2018年广东省普通高中学业水平考试数学模拟训练题1
1 x5
的定义域是 B. {x | x 5}
C.
{x | x 5}
D. {x | x 5}
1 (i 为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为 i3
B． (1, 1) C． ( 1,1) D． ( 1, 1)
4．不等式 ( x 1)( x 2) 0 的解集是 A. {x | 1 x 2} B. {x | 2 x 1} C. {x | x 1或x 2} D. {x | x 2或x 1}
A． 6 B． 2 C． 3 D． 4
15．一组数据中每个数据都减去 80 构成一组新数据，这组新数据的平均数是 1.2 ，方差是 4.4 ，则原来这 组数的平均数和方差分别是 A． 81.2, 84.4 B． 78.8, 4.4 C． 81.2, 4.4 D． 78.8, 75.6
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分。
16．抛物线 x 4 y 0 的准线方程是
2
.
17．在等比数列 {an } 中， a5 4 ， a7 8 ，则 a9 _________.
2
18．在△ ABC 中， A
， BC 3 ， AB 6 ，则 C _________. 3
19． 若 圆 心 在 x 轴 上 、 半径 为 是 .
5．已知 是第二象限的角，且 sin A.
4 3
B.
6．已知向量 AB (3, 7) ， BC (2,3) ，则 A. ， 5
2 2
3 4
3 ，则 tan 的值是 5
C.
1 AC 2
4 3
D.
3 4
1 2
………10 分
1 1 1 1 3 S B1C1C AC 4 4 4 ………14 分 3 2 3 2 2
6
2 ， c 1 ， cos
3 ． 4
3
21．(本小题满分 12 分) 如图, 在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AC 3 ， CC1 平面 ABC ， BC 4 ， AB 5 , AA1 4 ， 点 D 是 AB 的中点， （1）求证： AC BC1 ； （2）求证： AC1 平面CDB1 ； （3）求三棱锥 C1 CDB1 的体积。
1 2
C．1 或
1 2
D．－1 或
1 2
9. 某商场有三类食品,其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有 40 种、30 种和 20 种, 现采用 分层抽样的方法抽取样本进行安全检测，若果蔬类抽取 8 种，则奶制品类应抽取的种数为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
10．如图，网格纸的小正方形的边长是 1，再其上用粗线画出了 某空间几何体的三视图，则这个空间几何体的体积为 A. 48 C. 12 B. 24 D. 8 俯视图 （第 10 题图） 主视图
1 1 7 7 a c sin B 1 2 2 2 4 4
21．(本小题满分 12 分) 解 ： （1）直三棱柱 ABC A1B1C1 ， 底面三边长 AC 3 ， BC 4 ， AB 5 ,
AB 2 AC 2 BC 2 ，∴ AC BC ， CC1 平面ABC , AC 平面ABC , AC CC1 ，又 BC CC1 C , AC 平面BCC1B1 , BC1 平面BCC1B1 ，
14 c b 得： sin C ． sin C sin B 8
2 2 2 2
（2）由余弦定理： b a c 2ac cos B 得： 2 a 1 2 a 即a
2
3 1 ， a 1 0 ，解得 a 2 或 a - （舍去） 2 2
3 ， 4
所以， S ABC
2018 年广东省普通高中学业水平考试模拟训练题一
数学试卷
满分 100 分，考试时间 90 分钟
一、选择题:本大题共 15 小题，每小题 4 分，满分 60 分.每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求.
1．已知集合 P {1,2,3} ，集合 S {2,3,4} ，则集合 P S A. {1,2,3} 2．函数 f ( x ) A. {x | x 5} 3．复数 1 A． (1,1) B. {2,3,4} C. {2,3} D.
左视图
11．从某班的 2 名女生、2 名男生中任选 2 人，代表该班参加学校 的才艺展示活动，则选中的学生刚好为一男一女的概率为
1 6 2 C. 3
A.
B.
1 2
D. 1
12．已知直线 3 x 4 y 3 0 与直线 6 x my 14 0 平行，则它们之间的距离是 A．
17 10
B. ， 5
1 2
C. ，-5
1 2
D. ，-5
1 2
7.双曲线 4 x y 1 的离心率为
A．
5 2
B． 5
C．2 5 +1
D．
1 2
8．等比数列 {an } 中， a3 6 ，前三项和 S3 18 ，则公比 q 的值为 A．1 B．
∴ AC BC1 …………5 分 （2）设 CB1 与 C1 B 的交点为 E ，连结 DE ，
5
∵ D 是 AB 的中点， E 是 C1 B 的中点， DE AC1 ,
DE 平面CDB1 , AC1 平面CDB1 , AC1 平面CDB1 。
（3） VC1 CDB1 VD B1C1C
C1 A1
B1
C A D
B
4
2018 年广东省普通高中学业水平考试模拟训练题一 数学试题参考答案和评分标准
一、选择题 本大题共 15 小题，每小题 4 分，共 60 分．
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
C
A
B
A
D
C
B
C
C
B
C
D
B
C
C
二、填空题 本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分．
2 的 圆 O 位 于 y 轴 左 侧 ，且 与 直 线 x y 0 相 切 ， 则圆 O 的 方 程
三．解答题：本大题共 2 小题，每小题 12 分，满分 24 分，解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤。
20． （本小题满分 12 分） 在 C 中，角 、 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ， b （1）求 sin C 的值； （2）求 C 的面积．
16． y 1 17． 16 18．
4
19． ( x 2) y 2
2
2
三、解答题 本题共 2 小题共 24 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．
20． （本小题满分 12 分）
解： （1）在△ABC 中，由 cos B 又由正弦定理：
7 3 且 0 B ，得 sin B 4 4
B．
13．若向量 a ( x, 6)( x R ) ，则“ | a | 10 ”是“ x 8 ”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件
17 5
C．8
D．2
2 x y 2 0 14．若变量 x, y 满足约束条件 x y 0 ，则 z x 2 y 的最小值为 x y 2 0
2018年广东省揭阳市高三学业水平考试数学理模拟试题试题(附答案)
2018年广东省揭阳市高三学业水平考试数学理模拟试题试题（附答案）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．参考公式： 样本数据12,,,n x x x的标准差，s =其中x 表示样本均值．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}210A x x =-=，(){}10B x x x =-=，则A B ⋃=A. {}1,1-B. {}0,1C.{}0,1-D. {}0,1,1-2．设i 为虚数单位，复数()21z i =+，则z 的共轭复数为A. 2i -B. 2iC. 22i - D ．22i +3．已知命题p ：四边形确定一个平面；命题q ：两两相交的三条直线确定一个平面．则下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()p q ⌝∨D ．()p q ∧⌝ 4．已知数列的前n 项和212n S n n =+，则2232a a -的值为 A ．9 B ．18 C ．21 D ．1125．已知||6a =，||4b =，a 与b 的夹角为120°，则(2)(3)a b a b +⋅-的值是. A ．-84 B ．144 C ．-48 D ．-726．若变量,x y 满足约束条件2040330x y x y x y -+-≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩，且35z x y =+，则3log 2z 的最大值为A ．18B ．2C ．9D ．331log 47．图1是某小区100户居民月用电量（单位：度）的频率分布直方图，记月用电量在[50,100) 的用户数为A 1，用电量在[100,150)的用户数为A 2，……，以此类推，用电量在[300,350]的用户数为A 6，图2是统计图1中居民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图．根据图1提供的信息，则图2中输出的s 值为A ．82B ．70C ．48D ．30}{n a8．已知函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +、(1)f x -都是奇函数，则A. ()f x 是奇函数B. ()f x 是偶函数C. (5)f x +是偶函数D.(7)f x +是奇函数 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）9．一几何体的三视图如图3示, 则该几何体的体积为________. 10．函数()1x f x e =-的图象与x 轴相交于点P ，则曲线在P 处的切线方程是 ．11．在61()x x-的二项展开式中，常数项等于 .12．抛物线218y x =上到焦点的距离等于6的点的坐标为 ．13．在区域02,0 4.x y π≤≤⎧⎨≤≤⎩中随机取一点(,)P a b ,则满足sin 1b a ≥+的概率为 .（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(,)(0,02)ρθρθπ≥≤<中，曲线2cos ρθ=与24cos 30ρρθ-+=的交点的极坐标为 ． 15. （几何证明选讲选做题）如图4，锐角三角形ABC 是一块钢板的余料，边BC=24cm ，BC 边上的高 AD=12cm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，则这个正方形零件的面积为 cm 2．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 且a c >，已知ABC ∆的面积32S =，4cos 5B =，b =（1）求a 和c 的值；（2）求cos()B C -的值． 17．（本小题满分12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用n x 表示编号为n (1,2,,6)n =的同学所得成绩，（1）求第6位同学的成绩6x ，及这6位同学成绩的标准差s ；（2）从这6位同学中，随机地选3位，记成绩落在（70，75）的人数为ξ， 求ξ的分布列和数学期望． 18．（本小题满分14分）如图5，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形， PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）已知1AP =，AD =EC 与平面ABCD 所成的角为α，且tan α=，求二面角D AE C --的大小． 图5 19．（本小题满分14分）已知函数31()(1)1()2x f x f f ax b ===+3，，4，数列{}n x 满足113()2n n x x f x +==，． （1）求23x x ，的值；（2）求数列{}n x 的通项公式； （3）证明：12233334n n x x x +++<．20．（本小题满分14分）已知双曲线C 的焦点分别为12(F F -,且双曲线C 经过点P . （1）求双曲线C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若点A 在双曲线C 上，点B 在直线x =0⋅=OA OB ，是否存在以点O 为圆心的定圆恒与直线AB 相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由.21．