第四章动量定理
第四章动量定理与动量守恒定律
第四章动量定理与动量守恒定律第四章动量定理与动量守恒定律基本内容本章重点是掌握动量、冲量概念及其物理规律，并掌握这些规律的应⽤条件和⽅法。
本章难点是所研究的系统的划分和选取、守恒定律条件和审核、综合性⼒学问题的分析求解。
教学⽬的1. 掌握动量定理和动量守恒定律，并能分析、解决简单的⼒学问题。
2. 掌握运⽤守恒定律分析问题的思想和⽅法，能分析简单系统在平⾯内运动的⼒学问题。
3 理解质⼼的概念和质⼼运动定律。
4-1 质点和质点系的动量定理⼀、冲量质点的动量定理动量是描写物体机械运动状态的物理量。
在⽇常⽣活中,⼈们站在树下,抬头看见⼀⽚树叶落下即将砸到头顶,⼀定会满不在乎地敢于承当,⽽看到⼀颗⽯⼦飞来,⼀定会望⽽⽣畏地急忙躲开。
⼤家也知道,即使在钉⼦上⾯放上⼀个质量很⼤的物体,也很难把钉⼦压进⽊头⾥去。
可是,挥动⼩榔头敲钉⼦,就⽐较容易把钉⼦打进去。
这些现象都与动量概念有关。
可见，动量是描述⼀定运动状态下物体“运动量”的概念，⽐速度更能全⾯、确切地反映物体的运动状态，为状态量。
⽜顿在所著的<<⾃然哲学的数学原理>>⼀书中,把动量定义为质点的质量m 和其速度v 的乘积,即(1)它是⼀个⽮量，其⼤⼩为|m v |=mv ，⽅向为速度的⽅向。
在国际单位制中，动量的单位是千克⽶/秒。
符号是。
由⽜顿第⼆定律tm t d )(d d d v p F ==得)(d d d v p F m t ==上式的积分为1212 d )(21v v p p F m m t t t t-=-=? （4-1）式中1v 和1P 是质点在时刻1t 的速度和动量，2v 和2P 是质点在时刻2t 的速度和动量。
tF 为⼒对时间的积分，称为⼒的冲量，⽤符号I 表⽰。
式（3-1）的物理意义是：在给定时间间隔内，外⼒作⽤在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量。
这就是质点的动量定理。
式（3-1）是质点动量定理的⽮量表达式，在直⾓坐标系中，其分量式为-==-==-==z z y x 2x x 12 12 1 d d d 212121mv mv t F I mv y mv t F I mv mv t F I z t t z y t t y t t x （4-2）动量定理在碰撞、打击等情形中特别有⽤．两物体碰撞时互相作⽤的⼒称为冲⼒．冲⼒的特点是作⽤时间极短，⽽⼒的⼤⼩变化则极⼤，这就是所谓⼒的脉冲。
第四章 动量定理与动量守恒定律
v dpi v v (e) v (i) = Fi = Fi + Fi dt
m1
v ex Fi
v in m i m2 Fi
求和, 求和 有
合外力 合内力
v v (e) v (i) dpi d v ∑ dt = dt ∑ pi = ∑Fi + ∑Fi
因为内力成对出现, 上式可写为: 因为内力成对出现 上式可写为
I x = ∫ Fxdt = mvx mvx0
t0 t
t
I y = ∫ Fydt = mvy mvy0
t0 t
I z = ∫ Fzdt = mvz mvz0
t0
May 31, 2010 Page #
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大学物理学
第四章 第四章动量定理与动量守恒定律
(3) 在碰撞或冲击问题中 牛顿定律无法直接应用 而动 在碰撞或冲击问题中, 牛顿定律无法直接应用, 量定理的优点在于避开了细节而只讨论过程的总体效果. 量定理的优点在于避开了细节而只讨论过程的总体效果 (4) 动量定理仅适用于惯性系 且与惯性系的选择无关 动量定理仅适用于惯性系, 且与惯性系的选择无关. 如图, 锤从高度为h 例 如图 一重锤从高度为 =1.5m的地方由 的地方由 静止下落, 静止下落,锤与被加工的工件的碰撞后的 末速度为零. 若打击时间分别为10 末速度为零 若打击时间分别为 -1s, 10-2s, 10-3s, 10-4s,试计算这几种情形下平均冲力 , 与重力的比值. 与重力的比值 如图坐标系, 设重锤质量为m 解: 取如图坐标系 设重锤质量为 . 重锤初速度
10-1s 6.5 10-2s 56
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由此解得
