傅里叶变换和拉普拉斯变换
傅里叶变换与拉普拉斯变换区别
Differences Between Two Transforms
• 差别三（也是最本质的差别） 处理的函数范围不同
Fourier变换要求 1 函数f(x)在每个有限区间上可积; 2 存在数M>0,当|x|≥M时，f(x)单调，且
f(x)=0。
Differences Between Two Transforms
那么对于一些函数，例如eαtu(t) (α>0)，无法满足上述收敛定理，因 此不存在傅里叶变换
Differences Between Two Transforms
与此同时，一些函数并不满足绝对可积条件，从而不能直接从定 义而导出它们的傅里叶变换。虽然通过求极限的方法可以求得它 们的傅里叶变换，但其变换式中常常含有冲激函数，使分析计算 较为麻烦。 以斜坡信号tu(t)为例
为例
Differences Between Two Transforms
利用matlab对函数进行傅里叶变换，得到其幅度频谱
-(2 cos(w) - 2)/w24
正因如此， 傅立叶变换 更多的 是针对信号 的分析和处 理，主要是 频谱分析。
0.2
0 -6 -4 -2 0 w 2 4 6
Background Of Two Transform—laplace
十九世纪末，英国工程师亥维赛德(O.Heaviside)发明了算子法，很 好地解决了电力工程计算中遇到的一些基本问题，但缺乏严密的 数学论证。后来，法国数学家拉普拉斯(P. S. Laplace)在著作中对这 种方法给予严密的数学定义。于是这种方法便被取名为拉普拉斯 变换，简称拉氏变换。----因为是"拉普拉斯"这个人定义的。
Differences Between Two Transforms
拉普拉斯变换和傅里叶变换
拉普拉斯变换和傅里叶变换一、引言在信号处理和数学分析中，拉普拉斯变换和傅里叶变换是两个非常重要的工具。
它们在不同领域中都有广泛的应用，包括电子工程、通信系统、图像处理和控制系统等等。
本文将对这两个变换进行全面、详细、完整且深入的探讨。
二、拉普拉斯变换2.1 定义拉普拉斯变换是一种数学变换方法，用于将一个函数转换为复平面上的函数。
给定一个函数f(t)，其拉普拉斯变换记作F(s)，其中s是一个复数。
拉普拉斯变换的定义如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞) f(t) * e^(-st) dt其中，L表示拉普拉斯变换操作符，e是自然对数的底数。
2.2 特点拉普拉斯变换具有以下特点：1.线性性质：L{a f(t) + b g(t)} = a F(s) + b G(s)，其中a和b是常数，f(t)和g(t)是函数。
2.平移性质：L{f(t-a)} = e^(-as) * F(s)，其中a是常数。
3.时移性质：L{f(t)*e^(at)} = F(s-a)，其中a是常数。
4.余弦变换：L{cos(ωt)} = s / (s^2 +ω^2)，其中ω是常数。
2.3 应用拉普拉斯变换在许多领域中有广泛的应用，包括电路和信号处理。
它可以用于求解常微分方程和偏微分方程，以及分析线性时不变系统和信号的稳定性。
三、傅里叶变换3.1 定义傅里叶变换是一种数学变换方法，用于将一个函数转换为频域的函数。
给定一个函数f(t)，其傅里叶变换记作F(ω)，其中ω是一个实数。
傅里叶变换的定义如下：F(ω) = FT{f(t)} = ∫[-∞,+∞) f(t) * e^(-iωt) dt其中，FT表示傅里叶变换操作符，i是虚数单位。
3.2 特点傅里叶变换具有以下特点：1.线性性质：FT{a f(t) + b g(t)} = a F(ω) + b G(ω)，其中a和b是常数，f(t)和g(t)是函数。
2.平移性质：FT{f(t-a)} = e^(-iωa) * F(ω)，其中a是常数。
傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质及应用
1.前言1.1背景利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。
类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。
积分变换的使用，可以使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。
什么是积分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属于B函数类的一个函数。
傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变换。
分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能够分析信号的成分，也能够利用成分合成信号。
可以当做信号的成分的波形有很多，例如锯齿波，正弦波，方波等等。
傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家成分。
Pierre Simon Laplace（拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品《概率分析理论》之中。
即使在19世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉斯变换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理学家，同时也是一位电气工程师的Oliver Heaviside奥利弗·亥维赛（1850-1925）在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方法与结果，对于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论的严格化的兴趣。
