《整式乘法》中的思想方法与思维技巧

1、《整式》中的思想方法与思维技巧2、整式的乘法新题例析3、完全平方公式要点精析4、因式分解经典试题分析5、因式分解中常见的错误辨析6、整式除法运算新题放送7、正确理解与灵活运用乘法公式8、因式分解在赛题中的应用9、整式的乘法错解剖析10、聚焦特征，活用乘法公式1、《整式》中的思想方法与思维技巧本章中蕴含着丰富的数学思想，下面以例说明如何运用这些数学思想指导我们解决问题．1、“特殊→一般→特殊”的思想方法在本章中，许多性质与法则的得出，都是先举出一些具体的例子，然后找出它们的共同特征，加以推广，概括出一般化的结论，再把所得结论应用于具体的解题过程中。

例如：同底数幂的乘法的性质．2、分类讨论的数学思想方法例如：多项式4x2＋1加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，那么这个单项式是什么？析解：根据已知多项式的特点，我们可以把添加的单项式分为：①四次式(可添4x4)，②二次式(添－4x2)，③一次式(±4x)，④常数(－1)．3、数形结合的数学思想方法多项式的乘法常常可以看作是某种图形的面积，本章有许多这样数形结合的例子．例如：课本P180，根据图形面积说明平方差公式．P182，根据图形面积说明完全平方公式．例．如图是用四张相同的矩形拼成的图形，请你利用图中的阴影部分的不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等式：．析解：因大正方形的边长为a＋b，小正方形的边长为a－b，所以(a＋b)2－(a－b)2＝（a2＋2a b＋b2）－（a2－2a b＋b2）＝4a b．故填：(a＋b)2－(a－b)2＝4a b．4、整体代入的思想方法例如课本P185页第7题：已知a＋b＝5，a b＝3，求a2＋b2的值．析解：直接求出a、b的值有一定的困难，但可对所求代数式a2＋b2，我们可添项，变为：a2＋2a b＋b2－2a b＝(a＋b)2－2a b，然后整体代入求值．5、逆向思维技巧由于整式的乘除及因式分解都是恒等变形的过程，因此恰当地利用本章的一些性质、法则、公式进行逆向解题，常常可以起到简化运算，化难为易的作用．例如课本P193第7题：已知2m＝a，32n＝b，求23m+10n．析解：先逆用幂的乘方：(a m)n=a mn，再逆用积的乘方：(ab)n=a n b n．由2m＝a，得(2m)3＝a3，即23m＝a3，由32n＝b，得(25n)2＝b2，即210n＝b2，∴23m+10n＝23m·210n＝a3b2．由此可见正确地运用数学思想方法往往可使问题化繁为简、化难为易，起到事半功倍之效．2、整式的乘法新题例析整式的乘法是本章的重要内容，也是中考试题中常见的题型，下面请欣赏几例．一、定义运算类例1．（吉安市）如果“三角形”表示，“方框”表示，求×的值。

【分析】这是一道定义新的运算，按定义的规则代入运算即可，考查了学生对问题的理解运用能力。

解：×＝9m n×(－4n2m5)＝－36m6n3．二、数形结合类例2．如图甲是一个平行四边形，将其裁成四个相同的等腰梯形后，恰好能拼成如图乙的( b d 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为＝ad －bc ，依此法则计算 x 大小正方形，那么通过计算两图阴影部分的面积，你认为可以验证的乘法公式是 __________．【分析】观察比较两图形，由图乙易知其阴影部分的面积为边长为 a 的大正方形的面积减1去边长为 b 的小正方形的面积，即 a 2－b 2，并可知等腰梯形的高为 (a －b )．图甲是平行2 四边形，其一边长为 a ＋b ，高为两个等腰梯形的高，所以其面积为 1 2(a －b )×2×(a ＋b )=(a－b )(a ＋b )．由此可知验证了平方差公式 (a ＋b )(a －b ) =a 2－b 2． 解：填 a 2－b 2=(a ＋b )(a －b )． 三、规律探索类 例 3．（巴中市）下图左边是大家熟知杨辉三角，观察其右边各列等式，根据上面各图式规律，则 (a + b )5 = ．