（本小题满分14分）若实数、、满足||||-≤-x m y m ，则称比更接近. （1）若23-x 比1更接近0，求的取值范围；（2）对任意两个正数、，试判断2()2+a b 与222+a b 哪一个更接近ab ？并说明理由； （3）当2≥a 且1≥x 时，证明：ex比+x a 更接近ln x .数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．x y m x y m x a b三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：DACB CBAD解析：7．由图2知，输出的2345+s A A A A =++，由图1知16(0.00240.0012)50100A A +=+⨯⨯18=,故s=100-18=82，选A.8．由(1)f x +、(1)f x -都是奇函数得(1)(1)f x f x -+=-+，(1)(1)f x f x --=--，从而有()(2)f x f x =--，()(2)f x f x =---，故有(2)(2)f x f x -=--(2)(2)f x f x ⇒+=-(4)()f x f x ⇒+=，即()f x 是以4为周期的周期函数，因(1)f x -为奇函数，8也是函数()f x 的周期，所以(7)f x +也是奇函数.选D.二、填空题：9.π；10.y x =-；11. 20-；12.(-或；13.34；14.11))66ππ或； 15. 64.解析：13.如图，满足sin 1b a ≥+的点(,)P a b 落在图中阴影部分，根 据对称性易得其面积为14462πππ+⋅=，故所求概率6384P ππ==. 或208(sin 1)63884x dxP πππππ-+===⎰. 三、解答题：16．解：（1）∵4cos 5B =>0 ∴02B π<<∴3sin 5B ==--------------1分 由13sin 22S ac B ==,得5ac =-------------------①-------------------------------3分由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-,∴2226a c +=---------------②-------------5分 由①②结合a c >，解得5,1a c ==.-----------------------------------------------7分 (2)由正弦定理知sin sin b c B C =，∴sin sin c B C b=10=，---------------------------9分 ∵a c >，∴02C π<<,∴cos 10C ==分 ∴cos()B C -cos cos sin sin B C B C =+------------------------------------------11分43510510=⨯+⨯50=.---------------------------------------------------12分 17.解：（1）由61(7076727072)756x +++++=，---------------------------------2分解得690x =，-------------------------------------------------------------------3分 这6位同学成绩的标准差：7s ===.------6分 （2）这6位同学中，成绩落在（70，75）的有编号为3、5两位同学，故ξ的可能取值为：0，1，2 . -----------------------------------------------------7分且34361(0)5C P C ξ===，-----------------------------------------------------------8分2142363(1)5C C P C ξ===，-----------------------------------------------------------9分1242361(2)5C C P C ξ===，--------------------------------------------------------10分 ∴ξ的分布列为------------------------------11分ξ的数学期望：1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=.---------------------------------------12分18.解：(1)证明：连结BD 交AC 于点O ，连接EO .∵ABCD 为矩形，∴O 为BD 的中点-------------------1分 又E 为PD 的中点，∴EO ∥PB . ----------------------2分 ∵EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，∴PB ∥平面AEC ．----------------------------------3分 （2）过点E 作EF//PA 交AD 于F ，连结FC ， ∵PA ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD ,且1122EF PA == ∴ECF α∠=-------------------------------------4分 由tan 6EF FC α==得FC =---------------------5分 则32CD ==，------------------------6分 解法一：过D 作DQ AE ⊥交AE 于点Q ，连结CQ ，∵PA ⊂面PAD ，∴面PAD ⊥面ABCD ，----------7分又面PAD ⋂面ABCD AD =，CD AD ⊥ ∴CD ⊥面PAD --------------------------------8分AQ ⊂面APD CD AQ ∴⊥，且DQ AQ Q ⋂=AQ ∴⊥面CDQ ，故AQ CQ ⊥---------------------------------------------------9分∴DQC ∠是二面角D AE C --的平面角. -----------------------------------------10分 ∵1AP =,AD =∴6PDA π∠=又∵E 为PD 的中点，∴6EAD EDA π∠=∠=--------------------------------------11分在t AQD R ∆中，12DQ AD ==∴3tan CDCQD DQ ∠===-----------------------------------------------13分∵0CQD π<∠<3CQD π∴∠=，即二面角D AE C --的大小为3π.---------------------------------14分【解法二：以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，-7分则(000)A ，，，3(00)2B ，，，(0D，3(2C ，(00,1)P ，，----------------------8分 故1(0)22E ，，，313(0),(22AE AC ==，，，,3(00)2AB =，，，-----------9分 由条件可知，3(00)2AB =，，为平面ADE 的一个法向量，------10分 设平面AEC 的一个法向量为(),,n x y z =，则由00n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得102302y z x +=⎨⎪=⎪⎩，取2x =，得3y z ==， ∴(2,3,3)n =----------------------------------------------------------------12分设二面角D AE C --的大小为θ，则cos cos ,AB n θ=12||||AB n AB n ⋅==⋅，3πθ∴=，即二面角D AE C --的大小为3π．-------------------------------------14分】 19.解：（1）由(1)1f =，得3a b += 由1()2f =34得24a b += 解得2,1a b ==，3()21∴=+xf x x ，----------------------------------------------2分 2133392()()328212x f x f ⨯∴====⨯+-----------------------------------------------3分 32927()()826x f x f ===---------------------------------------------------------4分（2）解法一：由13()21n n n n x x f x x +==+且0n x ≠得：1211211333n n n nx x x x ++==+⋅，-------5分即11111(1)3n nx x +-=-，----------------------------------------------------------7分 ∵131,=2n x x ≠否则与矛盾 ∴1111131n nx x +-=-，------------------------------------8分 ∴数列1{1}n x -是以11113x -=-为首项，公比为13的等比数列，∴11111()33n n x --=-⨯，331n n nx =-.-----------------------------------------------9分 【解法二：由132=x ，23927826==x x ，，猜想3()31+=∈-n n nx n N .---------------------6分 下面用数学归纳法证明.①当n = 1猜想显然成立；②假设当n = k （1≥k ）结论成立，即331kk k x =-，则当1n k =+时，111133331()321312131k k k k k k k k k k x x f x x ++++-====+-⋅+-， 即当1=+n k 猜想成立. ----------------------------------------------------------8分综合①、②可知猜想对+∈n N 都成立. 即3()31+=∈-nn nx n N -------------------------9分】 （3）证法一：由331nn n x =-得1331n n n x =-， ∵111131331233123nn n n n -----=⋅-=⋅+-≥⋅-------------------------------------11分∴111111,(1,2,...,)331233123k k k k k k a k n ---==≤=-⋅+-⋅----------------------------12分 ∴122211*********3(1)(1)13332333243413nn n n n a a a --+++≤++++=⋅=-<-． ∴命题得证.-------------------------------------------------------------------14分 以下其它解法请参照给分。
2018年广东省普通高中学业水平考试数学模拟训练题一
C
． ( 1,1)
D
． ( 1, 1)
4．不等式 ( x 1)( x 2) 0 的解集是
A. { x | 1 x 2} B. { x | 2 x 1} C. { x | x 1或 x 2} D.
5．已知 是第二象限的角，且 sin
3 ，则 .
B.
C.
3
4
3
6．已知向量 AB
(3,7) ， BC
是
.
三．解答题：本大题共 2 小题，每小题 12 分，满分 24 分，解答应写出文字说明，证明过程
或演算步骤。
20．（本小题满分 12 分）
在
C 中，角 、 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ， b
2 ， c 1 ， cos
3
．
4
（ 1）求 sin C 的值；
（ 2）求
C 的面积．
3
2018 年广东省普通高中学业水平考试模拟训练题一
数学试卷
满分 100 分，考试时间 90 分钟
一、选择题 : 本大题共 15 小题，每小题 4 分，满分 60 分. 每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求 . 1．已知集合 P { 1,2,3} ，集合 S { 2,3,4} ，则集合 P S
A. {1,2,3}
B.
{ 2,3,4}
C.
{ 2,3}
D.
2．函数 f (x)
1
的定义域是
x5
A. { x | x 5} B.
{ x | x 5}
C.
{ x | x 5}
D.
