图论 第四章 割集
图论中的割集算法设计与分析
图论中的割集算法设计与分析图论是数学的一个分支，研究的是图的性质及其应用。
在图论中，割集（Cut Set）是指将一个图分为两个非空子图所需要移除的边集合。
割集算法是解决图论问题中的一个重要方法，本文将介绍割集算法的设计与分析。
一、割集算法的基本概念与思想割集算法是针对无向图的，用来寻找图中的割集。
割集算法的基本思想是通过不断剪枝的过程，寻找导致图分裂的边集。
其具体步骤如下：1. 首先选择一个起始顶点，并将其标记为已访问。
2. 从起始顶点开始进行深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）。
3. 在遍历的过程中，将访问到的顶点与未访问的顶点之间的边加入当前的割集。
4. 如果当前的割集将图分为两个非空子图，则停止搜索，输出当前割集。
5. 否则，继续遍历其他未访问的顶点，直到所有顶点都被访问。
二、割集算法的设计与实现割集算法可以通过编程实现。
下面是一个基于深度优先搜索策略的割集算法的伪代码：1. 定义一个函数cutSet(graph, start)，其中graph为输入的图，start 为起始顶点。
2. 初始化一个空的集合cut，用来存储割集。
3. 初始化一个空的栈stack，用来进行深度优先搜索。
4. 将起始顶点start标记为已访问，并将其入栈。
5. while stack不为空：a. 取出栈顶的顶点vertex。
b. 遍历vertex的邻接顶点adjVertex：(1) 如果adjVertex未被访问过：i. 将vertex与adjVertex之间的边加入cut。
ii. 将adjVertex标记为已访问，并将其入栈。
iii. 若cut将图分为两个非空子图，则停止搜索，输出cut。
c. 将vertex出栈。
6. 如果搜索完所有顶点后仍未找到割集，则输出图不包含割集。
在具体的编程实现中，可以根据具体情况对算法进行优化，例如使用邻接表来表示图，提高算法的效率。
三、割集算法的分析与应用割集算法的时间复杂度取决于图的规模和结构，一般来说，割集算法的时间复杂度为O(|V| + |E|)，其中|V|是顶点的数量，|E|是边的数量。
图论第四章
S
11
Graph Theory
Bond
4.1.14
A bond is a minimal nonempty edge cut.
Here “minimal” means that no proper nonempty subset is also an edge cut.
– We characterize bonds in connected graphs.
3
Graph Theory
Example: Connectivity of Kn
x
Delete two vertices
Delete four vertices
4
Graph Theory
Example: Connectivity of Km,n
Consider a bipartition X,Y of Km,n.
Proposition 4.1.19: Two blocks in a graph
share at most one vertex.
Proof:
Use contradiction.
– Suppose that blocks B1, B2 have at least two common vertices. – We show that B1∪B2 is a connected subgraph with no cut-vertex, which contradicts the maximality of B1 and B2.
17
Graph Theory
Proposition 4.1.19: Two blocks in a graph
share at most one vertex.
点割集和边割集的找法
点割集和边割集的找法
1 点割集和边割集
点割集和边割集是图论中比较重要的一个概念，它们的定义如下：点割集是指从一张图中去掉某些点，使得去掉的点集合不能形成连通图；而边割集则是指从一张图中去掉某些边，使得去掉的边的集合不
能形成连通图。
2 找法
点割集的找法基本上是贪心法，从图中找出最小的一组点使得这
些点移除之后，图不能连通，有两种特殊情况：
（1）对于完全图，如果顶点数大于2，那么顶点数减一即为最小
点割集
（2）对于任何图，如果有任何点入度和出度均为0，则移除这一点，必可以使图不能连通。
边割集的找法则有三种：
（1）最小生成树法：找出该图的最小生成树，移除最小生成树中
的边，图不再连通；
（2）树形图法：将图转换为树状图，它的极大边割集由图G中最
少的环边组成；
（3）搜索法：令S={R},R是任意一条边，当S已无法使图G不连
通时，必定令S最小。
3 应用
点割集和边割集在很多实际应用中都有体现，例如电线布线，点
割集可以用来检测电线的连接状况，以检测两个地点的通路是否可行；边割集则可以用来确定电路的正确性，检测一个电路中是否有悬挂边
或孤立点等。
此外，点割集和边割集还可以用于网络测量、网络容量
规划以及通信网络的设计等方面。
图论第四章
15
Graph Theory
Example of Blocks
4.1.17
If H is a block of G, then H as a graph has no cut-vertex, but H may contain vertices that are cut-vertices of G.
