出下列各组命题的“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式的新命题的真假． (1)p ：2>2，q ：2＝2；(2)p ：∅是{0}的真子集，q ：0∈∅；(3)p ：函数y ＝x 2＋2x ＋5的图象与x 轴有公共点，q ：方程x 2＋2x ＋5＝0没有实数根．考点 “或”“且”“非”的综合问题题点判断复合命题的真假解 (1)∵p ：2>2，是假命题，q ：2＝2，是真命题， ∴命题p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，綈p 是真命题． (2)∵p ：∅是{0}的真子集，是真命题，q ：0∈∅，是假命题， ∴命题p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，綈p 是假命题． (3)∵p ：函数y ＝x 2＋2x ＋5的图象与x 轴有公共点，是假命题， q ：方程x 2＋2x ＋5＝0没有实数根，是真命题，∴命题p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，綈p 是真命题．1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．2．判断命题真假的步骤：确定复合命题的构成形式⇒判断其中简单命题的真假⇒根据真值表判断复合命题的真假3．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断，如下表：4.含有一个量词的命题的否定：特别提醒：(1)全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．(2)命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念．对一个命题进行否定，就是要对其结论进行否定，而否命题是既否定条件又否定结论．一、填空题1．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是________．答案∃x∈R，x2＝x解析全称命题的否定是存在性命题，所以“∀x∈R，x2≠x”的否定为“∃x∈R，x2＝x”．2．下列命题中的假命题是________．(填序号)①∀x∈R,2x－1>0；②∀x∈N*，(x－1)2>0；③∃x∈R，lg x<1；④∃x∈R，tan x＝2.答案②解析①中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；②中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；③中命题是存在性命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；④中命题是存在性命题，依据正切函数定义，可知是真命题．3．已知直线l1：ax＋y＝1和直线l2：9x＋ay＝1，则“a＋3＝0”是“l1∥l2”的________条件．答案充分不必要解析因为两直线平行，所以有a2－9＝0，解得a＝±3，当a＝±3时，显然两条直线平行，故“a＋3＝0”是“l1∥l2”的充分不必要条件．4．下列命题中，为真命题的全称命题是________．(填序号)①对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0；②菱形的两条对角线相等；③∃x，x2＝x；④对数函数在定义域上是单调函数．答案④解析①中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；②④在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；③是存在性命题，④正确．5．命题p：若ac＝b，则a，b，c成等比数列，则命题p的否命题是________命题．(填“真”“假”)答案假解析其原命题的否命题是：若ac≠b，则a，b，c不成等比数列．若b＝－ac，则b2＝ac，此时a，b，c也可以成等比数列，故为假命题．6．已知a，b为任意非零向量，有下列命题：①|a|＝|b|；②a2＝b2；③a2＝a·b.其中可以作为a＝b的必要不充分条件的是________．(填序号)答案①②③解析由a＝b可以推得①，②，③均成立，而由①，②或③都推不出a＝b.7．下列有关命题的叙述，①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；③命题p：∃x∈R，使得x2＋x－1<0，则綈p：∀x∈R，使得x2＋x－1≥0；④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”．其中错误的个数为________．答案 2解析若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，所以p∧q不一定为真，所以①错误；x2－4x－5>0得x>5或x<－1，所以“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件，②正确；根据存在性命题的否定是全称命题知③正确；“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，所以④错误，所以错误命题的个数为2. 8．有下列命题：①垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③若直线m ，n 与同一个平面所成的角相等，则m ，n 互相平行； ④若直线m ，n 是异面直线，则与m ，n 都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是________．答案 3解析 ①垂直于同一条直线的两个平面互相平行，正确； ②垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，错误；③若直线m ，n 与同一个平面所成的角相等，则m ，n 互相平行或相交或异面，错误； ④若直线m ，n 是异面直线，则与m ，n 都相交的两条直线是异面直线或相交直线，错误． 9．命题p ：若a >0，b >0，则ab ＝1是a ＋b ≥2的必要不充分条件，命题q ：函数y ＝log 2x －3x ＋2的定义域是(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则以下四个命题中正确的是________．(填序号) ①“p ∨q ”为假；②“p ∧q ”为真；③p 真q 假；④p 假q 真．