特殊的平行四边形单元精编讲义

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18.2 特殊的平行四边形重难点、易错题汇编讲义

18.2 特殊的平行四边形重难点、易错题汇编讲义矩形、菱形、正方形是三类特殊的平行四边形，有关性质与判定是其重要内容，初学时，不少同学会出现错误．本文将分类对常见判定误区进行剖析，供同学们学习时参考．一、有关矩形判定的误区例1判断下列说法是否正确：（1）有三个角相等的四边形是矩形；（2）对角线相等的四边形是矩形．错解：（1）正确；（2）正确．剖析：（1）是把矩形的判定方法记错了，应是“有三个角是直角的四边形是矩形”，其中的条件是“三个角是直角”而不是“三个角相等”；（2）中错误地认为“对角线相等的四边形是矩形”，对矩形的判定方法理解不透彻．我们知道只有在平行四边形中加上“对角线相等”的条件，得到的才是矩形．正解：（1）错误；（2）错误．跟踪训练1下列说法中，错误的是【】A．矩形的四个角都是直角B．矩形的对角线相等C．对角线垂直平分的四边形是矩形D．四个角都是直角的四边形是矩形二、有关菱形判定的误区例2已知线段AB，试求作两点C、D，使四边形ADBC是菱形．错解：在线段AB的垂直平分线EF上取两点C、D，并且使C、D在线段AB的两侧，连接CA、CB、DA、DB，则四边形ADBC是菱形．剖析：错解错在对菱形的判定方法理解不透．在对角线垂直的条件下，必须说明四边形ADBC是平行四边形，才能保证四边形ADCB为菱形．作图过程只反映出CD平分AB，但AB是否平分CD就不一定了，故四边形ADBC不一定为平行四边形，也就不一定为菱形了．正解：在线段AB的垂直平分线EF上取两点C、D，并且使AB平分CD，连接CA、CB、DA、DB，则四边形ADBC为菱形．跟踪训练2如图，已知在平行四边形ABCD中，∠A的平分线与BC交于点E，∠B 的平分线与AD交于点F，AE与BF交于点O．试说明四边形ABEF是菱形．三、有关正方形判定的误区例3判断下列说法是否正确：（1）四条边相等的四边形是正方形；（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；（3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形．错解：（1）正确；（2）正确；（3）正确．剖析：（1）虽有四条边相等，但只能判定它是菱形，要判定它是正方形，还缺少一个条件，这个条件是一角是直角，或其他判定既是菱形又是矩形的条件；（2）此题的错误是对正方形的判定方法不清楚造成的，对角线相等且互相垂直，但对角线不一定互相平分，故不能判定它是正方形；（3）片面应用了正方形的性质，虽然正方形的每一条对角线都平分每一组对角，但反过来就不成立了，它只能判定是菱形，还缺少一个再判断它是矩形的条件．正解：（1）错误；（2）错误；（3）错误．跟踪训练3下列四边形一定是正方形的是【】A．有一个角是直角的菱形B．有一个角是直角的平行四边形C．对角线相等的平行四边形D．对角线互相垂直的平行四边形答案1.C2．理由：先得到AE⊥BF，再得到四边形ABEF是平行四边形，即可得四边形ABEF 是菱形．3．A利用旋转妙解正方形问题正方形是最特殊的四边形，具有高度的对称性。