Hence any path in Bi from every vertex in Bi-{v} to any in V(B1)∩V(B2)-{v} is retained. Since the blocks have at least two common vertices, deleting a single vertex leaves a vertex in the intersection. Paths from all vertices to that vertex are retained, so B1∪B2 cannot be disconnected by deleting one vertex.
2
Graph Theory
Example: Connectivity of Kn
4.1.2
Because a clique has no separating set, we need to adopt a convention for its connectivity.
– This explains the phrase “or has only one vertex” in Definition 4.1.1.
1
Proof: The edges incident to a vertex v of minimum degree form an edge cut; hence ’(G) (G) . It remains to show that (G) ’(G).
割集
割集
割集，也叫做截集或截止集，它是导致顶上事件发生的基本事件的集合。
也就是说事故树中一组基本事件的发生，能够造成顶上事件发生，这组基本事件就叫割集。
引起顶上事件发生的基本事件的最低限度的集合叫最小割集。
中文名：割集
别称：截集或截止集
对象：简化成图的路网
目的：计算最大运输量
割集法是针对简化成图（有向图或无向图）的路网，运用图论的相关理论与方法，计算最大运输量。
由于实际路网是一个多起点、终点，随机开放的复杂系统，要想采用图论的最大流最小割定理，就必须将实际的路网抽象成一个单起、终点的理想图。
那么如何简化路网及如何寻找路网的最小割集是这种方法的关键，目前，针对这2个问题，按照不同的路网简化方式，已建立了2种模型，即修正模型和衍生割集网络极大流模型。
运用割集法方法解决路网容量问题的关键在于如何将实际的路网抽象成一个单收发点的理想图及如何寻求路网的最小割集。
而上述2类模型虽然对这个问题有所处理，但其处理结果不是引起路网上的交通重新分配，就是疏漏某些流量，因此如何既简化了路网，又能得出合理而准确的结果是是目前亟待研究的重点。
《电路（第五版）》（邱关源著，高等教育出版社）中第十五章“电路方程的矩阵形式”，第一节“割集”中给出了割集的定义：连通图G的一个割集是G 的一个支路集合，把这些支路移去将使G分离为两个部分，但是如果少移去一条支路，图仍将是连通的。
最小径集和最小割集的区别
最小径集和最小割集的区别最小径集和最小割集是图论中两个重要的概念，它们分别用于解决不同的问题。
本文将围绕这两个概念展开，逐步回答关于它们的区别，解释它们的定义、性质、应用以及算法。
首先，我们先来详细介绍最小径集（Minimum Path Set）。
最小径集是指图中连接两个给定节点的最小路径集合。
在一个有权图（weighted graph）中，每条路径都有一个权重（或称为长度），最小径集即为连接两个节点的路径中的最短路径集合。
最小径集可以用来解决许多实际问题，比如网络通信中的最短路径选择、导航系统中的最优路径规划等。
为了更好地理解最小径集，我们可以使用Dijkstra算法来计算最短路径。
