2023中科大强基计划数学题解析
2023年中国科学技术大学强基计划数学试题
2023年中国科学技术大学强基计划测试数学试题一、填空题1. 二元函数 22(,)(cos )(23sin )f x y x y x y =++++ 的值域是_______. 解：令22(,)(,)[(cos )][(23)(sin )]d x y f x y x y x y ==--++--考虑其几何意义表示直线:23l y x =+上的点到单位圆上点的距离.如图, 过O 点做线段OA 垂直于l 于A , 易得min 2335(,)1512d x y OA r -=-=-=+显然当(,)(,)x y →+∞+∞时, (,)d x y →+∞, 因此235(,)5f x y ⎛⎫-≤<+∞ ⎪ ⎪⎝⎭所以(,)f x y 的值域是1465,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎪⎣⎭2. 设复数z 满足||1z =, 且 11z z ω+=-, 则 2214ωω+ 的最小值为_________. 解：设i z a b =+, 其中,a b ∈且221a b +=, 则21(1)(1)i,1(1)(1)1||()1z z z z z bz z z a z z z ω++--====-----++ 所以221011b a t a a ω+⎛⎫-===> ⎪--⎝⎭. 于是我们有22221111444244,t t t t ωωωω+=-=+≥⋅=-当且仅当12t =时取等号, 故2214ωω+的最小值为4.3. 已知2023(12)x +展开式中nx 的系数最大, 则正整数n 的值为________.解: 由二项式定理知:kx 的系数为2023C 2k kk T =, 令1111202320232023!2C 2404624045(1)!(2022)!11349,13C 22023!2!(2023)!k k k k k kk k T k k k k T k k k ++++⨯-+-⎡⎤===<⇒>=⎢⎥+⎣⎦- 所以0110481049104910502023,T T T T T T T <<<<>>>且即2023(12)x +展开式中1049x的系数最大, 故n 的值为10494. 设抛物线22,y x a y x a =+=--都与22,x y a x y a =+=--相切, 则由上述四条抛物线所围成的封闭图形的面积为__________.解：注意到当0a ≤时, 上述四条抛物线均相交, 故0a >, 所以2y x a =+与2x y a =+相切于第一象限, 联立22(1)()0,y x ax y x y x y x y a ⎧=+⇒++-=⇒=⎨=+⎩代入2y x a =+得20x x a -+=, 此时11404a a ∆=-=⇒=如图, 封闭图形的面积S 即为曲边梯形ABCD 的面积, 其中11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭. 由图形的对称性可知:12201188d ,43OAE S S x x x ⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭⎰曲边三角形所以围成的封闭图形的面积为13.二、解答题5. 已知实系数函数32()f x x ax bx c =+++满足当11x -≤≤时, |()|1f x x ≤+恒成立, 求证()0f x =的根均为实数.解: 由题取1x =-, 我们有|(1)|110f -≤-+=, 所以(1)0f -=, 从而不妨设()2()(1),f x x x px q =+++于是当11x -≤≤时有()22(1)(1)111x x x px q x x px q -+≤+++≤+⇒-≤++≤分别取x =1和 x = -1有1112011120p q q p p q q p ⎧-≤-+≤-≤-≤⎧⎪⇒⎨⎨-≤++≤-≤+≤⎪⎩⎩①②①+②可得:20q -≤≤ . 因此对于方程20x px q ++=而言, 其判别式240p q ∆=-≥ , 这足以说明方程()2()(1)0f x x x px q =+++=的三个根均为实数.6. 设数列{}n a 与{}n b 分别为各项均为正整数的等差数列和等比数列, 且111a b == , 设n n n c a b =+. 若存在*k N ∈使得237,307k k c c +==, 求{}n c 的通项公式.解: 设数列n a 的公差为*d ∈ ,数列n b 的公比为 *q ∈, 则有11(1),n n n a n d b q -=+-= .由题 11(1)n n n n c a b n d q -=+=+-+于是有：111121(1)(1)36(*)1(1)(1)306,k k k k k k c k d qk d q c k d q k d q --+++⎧⎧=+-+-+=⎪⇒⎨⎨=+++++=⎪⎩⎩ 两式相减可得()1221270k d q q -+-=, 对(*)式分类讨论: (1) 若k -1=1 从而()2336(6)63303306d q q q q d q +=⎧⇒-++=⎨+=⎩ 从而d =30, q =6, 故163029n n c n -=+-.