{ x | x 5}
1 3．复数 1 i 3 (i 为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为
2018学业水平测试：数学(1)
三、解答题 20、若等差数列 an满足 a1 a3 8 ，且 a6 a12 36 。（1）求 an的通项
公式；（2）设数列bn满足 b1 2 ， bn1 an1 2an ，求数列bn的前
3
3
二、填空题
16、双曲线 x2 y2 1 的离心率为______
9 16
17、若 sin 2 ，且 0 ，则 tan _____
2 3
18、笔筒中放有 2 支黑色和 1 支红色共 3 支签字笔，先从笔筒中随机 取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支 笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为_______
D. 8和7
1
8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图 是正方形，则该几何体的体积为（ ）
A.1 B. 2 C.4 D. 8
x y 1 0
9、若实数
x,
y
满足
x y 0
，则 z x 2 y 的最小值为（
）
x 0
A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 2
B.lgx y lg x lg y
C.lg x3 3lg x
D.lg x ln x ln10
解：对于选项 B,令 x y 1 ，则 lgx y lg 2 0, 而 lg x lg y 0 ，
显然不成立。选 B
3、已知函数
f
x
x3 1,
2018 年 1 月广东省普通高中学业水平考试
(完整版)2018年的1月广东省普通高中的学业水平考试数学试卷真的题目及答案详解解析汇报
2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）1、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合，，则（ ）{}1,0,1,2M =-{}|12N x x =-≤<M N = . . . .A {}0,1,2B {}1,0,1-C M D N2、对任意的正实数，下列等式不成立的是（ ）,x y . ...A lg lg lgyy x x-=B lg()lg lg x y x y +=+C 3lg 3lg x x =D ln lg ln10x x =3、已知函数，设，则（ ）31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩(0)f a =()=f a . . ..A 2-B 1-C 12D 04、设是虚数单位，是实数，若复数的虚部是2，则（ ）i x 1xi+x =. . . .A 4B 2C 2-D 4-5、设实数为常数，则函数存在零点的充分必要条件是（ ）a 2()()f x x x a x R =-+∈. . . .A 1a ≤B 1a >C 14a ≤D 14a >6、已知向量，，则下列结论正确的是（ ）(1,1)a = (0,2)b =. . . .A //a b B (2)a b b -⊥C a b =D 3a b = A7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）. . . .A 69和B 96和C 78和D 87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）. .. .A 1B 2C 4D 89、若实数满足，则的最小值为,x y 1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩2z x y =-（ ）. . . .A 0B 1-C 32-D 2-10、如图，是平行四边形的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）o ABCD . .A DA DC AC -=B DA DC DO +=. .C OA OB AD DB -+= D AO OB BC AC++= 11、设的内角的对边分别为，若，则（ ）ABC A ,,A B C ,,a b c 2,a b c ===C =.. . .A 56πB 6πC 23πD 3π12、函数，则的最大值和最小正周期分别为（ ）()4sin cos f x x x =()f x . . . .A 2π和B 4π和C 22π和D 42π和13、设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若P 2221(2)4x y a a +=>12F F ，12F F =（ ）12PF PF +=. . . .A 4B 8C D 14、设函数是定义在上的减函数，且为奇函数，若，，则下列结论不()f x R ()f x 10x <20x >正确的是（ ）. . . .A (0)0f =B 1()0f x >C 221((2)f x f x +≤D 111()(2)f x f x +≤15、已知数列的前项和，则（ ）{}n a n 122n n S +=-22212n a a a +++= . . ..A 24(21)n -B 124(21)n -+C 4(41)3n -D 14(42)3n -+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、双曲线的离心率为 .221916x y -=17、若，且，则 .2sin()23πθ-=0θπ<<tan θ=18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 .19、圆心为两直线和的交点，且与直线相切的圆的标20x y +-=3100x y -++=40x y +-=准方程是 .三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列满足，且.{}n a 138a a +=61236a a +=（1）求的通项公式；{}n a（2）设数列满足，，求数列的前项和.{}n b 12b =112n n n b a a ++=-{}n b n n S 21、如图所示，在三棱锥中，，，为的中点，垂P ABC -PA ABC ⊥平面PB BC =F BC DE 直平分，且分别交于点.PC DE AC PC ，,D E （1）证明：；//EF ABP 平面（2）证明：.BD AC ⊥2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、B 解析：，故选B.{}101M N =- ，，2、B 解析：对于B 项，令，则，而，显然不成1x y ==lg()lg 2lg10x y +=>=lg lg 0x y +=立，故选B.3、C 解析： ，故选C.3(0)011a f ==-=- 11()(1)22f a f -∴=-==4、D 解析： ，故选D.(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++-242xx ∴-=⇒=-5、C 解析：由已知可得，，故选C.11404a a ∆=-≥⇒≤6、B 解析：对于A 项，，错误；12-010⨯⨯≠对于B 项，，，则，正确；2(2,0)a b -= (0,2)b = 20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥对于C 项，，错误；2a = 对于D 项，，错误. 故选B.10122a b =⨯+⨯=A7、A 解析：抽样比为，则应抽取的男生人数为，应抽取的女生人数1535010k ==320=6()10⨯人为，故选A.3(5020)9()10-⨯=人8、C解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为，故选C.2214V =⨯⨯=9、D 解析：（快速验证法）交点为，则分别为，所以11(0,1),(0,0),(,22-2z x y =-32,0,2--的最小值为，故选D.z 2-10、D 解析：对于A 项，，错误；DA DC CA -=对于B 项，，错误；2DA DC DO +=对于C 项，，错误；OA OB AD BA AD BD -+=+=对于D 项，，正确. 故选D.AO OB BC AB BC AC ++=+=11、A解析：由余弦定理，得，又222cos 2a b c C ab +-=== ，故选A.0C π<< 5=6C π∴12、A 解析：，最小正周期为，故选A. ()2sin 2f x x = max ()2f x ∴=22T ππ==13、B 解析：122F F c c ==⇒= 22224164a cb a ∴=+=+=⇒=，故选B.122248PF PF a ∴+==⨯=14、D 解析：对于A 项，为上的奇函数 ，正确；()f x R (0)0f ∴=对于B 项，为上的减函数 ，正确；()f x R 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=对于C 项，20x > 222221121x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立)，正确；221()(2)f x f x ∴+≤对于D 项， 10x < 111111(2x x x x ∴+=--+≤-=--ll，错误. 故选D.111()(2)(2)f x f fx∴+≥-=-15、C 解析：当时，；当时，2n≥1122(22)2222n n n n nn n na S S+-=-=---=⨯-=1n=适合上式. 是首项为，公比211222a S==-=222()(2)4n n nn na n N a*∴=∈⇒=={}2n a∴4为的等比数列，故选C.4222124(14)4(41)143n nna a a--∴+++==-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、解析：由已知，得532293,164a ab b=⇒==⇒= 222916255c a b c∴=+=+=⇒=双曲线的离心率为.∴53cea==17解析：，且2sin()cos23πθθ-==0θπ<< sinθ∴===.sin3tancos2θθθ∴===18、解析：.49224339P⨯==⨯19、解析：联立得22(4)(2)2x y-++=203100x yx y+-=⎧⎨-++=⎩4(4,2)2xy=⎧⇒-⎨=-⎩圆心为则圆心到直线的距离为(4,2)-40x y+-=d圆的标准方程为.∴22(4)(2)2x y-++=3、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列的公差为.{}n a d ∴1311161211828236511362a a a a d a a a a d a d d +=++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+=+++==⎩⎩⎩ 数列的通项公式为.2(1)22n a n n ∴=+-⨯=∴{}n a 2n a n =（2）由（1）知， 2n a n =1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+ 又适合上式 2(1)224n b n n ∴=--+=-+12b = 24()n b n n N *∴=-+∈ 数列是首项为，公差为的等差数列.122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=-∴{}n b 22-22(1)2(2)232n n n S n n n n n n -∴=+⨯-=-+=-+21、解：（1）证明：垂直平分 为的中点DE PC E ∴PC 又为的中点 为的中位线 F BC EF ∴BCP A //EF BP∴又 ,EF ABP BP ABP ⊄⊂ 平面平面//EF ABP∴平面（2）证明：连接BE，为的中点 PB BC = E PC PC BE∴⊥垂直平分 DE PC PC DE∴⊥又， BE DE E = ,BE DE BDE ⊂平面PC BDE∴⊥平面又 BD BDE ⊂ 平面PC BD∴⊥ ,PA ABC BD ABC ⊥⊂平面平面PA BD∴⊥又， PC PA P = ,PC PA PAC ⊂平面BD PAC∴⊥平面又 AC PAC ⊂ 平面BD AC∴⊥。
高三数学-[原创]2018高考模拟题(广东卷) 精品
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绝密★启用前 试卷类型：A2018年普通高等学校招生模拟考试（广东卷）数 学 命题：高贵彩 2018-5-28本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，共4页。
满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将答题卡试卷类型（A ）填涂在答题卡上。
