期中考试(2)

期中测试 （诚信！）
一填空
1 已知一个在xOy 平面内运动的物体的速度为j t i
82-=v ．已知t = 0时它通过(3, -7)位置．则该物体任意时刻的位置矢量为 ．
2 一物体作如图1-2-15所示的斜抛运动，测得在轨道A 点处速度v
的
大小为v ，其方向与水平方向夹角成30°．则物体在A 点的切向加速度的大小τa ＝ ，轨道的曲率半径=ρ ．
3 一质点受力i x F 2
3=(SI)作用, 沿x 轴正方向运动.
在从x = 0到x = 2 m 的过程中, 力F 做功为 ． 4 一质量为m 的质点在指向圆心的力2r
k
F -
=的作用下，作半径为r 的圆周运动，此质点的速度=v ．若取距圆心无穷远处为势能零点，它的机械能=E ．
5 一质量为m 的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标系
下的定义式为j t b i t a r
ωωsin cos +=，其中ω、、b a 皆为常数．则此质点
所受的对原点的力矩M
= ；该质点对原点的角动量L = ． 6 一转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动, 起初角速度为0ω, 设它所受阻力矩与转动角速度成正比ωk M -= (k 为正常数)． 则在它的角速度从0ω变为02
1ω过程中阻力矩所做的功为 ． 7 一水平的匀质圆盘，可绕通过盘心的竖直光滑固定轴自由转动．圆盘质量为0m ，半径为R ，对轴的转动惯量202
1
R m J =．当圆盘以角速度0ω转动时，有一质量为m 的子弹沿盘的直径方向射入圆盘，且嵌在盘的边缘上，子弹射入后，圆盘的角速度=ω ．
8 一个带电荷量为q 的点电荷位于一边长为a 的立方体的一个顶角上, 则通过该立方体一个q 不在其上的侧面的E 通量为 ．
9 真空中一半径为R 的均匀带电球面，总电荷量为Q (Q > 0)．今在球面上挖去非常小块的面积S ∆(连同电荷)，且假设不影响原来的电荷分布，则挖去S ∆后球心处电场强度的大小E ＝ ，其方向为 ． 10 真空中，有一均匀带电细环，电荷线密度为λ ，则圆心处的电场强度E= 和电势 V= . 二、计算题
1一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为t F 3
1044005
⨯-=(SI)，子弹从枪口射出的速率为3001s m -⋅．假设子弹离开枪口时合力刚好为
零，求：
(1) 子弹走完枪筒全长所用的时间 t ； (2) 子弹在枪筒中所受的冲量 I ； (3) 子弹的质量 m ．
2一链条总长为l ，质量为m ，放在桌面上，并使其一端下垂，下垂一端的长度为a ．设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为μ，令链条由静止开始运动，则
(1) 到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功? (2) 链条离开桌面时的速度是多少? 3 一根质量为m 、长度为l 的均匀细棒AB 和一质量为m 的小球牢固连结在一起，细棒可绕通过其
A 端的水平轴在竖直平面内自由摆动，现将棒由水平位置静止释放，求：
(1) 刚体绕A 端的水平轴的转动惯量， (2) 当下摆至θ角时，刚体的角速度．
S
4 两个均匀带电的同轴圆柱面，其半径分别为1R 和2R )(21R R <，圆柱面上每单位长度带的电荷量分别为1λ和2λ．(1) 求电场强度的分布；(2)当12λλ-=时，再求场强的分布． 5
为ρ，球壳内表面半径为a ，外表面半径为b 穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势． 6 如图，长为l 、质量为m 的均匀细杆可绕水平光滑固定轴O 转动，开始时杆静止在竖直位置．另一质量也为m 的小球，用长也为l 的轻绳系于O 轴上．现将小球在竖直平面内拉开，使轻绳与竖直方向的夹角θ，
然后使小球自由下摆与杆端发生弹性相碰，结果使杆的最大偏角为
3
π
．求角度θ．（选作）
答案
一、填空
1 ()()23472
t i t j +-+ ； 2. 2g -，g 3322v ； 3. 8 J ；4..