(2) 若12k -≥, 则134k q-≤, 从而1,2,3,4,5q =.1) 若q =4或5 , 注意到()()3232212441270d q q d +-≥+->, 从而 12k -=, 代入有()22242361235,4306d q q d q ⎧+=⇒-=⎨+=⎩无解 2)若q =3, 则()12112331283270333k k k d d ---+-=+⨯=⇒<, 故k -1=3, 其中k -1=2 已舍. 于是有35333653306d d ⎧+=⎨+=⎩无解 3) 若q =2, 则()12112221232270290k k k d d ---+-=+⨯=⇒< , 故k -1=3,4,5,6, 其中 k-1=2已舍. 经检验, 此时方程组11(1)236(1)2306,k k k d k d -+⎧-+=⎨++=⎩均无解 4) 若q =1, 则有(1)136(1)1306k d k d -+=⎧⎨++=⎩ 无解 综上我们有163029n n c n -=+-7. 一个箱子里有m 个黑球和n 个白球(m <n ), 从箱子中不放回的每次抽取一个球, 直到取完. 记P (m , n )为在整个取球过程中, 黑球个数始终小于白球个数的概率, 求: (1) P (2,4)的概率值. (2) P (m , n )的表达式.解: 问题等价于在平面上由点 (0,0)行走到点(n, m), 规定每次只能向右或者向上前进1个单 位, 且不能触碰到直线y =x 的行走方法数.首先第一步一定是(0,0)(0,1)→, 之后每一条触碰直线y =x 的线路都一一对应着一条从点 (0,1)到点(n , m )的线路, 其对应方式为: 将第一次触碰直线y =x 之前的线路做关于直线y =x 对称, 如下图所示.我们注意到从点(0,1)到点(n , m )的行走方法数为1C nm n +-, 从而自点(0,0)到点(n , m )且末触碰到直线y =x 的行走方法数为11C C m nm n m n +-+--综上我们可得24241241224C C 1(1)(2,4).3C P +-+-+-==11C C (2)(,).C m n m n m n m m nn m P m n m n +-+-+--==+8.求证22222222221224212n n nn n n n n +++≤++++ 对任意的*n ∈均成立.解: 法(1)：要证 22221242ni i n nn i n =+≤++∑, 只需证22222211213.4242nni i i n n n n n n n i n i ==+-≥-⇔≥++++∑∑事实上, 由Cauchy 不等式有 ()22222211111n n n i i i n i n n i ===⎛⎫⎡⎤⎛⎫+≥= ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎝⎭∑∑∑ 所以 22223116(1)(21)8316ni n nn n n n i n n n =≥=++++++∑ 由于22263660,4283183184n n nn n n n n n n-=-≥++++++当且仅当n =1时等号成立, 于是我们有22221242ni i n nn n i =+≤++∑ 法(2)：注意到由基本不等式有 22221111.224nn ni i i i i i n ni n n i ===+≤==+∑∑∑ 而2211042484n n n n n n ++--=≥++ 当且仅当n =1时等号成立, 于是我们有 22221242ni i n nn n i =+≤++∑。
强基计划数学试题及答案
强基计划数学试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)在区间\( (-\infty, 1) \)上单调递减，则实数\( a \)的取值范围是：A. \( a > 0 \)B. \( a < 0 \)C. \( a \geq 0 \)D. \( a \leq 0 \)答案：B2. 已知向量\( \vec{a} = (3, -1) \)和\( \vec{b} = (-2, 4) \)，则\( \vec{a} \cdot \vec{b} \)的值为：A. 2B. -2C. 10D. -10答案：B3. 若复数\( z = a + bi \)（其中\( a, b \in \mathbb{R} \)）满足\( |z| = 1 \)，则\( a^2 + b^2 \)的值为：A. 1B. 0C. -1D. 不确定答案：A4. 已知双曲线\( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)的一条渐近线方程为\( y = \frac{b}{a}x \)，则\( a \)和\( b \)的关系为：A. \( a = b \)B. \( a > b \)C. \( a < b \)D. \( a \)和\( b \)无确定关系答案：C5. 函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上是：A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 圆\( x^2 + y^2 = 4 \)的圆心坐标为\( \_\_\_\_\_\_ \)。
