索赔额服从混合指数分布的破产概率及其渐近估计
保险公司破产概率的估计及随机模拟
第7期
保险公司破产概率的估计及随机模拟
65
N (t)
6 其中的性质 3) 需要用到 E [ X k ] = EN (t) EX k = Λ t Μ. 由性质 (4) 可知, 存在 g ( ) 使 k= 1 E [ e- rS (t) ] = etg (r)
1 Κν 1 Λ 或 Κµ Λ
(1. 2)
也就是: 保单到达的速率应远比理赔发生的速率大, 否则, 这种保险产品就没有经营价值.
人们所关心的是保险公司在每一时期的破产概率及最终破产概率, 经典的破产模型通常假定保险公
司是按照单位时间常数速率收到保费, 本文对此略加推广. 本文假定一份保单的价格是常数 c , 因此由 (1. 1) 式保费收入是一个 Po isson 过程; 而发生理赔时, 理赔额是服从指数分布的独立随机变量. 为此做如 下假设:
A n E st im a te and Stocha st ic Sim u la t ion of the R u in P robab ility fo r an In su rance Com p any
SU N L i2juan, GU L an
( D ep a rtm en t of Sta tistics, R enm in U n iversity, B eijing 100872)
本文研究保险公司的破产概率. 第一节引人破产的概率模型; 第二节是通过数学推导给出破产概率的 一个上界; 第三节讨论了当保费收入和索赔发生为相互独立 Po isson 流情形下, 破产概率的随机模拟.
一类重尾风险模型的有限时破产概率
一类重尾风险模型的有限时破产概率邢培培;于长俊【摘要】考虑一类随机收取保费的重尾风险模型.与经典的风险模型相比,该模型考虑了保费收取过程的随机性,因而能够更好地刻画保险公司的运营风险.在索赔额服从强次指数分布的条件下,得到了当保险公司的初始资本x趋近于无穷大时,保险公司在时刻t之前破产的有限时破产概率的渐近估计.该渐近结果对于时间t具有一致性.%In this paper, a kind of heavy-tailed risk model with random premium is considered. Compared with that of the classical risk models, in this model, the randomness of the process in the charge for the premium is considered.Therefore, the operation risk of the insurance company can be better characterized. Under the condition that the claim-sizes have a strong subexponential distribution, the asymptotic estimation of the finite-time ruin probability before time t of the insurance company is derived when x, the initial capital of the insurance company tends to be infinity. The asymptotic results have uniformity for the time t.【期刊名称】《南通大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(017)003【总页数】5页(P55-59)【关键词】重尾分布;风险模型;破产概率;保费;渐近性【作者】邢培培;于长俊【作者单位】南通大学理学院, 江苏南通 226019;通州高级中学, 江苏南通226300;南通大学理学院, 江苏南通 226019【正文语种】中文【中图分类】O211.6在更新风险模型中，保险公司的收益过程为其中：x表示保险公司的初始资本；ct表示到时刻t为止的保费收入；{N（t），t≥0}是一个更新过程；Xn，n≥1表示第n个客户的赔付金额，它们构成一列独立同分布的随机变量.众所周知，保费收入是对投保对象逐个收取的，因此，在上述模型中，保费收入过程与实际情况不太相符.因此，本文考虑一类保单到达过程和保单赔付过程均为更新过程的风险模型，其满足的基本假设如下：（A1）索赔时间间隔{θn，n≥1}是一列独立同分布的随机变量，其均值为λ-1；（A2）索赔额{Xn，n≥1}是一列独立同分布的随机变量，其共同分布为F；（A3）保单到达时间间隔{ηn，n≥1}是一列独立同分布的随机变量序列，其均值为γ-1；（A4）客户保单的投保额是{Yn，n≥1}是一列独立同分布的随机变量；（A5）随机变量序列{θn，n≥1}，{ηn，n≥1}，{Xn，n≥1}，{Yn，n≥1}相互独立. 为了保证破产不是必然发生的，我们还需要保证单位时间内的平均保费收入大于单位时间内的平均赔付额，即需要如下的安全负荷条件：设{N（t），t≥0}，{M（t），t≥0}分别为由{θn，n≥1}，{ηn，n≥1}生成的更新过程，即设保险公司的初始资本为x，则保险公司在时刻t的净收益为则其在时刻t之前破产的破产概率为该模型可以追溯到文献[1].在轻尾索赔情形下对该模型破产概率的研究，可以参见文献[2].Labbé等[3]研究了该模型下的期望折现惩罚函数满足的积分方程；Zhang 等[4]对该模型进行了推广，在索赔到达时间间隔和索赔额满足某种相依结构的条件下，得到期望折现惩罚函数满足的积分方程；赵金娥等[5]在N（t）是M（t）的稀疏过程的条件下，得到期望折现惩罚函数满足的积分方程，又在进一步考虑存在现金流干扰的条件下，得到期望折现惩罚函数满足的积分方程[6].近年来，Cheng等[7]将公式（2）定义的模型推广到了多维情形，即保险公司运营多个保险业务的情形.