新人教版九年级数学上册24.1.4圆的有关性质优质课件
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人教版九年级上册数学课件24.1圆的有关性质1(共21张PPT)
结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
如果∠A=44°,则∠BOC=____.
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
1 你∠A会C找B的出平几分对县相交等⊙的O圆与周D角,求？BC,AD,BD的长. 2 反过来也是成立的,即90°的圆周角所对的弦是圆的直径
相等或互补 反过来也是成立的,即90°的圆周角所对的弦是圆的直径
你会找出几对相等的圆周角？
②两边都和圆相交. 距关系定理是什么？
90°; 90°的圆周角所对的弦是圆的直径. （2）一条弦分圆为1：4两部分，
例题讲解
例. 如图OA、OB、OC都是⊙O的半径， ∠AOB=2∠BOC．
求证：∠ABC=∠BAC．
求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？
的圆周角等于多少? ∠AOB是圆心角．
如图⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm, (5x—30)°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。 如果∠A=44°,则∠BOC=____.
即:在同圆或等圆中,同弦或等弦所对的圆周角 提示:能否转化为1的情况?
结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 反过来也是成立的,即90°的圆周角所对的弦是圆的直径
O
A
B
C
例.已知：△ABC的三个顶点在⊙O上, ∠BAC=50°,∠ABC=47°,求∠AOB．
解：由题意知：∠A、∠B、∠C是圆周角，
∠AOB是圆心角．
C
又∵∠BAC=50°，∠ABC=47°
∴∠ACB=180°-(∠A＋∠B)
O
=180°-(50°＋47°)
=83°．
又 ACB 1 AOB
A
第24章 圆
如果∠A=44°,则∠BOC=____.
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
1 你∠A会C找B的出平几分对县相交等⊙的O圆与周D角,求？BC,AD,BD的长. 2 反过来也是成立的,即90°的圆周角所对的弦是圆的直径
相等或互补 反过来也是成立的,即90°的圆周角所对的弦是圆的直径
你会找出几对相等的圆周角？
②两边都和圆相交. 距关系定理是什么？
90°; 90°的圆周角所对的弦是圆的直径. （2）一条弦分圆为1：4两部分，
例题讲解
例. 如图OA、OB、OC都是⊙O的半径， ∠AOB=2∠BOC．
求证：∠ABC=∠BAC．
求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？
的圆周角等于多少? ∠AOB是圆心角．
如图⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm, (5x—30)°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。 如果∠A=44°,则∠BOC=____.
即:在同圆或等圆中,同弦或等弦所对的圆周角 提示:能否转化为1的情况?
结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 反过来也是成立的,即90°的圆周角所对的弦是圆的直径
O
A
B
C
例.已知：△ABC的三个顶点在⊙O上, ∠BAC=50°,∠ABC=47°,求∠AOB．
解：由题意知：∠A、∠B、∠C是圆周角，
∠AOB是圆心角．
C
又∵∠BAC=50°，∠ABC=47°
∴∠ACB=180°-(∠A＋∠B)
O
=180°-(50°＋47°)
=83°．
又 ACB 1 AOB
A
第24章 圆
人教版九年级数学上册第24章第1节《圆》课件
A
A
C
B
B C
O C
O
B A
O
D
D
A
A
C
B
B C
O
O
B A
O
C
D
D
【发现】直径是最长的弦
探究新知
24.1 圆的有关性质/
弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简弧．以A、B为 端点的弧记作 AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
➢半圆
B ·O
A
C
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
A ·O1 C
探究新知
24.1 圆的有关性质/
【想一想】长度相等的弧是等弧吗？ 如图，如果A︵B和C︵D的拉直长度都是10cm，平移并调整
小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？
可见这两条弧不可能完全重合
D
B
A
C
实际上这两条弧弯曲程度不同
A
“等弧”要区别于“长度相等的弧”
D BC
【结论】等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
探究新知 素养考点 1 圆的定义的应用
24.1 圆的有关性质/
例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O. 求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD.