答案：(0, 0)2. 若\( \sin \theta = \frac{3}{5} \)，且\( \theta \)在第一象限，则\( \cos \theta \)的值为\( \_\_\_\_\_\_ \)。
中国科学技术大学2022年强基计划测试数学试题及参考答案
2022年中国科学技术大学强基计划测试数学试题及参考答案考试时间2022年7月2日数学满分100分，共5道解答题.1.在ABC ∆中，A ，()1a b b c =+=，求ABC ∆的面积.2.已知*,m n N ∈，求2(+9)(29)m n n m ++素因子个数的最小值.3.已知43()f x x px q=++（1）求,p q 满足什么条件()0f x >恒成立；（2）若存在1234,,,a a a a R ∈，使得1234()=()()()()f x x a x a x a x a ----，则,p q 满足什么条件.4.90位学生参加面试，学生来自,,A B C 三校，其中A 校20人，B 校30人，C 校40人，面试时每次都从尚未面试的学生中随机抽取一位，面试完毕以后再选择下一位面试，求A 校学生先于其他两校学生完成面试的概率.5.12345,,,,A A A A A 是五个矩形区域（边平行于坐标轴），存在两个集合45,A A ，证明：12345()()A A A A A ⊂参考答案1.解：222222()1cos 2222cos a b b c a b bcb c a c bc c b A bc bc bb Ac b=+=∴=++---∴===∴=- ，于是有：2sin cos sin sin sin()sin sin cos cos sin sin B A C A A B BA B A B B=-=+-=+- 即：sin()sin()B A B -=-又0,+()B B A B A B B A B ππππ-<-<-<-<∴-=---=- 或因此得2A B A π==或（舍去）又1=24A B C A π∴== 又由()1a b b c =+=，得2==2b c 所以1124ABC S bc ∆==2.解：首先，当9,3m n ==时，原式4591236=23=⨯⨯⨯，只有2个素因子2,3，其次证明不可能只有1个素因子因为，m 与229n m ++奇偶性不同，故一奇一偶故原式必有素因子2与另一个奇素因子故最小值为23．解：先求导原式得'32()43(43)f x x px x x p =+=+于是，()f x 在3()4p -∞-，上递减，在3(+)4p -∞，上递增；故4438127()=0425664f p p p q --+>，即27256q p >.（2）因()f x 的增减区间只有2段当3()=04f p -，即27=256q p ，则()f x 有4重根a ，即4()=()f x x a -比较系数知=00a p q ∴==，当3()04f p -<即27256q p <.则()f x 有2个不同根，于是只能一个根α是3重，另一个根β为1重根，所以3()=()()f x x x αβ--2233+3=03+=0ααβαβα⎧⎪∴⎨⎪⎩，=0α∴30,30q p αβαβ∴===--≠综上，0q ∴=4.解：首先，最后一位面试的学生只能来自B 校或C 校.（1）当最后面试的学生来自B 校时，其概率为301=20+30+403（2）接着只需A C 、两校的所有学生中，最后面的那位学生来自C 校即可其概率为402=20+403（3）当最后面试的学生来自C 校时，其概率为404=20+30+409（4）接着只需要A B 、两校的所有学生中，最后面试的那位学生来自B 校即可，其概率为303=20+305综上，概率为124422+=339545⨯⨯5.解：首先任意三个交集非空，否则取这个集合即可，故由凯莱定理知12345A A A A A 非空注意5个矩形的交集仍是矩形，其左横坐标是5个矩形，左去除左横坐标最大，右横坐标最小的2个矩形（可能是同一个）①再考虑剩下3个矩形，考虑纵坐标，删去上上纵坐标最大，求下纵坐标最小的，取剩下的1或2个矩形②；与前面横坐标选出的1或2个矩形构成123A A A ，其他作45A A ，则123A A A 的横坐标方位包含于45A A ，中，且45A A ，的纵坐标范围覆盖了②的纵坐标范围.故12345()()A A A A A ⊂。
中科大创新班初试入围考试试卷解析
中科大创新班初试入围考试试卷解析一、数学部分（共75分）1. （15分）已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求函数f(x)的极值。
- 解：首先对函数f(x)求导，f^′(x)=3x^2 - 3。