然而，尽管上述研究在模型的刻画方面日益精进，但在重尾索赔情形的研究方面却进展不大.在上述研究中，只有文献[6]考虑了重尾索赔条件下有限时破产概率的渐近估计，但该结果对于时间t不具有一致性.当保费收益为线性函数时，对重尾索赔情形下有限时破产概率的一致渐近估计的研究已经比较成熟，最新研究成果可参见文献[8-10].本文将考虑收益过程为由公式（2）刻画的风险模型，在重尾索赔条件下有限时破产概率的一致渐近性.1 主要记号及结论为了更好地叙述本文的结论，我们首先介绍一些约定、记号和概念.设 a（x，t）和b（x，t）是定义在[0，∞）×[0，∞）上的二元函数，若对于任意趋于无穷的函数f（x），则称 a（x，t）～b（x，t）对于t≥0 一致成立.设随机变量X的分布函数为F，记其尾分布为即对于任意x∈R，对于任意分布 F 及n≥1，记F的n重卷积的分布为若对于任意y＞0，则称F属于长尾分布族，记作F∈L.对于任意u≥1，定义若则称F属于强次指数分布族，记作F∈S*.常见的强次指数分布包括形状参数大于1的Pareto分布，形状参数小于1的Weibull分布和对数正态分布等.这些分布在排队系统和风险理论中具有重要的应用，可参见文献[11-12].定理1 考虑满足假设条件（A1）-（A5）及安全负荷条件（1）的风险模型.假设存在β＞0使得若F∈S*，则当x→∞时，对于t≫ 0一致成立，其中μ=λ-1γEY1-EX1.2 定理1的证明为证明上述结论，我们需要两个引理.引理 1[13-14] 设{Xn，n≥1}和{θn，n≥1}满足假设（A1）、（A2）且二者相互独立.若F∈S*，则对任意c＞λEX1，当x→ ∞时，对于t≫0一致成立.引理2[8] 设F∈L，则对任意δ＞0，存在常数x0使得对于任意x≥x0及0≤y≤x-x0一致成立.定理1的证明：对于任意δ＞0，令根据强大数定律，我们有从而，我们有因此，对于任意存在充分大的l，使得进一步地，由知F∈S*⊂L知，存在充分大的x1＞l，对于任意x＞x1，有假设f（x）是最终趋于无穷的函数，则由引理1，存在充分大的 l＞1，对于任意 x ＞l及 t＞f（x），因此，当 x ＞ x1且 t＞ f（x）时，由式（6）-（8）得为证明上界部分，对于任意0＜δ＜γ，记则当x＞2l时，结合ET1＜0知，存在充分小的0＜κ＜β（γEY1）-1使得根据Markov不等式，我们有容易证明，M1同分布于其中独立于 M，同分布于η1.根据式（11）-（13）知，再次根据Markov不等式，对于任意x＞0，有根据文献[15]中的引理1，对任意ε＞0，若l＞0充分大，则对任意x＞l，因此，当 x ＞ max{x1，2l}时，由式（14）、（15）及式（7）知，不失一般性，假设 x＞ l时，f（x）＞（μλ）-1，则当 x＞max{x1，2l} 时，对于任意t≥f（x），μλt＞ 1.由式（14）与式（16）及知，根据引理1，当l＞1充分大时，对于任意x＞l及t＞ f（x），而根据式（18）及式（7），当 x＞x1时，对任意 t＞f（x），下面处理 I3（x，t）.根据引理 2，当 l充分大时，对于任意l≤y≤x-y，不失一般性，假设l充分大，使得由式（18）、（20）、（21）及（7）得，当 x ＞ max{x1，2l}时，对于任意t≥f （x），由式（10）、（17）、（18）及（20）得根据式（9）、（23），以及ε 和δ的任意性，立得式（4）.参考文献：【相关文献】[1]BOUCHERIE R J，BOXMA O J，SIGMAN K.A note on negative customers，GI/G/1 workload，and risk processes［J］.Probability in the Engineering and InformationalSciences，1997，11（3）：305-311.[2]杨善朝，马翀，谭激扬.保险费随机收取的风险模型［J］.经济数学，2004，21（1）：1-5.[3]LABBÉ C，SENDOVA K P.The expected discounted penalty function under a risk model with stochastic income［J］.Applied Mathematics and Computation，2009，215（5）：1852-1867.[4]ZHANG Z M，YANG H.On a risk model with stochastic premiums income and dependence between income and loss［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2010，234（1）：44-57.[5]赵金娥，李明，何树红.一类稀疏风险模型的 Gerber-Shiu函数和最优红利策略［J］.应用概率统计，2014，30（4）：439-448.[6]赵金娥，李明，何树红.常利率下分红稀疏风险模型的期望折现罚金函数［J］.郑州大学学报（理学版），2015，47（3）：37-42.[7]CHENG J H，WANG D H.Ruin probabilities for a twodimensional perturbed risk model with stochastic premiums［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2016，32（4）：1053-1066.[8]CHENG D，YU C.Asymptotic for the ruin probabilities of a two-dimensional renewalrisk model［J］.Dynamic Systems and Applications，2017，26（3）：517-534.