1.3简单的逻辑联结词1
高中数学选修1课件：1.3简单的逻辑联结词
“或”,“且”, “非”称为逻辑联结词.含有逻 辑联结词的命题称为复合命题,不含逻辑联结 词的命题称为简单命题.
复合命题有以下三种形式: (1)P且q. (2)P或q. (3)非p.
1.3.1 且(and)
思考?
正面
=>
是
都是
至多有一个 至少有一个 任意的 所有的
否定
≠
≤
不是
不都是
至少有两个 没有一个 某个 某些
例4 已知命题p,q,写出“P或q”,“P且q”,“非p”形
式的复合命题. (1)p:π是无理数,q:π是实数. (2)p:3>5,q:3+5=8. (3)p:等腰三角形的两个底角相等,q:等腰三 角形底边上的高和底边上的中线重合.
例2 分别写出由命题“p:平行四边形的对角 线相等”,“q:平行四边形的对角线互相平分” 构成的“P或q”,“P且q”,“非p”形式的命题。
例3 分别指出下列命题的形式及构成它的 简单命题。 (1)24既是8的倍数,又是6的倍数. (2)李强是篮球运动员或跳水运动员. (3)平行线不相交.
本节须注意的几个方面: (1)“≥”的意义是“＞或＝”． (2)“非”命题对常见的几个正面词语的否定.
是假命题时, p q是假命题.
p
q
全真为真,有假即假.
一般地,用逻辑联结词”或”把 命题p和命题q联结起来.就得到一个
p q 新命题,记作
规定:当p,q两个命题中有一个是真命题
时, p q 是真命题;当p,q两个命题中都是
假命题时, p q 是假命题.
当p,q两个命题中有一个是真命
1.3 简单的逻辑联结 第1课时 “且”与“或”
1.3简单的逻辑联结词第1课时“且”与“或”一、基本概念1．一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作p且q.2．关于逻辑联结词“且”(1)“且”的含义与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当，是连词“既……又……”的意思，二者须同时成立．(2)从如图所示串联开关电路上看，当两个开关S1、S2都闭合时，灯才能亮；当两个开关S1、S2中一个不闭合或两个都不闭合时，灯都不会亮．(3)从集合角度理解“且”即集合运算“交”．设命题p：x∈A，命题q：x∈B，则p∧q⇔x∈A，且x∈B⇔x∈(A∩B)．(4)“p∧q”是这样的一个复合命题：当p、q都是真命题时，p∧q是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是真命题．3．一般地，用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作p或q.4．关于逻辑联结词“或”(1)“或”的含义和日常语言中的“或者”相当．是“要么……要么……”的意义，二者中有一个成立即可．(2)从并联开关电路上看，当两个开关S1、S2至少有一个闭合时，灯就亮，只有当两个开关S1和S2都断开时，灯才不会亮．(3)从集合角度理解“或”即集合运算“并”．设命题p：x∈A，命题q：x∈B，则p∨q⇔x∈A，或x∈B⇔x∈(A∪B)．(4)当p、q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．题型一、命题的构成形式例1、分别指出下列命题的构成形式．(1)小李是老师，小赵也是老师；(2)1是合数或质数；(3)他是运动员兼教练员；(4)这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且政治上有错误．[解析](1)这个命题是“p且q”的形式，其中，p：小李是老师；q：小赵是老师．(2)这个命题是“p或q”的形式，其中，p：1是合数；q：1是质数．(3)这个命题是“p且q”的形式，其中，p：他是运动员；q：他是教练员．(4)这个命题是“p且q”的形式，其中，p：这些文学作品艺术上有缺点；q：这些文学作品政治上有错误．题型二、判断含有逻辑联结词的命题的真假例2、分别指出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”形式的命题的真假．(1)p：1∈{2,3}，q：2∈{2,3}；(2)p：2是奇数，q：2是合数；(3)p：4≥4，q：23不是偶数；(4)p：不等式x2－3x－10<0的解集是{x|－2<x<5}，q：点(1,2)不在圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上．[解析](1)∵p是假命题，q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题．(2)∵p是假命题，q是假命题，∴p∨q是假命题，p∧q是假命题．(3)∵p是真命题，q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是真命题．(4)∵p 是真命题，q 是假命题，∴p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．题型三、求解含逻辑联结词命题中的参数例3、已知命题p ：关于x 的不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：函数f (x )＝(5－2m )x 是R 上的增函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．[解析] 不等式|x －1|>m －1的解集为R ，须m －1<0，即p 是真命题时，m <1；函数f (x )＝(5－2m )x 是R 上的增函数，须5－2m >1，即q 是真命题时，m <2.∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，∴p 、q 中一个为真命题，另一个为假命题．(1)当p 真，q 假时，m<1且m ≥2，此时无解；(2)当p 假，q 真时，m ≥1且m<2，此时1≤m<2，因此1≤m<2.例4、已知命题p ：关于x 的不等式2x ＋(a －1)x ＋1≤0的解集为∅；命题q ：函数f(x)＝2ax ＋ax ＋1没有零点，若命题p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，求实数a 的取值范围．