图论习题
《图论及其应用》习题课教材目录第一章图的基本概念1.1 图和简单图1.2 子图与图的运算1.3 路与图的连通性1.4 最短路及其算法1.5 图的代数表示及其特征1.6 极图1.7 交图与团图习题1第二章树2.1 树的概念与性质2.2 树的中心与形心2.3 生成树2.4 最小生成树习题2第三章图的连通度3.1 割边、割点和块3.2 连通度3.3 应用3.4 图的宽距离和宽直径习题3第四章欧拉图与哈密尔顿图4.1 欧拉图4.2 高效率计算机鼓轮的设计4.3 中国邮路问题4.4 哈密尔顿图4.5 度极大非哈密尔顿图4.6 旅行售货员问题4.7 超哈密尔顿图4.8 E图和H图的联系4.9 无限图中的欧拉,哈密尔顿问题习题4第五章匹配与因子分解5.1 匹配5.2 偶图的匹配与覆盖5.3 Tutte定理与完美匹配5.4 因子分解5.5 最优匹配与匈牙利算法5.6 匹配在矩阵理论中的应用习题5第六章平面图6.1 平面图6.2 一些特殊平面图及平面图的对偶图6.3 平面图的判定及涉及平面性的不变量6.4 平面性算法习题6第七章图的着色7.1 图的边着色7.2 顶点着色7.3 与色数有关的几类图7.4 完美图7.5 着色的计数，色多项式习题27.6 List着色7.7 全着色7.8 着色的应用习题7第八章Ramsey定理8.1 独立集和覆盖8.2 Ramsey定理8.3 广义Ramsey数8.4 应用习题8习题 11. 证明在n阶连通图中（1）至少有n-1条边。
（2）如果边数大于n-1，则至少有一条闭通道。
（3）如恰有n-1条边，则至少有一个奇度点。
证明(1) 若对∀v∈V(G),有d(v)≥2,则：2m=∑d(v)≥2n ⇒ m≥n>n-1,矛盾！若G中有1度顶点，对顶点数n作数学归纳。
当n=2时，G显然至少有一条边，结论成立。
设当n=k时，结论成立，当n=k+1时，设d(v)=1，则G-v是k阶连通图，因此至少有k-1条边，所以G 至少有k条边。
(2) 考虑v1→v2→⋯→v n的途径，若该途径是一条路，则长为n-1,但图G的边数大于n-1,因此存在v i,v j,使得v i adgv j,这样，v i→v i+1→⋯→v j并上v i v j构成一条闭通道；若该途径是一条非路，易知，图G有闭通道。
(3) 若不然，对∀v∈V(G),有d(v)≥2,则：2m=∑d(v)≥2n ⇒ m≥n>n-1,与已知矛盾！2.设G是n阶完全图，试问（1）有多少条闭通道？（2）包含G中某边e的闭通道有多少？（3）任意两点间有多少条路？答(1) (n-2)! (2) (n-1)!/2 (3) 1+(n-2)+(n-2)(n-3)+(n-2)(n-3)(n-4)+…+(n-2)…1.3.证明图1-27中的两图不同构：图1-27证明 容易观察出两图中的点与边的邻接关系各不相同，因此，两图不同构。
4. 证明图1-28中的两图是同构的证明 将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图作映射f : f(v i )→u i (1≤ i ≤ 10)容易证明，对∀v i v j ∈E((a)),有f(v i v j )=u i u j ∈E((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。
5. 证明：四个顶点的非同构简单图有11个。
证明由于四个顶点的简单图至多6条边，因此上表已经穷举了所有情形，由上表知：四个顶点的非同构简单图有11个。
图1-28 (a)v 2 v 3 u 4u (b)6. 设G 是具有m 条边的n 阶简单图。
证明：m =⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n 当且仅当G 是完全图。
证明 必要性 若G 为非完全图，则∃ v ∈V(G),有d(v)< n-1 ⇒ ∑ d(v) < n(n-1) ⇒ 2m <n(n-1)⇒ m < n(n-1)/2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n , 与已知矛盾！充分性 若G 为完全图，则 2m=∑ d(v) =n(n-1) ⇒ m= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2n 。
7. 证明：（1）m (K l ,n ) = ln ，（2）若G 是具有m 条边的n 阶简单偶图，则m ≤ ⎥⎦⎥⎢⎣⎢42n 。
证明 (1) K l,n 的总度数为2ln ,所以，m (K l ,n ) = ln 。
(2) 设G 的两个顶点子集所含顶点数分别为n 1与n 2,G 的边数为m,可建立如下的二 次规划：m=n 1n 2 s.t n 1+n 2=nn 1≥1, n 2≥ 1当n 为偶数时，n 1=n 2=n/2时，m 取最大值：m=n 2/4当n 为奇数时，取n 1=(n+1)/2, n 2=(n-1)/2时，m 取最大值：m=(n 2-1)/4所以，m ≤ ⎥⎦⎥⎢⎣⎢42n 。