[9]LI J Z.A note on the finite-time ruin probability of a renewal risk model with Brownian perturbation［J］.Statistics&Probability Letters，2017，127：49-55.[10]YANG H Z，LI J Z.Asymptotic ruin probabilities for a bidimensional renewal risk model ［J］.Stochastics，2017，89（5）：687-708.[11]ASMUSSEN S，ALBRECHER H.Ruin probabilities［M］.London：World Scientific，2010：293-328.[12]FOSS S，KORSHUNOV D，ZACHARY S.An introduction to heavy-tailed and subexponential distributions［M］.New York：Springer-Verlag，2013：66-86.[13]KO ETOVA J，LEIPUS R，IAULYS J.A property of the renewal counting process with application to the finite-time ruin probability［J］.Lithuanian Mathematical Journal，2009，49（1）：55-61.[14]WANG Y B，CUI Z L，WANG K Y，et al.Uniform asymptotics of the finite-time ruin probability for all times［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2012，390（1）：208-223.[15]EMBRECHTS P，GOLDIE C M，VERAVERBEKE N.Subexponentiality and infinite divisibility［J］.Probability Theory and Related Fields，1979，49（3）：335-347.。
一类连续时间风险模型的破产概率的估计与逼近
河北工业大学硕士学位论文一类连续时间风险模型的破产概率的估计与逼近姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***20040601河北工业大学硕士学位论文一类连续时间风险模型的破产概率的估计与逼近摘要本文利用经典风险模型的思想，对索赔到达时间间隔服从亏时几何分布的连续时间风险模型做了进一步的研究，应用关键更新定理（格点分布的情形），得到了破产概率的Ｌｕｎｄｂｅｒｇ界，Ｃｒａｍ６ｒ—Ｌｕｎｄｂｅｒｇ逼近以及有限时间破产概率的Ｌｕｎｄｂｅｒｇ不等式。
本文共三章，第一章是奠定本论文基础的相关知识，包括逐段决定马尔可夫过程的一些基本概念、更新方程与关键更新定理的内容以及经典风险模型的介绍，主要取自１２］２、【８】和１９］９．第二章介绍了该风险模型在索赔额分布为一般分布下的破产概率的一般表达式及相关定理，内容来自【６１，第三章是本文的主体，求得了该模型的破产概率的Ｌｕｎｄｂｅｒｇ界，Ｃｒａｍ６ｒ．Ｌｕｎｄｂｅｒｇ逼近以及有限时间破产概率的Ｌｕｎｄｂｅｒｇ不等式．关键字：破产概率，Ｌｕｎｄｂｅｒｇ界，Ｃｒａｍ６ｒ—Ｌｕｎｄｂｅｒｇ逼近，有限时间的Ｌｕｎｄｂｅｒｇ不等式ＢｏＵＮＤＳＡＮＤＡＰＰＲｏＸＩＭＡＴＩＯＮＳＴＯＴＨＥＲＵＩＮＰＲｏＢＡＢＩＬＩＴＹｏＦＡＣｏＮＴＩＮＵＯＵＳ—ＴＩＭＥＲＩＳＫＭｏＤＥＬＡＢＳＴＲＡＣＴＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｕｓｅｔｈｅｉｄｅａｏｆｔｈｅｃｌａｓｓｉｃａｌｒｉｓｋｍｏｄｅｌａｎｄｃｏｎｓｉｄｅｒａｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ—ｔｉｍｅｒｉｓｋｍｏｄｅｌｗｉｔｈｉｎｔｅｒ—ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｔｉｍｅｓｆｏｌｌｏｗｉｎｇｔｈｅｄｅｆｉｃｉｔ—ｔｉｍｅｇｅｏｍｅｔｒｉｃｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎＢｙａｎａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｋｅｙｒｅｎｅｗａｌｔｈｅｏｒｅｍｉｎｔｈｅｃａｓｅｏｆｔｈｅ１ａｔｔｉｃｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｗｅｄｅｒｉｖｅＬｕｎｄｂｅｒｇｂｏｕｎｄｓ．Ｃｒａｍ６ｒ—Ｌｕｎｄｂｅｒｇａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓｔｏｔｈｅｒｕｉｎｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙａｎｄｆｉｎｉｔｅ－ｈｏｒｉｚｏｎＬｕｎｄｂｅｒｇｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｃｏｎｓｉｓｔｓｏｆｔｈｒｅｅｃｈａｐｔｅｒｓ．Ｔｈｅｆｉｒｓｔｏｎｅｉｓｔｈｅｐｒｅｐａｒａｔｏｒｙｋｎｏｗｌｅｄｇｅｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｔｈｅｂａｓｉｃｃｏｎｃｅｐｔｓｏｆｔｈｅｐｉｅｃｅ－ｗｉｓｅｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃＭａｒｋｏｖｐｒｏｃｅｓｓｅｓ（ＰＤＭＰ），ｔｈｅｒｅｎｅｗａｌｅｑｕａｔｉｏｎ，ｔｈｅｋｅｙｒｅｎｅｗａｌｔｈｅｏｒｅｍａｎｄｓｏｍｅｒｅｓｕｌｔｓａｂｏｕｔｔｈｅｃｌａｓｓｉｃａｌｒｉｓｋｍｏｄｅｌ，ｗｈｉｃｈｃｏｍｅｆｒｏｍ【２］｛ＩＳｌａｎｄ［９］．