Dijkstra算法是一种贪婪算法，用于解决单源最短路径问题。
它从起点开始，一步一步地扩展路径，直到找到目标节点或遍历完所有可能的路径。
Dijkstra算法的基本思想是维护两个集合：一个是已知最短路径的节点集合，另一个是未知最短路径的节点集合。
通过不断更新节点的最短路径长度，Dijkstra算法可以找到两个节点之间的最短路径。
接下来，让我们来介绍最小割集（Minimum Cut Set）。
最小割集是指将一个图分割为两个不相交子图的最小边集合。
在一个有权图中，每条边都有一个容量，最小割即为将图分割为两个子图的边中容量最小的边集合。
最小割问题是图论中的经典问题，它具有广泛的应用，比如网络流量控制、电路布线、社交网络分析等。
FordFulkerson算法是一种常用的算法，用于解决最小割问题。
该算法基于图的流网络（flow network）模型，通过不断寻找增广路径（augmenting path）来求解最小割。
增广路径是从源节点到汇节点的一条路径，它上的边容量都还没有被饱和。
通过不断寻找增广路径，并更新路径上的边的容量，FordFulkerson算法可以找到图的最小割。
最小径集和最小割集的区别可以从以下几个方面来说明：1. 定义：最小径集是图中连接两个给定节点的最短路径集合，而最小割集是将图分割为两个子图的最小边集合。
图论第4章
如果d G (v)是偶数，那么Y1与Y2中与v关联的边数均为偶数。
其次，设Y1与Y2中与v关联的边数分别为y1与y2, 其中相 同的边数为y0，那么，Y中与v关联的边数为：
y1 y0 y2 y0 y1 y2 2 y0
所以，Y中与v关联的边数为偶数，说明 G[Y]的每个顶 点度数必然为偶数。 由于G[Y]的每个顶点度数为偶数。所以，它的每个分支 是欧拉图。因此， G[Y]可以作圈分解。
E(G) E(Q1 ) E(Q2 ) E(Qk )
问题：邮递员从邮局出发，递送邮件，然后返回邮局，要求辖
区每条街至少走一遍且走过的总路程最短，应如何选择路线？
图论模型：在一个连通的具有非负权的赋权图G中找一条 包含每条边（允许重复）且边权之和最小的闭途径，称之
为最优环游。 对该问题 (1) 若图G是一个欧拉图，则找出G的欧拉回路即可。 (2) 对一般图，其解法为：添加重复边以使G成为欧拉图G*， 并使添加的重复边的边权之和为最小，再求G*的欧拉回路。
中任意一个圈在该圈中如果重复边的总权值超过该圈中非重复边总权值那么可以把该圈中平行边改为非平行边而把非平行边改为平行边如此修改得到的图仍然是包含g的欧拉图但对应的欧拉回路长度减小了
第四章 欧拉图与哈密尔顿图
§ 4.1 欧拉图
定义1 设G 是无孤立点的图。经过G的每条
边的(闭)迹被称为 Euler(闭)迹，存在Euler闭
令C是G中的一条欧拉闭迹。C中任一个给定的 点在C中每出现一次恰关联两条边，因为G的每条 边在C中仅出现一次，所以该点的度应为该点在C 中出现的次数乘以2, 是一个偶数。
(2) (3): 因为G连通非平凡，故每个点的度至少是2， 所以G含有一个圈Z 。移去Z的各条边产生一个生成子图G1 ，其中每个点的度仍然是偶数。若G1没有边，则（3）已经 成立；否则，重复应用这种论证于G1，产生一个图G2，其 中所有的点的度仍然是偶数，等等。当该过程终止于空图 Gn时，我们就得到了将G的边分成若干圈的一个划分。 (3) (1) : 令Z1是这个划分的一个圈。若G仅由Z1组 成，则G显然是欧拉图。否则，有另外一个圈Z2与Z1有一 个公共点v，从v开始并且由Z1和Z2相连组成的通道是含有 这两个圈中各条边的一条闭迹。继续这个过程，我们可以 构成一条含有G的所有边的闭迹；从而G是欧拉图。
第四章 割集