A
D
O
又∵AC=BD，
B
C
∴OA=OB=OC=OD.
∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的 墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳 定性”的原理
人民教育出版社九年级数学上册 第二十四章 24.1圆的有关性质(共24张PPT)
Ｄ
Ｃ
Ｏ
Ａ
Ｂ
变题1：如图1，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°， A，B，C，D四个点在同一圆上吗？为什么？
变 题 2 ： 如 图 2 ， 若 点 A 、 C 在 直 线 BD 的 同 侧 ， ∠A=∠C=90°， A，B，C，D四个点仍在同一圆上吗 ？为什么？
与圆有关的概念
弦
O·
A
连接圆上任意两点的线段 （如图AC）叫做弦，
1.以点A为圆心，可以画 无数 个圆；以已知线段
AB的长为半径可以画
无数个圆；以点A为圆
心，AB的长为半径，可以画 个1 圆.
2.到定点O的距离为5cm的点的集合是以 O 为 圆心， 5cm长的线段为半径的圆 .
3.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
求证:A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一圆上.
线段OA叫做半径. 表示：以O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O” .
问题:(1)以点O为圆心可以画几个圆？ (2)以2㎝为半径可以画几个圆？ (3)以点O为圆心、2㎝为半径可以画几个圆?
结论：
圆心
位置
确定一个圆的两个要素
半径
大小
（1）圆上各点到定点（圆心O） 的距离都等于定长（半径r）；
（2）到定点的距离等于定长的 点都在同一个圆上．
“一切立体图形中最美的是球，一 切平面图形中最美的是圆。”
——毕达哥拉斯
九年级 上册
24.1.1 圆
（1）学会用圆规画一个圆； （2）没有圆规如何画一个圆？ （3）体育老师如何在操场画圆？
A
在一个平面内，线段OA绕它固定
r
的一个端点O旋转一周，另一端点A
O·
所形成的图形叫做圆.
人教202X课标版初中数学九年级上册第二十四章24.1圆的有关性质说课课件(共76张PPT)
其中，每个人的发展和学科的发展应该是自相似 的，经验几何与经验数学也是许多数学学习的开始.
125 背景分析
研究目标 研究学准科备背景研究过教程材背研景究结学论生背景
学科 本质
发展 历程
核心 素养
这次课程改革中提出的六大核心素养——数学抽 象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数 据分析六大核心素养.
1
，学生采取操作学习法、探
究学习法、合作学习法等；
2
342 教法学法
研究目标 研究准教备法 研究过程学法研究结教论学手段
PPT 几何画板 磁力黑板 板书 圆形纸片
353 教学过程
•数学实验 •整体把握
研究目标问题引研入究准备现场研操究作过程探究研操究作结论课堂小结
1 问题引入
现场操作
2
探究操作
3
235 教学目标
学生亲历+教师指导.
在自由发言、小组讨论中 ，锻炼表达与合作等能力;
知研究识目能标力 研过究程准方备法 研情究感过态程度价研值究观结论重点难点
1
让学生在动手折纸活动中 感受圆的对称之美、各种
图形的判定方法；
2
3
教师适时适当指导学法：
如：图形的分类方法等，
指导正确的数学观等；
236 教学目标
221 背景分析
能力 储备
优势
研究目标 研究学准科备背景研究过教程材背研景究结学论生背景
①对核心素养中的“逻辑推理、数学运算” 等掌握较好；
②对图形的性质、判定掌握较好；
劣势
222 背景分析
能力 储备
优势
研究目标 研究学准科备背景研究过教程材背研景究结学论生背景
①对核心素养中的“逻辑推理、数学运算” 等掌握较好；
125 背景分析
研究目标 研究学准科备背景研究过教程材背研景究结学论生背景
学科 本质
发展 历程
核心 素养
这次课程改革中提出的六大核心素养——数学抽 象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数 据分析六大核心素养.