《特殊平行四边形》精讲课件

特殊平行四边形精讲课件1. 什么是特殊平行四边形？特殊平行四边形是一个有特殊属性的平行四边形。

它有两对对边平行且相等，同时具有一对对角线相等的特点。

2. 特殊平行四边形的性质2.1 对边平行且相等特殊平行四边形的两对对边都是平行的且相等。

这个性质可以通过观察特殊平行四边形的结构来进行证明。

以平行四边形ABCD为例，假设AB || CD 且 AB = CD，那么可以根据平行线与横截线的性质知道，AD || BC。

同理，如果 AD || BC 且 AD = BC，那么可以得出 AB || CD。

因此，特殊平行四边形的两对对边都是平行的且相等。

2.2 对角线相等特殊平行四边形的对角线也是相等的。

证明这个性质可以借助平行四边形的性质。

以平行四边形ABCD为例，连接AC和BD两条对角线。

如果 AB || CD 且 AD = BC，则可以利用平行线与横截线的性质知道 BD = AC。

同理，如果 AD || BC 且 AB= CD，则可以得出 AC = BD。

因此，特殊平行四边形的对角线也是相等的。

3. 特殊平行四边形的分类有两种特殊平行四边形，即矩形和菱形。

3.1 矩形矩形是一种特殊的平行四边形，它有四个直角。

除了特殊平行四边形的性质外，矩形还有以下特点：•所有内角都是直角（即90度）；•对角线相等且平分彼此；•任意一对相对的边长相等。

3.2 菱形菱形是另一种特殊的平行四边形，它有四条相等的边。

除了特殊平行四边形的性质外，菱形还有以下特点：•所有内角都是锐角（即小于90度）；•所有边长相等；•对角线相等且平分彼此；•对边平行。

4. 特殊平行四边形的应用特殊平行四边形在几何学和实际生活中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：•建筑设计：特殊平行四边形的结构在建筑设计中起着重要作用，如矩形窗户、菱形地板图案等。

•计算几何：特殊平行四边形的性质被广泛用于计算几何中的问题求解，包括求边长、角度、面积等。

•工程测量：特殊平行四边形的性质可以用于工程测量中的矩形地块划分、菱形阵列布局等。

特殊平行四边形专题讲义

AB C D E特殊平行四边形专题讲义一、学习目标复习平行四边形、特殊平行四边形性质与判定，能利用它们进行计算或证明.二、学习重难点重点：性质与判定的运用；难点：证明过程的书写。

三、本章知识结构图四、知识要点：特殊平行四边形的性质与判定1．矩形：（1）性质：具有平行四边形的所有性质。

另外具有：四个角都是，对角线互相平分而且，也是图形。

（2）判定：从角出发：有个角是直角的平行四边形或有个角是直角的四边形。

从对角线出发：对角线的平行四边形或对角线且互相的四边形。

2．菱形：（1）性质：具有平行四边形的所有性质。

另外具有：四条边都，对角线互相且每一组对角，也是图形。

（2）判定：从边出发：一组边相等的平行四边形或有条边相等的四边形。

从对角线出发：对角线互相的平行四边形或对角线互相且的四边形。

3．正方形：（1）性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质（2）判定方法步骤：四边形平行四边形正方形【基础练习】 1、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，∠AOD=120，AC=12cm ，则AB 的长____2、菱形的周长为100 cm ，一条对角线长为14 cm ，它的面积是_____.3、若菱形的周长为16 cm ，一个内角为60°，则菱形的面积为______cm 2。

4、两直角边分别为12和16的直角三角形,斜边上的中线的长是。

5、下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）．A.两组对边分别相等B.两条对角线互相平分且相等C.两条对角线相等且互相垂直D.两条对角线互相垂直平分6、在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AO=CO ，BO=DO ，增加一个条件可以判定四边形是矩形；增加一个条件可以判定四边形是菱形。

7、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，能判定它是正方形的是（）.A.AO ＝OC ，OB ＝ODB.AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC⊥BDC.AO ＝OC ，OB ＝OD ，AC⊥BDD.AO ＝OC ＝OB ＝OD 8、如图，E 是正方形ABCD 内一点，如果△ABE 为等边三角形，则∠DCE=°.【典型例题】例4：正方形ABCD 中，点E 、F 为对角线BD 上两点，DE=BF 。

特殊平行四边形讲义

初中数学九年级上册第三章证明（三）【知识点精析】知识点一、平行四边形（一）平行四边形的性质⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧_____________________对角线对角线：平行四边形的角：平行四边形的对角平行四边形的对边平行四边形的对边边平行四边形的性质：（二）平行四边形的判定方法1、用边判定的四边形是平行四边形两组对边一组对边两组对边⎪⎭⎪⎬⎫________________________ 2、用角判定两组对角_________的四边形是平行四边形 3、用对角线判定对角线___________的四边形是平行四边形．（三）三角形的中位线1、连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2、连结三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

