大物下册课后习题答案
大学物理下习题册答案详解
解 ： a 30cm ,d 0.6m m , b=2.2m
D =a+b 2.5m ,
x 2.25m m
x D dx 5400 A
d
D
第 4级 明 纹 至 中 心 距 离 满 足 ：
dx 4 x 4 D 9.00m m
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d
练习34 光的干涉（2)
1.在双缝装置中，用一折射率为n的薄云母片覆盖其中
光的程亮差度2 分，, 2别则. 5为 有 , ：3 .5
，比较 P、Q、R 三点
（1）P点最亮、Q点次之、R点最暗；
注意。单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。您的 内容已经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要用更多的文字来表述；但请您尽可能提炼思
20D 想 的 精 髓 ， 否 则 容 易 造 成 观 者 的 阅 读 压 力 ， 适 得 其 反 。 正 如 我 们 都 希 望 改 变 世 界 ， 希 望 给 别 人 带 去 光 明 ， 但 更 多
x 20x＝ 0.11m 时候我们只需要播下一颗种子，自然有微风吹拂，雨露滋养。恰如其分地表达观点，往往事半功倍。当您的内容 a 到 达 这 个 限 度 时 ， 或 许 已 经 不 纯 粹 作 用 于 演 示 ， 极 大 可 能 运 用 于 阅 读 领 域 ； 无 论 是 传 播 观 点 、 知 识 分 享 还 是 汇 报
n 1 题 目 中 k=-7
所 以 ： e 7 n 1
答案为：（1）
2.迈克耳逊干涉仪可用来测量单色光的波长，当干涉仪
的动镜M2移动d距离时，测得某单色光的干涉条纹移 动N条，则该单色光的波长为：（ ）
《大学物理》下册(第五版)课后答案
第九章振动9-1一个质点作简谐运动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为-A，且向x 轴正方向运2动，代表此简谐运动的旋转矢量为（）题９-１图分析与解（b）图中旋转矢量的矢端在x 轴上投影点的位移为－A/2，且投影点的运动方向指向O x轴正向，即其速度的x 分量大于零，故满足题意．因而正确答案为（b）．9-2已知某简谐运动的振动曲线如图（a）所示，则此简谐运动的运动方程为（）(A)x = 2cos⎡2πt -2 π⎤(cm)(C)x = 2cos⎡2 πt +2 π⎤(cm)⎢⎣3 3 ⎥⎦ ⎢⎣3 3 ⎥⎦(B)x = 2cos⎡4πt -2 π⎤(cm)(D)x = 2cos⎡4 πt +2 π⎤(cm)⎢⎣3 3 ⎥⎦ ⎢⎣3 3 ⎥⎦题９-２图分析与解由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为–A/2，且向x 轴负方向运动．图（ｂ）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为2π / 3 ．振动曲线上给出质点从–A/2 处运动到+A 处所需时间为 1 s，由对应旋转矢量图可知相应的相位差∆ϕ=4π3 ，则角频率ω=∆ϕ/ ∆t =(4π/ 3)s-1 ，故选（D）．本题也可根据振动曲线所给信息，逐一代入方程来找出正确答案．9-3两个同周期简谐运动曲线如图（a）所示，x1 的相位比x2 的相位（）（A）落后π2（B）超前π2（C）落后π（D）超前π分析与解由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b）即可得到答案为（b）．题９-３图9-4当质点以频率ν作简谐运动时，它的动能的变化频率为（）（A）v（B）v （C）2v2（D）4v分析与解质点作简谐运动的动能表式为E k=1mω2 A 2sin2 (ωt2+ϕ)，可见其周期为简谐运动周期的一半，则频率为简谐运动频率ν 的两倍．因而正确答案为（C）．9-5图（a）中所画的是两个简谐运动的曲线，若这两个简谐运动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为（）3（A）π21（B）π2（C）π（D）0分析与解由振动曲线可以知道，这是两个同振动方向、同频率简谐运动，它们的相位差是π（即反相位）．运动方程分别为x1=A cosωt 和x2=Acos(ωt +π)．它们的振幅不同．对2于这样两个简谐运动，可用旋转矢量法，如图（b）很方便求得合运动方程为x1 =而正确答案为（D）．Acosωt ．因2题９-５图9-6 有一个弹簧振子，振幅A = 2.0 ⨯10-2 m ，周期T = 1.0 s ，初相ϕ出它的运动方程，并作出x -t 图、v -t 图和a -t 图．=3π / 4 ．试写题９-6 图分析弹簧振子的振动是简谐运动．振幅 A 、初相ϕ、角频率ω是简谐运动方程m / k 外， ω 可通过关系式ω = 2π / T 确定．振子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同．解 因ω = 2π / T ，则运动方程x = A cos (ωt + ϕ ) = A ⎛ 2πt + ϕ ⎫cos ⎪ ⎝ T⎭根据题中给出的数据得x = 2.0 ⨯ 10-2 cos (2πt + 0.75π ) (m )振子的速度和加速度分别为v = d x / d y a = d 2x / d 2y = -4π ⨯ 10-2sin (2πt = -8π ⨯ 10-2cos (2πt + 0.75π) ( m ⋅ s-1 )+ 0.75π) ( m ⋅ s -1)x - t 、 v - t 及 a - t 图如图所示．9-7 若简谐运动方程为 x = 0.10 cos (20πt + 0.25π)(m )，求：（1） 振幅、频率、角频率、周期和初相；（2） t = 2s 时的位移、速度和加速度．分析 可采用比较法求解．将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式x = A cos (ωt + ϕ )作比较，即可求得各特征量．运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t 值后，即可求得结果．解 （1） 将 x = 0.10 cos (20πt + 0.25π)(m )与 x = A cos (ωt + ϕ )比较后可得：振幅 A ＝ 0.10m ，角频率ω = 20π s -1，初相ϕ ＝0.25 π ，则周期T = 2π / ω = 0.1 s ，频率 v = 1/ T Hz ．（２） t = 2s 时的位移、速度、加速度分别为x = 0.10 cos (40πt + 0.25π) = 7.07 ⨯10-2 mv = d x / d t = -2πsin (40π + 0.25π) = -4.44m ⋅ s -1a = d 2 x / d 2t = -40π2cos (40π + 0.25π) = -2.79 ⨯102 m ⋅ s -29-8 一远洋货轮，质量为 m ，浮在水面时其水平截面积为 S ．设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为 ρ，且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振动周期．分析 要证明货轮作简谐运动，需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力 F 与位移 x 间的关系，如果满足 F = -kx ，则货轮作简谐运动．通过 F = -kx 即可求得振动 周期T = 2π / ω = 2π ．证 货轮处于平衡状态时［图（a ）］，浮力大小为 F ＝mg ．当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点 O ，竖直向下为 x 轴正向，如图（b ）所示．则当货轮向下偏移 x 位移时，受合外力为∑ F = P + F '其中 F ' 为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为F ' = F + ρgSx = mg + ρgSx则货轮所受合外力为题９-８图∑F=P -F '=-ρgSx =-kx式中k =ρgS 是一常数．这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动．由∑F =m d2 x / d2t 可得货轮运动的微分方程为d2 x / d2t +ρgSx / m = 0令ω2 =ρgS / m ，可得其振动周期为T =2π / ω = 2π9-9设地球是一个半径为R 的均匀球体，密度ρ= 5.5 ⨯103 kg ⋅ m-3 ．现假定沿直径凿通一条隧道，若有一质量为m 的质点在此隧道内作无摩擦运动．（1）证明此质点的运动是简谐运动；（2）计算其周期．题９-９图分析证明方法与上题相似．分析质点在隧道内运动时的受力特征即可．证（1）取图所示坐标．当质量为m 的质点位于x 处时，它受地球的引力为m / ρgSm / k x xF = -Gm x m式中G 为引力常量， m 是以 x 为半径的球体质量，即 m = 4πρx 3/ 3 ．令 k = 4πρGm / 3 ，则质点受力F = 4πρGmx / 3 = -kx因此，质点作简谐运动．（2） 质点振动的周期为T = 2π = = 5.07 ⨯103 s9-10 如图（a ）所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为 k 1 、k 2时．（1） 证明其运动仍是简谐运动；（2） 求系统的振动频率．．当物体在光滑斜面上振动题 9-10 图分析 从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）．为此，建立如图（b ）所示的坐标．设系统平衡时物体所在位置为坐标原点 O ，Ox 轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿 Ox 轴， 物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力．利用串联时各弹簧受力相等，分析物体 在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率υ ．证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为 x 1 、 x 2 ，则由物体受力平衡，有mg sin θ = k 1x 1 = k 2 x 2按图（b ）所取坐标，物体沿 x 轴移动位移 x 时，两弹簧又分别被拉伸 x 1' 和 x 2' ，即物体受力为（1）x = x 1' + x 2' ．则 3π / Gρ1 2π(k + k )/ m 1 21 2F = mg si n θ - k 2 (x 2 + x 2' )= mg si n θ - k 1 (x 1 + x 1') 将式（1）代入式（2）得（２） F = -k 2 x 2' = -k 1x 1' 由式（3）得 x 1' = -F / k 1 、 x 2' = -F / k 2 ，而 x = x 1' + x 2' ，则得到（３）F = -[k k / (k + k )]x = -kx 1 2式中 k = k 1k 2 / (k 1 + k 2 )为常数，则物体作简谐运动，振动频率v = ω / 2π = 12π k / m = 讨论 （1） 由本题的求证可知，斜面倾角 θ 对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响．事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动．而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因．（2） 如果振动系统如图（c ）（弹簧并联）或如图（d ）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其 作简谐运动，且振动频率均为v = ，读者可以一试．通过这些例子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的．*9－11 在如图（a ）所示装置中，一劲度系数为 k 的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连接一质量为 m 1 的物体 A ，置于光滑水平桌面上．现通过一质量 m 、半径为 R 的定滑轮 B （可视为匀质圆盘）用细绳连接另一质量为 m 2 的物体 C ．设细绳不可伸长，且与滑轮间无相对滑动， 求系统的振动角频率．题 9-11 图分析 这是一个由弹簧、物体 A 、C 和滑轮 B 组成的简谐运动系统．求解系统的振动频率可采用两种方法．（1） 从受力分析着手．如图（b ）所示，设系统处于平衡状态时，与物体1 2πk k /(k + k )m1 2 1 2k 正向从原点 O 伸长 x 时，分析物体 A 、C 及滑轮 B 的受力情况，并分别列出它们的动力学方程，可解得系统作简谐运动的微分方程．（2）从系统机械能守恒着手．列出系统机械能守恒方 程，然后求得系统作简谐运动的微分方程．解 1 在图（b ）的状态下，各物体受力如图（c ）所示．其中 F = -k (x + x 0 )i ．考虑到绳 子不可伸长，对物体 A 、B 、C 分别列方程，有F T 1 = -k (x + x 0 ) = d 2 x m 1 d t 2 d 2 x（1）m 2 g - F T 2 = m 2 d t2 （2）( - ) = α = 1d 2 xF T 2 F T 1 R J2 mR d t 2（3） kx 0 = m 2 g （4）方程（3）中用到了 F = F ' 、F = F ' 、J = mR 2/ 2 及α = a / R ．联立式（1） ～式（4）T 2 T 2 可得T 1 T 1d 2 x k则系统振动的角频率为d t2+m 1 + m 2 + m / 2x = 0（5）ω = 解 2 取整个振动装置和地球为研究系统，因没有外力和非保守内力作功，系统机械能守恒．设物体平衡时为初始状态，物体向右偏移距离 x （此时速度为 v 、加速度为 a ）为末状态， 则由机械能守恒定律，有E = -m gx + 1 m v 2 + 1 m v 2 + 1 J ω2 + 1 k (x + x )20 2 2 1 2 2 2 2在列出上述方程时应注意势能（重力势能和弹性势能）零点的选取．为运算方便，选初始状态下物体 C 所在位置为重力势能零点；弹簧原长时为弹性势能的零点．将上述方程对时间求导得0 = -m gv + m v d v + m v d v + Jω d ω + k (x + x )d x2 1 d t 2 d t d t 0d t 将 J = mR 2 / 2 ， ωR = v ， d v / d t = d 2 x / d t 2和m g = kx 代入上式，可得d 2x + d t 2 m2 0+ m + m / 2 x = 0（6）12式（6）与式（5）相同，表明两种解法结果一致．9-12 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅 A ＝2.0 ×10-2 m ，周期 T ＝0.50ｓ．当 t ＝0 时，（1） 物体在正方向端点；（2） 物体在平衡位置、向负方向运动；（3） 物体在 x ＝-1.0×10-2m 处， 向负方向运动； （4） 物体在 x ＝-1.0×10-2 m 处，向正方向运动．求以上各种情况的运动方程．分析 在振幅 A 和周期 T 已知的条件下，确定初相 φ 是求解简谐运动方程的关键．初相k / (m 1 + m 2 + m / 2)π π = 4π 的确定通常有两种方法．（1） 解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即 t ＝0 时，x ＝x 0 和 v ＝v 0 来确定 φ 值．（2） 旋转矢量法：如图（a ）所示，将质点 P 在 Ox 轴上振动的初始位置 x 0 和速度 v 0 的方向与旋转矢量图相对应来确定 φ．旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用．题 9-12 图解 由题给条件知 A ＝2.0 ×10-2 m ， ω = 2 / T = 4π s -1，而初相 φ 可采用分析中的两种不 同方法来求．解析法 ： 根据简 谐 运动方 程 x = A cos (ωt + ϕ ) ，当 t = 0 时有 x 0 = A cos (ωt + ϕ ) ，v 0 = - Aωsin ．当（1） x 0 = A 时， cos ϕ1 = 1，则ϕ1 = 0 ；π π（2） x 0 = 0 时， cos ϕ2 = 0 ，ϕ2 = ± ，因v 0 < 0 ，取ϕ2 = ；2 2（3） x 0 = 1.0 ⨯10-2 m 时， cos ϕ = 0.5 ，ϕ3 = ± π 3 ，由v 0 < 0 ，取ϕ3 = ； 3（4） x = -1.0 ⨯10-2m 时， cos ϕ = -0.5 ，ϕ = π ± ，由v > 0 ，取ϕ 4π 0 4 4 3 0 4 3旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图（b ）所示，它们所对应的初 相分别为ϕ1 = 0 ， ϕ2 =， ϕ3 =2， ϕ4 =．33振幅 A 、角频率 ω、初相 φ 均确定后，则各相应状态下的运动方程为（1） x = 2.0 ⨯10-2cos4πt(m )（2） x = 2.0 ⨯10-2 cos (4πt + π/2) (m ) （3） x = 2.0 ⨯10-2 cos (4πt + π/3) (m ) （4） x = 2.0 ⨯10-2 cos (4πt + 4π/3) (m )9-13 有一弹簧， 当其下端挂一质量为 m 的物体时， 伸长量为 9.8 ×10-2 m ．若使物体上、下振动，且规定向下为正方向．（1） 当 t ＝0 时，物体在平衡位置上方 8.0 ×10-2 ｍ 处，由静止开始向下运动，求运动方程．（2） 当 t ＝0 时，物体在平衡位置并以 0.6ｍ·s -1 的速度向上运动，求运动方程．π π 3．k / m g / ∆l x + ( 21010 v / ω )2⎝ 12 ⎭分析 求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量 A 、ω 和 φ．其中振动的角频率是 由弹簧振子系统的固有性质（振子质量 m 及弹簧劲度系数 k ）决定的，即ω =k /m ，k 可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅 A 和初相 φ 需要根据初始条件确定．题 9-13 图解 物体受力平衡时，弹性力 F 与重力 P 的大小相等，即 F ＝mg ．而此时弹簧的伸长量 Δl ＝9.8 ×10-2m ．则弹簧的劲度系数 k ＝F ／Δl ＝mg ／Δl ．系统作简谐运动的角频率为ω = = = 10 s -1（1） 设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为 x 轴正向．由初始条件 t ＝0 时， x 10 ＝8.0 ×10-2 m 、v 10 ＝0 可得振幅 A = = 8.0 ⨯10- 2m ；应用旋转矢量法可确定初相ϕ1 = π ［图（a ）］．则运动方程为x = 8.0 ⨯10-2cos (10t + π) (m ) （2）t ＝0 时，x 20 ＝0、v 20 ＝0.6 ｍ·s -1 ，同理可得 A 2 == 6.0 ⨯10- 2 m ； ϕ2 = π / 2 ［图（b ）］．则运动方程为x = 6.0 ⨯10-2cos (10t + 0.5π) (m ) 9-14 某振动质点的 x -t 曲线如图（a ）所示，试求：（1） 运动方程；（2） 点 P 对应的相位；（3） 到达点 P 相应位置所需的时间．分析 由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题．本题就是要通过 x －t 图线确定振动的三个特征量 A 、ω 和ϕ0 ，从而写出运动方程．曲线最大幅值即为振幅 A ；而 ω、ϕ0 通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比较方便． 