【分析】本题是一道与杨辉三角有关的发现探索型试题，根据右边已知的几个算式可以 发现从(a ＋b )0 开始，各个算式的次数与展开后的项数及系数与左图中的各行有一定的关 系．为此要写出杨辉三角第六行的各数，即为(a ＋b )5 各项的系数．但我们观察右边各式 各项指数的变化规律又可发现：a ＋b )5，展开后各项的指数和都应等于 5，且按 a 的降幂， b 的升幂排列．解： (a + b )5 = a 5 ＋ 5a 4b ＋10 a 3b 2 ＋10 a 2b 3 ＋5 ab 4 ＋ b 5 ．【自主练习】1.(永州改编) 形如 a ca cb dx - 1x +1 x +2 的结果为 ．2．（盐城）如图，正方形卡片 A 类、B 类和长方形卡片 C 类各若干张，如果要拼一个长为(a ＋2b )、宽为(a ＋b )的大长方形，则需要 C 类卡片 张．（2）(a ＋b )n 展开式共有 项，系数和为 ．3．观察下列各展开式的项数及各项系数的有关规律．(a ＋b )0=1，它只有一项，系数为 1；(a ＋b )1=a ＋b ，它有两项，系数分别为 1，1，系数和为 2；(a ＋b )2=a 2＋2ab ＋b 2，它有三项，系数分别为 1，2，1，系数和为 4；(a ＋b )3=a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3，它有四项，系数分别为 1，3，3，1，系数和为 8； ……根据以上规律，解答下列问题： （1）(a ＋b )6 展开式共有 项，系数分别为 ；．．． 参考答案：1、2 x ＋1；2、3；3．(1)由此可以发现(a －b )4展开后共有 6 项，系数分别是 1，6，15，20 ，15，6 ，1； (2)根据规律可以发现(a ＋b )n ，共有 n ＋1 项，系数和为 2 n ．3、完全平方公式要点精析一、公式的内容：完全平方公式有两个： ( a ＋ b ) 2 ＝ a 2 ＋2 a b ＋ b2 ,(a －b ) 2 ＝ a 2 －2 a b ＋b 2 .即，两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的 2 倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起，为( a ± b ) 2 ＝ a 2 ±2 a b＋ b 2 .为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方、尾平方，2 倍乘积在中央”.二、公式的条件：两数和（或两数差）的平方.三、公式的结果：这两数的平方和，加上(或减去)这两数积的 2 倍.四、公式的特征：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项 的平方和，加上(这两项相加时)或减去(这两项相减时)这两项乘积的 2 倍.公式中的字母 可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公 式的结构特征，就可以运用这一公式.五、使用完全平方公式时应注意以下几点：(1)千万不要发生类似( a ± b ) 2 ＝ a 2 ± b 2 的错误；更不要与( a b ) 2 ＝ a2b 2 混淆；(2)切勿不要把“乘积项”2 a b 中的 2 漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形 后仍不具备公式的结构特点，则应运用多项式乘法法则进行计算．．．． ．．．．．．．．．4、因式分解经典试题分析因式分解是代数式恒等变形中的重要工具之一，是整式乘法的逆过程，其分解方法简单，但这一知识点运用灵活，下面举例加以分析说明．例1 因式分解：( x － y ) 3 －( y － x ) 2 ；【分析】本题涉及所提公因式是互为相反数的两个因式，这时需要注意它们的互化，请同学们记住：① 当 n 为偶数时，( x － y ) n ＝( y － x ) n② 当 n 为奇数时，( x － y ) n ＝－( y － x ) n因为( x － y ) 2 ＝( y － x ) 2 ，所以“公因式”可为( x － y ) 2 。