Ｔｈｅｓｅｃｏｎｄｏｎｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓａｂｏｕｔｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｒｕｉｎｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｉｎａｋｉｎｄｏｆｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ—ｔｉｍｅｒｉｓｋｍｏｄｅｌｗｉｔｈｔｈｅｄｅｆｉｃｉｔ—ｔｉｍｅｇｅｏｍｅｔｒｉｃｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｉｎｔｅｒ—ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｔｉｍｅｓ，ｉｎｗｈｉｃｈｃｌａｉｍｓｉｚｅｓａｒｅｄｉｓｃｒｅｔｌｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ．Ｔｈｅｓｅｃｏｍｅｆｒｏｍ［６】ＴｈｅｍａｉｎｂｏｄｙｏｆｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｓｔｈｅｔｈｉｒｄｏｎｅｗｈｅｒｅｗｅｄｅｒｉｖｅＬｕｎｄｂｅｒｇｂｏｕｎｄｓｊＣｒａｍ∈ｒ—Ｌｕｎｄｂｅｒｇａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓｔｏｔｈｅｒｕｉｎｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙａｎｄｆｉｎｉｔｅ－ｈｏｒｉｚｏｎＬｕｎｄｂｅｒｇｉｎｅｑｕａｌ—ｉｔｉｅｓＫＥＹＷＯＲＤＳ：Ｒｕｉｎｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ，Ｌｕｎｄｂｅｒｇｂｏｕｎｄｓ，Ｃｒａｍ６ｒ—Ｌｕｎｄｂｅｒｇａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ，Ｆｉｎｉｔｅ—ｈｏｒｉｚｏｎＬｕｎｄｂｅｒｇｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ符号说明事件Ａ的示性函数飓Ｅ上的Ｂｏｒｅｌ口一代数定义于豫＋取值Ｒ的左极右连函数空间状态空间数学期望条件数学期望Ｅ（ＸＫ（Ａ））分布函数卷积尾函数随机变量Ｕ的母函数随机变量ｕ的矩生成函数口～代数概率空间概率测度非负整数集实数集非负实数集［０，。
相依风险模型中破产概率的一致渐近性
的一致渐近估计， 以及无限时破 产概率的渐近估计 ， 推广 了相应结果， 中 （ 为任 意递增至无 穷 其 厂 ）
的非 负函数 ．
关 键 词 ：破 产概率 ；一致 渐近性 ；重尾 分布 ；强次指数 族 ；负相协 中 图分类 号 ： ２ １ ４ ０ １ ． 文献 标志 码 ：Ａ 文章 编号 ：１７ ７ ７ （０ １ ０ ０ ９ ０ ６ １— ７ ５ ２ １ ）４— ４ ２— ５
，
（ ． ｃ ｏ ｌ ｆＭ ｔｅ ｔ ｓ ａ ｄ Ｓ ｔ ｔ ｓ ａｊ ￣ Ａｕ ｉ Ｕ ｉ ｒｉ ，Ｎ ｎｉｇ ｉｎ ｓ ０ ９ １ Ｓ ｈ ｏ ｏ ａｈ ｍａ ｃ ｎ ｔ ｉ ｉ ，Ｎ ｎｉｇ ｄｔ ｎｖ ｓ ｙ ａ ｊ ，Ｊ ｇ ｕ ２ ２ ｉ ａ ｓｃ ｒ ｅ ｔ ｎ ａ １ ０ Ｓ ｕｈ ａ ｔ ｎｖｒｉ ， ａ ｊ ｇ Ｊ ｎ ｓ １ ０ ６。 ｈｎ ） ｏ ｔｅ ｓ Ｕ ｉ ｓ ｙ Ｎ ｎｉ ｇ ｔ ｅ ａ ｓ ｃ ａｉｎ ｒ ｎ ｏ ｖ ｒａ ｌ ｅ ｏ ｅ ａ ｉ ｓ ｏ ｉｔｏ ａ ｄ ｍ ａ ｉｂ ｅ，ｔ ｅ ｎ ｆｒ ｎ ｖ ｈ ｕ ｉ ｍ ａ ｙ ｔｔｃ ｓｉ ｔ ｆｒ ｔ ｅ ｎ ｎｉ —ｉ ｒ ｉ ｏ ｓ ｍｐ ｏｉ ｅ ｔｍａｅ ｏ ｈ ｉ ｆ ｔ ｔ ｉ ｅ ｍｅ ｕ ｎ ｐ ｏ ａ ｉｉ ｎ ｈ ｎｔ －ｉ ｕ ｎ ｐ ｏ ａ ｉｉ ｆｉ ｓ ｒ ｎ ｅ ｃ ｍｐａ ｙ ｗａ ｂｔｉ ｅ ．Ｔｈ ｍｅ ｈ ｒｚ ｎ ｆｅ ｉ ｒｂ ｂｌｙａ ｄｔｅｆ ｉ ｔ ｔ ｉ ｅ ｍｅｒ ｉ ｒ ｂ ｂ ｌ ｙ ｏ ｎ ｕ ａ ｃ ｏ ｔ ｎ ｓｏ ａｎ ｄ ｅ ｔ ｏ ｉｏ ｌｘ — ｉ
ｂ ｔｏ ｅｏ ｇ ｄ ｔ ｈｅｓｒ ｎ ｕ ｅ ｐ ｎ ｎ ｉｌｄ ｓｒｂ ｔｏ ｌ ｓ ． Ａｃ ｏ ｄ ｎ ｏ ｔ ｅ ｅ ｅ ｎ ａ ｙ ｒ ｎ ｗａ ｈ ｏ ｕ ｔｎ ｂ ｌｎ ｅ ｏｔ ｔｏ ｇ ｓ ｂ ｘ ｏ ｅ ｔ ｉｔｉ ｕ ｉｎ ｃａ ｓ ａ ｃ ｒ ｉ ｇ ｔ ｈ ｌｍｅ ｔｒ ｅ ｅ ｌｔｅ —
两种分布条件下保险公司破产概率的比较
一
, “‘ ,
俨
户
一 一
一
入 中
二 一 。 二
‘
即
一
一
中
”
一,Leabharlann 二,,式的通解具有形式 中
产 定理
”
,
其中
介, 几
是特征 方程
二
的根
, 一
设
为安全附加系数
。,
,
则破产概率 公式成 立 即
了
中
一
更新方程对于 经典风险模 型 叭
,
二
之 。
一
,
还 满 足 更新方程
晋
,
,
一
晋
‘一
、
两种分布条件下保险公司破产概率的 比较
,
,
… 月 这里 巩 次理赔 和第 次理赔之间的等待时 间 戈 …
矶
巩
‘
,
二
,
,
,
独立同
之
一
,
独立
一
相互独立 表示每次理赔的理 赔
二
假设复合
二 二 一
,
如
,
分布 函 数为
,
力
二
叮
气
七 。
,
此外 记 称为最大 总损失 令
一
,
表示 在时间
‘
,
门 内理 赔额 和保费收
“ 二
人之间的差额
二
“分
‘
‘