在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，并用2B 铅笔将相应的试室号、座位号信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知复数()z a i a R =+∈对应的点在第一象限,且2z 为纯虚数,则z 的值是(A)1 (B（2）已知(*)nn N ∈的展开式中含有常数项,则n 的最小值为 (A)3 (B)4 (C )5 (D)6 （3）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24a =-，58a =，则15S = (A)60 (B)120 (C)240 (D )300（4）已知集合{}2230M x x x =--=，{}24210N x x x =-->，则()U C M N =(A){}2230x x x --< (B){}2230x x x -->(C ){}24210x xx --> (D){}24210x xx --≤（5）已知m 、n 、l 是互不重合的直线，α、β、γ是互不重合的平面，下列命题：①若//m l ，//n l 则//m n ； ②若//l α，//l β，则//αβ；③若α、β、γ两两互相垂直，m 、n 、l 是它们的交线，则m 、n 、l 两两互相垂直； ④若m αβ=，n βγ=，l γα=，则////m n l ；其中正确的个数是(A)1 (B )2 (C)3 (D)4（6）若椭圆与抛物线24(0)y px p =>有相同的焦点F ，抛物线的准线l 关于F 的对称直线1l 恰好是椭圆的焦点F 对应的准线，则椭圆的离心率为 (A)12(C)13 (D（7）一排共有8个座位，甲、乙、丙三人按如下方式入坐：每人左、右两旁都有空座位，且甲必须在另两人之间，则不同的坐法共有(A )8种 (B)24种 (C)40种 (D)120种（8）已知由下列各组命题构成的复合命题中同时满足：p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真的是(A)p2与224x x --≥同解； q ：2256045x x x x -+≤-+的解为23x ≤≤；(B)p ：集合{}(,)|260x y x y +-<表示的是直线260x y +-=左下方的平面区域；q ：不等式组5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域是一个斜三角形；(C )p ：函数()y f x =在定义域内单调是()y f x =有反函数的充要条件；q ：若()y f x =是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =；(D)p ：导数为零的点一定是极值点， q ：函数的极大值一定是最大值 （9）设函数()y f x =的定义域为R ，对于任意x 、y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，则函数()y f x =为(A)奇函数，且在R 上为增函数； (B )奇函数，且在R 上为减函数； (C)偶函数，且在R 上为增函数； (D)偶函数，且在R 上为减函数；（10）已知G 为ABC ∆的重心,过G 的直线分别交AB 、AC 于M 、N ，AM xAB =，AN yAC =，则11x y+= (A)2 (B )3 (C)12(D)13第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在题中横线上. （11）已知tan 2α=,则cos 2α=___________.（12）已知P 、A 、B 、C 是同一球面上的四个点，且PA 、PB 、PC 两两互相垂直，2PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的体积为______ ,所在球的表面积为_________.（13）已知254(1)()17(1)x x x f x x ax x ⎧+-<-⎪=+⎨⎪+≥-⎩在R 上连续,则(1)f =______________. （14）从原点出发的某质点,按向量(0,1)a =移动的概率为23,按向量(0,2)a =移动的概率为13,设质点到达点(0,)n 的概率为n p ,则2p =______ ,n p 、1n p +、2n p +满足的关系式是________. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分12分）在四边形ABCD 中,对角线AC 恰好平分DAB ∠,060B ∠=,7AC =,6AD =,ADC S ∆=求AB 的长度. （16）（本小题满分14分）游客甲与射击馆教练乙进行娱乐性射击比赛,已知甲每次射击击中目标的概率是0.3, 乙每次射击击中目标的概率是0.7.(Ⅰ)比赛规定:若命中目标就停止射击,不中则继续射击,但每人最多射击3次.记甲射击的次数为1ξ,乙射击的次数为1η,写出1ξ与1η的分布列;(Ⅱ)比赛规定:乙先让甲4分,然后每人射击5次,甲每击中一次4分,乙每击中一次记3分;试比较甲的最后分数2ξ与乙的最后分数2η的期望值.（17）（本小题满分14分）若函数32()f x x ax bx c =+++在1x =-与1x =处均有极值,且该函数的极大值为2. (Ⅰ)求()f x 的解析式;(Ⅱ)设()y f x =的图象对应的曲线为M ,点111(,)P x y 在曲线M 上,过点1P 引曲线M 的切线,切于点222(,)P x y ,再过点2P 引曲线M 的切线,切于点333(,)P x y ,…,如此继续下去,依次得到点444(,)P x y …(,)n n n P x y …,任意*n N ∈均有1n n x x +≠， 若11x =,求123n x x x x +++++的值.CDB A（18）（本小题满分14分）如图所示,ABCD 是边长为2a 的正方形,PB ⊥面ABCD ,//MA PB ,2PB MA =,PM 与面ABCD 所成的角为1arctan2,E 是PD 的中点 (Ⅰ)求证://ME 面ABCD ;(Ⅱ)求点B 到平面PMD 的距离;(Ⅲ)求平面PMD 与面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.（19）（本小题满分14分）如图,ABC ∆的周长为18,且2CA CB =,以A 、B 为焦点，32为离心率的双曲线M 恰好经过点C ，(Ⅰ)求双曲线M 的标准方程；(Ⅱ)设E 、F 是双曲线M 上的两点，点5(2,)2N 为线段EF 的中点，线段EF 的垂直平分线交双曲线M 于G 、H 两点，判断E 、F 、G 、H 四点是否共圆？若共圆，写出该圆的方程，若不共圆，说明理由.（20）（本小题满分12分） 设0t >,()f t =()g t =(Ⅰ)求()f t 的最小值及()g t 的最大值; (Ⅱ)设a =,b =,c x y =+,试讨论是否存在正数p ,对于任意的正数x和y ,以a 、b 、c 为三边长的三角形存在?若存在,求出p 的取值范围,若不存在,说明理由.参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分.1.B2.C3.D4.C5.B6.D7.A8.C9.B 10.B 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分20分. 第12与14小题的第一空均为2分，第二空均为3分，11. 35-； 12. 43， 12π； 13. 8 14. 79， 211233n n n p p p ++=+三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．本小题主要考查三角函数的基本公式、三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理等基本知识，以及推理和运算能力.满分12分.[解]由题设知：176sin 22CAD =⨯⨯∠，得sin 14CAD ∠=……3分 ∵对角线AC 恰好平分DAB ∠∴sin 14CAB ∠=，………4分 法一：∴11cos 14CAB ∠=……………………5分 ∵060B ∠=∴111sin 1421427ACB ∠=+⨯=…………………9分 ∵sin sin AB ACACB B=∠ ∴8AB =………………12分法二：∵060B ∠=， sin sin BC ACCAB B=∠ ∴5BC =…………7分∴22249525cos60AC AB AB ==+-⨯ 即25240AB AB --=………10分 ∴8AB =………12分16．本小题主要考查概率、随机变量的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力.满分14分 [解](Ⅰ)由题设知：11ξ=、2、3； 则1(1)P ξ==0.3, 1(2)P ξ==0.7×0.3=0.21, 1(3)P ξ==0.72=0.49∴1ξ的分布列………………………………………3分1(1)P η==0.7,1(2)P η==0.3×11η=、2、3；0.7=0.21,1(3)P η==0.32=0.18CDBA∴1η的分布列………………………………………6分数为ξ, 乙击中的次数为η.则(Ⅱ)设甲击中的次~(5,0.3)B ξ,~(5,0.7)B η……………9分 ∴50.3 1.5E ξ=⨯=，50.7 3.5E η=⨯=………………11分 由题设知：244ξξ=+, 23ηη=∴24410E E ξξ=+=, 2310.5E E ηη==………………………13分 ∴22E E ξη<…………………………14分17．本小题主要考查导数的应用、数列及数列极限等知识，考查运用数学知识，分析问题和解决问题的能力.满分14分.[解](Ⅰ)由题设知：2'()32f x x ax b =++ 且 '(1)0'(1)0f f -=⎧⎨=⎩ 即2323a b a b -=⎧⎨+=-⎩…………2分 ∴03a b =⎧⎨=-⎩'()3(1)(1)f x x x =-+ 3()3f x x x c=-+……………4分 ∴当(,1)(1,)x ∈-∞-+∞时'()0f x >，当(1,1)x ∈-时'()0f x <∴(1)2f -= 即132c -++=……………………………………6分 ∴0c = 3()3f x x x =-……………………………………7分 (Ⅱ)由题设知：111'()n nn n ny y f x x x +++-=-………………………………9分由(Ⅰ)得222111333n n n n n x x x x x +++++-=- ∴11(2)()0n n n n x x x x +++-= 即112n n x x +=-………………………………11分 ∴由11x =知{}n x 是以1为首项，12-为公比的等比数列…………………………12分 ∴1231121()3n x x x x +++++==--…………………………14分18．本小题主要考查直线与平面位置及所成角、二面角及点到平面的距离、空间向量等基础知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力与运算能力. 满分14分. [解法一](Ⅰ)证明：设AC BD O =，连OE∵ABCD 是边长为2a 的正方形，E 是PD 的中点∴//OE PB ,2PB OE = ∵//MA PB ,2PB MA =∴四边形MAOE 为平行四边形……………2分∴//ME OA∴//ME 面ABCD (4)分(Ⅱ)解：作BG PD ⊥于G ，取PB 的中点N ,连MN ,由(Ⅰ)知AC BD ⊥,//MN AB ,BD =∵PB ⊥面ABCD∴AC PB ⊥，AB 为PM 在面ABCD 内的射影. ∴AC ⊥面PBD ∴ME ⊥面PBD ∴ME BG ⊥∴BG ⊥面PMD ，即BG 点B 到平面PMD 的距离………………………7分 ∵PM 与面ABCD 所成的角为1arctan2∴22a AB MN PN PB ====……………………………9分∴BG =,即点B 到平面PMD …………………………11分 (Ⅲ)由题设及(Ⅱ)知:BG 与BP 所成的角与平面PMD 与面ABCD 所成的二面角相等或互补,……12分cos BG PBG PB ∠==∴平面PMD 与面ABCD 14分 [解法二]由题设知:以B 为原点, BC 、AB 、BP 所在直线分别为x 轴、轴y 、z 轴如图示建立空间直角坐标系. …………………1分取PB 的中点N ,连MN ,由PB ⊥面ABCD ,//MA PB 知AB 为PM 在面ABCD 内的射影∵PM 与面ABCD 所成的角为1arctan2,2PB MA =,E 是PD 的中点. ∴22a AB MN PN PB ====2PB MA =…………………3分∴(0,2,0)A a -，(0,0,0)B ，(2,0,0)C a ，(0,0,2)P a ，(0,2,)M a a -，(,,)E a a a -∴(,,0)ME a a =，(0,2,0)BA a =-，(2,0,0)BC a =，(0,2,)PM a a =--，(0,0,2)BP a =∴1()2ME BC BA =-…………………6分 ∴//ME 面ABCD …………………7分设点B 到平面PMD 的距离为d ，平面PMD 与面A B C D 所成的锐二面角为θ，(,,)n x y z =，且n ⊥面PMD∴002n ME ax ay n PM ay az⎧==+⎪⎨==--⎪⎩ 即2x y z y =-⎧⎨=-⎩ 取1y =-得(1,1,2)n =-……………10分∴6n BP dn===…………………12分cos θ=26n BP n BP==…………………14分 19．