解：( x － y ) 3 －( y － x ) 2 ＝( x － y ) 3 －( x － y ) 2 ＝( x － y ) 2 ( x － y －1)．例 2 若 4 x 2 ＋ k x ＋25 是一个完全平方式，则 k 的值为。

【分析】因为原式中有 4 x 2 ＝(2 x ) 2 和 5 2 ，因此根据完全平方公式的特点可知原式应为 2 x 与 5 这两数的平方和与这两数积的 2 倍的和（或差）。

解：∵4 x 2 ＋ k x ＋25＝(2 x ) 2 ＋ k x ＋5 2 ，要使它是一个完全平方式，则kx = ±2 ⨯ 2 x ⨯ 5 ，解之得： k = ±20 .【注意】根据完全平方公式的特点本题有两个答案，部分同学往往只求到k = 20 就以为 做完了，这是错误的。

例 3 已知 a ＋ b ＝10， a b ＝24，求 3 a 2 ＋3 b2 的值。

【分析】本题若要求出 a 、 b 的值，再代入 3 a 2 ＋3 b2来求值的话，对我们来说是很困难的，因此这题要想到“整体代入”求值，这就要对原式进行适当的变形。

解：3 a 2 ＋3 b 2 ＝3( a 2 ＋ b 2 )＝3( a 2 ＋2 a b ＋ b 2 －2 a b )＝3[( a ＋ b ) 2 －2 a b ]，当 a ＋ b ＝10， a b ＝24 时原式＝3×(102－2×24)＝156.例 4 已知 a 2 ＋ b 2 －6 a ＋10 b ＋34＝0，求 b a 的值.【分析】这类题的解题思路就是将已知等式的左边设法进行因式分解，使之变成A 2 +B 2 = 0 的形式，从而可得 A ＝0 且 B ＝0，求出 a 、b 的值；通过观察原式左边有（ a2－6 a ）想到若再加一个常数项 9 的话就成了（ a 2 －6 a ＋9）不就是一个完全平方式吗．由此想到把 34 拆成 9＋25 来解．辨析：因式分解的结果是要将多项式 x 2－ y 2＋4x －4 y 化为最后结果是因式积的形式，而．解：∵ 34＝9＋25，∴ 原等式可化为： a 2 - 6a + 9 + b 2 + 10b + 25 = 0 ，即 (a - 3) 2 + (b + 5) 2 = 0 ,∴ a - 3 = 0 且 b + 5 = 0 ， 解得 a = 3 且 b = -5 ，∴ b a ＝ (-5) 3 ＝－125.5、因式分解中常见的错误辨析因式分解在各种恒等变形中应用广泛，但学习时却易犯的错误，下面列举同学们在学 习中常出现的错误加以分析，以作前车之鉴. 一、概念不清导致例 1．分解因式： x 2－ y 2＋4 x －4 y错解：原式＝( x － y )( x ＋ y )＋4( x － y )．．．． 上面做的最后结果是和的形式．正解：原式＝( x － y )( x ＋ y )＋4( x － y )＝ ( x － y )( x ＋ y ＋4)． 二、公因式提不清例 2．24 a 2 b －9 a b 2错解：原式＝ a b (24 a －9 b ).辨析：错在(24 a －9 b )中仍存在公因式 3 可提， 本题最大公因式是 3 a b ； 正解：原式＝3 a b (8 a －3 b ).例 3．填空：3 x 2－6 xy ＋3 x ＝3 x ( )． 错解：原式＝3 x ( x －2 y ).辨析：错在自以为将第三项 3 x 全部提到括号外面了，该项就是 0 了，事实上，这样做的 结果 3 x ( x －2 y )＝ 3 x 2－6 x y ≠3 x 2－6 x y ＋3 x ，漏了项．正解：原式＝3 x ( x －2 y ＋1)．原式的第三项应看成 3 x ·1 提取 3 x 后，该项应还有常 数 1，不能漏掉． 三、忽视符号例 4．把 3( a － b )3＋9( b － a )2 分解因式．错解：原式＝ 3( b － a )2[( b － a )＋3]＝ 3( b － a )2( b － a ＋3).辨析：错在不懂得( a － b )3≠( b － a )3，而是( a － b )3＝[－( b － a )]3＝－( b － a )3，不 能与( a － b )2＝ ( b － a )2 混为一谈．正解：原式＝ 3( a － b )3＋9( a － b )2＝3( a － b )2[( a － b )＋3]＝ 3( b － a )2( a － b ＋ 3)．