[解析] 对于命题p ：∵x2＋(a －1)x ＋1≤0的解集为空集，∴Δ＝(a －1)2－4<0，解得－1<a<3.故p 真：－1<a<3，p 假：a ≤－1或a ≥3.对于命题q ：f(x)＝ax2＋ax ＋1没有零点，等价于方程ax2＋ax ＋1＝0没有实数根， ①当a ＝0时，方程无实根符合题意．②当a ≠0时，Δ＝a2－4a<0，解得0<a<4，∴0≤a<4.故q 真：0≤a<4，q 假：a<0或a ≥4.由命题p 且q 为假命题，p 或q 为真命题可知，命题p 与命题q 有且只有一个为真． 若p 真q 假，则－1<a<0；若p 假q 真，则3≤a<4.综上可知，实数a 的取值范围是(－1,0)∪[3,4)．例5、已知a >0且a ≠1，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，q ：不等式：x ＋|x －2a |>1的解集为R ，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数a 的取值范围．[正解] 由函数y ＝a x 在R 上单调递减知0<a <1，∴p ：0<a <1.不等式：x ＋|x －2a |>1的解集为R ，即y ＝x ＋|x －2a |在R 上恒大于1，又因为x ＋|x －2a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a (x ≥2a )2a (x <2a )， ∴函数y ＝x ＋|x －2a |在R 上的最小值为2a ，故要使解集为R ，只需2a >1，∴a >12，∴q ：a >12. 由已知p 和q 有且只有一个为真．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1a ≤12，∴0<a ≤12， 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1a >12，∴a >1，∴0<a ≤12或a >1. 课堂练习1．“xy ≠0”是指( )A ．x ≠0且y ≠0B ．x ≠0或y ≠0C ．x ，y 至少一个不为0D ．不都是0[答案] A2．p ：点P 在直线y ＝2x －3上；q ：点P 在曲线y ＝－2x 上，则使“p ∧q ”为真命题的一个点P(x ，y)是( )A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1)[答案] C3．已知c>0且c ≠1，设命题p ：指数函数y ＝(2c －1)x 是R 上的增函数；命题q ：不等式x ＋()22c x ->2的解集为R ，若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数c 的取值范围． [解析] p 真：2c －1>1，∴c >1.p 假：0<c <1.q 真：不等式x ＋(x －2c )2>2可化为x 2＋(1－4c )x ＋4c 2－2>0，即不等式x 2＋(1－4c )x ＋4c 2－2>0的解集为R ，∴Δ＝(1－4c )2－4(4c 2－2)<0，∴c >98. ∴q 假：0<c <1或1<c ≤98.∵p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题， ∴p 、q 一真一假．当p 真q 假时，1<c ≤98，当p 假q 真时，∅， 综上可知，实数c 的取值范围是1<c ≤98. 课后作业一、选择题1．下列语句：①3是无限循环小数；②x 2>x ；③△ABC 的两角之和；④毕业班的学生． 其中不是命题的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④[答案] D[解析] 对于①能判断真假，对于②、③、④均不能判断真假．故①是命题，②、③、④均不是命题．2．已知命题p ：1∈{x |(x ＋2)(x －3)<0}，命题q ：∅＝{0}，则下列判断正确的是( )A ．p 假q 假B ．“p 或q ”为真C ．“p 且q ”为真D ．p 假q 真[答案] B[解析] ∵{x |(x ＋2)(x －3)<0}＝{x |－2<x <3}，∴1∈{x |(x ＋2)(x －3)<0}，∴p 真．∵∅≠{0}，∴q 假．故“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，故选B.3．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”；④“菱形的两条对角线互相垂直”．其中假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A[解析] ①②都是“p 或q ”形式的命题，都是真命题，③为真命题，④为真命题，故选A.4．下列命题：①方程x 2－3x －4＝0的判别式大于或等于0；②周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等；③集合A ∩B 是集合A 的子集，且是A ∪B 的子集．其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] ①中，判别式Δ＝9＋16＝25>0，故①中命题为真命题；②中，周长相等或面积相等的两个三角形不一定全等，故②中命题为假命题；③中，(A ∩B )⊆A ，(A ∩B )⊆(A ∪B )，故③中命题为真命题．故选C.5．在△ABC 中，“AB →·AC →＝BA →·BC →”是“|AC →|＝|BC →|”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 如图，在△ABC 中，过C 作CD ⊥AB ，则|AD →|＝|AC →|·cos ∠CAB ，|BD →|＝|BC →|·cos ∠CBA ，AB →·AC →＝BA →·BC →⇔|AB →|·|AC →|·cos ∠CAB ＝|BA →|·|BC →|·cos ∠CBA ⇔|AC →|·cos ∠CAB ＝|BC →|·cos∠CBA ⇔|AD →|＝|BD →|⇔|AC →|＝|BC →|，故选C.6．命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x )的图象关于(3,0)对称，那么函数y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，则有( )A ．