‘‘之
称为破产时刻 价
, 二
,
力 表 示 发生 在【
,
,
中的 索赔 次数 现 假定个体索赔 服从 几 何 分布 约 定 卜七
,
,
索赔额服从爱尔朗分布的破产概率及渐近估计
文章编号 ： １ ０ ０ ４—１ ７ ２ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４— ０ ３ ０ ６— ０ ５
索 赔额 服从 爱 尔 朗分 布 的破 产 概 率 及 渐近 估计
许
摘
璐， 李媛媛
（ 江汉大学 数学及计算机科学学院 ， 湖北 武汉 ４ ３ ０ ０ ５ ６ ） 要 ：针对索赔额服从 阶爱尔朗分 布的风险问题 ， 通过建立合适的数学模型 ， 利用概率论 的有关知识 和
１ 模 型 描 述
笔者 对一个 保 险公 司的运作 过程建 立 了一 个数 学模 型 ， 假设 该保 险公 司资金 流充足 ， 且满 足 “ ＝１ １ ， ＋
ｃ ｔ —Ｓ ． 其中， 保险公司在时刻 ｔ （ ｔ ＞０ ） 的盈余额为 ， 并且令 Ｉ Ｚ 。 ＝ 为初始盈余 ， 假设 “≥０ ， 约定初始盈 余 已知 ； 而 我们假 设保 险公 司单位 时间 内收到 的保费是 一定 的 ， ｃ ｔ 表示 该保 险公 司在 时间 （ ０ ， ｔ ）内收 到的
总保 险费 ， 用Ｃ 来 表示单 位 时间获取 的保 费 ， Ｃ 为一 个常 数 ； 保 险公 司的某一 险种在 时 间 （ ０， ｔ ）内 的总索 赔
Ｎｔ
额 表示 为Ｓ ． 假设５ ＝ ＋ ＋ …＋ ＝∑Ｘ ， 保险 公司在时间（ ０ ， ｔ ） 内的 索赔 次数表示为Ⅳ １ ． 设
３ ０ ７
『 ｎ 】 保 险公 司为 Ｊ １ ｉ 巨 够 正 常地运 作 ， 则必 须 确 ： ｃ ｔ—Ｅｌ （ ￡ ）Ｊ ＝ （ ｃ一 ） ｔ＞ ０， ｔ≥ ０，
其 中肛 ＝ 为个 体索 赔额 的平 均值 ． 设 ｃ＝ （ １＋Ａ） ｏ ｓ ／ ｚ ， 这里 要求其 中的 以 ＞０， 并 称其 为相 对安 全负 荷．
索赔额服从混合指数分布的一类期望折现罚金函数
索赔额服从混合指数分布的一类期望折现罚金函数邵晶晶;王秀莲;邹华【摘要】基于经典风险模型,针对指数索赔间隔和混合指数索赔额的情况,研究关于实质破产的期望折现罚金函数.首先,利用全概率公式得到期望折现罚金函数满足的积分微分方程;然后,在索赔额为混合指数分布的情况下推导出期望折现罚金函数满足的微分方程,进而针对常数破产率函数,得到期望折现罚金函数的具体表达式.【期刊名称】《天津师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(038)003【总页数】3页(P5-7)【关键词】混合指数分布;期望折现罚金函数;实质破产;破产率函数【作者】邵晶晶;王秀莲;邹华【作者单位】天津师范大学数学科学学院,天津300387;天津师范大学数学科学学院,天津300387;天津师范大学数学科学学院,天津300387【正文语种】中文【中图分类】O211.67经典风险模型中保险公司的盈余过程可表示为其中：x=X（0）≥0为初始盈余；c＞0为一个常数，表示单位时间内收取的保费；为截止时刻t的索赔总额；{N（t）}t≥0表示截止时刻 t索赔累计发生的次数，是一个强度为λ的齐次泊松过程；Yi表示第i次索赔产生的索赔额，{Yi，i=1，2，…}为独立同分布的非负随机变量序列；{N（t）}t≥0与 {Yi，i=1，2，…}相互独立.期望折现罚金函数定义为其中：δ≥0为折现因子；τ为破产发生的时刻；X（τ-）为破产时刻之前的盈余；|X（τ）|为破产时的赤字；I{·}为示性函数；w（X（τ-），|X（τ）|）是一个罚金函数，依赖于破产前的盈余和破产时的赤字，一般设w（·，·）为在[0，+∞）×[0，+∞）上的非负可测函数.针对不同的情况，罚金函数可以选择不同的形式，如文献[1]研究了罚金函数为指数形式的期望折现罚金函数；文献[2]研究了罚金函数为w（U（T））的期望折现罚金函数.通常情况下，当保险公司盈余首次为负值时，即认为公司破产[3].对于这种破产情形，相关文献得到了很多有价值的结果.文献[4]研究了索赔时间间隔为相位分布的期望折现罚金函数.文献[5]研究了带干扰的有2个泊松过程的破产概率.文献[6]研究了索赔时间间隔为相位分布的破产概率.在保险公司的实际运营过程中，当公司资产为负值时，不一定会发生破产，公司可以通过采取某些措施解决临时的资金问题，直到公司发生实质破产.实质破产由Albrecher等[7]于2011年首次提出.关于实质破产模型，文献[8]研究了索赔额服从指数分布的破产概率，文献[9]研究了索赔时间间隔为混合指数分布的期望折现罚金函数.本文在罚金函数仅与赤字有关的条件下，考虑索赔额服从混合指数分布时常数实质破产率情况下的期望折现罚金函数.1 期望折现罚金函数的积分微分方程在实质破产情况下，由于公司的盈余可以为负值，因此考虑罚金函数仅与赤字有关，定义期望折现罚金函数为其中τ为实质破产发生的时刻.考虑在很小的时间区间（0，h）内，以是否有索赔发生或发生实质性破产为条件，时间为h时，第一次索赔或实质破产同时发生的概率是高阶无穷小.因此由全概率公式有在式（3）中令 x=0，并令h→0，可得φ（x）在 x=0处右连续，在式（4）中令x=-ch，并令h→0，有φ（x）在x=0处左连续，即因此∀x∈R，φ（x）连续.式（3）和式（4）关于 h 求导，并令h→0，有其中为φ（x）的右导数.用 x-ch 替换式（3）和式（4）中的x，并关于h求导，再令h→0，有其中为φ（x）的左导数.由φ（x）的连续性，比较式（6）和式（8）可得，x＞0存在，比较式（7）和式（9）可得，x＜0存在.由式（5）、式（6）和式（9）可得若令ω（0-）=0，可得在x=0连续.定义则式（8）和式（9）可变成并有和·（w（-0-）- φ（0-））.2 期望罚金函数的显示表达式设索赔额Y～Exp（ν1，ν2），密度函数为，其中 p1和 p2是混合指数分布的参数，满足p1+p2=1.