低。网络可靠性，是指网络运作的好坏程度，即
指如计算机网络、通信网络等对某个组成部分崩 溃的容忍程度。网络可靠性，是用可靠性参数来 描述的。参数主要分确定性参数与概率性参数。 确定性参数主要考虑网络在最坏情况下的可 靠性度量，常称为网络拓扑的“容错性度量”， 通常用图论概念给出。
§4.1 割集与断集
（1）该图是几阶图？最大度数和最小度数各是多少？ 请陈述握手定理。 (2)该图是欧拉图吗？若是，请画出一条欧拉 图 圈或欧拉路 （3）该图存在哈密顿圈吗？如果存在， 请画出哈密顿圈。
v1
e6 e9
e1 e8
v2
e2 e3
v8 e10
v6
e5
v7
e7
v3 v4
v5
e4
2.(1)请画出下图的两颗不同的生成树；
则G没有割边; (2) 若G为k正则二部图(k≧2)，
则G无割边。
证明: (1)若不然，设e=uv 为G的割边。则
G-e的含有顶点u的那个分支中点u的度数为奇，
而其余点的度数为偶数，与握手定理推论相矛
盾！
(2)若不然，设e=uv 为G的割边。取G-e的其 中一个分支G1, 显然，G1中只有一个顶点的度数
(1) R (G-S) = p-2; (2) 对S的任一真子集S,有R(G- S)=p-1。 称S为G的一个边割集。
a
e c d
a f
g i h e c d g
b
f
i h
b
a
e c d f
g
i h
b
连通图的割集将该图的 顶点集合分成两部分， 分成两个连通分支
连通图的将该图的顶点集合分成两部分的边集合 未必是图的割集
推论：图G的任一关联集都可以表示为其
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定理5.2.1 图G 关于生成树的基本圈
C1, C2 , , Cq p1 是线性无关的。
定理5.2.2 连通图G的任一环路均可表示成 若干个基本圈的环和。
定理5.2.3 连通（p,q）图G的所有环路和空图 的集合构成一个q-p+1维空间，记作 (G)称为圈 空间。
定理5.2.4 连通（p,q）图G的圈空间中元素的 个数为2 q-p+1。
第四章 割 集
4.1 割集与断集
我们定义连通图G的顶点数减1为图G的秩，记作 R(G)，即R(G)=p-1 如果G有k个连通分支，则R(G)=p-k
定义4.1.1 设S E(G),如果
1.R(G-S)=p-2
2.对S S,R(G-S)=p-1 则称边集S为图G的的一个割集(cut set)。
割集是指一个边集S，在G中去掉S的所有边后G变 为具有两个分支的分离图，但是去掉S中的部分边时 图仍然是连通的。
2
a
c
b
1
d
e
4
3
g f
5
1 2
1
d
e 3
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g
5
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a
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3 2
a
b
c
d
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7
6
c 2
3
1
h
l
10
V1
i
9
8 V1
4
e
5
V1
6
7
g
2 3
1
4
5
10
8
6
7 9
• 定义4.1.2 图G中端点分别属于V1
(2)T e包含G的一个唯一的割集
定理4.1.2 连通图G的一个割集至少包含生成的一个 树枝。
4.2 关联图
定义4.2.1 设v是图G的一个顶点，与v关联的所有边 的集合，称为顶点v 的关联集，记作S（v）.