“p 且q ”为B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真[答案] C[解析] y ＝log a (ax ＋2a )＝log a a (x ＋2)＝1＋log a (x ＋2)，当x ＝－1时，log a (x ＋2)＝0， ∴函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图象过定点(－1,1)，故p 真；如果函数y ＝f (x )的图象关于点(3,0)对称，则函数y ＝f (x －3)的图象关于点(6,0)对称，故q 假，∴选C.二、填空题7．p ：ax ＋b >0的解为x >－b a，q ：(x －a )(x －b )<0的解为a <x <b .则p ∧q 是__________________命题(填“真”或“假”)．[答案] 假[解析] 命题p 与q 都是假命题．8．设命题p ：3≥2，q ：32∉[23，＋∞)，则复合命题“p ∨q ”“p ∧q ”中真命题的是__________________．[答案] p ∨q[解析] 3≥2成立，∴p 真，32∈[23，＋∞)，∴q 假，故“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题．三、解答题9．已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式x 2－ax ＋1>0对x ∈R 恒成立．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．[解析] ∵函数y ＝a x 在R 上单调递增，∴a >1，∴p ：a >1.∵不等式x 2－ax ＋1>0时x ∈R 恒成立，∴Δ＝a 2－4<0，∴－2<a <2.∴q ：0<a <2.又∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 、q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a ≥2，∴a ≥2. 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤10<a <2，∴0<a ≤1， 综上可知，实数a 的取值范围是(0,1]∪[2，＋∞)．10．已知命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．[解析] 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0.所以－2<a <2，所以命题p ：－2<a <2；又f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，则有5－2a >1，即a <2.所以命题q ：a <2.∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 和q 一真一假．(1)若p 为真命题，q 为假命题，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a <2a ≥2，此不等式组无解． (2)若p 为假命题，q 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2a <2，解得a ≤－2. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．。
1.3简单的逻辑连接词,全称量词与存在量词
解析:命题 p:存在 x∈R,使 tan x=1 是真命题,命题 q:x -3x+2<0 的解集 是{x|1<x<2}也是真命题,∴ ①命题“p 且 q”是真命题;②命题“p 且(������ q)”是假 命题;③命题“(������ p)或 q”是真命题;④命题“(������ p)或(������ q)”是假命题,故应选 D.
1 2 2
5 2
2
解析:由 sin x= >1,可得命题 p 为假;由 x +x+1= ������ +
2
5
2
+ ≥ ,可得
4 4
3
3
命题 q 为真,则命题“p 且 q”是假命题;命题“p 且(������ q)”是假命题;命题“(������ p)且 q”是真命题;命题“(������ p)或(������ q)”是真命题.
1.命题 p:x2+y2<0;q:x2+y2≥0.下列命题为假命题的是( B ). A.p 或 q C.q B.p 且 q D.������ p
1.3简单的逻辑联结词1
真
（3）¬ p：空集不是集合A的子集. 假
命题p：若x是6的倍数，则x是2的倍数
非p：若x是6的倍数，则x不是2的倍数 否命题：若x是不6的倍数，则x不是2的倍数 命题的否定：只否定结论 否命题：同时否定条件和结论
例1 分别指出由下列各组命题构成的“p或q” “p且q” “非p”形式的复合命题的真假
例2、用逻辑联结词“且”改写下列命 题，并判断它们的真假： （1）1既是奇数，又是素数； （2）2和3都是素数.
（1）1是奇数且1是素数； 假命题
（2）2是素数且3是素数.
真命题
思 考
下列三个命题间有什么关系： （1）27是7的倍数； （2） 27是9的倍数； （3） 27是7的倍数或 27是9的倍数. 一般地，用连接词“或”把命题p和命题q连 接起来，就得到一个新命题，记作
C U A {x | x A 且 x U}
p
P
U
注： ( p ) p 命题“非p”的真假： 若p是真命题,则 p必是假命题; 若p是假命题,则 p 必是真命题.
p
p 真
假
假 真
p与¬ p必是 一真一假
逻辑联结词：或、且、非
简单命题：不含逻辑联结词的命题
（常用小写字母p,q,r,s,……表示）
判断复合命题真假的步骤: (1)写出构成复合命题的简单命题p与q (2)判断p 、q的真假
(3) 由p 、q的真假得出复合命题的真假
练习1：某足球队队员的全体构成集合A ， 写出下列命题的否定：
（1）p: （2）p: （3）p: （4）p:
A中的队员至少有一个是重庆人； A中的队员都是重庆人； A中的队员都不是重庆人； A中的队员不都是重庆人.