8. 设△和δ是简单图G 的最大度和最小度，则δ≤2m / n ≤△。
证明∆≤≤∴≥∆⇒∆==≤⇒≥=∑∑∈∈n m n m n v d m n m n v d m Vv Vv 22)(22)(2δδδ9. 证明：若k 正则偶图具有二分类V = V 1∪V 2，则 | V 1| = |V 2|。
证明 由于G 为k 正则偶图，所以，k | V 1 | =m = k | V 2 | ⇒ ∣V 1∣= ∣V 2 ∣。
10. 证明：由两人或更多个人组成的人群中，总有两人在该人群中恰好有相同的朋友数。
证明将人用图的顶点表示，图的两顶点邻接当且仅当人群中的两人相认识，于是，问题转化为：证明在任意一个简单图中必有一对度数相等的顶点。
若图G为连通单图，则对∀v∈V(G),有1≤d(v)≤n-1,因此，n个顶点中必存在两个顶点，其度数相同；若G为非连通图，设G1为阶数n1的连通分支，则∀v∈V(G1),有1≤d(v)≤n1-1，于是在G1中必存在两个顶点，其度数相同。
11.证明：序列(7,6,5,4,3,3,2) 和(6,6,5,4,3,3,1) 不是图序列。
证明由于7个顶点的简单图的最大度不会超过6，因此序列(7,6,5,4,3,3,2) 不是图序列；(6,6,5,4,3,3,1)是图序列⇔（5，4，3，2，2，0）是图序列，然（5，4，3，2，2，0）不是图序列，所以(6,6,5,4,3,3,1) 不是图序列。
12.证明：若δ≥2，则G包含圈。
证明只就连通图证明即可。
设V(G)=｛v1,v2,…,v n｝,对于G中的路v1v2…v k,若v k与v1邻接，则构成一个圈。
若v i1v i2…v in是一条路，由于δ≥ 2，因此，对v in，存在点v ik与之邻接，则v ik⋯v in v ik构成一个圈。
13.证明：若G是简单图且δ≥2，则G包含长至少是δ+1的圈。
证明设v0v1…v k为G中一条最长路，则v0的邻接顶点一定在该路上，否则，与假设矛盾。
现取与v0相邻的脚标最大者，记为l，则l≥δ,于是得圈v0v1v2⋯v l v0,该圈长为l+1，显然不小于δ+1。
`14.G的围长是指G中最短圈的长；若G没有圈，则定义G的围长为无穷大。
证明：（1）围长为4的k的正则图至少有2k个顶点，且恰有2k个顶点的这样的图（在同构意义下）只有一个。
（2）围长为5的k正则图至少有k2+1个顶点。
证明(1) 设u,v是G中两相邻顶点，则S(u)⋂S(v)=φ,否则，可推出G中的围长为3，与已知矛盾。
因此，G中至少有2（k-1）+2个顶点，即有2k个顶点。
把S(u)⋃⎨v⎬，S(v)⋃⎨u⎬连为完全偶图，则得到2k个顶点的围长为4的图，由作法知，这样的图是唯一的。
(2) 对u∈V(G),设u的邻接顶点为u1,u2,⋯u k,由于G的围长为5，所以，u1,u2,⋯u k互不邻接。
又设u i的邻接顶点为u i1,u i2,⋯u ik-1,(i=1,2,…,k),显然，S(u i)⋂S(u j)=⎨u⎬(i≠j),否则，G 中有长为4的圈，所以，G的顶点数至少有k2+1个。
15.对具有m条边的阶n图G，证明：（1）若m≥n，则G包含圈；（2）若m≥n+4，则G包含两个边不重的圈。
证明（1）若G含有环或平行边，则G有圈。
假定G为n阶简单图。
若G中顶点度大于等于2，则G中有圈。
设G中有一度顶点，去掉该顶点和其关联的边得图G1,由条件，显然有m(G1)≥∣V(G1)∣,若G1中有一度顶点，去掉该顶点和其关联的边得图G2,有m(G2)≥∣V(G2)∣,⋯，如此进行下去，该过程不可能进行到n=1或n=2的情形，否则，不满足m≥n所以，过程进行到Gm,Gm 是度数≥2的图，它含有圈。
(2) 只就m=n+4证明就行了。
设G 是满足m=n+4，但不包含两个边不相交的圈的图族中顶点数最少的一个图。
可以证明G 具有如下两个性质：1) G 的围长g ≥5。
事实上，若G 的围长≤4，则在G 中除去一个长度≤4的圈C 1的一条边，所得之图记为G ',显然，m(G ') ≥ ∣V(G)∣=∣V(G ')∣,由(1),G '中存在圈C 2, 使C 1,C 2的边不相交这与假定矛盾；2）δ (G)≥3。
事实上，若d(v 0)=2,设v 0v 1,v 0v 2∈E(G),作G 1=G-v 0+⎨v 1v 2⎬;若d(v 0)≤1,则 G 1为在G 中除去v 0及其关联的边(d(v 0)=0,任去G 中一条边)所得之图。
显然，m(G 1)=⎜V(G 1)⎜+4,G 1仍然不含两个边不重的圈之图。
但∣V(G 1)∣<∣V(G)∣，与假定矛盾。