计算结果如下
t
大学物理第四章
解：利用功能原理：
A=DE
q
kF
m
Fl0tgq
=
1 2
k (l0 setq
- l0 )2
1 2
mv2
F
m
解得：
v=
2 m
Fl0tgq
-
1 m
k (l0 setq
-
l0
)2
[例13] 作业、p-55 功和能 自-20
一质量为m的球，从质量为M的圆弧
形槽中由A位置静止滑下，设圆弧形槽的半
径为R，(如图)。所有摩擦都略，试求：
+12 MV2
l
L
解得：
vr=
2(m +M) gR M
V= m
2gR M(m +M)
(2)小球到最低点B处时，槽滑行的距离。
∵ SFx = 0 ∴ DPx = 0
mvx = MVx
Am
m vxdt = M Vxdt
R
ml=ML
MB
l+L=R
L
=
mR m+M
lL
(3)小球在最低点B处时，槽对球的作用力；
1、动量： P
P = mv 2、第二定律：
F
=
dP dt
= ma
3、冲量： I
I
=
F t 2
t1
dt
4、动量原理
I = DP
5、力矩 M M = r × F
6、动量矩 L
L = r × P = r × mv
7、角动量原理:
t 2 t1
M dt
=
ω ω
2 1
J
dω
= Jω 2
动量动量定理课件
实验结论
实验结果表明，一个物体所受合外力的冲量等于物体 动量的变化量，验证了动量定理的正确性。通过实验， 学生可以更加深入地理解动量定理，掌握其应用方法， 提高物理实验能力和科学素养。
06
动量定理的扩展与深化
动量定理的推广
推广到多维空间
动量定理不仅适用于一维空间，还可以推广 到多维空间，描述物体在任意方向上的动量 变化。
2. 在滑块上加砝码，使滑块具有一定质量。
实验器材与步骤
3. 用橡皮筋拉动滑块 加速，使滑块受到合 外力的作用。
5. 记录实验数据并分 析。
4. 测量滑块加速过程 中的合外力和作用时 间。
实验结果与结论
实验结果
通过实验测量和计算，得到合外力、作用时间和动量 变化量的数值关系，验证了动量定理的正确性。
动量的计算
总结词
动量的计算公式是 $p = mv$。
详细描述
动量的计算公式是 $p = mv$，其中 $m$ 是物体的质量，$v$ 是物体的速度。 这个公式适用于任何惯性参考系中的质点。
动量的单位
总结词
在国际单位制中，动量的单位是千克· 米/秒（kg·m/s）。
详细描述
根据国际单位制的规定，动量的单位 是千克·米/秒（kg·m/s）。这个单位 是由质量单位千克（kg）和速度单位 米/秒（m/s）相乘得来的。
定义
物体的质量m、速度v和动量p之间的关系为 p=mv。
推导过程
根据牛顿第二定律，物体受到的合外力等于 其质量与加速度的乘积，即F=ma。对时间 进行积分，得到冲量I=∫Fdt。根据定义， 动量的变化量等于冲量，即Δp=I。将F=ma 代入积分式，得到Δp=∫ma dt=m∫adt=mat=mv2-v1。
动量定理 A4
高三一轮复习学案 编号：42 日期：2017.10.27动量定理知识点一、动量1．定义：运动物体的质量和速度的乘积叫做物体的动量，通常用p 来表示。
2．表达式：p ＝mv 。
3．单位：kg·m/s 。
4．标矢性：动量是矢量，其方向和速度方向相同。
5．动量、动能的关联方程：E k ＝p 22m ，E k ＝12pv ，p ＝2mE k ，p ＝2E kv知识点二、冲量1．定义：力和力的作用时间的乘积叫做这个力的冲量。
2．公式：I ＝Ft 。
3．单位：冲量的单位是牛·秒，符号是N·s 。
4．方向：冲量是矢量，恒力冲量的方向与力的方向相同。
5．冲量和功的区别(1)冲量和功都是过程量。
冲量是表示力对时间的积累作用，功表示力对位移的积累作用。
(2)冲量是矢量，功是标量。
(3)力作用的冲量不为零时，力做的功可能为零；力做的功不为零时，力的冲量一定不为零。
知识点三、冲量和动量的比较【问题情境1】如图所示，竖直面内有一个固定圆环，MN 是它在竖直方向上的直径。
两根光滑滑轨MP 、QN 的端点都在圆周上，MP ＞QN 。