四、分解不彻底例 5． 分解因式： x 3＋ x 2 y － xy 2 － y 3.错解：原式＝( x 3＋ x 2 y )－( xy 2 ＋ y 3)＝ x 2( x ＋ y )－ y 2( x ＋ y ) ＝ ( x ＋ y )( x 2－ y 2).辨析:错在因式( x 2－ y 2)还能用平方差公式再分解.应分解成:( x ＋ y ) 2( x － y ).五、画蛇添足，走回头路例 6．分解因式： axy (a - b )+ bxy (a - b )．:当 x ＝2008， y ＝－6 时，原式＝－ y 2＝－18．错解：原式＝ xy (a - b )(a + b ) ＝ xy (a 2 - b 2 ) ．剖析：分解到 xy (a - b )(a + b ) 已是完美无缺，再反过来做多项式乘法显然是画蛇添足， 造成这种错误的原因可能是受乘法公式的影响，认为碰上了可用公式计算这一好机会不放 过．正解：原式＝ xy (a - b )(a + b ) ．6、整式除法运算新题放送为开阔同学们的视野，培养创新思维，提高分析问题、解决问题的能力，现介绍几道 有关整式除法运算的创新探索题． 一、程序翻译题例 1．任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是( )Ａ． m Ｂ． m 2 Ｃ． m ＋1 Ｄ． m －1分析：本题是一道和整式运算有关的程序化计算题，解决问题需要正确理解题意，根据 程序正确列出算式．解：依题意，得( m 2 － m )÷ m ＋2＝ m ＋1．故选(C)． 二、化简计算说理题例 2．有这样一道数学题“己知：x ＝2008，y ＝－6，求代数式[( xy ＋2)( xy －2)－2( x 2 y 2 －2)]÷(2 x 2 )的值．”王小东在抄题时把“2008”和“－6”分别错抄成了“2080”和“6”，但他的计算结果好象是正确的，请你说说这是怎么回事．分析：本题是一道和整式除法运算有关的说理探索题．要弄明白是怎么回事，应先对代 数式进行化简．看看结果所含 x 、 y 的情况．解：原式＝( x 2 y 2 －4－2 x 2 y 2 ＋4)÷(2 x 2 )＝－ x 2 y 2 ÷(2 x 2 )＝－1 2 1 2y 2 ．当 x ＝2080， y ＝6 时，原式＝－ 1 2y 2＝－18．因为化简后的结果不含有 x ，且含 y 的平方，所以代入求值的最后结果与 x 的值无关，与的符号也无关，因此王小东也能做到正确的结果． 三、算式污染问题例 3．放学后，小明在家复习数学课堂笔记，突然发现课堂上抄的一道多项式除法运算题：(21 x 4 y 3－ ＋7 x 2 y 2)÷(－7 x 2 y )＝ ＋5 x y － y ．被除式的第二 项被钢笔水弄污了，商的第一项也被钢笔水弄污了．你能帮小明算出两处被污染的内容是 什么吗?分析：本题是一道设计比较新颖的题目，根据题中叙述可知被除式有三项，被污染的是 第二项的部分，而商的部分被污染的是第一项．如果设被除式中被污染的部分为 A ，则－A ÷(－7 x 2 y )＝5x y ，所以 A ＝35 x 3 y 2， 设商中被污染的项为 B ，则 B ＝21 x 4 y 3÷(－7 x 2 y )＝－3 x 2 y 2．解：由(5 x y )·(－7 x 2 y )＝－35 x 3 y 2， 21 x 4 y 3÷(－7 x 2 y )＝ －3 x 2 y 2 可知，被除式 中被污染的内容是 35 x 3y 2，商式中被污染的内容是－3 x 2 y 2．⎡ ⎛ 1 ⎫2 ⎤ ⎡ ⎛ 1 1 ⎫2 ⎛ 1 ⎫2= πa 2h + πa 2 H ⎪ ÷ πa 2 ⎪ = h + 2H ． 所以需要 h + 2H ⎪ 个小杯子． ⎣ ⎥⎦练习：1、按下列程序计算，把答案填写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个 规律?(1)填写表格：(2)发现规律是：____________________． (3)用简要的过程说明你发现的规律．