对式（11）和式（12）应用算子可得方程（13）的解为其中：A1、B1、C1∈R；Ru、ρu、ηu是特征方程的3个根.在实数域内考虑，由可知，x1、x2、x3全为正数或1个正数2个负数.由净利润条件可知.一般情况下，c的取值远远大于δ，因此，故方程（16）的解为1个正数2个负数.设Ru＞0，ρu、ηu＜0.由知.对于一般函数ω（x），方程（14）是一个变系数微分方程.下面设破产率函数ω（x）=ωc·I{x＜0}（ωc＞0），w（-x）=1，则有方程（17）对应的齐次方程的特征方程为设方程（17）的解为其中：A2、B2、C2∈R；Rl、ηl、ρl是特征方程（18）的 3 个根；是方程（17）的特解.根据φl（x）的定义，.类似于对方程（16）的分析，可设 Rl＞ 0，ηl、ρl＜ 0.根据边界条件可知，又因为是线性无关的，则B2=C2=0，故，x＜0.将φu（x）和φl（x）代入式（13）和式（14），比较项和项的系数，得由连续条件可得由式（19）～式（21）可得其中.因此可得期望折现罚金函数为【相关文献】[1]ALBRECHER H，CHEUNG C K，THONHAUSER S.Randomized observation periods for the compound Possion risk model：The discounted penalty function[J].Scandinavian Actuarial Journal，2013，13（6）：424-452.[2]GERBER H U，SHIU E S W，YANG H L.The Omega model：From bankruptcy to occupation time in the red[J].European Actuarial Journal，2012，2（2）：259-272.[3]GERBERHU，SHIU E S W.On the time value of ruin[J].North American Actuarial Journal，1998，2（1）：48-72.[4]SONG M，MENG Q B，WU R，et al.The Gerber-Shiu discounted penalty function in the risk process with phase-type interclaim times[J].Applied Mathematics and Computation，2010，216（2）：523-531.[5]DONGYH，ZHANGHJ.Ruinprobabilityinriskmodelwithtwo Poisson processes by diffusion[J].Mathematical Theory and Application，2003，23（1）：98-101.[6]GERBERHU，SHIUESW.Thetimevalueofruin in a Sparre Andersen Model[J].North American Actuarial Journal，2005，9（2）：49-69.[7]ALBRECHER H，GERBER H U，SHIU E S W.The optimal dividend barrier in the Gamma-Omega model[J].European Actuarial Journal，2011，1（1）：43-56.[8]ALBRECHER H，LAUTSCHAM V.From ruin to bankruptcy for compound Poisson surplus processes[J].Astin Bulletin，2013，43（2）：213-243.[9]李野默，王秀莲.复合泊松风险模型中观察间隔为混合指数分布的贴现罚金函数[J].天津师范大学学报（自然科学版），2015，35（2）：17-20.LI Y M，WANG X L.Discounted penalty function of compound Poisson risk modelwhen observation intervalbeing mixed exponential distribution[J].Journal of Tianjin Normal University（Natural Science Edition），2015，35（2）：17-20（in Chinese）.。
索赔总额服从Gamma分布的破产概率及渐近估计
海 南 大 学 学 报 自 然Leabharlann 科 学 版 ２１ ０ ０矩
其中Ａ ＞０ 称为相对安全负荷．这意味着单位时 间收到的保险费超过单位时间所支付 的索赔 额的期望 ，
值． 这样 ， 相对安全负荷 Ａ ＝÷ 一ｌ 便是正的．
关 心 的是破 产 发生 ， 即对某 个 ｔ＞０ 为 负这 一事件 ． ， 以 （ 表 示这 一事 件 的概率 ， 可视为 初始盈 ） 它 余 “的函数 ． 为一般 地 ， Ｈ ｔ 更 （ ，）表示 在时 刻 ｔ 以前发 生破 产 的概 率． 为使 上述 定义 更为严 格 ， 记 Ｔ ＝ｉｆｔ ＜０｝ ｎ｛ ，
它表示破产发生的时刻． 如对一切 ｔ ＞０ ， 约定 Ｔ＝∞． 这样便有 （ ）＝Ｐ Ｔ＜∞］ “ ［ 与 （ ， 配ｔ ）＝Ｐ Ｔ＜￡． ［ ］
２ 主 要 结 果
引理 １ … 若 ， 相互 独立 且均 为连 续 型随机 变量 ， 则 。 也 是连 续 型 随机 变量 ， 其 密度 函数 ＋ 且 为 它们 两个密 度 函数 的卷 积 ． 引理 ２ 若 。 ， ， 相互 独立 且 服从 Ｇ ｍｍ 分 布 Ｆ（ ， （ １２ … ，）则 它们 的和 。 ［ ， … ａ ａ ） ，， ｋ ， ＋ ２ ＋… ＋ 服 从 Ｇ ｍ 分 布 Ｆ（ ＋ ＋… ＋ ＋ｋ一１卢） ａ ｍａ １ ２ ， ． 由引理 ２ 可得 索赔 总额 服从 Ｇ ｍ ａ分布 厂（ ＋ ＋… ＋ ＋Ⅳ 一１卢 ， ， ａｍ ｌ ２ ｌ ，） 记 ＝ ＋０ ＋… ＋ ＋ １ ｔ ２