1
，学生采取操作学习法、探
究学习法、合作学习法等；
2
342 教法学法
研究目标 研究准教备法 研究过程学法研究结教论学手段
PPT 几何画板 磁力黑板 板书 圆形纸片
353 教学过程
•数学实验 •整体把握
研究目标问题引研入究准备现场研操究作过程探究研操究作结论课堂小结
1 问题引入
现场操作
2
探究操作
3
235 教学目标
学生亲历+教师指导.
在自由发言、小组讨论中 ，锻炼表达与合作等能力;
知研究识目能标力 研过究程准方备法 研情究感过态程度价研值究观结论重点难点
1
让学生在动手折纸活动中 感受圆的对称之美、各种
图形的判定方法；
2
3
教师适时适当指导学法：
如：图形的分类方法等，
指导正确的数学观等；
236 教学目标
221 背景分析
能力 储备
优势
研究目标 研究学准科备背景研究过教程材背研景究结学论生背景
①对核心素养中的“逻辑推理、数学运算” 等掌握较好；
②对图形的性质、判定掌握较好；
劣势
222 背景分析
能力 储备
优势
研究目标 研究学准科备背景研究过教程材背研景究结学论生背景
①对核心素养中的“逻辑推理、数学运算” 等掌握较好；
人教版九年级数学上册 24.1.圆的有关性质 课件
归纳：圆心为O、半径为r的圆可以 看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点的集合．
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定 的一个端点O旋转一周，另一个端点A所 形成的图形叫做圆．
z x xk
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成 是所有到定点O的距离等于定长r 的点组 成的图形．
同心圆
等圆
圆心相同，半径不同
DC E
(×)
(√)
注意：定理中的两个条件
（直径，垂直于弦）缺一不可！
DC
O D
A
(√)
2.如图，在圆O中，直径MN⊥AB，垂足
是C，则下列结论中错误的D是（ ）
A.A⌒N=⌒BN B. AC=BC
M
C.A⌒M=⌒BM D.OC=CN
O
C
A
B
N
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，（1）求⊙O的半径． 变式训练：
(2) 若弦AB长为8cm， ⊙O半径为5cm，求圆心O到AB距离 （3）若圆心O到AB距离为3cm，⊙O半径为5cm求弦AB长
解： 作 OE⊥AB，连接OA
A
E
B
OE AB
AE 1 AB 1 8 4
O·
22
在Rt△ABC中 AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
“我国圆古人”很早指对
“圆周” 圆就有这样的认 识了，战国时的 《墨经》就有 “圆，一中同长 也”的记载．它 的意思是圆上各 点到圆心的距离 都等于半径．
提问：根据圆的定义，”圆“指的是”圆周 “还是”圆面“？
从画圆的过程可以看出：
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长 （半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定 的一个端点O旋转一周，另一个端点A所 形成的图形叫做圆．
z x xk
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成 是所有到定点O的距离等于定长r 的点组 成的图形．
同心圆
等圆
圆心相同，半径不同
DC E
(×)
(√)
注意：定理中的两个条件
（直径，垂直于弦）缺一不可！
DC
O D
A
(√)
2.如图，在圆O中，直径MN⊥AB，垂足
是C，则下列结论中错误的D是（ ）
A.A⌒N=⌒BN B. AC=BC
M
C.A⌒M=⌒BM D.OC=CN
O
C
A
B
N
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，（1）求⊙O的半径． 变式训练：
(2) 若弦AB长为8cm， ⊙O半径为5cm，求圆心O到AB距离 （3）若圆心O到AB距离为3cm，⊙O半径为5cm求弦AB长
解： 作 OE⊥AB，连接OA
A
E
B
OE AB
AE 1 AB 1 8 4
O·
22
在Rt△ABC中 AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
“我国圆古人”很早指对
“圆周” 圆就有这样的认 识了，战国时的 《墨经》就有 “圆，一中同长 也”的记载．它 的意思是圆上各 点到圆心的距离 都等于半径．
提问：根据圆的定义，”圆“指的是”圆周 “还是”圆面“？
从画圆的过程可以看出：
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长 （半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
九年级数学上册第24章圆24.1圆的有关性质圆课件{新人教版)ppt
思考：
①“直径是弦，弦是直径”这种说法正确吗？ 直径是圆中最长的弦吗？