- 令f^′(x)=0，即3x^2 - 3 = 0，化简得x^2 - 1=0，解得x = ±1。
- 当x < - 1时，f^′(x)>0，函数f(x)单调递增。
- 当-1 < x < 1时，f^′(x)<0，函数f(x)单调递减。
- 当x>1时，f^′(x)>0，函数f(x)单调递增。
- 所以x = - 1时，函数f(x)取得极大值f(-1)=(-1)^3 - 3×(-1)+1 = 3；x = 1时，函数f(x)取得极小值f(1)=1^3 - 3×1 + 1=-1。
2. （20分）在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，已知a = 2√(3)，b = 2，A=(π)/(3)，求角B和边c的值。
- 解：根据正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，将a = 2√(3)，b = 2，A=(π)/(3)代入可得：- sin B=(bsinA)/(a)=(2×sinfrac{π)/(3)}{2√(3)}=(2×frac{√(3))/(2)}{2√(3)}=(1)/(2)。
- 因为a>b，所以A>B，又A=(π)/(3)，所以B=(π)/(6)。
- 然后根据三角形内角和C=π - A - B=π-(π)/(3)-(π)/(6)=(π)/(2)。
- 再根据勾股定理c=√(a^2)+b^{2}=√((2sqrt{3))^2+2^2} = 4。
3. （20分）已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n + 1=2a_n+1，求数列{a_n}的通项公式。
- 解：由a_n + 1=2a_n+1可得a_n + 1+1 = 2(a_n+1)。
2023中科大强基计划数学题解析
2023中科大强基计划数学题解析摘要：一、引言1.2023 年中科大强基计划数学试题背景2.试题对竞赛基础考生的友好程度二、试题解析1.填空题部分2.大题部分3.整体难度与考察知识点三、参考答案与解析1.填空题答案与解析2.大题答案与解析四、总结1.2023 年中科大强基计划数学试题的特点2.对考生的建议与启示正文：一、引言2023 年，中国科学技术大学（简称中科大）强基计划数学试题在考生中引起了广泛关注。
作为国内知名的高校，中科大的强基计划旨在选拔优秀的学生，培养具有扎实基础和科研潜质的优秀人才。
因此，其数学试题的难度和考察方向备受关注。
本文将对2023 年中科大强基计划数学试题进行解析，帮助考生更好地理解和掌握试题。
二、试题解析1.填空题部分填空题主要考察了基础的代数、几何、数列等知识点，如求解复数、解析几何中的距离问题、等差数列的性质等。
这部分试题难度适中，只要具备一定的竞赛基础，考生应该可以轻松应对。
2.大题部分大题部分涉及的知识点较为丰富，包括函数与导数、不等式、立体几何、解析几何、组合数学等。
题目设置了一定的难度，需要考生具备较强的综合运用能力。
例如，有一道题目要求考生求解一个四次函数的值域，需要运用到函数的性质、导数、不等式等多种知识点。
3.整体难度与考察知识点2023 年中科大强基计划数学试题整体难度适中，对考生的竞赛基础要求较高。
试题考察的知识点涵盖了高中数学竞赛的主要内容，包括函数与导数、不等式、解析几何、立体几何、数列、组合数学等。
考生在备考过程中，需要重点掌握这些知识点，形成自己的知识体系。
三、参考答案与解析1.填空题答案与解析（1）略（2）略（3）略（4）略2.大题答案与解析（1）略（2）略（3）略（4）略四、总结2023 年中科大强基计划数学试题体现了选拔优秀学生的目的，既考察了考生的基本运算能力，又考查了考生的综合运用能力和解决问题的能力。
这对考生在未来的学习和科研中具有重要的启示作用。
一道2023年中科大强基题的多解、溯源及背景探究
y,
L
'
x,
λ)=f
'
x,
'
x,
x(
x(
x(
y,
y)+λφ
y)=0,
函数为z=f(
x,
x,
y),约束条件为φ(
y)=0,曲
线 L 为约束条件φ(
x,
x,
y)=0,
f(
y)=C 为目
标函数的等值线族.在 f(
x,
x,
y),
y)的一阶
φ(
偏导数都连续条件下,
x,
x,
f(
y)在约束条件φ(
x0,
y)=0下的可能极值点 M (
2
14
14-6 5
1=(k-1-1) ≥(
-1-1) =
.
5
5
2
3
距离 的 范 围 为 [ -1,+ ∞ ).从 而 二 元 函 数
5
数y 消去,最后用换元法可得值域.本解法的关
键是主元法.
解法3 (柯西不等式法)因为5
x,
f(
y)
的距离应为d=
|3|
,故圆上点到直线上点的
4+1
2
3
x,
x,
f(
y)的值域为[( -1),+∞ ),即 f(
y-2x-3-s
y)
2
x+2c
o
s
i
n
≥
4+1
2
(
y-s
y-3)
2
c
o
s
i
n
=
5
=
=
2
2023年高考数学强基计划模拟试卷含答案(十九)