本小题主要考查直线、圆、双曲线的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力.满分14分.[解](Ⅰ)设双曲线M 的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，c =则2C A C Ba-=由题设知：4CA a =，2CB a =，6218a c +=，32c a =………………3分 ∴2a =，3c =，b =4分∴双曲线M 的标准方程为22145x y -=………………5分 (Ⅱ)法一：设11(,)E x y 、22(,)F x y ，33(,)G x y 、33(,)H x y ， 线段GH 的中点为00(,)P x y ，则由题设知：124x x +=，125y y +=，由(Ⅰ)知：2222112214545x y x y -==- 得12121y y x x -=- ∴直线EF 的方程为2210x y -+=，直线GH 的方程为2290x y +-=………8分由224522101y x x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩知24210x x --=有1221x x =-，得EF =9分由224522901y x x y +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩知2361010x x +-=有3436x x +=-，34101x x =-，得10GH =∴018x =-，4502y =，PN =，PA PB ===11分∴E 、F 在以线段G H 为直径的圆上，即E 、F 、G 、H 四点共圆. ……………12分∴该圆的方程为2245(18)()850x y ++-=………………14分 法二：由题设知：直线EF 的斜率存在且不为零，设直线EF 的方程为52(2)y k x -=-， 11(,)E x y 、22(,)F x y ，33(,)G x y 、33(,)H x y ，线段GH 的中点为00(,)P x y ，由225245(2)1y x y k x -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩知2225522(54)8(2)4(2)0k x k k x k -+---=有521228(2)454k k x x k -+==-， 得1k =，1221x x =-，EF =8分∴直线EF 的方程为2210x y -+=，直线GH 的方程为2290x y +-=………10分由224522901y x x y +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩知2361010x x +-=有3436x x +=-，34101x x =-，得GH =∴018x =-，4502y =，PN =，PA PB ===11分∴E 、F 在以线段G H 为直径的圆上，即E 、F 、G 、H 四点共圆. ……………12分∴该圆的方程为22452(18)()850x y ++-=………………14分 20．本小题主要考查函数、不等式等基础知识，考查逻辑思维能力、运用知识分析问题和解决问题的能力.满分12分. [解](Ⅰ)法一：∵0t >，()f t =()g t =2≥，12t t +≥，且两者均在1t =时取等号；1()()g t f t =……………4分∴min [()](1)2f t f ==max [()](1)2g t g ==6分法二：设x =()()(y f t x F x x ===≥……2分∴'()10F x =>，即()y F x =在区间)+∞上单调递增∴min min [()][()]2f t F x F ===………………………………4分 ∵1()()g t f t =∴max [()](1)2g t g ==6分 (Ⅱ)由题设知：c a >，0x >，0y >∴当c a b a c -<<+时以a 、b 、c 为三边长的三角形存在……………9分∴x y x y ++(0)xp y<<>……………11分∴22p <12分。
广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题及答案解析
2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}1,0,1,2M =-，{}|12N x x =-≤<，则MN =（ ）A .{}0,1,2B .{}1,0,1-C .MD .N 2、对任意的正实数,x y ，下列等式不成立的是（ ）A .lg lg lgy y x x -= B .lg()lg lg x y x y +=+ C .3lg 3lg x x = D .ln lg ln10x x = 3、已知函数31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，设(0)f a =，则()=f a （ ）A .2-B .1-C .12D .04、设i 是虚数单位，x 是实数，若复数1xi+的虚部是2，则x =（ ）A .4B .2C .2-D .4-5、设实数a 为常数，则函数2()()f x x x a x R =-+∈存在零点的充分必要条件是（ ）A .1a ≤B .1a >C .14a ≤D .14a > 6、已知向量(1,1)a =，(0,2)b =，则下列结论正确的是（ ）A .//a bB .(2)a b b -⊥C .a b =D .3a b =7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）A .69和B .96和C .78和D .87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）A .1B .2C .4D .89、若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A .0B .1-C .32- D .2-10、如图，o 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）A .DA DC AC -=B .DA DC DO +=C .OA OB AD DB -+= D .AO OB BC AC ++= 11、设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若2,a b c ===C =（ ）A .56π B .6π C .23π D .3π 12、函数()4sin cos f x x x =，则()f x 的最大值和最小正周期分别为（ ）A .2π和B .4π和C .22π和D .42π和13、设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若12F F =12PF PF +=（ ）A .4B .8 C. D.14、设函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()f x 为奇函数，若10x <，20x >，则下列结论不正确的是（ ）A .(0)0f =B .1()0f x >C .221()(2)f x f x +≤ D .111()(2)f x f x +≤ 15、已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则22212n a a a +++=（ ）A .24(21)n- B .124(21)n -+ C .4(41)3n - D .14(42)3n -+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、双曲线221916x y -=的离心率为 . 17、若2sin()23πθ-=，且0θπ<<，则tan θ= .18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 .19、圆心为两直线20x y +-=和3100x y -++=的交点，且与直线40x y +-=相切的圆的标准方程是 .三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列{}n a 满足138a a +=，且61236a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12b =，112n n n b a a ++=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .21、如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，PB BC =，F 为BC 的中点，DE 垂直平分PC ，且DE 分别交AC PC ，于点,D E . （1）证明：//EF ABP 平面； （2）证明：BD AC ⊥.2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、B 解析：{}101MN =-，，，故选B.2、B 解析：对于B 项，令1x y ==，则lg()lg 2lg10x y +=>=，而lg lg 0x y +=，显然不成立，故选B.3、C 解析：3(0)011a f ==-=- 11()(1)22f a f -∴=-==，故选C.4、D 解析：(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++- 242x x ∴-=⇒=-，故选D. 5、C 解析：由已知可得，11404a a ∆=-≥⇒≤，故选C. 6、B 解析：对于A 项，12-010⨯⨯≠，错误；对于B 项，2(2,0)a b -=，(0,2)b =，则20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥，正确；对于C 项，2,2a b ==，错误；对于D 项，10122a b =⨯+⨯=，错误. 故选B. 7、A 解析：抽样比为1535010k ==，则应抽取的男生人数为320=6()10⨯人，应抽取的女生人数为3(5020)9()10-⨯=人，故选A. 8、C 解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为2214V =⨯⨯=，故选C.9、D 解析：（快速验证法）交点为11(0,1),(0,0),(,)22-，则2z x y =-分别为32,0,2--，所以z 的最小值为2-，故选D.10、D 解析：对于A 项，DA DC CA -=，错误； 对于B 项，2DA DC DO +=，错误；对于C 项，OA OB AD BA AD BD -+=+=，错误； 对于D 项，AO OB BC AB BC AC ++=+=，正确. 故选D.11、A解析：由余弦定理，得222222cos 22a b c C ab +-===-，又0C π<< 5=6C π∴，故选A. 12、A 解析：()2sin 2f x x =max ()2f x ∴=，最小正周期为22T ππ==，故选A. 13、B解析：122F F c c ==⇒=22224164a c b a ∴=+=+=⇒=122248PF PF a ∴+==⨯=，故选B. 14、D 解析：对于A 项，()f x 为R 上的奇函数 (0)0f ∴=，正确；对于B 项，()f x 为R 上的减函数 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=，正确；对于C 项，20x >2222221121x x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立) 221()(2)f x f x ∴+≤，正确； 对于D 项，10x < 1111111()2x x x x x ∴+=--+≤-=---111()(2)(2)f x f f x ∴+≥-=-，错误. 故选D. 15、C 解析：当2n ≥时，1122(22)2222n n n n n n n n a S S +-=-=---=⨯-=；当1n =时，211222a S ==-=适合上式. 222()(2)4n n n n n a n N a *∴=∈⇒=={}2n a ∴是首项为4，公比为4的等比数列 222124(14)4(41)143n n n a a a --∴+++==-，故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、53解析：由已知，得2293,164a a b b =⇒==⇒= 222916255c a b c ∴=+=+=⇒= ∴双曲线的离心率为53c e a ==.17、2 解析：2s i n ()c o s 23πθθ-==，且0θπ<<sin θ∴===sin 3tan cos 2θθθ∴===. 18、49 解析：224339P ⨯==⨯. 19、22(4)(2)2x y -++= 解析：联立203100x y x y +-=⎧⎨-++=⎩得4(4,2)2x y =⎧⇒-⎨=-⎩圆心为 则圆心(4,2)-到直线40x y +-=的距离为d ==∴圆的标准方程为22(4)(2)2x y -++=.三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d .2(1)22n a n n ∴=+-⨯= ∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）由（1）知，2n a n = 1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+2(1)224n b n n ∴=--+=-+ 又12b =适合上式 24()n b n n N *∴=-+∈ 122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=- ∴数列{}n b 是首项为2，公差为2-的等差数列.21、解：（1）证明：DE 垂直平分PC E ∴为PC 的中点又F 为BC 的中点 EF ∴为B C P 的中位线//EF BP ∴又,EF ABP BP ABP ⊄⊂平面平面 //EF ABP ∴平面 （2）证明：连接BEPB BC =，E 为PC 的中点 P C B E ∴⊥ DE 垂直平分PC P C D E ∴⊥ 又BEDE E =，,BE DE BDE ⊂平面 P C B D E∴⊥平面 又BD BDE ⊂平面 P C B D ∴⊥ 又PC PA P =，,PC PA PAC ⊂平面 B D P A C∴⊥平面 又AC PAC ⊂平面 B D A C∴⊥。