②“半圆是弧，弧是半圆”这种说法正确吗？ ③面积相等的两个圆是等圆吗？周长相等的两 个圆呢？
【针对训练】
D
D
0<d≤4
探究点二 运用“圆的半径相等”解决问题
C
【针对训练】
A
总结梳理 内化目标Leabharlann 达标检测 反思目标A
等边三角形
r
A E
1.圆上各点到定点（圆心O）的距 离都等于定长（半径r）
2.到定点（圆心O）的距离都等于定
D
长（半径r）的点都在同一个圆上。
圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点的距 离等于定长r的点的集合。
我国古人很早对圆就有这样的认识了，战国时的 《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的 意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径．
C
半圆有 ：
优弧有：
⌒
ACB
A⌒BC
B⌒AC
等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧。
注意：
①线段OA所形成的图形叫做圆面，而圆是一个封
闭的曲线图形，指的是圆周. ②在平面内画出圆，必须明确圆心和半径两个要
素，圆心确定位置，半径确定大小.
③以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”.那么以点A为圆心的圆，记作⊙O，读作圆O.
心，线段OA叫做半径.
圆的确定
O●
要确定一个圆,必须确定圆的_圆__心_和__半__径 圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.
这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙ O”.
A ·r O
1：圆上各点到定点（圆心 O）的距离有什么规律？ 2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？
课件人教版九年级数学上册课件24.1圆的有关性质精品课件ppt.ppt
A
课件
O B
活动一：复习导入
垂径定理
▪ 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条
弧.
C
如图∵ CD是直径,
A M└
B
●O
D
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
课件
活动二：名题引路
▪ 如图，已知AB是⊙O
▪ 的中点，弦CD经过点M，∠CMA=30°，
▪
则CD4=15
cm
C
8
E
A
O2
M
B
4 D
课件
活动四：顺利闯二关
▪ 1、（1）⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD, AB=6 cm, CD=8 cm,
▪ ①请画出图形
▪ ②根据图形，求出AB与CD之间的距离 是 。 7cm或1cm
▪
(2)你能直接写出此题的答案么：
O
B
A
课件
D
思考：
1、图中有哪些相等的量？
2.AB作怎样的变换时，
AC=BC, AD=BD？ C
3、将弦AB进行
平移时，以上结A O
B
论是否仍成立？
课件
D
思 1.图中有哪些相等的量？
?
考 2.AB作怎样的变换时，
AC=BC, AD=BD ？
3.将弦AB进行平移时， C 以上结论是否仍成立？
4.当弦AB与直径 CD不垂直时,以 A
课件
思考： 1、图中有哪些相等的量？
2.AB作怎样的变换时，
AC=BC, AD=BD？
C B
O
人教版初中数学课标版九年级上册第二十四章22.1圆的有关性质(共25张PPT)
论从哪个角 度看，它都具有同一形状 。十五的圆月更是象征着 圆满、团圆。
古代人最早就是从太阳，阴历十五的月亮 得到圆的概念的．
生活中的圆
你还能想到哪些生活中的圆？
观察课本79页图24.1-1
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/122021/8/12Thursday, August 12, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/122021/8/122021/8/128/12/2021 12:42:52 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/122021/8/122021/8/12Aug-2112-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/122021/8/122021/8/12Thursday, August 12, 2021
A、1 B、2 C、3 D、4
六．归纳小结
（1）通过今天的学习，你有哪些收获？
（2）你是否明确圆的两种定义和相关概念？
同心圆，等圆； 弦，直径，弧，半圆， 优弧，劣弧，等弧。
七．布置作业
教科书第 81 页 练习 第 1，2 题．
. (3) PQ是直径吗?_不__是___; G O
FB
(4)线段EF、GH 是弦吗？__不__是___.