2、李华老师给同学们出了一道题：当 x ＝2008，y ＝2006 时， 求[2x (x 2y －xy 2)＋xy (2xy － x 2)]÷x 2y 的值．题目出完后，小明说：“老师给的条件，y ＝2006 是多余的”．王光说：“不 给这个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理?为什么?3、如图①的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图②的杯子中，那么你知道 一共需要多少个这样的杯子吗?(单位：cm)参考答案：1、 (1)都填 1；(2)规律：输入一个非零数，所得的结果都是 1;(3)设输入的数为 x (x ≠0)，则(x 2＋x )÷x －x ＝x 2÷x ＋x ÷x －x ＝x ＋1－x ＝1．2、x ．理由：因为化简后的结果不含有 y ，所以最后的结果与 y 的值无关，所以 y ＝2006 是多余的，从而小明说的有道理．⎤ 3、依题意得： ⎢ π a ⎪ h + π ⨯ 2a ⎪ H ⎥ ÷ ⎢π ⨯ a ⎪ ⨯ 8⎥⎢ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎦ ⎣⎢ ⎝ 2 2 ⎭⎥ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 1 ⎝ 4 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 2⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭7、正确理解与灵活运用乘法公式我们知道，整式乘法是本章的重点，而乘法公式是特殊的多项式乘法，因此 乘法公 式又是这重中之重了，不仅是因为它常用，更重要的是因为它使它 简单、方便和快捷 ； 另外在以后内容的学习过程中，如化简计算、因式分解等也起着重要的作用．本节我们学习三个乘法公式：平方差公式和完全平方公式（和或差的），在学习过程 中应注意以下几点：【分析】对于①我们可把“2 a ”当作完全平方公式中的 a ，把“ ”当作 b ；解：① 原式＝(2 a ) 2 －2×(2 a )× ＋（ ) 2 ＝4 a 2 －6 a ＋ ；2一、正确理解和记忆公式 1．抓住公式的特点平方差公式：( a ＋ b )( a ＋ b )＝ a 2 － b 2 ．特点：公式左边是两个二项式相乘，在两个二项式中，有一项完全相同，另一项是互 为相反数；公式右边是“相同项的完全平方”减“相反项的完全平方”．完全平方公式：( a ± b ) 2 ＝ a 2 ±2 a b ＋ b 2 ．特点：公式左边是两个相同多项式的乘积；公式右边是三项齐次式；一般对a 按降幂排列，对b 按升幂排列，系数呈对称式；特别是 (a - b )2 ，其右边系数的符号规律是 正、负相间．2．可用口诀的方法： 完全平方公式的记忆方法可以是“ 首平方，尾平方，二倍首尾夹 中央”．3．公式使用的广泛性：公式中的字母可以表示数、单项式，也可以表示多项式． 二、 灵活运用公式例 1． 计算：① (2 a － 32) 2 ；②( a ＋ b ＋c)( a ＋ b －c)．32对于②我们可把“ a ＋ b ”整体当作平方差公式中的 a ，而把“c ”当作 b ．3 3 92 2 4②原式＝( a ＋ b ) 2 －c 2 ＝ a 2 －2 a b － b 2 －c 2 ．例 2．设 m ＋ n ＝7， m n ＝12，求 m 2 － m n ＋ n 2 的值．【分析】刚看此题部分同学可能会想解由 m ＋ n ＝7，m n ＝12，组成的方程组，分别求 出 m 、 n 的值再代入求解，其实这是不明智的，观察要求值的代数式，会发现它与第一 个条件式的平方仅相差几个 m n ，于是想到先对第一个条件式两边平方再说．解：因为 m ＋ n ＝7，所以由完全平方公式，得( m ＋ n ) 2 ＝49， 即 m 2 ＋2 m n ＋ n 2 ＝49，所以 m 2 － m n ＋ n 2 ＝49－2 m n ，所以 m 2 － m n ＋ n 2 ＝49－3×12＝13．点评：善于将公式变形使用，也是灵活运用公式的一种能力；本题还用到了整体代入的 思想．