研究生课程《代数图论》教学大纲
图论教学大纲
图论教学大纲图论教学大纲引言：图论是离散数学的一个重要分支，它研究的是由节点和边组成的图结构。
图论在计算机科学、电信网络、社交网络等领域都有广泛的应用。
为了提高学生的图论理解和应用能力，制定一份完善的图论教学大纲是必要的。
一、基础概念与术语1. 图的定义与基本术语：节点、边、度、路径等。
2. 有向图与无向图的区别与应用场景。
3. 连通性与连通图的性质。
4. 子图与超图的概念及应用。
二、图的表示与存储1. 邻接矩阵与邻接表的比较与选择。
2. 图的存储结构的选择与实现。
3. 图的遍历算法：深度优先搜索与广度优先搜索。
三、图的性质与算法1. 图的同构与同构判定算法。
2. 图的连通性与连通分量的计算。
3. 图的割点与割边的定义与算法。
4. 最短路径算法：Dijkstra算法与Floyd-Warshall算法。
5. 最小生成树算法：Prim算法与Kruskal算法。
四、应用案例分析1. 电信网络规划与优化中的图论应用。
2. 社交网络中的图论算法与分析。
3. 交通网络与路径规划中的图论应用。
4. 电力系统与供应链管理中的图论应用。
五、拓展与深入研究1. 图的扩展应用领域与前沿研究方向。
2. 图论在人工智能与机器学习中的应用。
3. 图论与其他学科的交叉研究与合作。
结语：通过本教学大纲的学习，学生将能够掌握图论的基本概念与术语，理解图的表示与存储方法，掌握图的性质与算法，以及应用图论解决实际问题的能力。
同时，拓展与深入研究的内容将为学生提供更广阔的学术发展空间。
图论作为一门重要的学科，将为学生的学习和未来的职业发展带来巨大的价值。
研究生课程《Artin代数表示论》教学大纲
研究生课程《Artin代数表示论》教学大纲课程编号：Math2117课程名称：Artin代数表示论英文名称：Representation Theoy of Artin Algebras开课单位：数学科学学院开课学期：秋课内学时：36教学方式：讲授适用专业及层次：代数方向硕士考核方式：考试预修课程：高等代数、近世代数一、教学目标与要求本课程较全面、系统地介绍Artin代数与有限维代数的表示理论，重点是箭图与路代数，箭图上的表示，Auslander-Reiten理论，倾斜理论等，难点是理解Gabriel定理、箭图上的表示、几乎可列序列，Auslander-Reiten箭图，倾斜模等。
通过本课程中基本概念和基本定理的阐述和论证，培养研究生的抽象思维与逻辑推理能力，提高研究生的数学素养。
在重视数学论证的同时，强调Artin代数表示理论研究的研究方法。
通过本课程的学习，要求研究生掌握Artin代数表示论的基本理论和方法，为学习后开展科学研究打好基础。
二、课程内容与学时分配Chapter 1. Quivers and Algebras （8学时）Quivers and path algebrasAdmissible ideals and quotients of path algebrasThe quiver of a finite dimensional algebraChapter 2. Representations and Modules （10学时）2.1 Representations of bound quivers2.2 The simple, projective and injective modules2.3 The dimension vector of a module and the Euler characteristicChapter 3. Auslander-Reiten Theory （10学时）3.1 Irreducible morphisms and almost split sequences3.2 Auslander-Reiten translations3.3 Existence of almost split sequences3.4 Auslander-Reiten quiver of an algebraChapter 4. Titling Theory （8学时）4.1 Torsion pairs4.2 Partial tilting modules and tilting modules4.3 Tilting theorem of Brenner and Butler4.4 Torison pairs induced by tilting modules三、教材I. Assem, D. Simon and A. Skowroński, Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, 1: Techniques of Representation theory, London Math. Soc. Stud. Texts 65, Cambridge, New York, 2006.主要参考书M. Auslander, I. Reiten and S. SmalØ, Representation Theory of Artin Algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 36, Cambridge University Press, Cambridge, New York, 1995.。