之后才创立了现代算子理论。
算子理论最初的理论依据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展也是得益于算理理论的更进一步发展。
这篇文章就是针对傅里叶变换和拉普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，并且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。
1.2预备知识定理1.2.1（傅里叶积分定理）若在（-∞，+∞）上，函数满足一下条件：（1）在任意一个有限闭区间上面满足狄利克雷条件；（2），即在（-∞，+∞）上绝对可积；则的傅里叶积分公式收敛，在它的连续点处在它的间断点处定义1.2.1（傅里叶变换）设函数满足定理 1.2.1中的条件，则称为的傅里叶变换，记作。
傅里叶变换和拉普拉斯变换公式总结
傅里叶变换和拉普拉斯变换公式总结
傅里叶变换和拉普拉斯变换是信号处理和控制系统中常用的数学工具，它们可以将时域信号转换为频域信号，从而方便分析和处理。
傅里叶变换：
时域信号：f(t)
傅里叶变换：F(ω) = ∫[from -∞ to +∞] f(t) e^(-jωt) dt 逆变换：f(t) = 1/2π ∫[from -∞ to +∞] F(ω) e^(jωt)
dω
傅里叶变换可以将时域信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而方便分析信号的频谱特性。
拉普拉斯变换：
时域信号：f(t)
拉普拉斯变换：F(s) = ∫[from 0 to +∞] f(t) e^(-st) dt
逆变换：f(t) = 1/2πj ∫[from α-j∞ to α+j∞] F(s)
e^(st) ds
拉普拉斯变换是傅里叶变换在复平面上的推广，可以处理包括指数衰减和增长的信号，并且在控制系统和信号处理中有着更广泛的应用。
在工程中，傅里叶变换和拉普拉斯变换常用于分析信号的频谱特性、系统的稳定性和动态响应等问题。
同时，它们也是许多数字信号处理和控制系统设计的基础。
因此，掌握傅里叶变换和拉普拉斯变换的原理和公式，对于工程领域的专业人士来说是非常重要的。
傅里叶变换和拉普拉斯变换
傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别，你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密度对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示已经说过，傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。
这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。
所以说，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。
傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的——实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。
我的语言可能比较晦涩，但我已尽我所能向你讲述我的一点理解——真心希望能对你有用。
我已经很久没在知道上回答过问题了，之所以回答这个问题，是因为我本人在学习傅里叶变换及拉普拉斯变换的过程中着实受益匪浅——它们几乎改变了我对世界的认识。
傅里叶变换值得你用心去理解——哪怕苦苦思索几个月也是值得的——我当初也想过：只要会算题就行。
但浙大校训“求是”时时刻刻鞭策着我追求对理论的理解——最终经过很痛苦的一番思索才恍然大悟。
建议你看一下我们信号与系统课程的教材：化学工业出版社的《信号与系统》，会有所帮助。
傅里叶变换和拉普拉斯变换的意义傅里叶变换（Transformée de Fourier）在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
拉普拉斯和傅里叶变换的联系与区别
拉普拉斯和傅里叶变换的联系与区别
拉普拉斯变换和傅里叶变换都是数学上的重要工具，常用于信号分析和处理问题。
它们之间有很多联系，但也有一些区别。
联系：
1. 都是线性变换，能够描述信号在某个域中的变化情况。
2. 都可以将时域信号转换到频域，从而方便对信号进行分析，如频谱分析、滤波等。
3. 拉普拉斯变换和傅里叶变换都能够描述周期信号，但拉普拉斯变换可以描述非周期信号。
4. 在某些情况下，拉普拉斯变换和傅里叶变换可以相互转化。
区别：
1. 傅里叶变换只能对周期信号进行处理，而拉普拉斯变换可以处理所有信号，包括非周期信号。
2. 拉普拉斯变换是复变函数中的概念，因此比傅里叶变换更加广泛地适用于数
学和工程中的各种问题。
3. 傅里叶变换适用于短时间和频率上的分析，而拉普拉斯变换则适用于更长时间和更广泛的频率范围内的分析。
4. 拉普拉斯变换与傅里叶变换常数项的选择不同，因此它们的数学形式上也不同。
5. 拉普拉斯变换将时域的差分方程转换为复变函数中的代数式，因此在控制系统的分析和设计中非常有用。
综上所述，拉普拉斯变换和傅里叶变换都是非常重要的数学工具，它们有很多相似的地方，但也有一些重要的区别。
在具体应用中，需要根据问题的特点选择合适的变换方法。
傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质及应用
1.前言1.1背景利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。
类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。
积分变换的使用，可以使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。
什么是积分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属于B函数类的一个函数。
傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变换。
分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能够分析信号的成分，也能够利用成分合成信号。
可以当做信号的成分的波形有很多，例如锯齿波，正弦波，方波等等。
傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的成分。
Pierre Simon Laplace 拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家（拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品《概率分析理论》之中。
即使在19世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉斯变换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理学家，同时也是一位电气工程师的Oliver Heaviside奥利弗·亥维赛（1850-1925）在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方法与结果，对于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论的严格化的兴趣。
之后才创立了现代算子理论。
算子理论最初的理论依据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展也是得益于算理理论的更进一步发展。
这篇文章就是针对傅里叶变换和拉普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，并且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。
1.2预备知识定理1.2.1（傅里叶积分定理）若在（-∞，+∞）上，函数满足一下条件：（1）在任意一个有限闭区间上面满足狄利克雷条件；（2），即在（-∞，+∞）上绝对可积；则的傅里叶积分公式收敛，在它的连续点处在它的间断点处定义1.2.1（傅里叶变换）设函数满足定理 1.2.1中的条件，则称为的傅里叶变换，记作。
傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系
傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系傅里叶变换和拉普拉斯变换是数学中的两种重要变换，它们在信号处理、数字图像处理等领域具有重要的应用。
本文将介绍这两种变换的关系以及它们在实际应用中的意义。
傅立叶变换是一种把时域信号转换为频域分量的线性变换，它可以把时域信号的复杂度转化为频率的复杂度，从而使得信号处理更容易实现。
它通过线性变换把时域信号变换为频域信号，进而转换为时域信号本质上没有改变。
傅立叶变换在分析实际信号中非常重要，它可以有效地提取信号的振幅、频率和相位特性。
拉普拉斯变换是一种把函数表示为一组共振模式的线性变换，它也可以用来描述某一特定频率信号的函数特征。
它可以把复杂的时域函数映射到频域，有效地提取出时域函数的频率特性。
此外，拉普拉斯变换也可以把频域信号转换到时域，以便去除噪声或者特定频率部分，提高信号处理效率。
傅立叶变换和拉普拉斯变换之间有着一种特定的关系，它们可以相互转换，实现信号的精确修复。
例如，当去除某一特定频率的高斯噪声时，可以通过拉普拉斯变换得到频域信号，然后再通过傅立叶变换将其转换回时域以去除噪声。
同时，傅立叶变换也可以把拉普拉斯变换得到的频域信号还原回时域。
同时，这两种变换可以同时融合，将傅立叶变换的时域信号依次与拉普拉斯变换的频域信号关联，从而有效地修复失真的时域信号，提高信号处理的效率。
两种变换都是用来进行信号分析的重要工具，可以有效地转换复杂的时域信号和频域信号，同时可以相互转换，以便更好地分析信号特征。
它们不仅在数字信号处理、图像处理中具有重要的应用价值，而且在其他科学领域如物理、化学、生物学等也有广泛的应用。
通过本文的介绍，读者可以了解到傅里叶变换与拉普拉斯变换之间的关系，以及它们在实际应用中的意义。
这两种变换不仅在数字信号处理、图像处理中具有重要的应用价值，而且在其他科学领域如物理、化学、生物学等也有广泛的应用。
借助信号处理的技术，傅立叶变换和拉普拉斯变换就可以帮助分析者有效地分析信号的时域和频域特征，进而更好地刻画信号的关联特性，为实践活动提供技术支持。
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傅里叶变换和拉普拉斯变换的意义 一傅里叶变换在应用上的局限性 在第三章中，已经介绍了一个时间函数()t f 满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变换。