解 （1） 质点振动振幅 A ＝0.10 ｍ．而由振动曲线可画出 t 0 ＝0 和 t 1 ＝4 ｓ时旋转矢 量，如图（ b ） 所 示．由图可见初相 ϕ0 = -π / 3 （或 ϕ0 = 5π / 3 ）， 而由 ω(t 1 - t 0 ) = π / 2 + π / 3 得ω = 5π / 24 s ，则运动方程为 -1x = 0.10 cos⎛ 5πt - π / 3⎫(m )24⎪ x + ( 220 20 v / ω)2ppp p题9-14 图（2）图（a）中点P 的位置是质点从A／2 处运动到正向的端点处．对应的旋转矢量图如图（c）所示．当初相取ϕ0 =-π / 3 时，点P 的相位为ϕp =ϕ0 +ω(t - 0)= 0 （如果初相取成=5π / 3 ，则点P 相应的相位应表示为ϕp =ϕ0 +ω(t -0)=2π ．（3）由旋转矢量图可得ω(t - 0)=π/ 3 ，则t =1.6 s ．9-15作简谐运动的物体，由平衡位置向x 轴正方向运动，试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几？（1）由平衡位置到最大位移处；（2）由平衡位置到x ＝A/2 处；（3）由x ＝A/2 处到最大位移处．解采用旋转矢量法求解较为方便．按题意作如图所示的旋转矢量图，平衡位置在点O．（1））平衡位置x1到最大位移x3处，图中的旋转矢量从位置 1 转到位置 3 ，故∆ϕ1=π / 2 ，则所需时间∆t1=∆ϕ1 / ω=T / 4（2）从平衡位置x1到x2＝A/2 处，图中旋转矢量从位置1 转到位置2，故有∆ϕ2则所需时间=π / 6 ，∆t2=∆ϕ2 / ω=T / 12（3）从x2＝A/2 运动到最大位移x3处，图中旋转矢量从位置 2 转到位置3，有∆ϕ0=π / 3 ，则所需时间∆t3=∆ϕ3 / ω=T / 6N 题 9-15 图9-16 在一块平板下装有弹簧，平板上放一质量为 1.0 kg 的重物．现使平板沿竖直方向作上下简谐运动，周期为 0.50ｓ，振幅为 2.0×10-2 m ．求：（1） 平板到最低点时，重物对平板的作用力；（2） 若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板？ （3） 若振幅不变，则平板以多大的频率振动时， 重物会跳离平板？题 9-16 图分析 按题意作示意图如图所示．物体在平衡位置附近随板作简谐运动，其间受重力 P 和板支持力 F N 作用，F N 是一个变力．按牛顿定律，有d 2 y F = mg - F N = m d t 2（1）由于物体是随板一起作简谐运动，因而有a 改写为 = d 2y d t 2 = -A ω 2 cos (ωt + ϕ ) ，则式（1）可 F N = mg + mA ω 2cos (ωt + ϕ ) （2）（1） 根据板运动的位置，确定此刻振动的相位ωt + ϕ ，由式（2）可求板与物体之间的作 用力．（2） 由式（2）可知支持力 F N 的值与振幅 A 、角频率 ω 和相位（ ωt + ϕ ）有关．在振 动过程中，当ωt + ϕ ＝ π 时 F N 最小．而重物恰好跳离平板的条件为 F N ＝0，因此由式（2）可 分别求出重物跳离平板所需的频率或振幅．解 （1） 由分析可知，重物在最低点时，相位ωt + ϕ ＝0，物体受板的支持力为F = mg + mA ω 2 = mg + mA (2π / t)2 = 12.96 N 重物对木块的作用力 F N ' 与 F N 大小相等，方向相反． （2） 当频率不变时，设振幅变为 A ′．根据分析中所述，将 F N ＝0 及ωt + ϕ 分析中式（2），可得= π 代入max max2A ' = mg / mω2 = gT 2 / 4π2 = 6.2 ⨯10-2 m（3） 当振幅不变时，设频率变为v ' ．同样将 F N ＝0 及ωt + ϕ 可得= π 代入分析中式（2）， v ' = ω = 2π = 3.52 Hz 9-17 两 质点作同 频率、同 振幅的简 谐运动． 第一个质 点的运动 方程 为x 1 = A cos (ωt + ϕ )，当第一个质点自振动正方向回到平衡位置时，第二个质点恰在振动正方 向的端点，试用旋转矢量图表示它们，并求第二个质点的运动方程及它们的相位差．题 9-17 图解 图示为两质点在时刻 t 的旋转矢量图，可见第一个质点 M 的相位比第二个质点 N 的相位超前π / 2 ，即它们的相位差 Δφ＝π/2．故第二个质点的运动方程应为x 2 = A cos (ωt + ϕ - π / 2)9-18 图（a ）为一简谐运动质点的速度与时间的关系曲线，且振幅为 2cm ，求（1） 振动周期；（2） 加速度的最大值；（3） 运动方程．分析 根据 v -t 图可知速度的最大值 v max ，由 v max ＝Aω 可求出角频率 ω，进而可求出周期 T 和加速度的最大值 a max ＝Aω2 ．在要求的简谐运动方程 x ＝A cos （ωt ＋φ）中，因为 A 和 ω 已得出，故只要求初相位 φ 即可．由 v －t 曲线图可以知道，当 t ＝0 时，质点运动速度v 0 ＝v max /2 ＝Aω/2，之后速度越来越大，因此可以判断出质点沿 x 轴正向向着平衡点运动．利用 v 0 ＝－Aωsinφ 就可求出 φ．解 （1） 由v = A ω 得ω =1.5 s -1 ，则 T = 2π / ω = 4.2 s （2） a = A ω 2 = 4.5 ⨯10-2 m ⋅ s -2 （3） 从分析中已知 v 0 = - Aωsin= Aω / 2 ，即 sin ϕ = -1 / 2= -π / 6,-5π / 6因为质点沿 x 轴正向向平衡位置运动，则取 = -5π / 6 ，其旋转矢量图如图（b ）所示．则运动 方程为 x = 2cos (1.5t - 5π / 6) (cm )1 mg / m A 2πg / l g / l max题 9-18 图9-19 有一单摆，长为 1.0m ，最大摆角为 5°，如图所示．（1） 求摆的角频率和周期；（2）设开始时摆角最大，试写出此单摆的运动方程；（3） 摆角为 3°时的角速度和摆球的线速度各为多少？题 9-19 图分析 单摆在摆角较小时（θ＜5°）的摆动，其角量 θ 与时间的关系可表示为简谐运动方程 θ = θmax co s (ωt + ϕ ) ，其中角频率 ω 仍由该系统的性质（重力加速度 g 和绳长 l ）决定，即 ω = ．初相 φ 与摆角 θ，质点的角速度与旋转矢量的角速度（角频率）均是不同的物理 概念，必须注意区分．解 （1） 单摆角频率及周期分别为ω = = 3.13 s -1; T = 2π / ω = 2.01 s（2） 由t = 0 时θ = θ = 5o可得振动初相ϕ = 0 ，则以角量表示的简谐运动方程为 θ = π cos3.13t 36（３） 摆角为 3°时，有cos (ωt + ϕ ) = θ / θmax = 0.6 ，则这时质点的角速度为J / mgl c maxE c M线速度的大小为d θ/d t = -θmax ωsi n (ωt + ϕ ) = -θmax ω = -0.80θ ω = -0.218 s -1 v = l d θ/d t = -0.218 s -1讨论 质点的线速度和角速度也可通过机械能守恒定律求解，但结果会有极微小的差别．这是因为在导出简谐运动方程时曾取sin θ ≈ θ ，所以，单摆的简谐运动方程仅在 θ 较小时成立．9-20 为了测月球表面的重力加速度，宇航员将地球上的“秒摆”（周期为 2.00ｓ），拿到月 球上去，如测得周期为 4.90ｓ，则月球表面的重力加速度约为多少？ （取地球表面的重力加速度 g = 9.80 m ⋅s-2 ） 解 由单摆的周期公式T = 2π 可知 g ∝ 1 / T 2 ，故有 g / g = T 2 / T 2 ，则月球的重力加速度为 g = (T/ T M )2g M E E M= 1.63 m ⋅ s - 29-21 一飞轮质量为 12kg ，内缘半径 r ＝0.6ｍ，如图所示．为了测定其对质心轴的转动惯量，现让其绕内缘刃口摆动，在摆角较小时，测得周期为 2.0s ，试求其绕质心轴的转动惯量．9-21 题图分析 飞轮的运动相当于一个以刃口为转轴的复摆运动，复摆振动周期为 T = 2π ，因此，只要知道复摆振动的周期和转轴到质心的距离l c ，其以刃口为转轴的 转动惯量即可求得．再根据平行轴定理，可求出其绕质心轴的转动惯量．解 由复摆振动周期T = 2π J / mgl ，可得 J = mgrT 2 / 4π2．则由平行轴定理得 J 0 = J - mr 2 = mgrT 2 / 4π 2 - mr 2 = 2.83 kg ⋅ m 29-22 如图（a ）所示，质量为 1.0 ×10-2kg 的子弹，以 500m·s -1 的速度射入木块，并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐运动，设木块的质量为 4.99 kg ，弹簧的劲度系数为 8.0 ×103 N·m -1 ，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为 x 轴正向，求简谐运动方程．1 - cos2 (ωt + ϕ ) l / g E E题 9-22 图分析 可分为两个过程讨论．首先是子弹射入木块的过程，在此过程中，子弹和木块组成的系统满足动量守恒，因而可以确定它们共同运动的初速度 v 0 ，即振动的初速度．随后的过程是以子弹和木块为弹簧振子作简谐运动．它的角频率由振子质量 m 1 ＋m 2 和弹簧的劲度系数 k 确定，振幅和初相可根据初始条件（初速度 v 0 和初位移 x 0 ）求得．初相位仍可用旋转矢量法求．解 振动系统的角频率为 ω == 40 s -1由动量守恒定律得振动的初始速度即子弹和木块的共同运动初速度 v 0 为v = m v (m + m ) = 1.0 m ⋅ s -10 1 1 2 又因初始位移 x 0 ＝0，则振动系统的振幅为A = = v 0/ ω = 2.5⨯10-2 m 图（b ）给出了弹簧振子的旋转矢量图，从图中可知初相位 0 = π / 2 ，则简谐运动方程为x = 2.5⨯10-2 cos (40t + 0.5π) (m )9-23 如图（a ）所示，一劲度系数为 k 的轻弹簧，其下挂有一质量为 m 1 的空盘．现有一质量为 m 2 的物体从盘上方高为 h 处自由落入盘中，并和盘粘在一起振动．问：（1） 此时的振动周期与空盘作振动的周期有何不同？ （2） 此时的振幅为多大？k / (m 1 + m 2 ) x + ( 2 0 0 v / ω) 2x + (v / ω) 2 20 0题 9-23 图分析 原有空盘振动系统由于下落物体的加入，振子质量由 m 1 变为 m 1 + m 2，因此新系统的角频率（或周期）要改变．由于 A = ，因此，确定初始速度 v 0 和初始位移 x 0 是求解振幅 A 的关键．物体落到盘中，与盘作完全非弹性碰撞，由动量守恒定律可确定盘与物体的共同初速度 v 0 ，这也是该振动系统的初始速度．在确定初始时刻的位移 x 0 时，应注意新振动系统的平衡位置应是盘和物体悬挂在弹簧上的平衡位置．因此，本题中初始位移 x 0 ，也就是空盘时的平衡位置相对新系统的平衡位置的位移．解 （1） 空盘时和物体落入盘中后的振动周期分别为T = 2π / ω = 2π T ' = 2π / ω' = 2π 可见 T ′＞T ，即振动周期变大了． （2） 如图（b ）所示，取新系统的平衡位置为坐标原点 O ．则根据分析中所述，初始位移为空盘时的平衡位置相对粘上物体后新系统平衡位置的位移，即x = l - l =m 1g - m 1 + m 2 g = - m 2 g 01 2 k k k式中 l 1 ＝m 1/k 为空盘静止时弹簧的伸长量，l 2 ＝（m 1 ＋m 2）/k 为物体粘在盘上后，静止时弹 簧的伸长量．由动量守恒定律可得振动系统的初始速度，即盘与物体相碰后的速度v 0 = m 2 v =m 1 + m 2 式中 v = 是物体由 h 高下落至盘时的速度．故系统振动的振幅为m 1 / k(m 1 + m 2 )/ km 2 m 1 + m 2 2gh2ghx +(2 v / ω ) ' 20 0x + 20 0( v/ ω) 211A ==本题也可用机械能守恒定律求振幅A．9-24如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧，系一质量为m1的物体，在水平面上作振幅为A的简谐运动．有一质量为m2的粘土，从高度h 自由下落，正好在（a）物体通过平衡位置时，（b）物体在最大位移处时，落在物体上．分别求：（1）振动周期有何变化？（2）振幅有何变化？题9-24 图分析谐振子系统的周期只与弹簧的劲度系数和振子的质量有关．由于粘土落下前后，振子的质量发生了改变，因此，振动周期也将变化．至于粘土如何落下是不影响振动周期的．但是，粘土落下时将改变振动系统的初始状态，因此，对振幅是有影响的．在粘土落到物体上的两种不同情况中，系统在水平方向的动量都是守恒的．利用动量守恒定律可求出两种情况下系统的初始速度，从而利用机械能守恒定律（或公式A =）求得两种情况下的振幅．解（1）由分析可知，在（a）、（b）两种情况中，粘土落下前后的周期均为T =2π / ω =2πT '=2π / ω'=2π物体粘上粘土后的周期T′比原周期T 大．（2）（a）设粘土落至物体前后，系统振动的振幅和物体经过平衡位置时的速度分别为A、v 和A′、v′．由动量守恒定律和机械能守恒定律可列出如下各式kA'2 / 2 =m v2 / 2 （1）kA'2 / 2 =(m+m)v'2 / 22（2）联立解上述三式，可得m1v=(m1+m2)v'A'=（3）即A′＜A，表明增加粘土后，物体的振幅变小了．（b）物体正好在最大位移处时，粘土落在物体上．则由动量守恒定律知它们水平方向的共同速度v′＝m1v/（m1＋m2）＝0，因而振幅不变，即m2gk1 +2khm1+m2m1/ k(m1+m2)/ km1/(m1+m2)AA / a max max 0 max max 9-25 质量为 0.10kg 的物体，以振幅 1.0×10-2 m 作简谐运动，其最大加速度为 4.0 ｍ·s -1求：（1） 振动的周期；（2） 物体通过平衡位置时的总能量与动能；（3） 物体在何处其动能和势能相等？ （4） 当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少？分析 在简谐运动过程中，物体的最大加速度 a = A ω 2，由此可确定振动的周期T ．另外，在简谐运动过程中机械能是守恒的，其中动能和势能互相交替转化，其总能量 E ＝kA 2/2．当动能与势能相等时，E k ＝E P ＝kA 2/4．因而可求解本题．解 （1） 由分析可得振动周期 T = 2π / ω = 2π = 0.314 s（2） 当物体处于平衡位置时，系统的势能为零，由机械能守恒可得系统的动能等于总能量，即 E = E = 1 mA 2ω 2 = 1 mAak 2 2max = 2.0 ⨯10-3 J（3） 设振子在位移 x 0 处动能与势能相等，则有kx 2 / 2 = kA 2 / 4得 x 0 = ± 2 A / 2 = ±7.07 ⨯10-3 m（４） 物体位移的大小为振幅的一半（即 x = A / 2 ）时的势能为 E = 1 kx 2 = 1 k ⎛ A ⎫ = E / 4 P 2 2 2 ⎪ ⎝ ⎭则动能为E K = E - E P = 3E / 4 9-26 一氢原子在分子中的振动可视为简谐运动．已知氢原子质量 m ＝1.68 ×10-27 Kg ，振动频率υ ＝1.0 ×1014 Hz ，振幅 A ＝1.0 ×10-11ｍ．试计算：（1） 此氢原子的最大速度；（2） 与此振动相联系的能量．解 （1） 简谐运动系统中振子运动的速度 v ＝－A ωsin （ωt ＋φ），故氢原子振动的最大速度为v = ωA = 2πvA = 6.28⨯102 m ⋅ s -1 （２） 氢原子的振动能量E = mv 2 / 2 = 3.31⨯10-20 J 9-27 质量 m ＝10g 的小球与轻弹簧组成一振动系统， 按 x = 0.5(8πt + π / 3) (cm )的规 律作自由振动，求（1） 振动的角频率、周期、振幅和初相；（2） 振动的能量 E ；（3） 一个周期内的平均动能和平均势能．解 （1） 将 x = 0.5(8πt + π / 3) (cm )与 x = A cos (ωt + ϕ )比较后可得：角频率ω = 8π s -1 ，振 幅 A ＝0.5cm ，初相 φ＝π/3，则周期 T ＝2π/ω＝0.25 ｓA + A + 2 A A cos ( 2 2 1 2 1 2 ϕ - ϕ ) 2 1（2） 简谐运动的能量 E = 1 mA 2ω 2 = 7.90 ⨯10-5 J （3） 简谐运动的动能和势能分别为 E = 1 mA 2ω 2sin 2 (ωt + ϕ ) K 2E = 1 mA 2ω 2cos 2 (ωt + ϕ ) P 2则在一个周期中，动能与势能对时间的平均值分别为E = 1 ⎰T 1 mA 2ω 2 sin 2 (ωt + ϕ )d t = mA 2ω 2 = 3.95 ⨯10-5 J T 0 2 4E = 1 ⎰T 1 mA 2ω 2 cos 2 (ωt + ϕ )d t = mA 2ω 2 = 3.95 ⨯10-5 J T 0 2 49-28已 知 两 同 方 向 、 同 频 率 的 简 谐 运 动 的 运 动 方 程 分 别 为 x 1= 0.05cos (10t + 0.75π) (m )； x 2 = 0.06cos (10t + 0.25π) (m ) ．求：（1） 合振动的振幅及初相；（2） 若有另一同方向、同频率的简谐运动 x 3 = 0.07co s (10t + ϕ3 ) (m )，则ϕ3 为多少时， x 1 ＋x 3 的振幅最大？ 又ϕ3 为多少时，x 2 ＋x 3 的振幅最小？题 9-28 图分析 可采用解析法或旋转矢量法求解.由旋转矢量合成可知，两个同方向、同频率简谐运动 的合成仍为一简谐运动，其角频率不变；合振动的振幅 A = ，其大小与两个分振动的初相差ϕ2 - ϕ1 相关．而合振动的初相位ϕ = arctan [(A s in ϕ + A sin ϕ ) / (A cos ϕ + A cos ϕ )] 1 1 2 2 1 1 2 2解 （1） 作两个简谐运动合成的旋转矢量图（如图）．因为∆ϕ 故合振动振幅为= ϕ2 - ϕ1 = -π / 2 ， A = 合振动初相位= 7.8 ⨯10-2 m ϕ = arctan [(A s in ϕ + A sin ϕ ) / (A cos ϕ + A cos ϕ )] 1 1 2 2 1 1 2 2= arctan11 = 1.48 rad （2） 要使 x 1 ＋x 3 振幅最大，即两振动同相，则由∆ϕ= 2k π 得 A + A + 2 A A cos ( 2 2 1 2 1 2 ϕ - ϕ ) 21 K PA 2 + A 2 + 2A 2cos (π + ϕ - ϕ ) 2 12ϕ3 = ϕ1 + 2k π = 2k π + 0.75π, k= 0,±1,±2,...要使 x 1 ＋x 3 的振幅最小，即两振动反相，则由()得 ϕ3 = ϕ2 + (2k + 1)π = 2k π + 1.25π, k = 0,±1,±2,...9-29 手电筒和屏幕质量均为 m ，且均被劲度系数为 k 的轻弹簧悬挂于同一水平面上，如 图所示．平衡时，手电筒的光恰好照在屏幕中心．设手电筒和屏幕相对于地面上下振动的表达式分别为 x 1 = A cos (ωt + ϕ1 )和 x 2 = A cos (ωt + ϕ2 )．试求在下述两种情况下，初相位 φ1 、φ2 应满足的条件：（1） 光点在屏幕上相对于屏静止不动；（2） 光点在屏幕上相对于屏作振幅 A ′＝2A 的振动．并说明用何种方式起动，才能得到上述结果．题 9-29 图分析 落在屏幕上的光点相对地面的运动和屏幕相对于地面的运动都已知道，且是两个简谐运动．因此由运动的合成不难写出光点相对屏的运动（实际上是两个同方向、同频率简谐运动的合成）．根据相对运动公式，有依题意x 光对地 = x 光对屏 + x 屏对地x 光对地 = x 1 = A cos (ωt + ϕ1 ) x 屏对地 = x 2 = A cos (ωt + ϕ2 ) 所以 x 光对屏 = x 1 - x 2 = x 1 + x 2'= A cos (ωt + ϕ1 ) + A cos (ωt + π + ϕ2 ) 可见光点对屏的运动就是两个同方向、同频率简谐运动 x 1 = A cos (ωt + ϕ1 ) 和 x 2' = A cos (ωt + π + ϕ2 )的合成．用与上题相同的方法即可求解本题．其中合运动振幅 A ' = ． 解 （1） 根据分析和参考上题求解，当要求任一时刻光点相对于屏不动，即 x 光对屏 = 0 ，就是 当π + ϕ2 - ϕ1 = (2k + 1)π 时，即ϕ = ϕ1 + 2k π 时（ k = 0,±1,±2,...），A ′＝0．当光点 相对于屏作振幅为 2A 的运动时，要求π + ϕ2 - ϕ1 = 2k π ，即ϕ2 = ϕ1 + (2k - 1)π ．（2） 由以上求解可知，要使光点相对于屏不动，就要求手电筒和屏的振动始终要同步， 即同相位，为此，把它们往下拉 A 位移后，同时释放即可；同理，要使光点对屏作振幅为 2A 的谐振动，两者必须相位相反，为此，让手电筒位于平衡点 0 上方的-A 处，而屏则位于+A 处同。