2014-12-24简单的逻辑联结词
课堂小结 1、复合命题的三种形式： 2、复合命题的真假判断：
p q：一假必假
p q：一真必真
p：真假相反 3、p : 若A，则B 否命题 : 若A，则B 条件结论都否定
非p : 若A，则B
仅否定结论
小结
逻辑 复合命题 联结词
类比集合
且
或 非
p∧ q
p∨ q ┐p
A B { x | x A且x B} A B { x | x A或x B}
注意1：生活中的“或”与数学逻辑中的“或”有点不同！
(2)a≥b意即a＞b或a＝b．
(3)a＝±1．
非
记号：命题p的否定记作p． 结论：若p为真命题，则 p为假命题； 若p为假命题，则 p为真命题． p 真 假 非p 假 真
例 请写出下列语句或式子的否定的形式． ——至少有一个不 （1）我班同学体育全都达标了 ——都是 （2）我班同学不都是团员 （3）我班同学都不是市级三好学生 ——至少有一个是 ——a≠1且a≠－1 （4）a＝±1 （ 5 ） x＝ 1或 x＝ 3 ——x≠1且x≠3 （6）x＞0且x≠1 ——x≤0或x＝1 p且q —— p或 q p或q —— p且 q
注意1：几种重要的否定形式： 非 (1)“p且q”的否定： p或 q (2)“p或q”的否定： p且 q (3)“所有的a都满足性质p”的否定： 至少有一个a不满足性质p (4)“存在元素a满足性质p”的否定： 所有的a都不满足性质p 注意2：命题的否定与否命题的区别： 1．“若p则q”的否定：若p未必q 菱形不都是正方形 例 “菱形是正方形”的否定是 __________________ 2．“若p则q”的否命题：若┐p则┐q 例 “菱形是正方形”的否命题是 若一个四边形不是菱形，则它不可能是正方形 _______________________________________．
2020-2021人教版数学1-1教师用书：第1章 1
2020-2021学年人教A版数学选修1-1教师用书：第1章1.3简单的逻辑联结词1.3简单的逻辑联结词学习目标核心素养1。
了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义．(重点)2.能够判断命题“p且q”“p或q”“非p”的真假．（难点）3。
会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．(易错点）1．通过“且”“或"“非”的学习,提升数学抽象素养。
2。
借助“p且q”“p 或q”“非p”的真假，提升逻辑推理素养。
1．“且”(1)定义一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q,读作“p且q”．(2)真假判断当p，q都是真命题时,p∧q是真命题；当p,q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．2．“或”(1）定义一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题,记作p∨q，读作“p或q”．（2)真假判断当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p,q两个命题都是假命题时,p∨q是假命题．思考:（1）p∨q是真命题，则p∧q是真命题吗？（2)若p∨q与p∧q一个是真命题，一个是假命题，那么谁是真命题？［提示］（1)不一定,p∨q是真命题，p与q可能一真一假，此时p∧q是假命题．(2)p∨q是真命题,p∧q是假命题．3．“非”(1)定义一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题,记作¬p,读作“非p”或“p的否定”．（2)真假判断若p是真命题,则¬p必是假命题；若p是假命题,则¬p必是真命题．4．复合命题用逻辑联结词“且”“或”“非”把命题p和命题q联结起来的命题称为复合命题．复合命题的真假判断真假真假假假真真假真假假假假真1．命题“矩形的对角线相等且互相平分”是(）A．“p∧q”形式的命题B．“p∨q”形式的命题C．“¬p"形式的命题D．以上说法都不对A[用“且”联结，故是“p∧q”形式的命题．]2．在一次跳高比赛前,甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”,命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”,则命题p∨q表示（）A．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米B．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米C．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米D．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米D[结合p∨q的含义可知选项D正确．]3．若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．¬p是真命题D．¬q是真命题D[结合复合命题的真假判断可知D正确．］含有逻辑联结词的命题结构（1)方程x2－3＝0没有有理根；（2）有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；(3）±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．[解］（1)这个命题是“非p”形式的命题，其中p：方程x2－3＝0有有理根．（2)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．（3）这个命题是“p或q”形式的命题，其中p：1是方程x3＋x2－x－1＝0的根，q：－1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．1．判断一个命题的结构，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构上看是否用逻辑联结词联结两个命题．2．用逻辑联结词“且"“或"联结两个命题时,关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词,有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形．错误!1．分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“¬p"形式的命题．（1）p：梯形有一组对边平行，q:梯形有一组对边相等;(2）p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x ＋3＝0的解．［解］（1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．¬p:梯形没有一组对边平行．(2）p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．¬p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解。
1.3简单的逻辑连接词
我们可以从并联电路理解联结词“或”的 含义。若开关p,q的闭合与断开分别对应命 题p,q的真与假，则整个电路的接通与断开 分别对应命题p∨q的真与假。
p
q
同假为假,一真必真.
s
总结思考
如果p∧q为真命题,那么p∨q一定是真 命题吗?反之,如果p∨q为真命题,那么 p∧q一定是真命题吗?
假
（2）p:3 < 2
解： p ： 3≥2.
真
(3) p:空集是集合A的子集
解： p ： 空集不是集合A的子集。 假
课堂小结
1、逻辑联结词 “或”、“且”、“非”的含义 2、判断含有逻辑连接词的命题真假的步骤
（1）把命题写成两个简单命题，并确定命题的构成 形式；
（2）判断简单命题的真假； （3）根据真值表判断命题的真假.
2.在下列命题中
（1）命题“不等式 | x 2 | 0 没有实数解”；
（2）命题“－1是偶数或奇数”；
（3）命题“ 2 既属于集合Q ，也属于集合R”；
（4）命题“A A U B ”
其中，真命题为_（__2__）__（__4_）___.
3.
命题p：“不等式
x
x 1
0
的解集为
{x | x 0或x 1}”；命题q：“不等式 x2 4
1.3简单的逻辑联结词
★★ 1.3.1 且 （and）
思考 下面三个命题间有什么关系？ （1）12能被3整除； （2）12能被4整除；
命题(3)是由命 题(1)(2)使用联 结词“且”联 结得到的新命 题.
（3）12能被3整除且能被4整除。
一般的，用逻辑联结词“ ”把命题p和q连接起来， 就得到一个新命题， 记作p∧q，读作“p且q”.
高中数学高考03第一章 集合与常用逻辑用语 1 3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
则log2(3x＋1)>0，所以p是假命题； 綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B.