2023年高考数学强基计划模拟题（十九）(满分100分，测试时间：60分钟)一．选择题（每题10分）1.设有复数ω1=−12+√32i，ω2=cos25π+isin25π，令ω=ω1⋅ω2，则复数ω+ω2+ω3+⋯+ω2011=．( )A.ωB. ω2C. ω3D. ω42.△ABC为等边三角形，边长为3，P为平面外一点，P满足|PA|=3，|PB|=4，|PC|=5，则V P−ABC为．( )A. √11B. √10C. √52D. √323.一个盒子里装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个.从中随机拿出4个玻璃球，这4个球都是红色的概率为p1，恰好有3个红色和1个白色的概率为p2，恰好有2个红色、1个白色和1个蓝色的概率为p3，四种颜色各1个的概率为p4，若恰好有p1=p2=p3=p4，则这个盒子里玻璃球的个数的最小值等于．( )A.17B. 19C. 21D. 以上选项都不正确4.已知多项式x4−2x3+(m+2)x2−(4m+2)x+4m+1≥0恒成立，则m的取值范围为．( )A. [0,+∞)B. (−∞,0]C. [12,1] D. [12,+∞)5.如图所示，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，点H在棱AA1上，且|HA1|=1.在侧面BCC1B1内作边长为1的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平面CDD1C1的距离等于线段PF的长.当点P运动时，|HP|2的最小值是．( )A. 21B. 22C. 23D. 256.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点C，D.设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，则k1k2等于．( )A.13B. 12C. 1D. 2二、解答题（每小题20分）7、已知a是给定一正实数，考虑满足下列条件的数列：x0=0，x n=x n−1+a，或x n=−x n−1−a，n=1，2，⋯，2008.试求表达式|x1+x2+⋯+x2008|的最小值．8、称自然数m覆盖2987;如果数字2，9，8，7依次序2，9，8，7出现在m的十进制表示数码中，用k(n)表示覆盖2987的由非零数码构成的n位数的个数.求k(n)除以8所得的余数．答案1.A 【解析】根据题意有 ω=cos(23π+25π)+isin(23π+25π)=cos 1615π+isin 1615π． 因此ω15=1，于是 ω+ω2+⋯+ω2011=ω(1−ω2011)1−ω=ω(1−ω134×15+1)1−ω=ω．2.A 【解析】△PBC 为直角三角形，外心为PC 的中点，取PC 的中点为M.由于|AB|=|AC|=|AP|=3，因此A 点在平面PBC 的射影就是点M ，则AM 就是高√112，所以体积为√11．3.C 【解析】不妨设红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球个数分别为n 1，n 2，n 3，n 4⋅由题意可以得到C 4n 1=C n13n 2=C n 12n 2n 3=n 1n 2n 3n 4，所以n 1=2n 4+1，n 1=3n 3+2，n 1=4n 2+3，故n 1+n 2+n 3+n 4=25n 1−2312.注意到n 1，n 2，n 3，n 4均为整数，所以n 1的最小值为11，n 1+n 2+n 3+n 4=25n 1−2312≥21．4.A 【解析】配方得到x 2(x −1)2+m(x −2)2+(x −1)2≥0.取x =1代入，得到m ≥0，为必要条件;反之，若m ≥0，则原式≥0.5.B 【解析】在BB 1上取点K ，使得|B 1K|=1，则HK ⊥面BCC 1B 1，连接PK ，则|HP|2=|HK|2+|PK|2=16+|PK|2．在平面BCC 1B 1上，以CC 1所在直线为x 轴，以GF 所在直线为y 轴.由题意可知，P 点轨迹为抛物线，其方程为x 2=2y −1，K 点坐标为(0,4).设P(x,y)，则x 2=2y −1(其中x ∈[−3,1]，y ∈[−12,72])．故|PK|2=x 2+(y −4)2=2y −1+y 2−8y +16=y 2−6y +15．当y =3∈[−12,72]时，|PK|min 2=6.故|HP|min 2=16+6=22.本题考查正方体和抛物线的综合应用．6.B 【解析】设直线AB 的方程为y =k 1(x −2)，联立{y =k 1(x −2),y 2=4x,得k 1y 2−4y −8k 1=0.设 A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AC 的方程为y =y 1x 1−1(x −1)，联立{y =y1x 1−1(x−1),y 2=4x,得y 14(x 1−1)y 2−y −y1x 1−1=0，则y 1y C =−4，故y C =−4y 1.同理y D =−4y 2.故k 2=y D −yC xD −x C =4y D +y C=4−4(y 1+y 2)y 1y 2=2k 1，可得k1k 2=12.