14.数学一级学科博士研究生培养方案(数学与统计学学院)
数学（0701）一级学科博士研究生培养方案一、培养目标培养掌握数学学科坚实宽广的基础理论和系统深入的专门知识、熟悉数学学科相关领域的前沿动态、具有独立从事数学及相关学科创新性研究及广阔国际视野的研究型人才；培养德智体全面发展适应国际化信息化时代要求的，能从事数学及相关学科领域的教学、科研工作的高素质、高层次的数学传播与研究人才。
具体要求如下：1. 具有较高的政治素质、良好的道德品质和团结协作精神，遵纪守法，学风严谨，热爱数学，有强烈的事业心和献身精神。
2. 掌握本专业坚实宽广的基础理论知识，能够独立地从事科学研究、教学工作或承担专门技术工作，而且具有主持科研、技术开发项目、探索和解决实际问题的能力。
3. 至少掌握一门外国语，并能运用该门外国语熟练地阅读本专业的外文资料，并具有一定的写作能力和国际学术交流能力。
第二外国语为选修，要求有阅读本专业外文资料的初步能力。
二、研究方向1．基础数学（1）代数学：本方向主要研究群、环、模、代数等运算系统的结构，以及它们的以线性形式、组合形式等形式出现的表示论性质；研究它们在数学各方向、在信息学、物理、化学等学科技术领域的代数形式和它们的应用。
（2）几何学：本方向主要研究黎曼流形的几何与分析，内容包括Kahler流形、Lie群与黎曼对称空间、Spin流形的曲率和拓扑性质、Laplace算子与Dirac算子的谱性质、调和映射与次椭圆调和映射的性质、Yang-Mills场理论、Seiberg-Witten 理论等。
（3）微分方程：本方向主要研究微分方程的基本理论及其应用。
主要侧重于研究非线性椭圆问题的多解及其性态、非线性抛物问题的解及其性态和有很强物理背景的Navier-Stokes 方程、Euler方程以及与化学反应和生物衍变有关的反应扩散方程的解的存在性及其性态等问题；同时，对常微分方程定性理论、分支理论以及动力系统也将进行探讨。
（4）函数论：本方向主要研究定义在各种域上取值为实值或复值的一般函数性质，以及各种函数类之间变换（算子）的性质，同时也研究这些内容和方法的抽象理论（如泛函分析理论等）；其研究结果和方法将应用于解决物理、工程等学科所提出的各种线性和非线性的解析问题。
《代数》课程教学大纲
《代数》课程教学大纲课程描述：本课程包括矩阵理论和线性代数，并重点介绍了对其他学科有用的理论。
线性代数是数学的一个分支，研究线性方程组和矩阵的属性。
线性代数的概念在物理学、经济学、社会科学、自然科学和工程学上是非常有用的。
由于其广泛的应用范围, 线性代数是在大学数学中教授最广泛的科目之一(在高中则更加有用)。
课程内容包括线性方程组及其解决方案、矩阵和矩阵代数、逆矩阵；行列式排列；真实n维向量空间、抽象的向量空间和公理、线性变换；内积(点积)、叉积及其几何应用；子空间、线性独立度、向量空间依据、维度、矩阵秩；特征值、特征向量和矩阵对角化。
本课程是一门重要的数学基础课程，为后续的实验课程打下基础。
它的任务是帮助学生为后续课程和数学知识的学习，打下坚实的基础。
课程目标：学生将完成以下学习目标:1. 用初等行变换、初等矩阵和矩阵代数解决系统方程。
2. 掌握矩阵的转置和逆矩阵。
3. 找到行列式，并用其性质来确定一个矩阵是非奇异矩阵。
4. 确定子空间、向量空间的生成集和基。
5. 证明一组向量的线性独立或线性相关性。
6. 利用线性变换作为从一个向量空间映射到另一个空间。
7. 用定义和定理证明上述主题。