师生共研
题型三 命题中参数的取值范围
例 3 (1)(2018·大 同 质 检 ) 已 知 命 题 p ： “∀x∈[0,1] ， a≥ex” ； 命 题 q ： “∃x0∈R，使得 x20＋4x0＋a＝0”.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取 值范围为__[_e_,4_]___.
跟踪训练2 (1)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋ 15 a>0”的否定为假命题，则实 2
数a的取值范围是__56_，__＋__∞____.
解析 由“∀x∈R，x2－5x＋125a>0”的否定为假命题， 可知原命题必为真命题，即不等式 x2－5x＋125a>0 对任意实数 x 恒成立. 设 f(x)＝x2－5x＋125a，则其图象恒在 x 轴的上方. 故 Δ＝25－4×125a<0，解得 a>56，
跟踪训练1 (1)(2018·东北三校联考)下列命题中是假命题的是
A.∃x0∈R，log2x0＝0
√C.∀x∈R，x2>0
B.∃x0∈R，cos x0＝1 D.∀x∈R,2x>0
解析 因为log21＝0，cos 0＝1，所以选项A， B均为真命题，02＝0，
选项C为假命题，2x>0，
选项D为真命题，
123456
2 题型分类 深度剖析
PART TWO
自主演练
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
1.(2018·石家庄模拟)命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命
1.3简单的逻辑联结词(教学设计) (1)
1.3简单的逻辑联结词（1）（教学设计）1.3.1且 1.3.2或 1.3.3非教学目标1.知识与技能目标：（１）掌握逻辑联结词“且、或、非”的含义（２）正确应用逻辑联结词“且、或、非”解决问题（３）掌握真值表并会应用真值表解决问题2．过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养．3.情感态度价值观目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．通过探究学习培养学生合作交流的良好习惯和品质，培养学生独立思考锲而不舍的钻研精神。
教学重点与难点重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“且、或、非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容。
难点：1、正确理解命题“P∧q”，“P∨q”，“⌝p”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题“P∧q”“P∨q”“⌝p”. 教学过程：一、复习回顾：命题：若p，则q(1)若p⇒q，且q p.则P是q的充分不必要条件(2)若p q，且q⇒p.则p是q的必要不充分条件(3)若p⇒q，且q⇒p.则p是q的充要条件，q也是p的充要条件(4)若p q，且q p.则p是q的既不充分与不必要条件引调：只能“已知（条件）”是“结论”的什么条件。
二、创设情境、新课引入在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面．数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的数学比初中更强调逻辑性．如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识．在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。
在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。
下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。
为叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。
高中数学 第1章 常用逻辑用语 1
§1.3简单的逻辑联结词知识点一由简单命题写出复合命题分别写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题：(1)p：2是无理数，q：2大于1；(2)p：N⊆Z，q：0∈N；(3)p：x2＋1>x－4，q：x2＋1<x－4.解(1)p∨q：2是无理数或大于1；p∧q：2是无理数且大于1；綈p：2不是无理数．(2)p∨q：N⊆Z或0∈N；p∧q：N⊆Z且0∈N；綈p：N⃘Z.(3)p∨q：x2＋1≠x－4；p∧q：x2＋1>x－4且x2＋1<x－4；綈p：x2＋1≤x－4.知识点二从复合命题中找出简单命题指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题.(1)96是48与16的倍数；(2)方程x2－3＝0没有有理数解；(3)不等式x2－x－2>0的解集是{x|x<－1或x>2}；(4)他是运动员兼教练员．解(1)“p且q”形式，其中p：96是48的倍数，q：96是16的倍数．(2)“非p”形式，其中p：方程x2－3＝0有有理数解．(3)“p或q”形式，其中p：不等式x2－x－2>0的解集是{x|x<－1}，q：不等式x2－x－2>0的解集是{x|x>2}．(4)“p且q”形式，其中p：他是运动员，q：他是教练员.知识点三判断含有逻辑联结词的命题的真假分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题的真假．(1)p：3>3，q：3＝3；(2)p：∅{0}，q：0∈∅；(3)p：A⊆A，q：A∩A＝A；(4)p：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有交点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实根．解(1)因为p假q真，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真．(2)因为p真q假，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为假．(3)因为p真q真，所以“p∨q”为真，“p∧q”为真，“綈p”为假．(4)因为p假q假，所以“p∨q”为假，“p∧q”为假，“綈p”为真．知识点四非命题与否命题写出下列命题的否定及命题的否命题：(1)菱形的对角线互相垂直；(2)面积相等的三角形是全等三角形．解(1)命题的否定：存在一个菱形，其对角线不互相垂直．否命题：不是菱形的四边形，其对角线不互相垂直．(2)命题的否定：存在面积相等的三角形不是全等三角形．否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．考题赏析1．(广东高考)已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．(綈p)∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)解析不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(綈p)∨(綈q)为真命题．答案 D2．(如皋联考)已知命题：p：若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x，y全为0；命题q：若a>b，则1a<1b.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.上述命题中为真命题的是________．解析p为真，q为假，故p或q，綈q为真命题．答案②④1．如果命题“非p或非q”是假命题，则在下列各结论中，正确的为()①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．A．②③B．②④C．①③D．