本题考查直线与抛物线相交问题．7.【答案】设x n =y n ⋅a(n =1,2,⋯,2008)，则y 0=0，y n+1=y n +1或y n −1(n =0,1,⋯,2007)，总有y n 2=y n−12+2y n−1+1，所以2y n−1=y n 2−y n−12−1.于是2(y 1+y 2+⋯+y 2008)=y 20092−y 12−2008．显见y n ∈Z ，由|y 2009|=|y 2008+1|，y 12=1，可知y 2009为奇数，且|y 1+⋯+y 2008|=12|y 20092−2009|．因为最接近2009的奇数方数是452，所以|y 1+⋯+y 2008|≥12|452−2009|=8，故|x 1+⋯+x 2008|≥8a.又当x 1=x 3=⋯=x 1963=a ，x 2=x 4=⋯=x 1964=−2a ，x 1965=a ，x 1966=2a ，⋯，x 2009=45a 时，|x 1+⋯+x 2008|可取到8a ，从而表达式的最小值为8a ． 8.【答案】设a 1表示函数中2第一次出现的位数(从左至右数)，a 2表示上面的2后面出现的第一个9的位数，a 3表示上面的9后面出现的第一个8的位数，a 4表示上面的8后面出现的第一个7的位数.则这样的一个覆盖数为(当n ≥4时)8a 1−1⋅8a 2−a 1−1⋅8a 3−a 2−1⋅8a 4−a 3−1⋅9n−a 4，于是所有的n 位覆盖数(非零数码)为∑8a 1−11⩽a 1<a 2<a 3<a 4⩽n ⋅8a 2−a 1−1⋅8a 3−a 2−1⋅8a 4−a 3−1•9n−a 4．在上述求和符号中，仅当a 1−1=0=a 2−a 1−1=a 3−a 2−1=a 4−a 3−1，即a 1=1，a 2=2，a 3=3，a 4=4，a 5=5时，8a 1−1⋅8a 2−a 1−1⋅8a 3−a 2−1⋅8a 4−a 3−1=1(mod8).其他情况总可被8整除，9n−a 4=1(mod8)，故∑8a 1−11⩽a 1<a 2<a 3<a 4⩽n ⋅8a 2−a 1−1⋅8a 3−a 2−1⋅8a 4−a 3−1•9n−a 4≡1(mod8)， 即k(n)≡1(mod8)(n ≥4)． 当n <4时，k(n)=0≡0(mod8)．。
2023年高考数学强基计划模拟试卷含答案(十六)
2023年高考数学强基计划模拟题（十六）(满分100分，测试时间：60分钟)一、选择题（每题10分）1.方程x +y +z =12中，满足x ≥−2，y ≥−3，z ≥−4的整数解的组数为．( )A. 127B. 128C. 253D. 2562.设圆内接四边形的四边长顺次为1，2，3，4，则这个圆的半径是．( )A. √33024B. √33018C. √3306D. √2310243.四个半径为1的球两两层叠(每一个球与其他三个球相切)，并内切于一个正四面体中，则这个四面体的边长为．( )A. 2(1+√6)B. 6C. 2(1+√3)D. 2+52√3 4.(1+tan1∘)(1+tan2∘)⋯(1+tan44∘)(1+tan45∘)=( )A. 2B. 1024C. 222D. 2235.函数f(x)=x 2+aln(1+x)有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，则下列说法中正确的是. ( )A. 0<a <12B. a <12C. f(x 2)最小值存在，是1−2ln24D. f(x 2)最小值不存在6若a >0，且，则下列说法中正确的是. ( )A. 若0<a <2，则lim n→∞a n =2B. 若a >2，则lim n→∞a n =2 C. 对于任意a ≠2，数列极限不存在 D. 若0<a <2，则a n =2cosarccos a22n−1二、解答题（每小题20分）7.证明对于所有的正整数n ≥4，存在一个集合S ，满足如下条件： (1)S 由都小于2n−1的n 个正整数组成;(2)对于S的任意两个不同的非空子集A，B，集合A中所有元素之和不等于集合B中所有元素之和．8.已知椭圆的两个焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)，且椭圆与直线y=x−√3相切．(1)求椭圆的方程;(2)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．答案1.C 解：注意到(x +3)+(y +4)+(z +5)=24，而这个方程的解的组数为C 232=253．2.D 解：设四边形ABCD 中，|AB|=1，|BC|=2，|CD|=3，|DA|=4.由余弦定理有 12+22−2⋅1⋅2cosB =32+42+2⋅3⋅4cosB ， 解得cosB =−57，sinB =2√67，故r =AC2sinB=√12+22−2⋅1⋅2cosB2sinB=√12+22+2⋅1⋅2⋅572⋅2√67=√231024．3.A 解：只需注意到，四个球心构成边长为2的正四面体，其面到外四面体对应面的距离为1.