将两个完全相同的小滑块a 、b 分别从M 、Q 点无初速度释放，在它们各自沿MP 、QN 运动到圆周上的过程中，下列说法中正确的是( )A ．合力对两滑块的冲量大小相同B ．重力对a 滑块的冲量较大C ．弹力对a 滑块的冲量较小D ．两滑块的动量变化大小相同 【训练题组1】1．带电粒子a 、b 在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，它们的动量大小相等，a 运动的半径大于b 运动的半径。
若a 、b 的电荷量分别为q a 、q b ，质量分别为m a 、m b ，周期分别为T a 、T b 。
则一定有( )A ．q a ＜q bB ．m a ＜m bC ．T a ＜T bD.q a m a ＜q bm b2．质量为0.2 kg 的球竖直向下以6 m/s 的速度落至水平地面，再以4 m/s 的速度反向弹回。
动量定理
动量定理的内容动量定理反应的是力在时间维度上的积累效果。
（1）基本概念描述：物体所受合外力的冲量，等于物体的动量变化量。
即F合t=I=Δp；（2）我们还可以这样来表述：对作用在物体上的各个力的冲量的代数和，等于动量的改变量。
在外力不恒定，或者各个力作用时间不同时，优先选择后者。
提醒：动量与冲量都是矢量，是有方向的，因此在解题时首先要规定好正方向。
动量定理的表达式基本表达式：F合t=I=Δp；当存在多个力做冲量时，我们还可以写成分力冲量代数和的形式：F1t1+F2t2+F3t3+……=I1+I2+I3+……=Δp动量定理的实际应用通过上文总动量定理的表达式分析，我们知道F合t=I=Δp，如果动量的变化量Δp相同时，时间t越大，合外力就越小。
我们汽车上用的安全气囊就是利用这一原理制作的。
如图所示，当汽车出现事故，比如高速行驶时意外撞到一棵大树上时，安全气囊就能帮助我们增加力的作用时间。
发生事故时，人的动量mv是非常大的，如果没有安全气囊来增加力的作用时间，人就会瞬间动量减少到零，根据动量定理可知，合外力（方向盘或其他物体对人的作用力）就会特别大。
类似的问题，在我们学校也有，那就是跳远的沙坑。
同学们借助下图想一想，为什么是跳沙坑，而不是直接跳到水泥地上？在看电影或电视剧的时候，我们总能看到这样的镜头，主人公从悬崖上跳海，总是死不了。
这是为啥呢？没有那个导演弱智到这个程度，敢排这样的场景：某人从悬崖上跳到岩石上，却没死。
这些，都是日常生活总动量定理的运用。
动量定理的表达式推广当存在多个力做冲量时，动量定理的表达式，我们还可以写成分力冲量代数和的形式：F1t1+F2t2+F3t3+……=I1+I2+I3+……=Δp这与动能定理的非常类似的。
动量定理的推导过程（1）匀变速直线运动过程中动量定理的推导过程物体做匀变速直线运动，则F合=ma；匀变速直线运动公式：v=v0+at；两边都乘以m，略作变形，有mv-mv0=mat；即，F合t=mat=I=mv-mv0=Δp；这就是动量定理的推导过程（2）非标准运动过程中动量定理的推导过程非标准运动过程中的动量定理的推导算是一个作业，同学们课下自己推导下。
第四章 动量
④动量守恒定律
当 F合外力 0 时, p 恒矢量
§4-3 碰撞 一.碰撞
t (S)
0.1
10
-2
10
-3
10
-4
FN mg 6.5 56 5.5 102 5.5 103 两个或几个物体相遇，在较短时间内发生 较强的相互作用，称为″碰撞″。
二.碰撞的共同规律 碰撞系统大都满足外力远小于内力，即F外 F内， 故碰撞物体组成的系统动量守恒。 三.分类 1.弹性碰撞： 机械能守恒的碰撞称为弹性碰撞，又称 完全弹性碰撞。 2.非弹性碰撞：机械能不守恒的碰撞称为非弹性碰撞。 如果两物体碰撞后合二为一，以共同的 速度运动，则称为完全非弹性碰撞。
( M m )v0 cos MV m(V 例5.一运动员质量为M，手中拿着质量为m的篮球自地面 u) V球地 V球人 V人地 以仰角 、初速度 v 斜向前跳起，跳至最高点时，以相
对于人的速率u将球水平向后抛出，问运动员向前的距离 与不抛球时相比，增加多少？ (书P106 4 - 14) 解：①系统： m+M
1 I 5 40 (10 5) 20 20 2 200(N s)
I p mv 0
v 40 m s
O
5
10
t(s)
1 WF mv 2 0 4000J 2
t2 I Fdt
t1
§4-2 dt t f12dt t ( f 21 f12 )dt 0 t f 21动量守恒定律