大学物理课后习题答案(赵近芳)下册
习题八 【2 】8-1 电量都是q 的三个点电荷,分离放在正三角形的三个极点．试问：(1)在这三角形的中间放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到均衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种均衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示(1) 以A 处点电荷为研讨对象,由力均衡知：q '为负电荷2220)33(π4130cos π412a q q a q '=︒εε解得 q q 33-=' (2)与三角形边长无关．题8-1图 题8-2图8-2 两小球的质量都是m ,都用长为l 的细绳挂在统一点,它们带有雷同电量,静止时两线夹角为2θ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以疏忽不计,求每个小球所带的电量． 解: 如题8-2图示⎪⎩⎪⎨⎧===220)sin 2(π41sin cos θεθθl q F T mg T e解得 θπεθtan 4sin 20mg l q = 8-3 依据点电荷场强公式204rq E πε=,当被考核的场点距源点电荷很近(r →0)时,则场强→∞,这是没有物理意义的,对此应若何懂得?解: 020π4r r q Eε=仅对点电荷成立,当0→r 时,带电体不能再视为点电荷,再用上式求场强是错误的,现实带电体有必定外形大小,斟酌电荷在带电体上的散布求出的场强不会是无穷大．8-4 在真空中有A ,B 两平行板,相对距离为d ,板面积为S ,其带电量分离为+q 和-q ．则这两板之间有互相感化力f ,有人说f =2024dq πε,又有人说,因为f =qE ,S q E 0ε=,所以f =Sq 02ε．试问这两种说法对吗?为什么? f到底应等于若干?解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的,第二种说法把合场强SqE 0ε=算作是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．精确解答应为一个板的电场为Sq E 02ε=,另一板受它的感化力Sq S qq f 02022εε==,这是两板间互相感化的电场力． 8-5 一电偶极子的电矩为l q p=,场点到偶极子中间O 点的距离为r ,矢量r与l的夹角为θ,(见题8-5图),且l r >>．试证P 点的场强E 在r 偏向上的分量r E 和垂直于r 的分量θE 分离为r E =302cos r p πεθ, θE =304sin r p πεθ证: 如题8-5所示,将p 分化为与r 平行的分量θsin p 和垂直于r的分量θsin p ．∵ l r >> ∴ 场点P 在r 偏向场强分量30π2cos rp E r εθ=垂直于r 偏向,即θ偏向场强分量300π4sin r p E εθ=题8-5图 题8-6图8-6 长l =15.0cm 的直导线AB 上平均地散布着线密度λ=5.0x10-9C ·m-1的正电荷．试求：(1)在导线的延长线上与导线B 端相距1a =5.0cm 处P 点的场强;(2)在导线的垂直等分线上与导线中点相距2d =5.0cm 处Q 点的场强．解： 如题8-6图所示(1)在带电直线上取线元x d ,其上电量q d 在P 点产生场强为20)(d π41d x a xE P -=λε222)(d π4d x a xE E l l P P -==⎰⎰-ελ]2121[π40l a l a +--=ελ)4(π220l a l-=ελ用15=l cm ,9100.5-⨯=λ1m C -⋅, 5.12=a cm 代入得21074.6⨯=P E 1C N -⋅ 偏向程度向右(2)同理2220d d π41d +=x xE Q λε 偏向如题8-6图所示 因为对称性⎰=l QxE 0d ,即Q E只有y 分量,∵ 22222220dd d d π41d ++=x x x E Qyλε22π4d d ελ⎰==l QyQy E E ⎰-+2223222)d (d l l x x2220d4π2+=l lελ以9100.5-⨯=λ1cm C -⋅, 15=l cm ,5d 2=cm 代入得21096.14⨯==Qy Q E E 1C N -⋅,偏向沿y 轴正向8-7 一个半径为R 的平均带电半圆环,电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强．解: 如8-7图在圆上取ϕRd dl =题8-7图ϕλλd d d R l q ==,它在O 点产生场壮大小为 20π4d d RR E εϕλ=偏向沿半径向外 则 ϕϕελϕd sin π4sin d d 0RE E x ==ϕϕελϕπd cos π4)cos(d d 0RE E y -=-=积分RR E x 000π2d sin π4ελϕϕελπ==⎰0d cos π400=-=⎰ϕϕελπRE y∴ RE E x 0π2ελ==,偏向沿x 轴正向．8-8 平均带电的细线弯成正方形,边长为l ,总电量为q ．(1)求这正方形轴线上离中间为r 处的场强E ;(2)证实：在l r >>处,它相当于点电荷q 产生的场强E ．解: 如8-8图示,正方形一条边上电荷4q在P 点产生物强P E d 偏向如图,大小为()4π4cos cos d 22021l r E P +-=εθθλ∵ 22cos 221l r l +=θ12cos cos θθ-=∴ 24π4d 22220l r l l r E P ++=ελP Ed 在垂直于平面上的分量βcos d d P E E =⊥∴ 424π4d 2222220l r rl r l r lE +++=⊥ελ题8-8图因为对称性,P 点场强沿OP 偏向,大小为2)4(π44d 422220l r l r lrE E P ++=⨯=⊥ελ∵ lq 4=λ ∴ 2)4(π422220l r l r qrE P ++=ε 偏向沿OP8-9 (1)点电荷q 位于一边长为a 的立方体中间,试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量;(2)假如该场源点电荷移动到该立方体的一个极点上,这时穿过立方体各面的电通量是若干?*(3)如题8-9(3)图所示,在点电荷q 的电场中取半径为R 的圆平面．q 在该平面轴线上的A 点处,求：经由过程圆平面的电通量．(xRarctan=α) 解: (1)由高斯定理0d εqS E s⎰=⋅立方体六个面,当q 在立方体中间时,每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量06εqe =Φ．(2)电荷在极点时,将立方体延长为边长a 2的立方体,使q 处于边长a 2的立方体中间,则边长a 2的正方形上电通量06εq e =Φ 对于边长a 的正方形,假如它不包含q 地点的极点,则024εqe =Φ, 假如它包含q 地点极点则0=Φe ．如题8-9(a)图所示．题8-9(3)图题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图 (3)∵经由过程半径为R 的圆平面的电通量等于经由过程半径为22x R +的球冠面的电通量,球冠面积*]1)[(π22222xR x x R S +-+=∴ )(π42200x R Sq +=Φε02εq=[221xR x +-]*关于球冠面积的盘算：见题8-9(c)图ααα⎰⋅=0d sin π2r r Sααα⎰⋅=02d sin π2r)cos 1(π22α-=r8-10 平均带电球壳内半径6cm,外半径10cm,电荷体密度为2×510-C ·m -3求距球心5cm,8cm ,12cm 各点的场强． 解: 高斯定理0d ε∑⎰=⋅q S E s,02π4ε∑=q rE当5=r cm 时,0=∑q ,0=E8=r cm 时,∑q 3π4p=3(r )3内r - ∴ ()2023π43π4rr r E ερ内-=41048.3⨯≈1C N -⋅, 偏向沿半径向外． 12=r cm 时,3π4∑=ρq -3(外r ）内3r ∴ ()420331010.4π43π4⨯≈-=rr r E ερ内外 1C N -⋅ 沿半径向外. 8-11 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无穷长同轴圆柱面,单位长度上分离带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ;(2) 1R ＜r ＜2R ;(3) r ＞2R 处各点的场强．解: 高斯定理0d ε∑⎰=⋅q S E s取同轴圆柱形高斯面,侧面积rl S π2=则 rl E S E Sπ2d =⋅⎰对(1) 1R r <0,0==∑E q(2) 21R r R << λl q =∑∴ rE 0π2ελ=沿径向向外(3) 2R r >=∑q∴ 0=E题8-12图8-12 两个无穷大的平行平面都平均带电,电荷的面密度分离为1σ和2σ,试求空间遍地场强．解: 如题8-12图示,两带电平面平均带电,电荷面密度分离为1σ与2σ, 两面间, n E)(21210σσε-=1σ面外, n E)(21210σσε+-= 2σ面外, n E)(21210σσε+=n：垂直于两平面由1σ面指为2σ面．8-13 半径为R 的平均带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为r ＜R 的小球体,如题8-13图所示．试求：两球心O 与O '点的场强,并证实小球空腔内的电场是平均的．解: 将此带电体看作带正电ρ的平均球与带电ρ-的平均小球的组合,见题8-13图(a)．(1) ρ+球在O 点产生电场010=E ,ρ- 球在O 点产生电场'd π4π3430320OO r E ερ= ∴ O 点电场'd33030OO r E ερ= ; (2) ρ+在O '产生电场'd π4d 3430301OO E ερπ=' ρ-球在O '产生电场002='E∴ O ' 点电场 003ερ='E 'OO题8-13图(a) 题8-13图(b)(3)设空腔任一点P 相对O '的位矢为r ',相对O 点位矢为r(如题8-13(b)图) 则 03ερr E PO =,03ερr E O P '-=' , ∴ 0003'3)(3ερερερd OO r r E E E O P PO P =='-=+=' ∴腔内场强是平均的．8-14 一电偶极子由q =1.0×10-6C 的两个异号点电荷构成,两电荷距离d=0.2cm,把这电偶极子放在1.0×105N ·C-1的外电场中,求外电场感化于电偶极子上的最大力矩． 解: ∵ 电偶极子p 在外场E 中受力矩E p M ⨯=∴ qlE pE M ==max 代入数字4536max 100.2100.1102100.1---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=M m N ⋅8-15 两点电荷1q =1.5×10-8C,2q =3.0×10-8C,相距1r =42cm,要把它们之间的距离变为2r =25cm,需作若干功?解: ⎰⎰==⋅=22210212021π4π4d d r r r r q q r r q q r F A εε )11(21r r - 61055.6-⨯-=J外力需作的功 61055.6-⨯-=-='A A J题8-16图8-16 如题8-16图所示,在A ,B 两点处放有电量分离为+q ,-q 的点电荷,AB 间距离为2R ,现将另一正实验点电荷0q 从O 点经由半圆弧移到C 点,求移动进程中电场力作的功．解: 如题8-16图示0π41ε=O U 0)(=-Rq R q 0π41ε=O U )3(R q R q -Rq 0π6ε-= ∴ R q q U U q A o C O 00π6)(ε=-= 8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上平均散布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R ．试求环中间O 点处的场强和电势． 解: (1)因为电荷平均散布与对称性,AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消,取θd d R l =则θλd d R q =产生O 点Ed 如图,因为对称性,O 点场强沿y 轴负偏向题8-17图θεθλππcos π4d d 2220⎰⎰-==R R E E yR 0π4ελ=［)2sin(π-2sin π-］ R 0π2ελ-=(2) AB 电荷在O 点产生电势,以0=∞U⎰⎰===AB 200012ln π4π4d π4d R R x x x x U ελελελ 同理CD 产生 2ln π402ελ=U 半圆环产生 0034π4πελελ==R R U ∴ 0032142ln π2ελελ+=++=U U U U O 8-18 一电子绕一带平均电荷的长直导线以2×104m ·s -1的匀速度作圆周活动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量0m =9.1×10-31kg,电子电量e =1.60×10-19C)解: 设平均带电直线电荷密度为λ,在电子轨道处场强rE 0π2ελ= 电子受力大小 r e eEF e 0π2ελ== ∴ rv m r e 20π2=ελ得 1320105.12π2-⨯==emv ελ1m C -⋅ 8-19 空气可以推却的场强的最大值为E =30kV ·cm -1,超过这个数值时空气要产生火花放电．今有一高压平行板电容器,极板间距离为d =0.5cm,求此电容器可推却的最高电压．解: 平行板电容器内部近似为平均电场∴ 4105.1d ⨯==E U V8-20 依据场强E 与电势U 的关系U E -∇=,求下列电场的场强：(1)点电荷q 的电场;(2)总电量为q ,半径为R 的平均带电圆环轴上一点;*(3)偶极子ql p =的l r >>处(见题8-20图)． 解: (1)点电荷 r q U 0π4ε= 题 8-20 图∴ 0200π4r r q r r U E ε=∂∂-= 0r 为r 偏向单位矢量． (2)总电量q ,半径为R 的平均带电圆环轴上一点电势220π4x R qU +=ε∴ ()i x R qx i x U E 2/3220π4+=∂∂-=ε(3)偶极子l q p =在l r >>处的一点电势200π4cos ])cos 21(1)cos 2(1[π4r ql l l r q U εθθθε=+--= ∴ 30π2cos r p r U E r εθ=∂∂-= 30π4sin 1rp U r E εθθθ=∂∂-= 8-21 证实：对于两个无穷大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说,(1)相向的两面上,电荷的面密度老是大小相等而符号相反;(2)相背的两面上,电荷的面密度老是大小相等而符号雷同．证: 如题8-21图所示,设两导体A .B 的四个平面平均带电的电荷面密度依次为1σ,2σ,3σ,4σ题8-21图 (1)则取与平面垂直且底面分离在A .B 内部的闭合柱面为高斯面时,有0)(d 32=∆+=⋅⎰S S E sσσ ∴ +2σ03=σ解释相向两面上电荷面密度大小相等.符号相反;(2)在A 内部任取一点P ,则其场强为零,并且它是由四个平均带电平面产生的场强叠加而成的,即0222204030201=---εσεσεσεσ 又∵ +2σ03=σ∴ 1σ4σ=解释相背两面上电荷面密度老是大小相等,符号雷同．8-22 三个平行金属板A ,B 和C 的面积都是200cm 2,A 和B 相距4.0mm,A 与C 相距2.0 mm ．B ,C 都接地,如题8-22图所示．假如使A 板带正电3.0×10-7C,略去边缘效应,问B 板和C 板上的感应电荷各是若干?以地的电势为零,则A 板的电势是若干?解: 如题8-22图示,令A 板左侧面电荷面密度为1σ,右侧面电荷面密度为2σ题8-22图(1)∵ AB AC U U =,即∴ AB AB AC AC E E d d =∴ 2d d 21===ACAB AB AC E E σσ 且 1σ+2σSq A =得 ,32S q A =σ Sq A 321=σ 而 7110232-⨯-=-=-=A C q S q σC C10172-⨯-=-=S q B σ (2) 301103.2d d ⨯===AC AC AC A E U εσV 8-23 两个半径分离为1R 和2R （1R ＜2R )的齐心薄金属球壳,现给内球壳带电+q ,试盘算：(1)外球壳上的电荷散布及电势大小;(2)先把外球壳接地,然后断开接地线从新绝缘,此时外球壳的电荷散布及电势;*(3)再使内球壳接地,此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量．解: (1)内球带电q +;球壳内表面带电则为q -,外表面带电为q +,且平均散布,其电势题8-23图⎰⎰∞∞==⋅=22020π4π4d d R R R q rr q r E U εε(2)外壳接地时,外表面电荷q +入地,外表面不带电,内表面电荷仍为q -．所以球壳电势由内球q +与内表面q -产生：0π4π42020=-=R q R qU εε(3)设此时内球壳带电量为q ';则外壳内表面带电量为q '-,外壳外表面带电量为+-q q ' (电荷守恒),此时内球壳电势为零,且0π4'π4'π4'202010=+-+-=R q q R q R q U A εεε 得 q R R q 21=' 外球壳上电势()22021202020π4π4'π4'π4'R q R R R q q R q R q U B εεεε-=+-+-= 8-24 半径为R 的金属球离地面很远,并用导线与地相联,在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ,试求：金属球上的感应电荷的电量．解: 如题8-24图所示,设金属球感应电荷为q ',则球接地时电势0=O U8-24图由电势叠加道理有：=O U 03π4π4'00=+Rq R q εε得 -='q 3q 8-25 有三个大小雷同的金属小球,小球1,2带有等量同号电荷,相距甚远,其间的库仑力为0F ．试求：(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分离接触1,2后移去,小球1,2之间的库仑力;(2)小球3依次瓜代接触小球1,2很多次后移去,小球1,2之间的库仑力．解: 由题意知 2020π4r q F ε= (1)小球3接触小球1后,小球3和小球1均带电2q q =', 小球3再与小球2接触后,小球2与小球3均带电q q 43='' ∴ 此时小球1与小球2间互相感化力 00220183π483π4"'2F r q r q q F =-=εε (2)小球3依次瓜代接触小球1.2很多次后,每个小球带电量均为32q . ∴ 小球1.2间的感化力00294π432322F r q q F ==ε *8-26 如题8-26图所示,一平行板电容器南北极板面积都是S,相距为d ,分离保持电势A U =U ,B U =0不变．现把一块带有电量q 的导体薄片平行地放在南北极板正中心,片的面积也是S,片的厚度略去不计．求导体薄片的电势． 解: 依次设A ,C ,B 从上到下的6个表面的面电荷密度分离为1σ,2σ,3σ,4σ,5σ,6σ如图所示．