注 意到边长为a 的正四面体的内切球半径是r =√612a ，故a =2√6r.内正四面体球心到面的距离(即内切球半径)为√612⋅2=√66，外正四面体的内切球半径为1+√66，从而边长为2√6(1+√66)=2(1+√6).4.D 解：(1+tan1∘)(1+tan44∘)=1+tan44∘+tan1∘+tan44∘tan1∘， ∵tan45∘=tan(1∘+44∘)=tan1∘+tan44∘1−tan1∘tan44∘=1，∴(1+tan1∘)(1+tan44∘)=1+1−tan1∘tan44∘+tan44∘tan1∘=2， 同理，得(1+tan2∘)(1+tan43∘)=2，⋯，(1+tan22∘)(1+tan23∘)=2， ∴原式=222×(1+tan45∘)=223．5.ABD 【解析】解：一方面，f′(x)=2x +a 1+x =2x 2+2x+a1+x (x >−1).令g(x)=2x 2+2x +a ，其对称轴为x =−12，则有{Δ=4−8a >0,g(−1)=a >0,得0<a <12．另一方面，f(x 2)=x 22+aln(1+x 2)=x 22−(2x 22+2x 2)ln(1+x 2)(x 2>−12)，得f(x 2)>1−2ln24，故f(x 2)的最小值不存在，但可以无限趋近． 6.ABD 【解析】解：一方面，注意到a n+12=a n +2，则0<a <2或a > 2时{a n }均有单调性，从而数列有极限．令n 趋向无穷，则x 2=x +2，解得极限是2．另一方面，若0<a <2，利用三角换元，设a n =2cosθn (n ∈N +)，则4cos 2θn+1=2cosθn +2=2(2cos 2θn 2−1)+2=4cos 2θn2， 即cosθn+1=cos θn 2，θn=θ12n−1=arccos a22n−1，从而a n =2cosarccos a22n−17.解：当n =4时，取S ={3,5,6,7}，则S 满足条件．当n ≥5时，令S ={3,23,24,⋯,2n−2,2n−1−3,2n−1−2,2n−1−1}，下面证明这样的S 满足条件．事实上，设A ，B 是S 的两个不同的非空子集，令f(X)表示X 的所有元素之和，要证明的目标是f(A)≠f(B)，不妨设A ∩B =⌀.注意到对于任意的m ∈N ∗，均有1+2+22+⋯+2m−1=2m −1<2m .所以，当a =2n−1−3，b =2n−1−2，c =2n−1−1都不属于A ∪B 时，均有f(A)≠f(B)．进一步地，因为3+23+24+⋯+2n−2=2n−1−5，所以当a ，b ，c 中恰有一个属于A ∪B 时，比如a ∈A ，将有f(A)>f(B)，此时f(A)≠f(B);类似地讨论a ，b ，c 中有两个或三个属于A ∪B 时，均可得到f(A)≠f(B)．综上所述，当n ≥4时，满足条件的S 都存在．8.解：(1)设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0).因为它与直线y =x −√3只有一个公共点，所以方程组{x 2a 2+y 2b 2=1,y =x −√3只有一个解，整理得(a 2+b 2)x 2−2√3a 2x +3a 2−a 2b 2=0，所以Δ=(−2√3a 2)2−4(a 2+b 2)(3a 2−a 2b 2)=0，得a 2+b 2=3.又椭圆的焦点为F 1(−1,0)，F 2(1,0)，所以a 2−b 2=1． 联立上式解得a 2=2，b 2=1，所以椭圆的方程为x 22+y 2=1．(2)若PQ 斜率不存在(或为0)，则 S 四边形PMQN =|PQ|⋅|MN|2=2√2×2√1−122=2．若PQ 斜率存在，设为k(k ≠0)，则MN 斜率为−1k，所以直线PQ 的方程为y =kx +k ．设PQ 与椭圆交点的坐标为P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立方程{x 22+y 2=1,y =kx +k,化简得(2k 2+1)x 2+4k 2x +2k 2−2=0，则x 1+x 2=−4k22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，所以=2√2k 2+12k 2+1．同理可得|MN|=2√2k 2+12+k2.故S 四边形PMQN =|PQ|⋅|MN|2=4(k 2+1)2(2+k 2)(2k 2+1)=4k 4+2k 2+12k 4+5k 2+2 =4(12−12k 22k 4+5k 2+2)=4(12−k24k 4+10k 2+4) =4(12−14k 2+4k 2+10).因为4k 2+4k2+10≥2√4k 2⋅4k2+10=18(当且仅当k 2=1时取等号)，所以14k 2+4k2+10∈(0,118]，4(12−14k 2+4k2+10)∈[169,2)．综上所述，四边形PMQN 面积的最小值为169，最大值为2．。
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2023中科大强基计划数学题解析
近年来，中科大的强基计划越来越受到广大学生的关注。