即()()dte tf j F t j ωω-∞∞-⎰∞= (正变换) (5.1)()()ωωπωd e j F t f t j ⎰∞∞-=21 (反变换) (5.2)但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号()t U ，斜变信号()t tU ，单边正弦信号()t tUωsin 等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅里叶变换。
还有一些信号，例如单边增长的指数信号()t U e at()0>a 等，则根本就不存在傅里叶变换。
另外，在求傅里叶反变换时，需要求ω从∞-到∞区间的广义积分。
求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。
利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。
在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。
由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。
所以，当今在研究线性系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一。
实际上，信号()t f 总是在某一确定的时刻接入系统的。
若把信号()t f 接入系统的时刻作为0=t 的时刻(称为起始时刻)，那么，在t ＜0的时间内即有()t f =0。
我们把具有起始时刻的信号称为因果信号。
这样，式(5-1)即可改写为()()dte tf j F t j ωω-∞⎰-=0(5-3)式(5-3)中的积分下限取为-0，是考虑到在0=t的时刻()t f 中有可能包含有冲激函数()t δ。
但要注意，式(5-2)中积分的上下限仍然不变(因积分变量是ω)，不过此时要在公式后面标以t ＞0，意即只有在t ＞0时()t f 才有定义，即()()ωωπωd e j F t f t j ⎰∞∞-=21 t ＞0 (5-4a)或用单位阶跃函数()t U加以限制而写成下式，即()()()t U d e j F t f tj ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞∞-ωωπω21 (5-4b)二、从傅里叶变换到拉普拉斯变换当函数()t f 不满足绝对可积条件时，可采取给()t f 乘以因子t e σ-（σ为任意实常数)的办法，这样即得到一个新的时间函数()t e t f σ-。
今若能根据函数()t f 的具体性质，恰当地选取σ的值，从而使当∞→t 时，函数()0→-te tf σ，即满足条件()0lim =-∞→t t e t f σ则函数()t e t f σ-即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。
可见因子t e σ-起着使函数()t f 收敛的作用，故称t e σ-为收敛因子。
设函数()te tf σ-满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过恰当地选取σ的值来达到)，则根据式(5-3)有()()()()dte tf dt ee tf j F t j tj tωσωσω+-∞--∞⎰⎰--==0在上式中，ωj 是以()ωσj +的形式出现的。
令ωσj s +=，s 为一复数变量，称为复频率。
σ的单位为s 1，ω的单位为s rad /。
这样，上式即变为()()dte tf j F st -∞⎰-=0ω由于上式中的积分变量为t ，故积分结果必为复变量s 的函数，故应将()ωj F 改写为()s F ，即()()dte tf s F st -∞⎰-=0(5-5)复变量函数()s F 称为时间函数()t f 的单边拉普拉斯变换。
()s F 称为()t f 的像函数，()t f 称为()s F 的原函数。
一般记为()()[]t f L s F=符号[]∙-1L 为一算子，表示对括号内的时间函数()t f 进行拉普拉斯变换。
利用式(5-4)可推导出求()s F反变换的公式，即()()ωπωσd e s F e t f t j t ⎰∞∞--=21对上式等号两边同乘以t e σ，并考虑到te σ不是ω的函数而可置于积分号内。
于是得()()()()()ωπωπωπωσωσd e s F d e s F d e e s F t f st t j t j t ⎰⎰⎰∞∞-∞∞-+∞∞-===212121 (5-6)由于式(5-6)中被积函数是()s F ，而积分变量却是实变量ω。
所以欲进行积分，必须进行变量代换。
因ωσj s+=故()ωωσjd d ds =+=(因σ为任意实常数)故ds j d 1=ω 且当-∞=ω时，∞-=j s σ；当∞=ω时，∞+=j s σ。
将以上这些关系代入式(5-6)即得()()dse s F jt f st j j ⎰∞+∞-=σσπ210>t (5-7a)写成()()()t U ds e s F j t f stj j ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞+∞-σσπ21 (5-7b)式(5-7b)称为拉普拉斯反变换，可从已知的像函数()s F 求与之对应的原函数()t f 。
一般记为()()[]s F L t f 1-=符号[]∙-1L 也为一算子，表示对括号内的像函数()s F 进行拉普拉斯反变换。
式(5-5)与式(5-7)构成了拉普拉斯变换对，一般记为()()s F t f ⇔或()()t f s F ⇔若()t f 不是因果信号，则拉普拉斯变换式(5-5)的积分下限应改写为(∞-)，即()()dte tf s F st ⎰∞∞-= (5-8)式(5-8)称为双边拉普拉斯变换。