课程大纲：1. 线性代数中的线性方程组* 线性方程的系统* 列减法和梯队形式* 向量方程* 矩阵方程Ax = b* 线性系统的生成集* 线性独立* 对线性变换的介绍* 线性变换的矩阵(主要阅读第一章)2. 矩阵* 矩阵运算* 逆矩阵* 可逆矩阵的特征(主要阅读第二章)3. 行列式* 行列式介绍* 行列式的特性* 克莱姆法则、体积和线性变换(主要阅读第三章)4. 向量空间* 向量空间和子空间* 线性无关组; 向量空间的基* 坐标系统* 向量空间的维数* 向量空间的秩(主要阅读第四章)5. 特征值和特征向量* 特征向量和特征值* 特征方程* 对角化* 特征向量和线性变换(主要阅读第五章)6. 正交性和最小二乘方* 内积、长度和正交性* 正交集* 正交投影* 正交化过程(主要阅读第六章)7. 对称矩阵和二次型* 对称矩阵* 二次型* 三角积分* 合理化替换* 部分分式有理函数的积分(主要阅读第七章)推荐课程教材和拓展阅读材料：教材：大卫·雷(2005), 《线性代数及其应用》，艾迪生－韦斯利出版公司. ISBN-13: 978-0321385178.拓展阅读材料：1）史蒂芬·弗里德伯格等（2002），《线性代数》，第四版，培生教育出版集团. ISBN: 978-0130084514.2）维尔纳·格瑞博(1975). 《线性代数》，第四修订版, 斯普林格纽约有限公司. ISBN: 1468494481.3）史蒂芬·里昂(2002). 《应用线性代数》，培生教育出版集团. ISBN: 9781292025148.成绩评定：课程的最终成绩将由2次期中考试和1次期末考试决定。
《高等代数》课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲一、大纲说明课程名称: 高等代数课程名称（英文）：Advanced Algebra适用专业：数学与应用数学课程性质：学科教育必修课程总学时： 192其中理论课学时: 192 实践（实验）课学时:0学分：12先修课程：二、本课程的地位、性质和任务《高等代数》是数学与应用数学专业最重要的基础课程之一，是数学各专业报考硕士研究生的必考课程之一。
通过本课程的学习，使学生掌握多项式和线性代数的系统知识和理论，提高学生抽象思维、逻辑推理和运算能力，培养学生运用抽象的、严格的代数思想方法分析问题、解决问题的能力，为常微分方程、近世代数、计算方法、泛函分析等后续课程的学习打下坚实的基础。
三、教学内容、教学要求第一章基本概念教学内容本章主要介绍了集合、映射、数环、数域等基本概念，这些概念是学习本课程及其它数学分支的基础知识。
1、集合子集集合的相等集合的交与并及其运算律笛卡儿积2、映射映射满射单射双射映射的相等映射的合成可逆映射映射可逆的充要条件3、数学归纳法自然数的最小数原理第一数学归纳法第二数学归纳法4、整数的一些整除性质5、数环和数域教学要求了解：整数的一些整除性质理解：集合掌握：映射；数学归纳法；数环和数域重点与难点映射；可逆映射；数域。
第二章多项式本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项式有理根的求法，简单介绍了多元多项式及对称多项式。
多项式理论是高等代数的重要内容，是中学数学有关知识的加深和扩充，是学习其它数学分支的必要基础。
教学内容1、一元多项式的定义和运算2、多项式的整除性整除的基本性质带余除法定理3、多项式的最大公因式最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、多项式的唯一因式分解定理不可约多项式概念唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、多项式函数与多项式的根多项式函数的概念余式定理综合除法多项式的根的概念根与一次因式的关系多项式根的个数7、复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明）8、有理数域上多项式的可约性及有理根本原多项式的定义Gauss引理整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法有理数域上多顶式的有理根※9、多元多项式多元多项式的概念字典排列法多元多项式的和与积的次数※10、对称多项式对称多项式的概念初等对称多项式对称多项式基本定理教学要求了解：多元多项式对称多项式理解: 一元多项式的定义和运算；多项式的整除性；多项式函数与多项式的根；复数域和实数域上多项式的因式分解掌握: 多项式的重因式；多项式的最大公因式；复数域和实数域上多项式的因式分解；有理数域上多项式的可约性及有理根重点与难点整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、因式分解定理的应用、k重因式与k 重根的关系、复（实）系数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。
《代数几何》课程大纲
*学习目标(Learning Outcomes)
1.熟练掌握Hilbert零点定理，Hilbert基定理，Noether正规化定理，以及局部代
数与仿射代数簇的性质。A5,B2,B3,B7.