2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题及答案解析
2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}1,0,1,2M =-，{}|12N x x =-≤<，则M N =（ ）A .{}0,1,2B .{}1,0,1-C .MD .N2、对任意的正实数,x y ，下列等式不成立的是（ ）A .lg lg lg y y x x -=B .lg()lg lg x y x y +=+C .3lg 3lg x x =D .ln lg ln10x x = 3、已知函数31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，设(0)f a =，则()=f a （ ） A .2- B .1- C .12D .0 4、设i 是虚数单位，x 是实数，若复数1x i+的虚部是2，则x =（ ） A .4 B .2 C .2- D .4-5、设实数a 为常数，则函数2()()f x x x a x R =-+∈存在零点的充分必要条件是（ ） A .1a ≤ B .1a > C .14a ≤ D .14a > 6、已知向量(1,1)a =，(0,2)b =，则下列结论正确的是（ ）A .//a bB .(2)a b b -⊥C .a b =D .3a b =7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）A .69和B .96和C .78和D .87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）A .1B .2C .4D .89、若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A .0B .1-C .32- D .2- 10、如图，o 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ） A .DA DC AC -= B .DA DC DO +=C .OA OB AD DB -+= D .AO OB BC AC ++=11、设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若2,a b c ===C =（ ） A .56π B .6π C .23π D .3π 12、函数()4sin cos f x x x =，则()f x 的最大值和最小正周期分别为（ ）A .2π和B .4π和C .22π和D .42π和13、设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若12F F =12PF PF +=（ ）A .4B .8 C. D.14、设函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()f x 为奇函数，若10x <，20x >，则下列结论不正确的是（ ）A .(0)0f =B .1()0f x >C .221()(2)f x f x +≤D .111()(2)f x f x +≤ 15、已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则22212n a a a +++=（ ） A .24(21)n - B .124(21)n -+ C .4(41)3n - D .14(42)3n -+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、双曲线221916x y -=的离心率为 . 17、若2sin()23πθ-=，且0θπ<<，则tan θ= . 18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 .19、圆心为两直线20x y +-=和3100x y -++=的交点，且与直线40x y +-=相切的圆的标准方程是 .三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列{}n a 满足138a a +=，且61236a a +=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12b =，112n n n b a a ++=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .21、如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，PB BC =，F 为BC 的中点，DE 垂直平分PC ，且DE 分别交AC PC ，于点,D E .（1）证明：//EF ABP 平面；（2）证明：BD AC ⊥.2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、B 解析：{}101M N =-，，，故选B.2、B 解析：对于B 项，令1x y ==，则lg()lg 2lg10x y +=>=，而lg lg 0x y +=，显然不成立，故选B.3、C 解析：3(0)011a f ==-=- 11()(1)22f a f -∴=-==，故选C. 4、D 解析：(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++- 242x x ∴-=⇒=-，故选D. 5、C 解析：由已知可得，11404a a ∆=-≥⇒≤，故选C. 6、B 解析：对于A 项，12-010⨯⨯≠，错误；对于B 项，2(2,0)a b -=，(0,2)b =，则20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥，正确； 对于C 项，2,2a b ==，错误；对于D 项，10122a b =⨯+⨯=，错误. 故选B.7、A 解析：抽样比为1535010k ==，则应抽取的男生人数为320=6()10⨯人，应抽取的女生人数为3(5020)9()10-⨯=人，故选A. 8、C 解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为2214V =⨯⨯=，故选C.9、D 解析：（快速验证法）交点为11(0,1),(0,0),(,)22-，则2z x y =-分别为32,0,2--，所以z的最小值为2-，故选D.10、D 解析：对于A 项，DA DC CA -=，错误；对于B 项，2DA DC DO +=，错误；对于C 项，OA OB AD BA AD BD -+=+=，错误；对于D 项，AO OB BC AB BC AC ++=+=，正确. 故选D.11、A 解析：由余弦定理，得222222cos 22a b c C ab +-===-，又0C π<< 5=6C π∴，故选A. 12、A 解析：()2sin 2f x x =max ()2f x ∴=，最小正周期为22T ππ==，故选A. 13、B解析：122F F c c ==⇒= 22224164a c b a ∴=+=+=⇒= 122248PF PF a ∴+==⨯=，故选B.14、D 解析：对于A 项，()f x 为R 上的奇函数 (0)0f ∴=，正确；对于B 项，()f x 为R 上的减函数 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=，正确； 对于C 项，20x >2222221121x x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立) 221()(2)f x f x ∴+≤，正确； 对于D 项，10x < 1111111()2x x x x x x ∴+=--+≤-=---111()(2)(2)f x f f x ∴+≥-=-，错误. 故选D. 15、16、C 解析：当2n ≥时，1122(22)2222n n n n n n n n a S S +-=-=---=⨯-=；当1n =时，211222a S ==-=适合上式. 222()(2)4n n n n n a n N a *∴=∈⇒=={}2n a ∴是首项为4，公比为4的等比数列 222124(14)4(41)143n n n a a a --∴+++==-，故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、17、53 解析：由已知，得2293,164a a b b =⇒==⇒= 222916255c a b c ∴=+=+=⇒=∴双曲线的离心率为53c e a ==. 18解析：2s i n ()c o s 23πθθ-==，且0θπ<<sin 3θ∴=== sin 3tan cos 322θθθ∴==⨯=. 19、49 解析：224339P ⨯==⨯. 20、22(4)(2)2x y -++= 解析：联立203100x y x y +-=⎧⎨-++=⎩得4(4,2)2x y =⎧⇒-⎨=-⎩圆心为 则圆心(4,2)-到直线40x y +-=的距离为d ==∴圆的标准方程为22(4)(2)2x y -++=.三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d .∴1311161211828236511362a a a a d a a a a d a d d +=++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+=+++==⎩⎩⎩ 2(1)22n a n n ∴=+-⨯= ∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）由（1）知，2n a n = 1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+2(1)224n b n n ∴=--+=-+ 又12b =适合上式 24()n b n n N *∴=-+∈122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=- ∴数列{}n b 是首项为2，公差为2-的等差数列. 22(1)2(2)232n n n S n n n n n n -∴=+⨯-=-+=-+ 21、解：（1）证明：DE 垂直平分PC E ∴为PC 的中点 又F 为BC 的中点 EF ∴为B C P 的中位线 //EF BP ∴ 又,EF ABP BP ABP ⊄⊂平面平面 //EF ABP ∴平面（2）证明：连接BEPB BC =，E 为PC 的中点 P C B E ∴⊥DE 垂直平分PC P C D E ∴⊥又BE DE E =，,BE DE BDE ⊂平面 P C B D E ∴⊥平面 又BD BDE ⊂平面 P C B D∴⊥ ,PA ABC BD ABC ⊥⊂平面平面 P A B D ∴⊥又PC PA P =，,PC PA PAC ⊂平面 B D P A C ∴⊥平面 又AC PAC ⊂平面 B D A C∴⊥。
广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题及答案解析