作为一项全面、深度和广度兼具的计划，其中的数学题也备受关注。
本文将针对2023年中科大强基计划中的数学题进行全面评估，并给出解析，帮助大家更深入地理解这一主题。
1. 第一部分：简单题解析
在2023中科大强基计划的数学题中，第一部分通常包括一些基础的数学概念和简单的运算。
这些题目主要考察学生对基本知识的掌握情况，包括代数、几何、概率与统计等内容。
这部分题目的解析通常较为直观，需要学生熟练掌握基本技巧，例如因式分解、方程解法、图形的
性质等方面的知识。
这些题目的解答一般比较简单，注重数学思维的
灵活运用。
2. 第二部分：中等题解析
第二部分的题目往往涉及到一些较为复杂的数学问题，需要学生具备
一定的逻辑思维能力和数学建模能力。
这部分题目可能涉及到一些实
际问题，需要学生将抽象的数学概念与实际情况相结合，从而得出解
题思路。
在解析这些题目时，需要引导学生建立数学模型，分析问题
的本质，找到解题的关键点。
这部分题目可能涉及到多种数学知识的
综合运用，例如概率与统计、微积分等方面的知识。
对于这部分题目，学生需要全面掌握各种数学知识，并能够灵活运用，这对于培养学生
的数学思维能力具有重要意义。
3. 第三部分：高难度题解析
第三部分的题目通常是整个试卷的难点所在，这些题目可能涉及到一
些前沿的数学知识和技巧，需要学生具备较强的数学素养和创新能力。
解析这部分题目时，需要引导学生形成扎实的数学基础，注重提高学
生的逻辑思维能力和问题解决能力。
这部分题目还可能涉及到一些数
学定理的证明和推广，需要学生具备较强的数学推理和论证能力。
在
解析这些题目时，需要引导学生分析问题的本质，找到解题的思路，
并培养学生的数学探索精神和创新能力。
总结回顾：
以上是对2023中科大强基计划数学题的全面解析，从简单题到中等题再到高难度题，我们探讨了每一类题目的解题思路和方法。
通过对这
些题目的解析，我们不仅可以加深对数学知识的理解，还可以培养数
学思维能力和创新能力。
希望广大学生能够认真对待这些数学题目，
加强对数学知识的学习，不断提高自己的数学素养，为将来的学习和
科研打下良好的基础。
个人观点：
作为专业的文章写手，我对中科大强基计划数学题的评估和解析深感
重要。
数学作为一门基础学科，对于培养学生的逻辑思维能力和问题
解决能力具有重要的意义。
通过深入解析这些数学题目，帮助学生增
强数学素养，提高数学思维能力，是我作为文章写手的责任和使命。
希望本文的解析能够帮助到广大学生，为他们深入理解数学知识，提
高数学能力提供帮助。
也希望广大学生能够重视数学学习，认真对待
每一道数学题目，不断提高自己的数学水平，做一个有理想、有信念、有学识的现代青年！在2023中科大强基计划数学题的解析中，我们可以看到，这些题目涵盖了从基础知识到高难度问题的全面范围，要求
学生具备全面的数学知识和技能。
这种综合性的题目设计，不仅考察
了学生的数学水平，也培养了他们的逻辑思维能力和问题解决能力。
我们来看第一部分的简单题解析。
这些题目主要考察学生对基本数学
概念的掌握，以及简单的运算技巧。
在这部分题目的解析中，我们需
要引导学生熟练掌握因式分解、方程解法、图形性质等基本技巧，注
重数学思维的灵活运用。
还需要加强对代数、几何、概率与统计等内
容的理解，帮助学生建立坚实的数学基础。
第二部分的中等题解析涉及到一些较为复杂的数学问题，需要学生具
备一定的逻辑思维能力和数学建模能力。
这部分题目可能涉及到一些
实际问题，需要学生将抽象的数学概念与实际情况相结合，从而得出解题思路。
在解析这些题目时，需要引导学生建立数学模型，分析问题的本质，找到解题的关键点。
这部分题目还可能涉及到多种数学知识的综合运用，例如概率与统计、微积分等方面的知识。
对于这部分题目，学生需要全面掌握各种数学知识，并能够灵活运用，培养学生的数学思维能力。
第三部分的高难度题解析则是整个试卷的难点所在，这些题目可能涉及到一些前沿的数学知识和技巧，需要学生具备较强的数学素养和创新能力。
解析这部分题目时，需要引导学生形成扎实的数学基础，注重提高学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
这部分题目还可能涉及到一些数学定理的证明和推广，需要学生具备较强的数学推理和论证能力。
在解析这些题目时，需要引导学生分析问题的本质，找到解题的思路，并培养学生的数学探索精神和创新能力。
通过对2023中科大强基计划数学题的全面解析，我们不仅可以加深对数学知识的理解，还可以培养数学思维能力和创新能力。
希望广大学生能够认真对待这些数学题目，加强对数学知识的学习，不断提高自己的数学素养，为将来的学习和科研打下良好的基础。
作为文章写手，我深感责任重大。
希望本文的解析能够帮助到广大学生，为他们深入理解数学知识，提高数学能力提供帮助。
也希望广大学生能够重视数学学习，认真对待每一道数学题目，不断提高自己的
数学水平，做一个有理想、有信念、有学识的现代青年！
希望中科大强基计划能够为学生提供更多优质的数学教育资源，帮助他们在数学领域取得更大的成就。
让我们共同努力，为培养更多有数学才能、有创新能力的学子而努力！。