由2),n+4=m ≥3n/2 ⇒ n ≤ 8. 但另一方面，由1),在G 中存在一个圈Cg ，其上的顶点之间的边，除Cg 之外，再无其它边，以S 0表示Cg 上的顶点集，故由2),S 0上每个顶点均有伸向Cg 外的的边。
记与S 0距离为1的顶点集为S 1，则S 0的每一个顶点有伸向S 1的边，反过来，S 1中的每个顶点仅有唯一的一边与S 0相连，不然在G 中则含有长不大于g/2+2的圈，这与G 的围长为g 相矛盾，故⎪S 0⎪≤⎪ S 1⎪,于是有：n ≥⎪S 0⎪+⎪ S 1⎪≥g+g ≥10,但这与n ≤8矛盾。
所以，假定条件下的G 不存在。
16. 在图1-13的赋权图中，找出a 到所有其它顶点的距离。
解 1. A 1= {a }，t (a ) = 0，T 1 = Φ2.()113b v =3. m 1 = 1, a 2 = v 3 , t (v 3) = t (a ) + l (av 3) = 1 (最小)，T 2 ={av 3} 2. A 2 ={a , v 3}, 2)2(21)2(1,v b v b ==3. m 2 = 1, a 3 = v 1 , t (v 1) = t (a ) + l (av 1) = 2 (最小)，T 3 ={av 3, av 1} 2. A 3 ={a , v 3, v 1}, 4)3(32)3(22)3(1,,v b v b v b ===3. m 3 = 3, a 4 = v 4 , t (v 4) = t (v 1) + l (v 1v 4) = 3 (最小)，T 4 ={av 3, av 1, v 1v 4}2. A 4 = {a , v 3, v 1, v 4}，b 1(4) = v 2，b 2(4) = v 2，b 3(4) = v 2, b 4(4) = v 53. m 4 = 4, a 5 = v 5 , t (v 5) = t (v 4) + l (v 4v 5) = 6 (最小)，b 图1-13T 5 ={av 3, av 1, v 1v 4, v 4v 5}2. A 5 = {a , v 3, v 1, v 4, v 5}，b 1(5) = v 2，b 2(5) = v 2，b 3(5) = v 2 , b 4(5) = v 2, b 5(5) = v 23. m 5 = 4, t (v 2) = t (v 4) + l (v 4v 2) = 7 (最小)，T 6 ={av 3, av 1, v 1v 4, v 4v 5, v 4v 2}2. A 6 = {a , v 3, v 1, v 4, v 5, v 2}, b 2(6) = v 6, b 4(6) = b ，b 5(6) = v 6，b 6(6) = v 63. m 6 = 6, a 7 = v 6 , t (v 6) = t (v 2) + l (v 2v 6) = 9 (最小)，T 7 ={av 3, av 1, v 1v 4, v 4v 5, v 4v 2, v 2v 6}2. A 7 = {a , v 3, v 1, v 4, v 5, v 2, v 6}, b 4(7) = b ，b 5(7) =b ，b 7(7) =b3. m 7 = 7, a 8 = b , t (b ) = t (v 6) + l (v 6b ) = 11 (最小)，T 8 ={av 3, av 1, v 1v 4, v 4v 5, v 4v 2, v 2v 6, v 6b }于是知a 与b 的距离d (a , b ) = t (b ) = 11由T 8导出的树中a 到b 路1426av v v v b 就是最短路。
图论习题答案
习题一1. 一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。
若每点的度数为3，则总度数为27，与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，从而总度数为奇数，仍与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
2. 若存在孤立点，则m 不超过K n-1的边数, 故 m <= (n-1)(n-2)/2, 与题设矛盾。
3.4. 用向量(a 1,a 2,a 3)表示三个量杯中水的量, 其中a i 为第i 杯中水的量, i = 1,2,3.以满足a 1+a 2+a 3 = 8 (a 1,a 2,a 3为非负整数)的所有向量作为各结点, 如果(a 1,a 2,a 3)中某杯的水倒满另一杯得到 ( a ’1, a ’2, a ’3 ) , 则由结点到结点画一条有向边。
这样可得一个有向图。
本题即为在此图中找一条由( 8, 0, 0 )到( 4, 4, 0 )的一条有向路，以下即是这样的一条：5. 可以。
7. 同构。