①④答案 C解析因“p且q”的否定为“綈p或綈q”，即綈(p且q)等价于綈p或綈q，所以“綈p或綈q”是假命题等价于“綈(p且q)”是假命题，即p且q为真命题．故选C.2．条件p：x∈A∪B，则綈p是()A．x∉A或x∉B B．x∉A且x∉BC ．x ∈A ∩BD ．x ∉A 或x ∈B 答案 B解析 因x ∈A ∪B ⇔x ∈A 或x ∈B ，所以綈p 为x ∉A 且x ∉B ，故选B.3．对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题： ①p 或綈q 是真命题； ②p 或綈q 是假命题； ③綈p 且綈q 是假命题； ④綈p 或q 是假命题， 其中真命题是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 答案 C解析 因为p 且q 为真，所以p 与q 都为真，所以綈p 且綈q 为假．所以只有①③是真命题，所以选C. 4．若命题“p ∧q ”为假，且“綈p ”为假，则( ) A ．p ∨q 为假 B ．q 假C ．q 真D ．不能判断q 的真假 答案 B解析 綈p 为假，则p 为真，又p ∧q 为假，所以q 为假．所以选B. 5．“a ≥5且b ≥2”的否定是________． 答案 a <5或b <2解析 本题考查命题的否定，“p 或q ”的否定是“綈p 且綈q ”，“p 且q ”的否定是“綈p 或綈q ”． 6．命题p ：{2}∈{2,3}，q ：{2}⊆{2,3}，则下列对复合命题的判断，正确的是________．(填上所有正确的序号)①p 或q 为真；②p 或q 为假；③p 且q 为真；④p 且q 为假；⑤非p 为真；⑥非q 为假． 答案 ①④⑤⑥解析 由题可知p 为假，q 为真，所以p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真，非q 为假．答案为①④⑤⑥.7．已知p ：3－x ≤0或3－x >4，q ：5x ＋2<1，求p ∧q .解 由3－x ≤0或3－x >4，解得p ：x ≥3或x <－1； 由5x ＋2－1<0，即3－x x ＋2<0， 解得q ：x <－2或x >3.所以p ∧q ：x <－2或x >3.8．已知a ＞0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．如果p 与q 有且只有一个正确，求a 的取值范围．解 当0＜a ＜1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a ＞1时，y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点等价于(2a －3)2－4＞0，即a ＜12或a ＞52.若p真q 假，则a ∈(0,1)∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎦⎤1，52＝⎣⎡⎭⎫12，1. 若p 假q 真，注意到已知a ＞0，a ≠1，所以有 a ∈(1，＋∞)∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞＝⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 综上可知，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.讲练学案部分知识点一 含逻辑联结词的命题的构成将下列命题写成“p ∧q ”“p ∨q ”和“綈p ”的形式： (1)p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形的对角线互相平分；(2)p ：能被5整除的整数的个位数一定为5，q ：能被5整除的整数的个位数一定为0. 解 (1)p ∧q ：菱形的对角线互相垂直且平分． p ∨q ：菱形的对角线互相垂直或平分． 綈p ：菱形的对角线不互相垂直．(2)p ∧q ：能被5整除的整数的个位数一定为5且一定为0； p ∨q ：能被5整除的整数的个位数一定为5或一定为0；綈p ：能被5整除的整数的个位数一定不为5.【反思感悟】 简单命题用联结词“或”、“且”、“非”联结得到的新命题是复合命题，联结后可以综合起来叙述，但综合叙述不能叙述成条件复合的简单命题或叙述成结论复合的简单命题．如(2)中的p ∨q 不能叙述成：能被5整除的整数的个位数一定为5或0，因为p 、q 都是假命题，则p ∨q 也为假命题．判断下列命题是否是复合命题并说明理由．(1)2是4和6的约数；(2)不等式x 2－5x ＋6>0的解为x >3或x <2.解 (1)是“p 且q ”形式的复合命题，其中p ：2是4的约数；q ：2是6的约数．(2)是简单命题，而不是用“或”联结的复合命题，因不等式x 2－5x ＋6>0的解为x >3是假命题，不等式x 2－5x ＋6>0的解为x <2也是假命题，而命题(2)是真命题，这与p 、q 都假，则p ∨q 一定假矛盾．命题“不等式x 2－5x ＋6>0的解为x >3或解为x <2”是p ∨q 的形式．知识点二 含逻辑联结词的命题的真假判断分别指出下列命题的形式及构成它的命题，并判断真假：(1)相似三角形周长相等或对应角相等； (2)9的算术平方根不是－3；(3)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两段弧．解 (1)这个命题是p ∨q 的形式，其中p ：相似三角形周长相等，q ：相似三角形对应角相等，因为p 假q 真，所以p ∨q 为真．(2)这个命题是綈p 的形式，其中p ：9的算术平方根是－3，因为p 假，所以綈p 为真．(3)这个命题是p ∧q 的形式，其中p ：垂直于弦的直径平分这条弦，q ：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧，因为p 真q 真，所以p ∧q 为真．【反思感悟】 判断含逻辑联结词的命题的真假，关键是对应p 、q 的真假及“p ∧q ”“p ∨q ”为真时的判定依据，至于“綈p ”的真假，可就p 的真假判断，也可就“綈p ”直接判断．判断下列命题的真假：(1)－1是偶数或奇数；(2)2属于集合Q ，也属于集合R ； (3)A ⃘(A ∪B )．解 (1)此命题为“p ∨q ”的形式，其中p ：－1是偶数，q ：－1是奇数，因为p 为假命题，q 为真命题，所以“p ∨q ”为真命题，故原命题为真命题．(2)此命题为“p ∧q ”的形式，其中p ：2属于Q ，q ：2属于R ，因为p 为假命题，q 为真命题，所以“p ∧q ”为假命题，故原命题为假命题．(3)此命题为“綈p ”的形式，其中p ：A ⊆(A ∪B )．因为p 为真命题，所以“綈p ”为假命题，故原命题为假命题．知识点三 简单的逻辑联结词的综合应用已知p ：函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，q ：函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1大于零恒成立．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解 若函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，则－m2≤－1，∴m ≥2，即p ：m ≥2；若函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1恒大于零， 则Δ＝16(m －2)2－16<0， 解得1<m <3，即q ：1<m <3.因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 、q 一真一假，当p 真q 假时，由⎩⎨⎧m ≥2m ≥3或m ≤1，得m ≥3，当p 假q 真时，由⎩⎨⎧m <21<m <3，得1<m <2.综上，m 的取值范围是{m |m ≥3或1<m <2}．【反思感悟】 由p 、q 的真假，可以判断“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”的真假．反之，由“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”的真假，也能推断p 、q 的真假，如“p ∧q ”为假，则包括“p 真q 假”“p 假q 真”“p 假q 假”三种情况.