AH
C
K
Q
四．与圆有关的概念
圆弧上．任以意A、两B点为间端的点部的分弧叫记做作圆弧A⌒B，，简读称作“圆 弧AB”或“弧AB”．
古代人最早就是从太阳，阴历十五的月亮 得到圆的概念的．
生活中的圆
你还能想到哪些生活中的圆？
观察课本79页图24.1-1
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/122021/8/12Thursday, August 12, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/122021/8/122021/8/128/12/2021 12:42:52 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/122021/8/122021/8/12Aug-2112-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/122021/8/122021/8/12Thursday, August 12, 2021
A、1 B、2 C、3 D、4
六．归纳小结
（1）通过今天的学习，你有哪些收获？
（2）你是否明确圆的两种定义和相关概念？
同心圆，等圆； 弦，直径，弧，半圆， 优弧，劣弧，等弧。
七．布置作业
教科书第 81 页 练习 第 1，2 题．
. (3) PQ是直径吗?_不__是___; G O
FB
(4)线段EF、GH 是弦吗？__不__是___.
AH
C
K
Q
四．与圆有关的概念
圆弧上．任以意A、两B点为间端的点部的分弧叫记做作圆弧A⌒B，，简读称作“圆 弧AB”或“弧AB”．
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为高品味的幸福人生奠基
15
下面多边形有什么共同点？
A
A O
D O
A O B
E
A
D
F E D
C
O B C
B
B
C
C
圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个 圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这
个圆叫做这个多边形的外接圆.
如图，四边形是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形的外接圆.
16
为高品味的幸福人生奠基
坚持把简单的事情做好就是不 简单，坚持把平凡的事情做好 就是不平凡。所谓成功，就是 在平凡中做出不平凡的坚持。
2
为高品味的幸福人生奠基
1．了解并证明圆周角定理及其推论； 2．经历探究同弧（或等弧）所对圆周角与圆心角之 间的关系的过程，进一步体会分类讨论、转化的 思想方法．
3
为高品味的幸福人生奠基
A
O
40° B
C
13
为高品味的幸福人生奠基
1、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
14
为高品味的幸福人生奠基
2. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D
25° 为半圆上的两点，∠COD=50°，则 ∠CAD=______；
3、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为
(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_ 20° _；
0 1 2 3 4 5 6 7 8
AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB， 如果∠ADB=35° ，求∠BOC的度数。
∠BOC =140°
700
350
12
为高品味的幸福人生奠基
如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若 50° ∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿ .
D
C
O
B
ACD BCD.
∴AD=BD. 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2， 2 2 AD BD AB 10 5 2(cm) 2 2
10
D
为高品味的幸福人生奠基
1.
方法点拔：由同弧来找相等的圆周角.
∠1 = ∠4 ∠2 = ∠7 2.
∠5 = ∠8 ∠3 = ∠6
解：∠A与∠C互补， ∠B与∠D互补.
圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补.
在⊙O 中，A、B、C、D 都在同一个圆上． （1）请指出图中圆内接四边形的外角． （2）∠ADC 的内对角是哪一个角，∠DCB 呢？ （3）与∠DCB 互补的角是哪个角？ A D E O
圆内接四边形的对角互补，并且任 何一角的外角都等于它的内对角．
18
F C
B
为高品味的幸福人生奠基
1.
2.
19
已知：△ABC 中，AB=AC，D 是△ABC 外接圆 AC 上的点（不与 A，C 重合），延长 BD 到 E． 求证：AD 的延长线平分∠CDE． A D E O B C F
20
为高品味的幸福人生奠基
拓展：如图，AD、BE 是△ABC 的两条高． 求证：∠CED=∠ABC． C
24
定理的证明思路：
我们根据圆周角相对于圆心的位置把圆周角分成三类 ，先解决一类特殊问题，再把其他两类转化成特殊问 题。
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为高品味的幸福人生奠基
A
· O
B
∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, 1 ∴∠ACB= ×180°= 90°. 2 ∴ △ABC 为直角三角形.