知识延伸：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，此四边形为平行四边形。

①如果原来四边形对角线相等，则此四边形为菱形 ②如果原来四边形对角线垂直，则此四边形为矩形③如果原来四边形对角线垂直且相等，则此四边形为正方形知识点二、矩形（一）矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，因此除具备平行四边形的所有性质外，还具备一般平行四边形不具备的性质：1、矩形的四个角都是2、矩形的对角线（二）矩形的判定方法1、有一个角是直角的是矩形（利用定义判定）2、有三个角是的四边形是矩形（利用判定定理）3、对角线相等的是矩形（利用判定定理)注意：定义和对角线去判定一个四边形是矩形时，一定要注意前提条件是四边形是平行四边形（三）直角三角形斜边的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（此性质可以证明线段的倍分关系，也可以用来进行直角三角形的有关计算，是直角三角形中一条重要的数量关系）知识点三、菱形（一）菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的所有特征外，还有其特殊的性质：1、菱形的四条边都2、菱形的对角线，并且每条对角线平分一组对角知识延伸：菱形的面积有两种求法：一是利用平行四边形的面积公式，二是利用菱形的性质可得，菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，即如果菱形的两条对角线长分别为a 、b,则菱形的面积S=21ab（二）菱形的判定方法1、有一组相等的平行四边形是菱形（利用定义）2、都相等的四边形是菱形（利用判定定理）3、对角线的平行四边形是菱形（利用判定定理）注意：判定方法中(1)(3) 中必须以四边形是平行四边形为前提知识点四、正方形（一）正方形的性质正方形是特殊的矩形和菱形，因此正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质1、角的关系：正方形的四个角2、边的关系：正方形的四条边3、对角线的关系：正方形的两条对角线，并且，每条对角线（二）正方形的判定方法1、有一组相等的矩形是正形（利用定义）2、对角线的矩形是正方形（利用判定定理）3、的菱形是正方形（利用判定定理）4、对角线的菱形是正方形（利用判定定理）【基础训练】1、下列命题中正确的是（）A．两条对角线相等的四边形是平行四边形B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．两条对角线平分且相等的四边形是正方形2、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角 D．四条边相等3、菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )A .内角和是360°； B. 对角相等；C. 对边平行且相等；D. 对角线互相垂直.4、下列命题中错误的是( )A.平行四边形的对角线互相平分；B.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；C.等腰梯形的对角线相等；D.两对邻角互补的四边形是平行四边形. 5、下面给出的条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（）。

特殊平行四边形的证明(讲义及答案)

特殊平行四边形的证明（讲义）➢知识点睛菱形已知条件中有某个特殊的四边形，往往从其性质着手考虑．要证明某个四边形是特殊的四边形，则需要考虑其判定或定义．在求解时，具体选择哪一条性质与判定，往往需要结合题目给出的条件进行分析．➢精讲精练1.如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．DA EOB C F2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°．AG∥CD，交BC于点G，E，F分别为AG，CD的中点，连接DE，FG，DG．（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形ABGD是矩形．A DFEB G C3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，O为AB的中点，连接DO并延长至点E，使OE=DO，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？请说明理由．O ED C BA4. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，点F 在DE 上，且AF =CE =AE ．（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请说明理由．FED CBA5. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF ．若AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．FEDCB6. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且AE =AF ．（1）求证：BE =DF ；（2）连接AC ，交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM =OA ，连接EM ，FM ，则四边形AEMF 是什么特殊四边形？请证明你的结论．MOFED C B A7. 如图，在△ABC 中，O 是AC 边上的一动点（不与点A ，C 重合），过点O作直线MN ∥BC ，直线MN 与∠BCA 的平分线相交于点E ，与∠DCA （△ABC 的外角）的平分线相交于点F ．（1）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请证明你的结论．（2）在（1）的条件下，∠ACB 的大小为多少时，四边形AECF 为正方形（不要求说明理由）？ABCD E F NMOABC D8. 如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，BD =12 cm ，AC =6 cm ，点E在线段BO 上从点B 以1 cm/s 的速度运动，点F 在线段OD 上从点O 以2 cm/s 的速度运动．（1）若点E ，F 同时运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，四边形AECF 是平行四边形；（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，四边形AECF是菱形，为什么？9. 如图所示，在等边三角形ABC 中，BC =8 cm ，射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1 cm/s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2 cm/s 的速度运动，设运动时间为t （s ）．（1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：四边形AFCE 是平行四边形；（2）填空：①当t 为_______s 时，四边形ACFE 是菱形；②当t 为_______s 时，△ACE 的面积是△ACF 的面积的2倍．GF E DCB A10. 如图所示，在△ABC 中，分别以AB ，AC ，BC 为边在BC 的同侧作等边△ABD ，等边△ACE ，等边△BCF ，连接DF ，EF ．（1）求证：四边形DAEF 是平行四边形；（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明） ①当△ABC 满足____________条件时，四边形DAEF 是矩形； ②当△ABC 满足____________条件时，四边形DAEF 是菱形；③当△ABC 满足____________条件时，以D ，A ，E ，F 为顶点的四边形不存在．FEDCBA11. 顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是_____________；顺次连接对角线__________的四边形的各边中点，所得的四边形是矩形；顺次连接对角线____________的四边形的各边中点，所得的四边形是菱形；顺次连接对角线______________的四边形的各边中点，所得的四边形是正方形．12. 如图，已知四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 互相垂直，四边形A 1B 1C 1D 1是中点四边形．若AC =3，BD =4，则四边形A 1B 1C 1D 1的面积为_______________．D 1C 1B 1A 1DC BA【参考答案】➢精讲精练1.（1）证明略．提示：先证AB=AD=BC，再证四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD 是菱形．2.（1）证明略．提示：先证四边形AGCD是平行四边形，得到AG=CD，进而可得EG=DF，则四边形DEGF是平行四边形．（2）证明略．提示：先证明四边形ABGD是平行四边形，再结合∠B=90°，进而可得四边形ABGD是矩形．3.（1）证明略．提示：由OE=DO，AO=BO得，四边形AEBD是平行四边形；又因为AB=AC，AD是△ABC的角平分线，所以AD⊥BC，进而得证四边形AEBD是矩形．（2）当△ABC是等腰直角三角形，即AB=AC，∠BAC=90°时，四边形AEBD 是正方形；理由略．4.（1）证明略．提示：先证AC∥EF，∠EAC=∠AEF，又AF=CE=AE，则∠EAF=∠AEC，AF∥CE，即证得四边形ACEF是平行四边形．（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形，理由略．5.四边形ADCF是菱形，证明略．6.（1）证明略．提示：证明△ABE≌△ADF．（2）四边形AEMF是菱形，证明略．7.（1）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，证明略；（2）当∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形．8.（1）当t=2 s时，四边形AECF是平行四边形；（2）当AB=时，四边形AECF是菱形．9.（1）证明略；（2）①8；②165或163．10.（1）证明略；（2）①150°；②AB=AC≠BC；③∠BAC=60°．11.平行四边形；互相垂直；相等；互相垂直且相等12.3。