2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}1,0,1,2M =-，{}|12N x x =-≤<，则M N =I （ ）A .{}0,1,2B .{}1,0,1-C .MD .N2、对任意的正实数,x y ，下列等式不成立的是（ ）A .lg lg lg y y x x-= B .lg()lg lg x y x y +=+ C .3lg 3lg x x = D .ln lg ln10xx =3、已知函数31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，设(0)f a =，则()=f a （ ）A .2-B .1-C .12D .04、设i 是虚数单位，x 是实数，若复数1xi+的虚部是2，则x =（ ） A .4 B .2 C .2- D .4-5、设实数a 为常数，则函数2()()f x x x a x R =-+∈存在零点的充分必要条件是（ ）A .1a ≤B .1a >C .14a ≤D .14a > 6、已知向量(1,1)a =r ，(0,2)b =r，则下列结论正确的是（ ）A .//a b r rB .(2)a b b -⊥r r rC .a b =r rD .3a b =r r g7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）A .69和B .96和C .78和D .87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）A .1B .2C .4D .89、若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A .0B .1-C .32- D .2-10、如图，o 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）A .DA DC AC -=u u u r u u u r u u u rB .DA DC DO +=u u u r u u u r u u u rC .OA OB AD DB -+=u u u r u u u r u u u r u u u r D .AO OB BC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r11、设ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3,2,13a b c ===C =（ ）A .56π B .6π C .23π D .3π 12、函数()4sin cos f x x x =，则()f x 的最大值和最小正周期分别为（ ）A .2π和B .4π和C .22π和D .42π和13、设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若1243F F =12PF PF +=（ ）A .4B .8 C. D.14、设函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()f x 为奇函数，若10x <，20x >，则下列结论不正确的是（ ）A .(0)0f =B .1()0f x >C .221()(2)f x f x +≤ D .111()(2)f x f x +≤ 15、已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则22212n a a a +++=L （ ）A .24(21)n -B .124(21)n -+ C .4(41)3n - D .14(42)3n -+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、双曲线221916x y -=的离心率为 . 17、若2sin()23πθ-=，且0θπ<<，则tan θ= . 18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 . 19、圆心为两直线20x y +-=和3100x y -++=的交点，且与直线40x y +-=相切的圆的标准方程是 .三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列{}n a 满足138a a +=，且61236a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12b =，112n n n b a a ++=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .21、如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，PB BC =，F 为BC 的中点，DE 垂直平分PC ，且DE 分别交AC PC ，于点,D E .（1）证明：//EF ABP 平面； （2）证明：BD AC ⊥.2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、B 解析：{}101M N =-I ，，，故选B.2、B 解析：对于B 项，令1x y ==，则lg()lg 2lg10x y +=>=，而lg lg 0x y +=，显然不成立，故选B.3、C 解析：3(0)011a f ==-=-Q 11()(1)22f a f -∴=-==，故选C. 4、D 解析：(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++-Q242x x ∴-=⇒=-，故选D. 5、C 解析：由已知可得，11404a a ∆=-≥⇒≤，故选C. 6、B 解析：对于A 项，12-010⨯⨯≠，错误；对于B 项，2(2,0)a b -=r r ，(0,2)b =r ，则20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥r r r，正确；对于C 项，2a b ==r r，错误；对于D 项，10122a b =⨯+⨯=r rg，错误. 故选B. 7、A 解析：抽样比为1535010k ==，则应抽取的男生人数为320=6()10⨯人，应抽取的女生人数为3(5020)9()10-⨯=人，故选A. 8、C 解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为2214V =⨯⨯=，故选C.9、D 解析：（快速验证法）交点为11(0,1),(0,0),(,)22-，则2z x y =-分别为32,0,2--，所以z 的最小值为2-，故选D.10、D 解析：对于A 项，DA DC CA -=u u u r u u u r u u u r，错误； 对于B 项，2DA DC DO +=u u u r u u u r u u u r，错误；对于C 项，OA OB AD BA AD BD -+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，错误； 对于D 项，AO OB BC AB BC AC ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，正确. 故选D.11、A 解析：由余弦定理，得222222cos 22a b c C ab +-===，又0C π<<Q 5=6C π∴，故选A. 12、A 解析：()2sin 2f x x =Q max ()2f x ∴=，最小正周期为22T ππ==，故选A. 13、B解析：122F F c c ==⇒=Q22224164a c b a ∴=+=+=⇒=122248PF PF a ∴+==⨯=，故选B.14、D 解析：对于A 项，()f x Q 为R 上的奇函数 (0)0f ∴=，正确；对于B 项，()f x Q 为R 上的减函数 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=，正确；对于C 项，20x >Q 222221121x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立) 221()(2)f x f x ∴+≤，正确； 对于D 项，10x <Q111111()2x x x x ∴+=--+≤-=--111()(2)(2)f x f f x ∴+≥-=-，错误. 故选D. 15、C 解析：当2n ≥时，1122(22)2222n n n n nn n n a S S +-=-=---=⨯-=；当1n =时，211222a S ==-=适合上式. 222()(2)4n n n n n a n N a *∴=∈⇒=={}2n a ∴是首项为4，公比为4的等比数列 222124(14)4(41)143n n n a a a --∴+++==-L ，故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分. 16、53解析：由已知，得2293,164a a b b =⇒==⇒= 222916255c a b c ∴=+=+=⇒= ∴双曲线的离心率为53c e a ==. 17、2 解析：2sin()cos 23πθθ-==Q ，且0θπ<<sin θ∴===sin 3tan cos 2θθθ∴===. 18、49 解析：224339P ⨯==⨯. 19、22(4)(2)2x y -++= 解析：联立203100x y x y +-=⎧⎨-++=⎩得4(4,2)2x y =⎧⇒-⎨=-⎩圆心为则圆心(4,2)-到直线40x y +-=的距离为d ==∴圆的标准方程为22(4)(2)2x y -++=.三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d .∴1311161211828236511362a a a a d a a a a d a d d +=++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+=+++==⎩⎩⎩2(1)22n a n n ∴=+-⨯= ∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）由（1）知，2n a n = 1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+2(1)224n b n n ∴=--+=-+ 又12b =Q 适合上式 24()n b n n N *∴=-+∈122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=- ∴数列{}n b 是首项为2，公差为2-的等差数列.22(1)2(2)232n n n S n n n n n n -∴=+⨯-=-+=-+ 21、解：（1）证明：DE Q 垂直平分PC E ∴为PC 的中点 又F Q 为BC 的中点 EF ∴为BCP V 的中位线 //EF BP ∴ 又,EF ABP BP ABP ⊄⊂Q 平面平面 //EF ABP ∴平面 （2）证明：连接BEPB BC =Q ，E 为PC 的中点 PC BE ∴⊥DE Q 垂直平分PC PC DE ∴⊥又BE DE E =Q I ，,BE DE BDE ⊂平面 PC BDE ∴⊥平面又BD BDE ⊂Q 平面 PC BD ∴⊥,PA ABC BD ABC ⊥⊂Q 平面平面 PA BD ∴⊥又PC PA P =Q I ，,PC PA PAC ⊂平面 BD PAC ∴⊥平面又AC PAC ⊂Q 平面 BD AC ∴⊥。
2018年广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷(考前压题篇)
绝密★启用前2018年广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷（考前压题篇）考试时间：100分钟；命题人：小高考课题研究小组题号一二三总分得分第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共15小题，每小题4分，共60分.）1．集合A={0，1，2}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}2．已知数列{a n}是等比数列，且a1=，a4=﹣1，则{a n}的公比q为（）A．2 B．﹣C．﹣2 D．3．命题“∀x＞1，”的否定是（）A．∀x＞1，B．∀x≤1，C．∃x0＞1，D．∃x0≤1，4．过点P（2，﹣1）且倾斜角为的直线方程是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣2y﹣﹣2=0 C．x﹣y﹣3=0 D．x﹣2y++1=0 5．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系为（）A．相交、平行或异面B．相交或平行C．异面D．平行或异面6．平行四边形ABCD中，=，=，则+=（）A．B．C．D．7．直线y=x被圆（x﹣1）2+y2=1所截得的弦长为（）A．B．1 C．D．28．如图，圆O内有一个内接三角形ABC，且直径AB=2，∠ABC=45°，在圆O内随机撒一粒黄豆，则它落在三角形ABC内（阴影部分）的概率是（）A．B．C．D．9．若如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．圆锥B．棱柱C．圆柱D．棱锥10．甲乙两人下棋，已知两人下成和棋的概率为，甲赢棋的概率为，则甲输棋的概率为（）A．B．C．D．11．函数f（x）=lnx+2x﹣1零点的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．112．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．313．为了得到函数y=sin（2x﹣），x∈R的图象，只需将函数y=sin2x，x∈R的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度14．sin27°cos18°+cos27°sin18°的值为（）A．B．C．D．115．函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，则下列结论成立的是（）A．