由静电均衡前提,电荷守恒定律及保持U U AB =可得以下6个方程题8-26图⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++==+=+-==+=+===+6543215432065430021001σσσσσσσσσσεσσσσεσσd US q S qdU U C S S q B A 解得 Sq261==σσSq d U2032-=-=εσσ Sq dU2054+=-=εσσ 所以CB 间电场 S qd U E 00422εεσ+==)2d (212d 02Sq U E U U CB C ε+=== 留意：因为C 片带电,所以2U U C ≠,若C 片不带电,显然2U U C = 8-27 在半径为1R 的金属球之外包有一层外半径为2R 的平均电介质球壳,介质相对介电常数为r ε,金属球带电Q ．试求： (1)电介质内.外的场强; (2)电介质层内.外的电势; (3)金属球的电势．解: 运用有介质时的高斯定理∑⎰=⋅q S D Sd(1)介质内)(21R r R <<场强303π4,π4r rQ E r r Q D r εε ==内;介质外)(2R r <场强303π4,π4rr Q E r Qr D ε ==外 (2)介质外)(2R r >电势rQE U 0rπ4r d ε=⋅=⎰∞ 外 介质内)(21R r R <<电势rd r d ⋅+⋅=⎰⎰∞∞rrE E U 外内2020π4)11(π4R Q R r qr εεε+-=)11(π420R r Qr r -+=εεε(3)金属球的电势r d r d 221 ⋅+⋅=⎰⎰∞R R R E E U 外内⎰⎰∞+=22220π44πdr R R Rr r Qdrr Q εεε)11(π4210R R Qr r-+=εεε 8-28 如题8-28图所示,在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r ε的电介质．试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值．解: 如题8-28图所示,充满电介质部分场强为2E ,真空部分场强为1E,自由电荷面密度分离为2σ与1σ 由∑⎰=⋅0d q S D得11σ=D ,22σ=D而 101E D ε=,202E D r εε=d21U E E == ∴r D D εσσ==1212题8-28图 题8-29图8-29 两个同轴的圆柱面,长度均为l ,半径分离为1R 和2R (2R ＞1R ),且l >>2R -1R ,两柱面之间充有介电常数ε的平均电介质.当两圆柱面分离带等量异号电荷Q 和-Q 时,求：(1)在半径r 处(1R ＜r ＜2R ＝,厚度为dr,长为l 的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和全部薄壳中的电场能量; (2)电介质中的总电场能量; (3)圆柱形电容器的电容． 解: 取半径为r 的同轴圆柱面)(S则 rlD S D S π2d )(=⋅⎰当)(21R r R <<时,Q q =∑∴ rlQD π2=(1)电场能量密度 22222π82l r Q D w εε==薄壳中 rlrQ rl r l r Q w W εευπ4d d π2π8d d 22222===(2)电介质中总电场能量⎰⎰===211222ln π4π4d d R R VR R l Q rl r Q W W εε (3)电容：∵ CQ W 22=∴ )/ln(π22122R R lW Q C ε== *8-30 金属球壳A 和B 的中间相距为r ,A 和B 本来都不带电．如今A 的中间放一点电荷1q ,在B 的中间放一点电荷2q ,如题8-30图所示．试求： (1) 1q 对2q 感化的库仑力,2q 有无加快度;(2)去掉落金属壳B ,求1q 感化在2q 上的库仑力,此时2q 有无加快度． 解: (1)1q 感化在2q 的库仑力仍知足库仑定律,即2210π41rq q F ε=但2q 处于金属球壳中间,它受合力．．为零,没有加快度． (2)去掉落金属壳B ,1q 感化在2q 上的库仑力仍是2210π41r q q F ε=,但此时2q 受合力不为零,有加快度．题8-30图 题8-31图8-31 如题8-31图所示,1C =0.25μF,2C =0.15μF,3C =0.20μF ．1C 上电压为50V ．求：AB U ． 解: 电容1C 上电量111U C Q =电容2C 与3C 并联3223C C C += 其上电荷123Q Q = ∴ 355025231123232⨯===C U C C Q U 86)35251(5021=+=+=U U U AB V 8-32 1C 和2C 两电容器分离标明“200 pF.500 V ”和“300 pF.900 V ”,把它们串联起来后等值电容是若干?假如两头加上1000 V 的电压,是否会击穿? 解: (1) 1C 与2C 串联后电容1203002003002002121=+⨯=+='C C C C C pF(2)串联后电压比231221==C C U U ,而100021=+U U ∴ 6001=U V ,4002=U V 即电容1C 电压超过耐压值会击穿,然后2C 也击穿．8-33 将两个电容器1C 和2C 充电到相等的电压U 今后割断电源,再将每一电容器的正极板与另一电容器的负极板相联．试求： (1)每个电容器的最终电荷; (2)电场能量的损掉．解: 如题8-33图所示,设联接后两电容器带电分离为1q ,2q题8-33图则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=+2122112*********U U U C U C q qU C U C q q q q 解得 (1) =1q U C C C C C q U C C C C C 21212221211)(,)(+-=+-(2)电场能量损掉W W W -=∆0)22()2121(2221212221C q C q U C U C +-+= 221212U C C C C +=8-34 半径为1R =2.0cm 的导体球,外衣有一齐心的导体球壳,壳的内.外半径分离为2R =4.0cm 和3R =5.0cm,当内球带电荷Q =3.0×10-8C 时,求：(1)全部电场储存的能量;(2)假如将导体壳接地,盘算储存的能量;(3)此电容器的电容值．解: 如图,内球带电Q ,外球壳内表面带电Q -,外表面带电Q题8-34图(1)在1R r <和32R r R <<区域0=E在21R r R <<时 301π4r rQ E ε=3R r >时 302π4rrQ E ε=∴在21R r R <<区域⎰=21d π4)π4(21222001R R r r rQ W εε ⎰-==21)11(π8π8d 2102202R R R R Q r r Q εε在3R r >区域⎰∞==32302220021π8d π4)π4(21R R Q r r r Q W εεε ∴ 总能量 )111(π83210221R R R Q W W W +-=+=ε41082.1-⨯=J(2)导体壳接地时,只有21R r R <<时30π4r rQ E ε=,02=W∴ 4210211001.1)11(π8-⨯=-==R R Q W W ε J(3)电容器电容 )11/(π422102R R Q W C -==ε 121049.4-⨯=F习题九9-1 在统一磁感应线上,各点B的数值是否都相等?为何不把感化于活动电荷的磁力偏向界说为磁感应强度B的偏向?解: 在统一磁感应线上,各点B的数值一般不相等．因为磁场感化于活动电荷的磁力偏向不仅与磁感应强度B的偏向有关,并且与电荷速度偏向有关,即磁力偏向并不是独一由磁场决议的,所以不把磁力偏向界说为B的偏向．题9-2图9-2 (1)在没有电流的空间区域里,假如磁感应线是平行直线,磁感应强度B的大小在沿磁感应线和垂直它的偏向上是否可能变化(即磁场是否必定是平均的)?(2)若消失电流,上述结论是否还对?解: (1)不可能变化,即磁场必定是平均的．如图作闭合回路abcd 可证实21B B=∑⎰==-=⋅0d 021I bc B da B l B abcdμ∴ 21B B=(2)若消失电流,上述结论不对．如无穷大平均带电平面两侧之磁力线是平行直线,但B偏向相反,即21B B ≠.9-3 用安培环路定理可否求有限长一段载流直导线四周的磁场?答: 不能,因为有限长载流直导线四周磁场固然有轴对称性,但不是稳恒电流,安培环路定理并不实用．9-4 在载流长螺线管的情况下,我们导出其内部nI B 0μ=,外面B =0,所以在载流螺线管外面围绕一周(见题9-4图)的环路积分⎰外B L·d l =0但从安培环路定理来看,环路L 中有电流I 穿过,环路积分应为⎰外B L·d l =I 0μ这是为什么?解: 我们导出nl B 0μ=内,0=外B 有一个假设的前提,即每匝电流均垂直于螺线管轴线．这时图中环路L 上就必定没有电流畅过,即也是⎰∑==⋅LI l B 0d 0μ 外,与⎰⎰=⋅=⋅Ll l B 0d 0d外是不抵触的．但这是导线横截面积为零,螺距为零的幻想模子．现实上以上假设并不真实消失,所以使得穿过L 的电流为I ,是以现实螺线管若是无穷长时,只是外B 的轴向分量为零,而垂直于轴的圆周偏向分量rIB πμ20=⊥,r 为管外一点到螺线管轴的距离．题 9 - 4 图9-5 假如一个电子在经由过程空间某一区域时不偏转,可否肯定这个区域中没有磁场?假如它发生偏转可否肯定谁人区域中消失着磁场?解：假如一个电子在经由过程空间某一区域时不偏转,不能肯定这个区域中没有磁场,也可能消失互相垂直的电场和磁场,电子受的电场力与磁场力抵消所致．假如它产生偏转也不能肯定谁人区域消失着磁场,因为仅有电场也可以使电子偏转．9-6 已知磁感应强度0.2=B Wb ·m-2的平均磁场,偏向沿x 轴正偏向,如题9-6图所示．试求：(1)经由过程图中abcd 面的磁通量;(2)经由过程图中befc 面的磁通量;(3)经由过程图中aefd 面的磁通量． 解： 如题9-6图所示题9-6图(1)经由过程abcd 面积1S 的磁通是24.04.03.00.211=⨯⨯=⋅=S BΦWb(2)经由过程befc 面积2S 的磁通量022=⋅=S BΦ(3)经由过程aefd 面积3S 的磁通量24.0545.03.02cos 5.03.0233=⨯⨯⨯=θ⨯⨯⨯=⋅=S BΦWb (或曰24.0-Wb )题9-7图9-7 如题9-7图所示,AB .CD 为长直导线,C B为圆心在O 点的一段圆弧形导线,其半径为R ．若通以电流I ,求O 点的磁感应强度．解：如题9-7图所示,O 点磁场由AB .C B.CD 三部分电流产生．个中AB 产生 01=BCD产生RIB 1202μ=,偏向垂直向里CD段产生 )231(2)60sin 90(sin 24003-πμ=-πμ=︒︒R I R I B ,偏向⊥向里 ∴)6231(203210ππμ+-=++=R I B B B B ,偏向⊥向里． 9-8 在真空中,有两根互相平行的无穷长直导线1L 和2L ,相距0.1m,通有偏向相反的电流,1I =20A,2I =10A,如题9-8图所示．A ,B 两点与导线在统一平面内．这两点与导线2L 的距离均为5.0cm ．试求A ,B 两点处的磁感应强度,以及磁感应强度为零的点的地位．题9-8图解：如题9-8图所示,A B偏向垂直纸面向里42010102.105.02)05.01.0(2-⨯=⨯+-=πμπμI I B A T(2)设0=B在2L 外侧距离2L 为r 处则02)1.0(220=-+rI r Iπμπμ 解得 1.0=r m题9-9图9-9 如题9-9图所示,两根导线沿半径偏向引向铁环上的A ,B 两点,并在很远处与电源相连．已知圆环的粗细平均,求环中间O 的磁感应强度． 解： 如题9-9图所示,圆心O 点磁场由直电流∞A 和∞B 及两段圆弧上电流1I 与2I 所产生,但∞A 和∞B 在O 点产生的磁场为零.且θ-πθ==21221R R I I 电阻电阻. 1I 产生1B偏向⊥纸面向外πθπμ2)2(2101-=R I B ,2I 产生2B偏向⊥纸面向里πθμ22202R I B =∴1)2(2121=-=θθπI I B B 有 0210=+=B B B9-10 在一半径R =1.0cm 的无穷长半圆柱形金属薄片中,自上而下地有电流I =5.0 A 经由过程,电流散布平均.如题9-10图所示．试求圆柱轴线任一点P 处的磁感应强度．题9-10图解：因为金属片无穷长,所以圆柱轴线上任一点P 的磁感应强度偏向都在圆柱截面上,取坐标如题9-10图所示,取宽为l d 的一无穷长直电流l RII d d π=,在轴上P 点产生Bd 与R 垂直,大小为RI R R R IR I B 20002d 2d 2d d πθμ=πθπμ=πμ= RI B B x 202d cos cos d d πθθμ=θ= RI B B y 202d sin )2cos(d d πθθμ-=θ+π= ∴ 520202221037.6)]2sin(2[sin 22d cos -ππ-⨯=πμ=π--ππμ=πθθμ=⎰RI R I R I B x T0)2d sin (2220=πθθμ-=⎰ππ-RI B y ∴ i B51037.6-⨯= T9-11 氢原子处在基态时,它的电子可看作是在半径a =0.52×10-8cm 的轨道上作匀速圆周活动,速度v =2.2×108cm ·s -1．求电子在轨道中间所产生的磁感应强度和电子磁矩的值．解：电子在轨道中间产生的磁感应强度3004a av e B πμ ⨯=如题9-11图,偏向垂直向里,大小为134200==aevB πμ T 电子磁矩m P在图中也是垂直向里,大小为242102.92-⨯===eva a T e P m π 2m A ⋅ 题9-11图 题9-12图9-12 两平行长直导线相距d =40cm,每根导线载有电流1I =2I =20A,如题9-12图所示．求：(1)两导线地点平面内与该两导线等距的一点A 处的磁感应强度; (2)经由过程图中斜线所示面积的磁通量．(1r =3r =10cm,l =25cm)．解：(1) 52010104)2(2)2(2-⨯=+=d I d I B A πμπμ T偏向⊥纸面向外(2)取面元r l S d d =612010110102.23ln 31ln 23ln 2])(22[1211-+⨯=πμ=πμ-πμ=-πμ+πμ=⎰lI l I l I ldr r d I r I r r r ΦWb9-13 一根很长的铜导线载有电流10A,设电流平均散布.在导线内部作一平面S ,如题9-13图所示．试盘算经由过程S 平面的磁通量(沿导线长度偏向取长为1m 的一段作盘算)．铜的磁导率0μμ=.解：由安培环路定律求距圆导线轴为r 处的磁感应强度⎰∑μ=⋅lI l B 0d2202RIr r B μπ=∴ 202RIrB πμ=题 9-13 图磁通量 60020)(1042-===⋅=Φ⎰⎰πμπμI dr R Ir S d B R s m Wb9-14 设题9-14图中两导线中的电流均为8A,对图示的三条闭合曲线a ,b ,c ,分离写出安培环路定理等式右边电流的代数和．并评论辩论：(1)在各条闭合曲线上,各点的磁感应强度B的大小是否相等?(2)在闭合曲线c 上各点的B是否为零?为什么?解： ⎰μ=⋅al B 08d⎰μ=⋅bal B 08d⎰=⋅cl B 0d(1)在各条闭合曲线上,各点B的大小不相等．(2)在闭合曲线C 上各点B 不为零．只是B的环路积分为零而非每点0=B．题9-14图题9-15图9-15 题9-15图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面,内.外半径分离为a ,b ,导体内载有沿轴线偏向的电流I ,且I 平均地散布在管的横截面上．设导体的磁导率0μμ≈,试证实导体内部各点)(b r a << 的磁感应强度的大小由下式给出：r a r a b IB 22220)(2--=πμ解：取闭合回路r l π2= )(b r a <<则 ⎰π=⋅lr B l B 2d2222)(a b Ia r I ππππ--=∑∴ )(2)(22220a b r a r I B --=πμ 9-16 一根很长的同轴电缆,由一导体圆柱(半径为a )和一同轴的导体圆管(内.外半径分离为b ,c )构成,如题9-16图所示．运用时,电流I 从一导体流去,从另一导体流回．设电流都是平均地散布在导体的横截面上,求：(1)导体圆柱内(r ＜a ),(2)两导体之间(a ＜r ＜b ),（3）导体圆筒内(b ＜r ＜c )以及(4)电缆外(r ＞c )各点处磁感应强度的大小解：⎰∑μ=⋅LI l B 0d(1)a r < 2202RIr r B μπ=202RIrB πμ=(2) b r a << I r B 02μπ=rIB πμ20=(3)c r b << I bc b r I r B 0222202μμπ+---= )(2)(22220b c r r c I B --=πμ (4)c r > 02=r B π0=B题9-16图题9-17图9-17 在半径为R 的长直圆柱形导体内部,与轴线平行地挖成一半径为r 的长直圆柱形空腔,两轴间距离为a ,且a ＞r ,横截面如题9-17图所示．如今电流I 沿导体管流淌,电流平均散布在管的横截面上,而电流偏向与管的轴线平行．求：(1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小;(2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小．解：空间各点磁场可看作半径为R ,电流1I 平均散布在横截面上的圆柱导体和半径为r 电流2I -平均散布在横截面上的圆柱导体磁场之和． (1)圆柱轴线上的O 点B 的大小：电流1I 产生的01=B ,电流2I -产生的磁场222020222r R Ir a a I B -==πμπμ∴ )(222200r R a Ir B -=πμ(2)空心部分轴线上O '点B 的大小：电流2I 产生的02='B , 电流1I 产生的222022r R Ia a B -πμ=')(2220r R Ia -=πμ∴ )(22200r R IaB -='πμ题9-18图9-18 如题9-18图所示,长直电流1I 邻近有一等腰直角三角形线框,通以电流2I ,二者共面．求△ABC 的各边所受的磁力．解： ⎰⨯=ABAB B l I F d 2daI I d I aI F AB πμπμ22210102== 偏向垂直AB 向左 ⎰⨯=CAAC B l I F d 2 偏向垂直AC 向下,大小为⎰++πμ=πμ=ad dAC dad I I r I rI F ln22d 210102 同理 BC F偏向垂直BC 向上,大小⎰+πμ=ad dBc rI lI F 2d 102 ∵ ︒=45cos d d rl∴ ⎰++πμ=︒πμ=ad aBC d ad I I r r I I F ln 245cos 2d 210120题9-19图9-19 在磁感应强度为B的平均磁场中,垂直于磁场偏向的平面内有一段载流曲折导线,电流为I ,如题9-19图所示．求其所受的安培力．解：在曲线上取ld 则 ⎰⨯=baab B l I F d∵ l d 与B 夹角l d <,2π>=B不变,B是平均的．∴ ⎰⎰⨯=⨯=⨯=b ab aab B ab I B l I B l I F)d (d偏向⊥ab 向上,大小BI F ab =ab题9-20图9-20 如题9-20图所示,在长直导线AB 内通以电流1I =20A,在矩形线圈CDEF 中通有电流2I =10 A,AB 与线圈共面,且CD ,EF 都与AB 平行．已知a =9.0cm,b =20.0cm,d =1.0 cm,求： (1)导线AB 的磁场对矩形线圈每边所感化的力; (2)矩形线圈所受合力和合力矩．解：(1)CD F偏向垂直CD 向左,大小4102100.82-⨯==dI bI F CD πμ N 同理FE F偏向垂直FE 向右,大小5102100.8)(2-⨯=+=a d I bI F FE πμ NCF F偏向垂直CF 向上,大小为⎰+-⨯=+πμ=πμ=ad dCF dad I I r r I I F 5210210102.9ln 2d 2 N ED F偏向垂直ED 向下,大小为5102.9-⨯==CF ED F F N(2)合力ED CF FE CD F F F F F+++=偏向向左,大小为4102.7-⨯=F N合力矩B P M m⨯=∵ 线圈与导线共面∴ B P m //0=M．题9-21图9-21 边长为l =0.1m 的正三角形线圈放在磁感应强度B =1T 的平均磁场中,线圈平面与磁场偏向平行.如题9-21图所示,使线圈通以电流I =10A,求： (1)线圈每边所受的安培力; (2)对O O '轴的磁力矩大小;(3)从地点地位转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功．