答案 ④解析由命题p ：a >0，b >0，ab ＝1得a ＋b ≥2ab ＝2，所以p 为假命题；命题q ：由x －3x ＋2>0得x <－2或x >3，所以q 为真命题．10．已知命题p ：若a ＝(1,2)与b ＝(－2，λ)共线，则λ＝－4；命题q ：任意k ∈R ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0相交．则下面结论正确的是________．(填序号) ①(綈p )∨q 是真命题；②p ∧(綈q )是真命题；③p ∧q 是假命题；④p ∨q 是假命题．答案 ①解析命题p 为真，命题q ：圆心(0,1)到直线kx －y ＋1＝0的距离为d ＝0k 2＋1<1，命题q 是真命题．故(綈p )∨q 是真命题．11．定义f (x )＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“取上整函数”，例如{1.2}＝2，{4}＝4.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的．以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是________．(填序号)①f (2x )＝2f (x )；②若f (x )＝f (y )，则x －y <1；③任意x ，y ∈R ，f (x ＋y )≤f (x )＋f (y )；④f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f (2x )； ⑤函数f (x )为奇函数．答案 ②③解析根据新定义“取上整函数”的意义f (2x )＝2f (x )不一定成立，如x 取1.5；f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f (2x )不一定成立，如x 取0；函数f (x )不满足奇函数的关系，如f (1.6)＝2，f (－1.6)＝－1.故答案为②③.二、解答题12．对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立，求实数m 的取值范围．解令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2，又∵∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立，∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．13．已知命题p ：“存在a >0，使函数f (x )＝ax 2－4x 在(－∞，2]上单调递减”，命题q ：“存在a ∈R ，使∀x ∈R,16x 2－16(a －1)x ＋1≠0”．若命题“p ∧q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解若p 为真，则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a≥2，∴0<a ≤1. 若q 为真，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根，∴Δ＝[－16(a －1)]2－4×16<0，∴12<a <32. ∵命题“p ∧q ”为真命题，∴命题p ，q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a ≤1，12<a <32，∴12<a ≤1. 故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，1.三、探究与拓展14．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的________条件．考点充分、必要条件的概念及判断题点充分不必要条件的判断答案充分不必要解析由直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，易知k ≠0，且圆心O 到直线l 的距离d ＝11＋k 2＜1，所以|AB |＝21－d 2＝21－11＋k 2 ＝2k 21＋k 2. 若k ＝1，则|AB |＝2，d ＝22，所以△OAB 的面积为12×2×22＝12. 反过来，若△OAB 的面积为12，则S ＝12×11＋k 2×2k 21＋k 2＝k 21＋k 2＝12，解得k ＝±1.故“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．15．设命题p ：a ＞1；命题q ：不等式－3x ≤a 对一切正实数x 均成立．(1)若命题q 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题“p ∨q ”为真命题，且“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．解 (1)∵x ＞0，∴3x ＞1，∴－3x ＜－1，∵－3x ≤a ，∴a ≥－1，∴实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)由命题“p ∨q ”为真，且“p ∧q ”为假，得命题p ，q 一真一假．①当p 真q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＜－1，无解； ②当p 假q 真时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≥－1，解得－1≤a ≤1，∴实数a 的取值范围是[－1,1]．。

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即若 p⇒q ， q⇒r ，则 p⇒r. 必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p
是q的充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定.
3.简单的逻辑联结词与量词
(1)常见的逻辑联结词有“ 且 ”、“ 或 ”、“ 非 ”.
(2) 短语 “ 所有 ”“ 任意 ”“ 每一个 ” 等表示全体的量词在逻辑中通常
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知识梳理题型探究
达标检测
知识梳理
1.命题及其关系 (1)判断一个语句是否为命题，关键是： ①为陈述句； ②能判断真假. (2)互为逆否命题的两个命题的真假性相同 . (3)四种命题之间的关系如图所示.