f（1）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（1）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（1）D．f（）＜f（1）＜f（）第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分.）16．在空间直角坐标系中，点A（1，3，﹣2），B（﹣2，3，2），则A，B两点间的距离为．17．已知函数f（x）=log a（x﹣1）﹣2（a＞0且a≠1），则函数恒过定点．18．一条光线从A（﹣，0）处射到点B（0，1）后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为．19．已知F1，F2为椭圆C的两个焦点，P为C上一点，若|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则C的离心率为．评卷人得分三．解答题（共2小题，每小题12分，共24分.）20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面CB1D1；（Ⅱ）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．21．如图是一名篮球运动员在某一赛季10场比赛的得分的原始记录的茎叶图，（1）计算该运动员这10场比赛的平均得分；（2）估计该运动员在每场比赛中得分不少于40分的概率．2018年广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷（考前压题篇）参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．解：∵A={0，1，2}，B={x|﹣1＜x＜2}∴A∩B={0，1}故选C2．解：由，故选C．3．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞1，”的否定是∃x0＞1，故选：C．4．解：∵斜率k=tan=1，∴过点P（2，﹣1），且倾斜角为的直线方程为：y+1=x﹣2，即x﹣y﹣3=0，故选：C5．解：因为a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系可能平行，可能是异面直线，也可能是相交直线．故选A．6．解：平行四边形ABCD中，=，=，故=+=+=+，故选：A．7．解：由圆的方程得：圆心坐标为（1，0），半径r=1，∵圆心到直线x﹣y=0的距离d=，∴直线被圆截得的弦长为2=．故选C．8．解：圆O的直径AB=2，半径为1，所以圆的面积为S圆=π•12=π；△ABC的面积为S△ABC=•2•1=1，在圆O内随机撒一粒黄豆，它落在△ABC内（阴影部分）的概率是P==．故选：D．9．解：∵圆柱的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个圆，∴该几何体是圆柱．故选C．10．解：∵甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，甲赢棋的概率为，∴甲输棋的概率为：P=1﹣=．故选：C．11．解：在同一坐标系内分别作出函数y=lnx与y=1﹣2x的图象，易知两函数图象有且只有一个交点，即函数y=lnx﹣1+2x只有一个零点．故选D．12．解：x，y满足约束条件的可行域如图：，则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由解得A（3，0），所以z=x+y 的最大值为：3．故选：D．13．解：∵y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），∴为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度．故选：D．14．解：sin27°cos18°+cos27°sin18°=sin（27°+18°）=sin45°=．故选：A．15．解：∵函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，∴函数y=f（x）在[2，4]上单调递减且在[0，4]上函数y=f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x）即f（1）=f（3）∵f（）＜f（3）＜f（）∴f（）＜f（1）＜f（）故选B二．填空题（共4小题）16．解：∵在空间直角坐标系中，点A（1，3，﹣2），B（﹣2，3，2），∴A，B两点间的距离：|AB|==5，故答案为：5．17．解：根据对数函数的恒过点性质：可得：x﹣1=1，解得：x=2．那么：y=）=log a1﹣2=﹣2．则函数恒过定点为（2，﹣2）．故答案为（2，﹣2）．18．解：由反射定律可得点点A（﹣，0）关于y轴的对称点A′（，0）在反射光线所在的直线上，再根据点B（0，1）也在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程为，即2x+y﹣1=0，故答案为：2x+y﹣1=0．19．解：∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|=2a，即4c=2a，∴e==．故答案为：．三．解答题（共2小题）20．解：（Ⅰ）证明：连接BD．在正方体AC1中，对角线BD∥B1D1．又因为E、F为棱AD、AB的中点，所以EF∥BD．所以EF∥B1D1．（4分）又B1D1⊂平面CB1D1，EF⊄平面CB1D1，所以EF∥平面CB1D1．（7分）（Ⅱ）因为在正方体AC1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1．（10分）又因为在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，所以B1D1⊥平面CAA1C1．（12分）又因为B1D1⊂平面CB1D1，所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1．（14分）21．解：（1）由已知中茎叶图可得该篮球运动员在某一赛季10场比赛的得分分别为：16，24，27，33，34，36，39，41，44，46，故该运动员这10场比赛的平均得分为：（16+24+27+33+34+36+39+41+44，46）=34；（2）由（1）可得：运动员在每场比赛中得分不少于40分的场次共有3场，故该运动员在每场比赛中得分不少于40分的概率P=．。
2018年1月广东省普通高中学业水平考试真题卷 高中数学学业水平测试专题精品
2018年1月广东省普通高中学业水平考试真题卷(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合M ＝{－1，0，1，2}，N ＝{x |－1≤x ＜2}，则M ∪N ＝( )A ．{0，1，2}B ．{－1，0，1}C ．MD ．N 解析：M ∪N ＝{－1，0，1}，故选B. 答案：B2．对任意的正实数x ，y ，下列等式不成立的是( ) A ．lg y －lg x ＝lg yxB ．lg(x ＋y )＝lg x ＋lg yC ．lg x 3＝3lg xD ．lg x ＝ln xln 10解析：对于B 项，令x ＝y ＝1，则lg(x ＋y )＝lg 2＞lg 1＝0，而lg x ＋lg y ＝0，显然不成立，故选B.答案：B3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－1，x ≥02x ，x ＜0，设f (0)＝a ，则f (a )＝( )A ．－2B ．－1 C.12 D ．0解析：因为a ＝f (0)＝03－1＝－1， 所以f (a )＝f (－1)＝2－1＝12，故选C.答案：C4．设i是虚数单位，x是实数，若复数x1＋i的虚部是2，则x＝()A．4 B．2 C．－2 D．－4解析：因为x1＋i＝x（1－i）（1＋i）（1－i）＝x2－x2i，所以－x2＝2⇒x＝－4，故选D.答案：D5．设实数a为常数，则函数f(x)＝x2－x＋a(x∈R)存在零点的充分必要条件是()A．a≤1 B．a＞1 C．a≤14D．a＞14解析：由已知可得，Δ＝1－4a≥0⇒a≤14，故选C.答案：C6．已知向量a＝(1，1)，b＝(0，2)，则下列结论正确的是() A．a∥b B．(2a－b)⊥b C．|a|＝|b| D．a·b＝3解析：对于A项，1×2－0×1≠0，错误；对于B项，2a－b＝(2，0)，b＝(0，2)，则2×0＋0×2＝0⇒(2a－b)⊥b，正确；对于C项，|a|＝2，|b|＝2，错误；对于D项，a·b＝1×0＋1×2＝2，错误．故选B.答案：B7．某校高一(1)班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是()A．6和9 B．9和6 C．7和8 D．8和7解析：抽样比为k ＝1550＝310，则应抽取的男生人数为20×310＝6(人)，应抽取的女生人数为(50－20)×310＝9(人)，故选A.答案：A8．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为()A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积V ＝2×2×1＝4，故选C.答案：C9．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝x －2y 的最小值为()A ．0B ．－1C ．－32D ．－2解析：(快速验证法)交点为(0，1)，(0，0)，⎝⎛⎭⎪⎫－12，12，则z ＝x －2y 分别为－2，0，－32，所以z 的最小值为－2，故选D.答案：D10.如图，O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是()A.DA →－DC →＝AC →B.DA→＋DC →＝DO → C.OA→－OB →＋AD →＝DB → D.AO →＋OB →＋BC →＝AC → 解析：对于A 项，DA →－DC →＝CA →，错误； 对于B 项，DA →＋DC →＝2DO →，错误；对于C 项，OA →－OB →＋AD →＝BA →＋AD →＝BD →，错误； 对于D 项，AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →，正确，故选D. 答案：D11．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，c ＝13，则C ＝( )A.5π6B.π6C.2π3D.π3 解析：由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝（3）2＋22－ （13）22×3×2＝－32，又因为0＜C ＜π，所以C ＝5π6，故选A.答案：A12．函数f (x )＝4sin x cos x ，则f (x )的最大值和最小正周期分别为( )A ．2和πB ．4和πC ．2和2πD ．4和2π解析：因为f (x )＝2sin 2x ，所以f (x )max ＝2，最小正周期为T ＝2π2＝π，故选A.答案：A13．设点P 是椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞2)上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若|F 1F 2|＝43，则|PF 1|＋|PF 2|＝( )A ．4B ．8C ．4 2D ．47解析：因为|F 1F 2|＝43＝2c ⇒c ＝23，所以a 2＝c 2＋b 2＝(23)2＋4＝16⇒a ＝4，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×4＝8，故选B. 答案：B14．设函数f (x )是定义在R 上的减函数，且f (x )为奇函数，若x 1＜0，x 2＞0，则下列结论不正确的是( )A ．f (0)＝0B ．f (x 1)＞0C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2≤f (2) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1≤f (2)解析：对于A 项，因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，正确；对于B 项，因为f (x )为R 上的减函数，x 1＜0，⇒f (x 1)＞f (0)＝0，正确；对于C 项，因为x 2＞0，所以x 2＋1x 2≥2x 2·1x 2＝2(当且仅当x 2＝1x 2，即x 2＝1时等号成立)所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2≤f (2)，正确； 对于D 项，因为x 1＜0，所以x 1＋1x 1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1＋1－x 1≤－2－x 1g 1－x 1＝－2.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1≥f (－2)＝－f (2)，错误．故选D.。