②条件分析：抛球前后
0
F水平 0
p水平 恒量
③状态分析： 抛球前
抛球后
v0
第4章 冲量和动量
设炮车放在光滑地面上，炮车M，炮弹m，起始时静止。 例 设炮车放在光滑地面上，炮车 ，炮弹 ，起始时静止。 v 相对于炮车射出，求炮车在x方向的反冲速度 方向的反冲速度u 当炮弹以 v' 相对于炮车射出，求炮车在 方向的反冲速度 研究对象：炮车＋ 解 研究对象：炮车＋炮弹 系统仅在x方向上满足动量守恒 系统仅在 方向上满足动量守恒 设炮弹对地速度
υ
ω
an = υ
圆周运动： 圆周运动： θ
aτ
2
F τ
ρ
Fn
aτ = rβ
v v v F = F + Fn τ
F τ
β
an = rω2
根据已知条件选取积分变量， 根据已知条件选取积分变量，确定上下限
第四章 冲量和动量
Fn
18
2、求力的瞬时作用规律 、 求力的持续作用规律
b
v v F = ma
v v 1 2 1 2 ∫a F dr = 2 mυ2 2 mυ1 = Ek
说明 1） ）
v rc与坐标选取有关，但对物体系的相对位置不变 与坐标选取有关，
2）质量均匀分布的物体，质心在几何中心 ）质量均匀分布的物体， 均匀分布的物体 质量中心不一定有质量 中心不一定有质量） （质量中心不一定有质量） 3）质心与重心不是同一概念 ） 重心——地球对物体系各部分引力的合力的作用点 重心 地球对物体系各部分引力的合力的作用点 质心——由质量分布确定的一个点，与作用在物 由质量分布确定的一个点， 质心 由质量分布确定的一个点 体上的外力无关 通常情况下 质心与重心重合
m 1
r v1
r v2
m2
mv1 mv2 = 0
1 1 mm 2 2 mv1 + m2v2 G 1 2 = 0 1 2 2 r
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2) 质量连续分布的质点系的质心位置
rc
说明
r dm m
xc
xdm ydm zdm ,y ,z M
c
M
c
M
(1) 质心是由质量分布所决定的一个特殊的几何点, 不一定在质点上.
(2) 根据质心定义 a.两质点的质心在其连线上,质心 到两质点的距离与质量成反比; b.两质点系的质心, 即为 将两质点系质量集中于各自质心而构成的两个假想质点 的质心; c.密度均匀的对称物体, 质心在其几何中心.
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第四章·动量定理与动量守恒定律
4－3 质心(center of mass) 质心运动定理
一、质心 在研究多个物体组成的系统或有限广延体时, 质心 是个重要的概念, 对于质点系运用动量定理, 有:
(e) d ( m1v1 m2 v 2 ... mn v n ) F dt 可写为: 2 (e) d ( m1r1 m2 r2 ... mn rn ) F 2 dt 即: 2 (e) d m1r1 m2 r2 ... mn rn ( m1 m2 ... mn ) 2 ( )F dt m1 m2 ... mn
说明
i i
恒矢量
(1) 系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统内 任一物体的动量是可变的, 各物体的动量必须相对于同 一惯性参考系 . (2) 守恒条件: 合外力为零. 有些情况外力不为零, 比 如在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中, 内 力>>外力, 则可略去外力, 认为系统动量守恒.
d ( mv ) dm uF dt dt
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变质量物体的运动
一、变质量物体的运动
所谓变质量，是指体系在运动过程中不断与外界交换质量. 对这样体系的运动过程可以分解为一系列元过程.在元过程中， 其组成是确定的，质量是不变的，体系动量变化服从体系动量 定理.由此即可导出主体的运动方程。
第四章·动量定理与动量守恒定律
质点动量定理(theorem of momentum) 物体在运动过程中 所受合外力的冲量,等于该物体动量的增量.