2.充分条件、必要条件和充要条件
(1)定义
若p则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可
跟踪训练2
已知命题p：(4x－3)2≤1，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，
若p是q的充分条件，求实数a的取值范围.
解
1 由(4x－3) ≤1，得－1≤4x－3≤1，即2≤x≤1.
2
由 x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得(x－a)(x－a－1)≤0，即 a≤x≤a＋1.
1 a ≤ ， 2 因为 p 是 q 的充分条件，所以 a＋1≥1，
第1章常用逻辑用语
章末复习
学习目标
1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.
2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条
件的判定方法.
3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的
真假.
4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在
性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定.
1 解得 0≤a≤2.
即实数 a
1 的取值范围为0，2
解答
类型三
等价转化思想的应用
例3
已知c>0且c≠1，设p：函数y＝logc x在(0，＋∞)上是减少的；q：
不等式 x＋ |x－ 2c|>1 的解集为 R.如果 p 和 q 有且仅有一个为真命题，求 c 的取值范围.
解答
题型探究
类型一例1 (1)有下列命题：
命题及其关系
①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”. ①③ 填序号) 其中是真命题的是________.(
答案
(2)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a· b ＝ 0 ， b· c＝0，则a· c＝0 ； ① 填序号) 命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是_____.( ①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④p∨(綈q). 解析由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题.故①为真命题.
命题.
[思考辨析判断正误] 1.已知命题p：∀x＞0，x3＞0，那么綈p：∃x＞0，x3≤0.( √ ) 2.命题“若x＞0且y＞0，则x＋y＞0”的否命题是假命题.( √ ) π 3.“φ＝ ”是“y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充要条件.( × ) 2 4.“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题是真命题. ( × )
称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“ 对任意x ”.
(3) 短语 “ 有一个 ”“ 有些 ”“ 存在一个 ”“ 至少一个 ” 等表示部分的量
词在逻辑中通常称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“ 存在x ”.
(4)含有全称量词的命题叫做全称命题，含有存在量词的命题叫做存在性
___________________
解析由题意知p是假命题，q是假命题，因此只有③正确.
解析
答案
类型二
充分条件与必要条件
例2
x－5 已知 p： ≥2，q：x2－ax≤x－a，若綈 p 是綈 q 的充分条件，求 x－3
实数 a 的取值范围.
解答
反思与感悟
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即q的
充分条件是p，p的必要条件是q.如果将“必要条件”理解为“必然结果 ” ，则可认为 p 的必然结果是 q ， q 是 p 的必然结果 . 则 p⇏q 易表述为以下几种说法： p是q的不充分条件，q的不充分条件是p； q是p的不必要条件，p的不必要条件是q.
反思与感悟
等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的
数学思想，本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化.
跟踪训练3 已知命题p：(x＋1)(x－5)≤0，命题q：1－m≤x≤1＋m(m>0). (1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；解由命题p：(x＋1)(x－5)≤0，解得－1≤x≤5. 命题q：1－m≤x<1＋m(m>0). ∵p是q的充分条件，∴[－1,5]⊆[1－m,1＋m]，
1－m≤－1， ∴ 解得 m≥4， 5≤1＋m，
则实数m的取值范围∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围. 解 ∵m＝5，∴命题q：－4≤x≤6. ∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题， ∴命题p，q为一真一假.
解析
答案
反思与感悟 (1)互为逆否命题的两命题真假性相同.
(2)“p与綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假.
若－1≤ 跟踪训练1 (1)命题“若x2>1，则x<－1或x>1”的逆否命题是________
x≤1，则x2≤1 _______________.
π (2)设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为 2 ；命题q：函数y＝cos x的 π ③ 填序号) 图象关于直线x＝对称.则下列判断正确的是____.( 2 ①p为真；②q为真；③p∧q为假；④p∨q为真.
推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.
如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，则称p是q的充分必要条件，简
称充要条件.
(2)特征
充分条件与必要条件具有以下两个特征：
①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件；
②传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件.

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