例 3．若| x ＋2|＋ y 2 －4 y ＋4＝0，求 (x - y )2 .【分析】观察发现“ y－4 y ＋4”符合完全平方式的条件，于是原条件式可化为| x ＋2|＋( y －2) 2 ＝0，再利用绝对值与完全平方数的非负性质解答． 解：原式可变形为| x ＋2|＋( y －2) 2 ＝0，所以| x ＋2|＝0 且( y －2) 2 ＝0， 所以 x ＝－2， y ＝2，当 x ＝－2， y ＝2 时， (x - y )2 ＝(－2－2) 2 ＝16．点评：乘法公式不仅要会正向使用，还要学会逆用公式，只有这样才能不断提高运用公式 的能力．8、因式分解在赛题中的应用在各类数学考试或竞赛中，因式分解往往作为一种运算技巧或解题方法融合在试题 中．常见的应用主要有以下几种： 一、在化简计算中的应用∴ ⎨ ，解得 ⎨ . 故 a 2008 - b 2008 = 02008 - (- 1)2008 = -1 ． ()()( )+ n + 1)(= n 2解：原式变为：2 a 2 ＋2 b ＋2 c 2 －2 a b －2 b c －2 a c ＝0，8 8 a 2例 1．计算： 22000 3 - 2 ⨯ 2000 2 - 1998例 1． (“华杯赛”试题)计算： ．2000 3 + 2000 2 - 2001【分析】观察算式的分子、分母，它们的前两项可提公因数，提后会发现，又可提相应 的因数． 2000 2 (2000 - 2) - 1998 2000 2 ⨯ 1998 - 1998 解：原式＝＝2000 2 (2000 + 1) - 20012000 2 ⨯ 2001 - 20011998 ⨯ (20002 - 1) 1998 ＝ ＝ ．2001⨯ (2000 2 - 1) 2001二、在条件求值问题中应用例 2 ． ( 全 国 初 中 数 学 竞 赛 海 南 赛 区 ) 已 知 a - b = 1 ， a 2 - b 2 = -1 ， 则a 2 0 0 -b 2 0 0 = _________． 【分析】求值式不及变形，由 a 2 - b 2 可利用平方差公式分解为 (a - b )(a + b ) ，替代后可得方程组从而求出 a 、b 的值． 解：∵ a 2 - b 2 = (a + b )( - b ) = -1，又 a - b = 1 ，则 a + b = -1⎧a + b = -1 ⎧a = 0 ⎩a - b = 1 ⎩b = -1 三、在证明恒等式的应用．例 3．若 m 、n 为整数，求证： n 2 + n 2 (n + 1)2 + (n + 1)2 = n 2 + n + 1 2 【分析】本题的证明是要把左边的代数式转化为右边的完全平方式显然要找到左边式子 中符合完全平方展开试的结构式进行公式法因式分解．证明：左边 = n 2 + [n (n + 1)] + n 2 + 2n + 1= n 2+ n 2 + 2 n2 + n + 12 四、在判断几何形状中的应用例 4．(数学竞赛自编培训题)已知正实数 a , b , c 分别为△ABC 的三边之长，且满足 a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 － a b － b c － a c ＝0，试判断△ABC 的形状．【分析】从本题中条件等式的结构看，我们发现 a , b , c 的最高次幂均为 2，且又分别有 a b ， b c ， a c ，所以想到完全平方公式．2即：( a 2 －2 a b ＋ b 2 )＋( b 2 －2 b c ＋ c 2 )＋( a 2 －2 a c ＋ c 2 )＝0，所以( a － b ) 2 ＋( b － c ) 2 ＋( a － c ) 2 ＝0， 根据完全平方的非负性及上式的特点可得a －b ＝0 且 b －c ＝0 且 a － c ＝0所以 a ＝ b ＝ c ，因此△ABC 的形状是等边三角形．9、整式的乘法错解剖析单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘以及多项式与多项式相乘是整式乘法的一个重要的内容，学好这部分内容应注意避免解题中的错误．下面就同学们常出现的错误 总结如下．