１ 模 型 的描 述
考 虑 一 个 保 险公 司 ， 以 １ 表 示 该 公 司在 时刻 ｔ ０的盈 余 ， ｕ 并 Ａ ≥ 记 。＝ “为初 始 盈 余 ， 定 ｕ为 非 假
2021精算师考试《精算模型》真题模拟及答案(1)
2021精算师考试《精算模型》真题模拟及答案(1)1、某个Whittaker修匀，可由下面方程组确定：Cv=wu。
u=[1，1，2]，h=3；Z=1；W x=1，x=1，2，3。
则v2=（）。
（单选题）A. 1.1B. 1.2C. 1.3D. 1.4E. 1.5试题答案：C2、净资产收益率又称（）。
（多选题）A. 销售毛利率B. 销售净利率C. 权益报酬率D. 净资产报酬率E. 总资产报酬率试题答案：C,D3、一个保险人承保了具有如下特性的风险组合：（1）每个风险索赔发生的概率为0.10；（2）索赔发生时的损失密度函数为：设该保险人的安全附加保费率为0.5，已知总赔付超过总保费的概率为0.05，则风险单位数n=（）。
（单选题）A. 18B. 28C. 87D. 145E. 284试题答案：D4、如表所示，对于两减因生存模型，已知：设在年龄阶段[67,68），每一终止原因的终止力为常数，（单选题）A. 0.03B. 0.0543C. 0.15D. 0.64E. 0.9457试题答案：B5、如果损失额X服从指数分布，则运用极大似然估计方法估计得到的=（）。
（单选题）A. 55B. 39C. 65D. 74E. 75试题答案：B6、“保户储金”科目属于（）。
（单选题）A. 资产类账户B. 负债类账户C. 所有者权益类账户D. 成本类账户E. 损益类账户试题答案：B7、上市公司信息披露的年度报告应当在（）编制完成并披露。
（单选题）A. 每个会计年度结束之日起3个月内B. 每个会计年度结束之日起4个月内C. 每个会计年度的上半年结束之日起2个月内D. 每个会计年度的上半年结束之日起3个月内E. 每个会计年度第3个月、第9个月结束后的1个月内试题答案：B8、在借贷记账法下，下列账户本期增加的金额应记入借方的有（）。
（多选题）A. 实收资本B. 资本公积C. 管理费用D. 营业外收入E. 其他业务成本试题答案：C,E9、已知总索赔额服从复合泊松分布，X i的概率函数为：P（Xi=1）=P（Xi=2）=0.2，P （Xi=3）=0.6，N服从期望为2的泊松分布，则 E[max（S-1.2，0）]=（）。
重尾索赔下二项风险模型破产概率局部渐近估计
ｎ ＝０
一
／
综 合 以上式 （ ） 式 （ ） 式 （ ） 引理 结论 成 立． ７、 ８ 、 ９， 引理 ４ 设 Ｆ∈Ｓ 则 对 Ｖｚ ０和 Ｖ／∈Ｎ， ， ＞ ／ ， 有
ｎ 主（
ｎ
＝
Ｏ
… 。
） ＝三
ｚ ／ｐ
Ｆ （ ＋ｚ ～丝 （ ． ， ］ ） 该 引理 的证 明参 见 文献 ［ ０ ． １］
其 中 ｐ＋ ｑ＝１ 于是 到 时 刻 ｔ 止 赔 付 的 总 次 数 ． 为
Ⅳ（） ￡ 为
（ （ ］ （ 吉 （ ０ ） Ｖ ． ＋
（） ６
证 明 ： 复 利 用 Ｆ∈ （ 义 见 定 义 １ 族 ） 对 反 定 ，
Ⅳ ｏ ０Ⅳ （）＝ ，（）＝∑ ， ＝ｌ２… Ｖ ｔ ，，
∑
Ｆ ） （ ） （ Ａ．
一
（） ７
ｌ （ ＝０ ｉ ａ ｒ ） ，
（） ３
则称 非 负随机 变量 （ 者分 布 Ｆ） 于 族 ， 或 属 记 为 Ｆ∈Ｍ．
对于 ，： ２ 由于 ｗ（ ， ｘ ＋ｚ ）一Ｏ （ ， Ｖ ＞０ 当 ｚ ） 故 ， Ａ充分 大后 ， 对一 切 Ａ≤ｔ — 一致 有 ≤ Ａ， ｗ（ ｘ—ｔ ＋ 一 ， ）≤ （ １＋ｓ Ｏ （ —ｔ ． ）Ｆ 一 ）
Ｊ Ｕ，９９ １ （ ） ６ —４ Ｃ １９ ，４ １ ：７７ ．
一
，（） ４
对 于 ，： ３
ｓ南 ０ ｕ ｐ ・
， ＝Ｆ（ ＋ ］ ３ ｅ ＋∑ ＋ 一 ，＋ — ］ ｚ ×
进 一步破 产 概 率具 有 如 下 类 似 于 经 典 Ｐ ｉ ｏ ｏ ｓｎ模 ｓ
型 破产概 率 的 Ｐ ｌ ｚｋＫ ｉ ｈｎ公式 ： ｏ ａｅ ． ｈｎ ｉ ｌ ｃ
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ｍｉ ｘ ｅ ｄ ｅ ｘ ｐ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｄ ｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ； ｔ ｈ ｅ ｕ ｌ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｅ ｒ ｕ ｉ ｎ ｐ ｒ ｏ ｂ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ； ａ ｓ ｙ ｍｐ ｔ ｏ ｔ ｉ ｃ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ； ｅ ｘ ｐ ｌ ｉ ｃ ｉ ｔ
２ ． Ｄｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ， Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｍｉ ｎ ｎ ｅ ｓ ｏ ｔ ａ Ｔ ｗ ｉ ｎ Ｃ ｉ ｔ ｉ ｅ ｓ ， Ｍｉ ｎ ｎ ｅ ｓ ｏ ｔ ａ ５ ５ ４ １ ４ ， Ｕ． Ｓ ． Ａ． ）
产 概率 的渐 近 估 计 ；文 献 ［ ６ ． １ ０ 】 讨 论 了 几种 不 同分 布 模 型 的破 产概 率 问题 ，但 是 ，没 有 涉 及 到个 体
索赔 额 服 从 混合 指 数 分 布 的破 产 概 率 问题 ．本 文 主要 是 在 古典 概 率 理 论 的基 础 上 讨 论个 体 索 赔 额服 从 混合 指 数分 布 的 破 产 概 率 ，并 得 到 了它 的渐 近 估 计 ．