同构的双射如下：8. 记e 1= (v 1,v 2), e 2= ( v 1,v 4), e 3= (v 3,v 1), e 4= (v 2,v 5), e 5= (v 6,v 3), e 6= (v 6,v 4), e 7= (v 5,v 3), e 8= (v 3,v 4), e 9 = (v 6,v 1), 则邻接矩阵为： 关联矩阵为：∑∑∑∑∑∑∑==+====-=++=-==---=--=ni i n i i n i n i n i ni i i n i i n i i i i a a n n a a a n n n a n a v v 1111121212/)1()1(2)1(])1[(。
， 所以 因为 ，＋ 的负度数，则为结点的正度数，为结点记－－－－－22 222 i i C a a ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------100110000001001000010100010011010100000001001100000111, 001101000100000000001001010000001010⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡( 8, 0, 0 ) ( 5, 3, 0 ) ( 5, 0, 3 ) ( 2, 3, 3 ) ( 2, 5, 1 )(7, 0, 1 ) ( 7, 1, 0 ) ( 4, 4, 0 )( 4, 1, 3 )边列表为：A= (1,1,3,2,6,6,5,3,6), B= (2,4,1,5,3,4,3,4,1). 正向表为：A= (1,3,4,6,6,7,10), B= (2,4,5,1,4,3,3,4,1).习题二1. 用数学归纳法。
离散数学图论部分经典试题及答案
离散数学图论部分综合练习一、单项选择题1．设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010*******11100100110则G 的边数为( )．A ．6B ．5C ．4D ．32．已知图G 的邻接矩阵为， 则G 有（ ）．A ．5点，8边B ．6点，7边C ．6点，8边D ．5点，7边3．设图G ＝<V , E >，则下列结论成立的是 ( )．A ．deg(V )=2∣E ∣B ．deg(V )=∣E ∣C ．E v Vv 2)deg(=∑∈ D ．E v Vv =∑∈)deg(4．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a , d )}是割边 B ．{(a , d )}是边割集 C ．{(d , e )}是边割集 D ．{(a, d ) ,(a, c )}是边割集5．如图二所示，以下说法正确的是 ( )． A ．e 是割点 B ．{a, e }是点割集 C ．{b , e }是点割集 D ．{d }是点割集6．如图三所示，以下说法正确的是 ( ) ．A ．{(a, e )}是割边B ．{(a, e )}是边割集C ．{(a, e ) ,(b, c )}是边割集D ．{(d , e )}是边割集οο ο ο οca b edο f图一图二图三7．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是 ( )．图四A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的 应该填写：D8．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ ）时，K n 中存在欧拉回路．A ．m 为奇数B ．n 为偶数C ．n 为奇数D ．m 为偶数 9．设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )．A ．e －v ＋2B ．v ＋e －2C ．e －v －2D ．e ＋v ＋2 10．无向图G 存在欧拉通路，当且仅当( )． A ．G 中所有结点的度数全为偶数 B ．G 中至多有两个奇数度结点 C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数 D ．G 连通且至多有两个奇数度结点11．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树．A ．1m n -+B ．m n -C ．1m n ++D ．1n m -+ 12．无向简单图G 是棵树，当且仅当( )．A ．G 连通且边数比结点数少1B ．G 连通且结点数比边数少1C ．G 的边数比结点数少1D ．G 中没有回路．二、填空题1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 ． 2．