解： (1) 0=⨯=B l I F bcB l I F ab⨯= 偏向⊥纸面向外,大小为866.0120sin ==︒IlB F ab NB l I F ca⨯=偏向⊥纸面向里,大小866.0120sin ==︒IlB F ca N(2)IS P m =B P M m⨯= 沿O O '偏向,大小为221033.443-⨯===B l I ISB M m N ⋅(3)磁力功 )(12ΦΦ-=I A∵ 01=Φ B l 2243=Φ ∴ 221033.443-⨯==B l IA J9-22 一正方形线圈,由细导线做成,边长为a ,共有N 匝,可以绕经由过程其相对双方中点的一个竖直轴自由迁移转变．如今线圈中通有电流I ,并把线圈放在平均的程度外磁场B中,线圈对其转轴的迁移转变惯量为J .求线圈绕其均衡地位作渺小振动时的振动周期T .解：设微振动时线圈振动角度为θ (>=<θB P m,),则θθsin sin 2B NIa B P M m ==由迁移转变定律 θθθB NIa B NIa at J 2222sin d -≈-=即 0222=+θθJ BNIa dtd ∴ 振动角频率 JBNIa 2=ω 周期 IBNa JT 222πωπ==9-23 一长直导线通有电流1I ＝20A,旁边放一导线ab ,个中通有电流2I =10A,且两者共面,如题9-23图所示．求导线ab 所受感化力对O 点的力矩．解：在ab 上取r d ,它受力ab F ⊥d 向上,大小为rI rI F πμ2d d 102= F d 对O 点力矩F r M ⨯=d Md 偏向垂直纸面向外,大小为r I I F r M d 2d d 210πμ== ⎰⎰-⨯===ba bar I I M M 6210106.3d 2d πμ m N ⋅题9-23图题9-24图9-24 如题9-24图所示,一平面塑料圆盘,半径为R ,表面带有面密度为σ残剩电荷．假定圆盘绕其轴线A A '以角速度ω (rad ·s -1)迁移转变,磁场B的偏向垂直于转轴A A '．试证磁场感化于圆盘的力矩的大小为44BR M πσω=．(提醒：将圆盘分成很多齐心圆环来斟酌．)解：取圆环r r S d 2d π=,它等效电流q T q I d 2d d πω==r r S d d 2ωσσπω==等效磁矩 r r I r P m d d d 32πωσπ==受到磁力矩 B P M m⨯=d d ,偏向⊥纸面向内,大小为rB r B P M m d d d 3πωσ=⨯=4d d 403BR r r B M M Rπσωπωσ===⎰⎰9-25 电子在B =70×10-4T 的匀强磁场中作圆周活动,圆周半径r =3.0cm ．已知B 垂直于纸面向外,某时刻电子在A 点,速度v向上,如题9-25图．(1)试画出这电子活动的轨道; (2)求这电子速度v的大小; (3)求这电子的动能k E ．题9-25图解：(1)轨迹如图(2)∵ rv m evB 2=∴ 7107.3⨯==m eBrv 1s m -⋅ (3) 162K 102.621-⨯==mv E J9-26 一电子在B =20×10-4T 的磁场中沿半径为R =2.0cm 的螺旋线活动,螺距h=5.0cm,如题9-26图． (1)求这电子的速度;(2)磁场B的偏向若何?解: (1)∵ eBmv R θcos =θπcos 2v eBmh =题9-26 图∴ 6221057.7)2()(⨯=+=meBh m eBR v π1s m -⋅ (2)磁场B的偏向沿螺旋线轴线．或向上或向下,由电子扭转偏向肯定． 9-27 在霍耳效应实验中,一宽1.0cm,长4.0cm,厚1.0×10-3cm 的导体,沿长度偏向载有3.0A 的电流,当磁感应强度大小为B =1.5T 的磁场垂直地经由过程该导体时,产生1.0×10-5V 的横向电压．试求： (1)载流子的漂移速度; (2)每立方米的载流子数量．解: (1)∵ evB eE H = ∴lBU B E v HH ==l 为导体宽度,0.1=l cm。
大学物理(下册)课后部分习题答案
２
ｊ
１１畅１３（ ａ）
１１畅１３（ ｂ）
（２） 设该异线应放在 ｙ ＝ － ｄ 处 ，显然 ，该异线在轴线处产生的磁成应强度应
与原来的半圆柱面产生的磁感应强度相同 ，即
μ０ Ｉ ２π ｄ
＝
μ０ Ｉ π２ Ｒ
所以
ｄ＝
πＲ ２
因面 ，另一导线应放在 ｙ ＝ － π２Ｒ处 ．
１２唱７ 均匀磁场 Ｂ 被限制在半径 Ｒ ＝ ０ ．１０ ｍ 的无限长圆柱空间内 ，方向垂
同理 ，空腔轴线上的磁感应强度
因 Ｒ２ ＝ ０ ，Ｂ０′２ ＝ ０ ，故
Ｂ０′ ＝ Ｂ０′１ ＋ Ｂ０′２
Ｂ０′１
＝
μ０ Ｉａ ２π（ Ｒ２１ － Ｒ２２ ）
＝
２ × １０ －４ Ｔ
１１畅１３ 如图１１畅１３（ ａ）所示 ，一半径为 Ｒ 的无限长半圆柱面导体 ，其上电流与其
轴线上一无限长直导线的电流等值反向 ，电流 Ｉ 在半圆柱面上均匀分布 ．试求 ：
当 ｒ ＜ Ｒ１ 时 ，有
促 Ｅ · ｄ Ｓ ＝ Ｅ · ４π ｒ２ ＝ ０
Ｓ
Ｅ ＝０
当 Ｒ１ ＜ ｒ ＜ Ｒ２ 时 ，有
促Ｓ
Ｅ · ｄ Ｓ ＝ Ｅ · ４π ｒ２ ＝
１ ε０
ｑ
Ｅ
＝
１ ４π ε０
ｑ ｒ２
当 ｒ ＞ Ｒ２ 时 ，有
促Ｓ
Ｅ · ｄ Ｓ ＝ Ｅ · ４π ｒ２ ＝
１ ε０
ａｂ · ｈ
＝ １６００π － ４ ３ × １０ －２ Ｖ 式中 ｈ 为由 Ｏ 到ａｂ的垂直距离 ，感应电流沿顺时针方向 ．
∮ 此题也可用 Ｅｉ ＝ Ｅｖ · ｄ ｌ 公式直接积分求解 ．
图 １２ 唱７
《大学物理学》第二版下册习题解答
大学物理学第二版下册习题解答第一章：力学1.1 力学基本概念1.1.1 力的概念问题：什么是力？力的种类有哪些？解答：力是物体之间相互作用导致的物体运动或形变的原因。
力可以分为以下几种：•接触力：当两个物体接触时产生的力，如弹簧力、摩擦力等。
•引力：天体之间由于引力而产生的力，如地球引力、行星引力等。
•重力：地球上物体受到的引力，是一种特殊的引力。
•弹力：当物体被弹性体拉伸或压缩时，物体回复原状所产生的力。
•阻力：物体在流体中运动时受到的阻碍力，如空气阻力、水阻力等。
1.1.2 力的合成与分解问题：什么是力的合成与分解？如何进行力的合成与分解?解答：力的合成是指将多个力按照一定的规律合成为一个力的过程。
力的分解是指将一个力按照一定的规律分解为多个力的过程。
力的合成可以使用力的三角法进行。
假设有两个力F₁、F₂，其方向分别为α₁、α₂，大小分别为|F₁|、|F₂|，则合力F的大小可以通过以下公式计算：F = √(F₁² + F₂² + 2F₁F₂cos(α₁-α₂))合力F的方向则可以通过以下公式计算：tan(θ) = (F₂sin(α₁-α₂))/(F₁+F₂cos(α₁-α₂))力的分解可以使用力的正弦法和余弦法进行。
假设有一个力F，其大小为|F|，方向为α，要将该力分解为水平方向的力F x和竖直方向的力F x，可以通过以下公式计算：Fₓ = |F|cosα, Fᵧ = |F|sinα1.2 牛顿定律与惯性1.2.1 牛顿第一定律问题：什么是牛顿第一定律？牛顿第一定律适用于哪些情况？解答：牛顿第一定律，也称为惯性定律，指的是：物体在没有受到外力或受到的合外力为零时，物体保持静止或匀速直线运动的状态。
牛顿第一定律适用于只有一个物体或多个物体之间相互独立运动的情况。
当物体受到外力时，按照该定律，物体会发生运动或停止运动。
1.2.2 牛顿第二定律问题：什么是牛顿第二定律？如何计算物体所受合外力和加速度的关系？解答：牛顿第二定律指的是：物体所受合外力等于物体的质量乘以加速度。
大学物理课后习题答案(赵近芳)下册
习题八之巴公井开创作8-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?解: 如题8-1图示(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷解得 q q 33-=' (2)与三角形边长无关．题8-1图 题8-2图8-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量． 解: 如题8-2图示 解得 θπεθtan 4sin 20mg l q =8-3 根据点电荷场强公式204rq E πε=，当被考察的场点距源点电荷很近(r →0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?解: 020π4r r q Eε=仅对点电荷成立，当0→r 时，带电体不克不及再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．8-4 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为+q 和-q ．则这两板之间有相互作用力f ，有人说f =2024dq πε,又有人说，因为f =qE ,SqE 0ε=，所以f =Sq 02ε．试问这两种说法对吗?为什么? f 到底应等于多少?解: 题中的两种说法均分歧错误．第一种说法中把两带电板视为点电荷是分歧错误的，第二种说法把合场强Sq E 0ε=看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是分歧错误的．正确解答应为一个板的电场为Sq E 02ε=，另一板受它的作用力Sq S qq f 02022εε==，这是两板间相互作用的电场力．8-5 一电偶极子的电矩为l q p=，场点到偶极子中心O点的距离为r ,矢量r 与l的夹角为θ,(见题8-5图)，且l r >>．试证P 点的场强E 在r 方向上的分量r E 和垂直于r的分量θE 分别为r E =302cos r p πεθ, θE =304sin rp πεθ证: 如题8-5所示，将p 分解为与r平行的分量θsin p 和垂直于r 的分量θsin p ．∵ l r >> ∴ 场点P 在r 方向场强分量 垂直于r 方向，即θ方向场强分量题8-5图 题8-6图 8-6 长l的直导线AB 上均匀地分布着线密度λx10-9C ·m-1的正电荷．试求：(1)在导线的延长线上与导线B 端相距1a 处P 点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2d 处Q 点的场强．解： 如题8-6图所示(1)在带电直线上取线元x d ，其上电量q d 在P 点发生场强为用15=l cm ，9100.5-⨯=λ1m C -⋅, 5.12=a cm 代入得21074.6⨯=P E 1C N -⋅方向水平向右(2)同理 2220d d π41d +=x x E Q λε 方向如题8-6图所示由于对称性⎰=l QxE 0d ，即Q E只有y 分量，∵ 22222220dd d d π41d ++=x x x E Qyλε以9100.5-⨯=λ1cm C -⋅, 15=l cm ,5d 2=cm 代入得21096.14⨯==Q y Q E E 1C N -⋅，方向沿y 轴正向8-7 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强．解: 如8-7图在圆上取ϕRd dl =题8-7图ϕλλd d d R l q ==，它在O 点发生场强大小为20π4d d R R E εϕλ=方向沿半径向外则 ϕϕελϕd sin π4sin d d 0RE E x ==积分R R E x 000π2d sin π4ελϕϕελπ==⎰ ∴ RE E x 0π2ελ==，方向沿x 轴正向．8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l ，总电量为q ．(1)求这正方形轴线上离中心为r 处的场强E ；(2)证明：在l r >>处，它相当于点电荷q 发生的场强E ．解: 如8-8图示，正方形一条边上电荷4q 在P 点发生物强P Ed 方向如图，大小为∵ 22cos 221l r l +=θ∴ 24π4d 22220l r l l r E P ++=ελP Ed 在垂直于平面上的分量βcos d d P E E =⊥∴ 424π4d 2222220l r rl r l r lE +++=⊥ελ题8-8图由于对称性，P 点场强沿OP 方向，大小为 ∵ lq 4=λ∴ 2)4(π422220l r l r qrE P ++=ε 方向沿OP8-9 (1)点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷q 的电场中取半径为R 的圆平面．q 在该平面轴线上的A 点处，求：通过圆平面的电通量．(xR arctan=α)解: (1)由高斯定理0d εqS E s ⎰=⋅立方体六个面，当q 在立方体中心时，每个面上电通量相等∴ 各面电通量06εq e =Φ．(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长a 2的立方体，使q 处于边长a 2的立方体中心，则边长a 2的正方形上电通量06εq e =Φ 对于边长a 的正方形，如果它不包含q 所在的顶点，则24εq e =Φ，如果它包含q 所在顶点则0=Φe ． 如题8-9(a)图所示．题8-9(3)图题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图(3)∵通过半径为R 的圆平面的电通量等于通过半径为22x R +的球冠面的电通量，球冠面积*∴ )(π42200x R Sq +=Φε02εq =[221xR x +-]*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图8-10 均匀带电球壳内半径6cm ，外半径10cm ，电荷体密度为2×510-C ·m -3求距球心5cm ，8cm ,12cm 各点的场强．解: 高斯定理0d ε∑⎰=⋅qS E s,02π4ε∑=q r E当5=r cm 时，0=∑q ,0=E8=r cm 时，∑q 3π4p=3(r )3内r - ∴ ()2023π43π4rr r E ερ内-=41048.3⨯≈1C N -⋅， 方向沿半径向外．12=r cm时,3π4∑=ρq -3(外r ）内3r ∴ ()420331010.4π43π4⨯≈-=rr r E ερ内外 1C N -⋅ 沿半径向外. 8-11 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强．解: 高斯定理0d ε∑⎰=⋅qS E s取同轴圆柱形高斯面，正面积rl S π2=则 rl E S E Sπ2d =⋅⎰对(1) 1R r < 0,0==∑E q (2) 21R r R << λl q =∑ ∴ rE 0π2ελ=沿径向向外(3) 2R r > 0=∑q∴ 0=E题8-12图8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1σ和2σ，试求空间各处场强．解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1σ与2σ，两面间， n E)(21210σσε-=1σ面外， n E)(21210σσε+-=2σ面外， n E)(21210σσε+=n：垂直于两平面由1σ面指为2σ面．8-13 半径为R 的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为r ＜R 的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心O 与O '点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．解: 将此带电体看作带正电ρ的均匀球与带电ρ-的均匀小球的组合，见题8-13图(a)．(1) ρ+球在O 点发生电场010=E，ρ-球在O 点发生电场'd π4π3430320OO r E ερ=∴ O 点电场'd33030OO r E ερ= ； (2) ρ+在O '发生电场'dπ4d 3430301OO E ερπ='ρ-球在O '发生电场002='E∴ O ' 点电场 003ερ='E 'OO题8-13图(a) 题8-13图(b)(3)设空腔任一点P 相对O '的位矢为r'，相对O 点位矢为r(如题8-13(b)图)则 03ερr E PO =，3ερr E O P '-=' , ∴ 0003'3)(3ερερερdOO r r E E E O P PO P=='-=+=' ∴腔内场强是均匀的． 8-14 一电偶极子由q ×10-6C的两个异号点电荷组成，两电荷距离，把这电偶极子放在×105N ·C -1的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩．解: ∵ 电偶极子p在外场E 中受力矩∴ qlE pE M ==max 代入数字8-15 两点电荷1q ×10-8C ，2q ×10-8C ，相距1r =42cm ，要把它们之间的距离变成2r =25cm ，需作多少功?解: ⎰⎰==⋅=22210212021π4π4d d r rr r q q r r q q r F A εε)11(21r r - 外力需作的功 61055.6-⨯-=-='A A J题8-16图8-16 如题8-16图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力作的功．解: 如题8-16图示∴ Rqq U U q A o C O 00π6)(ε=-=8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R ．试求环中心O 点处的场强和电势．解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB 和CD 段电荷在O 点发生的场强互相抵消，取θd d R l =则θλd d R q =发生O 点E d 如图，由于对称性，O 点场强沿y 轴负方向题8-17图R0π4ελ=［)2sin(π-2sin π-］(2) AB 电荷在O 点发生电势，以0=∞U 同理CD 发生 2ln π402ελ=U 半圆环发生 0034π4πελελ==R R U ∴ 0032142ln π2ελελ+=++=U U U U O 8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104m ·s -1的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量0m ×10-31kg ，电子电量e ×10-19C) 解: 设均匀带电直线电荷密度为λ，在电子轨道处场强电子受力大小 re eE F e 0π2ελ==∴ rv m r e 20π2=ελ得 1320105.12π2-⨯==emv ελ1m C -⋅ 8-19 空气可以承受的场强的最大值为E =30kV ·cm -1，超出这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为d ，求此电容器可承受的最高电压．解: 平行板电容器内部近似为均匀电场 ∴ 4105.1d ⨯==E U V8-20 根据场强E与电势U的关系UE -∇=，求下列电场的场强：(1)点电荷q 的电场；(2)总电量为q ，半径为R 的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子ql p =的l r >>处(见题8-20图)．解: (1)点电荷 rq U 0π4ε= 题8-20 图∴ 0200π4r rq r r U E ε=∂∂-= 0r 为r 方向单位矢量． (2)总电量q ，半径为R 的均匀带电圆环轴上一点电势∴ ()i x R qxi x U E2/3220π4+=∂∂-=ε(3)偶极子l q p=在l r >>处的一点电势∴ 30π2cos rp r U E r εθ=∂∂-= 8-21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同．证: 如题8-21图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ，2σ，3σ，4σ题8-21图(1)则取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合柱面为高斯面时，有∴ +2σ03=σ 说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反； (2)在A 内部任取一点P ，则其场强为零，而且它是由四个均匀带电平面发生的场强叠加而成的，即 又∵ +2σ03=σ ∴ 1σ4σ=说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．