文 章编 号 ：ｌ ０ ０ ６ － ７ ３ ０ ２（ ２ ０ ｌ ３ ）０１ ． ０ ０ ０ ６ ． ０ ５
索赔 额 服 从 混合 指 数分 布 的
破 产 概 率 及 其 渐 近 估 计
许璐 ’ 。赵 闻达 。余 茜茜 ’
（Ｉ ． 江 汉大 学 数 学 与 计 算 机 科 学 学 院 ， 湖 北 武 汉 ４ ３ ０ ０ ５ ６ ；
果 包含 了现 有 文 献 的 相 关 结 论 ． 关 键 词 ：混 合 指 数 分 布 ；最 终 破 产 概 率 ；渐 近 估 计 ； 显 式 解 中 图 分 类 号 ：０２ １ １ ． ６ ７
Ｒｕｉ ｎ Ｐｒ ｏｂａｂｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ａ ｎｄ Ａｓ ｙｍ ｐｔ ｏｔ ｉ ｃ Ｅｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｅ Ｗ ｈｅ ｎ Ｃｌ ａｉ ｍｓ Ｏｂｅ ｙ ａ Ｍｉ ｘｅ ｄ Ｅｘｐｏｎｅ ｎｔ ｉ ａ ｌ Ｄｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂｕｔ ｉ ｏ ｎ Ｍ ｏｄｅ ｌ
ｅ ｘｐｒ ｅｓ ｓ ｉ ｏｎ
文献【 １ － ２ １ ＇ ０ 用 计 算 机 技 术 对 一些 具 体 分 布 的破 产概 率 进 行 了 数值 计 算 分 析 ； 文献［ ３ ］ Ｘ Ｃ 任 意 的初 始盈 余 与任 意 的 个 体 索赔 额 给 出 了破 产概 率 的递 推解 、隐式 解 ，同 时得 到 了指 数 分 布 破产 概 率 的显 式解 ；文献 ［ ４ ． ５ 】 给 出 了最终 破 产 概 率 与 有 限时 间 的生 存 概 率 的显 式 解 ，却 没 有 讨 论 刻 画保 险 公 司破
１ 模 型 的 描 述
考 虑 某个 保 险 公 司 ，以 表 示该 公 司在 时 刻 ｔ ０的盈余 ， 记 ：Ｘ为初 始 盈 余 ，假 定 Ｘ为非 负 Ｒ ．
收稿 日期 ：２ Ｏ ｌ ２ 一 ｌ ０ － ２ ６ 基金 项 目 ： 国家 自然科 学 基 金 资 助 项 目 （ Ｎｏ ． １ ０ ９ ６ １ ０ ０ ３） ； 江西 省教 育厅 科 学 计 划 资 助 项 目 （ Ｇ Ｊ Ｊ ０ ８ ３ ３ ８） 作者 简 介 ：许 璐 （１ ９ ６ ９ 一 ） ，男 ，湖北 武 汉 人 ，副教 授 ，硕 士 ，研 究 方 向 为概 率 论 与 数理 统计 ．
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｔｈ ｅ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｃ ａ ｌ ｐ ｒ ｏ ｂ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ｉ ｓ ｕ ｓ ｅ ｄ ｔ ｏ ｄ ｅ ｒ ｉ ｖ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｕ ｈｉ ｍａ ｔ ｅ ｒ ｕ ｉ ｎ ｐ ｒ ｏ ｂ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｉ ｎ ａ ｍｉ ｘ ｅ ｄ ｅ ｘ ｐ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｄ ｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕｔ ｉ ｏ ｎ ｍｏ ｄｅ ｌ ，ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ ａ ｓ ｙ ｍｐ ｔ ｏ ｔ ｉ ｃ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｓ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ． Ｔｈ ｅ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｅ ｄ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ
第２ ７卷
五邑大学学报 （ 自然科学版 ）
Ｊ ＯＵ Ｒ ＮＡＬ Ｏ Ｆ ＷＵ ＹＩ Ｕ ＮＩ ＶＥ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ （Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ
Ｖ Ｏ Ｉ ． ２ ７ Ｎｏ ． １
Ｆｅ ｂ． ２ Ｏｌ ３
文 献 标 志 码 ：Ａ
Ｘ Ｕ Ｌ ｕ ， Ｚ ＨＡ Ｏ Ｗｅ ｎ — ｄ ａ ， Ｙ Ｕ Ｑ ｉ ａ ｎ — ｑ ｉ ａ ｎ
（ １ ． Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｃｏ ｍｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ， Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｗｕ ｈ ａ ｎ ４３ ０ ０ ５ ６， Ｃｈ ｉ ｎ ａ ；
２ ． 明 尼 苏 达 大 学 双 城 分 校 数 学 系 ， 美 国 明尼 苏 达 州 ５ ５ ４ １ ４）
摘要 ： 运 用 古典 概 率论 的 有 关 知 识 ，针 对 个 体 索 赔 额 服 从 混 合 指 数 分 布 的破 产 概 率 问题 ，通 过 建 立合 适 的 数 学 模 型 导 出 了 它 的 最 终 破 产概 率 的 显 式 表 达 式 ，并 得 到 了它 的 渐 近 估 计 ．所 得 结