设给定图G (如图四所示)，则图G 的点割ο οο οc a b f集是 ．3．若图G=<V , E>中具有一条汉密尔顿回路， 则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点 数|S|与W 满足的关系式为 ．4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通 且 ．5．设有向图D 为欧拉图，则图D 中每个结点的入度 ． 应该填写：等于出度6．设完全图K n 有n 个结点(n 2)，m 条边，当 时，K n 中存在欧拉回路．7．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式 ．8．设连通平面图G 的结点数为5，边数为6，则面数为 ． 9．结点数v 与边数e 满足 关系的无向连通图就是树．10．设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去 条边后使之变成树．11．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为 ．12．设G ＝<V , E >是有6个结点，8条边的连通图，则从G 中删去 条边，可以确定图G 的一棵生成树．13．给定一个序列集合{000，001，01，10，0}，若去掉其中的元素 ，则该序列集合构成前缀码．三、判断说明题1．如图六所示的图G 存在一条欧拉回路．2．给定两个图G 1，G 2（如图七所示）：（1）试判断它们是否为欧拉图、汉密尔顿图？并说明理由． （2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路．v 123图六图七3．判别图G (如图八所示)是不是平面图， 并说明理由．4．设G 是一个有6个结点14条边的连 通图，则G 为平面图．四、计算题1．设图G =<V ，E >，其中V ={a 1, a 2, a 3, a 4, a 5},E ={<a 1, a 2>，<a 2, a 4>，<a 3, a 1>，<a 4, a 5>，<a 5, a 2>}（1）试给出G 的图形表示； （2）求G 的邻接矩阵；（3）判断图G 是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？2．设图G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1, v 2)，(v 1, v 3)，(v 2, v 3)，(v 2, v 4)，(v 3, v 4)，(v 3, v 5)，(v 4, v 5) }，试（1）画出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；（2）求出每个结点的度数； （4）画出图G 的补图的图形． 3．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试（1）给出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵； （3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形． 4．图G =<V , E >，其中V ={ a , b , c , d , e }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (c , d ), (d , e ) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G 的图形； （2）写出G 的邻接矩阵；（3）求出G 权最小的生成树及其权值．5.用Dijkstra 算法求右图中A 点到其它各点的最短路径。
图论习题
9. 若图G=(V, E)是连通图，且eE，证 明：
(1)e属于每一棵生成树的充要条件是{e} 为G的割集；
(2)e不属于G的任何一棵生成树的充要条 件是e为G中的环。
提示：反证
分析： (1) e属于每一棵生成树, 要证G删去e后
0
P(G2) ......
0
...... ...... ...... 0
0
0 ...... P(Gr )
因为Gi是连通图，Gi的秩是连通分支Gi的 结点个数-1，所以 rank(G)=rank(Gi)=n-r。
本题背景：
1 线性相关/线性无关
如果对m个向量1, 2, …., mFm，
（3）1，2，3，4，5，5
（4）2，2，2，3，3，4
（西南交大1995考研）
(1) V1={a, c, e}, V2={b, d, f}. (2) 不可能画出图。(顶点度数之和为偶数)
(3) 不可能画出图和二分图。由于有两个结点 的度数为5，则该两个结点的度数必与其余5个 结点有边相连（因为是简单图），所以其余4 个结点度数至少为2，但有一个结点的度数为1。