8-22 三个平行金属板A ，B 和C 的面积都是200cm 2，A 和B 相距，A 与C 相距2.0 mm ．B ，C 都接地，如题8-22图所示．如果使A 板带正电×10-7C ，略去边沿效应，问B 板和C 板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A 板的电势是多少?解: 如题8-22图示，令A 板左正面电荷面密度为1σ，右正面电荷面密度为2σ题8-22图(1)∵ AB AC U U =，即 ∴ AB AB AC AC E E d d = ∴2d d 21===ACABAB AC E E σσ 且 1σ+2σSq A=得 ,32S q A =σ Sq A 321=σ 而 7110232-⨯-=-=-=A C q S q σCC10172-⨯-=-=S q B σ(2) 301103.2d d ⨯===AC AC AC A E U εσV 8-23 两个半径分别为1R 和2R （1R ＜2R )的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q ，试计算：(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；*(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量．解: (1)内球带电q +；球壳内概况带电则为q -,外概况带电为q +，且均匀分布，其电势题8-23图(2)外壳接地时，外概况电荷q +入地，外概况不带电，内概况电荷仍为q -．所以球壳电势由内球q +与内概况q -发生：(3)设此时内球壳带电量为q '；则外壳内概况带电量为q '-，外壳外概况带电量为+-q q ' (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且得 q R R q 21=' 外球壳上电势8-24 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量．解: 如题8-24图所示，设金属球感应电荷为q '，则球接地时电势0=O U8-24图由电势叠加原理有：得 -='q 3q 8-25 有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为0F ．试求： (1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力；(2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2之间的库仑力．解: 由题意知 2020π4rq F ε=(1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电2q q =', 小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电 ∴ 此时小球1与小球2间相互作用力(2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为32q . ∴ 小球1、2间的作用力00294π432322F r qq F ==ε*8-26 如题8-26图所示，一平行板电容器两极板面积都是S ，相距为d ，分别维持电势A U =U ，B U =0不变．现把一块带有电量q 的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面积也是S ，片的厚度略去不计．求导体薄片的电势．解: 依次设A ,C ,B 从上到下的6个概况的面电荷密度分别为1σ，2σ，3σ，4σ,5σ,6σ如图所示．由静电平衡条件，电荷守恒定律及维持U U AB =可得以下6个方程题8-26图解得 Sq 261==σσ 所以CB 间电场 Sqd U E 00422εεσ+==注意：因为C 片带电，所以2U U C ≠，若C 片不带电，显然2U U C =8-27 在半径为1R 的金属球之外包有一层外半径为2R 的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为r ε，金属球带电Q ．试求：(1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势．解: 利用有介质时的高斯定理∑⎰=⋅q S D Sd (1)介质内)(21R r R <<场强303π4,π4r rQ E r r Q D r εε ==内;介质外)(2R r <场强 (2)介质外)(2R r >电势 介质内)(21R r R <<电势 (3)金属球的电势8-28 如题8-28图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r ε的电介质．试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值． 解: 如题8-28图所示，充满电介质部分场强为2E，真空部分场强为1E，自由电荷面密度分别为2σ与1σ 由∑⎰=⋅0d q S D得11σ=D ，22σ=D而 101E D ε=,202E D r εε= ∴r D D εσσ==1212 题8-28图 题8-29图8-29 两个同轴的圆柱面，长度均为l ，半径分别为1R 和2R (2R ＞1R )，且l >>2R -1R ，两柱面之间充有介电常数εQ 和-Q 时，求：(1)在半径r 处(1R ＜r ＜2R ＝，厚度为dr ，长为l 的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量；(2)电介质中的总电场能量； (3)圆柱形电容器的电容．解: 取半径为r 的同轴圆柱面)(S则 rlD S D S π2d )(=⋅⎰当)(21R r R <<时，Q q =∑∴ rlQD π2=(1)电场能量密度 22222π82l r Q D w εε== 薄壳中 rlrQ rl r l r Q w W εευπ4d d π2π8d d 22222===(2)电介质中总电场能量(3)电容：∵ CQ W 22=∴ )/ln(π22122R R lW Q C ε== *8-30 金属球壳A 和B 的中心相距为r ，A 和B 原来都不带电．现在A 的中心放一点电荷1q ，在B 的中心放一点电荷2q ，如题8-30图所示．试求： (1) 1q 对2q 作用的库仑力，2q 有无加速度；(2)去掉金属壳B ，求1q 作用在2q 上的库仑力，此时2q 有无加速度．解: (1)1q 作用在2q 的库仑力仍满足库仑定律，即 但2q 处于金属球壳中心，它受合力．．为零，没有加速度．(2)去掉金属壳B，1q 作用在2q 上的库仑力仍是2210π41r q q F ε=，但此时2q 受合力不为零，有加速度． 题8-30图题8-31图8-31 如题8-31图所示，1C =μF ，2C =μF ，3C =μF ．1C 上电压为50V ．求：AB U ．解: 电容1C 上电量电容2C 与3C 并联3223C C C += 其上电荷123Q Q =∴ 355025231123232⨯===C U C C Q U 8-32 1C 和2C 两电容器分别标明“200 pF 、500 V”和“300 pF、900 V”，把它们串联起来后等值电容是多少?如果两端加上1000 V的电压，是否会击穿?解: (1) 1C 与2C 串联后电容 (2)串联后电压比231221==C C U U ，而100021=+U U∴ 6001=U V ,4002=U V即电容1C 电压超出耐压值会击穿，然后2C 也击穿． 8-33 将两个电容器1C 和2C 充电到相等的电压U 以后切断电源，再将每一电容器的正极板与另一电容器的负极板相联．试求：(1)每个电容器的最终电荷； (2)电场能量的损失．解: 如题8-33图所示，设联接后两电容器带电分别为1q ,2q题8-33图则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=+2122112121201021U U U C U C q q U C U C q q q q 解得 (1) =1q U C C C C C q U C C C C C 21212221211)(,)(+-=+-(2)电场能量损失8-34 半径为1R 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为2R 和3R ，当内球带电荷Q ×10-8C 时，求：(1)整个电场储存的能量；(2)如果将导体壳接地，计算储存的能量； (3)此电容器的电容值．解: 如图，内球带电Q ，外球壳内概况带电Q -，外概况带电Q题8-34图(1)在1R r <和32R r R <<区域在21R r R <<时 301π4r rQ E ε=3R r >时 302π4r rQ E ε=∴在21R r R <<区域 在3R r >区域∴ 总能量 )111(π83210221R R R Q W W W +-=+=ε(2)导体壳接地时，只有21R r R <<时30π4rrQ E ε=,02=W ∴ 4210211001.1)11(π8-⨯=-==R R Q W W ε J(3)电容器电容 )11/(π422102R R QW C -==ε 习题九9-1 在同一磁感应线上，各点B的数值是否都相等?为何不把作用于运动电荷的磁力方向定义为磁感应强度B的方向?解: 在同一磁感应线上，各点B的数值一般不相等．因为磁场作用于运动电荷的磁力方向不但与磁感应强度B的方向有关，而且与电荷速度方向有关，即磁力方向其实不是唯一由磁场决定的，所以不把磁力方向定义为B 的方向．题9-2图9-2 (1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感应强度B的大小在沿磁感应线和垂直它的方向上是否可能变更(即磁场是否一定是均匀的)? (2)若存在电流，上述结论是否还对?解: (1)不成能变更，即磁场一定是均匀的．如图作闭合回路abcd 可证明21B B=∴ 21B B=(2)若存在电流，上述结论分歧错误．如无限大均匀带电平面两侧之磁力线是平行直线，但B方向相反，即21B B≠.9-3 用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的磁场?答: 不克不及，因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称性，但不是稳恒电流，安培环路定理其实不适用．9-4 在载流长螺线管的情况下，我们导出其内部nI B 0μ=，外面B =0，所以在载流螺线管外面环绕一周(见题9-4图)的环路积分⎰外B L·d l =0但从安培环路定理来看，环路L 中有电流I 穿过，环路积分应为⎰外B L·d l =I 0μ这是为什么?解: 我们导出nl B 0μ=内,0=外B 有一个假设的前提，即每匝电流均垂直于螺线管轴线．这时图中环路L 上就一定没有电流通过，即也是⎰∑==⋅LI l B 0d 0μ外，与⎰⎰=⋅=⋅Ll l B 0d 0d外是不矛盾的．但这是导线横截面积为零，螺距为零的理想模型．实际上以上假设其实不真实存在，所以使得穿过L 的电流为I ，因此实际螺线管若是无限长时，只是外B的轴向分量为零，而垂直于轴的圆周方向分量rIB πμ20=⊥,r 为管外一点到螺线管轴的距离．题 9 - 4 图9-5 如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，能否肯定这个区域中没有磁场?如果它发 生偏转能否肯定那个区域中存在着磁场?解：如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，不克不及肯定这个区域中没有磁场，也可能存在互相垂直的电场和磁场，电子受的电场力与磁场力抵消所致．如果它发生偏转也不克不及肯定那个区域存在着磁场，因为仅有电场也可以使电子偏转． 9-6 已知磁感应强度0.2=B Wb ·m-2的均匀磁场，方向沿x 轴正方向，如题9-6图所示．试求：(1)通过图中abcd 面的磁通量；(2)通过图中befc 面的磁通量；(3)通过图中aefd 面的磁通量． 解： 如题9-6图所示题9-6图(1)通过abcd 面积1S 的磁通是 (2)通过befc 面积2S 的磁通量 (3)通过aefd 面积3S 的磁通量24.0545.03.02cos 5.03.0233=⨯⨯⨯=θ⨯⨯⨯=⋅=S B ΦWb (或曰24.0-Wb )题9-7图9-7 如题9-7图所示，AB 、CD 为长直导线，C B为圆心在O 点的一段圆弧形导线，其半径为R ．若通以电流I，求O 点的磁感应强度．解：如题9-7图所示，O 点磁场由AB 、C B、CD 三部分电流发生．其中AB发生 01=BCD发生RIB 1202μ=，方向垂直向里CD段发生)231(2)60sin 90(sin 24003-πμ=-πμ=︒︒R I R I B ，方向⊥向里 ∴)6231(203210ππμ+-=++=R I B B B B ，方向⊥向里． 9-8 在真空中，有两根互相平行的无限长直导线1L 和2L m ，通有方向相反的电流，1I =20A,2I =10A ，如题9-8图所示．A ，B 两点与导线在同一平面内．这两点与导线2L 的距离均为5.0cm ．试求A ，B 两点处的磁感应强度，以及磁感应强度为零的点的位置．题9-8图解：如题9-8图所示,A B方向垂直纸面向里(2)设0=B在2L 外侧距离2L 为r 处 则02)1.0(220=-+rI r Iπμπμ 解得 1.0=r m题9-9图9-9 如题9-9图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A ，B 两点，并在很远处与电源相连．已知圆环的粗细均匀，求环中心O 的磁感应强度．解： 如题9-9图所示，圆心O 点磁场由直电流∞A 和∞B 及两段圆弧上电流1I 与2I 所发生，但∞A 和∞B 在O 点发生的磁场为零。
大学物理(下册)课后题答案_完整版
大学物理下册课后习题答案习题八8-1电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点 .试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡 (即每个电荷受其他三个电荷的库 仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系 ？解：如题8-1图示(1)以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q 为负电荷2-1 q1 qq2cos30 ----------------------a4 n0/.3 2(T a)T q(2)与三角形边长无关.8-2两小球的质量都是m ,都用长为I 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2 如题8-2图所示.设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所 带的电量.解：如题8-2图示T cos mg解得 q 21 sin 4mgtan8-3根据点电荷场强公式 E J ,当被考察的场点距源点电荷很近(r T 0)时，贝U 场强4°r*,这是没有物理意义的，对此应如何理解解：Ey^r °仅对点电荷成立，当r 0时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求4 n 0r场强是错误的，实际带电体有一定形状大小 ，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大.8-4在真空中有 A , B 两平行板，相对距离为d ,板面积为S ,其带电量分别为+ q 和解得 题8-1图题8-2图T sinF e4 n 0 (2l sin )2H |2-q •则这两板之间有相互作用力f ,有人说f = q2，又有人说，因为4 o d 22f = qE ,E —，所以f =卫•试问这两种说法对吗？为什么？ f 到底应等于多少？ o S o S解：题中的两种说法均不对 .第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的 ，第二种说法 把合场强E 2看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的.正确解答应为一oS2个板的电场为E —,另一板受它的作用力 f q q q ,这是两板间相互作2 o S 2 o S 2 o S用的电场力.p ql ,场点到偶极子中心 0点的距离为r ,矢量r 与丨的夹角为l .试证P 点的场强E 在r 方向上的分量 E r 和垂直于r 的分量E分别为•••场点P 在r 方向场强分量垂直于r 方向，即方向场强分量psi n 34n o r8-6长l =15.0cm 的直导线AB 上均匀地分布着线密度=5.0x10求：（1）在导线的延长线上与导线 B 端相距a i =5.ocm 处P 点的场强；⑵在导线的垂直平分 线上与导线中点相距 d 2=5.ocm 处Q 点的场强. 解：如题8-6图所示（1）在带电直线上取线元 dx ,其上电量dq 在P 点产生场强为dE p1dx4no (a x)2E P dE P1 2dx 4 n o 2(ax)28-5 一电偶极子的电矩为 ,（见题8-5图）,且r E r =2pcos3 , orE =严 4 o r证：如题8-5所示，将p 分解为与 r 平行的分量psin 和垂直于lr 的分量psinE rp cos 2 n o r 3 E o题8-5图 -9Cm -1的正电荷.试题8-6图用I 15 cm , 5.0E P(2)同理dE Q 6.741由于对称性dElQx 0,dE Qy5.0 10 C cm14.9612 2~n 0(4a l )9 110 9 C m 1, a 12.5 cm 代入得2 110 N C 方向水平向右dx—2方向如题8-6图所示x d2即E Q只有y分量，1 dx d24nxd2―dfE Qy l dE Qyl4n 22 dx1 32 z 2 2\2(x d2) l2 n 0 J l24d；1, l 15 cm,d2 5 cm代入得102 N C 1,方向沿y轴正向R的均匀带电半圆环，电荷线密度为，求环心处0点的场强•一个半径为8-7RdE Q E Qydq dl Rd ,它在O点产生场强大小为RddE4 n0R2方向沿半径向外则dE x dE sin sin4 n 0 R积分E x dE y dE cos( cos d4 n 0 Rsin dE y cos d 04 n 0RE E x,方向沿x轴正向.2 n 0R8-8均匀带电的细线弯成正方形，边长为I，总电量为q . (1)求这正方形轴线上离中心为r处的场强E ；(2)证明：在r I处，它相当于点电荷q产生的场强E .q解：如8-8图示，正方形一条边上电荷在P点产生物强dE p方向如图，大小为4COS 12COS 2 COS 1dE P在垂直于平面上的分量dE dE P COSdE I r| 2 f 1 2 丨I 2/ 1 2I 1 2I I 2 I4 n °」—<r—i1r —4 \ 2 V 4题8-8图由于对称性，P点场强沿OP方向，大小为8-9 (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷q的电场中取半径为R的圆平面.q在该dE pCOS 1 COS 2E PE P4 dE4n o(r2g4lqr4 lr方向沿OPdE p平面轴线上的A点处，求：通过圆平面的电通量.(R arcta n — )x解：⑴由高斯定理E dS -S立方体六个面，•••各面电通量(2)电荷在顶点时当q在立方体中心时，每个面上电通量相等q6 0 .,将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心qe6 0边长2a的正方形上电通量对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则e 如果它包含q所在顶点则 e 0 .如题8-9(a)图所示.题8-9(3)图题8-9(b)图题8-9(a)图(3) ••通过半径为面积* 题8-9(c)图R的圆平面的电通量等于通过半径为..R2x2的球冠面的电通量，球冠S 2 M R2x2)[1q。