2.熟练掌握仿射代数簇的有限覆盖的基本性质，以及代数簇间映射的纤维的维数 理论。A5, B2, B3,B7
2
面授
习题
完成要求
书面作业
11微分与剩余
12Riema nn-Roch
定理
2
4
面授
面授
习题
习题
完成要求
完成要求
书面作业
书面作业
*考核方式
(Gradi ng)
（成绩构成）
本课程的考试，注重对学生综合运用所学知识解决问题能力的考核， 考试成绩包括二个方面：
（1）期末大作业成绩，占50%。
（3）作业成绩（包括习题，课堂报告和出勤），占50%。
习题
完成要求
书面作业
3代数簇间的 映射
2
面授
习题
完成要求
书面作业
4维数与积
2
面授
习题
完成要求
书面作业
5局部代数
3
面授
习题
完成要求
书面作业
6仿射代数簇 的性质
3
面授
习题
完成要求
书面作业
7代数簇
4
面授
习题
完成要求
书面作业
8完备非奇异 曲线
3
面授
习题
完成要求
习题
完成要求
书面作业
10完备化
the graduate level. We have tried to give complete proofs assuming a background in algebra at the level one except from a first or sec ond year un dergraduate stude nt. The point of view here is that of Serre[5] or Chapter I of Mumford[4]-a variety is a ringed space locally isomorphic to an affine variety over a field ,which is algebraically closed . Although we do not treat schemes we trust the reader will not find the transition too difficult.
图论教学大纲
《图论》教学大纲一、课程名称：《图论》二、课程的性质:数学与应用数学专业限选课三、课程教学目的图论是研究离散对象二元关系系统的一个数学分支。
作为大学数学系的选修课之一,本课程的目的是让学生掌握图论的基本理论和方法，了解一些基本的图论算法及其实现。
要求学生能将图论理论应用于一些简单的离散数学问题。
四、课程教学原则与教学方法以课堂讲授为主要形式，采用讨论式、研究式的教学方法，充分调动学生学习的主动性和积极性。
教学内容重点突出基本知识与基本技能，既传授知识，又教书育人，注重培养学生的能力与素质。
五、课程总学时本课程学期教学时数为每周4学时，计划教学周数16.5周，总学时为66学时；本课程学分为4学分。
教学基本要求要求学生初步掌握图的基本概念和图论的基本理论，图论中一些重要的结论。
教学内容及要求（标注“*”的为教学重点和难点）第一章图的基本概念（1）理解图、简单图、自图以及图的同构的定义（A）；（2）掌握路、圈和树的概念和基本性质（A）；（3）理解图的连通性概念，掌握相关结论（A）；（4）了解最短路问题及相关的算法。
(C)第二章树(1)树的特性(A)(2)掌握割边与割点(A)(3)理解生成树的定义(B)第三章欧拉图和哈密顿图(1) 欧拉图与哈密顿图的定义:要求达到”领会”的层次(A)(2)欧拉图与哈密顿图的判别准则:要求达到”熟悉”,”领会”的层次(A)第四章割集(1)割集与断集.关联集.要求达到”识记”的层次(A)第五章图的矩阵表示(1)关联矩阵,圈矩阵,割集矩阵的表示:要求达到”领会”的层次(A)(2)矩阵间的关系及图的邻接矩阵的运算性质:要求达到”应用”的层次(B)第六章连通性(1)连通度和边连通度,连通图:要求达到”领会”的层次(B)第七章匹配(1)理解Euler图的定义，掌握有关充要条件（A）；(2)理解Hamilton图的概念，掌握有关的必要条件和各种不同的充分条件（A）(3)掌握匹配（最大匹配、完美匹配）的定义及相关结论.(B)第八章色数(1)理解图的边着色、顶点着色的概念，掌握相关的结论（A）；(2)掌握图的独立数、覆盖数的概念及相关结论；(B)(3)理解色多项式(B)第九章平面图(1)理解平面图、平图的概念.(B)(2)掌握Euler公式、Kratowski定理，了解5色定理和4色问题（A）；七、教材及学生参考书1、阿勇嘎，斯钦，图论基础，1992年2、邦迪，图论及其应用，中文版，19763、《Graph Theory and Applicatoins》Bondy原文网络版.八、课程考试与评估期末考试，占百分之六十，平时成绩（考勤、作业、测验）占百分之四十1、考试标准(命题原则)：以检验考生掌握《图论》的基本概念，基本理论，基本方法和基本技巧的熟练程度为目的，兼顾考察考生的数学基础。
《代数几何》课程大纲
2
面授
习题
完成要求
书面作业
2
面授
习题
完成要求
书面作业
2 3 3 4
面授 面授 面授 面授
习题 习题 习题 习题
完成要求 完成要求 完成要求 完成要求
书面作业 书面作业 书面作业 书面作业
*教学内容、进度安排 及要求 (Class Schedule &Requirements完成要求
书面作业
Project Homework 50% 50%
*教材或参考资料 (Textbooks & Other Materials)
（必含信息：教材名称，作者，出版社，出版年份，版次，书号） 1. Daniel bump, Algebraic Geometry, World Scientific 1998. 2. W. Futon, Introduction to Intersection Theory in Algebraic Geometry, CBMS Regional Conference Series in Mathematics 54 (1983). 3. W. Futon, Intersection Theory, Springer- Verlag(1984). 4. D. Mumford, The Red Book of varieties and Schemes, Lecture Notes in Mathematics 1358 , Springer- Verlag (1988). J. P. Serre, Faisceaux algébriques cohérents , Ann. of Math. 61 (1955), 197-278.