1. n个结点的简单图G，n>2且n奇数，G 和G补图中度数为奇数的结点个数是否相 等？请证明或给出反例。
（西南交大2001考研）
解：一定相等。
因为n>2且n奇数，则对于奇数个结点的 完全图，每个结点的度数必为偶数。若G 中度数为奇数的结点个数是m，则G的补 图中m个结点的度数为（偶数-奇数）=奇 数。 G中度数为偶数的结点，在G的补图 中这些结点的度数仍为（偶数-偶数）=偶 数。
图论复习题
图论复习题（二）图论复习题一、选择题1．设图G ＝<V , E >，v ∈V ，则下列结论成立的是 ( C ) ． A ．deg(v )=2∣E ∣ B ． deg(v )=∣E ∣ C ．E v Vv 2)deg(=∑∈ [PPT 23] D ．Ev Vv =∑∈)deg(定理1 图G=（V ，E ）中，所有点的次之和为边数的两倍 2．设无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100100110则G 的边数为( B )．A ．6B ．5C ．4D ．33、 设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ C ）时，K n 中存在欧拉回路．A ．m 为奇数B ．n 为偶数C ．n 为奇数D ．m 为偶数解释：K n 每个结点的度都为n －1，所以若存在欧拉回路则n －1必为偶数。
n 必为奇数。
4．欧拉回路是（ B ）A. 路径B. 简单回路[PPT 40]C. 既是基本回路也是简单回路D.既非基本回路也非简单回路5．哈密尔顿回路是（ C ）A. 路径B. 简单回路C. 既是基本回路也是简单回路D.既非基本回路也非简单回路[PPT 40]：哈密尔顿回路要求走遍所有的点，即是基本回路的点不重复，也可以是简单回路的边不重复。
6．设G 是简单有向图，可达矩阵P(G)刻划下列关系中的是（ C ） A 、点与边 B 、边与点 C 、点与点 D 、边与边7．下列哪一种图不一定是树（C ）。
A.无简单回路的连通图B. 有n 个顶点n-1条边的连通图C. 每对顶点间都有通路的图D. 连通但删去一条边便不连通的图8．在有n 个结点的连通图中，其边数（B ）A.最多有n-1条B.至少有n-1条C.最多有n 条D.至少有n 条9．下列图为树的是（C ）。
A 、>><><><=<},,,,,{},,,,{1d c b a a a d c b a GB 、>><><><=<},,,,,{},,,,{2d c d b b a d c b a GC 、>><><><=<},,,,,{},,,,{3a c d a b a d c b a GD 、>><><><=<},,,,,{},,,,{4d d c a b a d c b a G 10、下面的图7-22是（C ）。
图论习题
课前练习一、填空题1、图G 是简单图当且仅当 。
2、简单图G 是二部图当且仅当 。
3、若简单图G 满足(G)δ≥3，则G 中存在长度至少为 的圈。
4、连通图G 具有欧拉通路，而无欧拉回路的充要条件为 。
5、一颗树有两个2度分支点，一个3度分支点，三个4度分支点，则该树有 片树叶。
6、设T 为高为k 的二叉树，则T 最多有 个顶点。
7、设图G 是具有6条边、4个顶点的平面图,则图G 的面数为 。
8、一个图为非平面图当且仅当 。
9、S V ⊂，S 是图G 的极大独立集，则()V G S -是图G 的 。
10、带权为1，3，5，7，8，11，13的最优二叉树T 的权W(T)= 。
二、解答题1、求下图G 1的色多项式，并指出其色数、点连通度和边连通度。
图G 12、（1）证明自补图的阶数n 4k =或者n 4k 1=+，k 为某个自然数。
（2）找出所有4阶的自补图。
3、（1）证明：设G 是有v 个顶点ε条边，且G 是自对偶平面图，则2v 2ε=-。
（2）已知一颗无向树T 有三个3度结点，一个二度结点，其余都是1度结点。
①T 有几个1度结点？②试画出两棵满足上述度数要求的非同构的无向树。
4、通过布尔变量的运算，求下图3的全部极小支配集。
V 16 图3图G 25、用破圈法求下图G 3中的一颗最小生成树,写出具体过程，并计算生成树的权。
图G 36、设简单图,, |V|=n, |E|=m,G V E =<> 若有212n m C -≥+，则G 是哈密尔顿图。
7、证明：5K 不是平面图.8、证明：若,(,1)m n K m n ≥是哈密顿图，则必有.m n = 9、若,m n K 是树，求,m n 应满足的条件.132411253e 6e 1e 2e 3e 4e 5e 7e 8e 9。
图论习题参考答案