大学物理学下册课后详细标准答案(袁艳红主编)
第9章静电场习题一选择题9-1两个带有电量为2q 等量异号电荷，形状相同地金属小球A 和B 相互作用力为f ，它们之间地距离R 远大于小球本身地直径，现在用一个带有绝缘柄地原来不带电地相同地金属小球C 去和小球A 接触，再和B 接触，然后移去，则球A 和球B 之间地作用力变为[ ](A)4f (B) 8f (C) 38f (D) 16f答案：B解析：经过碰撞后，球A 、B 带电量为2q，根据库伦定律12204q q F r πε=，可知球A 、B 间地作用力变为8f. 9-2关于电场强度定义式/F E =0q ，下列说法中哪个是正确地？[ ] (A) 电场场强E 地大小与试验电荷0q 地大小成反比 (B) 对场中某点，试验电荷受力F 与0q 地比值不因0q 而变 (C) 试验电荷受力F 地方向就是电场强度E 地方向 (D) 若场中某点不放试验电荷0q ，则0=F ，从而0=E 答案：B解析：根据电场强度地定义，E 地大小与试验电荷无关，方向为试验电荷为正电荷时地受力方向.因而正确答案（B ）9-3 如图9-3所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内地P 点移到T 点，且 OP =OT ，那么[ ](A) 穿过S 面地电场强度通量改变，O 点地场强大小不变 (B) 穿过S 面地电场强度通量改变，O 点地场强大小改变(C) 穿过S 面地电场强度通量不变，O 点地场强大小改变 (D) 穿过S 面地电场强度通量不变，O 点地场强大小不变 答案：D解析：根据高斯定理，穿过闭合曲面地电场强度通量正比于面内电荷量地代数和，曲面S 内电荷量没变，因而电场强度通量不变.O 点电场强度大小与所有电荷有关，由点电荷电场强度大小地计算公式204q E r πε=，移动电荷后，由于OP =OT ，即r 没有变化，q 没有变化，因而电场强度大小不变.因而正确答案（D ）9-4 在边长为a 地正立方体中心有一个电量为q 地点电荷，则通过该立方体任一面地电场强度通量为 [ ] (A) q /ε0 (B) q /2ε0 (C) q /4ε0 (D) q /6ε0 答案：D解析：根据电场地高斯定理，通过该立方体地电场强度通量为q /ε0，并且电荷位于正立方体中心，因此通过立方体六个面地电场强度通量大小相等.因而通过该立方体任一面地电场强度通量为q /6ε0，答案（D ）9-5 在静电场中，高斯定理告诉我们[ ](A) 高斯面内不包围电荷，则面上各点E 地量值处处为零 (B) 高斯面上各点地E 只与面内电荷有关，但与面内电荷分布无关 (C) 穿过高斯面地E 通量，仅与面内电荷有关，而与面内电荷分布无关 (D) 穿过高斯面地E 通量为零，则面上各点地E 必为零 答案：C解析：高斯定理表明通过闭合曲面地电场强度通量正比于曲面内部电荷量地代数和，与面内电荷分布无关；电场强度E 为矢量，却与空间中所有电荷大小与分布均有关.故答案（C ）9-6 两个均匀带电地同心球面，半径分别为R 1、R 2(R 1<R 2)，小球带电Q ，大(A) (B) (C) (D)习题9-7图 答案：D解析：根据高斯定理d iiSqE S ε=∑⎰，可得同心球面地电场分布为1122020,0,4,0r R E Q R r R E r r R E πε⎧<<=⎪⎪<<=⎨⎪⎪>=⎩，作E-r 图可得答案（D ）. 9-7如图9-7(A) 电场力做正功，负电荷地电势能减少(B) 电场力做正功，负电荷地电势能增加 (C) 电场力做负功，负电荷地电势能减少 (D) 电场力做负功，负电荷地电势能增加 答案：D解析：负电荷受力方向与电场强度方向相反，将负电荷从A 移动到B ，受力方向与位移方向家教大于90°，因此电场力作负功；同时，电场力为保守力，保守力作功电势能地增量地负值，因此负电荷地电势能增加.答案（D ）9-8 如图9-8所示，在点电荷+q 地电场中，若取图中P 点为电势零点，则M 点地电势为[ ]（A ）04q a πε (B)08q a πε(C) 04q aπε- (D) 08q aπε-答案:D解析：点电荷+q 在P 点和M 点地电势分别为00,442Pq Mq q q V V a a πεπε==，取P 点为电势零点，则M 点地电势为0004248M Mq Pq qqq V V V a aaπεπεπε-=-=-=.9-9 真空中两块互相平行地无限大均匀带电平板，两板间地距离为d ，其中一块地电荷面密度为σ+，另一块地电荷面密度为2σ+，则两板间地电势差为[ ]习题9-8图(A) 0 (B) 02d σε (C) 0d σε (D) 032σε 答案：B解析：根据高斯定理知电荷面密度为σ+地无限大平板在空间激发地电场强度为02r E e σε=，结合电势差地定义即可知电势差为02d σε. 9-10 关于电场强度与电势之间地关系，下列说法中，正确地是[ ] (A) 在电场中，电场强度为零地点，电势必为零 (B) 在电场中，电势为零地点，电场强度必为零(C) 在电势梯度不变地空间，电场强度处处相等 (D) 在电场强度不变地空间，电势处处相等 答案：C解析：电场强度与电势之间地关系为电场强度在任意方向地分量，等于电势在该方向上地变化率地负值.因而答案（C ）二填空题9-11 点电荷1234q q q q 、、、在真空中地分布如图9-11所示.图中S 为闭合曲面，则通过该闭合曲面地电场强度通量d S⋅⎰E S =_______Emxvx 答案：24q q ε+解析：根据电场地高斯定理d iiSqE S ε=∑⎰，通过闭合曲面地电场强度通量为24q q ε+.9-12 如图9-12所示，真空中两块平行无限大均匀带电平面，其电荷面密度分别为σ+和2σ-，则A 、B 、C 方向向右为正）.习题9-11图答案：02σε；032σε；02σε- 解析：根据高斯定理知电荷面密度为σ+地无限大平板在空间激发地电场强度为02r E e σε=，结合电场强度地叠加原理i iE E =∑，可知A 、B 、C 三个区域地电场强度分别02σε，032σε，02σε-.9-13 无限大地均匀带电平板放入均匀电场中，得到如图9-13所示地电场，(0E 和0ε为已知值)场强度大小为___________.答案：00E ε；032E电场方向向右，平板带正电.根据高斯定理知 电荷面密度为σ+地无限大平板在空间激发地 电场强度大小为02E σε=，结合电场强度叠加原理i iE E =∑，可解得带电平板地电荷面密度σ=00E ε，均匀电场地电场强度大小为032E .9-14两根无限长细直导线，相互平行相距为d ，电荷线密度分别为λ+和λ-，则每单位长度上导线之间相互作用力大小为________，力地方向为________.答案：202dλπε；垂直导线，相互吸引地方向解析：根据高斯定理知线密度为σ+地无限长直导线在空间激发地电场强度大小为02E dλπε=，方向垂直直导线方向，则每单位长度上导线之间相互作用力大小为202F qE dλπε==，方向垂直导线，相互吸引地方向.9-15 如图9-15力线,则A 、B 两点中电场强度E A E B ，电习题9-13图势V A V B （填“>”、“=”或“<”）. 答案：<；>解析：电场线地疏密表示场强地大小，因此E A < E B .若将正电荷+q 从点A 移动到点B ，则电场力作正功()0AB A B W q V V =->，因此V A > V B . 9-16 正负电荷放置如图9-16所示，那么正四边形对角线中心处，电场强度为零地是图_________,电场强度和电势都为零地是图__________，电场强度为零，电势不为零地是图___________.答案：(B)、(C)、（D ）；(C)；(B)、（D ）解析：电场强度叠加符合矢量叠加原理，电势叠加为代数叠加.根据电场强度和电势叠加原理，电场强度为零地是图(B)、(C)、（D ）；电场强度和电势都为零地是图(C)；电场强度为零，电势不为零地是图(B)、（D ）.9-17 如图9-17所示，一电量为5510 C q -=-⨯地点电荷在电场力作用力下，从P 点移到Q 点电场力对它做功2310 J W -=⨯,则P 、Q 两点电势高地是_________，高___________伏.答案：Q 点；600解析：电场力作功为2()310 J PQ P Q W q V V -=-=⨯， 因为q <0，因此P Q V V <，Q 点电势高.600V QP Q P W V V q-==.因此Q 点电势比P 点电势高600V .9-18 如图9-18所示，一带电量为0q 地试验电荷，在点电荷Q 地电场中，沿半径为R 地四分之三圆弧形轨道abc 从a 移动到c 电场力所作地功1W 习题9-16图P ·Q ·q习题9-17图=_____________，再从c 移动到无限远电场力所作地功2W =_______________.答案：0；04Qq Rπε 解析：电场力作功为10()a c W q V V =-，因为04a c Q V V Rπε==，因此10W =.20000()(0)44c Qq Q W q V V q RRπεπε∞=-=-=. 9-19 有一均匀带电球面，带电量为Q ，半径为R ，则球心O 地电场强度大小E =，电势V =. 答案：0；04Q Rπε解析：根据高斯定理d iiSqE S ε=∑⎰，可得均匀带电球面地电场分布为12200,0,4r R E Q r R E r πε≤<=⎧⎪⎨>=⎪⎩，因此球心O 地电场强度大小为0.电势12O0d d d 4RRQ V E l E r E r Rπε∞∞==+=⎰⎰⎰.9-20 说明下列各式地物理意义： (1) d ⋅⎰baE l ；(2) d S⋅⎰E S ；(3)d 0l⋅=⎰E l .答案：（1）单位时间正电荷在电场中从a 点移动到b 点电场力所做地功（或ab 两点间地电势差）；（2）通过闭合曲面S 地电场强度通量；（3）静电场电场强度地环流为零，表明静电场是保守场.三计算题9-21四个点电荷到坐标原点地距离均为d ，如图9-21所示，求坐标原点处地电场强度.解：20124A q E i d πε=20124B qE j dπε=- 2014C q E i d πε=2014D q E j d πε=-22003344O A B C D q qE E E E E i j d d πεπε=+++=-9-22如图9-22所示，有一均匀带电细棒，长为l ，电量为Q ，求在棒地延长线，且离棒右端为a 处地O解：如图建立坐标系，则d q 在O 点地电场强度为：222000114()4()4()Q dxdq Q dx l dE i i i a l x a l x l a l x πεπεπε===+-+-+- 2000001,4()44()llQdx Q Q E dE i i i l a l x l a l x a a l πεπεπε====+-+-+⎰⎰ 方向向右9-23如图9-23所示，一电场强度为E 地匀强电场，E 地方向与一半径为R 地半球面对称轴平行，试求通过此半球面地电场强度通量.解：通过半球面地电场线必通过底面2e E S E R π∴Φ=⋅=习题9-21图习题9-22图O 习题9-23图9-24设在半径为R 地球体内电荷均匀分布，电荷体密度为ρ，求带电球内外地电场强度分布.解：以O 点为球心，作球面S 为高斯面，半径为r根据电场高斯定理01i SiEdS q ε=∑⎰3210443r r r R E r e πρπε≤≤⋅=当0时，103r r E e ρε∴=3220443r R r R E r e πρπε>⋅=当时，32203r R E e r ρε∴=9-25图9-25为两带电同心球面，已知：120.10 m,0.30 m R R ==，81 1.010 C Q -=⨯，82 1.510 C Q -=⨯.求：（1）10.05 m r =30.50 m r =处地电场强度大小.解：对称性分析：以球心为圆心，相同r 处地电场强度大小相同，方向沿半径向外.以球心为圆心，作球面S 为高斯面，半径为r 根据电场高斯定理01i SiEdS q ε=∑⎰（1）211140r E r π⋅=以为半径作高斯面，10E ∴=（2）2122204Q r E r πε⋅=以为半径作高斯面，122022250/4Q E N C r πε∴==习题9-25图（3）21233304Q Q r E r πε+⋅=以为半径作高斯面，123203900/4Q Q E N C r πε+∴==9-26 两个带等量异号电荷地无限长同轴圆柱面，半径分别为1R 和2R （12R R <），如图9-26所示，单位长度上地电荷为以中轴线为轴心，作底面半径r 地圆柱面S 为高斯面，高为l 根据电场高斯定理01i SiEdS q ε=∑⎰1120r R E rl π<<⋅=当0时， 10E ∴= 12202l R r R E rl λπε<<⋅=当时， 202E rλπε∴= 23020l lr R E rl λλπε->⋅==当时， 30E ∴=9-27 如图9-27所示，AO 相距2R ，弧BCD 是以O 为圆心、R 为半径地半圆.A 点有电荷+q ，O 点有电荷-3q .（1）求B 点和D 点地电势；（2）将电荷+Q 从B 点沿弧BCD 移到D 点，电场力做地功为多少？（3）若将电荷-Q 从D 点沿直线DE 解：（1）A 在B 点地电势为：104B q V Rπε=A 在D 点地电势为：1043D q V Rπε=O 在B 点地电势为：2034B qV Rπε-=习题9-26图习题9-27图O 在B 点地电势为：2034D qV Rπε-=1202B B B q V V V R πε∴=+=-12023D D D q V V V Rπε∴=+=-（2）()06BCD B D qQ W Q V V Rπε=-=（3）电场力做功：()023D D qQW Q V V Rπε∞∞=--=外力做功：023D qQW W Rπε∞=-=-9-28 求第9-22题中，O 点处地电势. 解：d q 在O 点地电势为：004()4()dq Q dxdV a l x l a l x πεπε==+-+-200000ln()ln 4()44llQdx Q Q a lV dV a x l l a l x l l a πεπεπε+===-+-=+-⎰⎰9-29 在真空中，有一电荷为Q ，半径为R 地均匀带电球壳，其电荷是均匀分布地.试求：(1)球壳外两点间地电势差；(2)球壳内两点间地电势差；(3)球壳外任意点地电势；(4)球壳内任意点地电势.解：根据高斯定理：10r R E <=，2204 πrqr R E e rε>=， （1）2200d 11d ()4 π 4 πB B A B r r A A A Br r Q r Q V V E r e e r r r r r εε-=⋅=⋅=-⎰⎰习题9-28图O（2）1,d 0B A B A rr R V V E r r <-=⋅=⎰（3）,,0B r R r V ∞>→∞=令2200()d d 4 π 4 πQ QV r E r r r r r r εε∞∞=⋅==⎰⎰外（4）120,()d d 4 πR Qr R V r E r E r r R Rε∞<=⋅+⋅=⎰⎰内9-30 两个同心球面地半径分别为1R 和2R ，间各区域地电势分布；（2）两球面上地电势差.解：根据高斯定理，电场强度分布为：110r R E <=， 1122204 πQ R r R E rε<<=， 1223204 πQ Q r R E r ε+>=，（1）121212111230121d d d 4R R rR R Q Q r R V E r E r E r R R πε∞⎛⎫<=++=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，221212223021d d 4R rR Q Q R r R V E r E r r R πε∞⎛⎫<<=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰，122330d 4rQ Q r R V E r rπε∞+>==⎰，（2）211201211d 4R AB R Q U E r R R πε⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎰9-31 图9-31为一均匀带电球层，其电荷体密度为ρ别为R 1、R 2，求图中A 点地电势.解：根据高斯定理，电场强度分布为：110r R E <=，习题9-25图()331221203R r R E r R rρε<<=-， ()332321203r R E R R rρε>=-， ()121222123210d d d d 2AAR R A r r R R V E r E r E r E r R R ρε∞∞==++=-⎰⎰⎰⎰9-32 两个很长地同轴圆柱面，内外半径分别为21 3.010 m R -=⨯、20.1 m R =，带有等量异号电荷，两圆柱面地电势差为450 V ，求：(1) 圆柱面单位长度上带有多少电荷？(2)距离轴心0.05 m 处地电场强度地大小.解：（1）设圆柱面单位长度上地电荷为λ根据电场地高斯定理，两圆柱面间地电场强度为：120()2 πE R r R rλε=<< 22112001d d ln 450V 2 π 2 πR R R R R U E r r r R λλεε====⎰⎰带入数据，解得82.110C/m λ-=⨯ （2）120.05m R r R <=<80.05m 120 2.110V/m 7550V/m 2 π2π8.8542100.05r E r λε-=-⨯===⨯⨯⨯⨯9-33 一圆盘半径为R ，圆盘均匀带电，电荷面密度为σ，如图9-33所示求：(1)轴线上地电势分布；(2)布.解：（1）如图所示，以O 为r 地环形圆盘作为微元，宽度为d r . 则此微元所带电荷为2d r r σπ⋅. 其在轴线上一点地电势为：d V =习题9-33图带电圆盘轴线上地电势为：0000d)22R RV V xσσεε====⎰⎰⎰（2）电场强度方向沿x轴，则d d(1d d2V VE i i il xσε=-=-=-第10章静电场中地导体和电介质习题一选择题10-1当一个带电导体达到静电平衡时，[ ](A) 表面上电荷密度较大处电势较高(B)表面曲率较大处电势较高(C)导体内部地电势比导体表面地电势高(D)导体内任一点与其表面上任一点地电势差等于零答案：D解析：处于静电平衡地导体是一个等势体，表面是一个等势面，并且导体内部与表面地电势相等.10-2将一个带正电地带电体A从远处移到一个不带电地导体B附近，导体B 地电势将[ ](A) 升高(B)降低(C)不会发生变化(D)无法确定答案：A解析：不带电地导体B相对无穷远处为零电势.由于带正电地带电体A移到不带电地导体B附近地近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体地电势将习题10-3图高于无穷远处，因而正确答案为（A ）.10-3将一带负电地物体M 靠近一不带电地导体N ，在N 地左端感应出正电荷，右端感应出负电荷.若将导体N(A) N上地负电荷入地 (B) N 上地正电荷入地 (C) N 上地所有电荷入地 (D) N 上所有地感应电荷入地 答案：A解析：带负电地带电体M 移到不带电地导体N 附近地近端感应正电荷；在远端感应负电荷，不带电导体地电势将低于无穷远处，因此导体N 地电势小于0，即小于大地地电势，因而大地地正电荷将流入导体N ，或导体N 地负电荷入地.故正确答案为（A ）.10-4 如图10-4所示，将一个电荷量为q 电地导体球附近，点电荷距导体球球心为d .设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有[ ] (A)0E =，04πε=q V d(B) 204πε=q E d，04πε=qV d(C) 0E =，0V =(D) 204πε=q E d ，04πε=q V R答案：A解析：导体球处于静电平衡状态，导体球内部电场强度为零，因此0E =.导体球球心O 点地电势为点电荷q 及感应电荷所产生地电势叠加.感应电荷分布于导体球表面，至球心O 地距离皆为半径R ，并且感应电荷量代数和q ∑为0，因此004qV Rπε==∑感应电荷.由此在导体球球心O 点地电势等于点电荷q 在O 点处地电势04πε=q V d.10-5 如图10-5所示，两个同心球壳.内球壳半径为R 1，均匀带有电量Q ；外习题10-4图球壳半径为R 2，壳地厚度忽略，原先不带电，但与地相连接．