2
d a
7
i k
1 b
c e
3
fg
j
9
5
h
6
l
8
4
2
割点、割集、
断集？
a
c
7
3 k
1
8
结论：1. p阶连通图G关于生成树T的基本割集组是G的 割集空间的一组基底，割集空间维数为p-1。 2. 图G的全部断集的个数为2p-1-1，空集不是断集。
推断：求一个图的全部断集，首先选取一棵生成树，然后 找到对应的基本割集，求所有可能基本割集的环合。
定理5.3.5 p阶连通图恰有p-1个线性无关的关联集。
0Gi ,1 Gi Gi ,Gi
下构成域 F 0,1上的一个q维向量空间。
5.2 圈 空 间
定义5.2.1 设T是连通G的一棵生成树，由T的树枝和一条 连枝构成的圈，称为图G关于生成树T的基本圈。
设图G为连通（p,q）图，那么G的任一生成树T的树 枝数和关于T的连枝数均为p和q-p+1。
由q-p+1条连枝构成的q-p+1个基本圈，称为G关于生 成树的基本圈组，记作Cf。由于一个图G的生成树不是唯 一的，因而一个图的基本圈组也不是唯一的。
• 线性空间R的一个线性无关极大组叫做空 间的基底，基底中所含的向量的个数叫 做空间的维数。
命题5.1.1图G中所有不同的子图的个 数是2q(包括图G中空图 )。
设G1,G2,…,GN（N=2q）是图G的全部子图， 则有下面的定理。
定题5.1.1集合 G1,G2, ,GN在环和运算与
数乘运算：
定理5.3.2 设S1，S2，…，Sp-1是连通（p,q） 图G的基本割集，那么它们是线性无关的。
定理5.3.3 图G的任一断集均可表示成若干基 本割集的环和。 对任意一个断集我们规定0·S=φ，1·S=S
定理5.3.4 图G的所有断集和空图的集合 作成向 量空间 (G)的一个子空间，称为G的割集空间。
P阶连通图G有p-1个关联集，然后求出它们 所有可能的环合，即可求出G的全部断集。
5.3 割集空间
定义5.3.1 设S是图G的一个割集，T是一棵生 成树，如果S中恰好含有T的一树枝，则称S为 G的关于生成树T的基本割集。 P-1个基本割集称为图G的基本割集组。
定理5.3.1 设T是图G的一棵生成树，T的连枝 e`包含在由树枝e确定的基本割集中的充要树枝 e包含在由连枝e`确定的基本圈中。
E(V1 V1) E(V2 V2 ) E(V11 V22 V21 V12 )
E(V3 V3 )
其中
V11 V1 V2 V12 V1 V2 V21 V2 V1
V22 V1 V2 V3 V11 V22
定理4.2.1 图G 的任一断集均可表示成若干个关联集的环 和。
推论4.2.1 图G 中任一顶点的关联集等于其余顶点关联集 的环和。
b
5
h
6
l
9 4
引理4.2.1 设V1，V2 ， V3 ， V4是图G 的顶点集合的 非空子集，其中任何两个的交均为空集，则：
E(V1 V2 V3 V4 ) E(V1 V3 ) (V1 V4 ) E(V2 V3) (V2 V4 )
引理4.2.2 设V1和V2 是图G 顶点集合的非空子集，则：
第五章 圈空间与割集空间
5.1 图的向量空间
定义5.1.1 n个只取0或1的数a1, a2, …, an,按一定次序 排成一行，再用括号括起来写成（a1, a2, …, an ） 叫做一个n维向量，其中a1, a2, …, an 叫做分量。
定义5.1.2 设 u1,u2, un 为n个向量，如果存在n个不全 为零的数， c1, c1, c1 F,i 1, 2, n, 使等式
c1u1 c2u2 cnun 0 成立 ，则称u1,u2, un 线性相关，否则称为线性无 un 的线性组合。
设S是一个n维向量组，如果S中任一向量都可表示成 向量u1,u2, un 的线性组合，则称u1,u2, un是S是的 生成元素组。又若u1,u2, un线性无关，则称u1,u2, un 是一个线性无关极大组。
和集(Vse1g的)。所有边的集合称为G的断
• E(V1×V2)表示一个端点在V1中， 另一个端点在V2中的所有边的集 合。
2
V1 a 1
b V2
c
3
e
f
d
g
5
h
4
2
V1 a
b
1
c
e
f
d
3
V1
g
5
h
4
V1
V1
V1
V1
V1
定理4.1.1 设T是连通图G的一棵生成树，并且e是任 一树枝，则：
（1）连枝集中不包含G的割集。