二、应用题题0：（1996年全国数学联赛）有n（n≥6）个人聚会，已知每个人至少认识其中的[n/2]个人，而对任意的[n/2]个人，或者其中有两个人相互认识，或者余下的n-[n/2]个人中有两个人相互认识。
证明这n个人中必有3个人互相认识。
注：[n/2]表示不超过n/2的最大整数。
证明将n个人用n个顶点表示，如其中的两个人互相认识，就在相应的两个顶点之间连一条边，得图G。
由条件可知，G是具有n个顶点的简单图，并且有（1）对每个顶点x，)(xN G≥[n/2]；（2）对V的任一个子集S，只要S＝[n/2]，S中有两个顶点相邻或V-S中有两个顶点相邻。
需要证明G中有三个顶点两两相邻。
反证，若G中不存在三个两两相邻的顶点。
在G中取两个相邻的顶点x1和y1,记N G(x1)＝{y1,y2,……,y t}和N G(y1)={x1,x2,……,x k},则N G(x1)和N G(y1)不相交，并且N G(x1)（N G(y1)）中没有相邻的顶点对。
情况一；n=2r：此时[n/2]＝r，由（1）和上述假设，t=k=r且N G(y1)＝V-N G(x1)，但N G(x1)中没有相邻的顶点对，由（2），N G(y1)中有相邻的顶点对，矛盾。
情况二；n=2r+1: 此时[n /2]＝r ，由于N G (x 1)和N G (y 1)不相交，t ≥r,k ≥r,所以r+1≥t,r+1≥k 。
若t=r+1,则k=r ，即N G (y 1)=r ，N G (x 1)＝V-N G (y 1)，由（2），N G (x 1)或N G (y 1)中有相邻的顶点对，矛盾。
故k ≠r+1，同理t ≠r+1。
所以t=r,k=r 。
记w ∈V- N G (x 1) ∪N G (y 1),由（2），w 分别与N G (x 1)和N G (y 1)中一个顶点相邻，设wx i0∈E, wy j0∈E 。
若x i0y j0∈E ，则w ，x i0, y j0两两相邻，矛盾。
图论测试题及答案
图论测试题及答案一、选择题1. 在图论中，如果一个图的每个顶点的度数都是偶数，那么这个图一定存在欧拉路径吗？A. 是的B. 不一定C. 没有欧拉路径D. 无法确定答案：B2. 图论中的哈密顿路径是指什么？A. 经过图中所有顶点的路径B. 经过图中所有顶点的回路C. 经过图中某些顶点的路径D. 经过图中某些顶点的回路答案：A3. 如果一个图是完全图，那么它的边数是多少？A. 顶点数的一半B. 顶点数的平方C. 顶点数的两倍D. 顶点数减一答案：B二、填空题4. 在无向图中，如果存在一条路径，使得每个顶点只被经过一次，并且起点和终点相同，这样的路径被称为________。
答案：欧拉回路5. 图论中的二分图是指图中的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一个集合内的顶点之间没有边，而不同集合之间的顶点之间有边，这种图也被称为________。
答案：二部图三、简答题6. 请简述图论中的最短路径问题，并给出解决该问题的一种算法。
答案：最短路径问题是在图中找到两个顶点之间的最短路径的问题。
解决该问题的一种算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm），该算法通过维护一个顶点集合来记录已经找到最短路径的顶点，并迭代更新距离，直到找到从起点到所有顶点的最短路径。
7. 描述图论中的图着色问题，并说明其在实际生活中的应用。
答案：图着色问题是将图的顶点着色，使得任何两个相邻的顶点颜色不同。
在实际生活中，图着色问题可以应用于时间表的安排、频率分配、电路设计等领域，其中每个顶点代表一个任务或频道，而颜色则代表不同的时间段或频率。
结束语：以上是图论测试题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握图论的基本概念和算法。
图论复习题
图论及网络总复习题一、选择题1、设G是由5个顶点构成的完全图，则从G中删去（）边可以得到树。
A．6 B．5 C．8 D．42、下面哪几种图不一定是树（）。
A．无回路的连通图B．有n个结点，n-1条边的连通图C．对每对结点间都有通路的图D．连通但删去任意一条边则不连通的图。
3、5阶无向完全图的边数为（）。
A．5 B．10 C．15 D．204、把平面分成x个区域，每两个区域都相邻，问x最大为（）A．6 B．4 C．5 D．35、设图G有n个结点，m条边，且G中每个结点的度数不是k，就是k+1，则G中度数为k的节点数是（）A．n/2 B．n(n+1) C．nk-2m D．n(k+1)-2m 6、图G1和G2的结点和边分别存在一一对应关系是G1和G2同构的（）。
A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7、设G=<V，E>为有向图，V={a,b,c,d,e,f}，E={<a,b>,<b,c>,<a,d>,<d,e>,<f,e>}是（）。