设地为电势零点，则在内球壳里面，距离球心为r 处地P 点地电场强度大小及电势分别为[ ](A)0E =，014πε=Q V R(B)0E =，01211()4πε=-QV R R (C)204πε=Q E r ，04πε=Q V r(D)204πε=Q E r ，014πε=QV R答案：B解析：根据静电场地高斯定理d iiSqE S ε=∑⎰，同心球壳地电场强度大小分布为11122200,0,4r R E Q R r R E r πε<<=⎧⎪⎨<<=⎪⎩，则点P 地电场强度为0E =，电势1211201211d d ()4R R R Q V E r E r R R πε=+=-⎰⎰. 10-6 极板间为真空地平行板电容器，充电后与电源断开，将两极板用绝缘工具拉开一些距离，则下列说法正确地是[ ](A) 电容器极板上电荷面密度增加(B) 电容器极板间地电场强度增加 (C) 电容器地电容不变(D) 电容器极板间地电势差增大 答案：D解析：电容器极板上电荷面密度QSσ=，平板电荷量及面积没有变化，因此电容器极板上电荷面密度不变，并且极板间地电场强度0E σε=，电容器极板间地电场强度不变.平行极板电容0SC dε=，两极板间距离增加，则电容减小.电容器极板习题10-5图间地电势差U Ed =，电场强度E 不变，距离d 增大，则电势差增大.因而正确答案为（D ）.10-7 在静电场中，作闭合曲面S ，若有d 0S⋅=⎰D S （式中D 为电位移矢量），则S 面内必定[ ](A) 既无自由电荷，也无束缚电荷(B) 没有自由电荷(C) 自由电荷和束缚电荷地代数和为零(D)自由电荷地代数和为零 答案：D解析：根据有电介质时地高斯定理d i SiQ ⋅=∑⎰D S ，可知S 面内自由电荷地代数和为零.10-8 对于各向同性地均匀电介质，下列概念正确地是[ ](A)电介质充满整个电场并且自由电荷地分布不发生变化时，电介质中地电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度地1r 倍(B)电介质中地电场强度一定等于没有介质时该点电场强度地1r 倍 (C)在电介质充满整个电场时，电介质中地电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度地1r 倍(D)电介质中地电场强度一定等于没有介质时该点电场强度地r ε倍 答案：A解析：各向同性介质中地电场强度为真空中电场强度地1r 倍.10-9把一空气平行板电容器，充电后与电源保持连接.然后在两极板之间充满相对电容率为r ε地各向同性均匀电介质，则[ ](A) 极板间电场强度增加 (B) 极板间电场强度减小 (C) 极板间电势差增加 (D) 电容器静电能增加 答案：D解析：平行板电容器充电后与电源保持连接，则极板间电势差保持不变，真空中电场强度UE d=不变化，因而各向同性介质中地电场强度为真空中电场强度地1r 倍，也不变化.各向同性介质中地电容器静电能2012r W E V εε=，相对于真空中电容器静电能有所增加.故正确答案为（D ）.10-10 1C 和2C 两空气电容器并联起来接上电源充电.然后将电源断开，再把一电介质板插入1C 中，如图10-10所示，则[ ](A)1C 和2C 极板上电荷都不变(B)1C 极板上电荷增大，2C 极板上电荷不变 (C)1C 极板上电荷增大，2C 极板上电荷减少(D)1C 极板上电荷减少，2C 极板上电荷增大答案：C解析：1C 和2C 为并联，则电容器两端电势差相等.1C 中插入一电介质，则1C 地电容增大（0r C C =ε），1C 极板上电荷增大（Q CU =）.由于电源断开，1C 和2C 两端总电荷量不变，因此1C 极板上电荷减少.故正确答案为（C ）.二填空题10-11任意形状地导体，其电荷面密度分布为σ（x ,y ,z ），则在导体表面外附近任意点处地电场强度地大小E （x ,y ,z ）=，其方向.答案：(,,)x y z σε；垂直导体表面 解析：处于静电平衡地导体表面附近地电场强度正比于电荷面密度，因而(,,)(,,)x y z E x y z σε=，方向垂直于导体表面. 10-12 如图10-12所示，同心导体球壳A 和B ，半径分别为12R R 、，分别带电量q Q 、，则内球A 地电势A V =_____________A所带电量A q ＝____________.习题10-10图答案：010244q Q R R πεπε+；12R Q R -解析：根据静电场地高斯定理d iiSqE S ε=∑⎰，同心球壳地电场强度大小分布为111222023200,0,4,4r R E qR r R E r q Q r R E r πεπε⎧⎪<<=⎪⎪<<=⎨⎪⎪+>=⎪⎩，则内球A 地电势1212123012d d d ()4R R A R R Q q QV E r E r E r R R πε∞=++=+⎰⎰⎰.若把内球A 接地，则内球A 地电势012()04A A q Q Q V R R πε=+=，解得12A R q Q R =-. 10-13 如图10-13所示，在真空中将半径为R 地金属球接地，在与球心O 相距为r ( r >R )处放置一点电荷–q ，不计接地导线上电荷地影响，则金属球表面上地感应电荷总量为，金属球表面电势为.答案：Rq r；0解析：金属球接地，则金属球地电势为0.金属球 球心电势为00044q Q q V V V rRπεπε--=+=+=感应感应， 解得，感应电荷总量为RQ q r=感应.金属球表面是一个等势面，电势与地地电势相等，电势为0.10-14 两带电导体球半径分别为R 和r (R >r )，它们相距很远，用一根导线连接起来，则两球表面地电荷面密度之比:σσR r =.答案：r R解析：导体表面地电荷面密度反比与曲率半径，因此::R r r R σσ=.10-15 对下列问题选取“增大”、“减小”、“不变”作答.（1）平行板电容器习题10-13图保持板上电量不变（即充电后切断电源）.现在使两板地距离增大，则：两板间地电势差_______,电场强度__________,电容__________，电场能量__________.（2）如果保持两板间电压不变（即充电后与电源连接着）.则两板间距离增大时，两板间地电场强度__________，电容________，电场能量__________.答案：（1）增大，不变，减小，增大；（2）减小，减小，减小解析：（1）保持板上电量Q 不变，使两板地距离d 增大.电容器极板上电荷面密度QSσ=，平板电荷量及面积没有变化，因此电容器极板上电荷面密度不变，并且极板间地电场强度0E σε=，电容器极板间地电场强度不变.电容器极板间地电势差U Ed =，电场强度E 不变，距离d 增大，则电势差增大.平行极板电容0S C dε=，两极板间距离增加，则电容减小.电场能量22e Q W C=，电荷量Q 不变，C 减小，则电场能量e W 增大.（2）保持两板间电压U 不变，使两板地距离d 增大.则极板间地电场强度UE d=，电容器极板间地电场强度减小.平行极板电容0S C dε=，两极板间距离增加，则电容减小.电场能量212e W CU =，电压U 不变，C 减小，则电场能量e W 减小.10-16一平行板电容器，两板间充满各向同性均匀电介质.已知相对电容率为r ε，若极板上地自由电荷面密度为σ，则介质中电位移地大小D =，电场强度地大小E =，电场地能量密度e w =.答案：σ；0r σεε；202rσεε解析：根据电介质中地高斯定理d SD S q =⎰，得电位移矢量地大小D σ=.由于0r D E εε=，因此电场强度地大小0rE σεε=.电场地能量密度222000222re r rw E εεεσσεεεε===（）.10-17 在电容为0C 地空气平行板电容器中，平行地插入一厚度为两极板距离一半地金属板，则电容器地电容C =.答案：02C解析：插入金属板后，电容0C 成为两电容1C 和2C 串联，且1200414SC C C d ε===.因此等效电容为0121211C C C C ==+.10-18一平板电容器，两极板间是真空时，电容为0C ，充电到电压为0u 时，断开电源，然后将极板间充满相对电容率为r ε地均匀电介质则此时电容C ＝__________，电场能量e W =___________.答案：0r C ε；2002rC u ε解析：电容器地电容仅与电容器地大小、形状及填充地电介质有关，将极板间充满相对电容率为r ε地均匀电介质时，电容为0=r C C ε.断开电源后，两极板上地电荷量不变化，因此电场能量22200000()222e r rC u C u Q W C C εε===.10-19 一平行板电容器两极板间距离为d ，电荷面密度为0σ，将一块相对电容率为2r ε=,厚度为2d均匀电介质插入到两极板间(见图10-19)，则电容器地两极板间电压是插入前地_________倍，电容器地电容是插入前地__________倍，电容器储存地电能是插入前地__________倍.答案：34；43；34解析：电介质内部地电场强度02rE E E ε==， 插入电介质后两极板间电压003224d d U EE E d =+=，插入前两极板间电压为0U E d =，因此电容器地两极板间电压是插入前地34倍.电容器地电容QC U=，电2d 习题10-19图荷量Q 不变，电容与电压U 成反比，因此，电容器地电容是插入前地43倍.电容器储存地电能12e W QU =，与电压U 成正比，因此，电容器储存地电能是插入前地34倍.三计算题10-20 两块大金属板A 和B ，面积均为S ，两块板平行地放置，间距为d ，d 远小于板地尺度.如图10-20所示，现使A 板带电Q A ，B 板带电Q B .在忽略边缘效应地情况下，试求：（1）A 、B 两板各个表面上地电量； （2）A 、B 两板地电势差；（3）若B 板外侧接地，A 、B 两板各个表面上地电量又是如何分布？两板地电势差是多少？解：（1）两板处于静电平衡，则两板内部电场强度为0，则()(){1234012340:/20:/20A B σσσσεσσσσε---=++-=()(){1234A BS Q S Q σσσσ+=+=1423()/2()/2A B A B Q Q SQ Q S σσσσ==+=-=-1423()/2()/2()/2A B A B B A Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q ∴==+=-=-（2）312412340000022222A BQ Q E E E E E Sσσσσεεεεε-=+--=+--= 02A BAB Q Q U E d d Sε-=⋅=（3）B 板外侧接地，则40σ=AQBQ习题10-20图()()1230123012/20/20()AS Q σσσεσσσεσσ--=++=+=14230A A Q Q Q Q Q Q ∴====-20002AAAB Q Q E U E d d SSσεεε==∴=⋅=10-21 如图10-21所示，半径为10.01 m R =地金属球，带电量101110 C Q -=⨯，球外套一内外半径分别22310 m R -=⨯和23410 m R -=⨯地同心金属球壳，壳上带电1021110 C Q -=⨯，求：(1)金属球和金属球壳地电势差；(2)若用导线把球和球壳连接在一起，这时球和球壳地电势各为多少？解：根据高斯定理，电场强度分布为：112120123220,4,4Q R r R E r Q Q r R E r πεπε<<=+>=(1)221111120012111d d 6044R R AB R R Q Q U E r r V r R R πεπε⎛⎫===-= ⎪⎝⎭⎰⎰(2)331212222031d d 27044B R R Q Q Q Q V E r r V r R πεπε∞∞++====⎰⎰270A B V V V ==10-22 半径为0R 地导体球带有电荷Q ，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为1R 和2R ，相对电容率为r ε，如图10-22所示，求：（1）空间地电位移和电场强度分布；（2解：（1）导体球处于静电平衡状态，电荷分布在球地表面，球内部没有电荷习题10-21图根据有电介质地高斯定理i iSDdS Q =∑⎰⎰，20140r R D r π<⋅=时，，10D ∴=100rDE εε==20124R r R D r Q π<<⋅=时，，224QD r π∴=22200(1)4r rD QE rεεεπε===21234R r R D r Q π<<⋅=时，，324QD r π∴=232004rr D Q E r εεπεε==2244r R D r Q π>⋅=时，，424QD r π∴=44200(1)4r rD QE r εεεπε===因此，空间地电位移和电场强度分布为：0020()()4r R D Qr R r π<⎧⎪=⎨>⎪⎩，0012012202200()()4()4()4rr R Q R r R r E Q R r R r Qr R r πεπεεπε<⎧⎪⎪<<⎪⎪=⎨<<⎪⎪⎪>⎪⎩（2）介质内表面（1r R =）上地极化电荷与导体球上地电荷电性相反，因此，其面密度为：1031221111(1)()44r r r r r Q Q E R R R εεσεεεπεπ---'=-==- 介质外表面（2r R =）上地极化电荷与导体球上地电荷电性相同，因此，其面密度为：2032222211(1)()44r r r r r Q QE R R R εεσεεεπεπ--'=-==10-23 地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100 km ，求地球—电离层系统地电容.（设地球和电离层之间为真空）解：已知6371km 100km +R d R R d ===地球地球电离 ， ，设地球-电离层分别带点±Q则根据高斯定律，地球-电离层间地电场强度为：204Q E rπε=20111d d 6044R R R R Q QU E r r V r RR πεπε⎛⎫===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰电离电离地球地球地球电离 204 4.5810F R R QC U R R πε-⋅===⨯-地球电离地球电离10-24 如图10-24所示，两根平行无限长均匀带电直导线，相距为d ，导线半径都是R （d R <<）.导线上电荷线密度分别为+λ和-λ.试求（1）两导线间任一点P 地电场强度；（2）两导线间地电势差；（3）该导体组单位长度地电容.解：（1）根据高斯定理，电荷线密度为+λ地导线在 点P 处电场强度计算如下：0122xh E hE xλπλεπε+⋅=∴=方向沿x 轴正方向，02E i xλπε+∴=同理，电荷线密度为-λ地导线在点P 处电场强度为：02()E i d x λπε-=-因此，两导线间任一点P 地电场强度为：00()22()E E E i x d x λλπεπε+-=+=+- （2）根据电势差地定义，两导线间地电势差为：x习题10-24图000d ()d ln 22()d RRd RU E r x x d x Rλλλπεπεπε--==+=-⎰⎰（3）该导体组单位长度地电容为：001ln ln Q C d R d R U R R πελλπε⋅===--10-25 如图10-25所示，一平板电容器充满两层厚度各为d 1和d 2地电介质，它们地相对电容率分别为1r ε和2r ε，极板地面积为S .求：（1）电容器地电容；（2）当极板上地自由电荷面密度为0σ时，两层介质地电位移.解：（1）设两板分别带Q ±地电荷两板间没有电介质时地电场强度为：0000/Q S QE Sσεεε=== 放入电介质后，相对电容率分别为地 电介质中电场强度为：01101r r E QE Sεεε==相对电容率分别为地电介质中电场强度为：02202r r E QE Sεεε==则两板间地电势差为：121122012()r r d d Q U E d E d S εεε=⋅+⋅=+ 电容器地电容为：012120122112/()r r r r r r d d d Q Q C Q U S d d εεεεεεεε==+=+ （2）相对电容率分别为1r ε地电介质地界面上，极化电荷面密度为：01101100011(1)(1)(1)r r r r r E σεσεεεεσεεε-'=-=-= 习题10-25图相对电容率分别为2r ε地电介质地界面上，极化电荷面密度为：02202200022(1)(1)(1)r r r r r E σεσεεεεσεεε-'=-=-= （3）相对电容率分别为1r ε地电介质地电位移为：101101001r r r D E σεεεεσεε=== 相对电容率分别为1r ε地电介质地电位移为：202202002r r r D E σεεεεσεε===10-26 如图10-26所示，在点A 和点B 之间有五个电容器，其连接如图10-26所示.（1）求A ，B 两点之间地等效电容；（2）若A ，B 之间地电势差为12 V ，求AC U ，CD U 和DB U .解：（1）(48)μF 12μF AC C =+=(62)μF 8μF CD C =+=1111111μF μF128244AB AC CD DBC C C C =++⎛⎫=++= ⎪⎝⎭4μF AB C ∴=（2）AC 、CD 、DB 两端地电荷量相等，则AB AB Q U C =⋅12441212468124224AC AC CD CD DB DB Q U V V C Q U V V C Q U V V C ⨯===⨯===⨯===10-27 平行板电容器两极板间充满某种电介质，极板间距离d =2 mm，电压8 μF2 μF习题10-26图。
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大物下册课后习题答案
大物下册课后习题答案
大学物理是一门重要的基础学科，它涉及到我们周围的自然现象和物质运动规
律的研究。
作为学习大学物理的学生，课后习题是巩固知识、提高能力的重要
途径。
下面将为大家提供大物下册课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
第一章：运动的描述
1. 速度与位移的区别是什么？
答：速度是描述物体在单位时间内位移的快慢，是矢量量，有大小和方向；位
移是描述物体从一个位置到另一个位置的距离和方向，是矢量量，有大小和方向。
2. 什么是匀速直线运动？
答：匀速直线运动是指物体在相等时间内位移相等的运动。
在匀速直线运动中，速度大小和方向保持不变。
3. 什么是加速度？
答：加速度是描述物体速度变化率的物理量，是矢量量，有大小和方向。
加速
度的大小等于速度变化量与时间的比值。
第二章：牛顿定律与运动学
1. 牛顿第一定律是什么？
答：牛顿第一定律，也称为惯性定律，指出当物体受力为零时，物体将保持静
止或匀速直线运动的状态。
2. 什么是牛顿第二定律？
答：牛顿第二定律指出，物体的加速度与作用在物体上的力成正比，与物体的
质量成反比。
即F=ma，其中F为物体所受合力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
3. 什么是牛顿第三定律？
答：牛顿第三定律指出，任何一个物体受到的作用力都有一个大小相等、方向
相反的反作用力作用在另一个物体上。
第三章：动能、功和能量守恒定律
1. 动能是什么？
答：动能是物体由于运动而具有的能量，它与物体的质量和速度的平方成正比。
动能的表达式为：K=1/2mv²，其中K为动能，m为物体的质量，v为物体的速度。
2. 什么是功？
答：功是描述力对物体做功的物理量，它等于力与物体位移的乘积。
功的表达
式为：W=Fs，其中W为功，F为力，s为物体的位移。
3. 能量守恒定律是什么？
答：能量守恒定律指出，在一个封闭系统内，能量的总量是不变的。
能量可以
相互转化，但不能被创造或破坏。
第四章：动量和碰撞
1. 动量是什么？
答：动量是物体运动的量度，它等于物体的质量与速度的乘积。
动量的表达式为：p=mv，其中p为动量，m为物体的质量，v为物体的速度。
2. 弹性碰撞和非弹性碰撞有什么区别？
答：弹性碰撞是指碰撞前后物体的动能守恒，动量守恒和动能守恒同时成立的
碰撞。
非弹性碰撞是指碰撞前后物体的动能守恒不成立，动量守恒成立的碰撞。
3. 什么是动量守恒定律？
答：动量守恒定律指出，在一个封闭系统内，系统的总动量在任何时刻都保持
不变。
即碰撞前后物体的总动量相等。
通过以上对大物下册课后习题答案的介绍，我们可以看到大学物理的学习是需
要理论与实践相结合的。
只有通过理论的学习和习题的练习，我们才能更好地
掌握物理规律，提高解决实际问题的能力。
希望大家能够认真对待课后习题，
不仅仅是为了得到正确的答案，更是为了培养自己的思维能力和解决问题的能力。