已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等负根．q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．(1)当m 为何值时，p 或q 为真？ (2)当m 为何值时，p 且q 为真？解 由已知可知：p 真时m >2，q 真时1<m <3， (1)若p 或q 为真，只需m ∈{m |m >2}∪{m |1<m <3} ＝{m |m >1}．(2)若p 且q 为真，只需m ∈{m |m >2}∩{m |1<m <3} ＝{m |2<m <3}.课堂小结：1. 从集合的角度理解“且”“或”“非”. 设命题p ：x ∈A.命题q ：x ∈B. 则p ∧qx ∈A 且x ∈Bx ∈A ∩B ；p ∨q x ∈A 或x ∈B x ∈A ∪B ；2.对有逻辑联结词的命题真假性的判断 当p 、q 都为真，p ∧q 才为真；⌝p 与p 的真假性相反且一定有一个为真.当p 、q 有一个为真，p ∨q 即为真； 3.含有逻辑联结词的命题否定（1）“x=0或x=1”的否定是“x ≠0且x ≠1”而不是“x ≠0或x ≠1”; （2）“x 、y 全为0”的否定是“x 、y 不全为0”，而不是“x 、y 全不为0”；（3）“全等三角形一定是相似三角形”的否定是“全等三角形一定不是相似三角形”而不是“全等三角形不一定是相似三角形”.一、选择题1．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，则使“p ∧q ”为真命题的一个点P (x ，y )是( )A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1) 答案 C解析 点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝－x 2.可验证各选项中，只有C 正确．2．如果原命题的结论是“p 且q ”的形式，那么否命题的结论形式为( ) A ．綈p 且綈q B ．綈p 或綈q C ．綈p 或q D ．綈q 或p 答案 B解析 注意逻辑联结词的否定，“或”的否定是“且”，“且”的否定为“或”，所以p 且q 的否定为綈p 或綈q .所以选B.3．命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x )的图象关于(3,0)对称，那么函数y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，则有( )A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真 答案 C解析 由于将点(－1,1)代入y ＝log a (ax ＋2a )成立，故p 真；由y ＝f (x )的图象关于(3,0)对称，知y ＝f (x －3)的图象关于(6,0)对称，故q 假．4．若p 、q 是两个简单命题，p 或q 的否定是真命题，则必有( ) A ．p 真q 真 B ．p 假q 假 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真答案 B解析 因为p 或q 的否定綈p 且綈q 为真命题，所以綈p 与綈q 都是真命题，所以p 与q 都为假命题．所以选B.5．下列命题中既是p ∧q 形式的命题，又是真命题的是( ) A ．10或15是5的倍数B ．方程x 2－3x －4＝0的两根是－4和1C ．方程x 2＋1＝0没有实数根D ．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形 答案 D解析 A 中的命题是条件复合的简单命题，B 中的命题是结论复合的简单命题，C 中的命题是綈p 的形式，D 中的命题为p ∧q 型． 二、填空题6．由命题p ：6是12的约数，命题q ：6是24的约数．构成的“p ∨q ”形式的命题是______________________________，“p ∧q ”形式的命题是______________________________，“綈p ”形式的命题是________________________________．答案 6是12或24的约数 6是12和24的约数 6不是12的约数7．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的范围是________． 答案 [1,2)解析 x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)， 即x ∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，所以1≤x <2，即x ∈[1,2)．8．已知a 、b ∈R ，设p ：|a |＋|b |>|a ＋b |，q ：函数y ＝x 2－x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，那么命题：p ∨q 、p ∧q 、綈p 中的真命题是________．答案 綈p 解析 对于p 当a >0，b >0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |，故p 假，綈p 为真；对于q ，抛物线y ＝x 2－x ＋1的对称轴为x ＝12，故q 假，所以p ∨q 假，p ∧q 假．这里綈p 应理解成|a |＋|b |>|a ＋b |不恒成立，而不是|a |＋|b |≤|a ＋b |.三、解答题9．判断下列复合命题的真假：(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边； (2)x ＝±1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根； (3)A ⃘(A ∪B )．解 (1)这个命题是“p 且q ”的形式，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p 真q 真，则“p 且q ”真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p 或q ”的形式，其中p ：1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，q ：－1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，因为p 假q 真，则“p 或q ”真，所以该命题是真命题．(3)这个命题是“非p ”的形式，其中p ：A ⊆(A ∪B )，因为p 真，则“非p ”假，所以该命题是假命题． 10．已知p ：x 2＋4mx ＋1＝0有两个不等的负数根，q ：函数f (x )＝－(m 2－m ＋1)x 在(－∞，＋∞)上是增函数．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．解 p ：x 2＋4mx ＋1＝0有两个不等的负根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16m 2－4>0－4m <0⇔m >12.q ：函数f (x )＝－(m 2－m ＋1)x 在(－∞，＋∞)上是增函数 ⇔0<m 2－m ＋1<1⇔0<m <1.(1)若p 真，q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m >12，m ≤0或m ≥1.⇒m ≥1.(2)若p 假，q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤120<m <1⇒0<m ≤12综上，得m ≥1或0<m ≤12.。
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练习2.命题p : 方程x +mx+1=0有两个 不相等的负实数根；命题q : 方程 4x +4(m -2)x+1=0无实数根.若命题 p q为真命题，求实数m的取值范围.