因为一般常用信号均为因果信号(即有始信号)，故本书主要讨论和应用单边拉普拉斯变换。
以后提到拉普拉斯变换，均指单边拉普拉斯变换而言。
由以上所述可见，傅里叶变换是建立了信号的时域与频域之间的关系，即()()ωj F t f ⇔而拉普拉斯变换则是建立了信号的时域与复频域之间的关系，即()()s F t f ⇔.三、复频率平面 以复频率ωσj s+=的实部σ和虚部ωj 为相互垂直的坐标轴而构成的平面，称为复频率平面，简称s 平面，如图5-1所示。
复频率平面(即s 平面)上有三个区域：ωj 轴以左的区域为左半开平面；ωj 轴以右的区域为右半开平面；ωj 轴本身也是一个区域，它是左半开平面与右半开平面的分界轴。
将s 平面划分为这样三个区域，对以后研究问题将有很大方便。
四、拉普拉斯变换存在的条件与收敛域上面已经指出，当函数()t f 乘以收敛因子t e σ-后，所得新的时间函数()t e t f σ-便有可能满足绝对可积条件。
但是否一定满足，则还要视()t f 的性质与σ值的相对关系而定。
下面就来说明这个问题。
因()()()dte e tf dt e t f s F t j t stωσ--∞-∞⎰⎰--==0由此式可见，欲使()s F 存在，则必须使()te tf σ-满足条件()0l i m =-∞→t t e t f σ0σσ>σωj 平面s 0收敛域收敛坐标图 5-2式(5-9)中的0σ值指出了函数()t e t f σ-的收敛条件。
0σ的值由函数()t f 的性质确定。
根据0σ的值，可将s 平面(复频率平面)分为两个区域，如图5-2所示。
通过0σ点的垂直于σ轴的直线是两个区域的分界线，称为收敛轴，0σ称为收敛坐标。
收敛轴以右的区域(不包括收敛轴在内)即为收敛域，收敛轴以左的区域(包括收敛轴在内)则为非收敛域。
可见()t f 或()s F 的收敛域就是在s 平面上能使式(5-9)满足的σ的取值范围，意即σ只有在收敛域内取值，()t f 的拉普拉斯变换()s F 才能存在，且一定存在。
五、拉普拉斯变换的基本性质由于拉普拉斯变换是傅里叶变换在复频域(即s 域)中的推广，因而也具有与傅里叶变换的性质相应的一些性质。
这些性质揭示了信号的时域特性与复频域特性之间的关系，利用这些性质可使求取拉普拉斯正、反变换来得简便。
关于拉普拉斯变换的基本性质在表5-1中列出。
对于这些性质，由于读者在工程数学课中已学习过了，所以不再进行证明，读者可复习有关的工程数学书籍。
表5-1 拉普拉斯变换的基本性质序号性质名称()()t U t f ()s FsRe =σsj j Im =ω左半开平面右半开平面图 5-11 唯一性 ()t f ()s F2 齐次性 ()t Af()s AF3 叠加性 ()()t f t f 21+ ()()s F s F 21+4 线 性 ()()t f A t f A 2211+()()s F A s F A 2211+5尺度性)(at f ，0>a⎪⎭⎫ ⎝⎛a s F a 16 时移性 ()()00t t U t t f --，00>t()s t e s F 0-7 时域微分 ()at e t f -()a s F + 8复频微积分()t f '()()--0f s sF()t f '' ()()()--'--002f sf s F s()()t f n()()()()---------0001'21n n n n f f s f s s F s9复频移性()t tf ()()dss dF 11-()t tf n )(()()n n nds s F d 1-10 时域积分 ()⎰-td f 0ττ()s s F11 复频域积分 ()t t f()⎰∞ss F12 时域卷积 ()()t f t f 21* ()()s F s F 2113 复频域卷积 ()()t f t f 21 ()()s F s F 2121*π14初值定理()t t f 0cos ω ()[])(2100ωωj s F j s F -++ ()t t f 0sin ω()[])(2100ωωj s F j s F +--15 终值定理 ()()()s sF t f f t t ∞→→+==+lim lim 0016 调制定理()()()s sF t f f t t 0lim lim →∞→==∞利用式(5-5)和拉普拉斯变换的性质，可以求出和导出一些常用时间常数()()t U t f 的拉普拉斯变换式，如表5-2中所列。
利用此表可以方便地查出待求的像函数()s F 或原函数()t f表5-2 拉普拉斯变换表序号()()t U t f ()s F1 ()t σ 12 ()t n σn s3 ()t Us 14 t21s 5 n t 1!+n s n 6at e -a s +17at te -()21a s +8at n e t -()1!++n a s n9t j e ω-ωj s +110 t ωsin22ωω+s 11 t ωcos22ω+s s12t e at ωsin -()22ωω++a s13t e at ωcos -()22ω+++a s a s14t t ωsin()2222ωω+ss15t t ωcos()22222ωω+-ss16 t sh ω22ωω-s17 t ch ω22ω-s s 18∑∞=-0)(n nT t δsTe --1119∑∞=-0)(n nT t fsTe s F --1)(020[]∑∞=----0)()(n nT t U nT t U τ,τ>T()sTs e s e ----11τ七、拉普拉斯反变换从已知的像函数()s F 求与之对应的原函数()t f ，称为拉普拉斯反变换。