m r k ,r
k 2- 5, 0, k ab m ω ； 6. 2
083ωJ - 7. m
m m 2000+ω 8. 024εq
9. 4
02π16R S
Q ε∆ 圆心O 点指向S ∆；10 .0， 二计算
1. 解：(1) 由题意，子弹离开枪口时所受合力为零，即03
1044005
=⨯-=t F ， 子弹在枪筒中运动的时间 s 003.0s 10
4400
35
=⨯⨯=t (2) 根据冲量定义，子弹在枪筒中所受合力的冲量为
s N 6.0d 3104400d 003
.0050⋅=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯-==⎰⎰t t t F I t
(3) 以子弹为研究对象，根据动量定理0v v m m I -=，式中10s m 300,0-⋅==v v ． 所以 3006.0⨯=m
g 2kg 102kg 300
6.03=⨯==-m
2 解：(1) 以桌面为坐标原点，竖直向下为x 轴正方
向．在某一时刻，竖直下垂的长度为x ，桌面对链条的
摩擦力大小为 g x l l
m
F )(-=μ
链条离开桌面的过程中，摩擦力做功为
⎰⎰⎰--=-=⋅=l a l a F x g x l l
m
x F r F A d )(d d μ
2)(2a l l
mg --=μ
负号表示摩擦力做负功．
(2) 以链条为研究对象，由质点系的动能定理 202F P 2
121v v m m A A -=+ 式中P 0,0A =v 为重力做的功
)(21d 2
2P a l mg l
x xg l m A l
a -==
⎰ 由22222
1
)(21)(2v m a l mg l a l l m =-+--μ得链条离开桌面时的速率为 222
)()[(a l a l l
g ---=
μv
2ελ
3解：(1) 222
213
4
31ml ml ml
J J J =+=+= (2) 机械能守恒：2
2
1sin 2sin ωθθJ l mg mgl =+
l
g θ
ωsin 23
=
4.解：(1)以公共轴线为轴，r 为半径作高为l 的圆柱形高斯面，由对称性和高斯定理得 ∑
⎰⎰
==⋅i S q rlE S E 0
1
π2d ε ∑
=i q rl
E 0
π21
ε 1R r <处，0=∑i q ，故0=E
21R r R <<，处l q i 1λ=∑
r 01π2e r
E
ελ=
2R r >处，l q i )(21λλ+=∑
r 021π2e r
E ελλ+=
(2)
12λλ-=
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<<=)
(0
)(π2)(0221r
011R r R r R e r R r E ελ 5 解：方法一：由高斯定理可知，空腔内任一点的电场强度0=E
．所以，该空腔为一等势
体，任一点的电势都等于球心O 点处的电势．
在带电球壳内取半径为r 厚度为r d ，如解图所示的薄球壳，其带电荷量为
r r q d π4d 2ρ=
它在球心O 处产生的电势为
0d d π41d ερεr
r r q U O ==
根据电势叠加原理，整个带电球壳在O 处产生的电势为
)(2d d π41d 22
00a b r r r q U U b a O O -====⎰⎰⎰
⎰⎰ερερε 空腔内任一点P 的电势为
)(222
a b U U O P -=
=ερ 方法二
以球壳心为中心，r 为半径作球形高斯面，由对称性和高斯定理得
∑⎰⎰==⋅i
S
q E r 0
2
1
π4d εS E
∑=
i
q
r E 2
0π41ε
其中
∑i
q 是高斯面S 所包围的电荷的代数和．
a r <处0=∑i q ，故0=E
b r a <<处)π(3
4
33a r q i -=∑ρ
，故 r 2
3303e r
a r E -=ερ
b r >处，)π(3
4
33a b q i -=∑ρ
r 2
3303e r
a b E -=ερ
6 解：小球下摆，(小球、地球)系统只有重力做功，机械能守恒，设杆静止时的最低端处为重力势能零点，有
22
1
)cos 1(v m mgl =
-θ (1) 球、杆弹性碰撞，(小球、细杆)系统，重力(此刻竖直)和轴力对轴O 的力矩为零，系统角动量守恒；且因是弹性碰撞，碰撞前后系统动能不变，设小球碰前、后的速度大小分别为
)(23322
23
30
23
30a b dr r a b dr r a r r d E r d E r d E V b a
R b a
b
r
P -=-+-=⋅+⋅=∙=⎰⎰⎰
⎰⎰∞∞∞
'ερερερ 外内
v 和v '，碰后杆的角速度为ω，角动量守恒式为
ω)31
(2
ml l m l m +'=v v (2)
动能守恒式为 222
2)3
1(212121ωml m m +'=v v (3)
杆上摆，(细杆、地球)系统，只有重力做功，机械能守恒，取杆的中点处为重力势能的零点，有 =ω22)31(21ml )3cos 1(2π-l mg (4) 联立(1) ~ (4)式有 3
2cos =
θ ，得到 32a r c c o s =θ。