22
为高品味的幸福人生奠基
回味
无穷
我 的 收 获 是 我 感 受 到 了
… …
… … …
我 的 问 题 存 在 于 …
23
为高品味的幸福人生奠基
我们收获了很多的数学知识例如:
1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角
2.圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 3.推论：
（1）.同弧或等弧所对的圆周角相等. （2）.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆 周角所对的弦是直径．
（3）.在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧相等.
为高品味的幸福人生奠基
证明： ①当圆心在圆周角的一边上时， 如图（1）；
③当圆心在圆周角的外部时， ②当圆心在圆周角的内部时，
如图（3），同理可证：.
如图（2），作直径，由①知：
7
A
为高品味的幸福人生奠基
1 BOC 2
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论：
D E C A B
1.同弧或等弧所对的圆周角相等. 2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径．
1.圆心角的定义?
答:顶点在圆心的角叫圆心角 2.上节课我们学习了一个反映圆 心角、弧、弦三个量之间关系的 一个结论，这个结论是什么？ 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、 弧、弦有一组量相等，那么它们所对 应的其余两个量都分别相等。
4
O
.
B
CLeabharlann O B AA' B'
为高品味的幸福人生奠基
你认为 圆周角 相对圆 自学课本内容，思考： 三种类型： 心的位 1.什么是圆周角？它与圆心角有什么区别？ 1.圆心在圆周角外部； 置关系 顶点在圆上，并且两边与圆相交的角叫做圆周角. 2.圆心在圆周角内部； 有哪几 种类型 2.下列各图中的∠是否是圆周角？ 3.圆心在圆周角一边上 ？
E A D
·
B
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为高品味的幸福人生奠基
求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） 1 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， 且CO= AB 2 求证： △ABC 为直角三角形.
C 证明： 以AB为直径作⊙O，
1 ∵AO=BO， CO= AB, 2
否 否 否 是
是 是 否 否
5
为高品味的幸福人生奠基
结论： 同弧所对的圆周角度数等于这 条弧所对的圆心角的度数的一半.
为高品味的幸福人生奠基
6
验证:同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.
为了验证我们的结论，我们根据圆周角与圆心的相对位置关系分三种情况来证明： （1）圆心在圆周角的一边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角的外部.
（补充）推论： 3.在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧相等.
C1 A
C2
C3
B
如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm， ∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：连接 AD，BD，
∵AB是直径， ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． 在Rt△ABC中，
AB2 AC2 102 62 8A ∵CD平分∠ACB， BC
15
下面多边形有什么共同点？
A
A O
D O
A O B
E
A
D
F E D
C
O B C
B
B
C
C
圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个 圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这
个圆叫做这个多边形的外接圆.
如图，四边形是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形的外接圆.
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为高品味的幸福人生奠基
坚持把简单的事情做好就是不 简单，坚持把平凡的事情做好 就是不平凡。所谓成功，就是 在平凡中做出不平凡的坚持。
2
为高品味的幸福人生奠基
1．了解并证明圆周角定理及其推论； 2．经历探究同弧（或等弧）所对圆周角与圆心角之 间的关系的过程，进一步体会分类讨论、转化的 思想方法．
3
为高品味的幸福人生奠基
A
O
40° B
C
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为高品味的幸福人生奠基
1、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
14
为高品味的幸福人生奠基
2. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D
25° 为半圆上的两点，∠COD=50°，则 ∠CAD=______；
3、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为
(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_ 20° _；
0 1 2 3 4 5 6 7 8
AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB， 如果∠ADB=35° ，求∠BOC的度数。
∠BOC =140°
700
350
12
为高品味的幸福人生奠基
如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若 50° ∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿ .
D
C
O
B
ACD BCD.
∴AD=BD. 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2， 2 2 AD BD AB 10 5 2(cm) 2 2
10
D
为高品味的幸福人生奠基
1.
方法点拔：由同弧来找相等的圆周角.
∠1 = ∠4 ∠2 = ∠7 2.
∠5 = ∠8 ∠3 = ∠6
解：∠A与∠C互补， ∠B与∠D互补.
圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补.
在⊙O 中，A、B、C、D 都在同一个圆上． （1）请指出图中圆内接四边形的外角． （2）∠ADC 的内对角是哪一个角，∠DCB 呢？ （3）与∠DCB 互补的角是哪个角？ A D E O
圆内接四边形的对角互补，并且任 何一角的外角都等于它的内对角．
18
F C
B
为高品味的幸福人生奠基
1.
2.
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已知：△ABC 中，AB=AC，D 是△ABC 外接圆 AC 上的点（不与 A，C 重合），延长 BD 到 E． 求证：AD 的延长线平分∠CDE． A D E O B C F
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拓展：如图，AD、BE 是△ABC 的两条高． 求证：∠CED=∠ABC． C
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定理的证明思路：
我们根据圆周角相对于圆心的位置把圆周角分成三类 ，先解决一类特殊问题，再把其他两类转化成特殊问 题。
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为高品味的幸福人生奠基
A
· O
B
∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, 1 ∴∠ACB= ×180°= 90°. 2 ∴ △ABC 为直角三角形.
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回味
无穷
我 的 收 获 是 我 感 受 到 了
… …
… … …
我 的 问 题 存 在 于 …
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为高品味的幸福人生奠基
我们收获了很多的数学知识例如:
1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角
2.圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 3.推论：
（1）.同弧或等弧所对的圆周角相等. （2）.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆 周角所对的弦是直径．
（3）.在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧相等.
为高品味的幸福人生奠基
证明： ①当圆心在圆周角的一边上时， 如图（1）；
③当圆心在圆周角的外部时， ②当圆心在圆周角的内部时，
如图（3），同理可证：.
如图（2），作直径，由①知：
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A
为高品味的幸福人生奠基
1 BOC 2
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论：
D E C A B
1.同弧或等弧所对的圆周角相等. 2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径．
1.圆心角的定义?
答:顶点在圆心的角叫圆心角 2.上节课我们学习了一个反映圆 心角、弧、弦三个量之间关系的 一个结论，这个结论是什么？ 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、 弧、弦有一组量相等，那么它们所对 应的其余两个量都分别相等。
4
O
.
B
CLeabharlann O B AA' B'
为高品味的幸福人生奠基
你认为 圆周角 相对圆 自学课本内容，思考： 三种类型： 心的位 1.什么是圆周角？它与圆心角有什么区别？ 1.圆心在圆周角外部； 置关系 顶点在圆上，并且两边与圆相交的角叫做圆周角. 2.圆心在圆周角内部； 有哪几 种类型 2.下列各图中的∠是否是圆周角？ 3.圆心在圆周角一边上 ？
E A D
·
B
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为高品味的幸福人生奠基
求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） 1 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， 且CO= AB 2 求证： △ABC 为直角三角形.
C 证明： 以AB为直径作⊙O，
1 ∵AO=BO， CO= AB, 2
否 否 否 是
是 是 否 否
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为高品味的幸福人生奠基
结论： 同弧所对的圆周角度数等于这 条弧所对的圆心角的度数的一半.
为高品味的幸福人生奠基
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验证:同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.
为了验证我们的结论，我们根据圆周角与圆心的相对位置关系分三种情况来证明： （1）圆心在圆周角的一边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角的外部.
（补充）推论： 3.在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧相等.
C1 A
C2
C3
B
如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm， ∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：连接 AD，BD，
∵AB是直径， ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． 在Rt△ABC中，
AB2 AC2 102 62 8A ∵CD平分∠ACB， BC