2 2
面授 面授
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研究生课程《代数图论》教学大纲
课程编号：Math 2086
课程名称：代数图论
英文名称：Algebraic Graph Theory
开课单位：数学科学学院
开课学期：第三学期
课内学时：36
教学方式：讲授
适用专业及层次：数学科学学院专业硕士
考核方式：考查
预修课程：图论，组合数学，矩阵分析
一、教学目标与要求
本课程主要研究如何用代数方法（群，表示论，矩阵等）研究图论问题，是现代图论的重要分支．代数图论的诸多问题仍是当今图论的研究热点．
本课程较全面、系统地介绍代数图论的基本概念，基本理论和基本方法。
主要内容分为两个方面。
一方面，介绍图的各种矩阵表示及其谱性质，内容包括图的邻接矩阵、Laplace矩阵，无符号Laplace矩阵，同谱图，谱半径及其界，代数连通度与连通性，商图方法，谱的多项
式方法，谱的特征向量组合方法等。
另一方面，介绍群与图，主要介绍图的群表示、图的自同构、非对称图、本原性与连通性、Cayley 图及其性质、点可迁图、边可迁图、弧可迁图、距离可迁图、Moore 图等。
通过本课程的学习，要求学生会从代数的观念看一个图，了解代数图论的基本研究问题在，掌握代数图论的常用方法，培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和分析解决实际问题的能力，为开展相关科学研究打好基础。
二、课程内容与学时分配
第一章图的谱（6学时）
1．1 图的矩阵表示
1．2 特殊图类的谱
1．3 连通性
1．4 自同构性
1．5 代数连通度
1．6 同谱图
1．7 图的同态
1．8 线图与平面图
第二章谱理论的线性代数方法（6学时）
2．1 Perron-Frobenius定理
2．2 等部划分与商图方法
2．3 交错定理
2．4 Schur不等式
2．5 Courant-weyl不等式
第三章图的谱性质（6学时）
3．1 最大的特征值
3．2 最大特征值至多为2的图
3．3 正则图的谱
3．4 二部图的谱
3．5 Laplace特征值与度序列
第四章代数图论中的群方法（6学时） 4．1 置换群
4．2 计数理论
4．3 不对称图
4．4 对上的轨道
4．5 本原性与连通性
第五章可迁图 (6学时）
5．1 点可迁图
5．2 边可迁图
5．3 点连通性与边连通性
5．4 匹配
5．5 Cayley图
第六章弧可迁图（3学时）
6．1 弧可迁图
6．2 弧图
6．3 三正则弧可迁图
6．4 Petersen图
6．5 距离可迁图
第七章 Moore图（3学时）、
7．1 射影平面
7．2 广义多边形
7．3 Moore图
三、教材
1. C. Godsil, G.Royle, Algebraic Graph Theory，Springer, 2001.
2. A. E. Brouwer, W. H. Haemers, Spectra of graphs, Springer, 2011.
四、主要参考书
1．D. Cvetkovic, P. Rowlison, S. Simic, An Introduction to the theory of graph Spectra, London Mathematical society, 1997
2．R. B. Bapat, Graph and matrix, Springer, 2010.
3．N. Biggs, Algebraic graph theory, Cambridge University Press, 1974.。