说明 (1)冲量的方向与动量增量的方向一致. (2)动量定理中的动量和冲量都是矢量，分量式:
I x Fx dt mv x mv x0
t0 t
所谓质心参考系, 就是质点系的质心与坐标原点重 合且坐标轴的方向相对于原惯性系保持不变的坐标系. 在质心参考系中,
v0 2 gh
,
末速度为0.
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第四章·动量定理与动量守恒定律
对重锤应用动量定理, 平均冲力为
t
F
0
( F mg )dt 0 mv0
F t mgt m 2 gh
F 1 1 mg t
Fm
m
u
Fm
F F m F m
v v
m
v
m m
9
如图，在t时刻，主体m与附体 m 是分离的.经过 间，附体并入主体.于是，由体系的动量定理，有
t
时
m m v v m v m u F t
即
m m v m u v F v t t t
y
初动量
末动量
p x p2 0 mv p y 0 p1 0 (mv) m 2 gh
由动量定理
t1
p2
p1
p2 p1 p
x
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t2 I F d t Ft p
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第四章·动量定理与动量守恒定律
二、质心运动定理 (theorem of motion for center of mass)
质点系所受外力的矢量和等于质点系的总动量的 时间变化率.
所以质点系的动量
2 dvc d rc ac 2 dt dt 引入质心后, drc d vc dt dt
令 t 0，则 v 0 ，上式取极限得
dm dv m u v F dt dt
这就是变质量质点（即主体）运动方程.（变质量动量定理）
10
说明：
⑴ 方程中外力 F Fm Fm ，附体对主体的作用力为 u v dm / dt .当u=v时，方程虽形式上与牛顿笫二定律 一样，但注意m是变量.
p x mi vix C x p y mi viy C y p z mi viz C z
(4) 动量守恒定律只在惯性参考系中成立, 是自然界
最普遍, 最基本的定律之一 , 即使在微观高速范围仍适用.
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(e) mac F
mi ri m mi vi m
n P Pi mi vi mvc
i 1
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大学物理学 三、质心参考系 柯尼希定理
第四章·动量定理与动量守恒定律
d rc ( e ) m 2 F dt
2
rc
mi ri m
质心运动方程
rc xc
m x
M
i i
, yc
my
i
i
M
, zc
mz M
i i
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(3) 若系统所受外力的矢量和不为零，但合外力在 某个坐标轴上的分矢量为零，总动量虽不守恒, 但动量 守恒可在某一方向上成立.
Fx(e) 0 , Fy(e) 0 , Fz(e) 0 ,
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大学物理学 积分可得:
第四章·动量定理与动量守恒定律
t2
t1
(e) Fi dt Pi 2 Pi1 P2 P1
系统末动量 系统初动量
合外力的冲量
质点系动量定理 作用于质点系的合外力的冲量等于系 统动量的增量. 说明 (1) 内力的作用不改变系统的总动量, 但内力做功却 可以改变系统的总动能. (2) 变质量物体的运动方程:
方向由如图夹角表示
2
2
O
F
x
125.2 arc tan arc tan 57.4 Fx 80
F 149N
180 57.4 122.6
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Fy
煤粉给传送带的平均冲力为
方向由如图夹角表示
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t
I y Fy dt mv y mv y0
t0 t
I z Fz dt mv z mv z0
t0
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(3) 在碰撞或冲击问题中, 牛顿定律无法直接应用, 而动 量定理的优点在于避开了细节而只讨论过程的总体效果. (4) 动量定理仅适用于惯性系, 且与惯性系的选择无关. 例 如图, 一重锤从高度为h =1.5m的地方由 静止下落，锤与被加工的工件的碰撞后的 末速度为零. 若打击时间分别为10-1s, 10-2s, 10-3s, 10-4s，试计算这几种情形下平均冲力 与重力的比值. 解: 取如图坐标系, 设重锤质量为m . 重锤初速度
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第四章 动量定理与动量守恒定律
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第四章 动量定理与动量守恒定律
4－1 质点和质点系的动量定理
4－2 动量守恒定律 4－3 质心 质心运动定理
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A
v
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第四章·动量定理与动量守恒定律
解：煤粉对A的作用力即单位时间内落下的煤粉给A的 平均冲力。这个冲力大小等于煤粉单位时间内的动量改变 量，方向与煤粉动量改变量的方向相反。 设 t 时间内落下的煤粉 质量为 m 则有
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4－2 动量守恒定律(law of momentum conservation)
定义 系统所受合外力为零时,系统的总动量保持不变.
(e) (e) F Fi 0 p pi
t2 I F (t ) d t
t1