2
2
课堂小结
1、掌握逻辑联结词“且”的含义; 2、正确应用逻辑联结词“且”解决问题; 3、掌握真值表并会应用真值表判断命题p∧q的 真假.
问题3：观察下列各组命题，命题p∧q的
真假与p、q的真假有什么联系？ 真 p:12能被3整除； q:12能被4整除； 真 p∧q:12能被3整除且能被4整除； 真
真 P:等腰三角形两腰相等； 假 q:等腰三角形三条中线相等； p∧q:等腰三角形两边相等且三条中线相等. 假
p:6是奇数; q:6是素数; p∧q:6是奇数且是素数.
假 假 假
我们规定:
1、当p,q都是真命题时, p q 是真命题;
2、当p,q两个命题中有一个命题是假命 题时, p q 是假命题.
p q
“一假则假”
串联电路
例1：将下列命题用“且”联结成新命题，并判断他 们的真假： （1）p：平行四边形的对角线互相平分， q：平行四边形的对角线相等； （2）p：菱形的对角线互相垂直， q：菱形的对角线互相平分； （3）p：35是15的倍数， q：35是7的倍数. 解:(1)p∧q：平行四边形的对角线互相平分且相等. ∵ p是真命题， q是假命题，∴p∧q是假命题. (2)p∧q :菱形的对角线互相垂直且平分. ∵p、q都是真命题， ∴ p∧q是真命题. (3) p∧q : 35是15的倍数且是7的倍数. ∵ p是假命题， q是真命题，∴ p∧q是假命题.
练习1：将下列命题用“且”联结成新命
题，并判断真假：
（1）p: 2是无理数；q: 2大于1.
（2）p:N Z;q:0 N.
例2：用逻辑联结词“且”改写下列命题，并 判断它们的真假. （1）1既是奇数，又是素数； （2）2和3都是素数. 解：（1） 1是奇数且是素数 ，假命题.
（2） 2是素数且3是素数，真命题.
§1.3 简单的逻辑联结词（一）
环县二中 梁万聪
看下面几个命题: (1)菱形的对角线互相垂直且平分. (2)10可以被2或5整除. (3)0.5非整数. “且”,“或”,“非”称为逻辑联 结词.不含逻辑联结词的命题称为简单 命题.由简单命题与逻辑联结词构成的 命题称为复合命题. 本节课我们主要来学习简单的逻辑 联结词—“且”.
含有“……和……”、“…… 与……”、“既……，又…..”等词的数学 命题能用“且”改写成“p∧q”的形式.
例3.已知a 0, 且a 1.设命题p:函数 y=log a ( x 1)在(0, )上单调递减; 命题 q :曲线 y x (2a 3) x 1与x轴
2
交于不同的两点，如果p Biblioteka q为真命题， 求实数a的取值范围.
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假
一 假 则 假
作业布置
教材习题1.3A组 第1题（2）,（4）；第2题（1）.
解：若命题p为真命题，则0 a 1;
2 若命题q为真命题，则 =（2a -3） 4 0, 5 1 2 即4a 12a 5 0, a ，或a . 2 2 又 p q为真命题， 命题p, q都是真命题.
0 a 1 5 1 a ，或a 2 2 1 0 a . 2 1 即实数a的取值范围为（0， ）. 2
问题情境
问题1：下列三个命题间有什么关系? (1)12能被3整除; (2)12能被4整除;
(3)12能被3整除且能被4整除.
一般地,用逻辑联结词 “且”把 命题p和命题q联结起来.就得到一个新 命题,记作
pq
读作“ p且q”.
问题2：下面的“且”有何不一样？ （1）话还没说完，你且慢走。 （2）且不谈考试成绩，就是平时 作业他也属全班第一。 （3）年且九十。 在逻辑联结词中，“且”我们 主要取它做联词的作用，“并且”， “而且”，是“同时满足”之意。