广东省汕头市达濠华侨中学、东厦中学2020学年高一数学下学期阶段测试试题(一)

2020学年度第二学期阶段一考试高一级数学科试卷本试卷分两部分，共3页，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名、座位号、试室号、考生号分别填写在答题卡上，用2B 铅笔将考生号填涂在答题卡上。

2．第一部分单项选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．第二部分必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答卷前必须先填好答题纸的密封线内各项内容。

答案必须写在答题纸上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞2}，则∁U A ＝( ) A ．(－2，2) B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C ．[－2，2] D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 2．已知向量，，若，则A ．B ．1C ．2D ．3．下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ） A ．B ．C ．D ．4．在等差数列中，，，是数列的前项和， 则A ．4036B ．4038C ．2020D ．20205．已知α∈,54cos -=α则tan等于( )A ．7B ．C ．-D ．-76．数列中，，则（）A．2 B．－1 C． D．－27．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则一定是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形8．函数是 ( )A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数9．在中，角的对边分别为，的面积为，若，则的值是（）A．B．C．D．10．已知偶函数在区间单调减小，则满足的的取值范围是A．B．C．D．11．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（）A． B． C． D．12．已知函数f(x)=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．[3，4）C．（﹣∞，4] D．[3，4]二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．）13．已知等比数列中，，，则______．14．已知等差数列中，，，当______时，取最大值．15．已知向量，，且，则___．16．一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮继续沿正西方向航行30分钟到达N 处后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，则货轮的速度为______海里/时．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18至22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n . 18．已知的内角、、所对的边分别为、、，且，．（）若，求的值．（）若的面积，求，的值．19．设向量,a b vv 满足()1,0,3a a a b a b =⋅-=-=v v v v v v ，（1）求b a ⋅；（2）求b v的值；（3）若()()cos ,sin ,2sin ,2cos a b ααββ==v v，求()sin αβ+的值。

20．如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角和钝角的终边与单位圆分别交于点，轴正半轴与单位圆交于点，已知.（1）求；（2）求的最大值.21．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，101=a ，1091+=+n n S a . （1）求证：数列}{lg n a 是等差数列. （2）设n T 是数列13{}(lg )(lg )n n a a +的前n 项和，求使21(5)4n T m m >- 对所有的*∈N n 都成立的最大正整数m 的值.22．已知二次函数()f x 满足： ()()044f f ==，且该函数的最小值为1． （1）求此二次函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 的定义域为[],A m n =（其中0m n <<），问是否存在这样的两个实数m ，n ，使得函数()f x 的值域也为A ？若存在，求出m ， n 的值；若不存在，请说明理由．（3）若对于任意的[]10,3x ∈，总存在[]21,2x ∈使得()12221af x x x <+-，求a 的取值2020学年度第二学期第一次阶段考高一级数学科答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12c B C C B A D C C A A B二、填空题13． 14．7 15． 16．20三、解答题17．(1)设{a n}的公差为d，由已知得2分解得a1＝1，d＝， 4分故{a n}的通项公式a n＝1＋，即a n＝. 5分(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8. 6分设{b n}的公比为q，则q3＝＝8，从而q＝2， 8分故{b n}的前n项和T n＝＝2n－1. 10分18．（）因为，且， 1分所以． 3分正弦定理：，解得． 6分（），1424 25c∴⨯⨯=解得， 9分余弦定理：，解得． 11分5,17.c b∴== 12分19．解：(1) ()a ab ⋅-=v Q vv()20a ab ∴-⋅=vv v 2分 2||1a b a ∴⋅==v v v 3分（2）解：由3a b -=v v 得2||3a b -=v v 即22||2?3a b a b +-=u v v vv 4分6分即2b =v7分（3）解： ()()()()·cos ,sin ?2sin ,2cos 2cos sin sin cos 2sin a b ααββαβαβαβ==+=+vv 10分又由（1）得1a b ∴⋅=vv ，所以()1sin 2αβ+= 12分20．（1）∵，∴，1分 ∴， 2分∴，，故. 4分（2）依题意:13(cos ,sin ),(1,0),(,);22A MB αα- 5分 =13cos sin 22αα+ 7分而，∴2663πππα<+<9分 ∴， 10分故当时，取最大值为1. 12分22|32?|3214b a b a ∴=+-=+-=uv v v v21．（1）依题意，10010912=+=a a ，故1012=a a1分当2≥n 时，1091+=-n n S a ①又1091+=+n n S a②②―①整理得：101=+nn a a，故}{na *∈N n 为等比数列，3分且n n n q a a 1011==-，n a n =∴lg . 1)1(lg lg 1=-+=-∴+n n a a n n ， 4分即}{lg n a 是首项为1，公差为1等差数列. 5分（2）由（1）知，))1(1321211(3+++⋅+⋅=n n T n Λ =133)1113121211(3+-=+-++-+-n n n Λ.8分23≥∴n T ， 9分 依题意有)5(41232m m ->，解得61<<-m ， 11分 故所求最大正整数m 的值为5 12分22．解析：（1）依题意，可设()()221f x a x =-+，因()04f =，代入得34a =，所以()()2233213444f x x x x =-+=-+． 3分 （2）假设存在这样的m ， n ，分类讨论如下： 当2m n <≤时，依题意，()(),{,f m n f n m ==即22334,4{ 334,4m m n n n m -+=-+=两式相减，整理得83m n +=，代入进一步得43m n ==，产生矛盾，故舍去； 4分当2m n <<时，依题意()21m f ==，若3n >，()f n n=，解得4n =或43（舍去）；若23n <≤，()714n f ==，产生矛盾，故舍去； 5分 当2m n ≤<时，依题意，()(),{,f m m f n n ==即22334,4{ 334,4m m m n n n -+=-+=解得43m =， 4n =产生矛盾，故舍去.综上：存在满足条件的m ， n ，其中1m =， 4n =. 7分 （3）依题意：()21max221ax f x x +->， 8分由（1）可知， ()1max 4f x =，[]10,3x ∈，即2225a x x +>在[]1,2上有解； 10分 整理得22225a x x >-+， []21,2x ∈有解，又225y x x =-+2525248x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，[]1,2x ∈，当2x =时，有min2y=； 11分依题意： 2a >． 12分。