A．强连通图B．单向连通图C．弱连通图D．不连通图8、无向图G中的边e是G的割边（桥）的充分必要条件是（）。
A．e是重边B．e不是重边C．e不包含在G的任一简单回路中D．e不包含在G的某一简单回路中9、在有n个结点的连通图中，其边数（）A．最多有n-1条B．至少有n-1条C．最多有n条D．至少有n条10．设无向简单图的顶点个数为n，则该图最多有（）条边。
A．n-1 B．n(n-1)/2 C． n(n+1)/2 D．n211．n个结点的完全有向图含有边的数目（）。
A．n*n Ｂ．n（n＋１） C．n／2 D．n*（n－l）12．在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（）倍。
A．1/2 B．2 C．1 D．413．连通图G是一棵树，当且仅当G中（）A．有些边不是割边B．所有边都是割边C．无割边集D．每条边都不是割边14．4个顶点的完全图G，其生成树个数是（）。
图论试题及答案解析图片
图论试题及答案解析图片一、选择题1. 图论中，图的基本元素是什么？A. 点和线B. 点和面C. 线和面D. 点和边答案：A2. 在无向图中，如果两个顶点之间存在一条边，则称这两个顶点是：A. 相邻的B. 相连的C. 相等的D. 相异的答案：A3. 在有向图中，如果从顶点A到顶点B有一条有向边，则称顶点A是顶点B的：A. 父顶点B. 子顶点C. 邻接顶点D. 非邻接顶点答案：B4. 一个图的度是指：A. 图中顶点的总数B. 图中边的总数C. 一个顶点的边数D. 图的连通性答案：C5. 一个图是连通的，当且仅当：A. 图中任意两个顶点都是相邻的B. 图中任意两个顶点都可以通过边相连C. 图中任意两个顶点都可以通过路径相连D. 图中任意两个顶点都可以通过子顶点相连答案：C二、填空题1. 在图论中，一个顶点的度数是该顶点的________。
答案：边数2. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过边相连，则称该图为________。
答案：完全图3. 一个图中，如果存在一个顶点到其他所有顶点都有边相连，则称该顶点为________。
答案：中心顶点4. 图论中，最短路径问题是指在图中找到两个顶点之间的________。
答案：最短路径5. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过有向路径相连，则称该图为________。
答案：强连通图三、简答题1. 请简述图论中的欧拉路径和哈密顿路径的定义。
答案：欧拉路径是指在图中经过每条边恰好一次的路径，而哈密顿路径是指在图中经过每个顶点恰好一次的路径。
2. 什么是图的着色问题？答案：图的着色问题是指将图中的顶点用不同的颜色进行标记，使得相邻的两个顶点颜色不同。
四、计算题1. 给定一个无向图G，顶点集为{A, B, C, D, E}，边集为{AB, BC, CD, DE, EA}，请画出该图，并计算其最小生成树的权重。
答案：首先画出图G的示意图，然后使用克鲁斯卡尔算法或普里姆算法计算最小生成树的权重。
图论期末复习题
17．任何简单平面图，均有． G 3
二、解答题
1.同构的判定及理由
3.左图称作什么图？两图是否同 构？为什么？
x
y
z
x
c
a
a
b
c
z
y b
2、给定图 ：
(1)给出图 的一个生成树 。 (2)给出图 的顶点的最大度数 。
(3)给出图 的最长链。 (4)给出图 的一个边数最多的割集。
d
f
a
e1 b
在或不存在〕完美匹配．
35.在计算平面图面的次数之和时，每条边边计算了______ 次．
36．一个图是平面图当且仅当它既没有收缩到K5的子图， 也没有收缩到 的子图．
37．如果一个平面图有一个面的次数为4，那么该图______ 〔填是或不是〕极大平面图．
三、判断题
1．假设途径中的所有点互不相同，那么称此途径为一 条链．
31．设M1和M2是图G的两个不同匹配, 由M1 M2导出的G的边导出子图记作H, 那么H的任意连通分支是以下情况之一： (1)边在M1和M2中交错出现的偶圈;(2)边 在M1和M2中交错出现的 ．
32．二部图G中假设满足V1= V2，那么G必有完美匹配． 33． (G)=2 G是 ． 34.假设最大匹配的边数为p(G)/2，那么说明该图___〔填存
点连通度、边连通度与最小顶点的度数。
四、应用题
1. (蚂蚁比赛问题)甲、乙两只蚂蚁分别位于如以下图 中的顶点A，B处，并设图中的边长度是相等的。甲、 乙进行比赛：从它们所在的顶点出发，走过图中的所 有边最后到达顶点C处。如果它们的速度相同，问谁 先到达目的地？
甲A
乙
C
B
2．某地要兴建5个工厂，拟修筑道路连接这5 处。经勘测其道路可依如以下图无向边铺设。 为使这5处都有道路相通，问至少要铺几条路？