一、单项式乘以单项式出错 1、漏项5x 2 y ⋅ (- xy 2 z ) ． 5 8错解：原式＝(-252（2）(y+1（1⨯)(x2⋅x)(y⋅y2)＝－x3y3．584【剖析】错解在积中漏掉了只在单项式中的某些因式．根据单项式与单项式的乘法法则，只在一个单项式中出现的因式应作为积的一个因式．正解：原式＝(-251⨯)(x2⋅x)(y⋅y2)z＝-x3y3z．5822、滥用法则例2．计算：(－3a2)2·(－4a3)3．错解：原式＝[(－3a2)·(－4a3)]2+3＝(12a5)5＝125a25．【剖析】本题错在乱用同底数幂的乘法运算法则进行计算，实际上，本题应先算乘方，然后再进行单项式的乘法运算．正解：原式＝(－3)2(a2)2·(－4)3(a3)3＝－9×64·a4·a9＝－576a13．二、单项式乘以多项式出错1、去括号出错例3．计算：a(a2－1)＋2a2(a＋1)－3a(2a－5)．错解：a(a2－1)＋2a2(a＋1)－3a(2a－5)＝a3－1＋2a3＋1＋6a2－15a＝3a3＋6a2－15．【剖析】错解中有两个方面的错误，①a(a2－1)＝a3－1，a2(a＋1)＝2a3＋1．在运算中没有按乘法的分配律进行．②－3a(2a－5)＝6a2－15a．没有理解去括号法则，出现了变号上的错误．正解：a(a2－1)＋2a2(a＋1)－3a(2a－5)＝a3－a＋2a3＋2a2－6a2＋15a＝3a3－4a2＋14a．2、漏项例4．计算：－2x·(2x y－3y＋1)．错解：－2x·(－2x y－3y＋1)＝－4x2y＋6x y．【剖析】错解有两处：一是－2x·(－2x y)＝－4x2y．实际上两个单项式相乘时，应注意积的符号是单项式的系数决定的．当两个单项式的系数是负数时，结果为正．二是漏乘了多项式的最后一项．正解：－2x·(2x y－3y＋1)＝－4x2y＋6x y－2x．二、多项式乘以多项式出错例5．计算：（1）(2a＋1)(2a＋3)；（2）(y+错解：（1）(2a＋1)(2a＋3)＝4a2＋3．11 )(y-)．23（2）(y+111 )(y-)＝y2-．236【剖析】错解原因是没有根据多项乘多项式的乘法法则，而仅采用了前项乘前项后项乘后项．实际上多项式与多项式相乘应根据乘法的分配律，进行计算．正解：1）(2a＋1)(2a＋3)＝4a2＋6a＋2a＋3＝4a2＋8a＋3；111111)(y-)＝y2+y-y-＝y2+y-．232366610、聚焦特征，活用乘法公式学习乘法公式时，部分同学常常不能准确抓住乘法公式的特点，以致不会灵活运用乘法公式．为此，在学习时我们应注意如下三点：一、紧扣特征，对号入座例1．计算(－3x－2y)(3x－2y)．【分析】若先顺向用平方展开，再进行去括号，合并同类项，计算较繁杂，若 平方差．．．．． 【分析】两因式中的－2y 完全相同，而－3x 与 3x 是互为相反数，因而可运用平方差公式 计算，－2y 可以看成是公式(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2 中的 a ，而 3x 则应看成是公式中的 b ． 解：原式＝(－2y )2－(3x )2＝4y 2—9x 2．例 2．计算(－2 x 2＋3y )2【分析】若运用公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2 来计算，则可把－2 x 2 看作公式中的 a ，把 3 y 看作 b ；若运用公式(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2，则原式应变形为(3 y －2 x 2)2，这样式中 3y 看 作公式中的 a ，2 x 2 看作 b ．结果是一样的．解：原式＝(－2 x 2)2＋2(－2 x 2)(3 y )＋(3 y )2＝4 x 4－12 x 2 y ＋9 y 2．或原式＝(3 y )2－2(3 y )(2 x 2)＋(2 x 2)2＝9 y 2－12 x 2 y ＋4 x 4．二、分析特征，适当变形例 3． 计算 1013×987【分析】可以发现 1013＝1000＋13，987＝1000－13，则可变形为(a ＋b )(a －b )的形式。