人教版八年级下册18.2 特殊平行四边形讲义

【知识体系】【要点梳理】要点一、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．宽＝长矩形 S类型一、矩形1、已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，CN∥AB，DN 交AC 于点M ，MA ＝MC ．①求证：CD ＝AN ；②若∠AMD ＝2∠MCD，求证：四边形ADCN 是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD 和△CMN 全等，根据全等三角形对应边相等可得AD ＝CN ，然后判定四边形ADCN 是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证； ②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD ＝MC ，然后证明AC ＝DN ，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△A MD 和△CMN 中，∵DAC NCA MA MC AMD CMN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AMD≌△CMN（ASA ）， ∴AD＝CN ，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN 是平行四边形， ∴CD＝AN ；②∵∠AMD＝2∠MCD ，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC， ∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC ，由①知四边形ADCN 是平行四边形， ∴MD＝MN ＝MA ＝MC ， ∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．2、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．【答案与解析】解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6，又∵ 在Rt △ADC 中，． ∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ．在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+，即，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．举一反三：【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．226810AC =+=222(8)4x x -=+【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，，解得x ＝，BF ＝DE ＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1.类型二、菱形3、如图,在菱形ABCD 中，∠BAD ＝80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连结DF ，则∠CDF 等于( ).A.80°B.70°C.65°D.60°【答案】D ；【解析】解：连结BF ，由FE 是AB 的中垂线，知FB ＝FA ，于是∠FBA ＝∠FAB ＝＝40°.∴∠CFB ＝40°＋40°＝80°,由菱形ABCD 知，DC ＝CB ，∠DCF ＝∠BCF ，CF ＝CF ，于是△DCF ≌△BCF ，因此∠CFD ＝∠CFB ＝80°,在△CDF 中, ∠CDF ＝180°－40°－80°＝60°.222DC FC DF +=85DEF 1=DE AB 2S ⨯△12【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们的判定和性质.举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、正方形4、如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E 点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE＝EF．根据正方形的性质推出AB＝BC，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB 是以∠B为直角的等腰直角三角形，得到BH＝BE，∠H＝45°，HA＝CE，根据CF平分∠DCE推出∠H＝∠FCE，根据ASA 证△HAE≌△CEF即可得到答案．【答案与解析】探究：AE＝EF证明：∵△BHE为等腰直角三角形,∴∠H＝∠HEB＝45°，BH＝BE.又∵CF平分∠DCE，四边形ABCD为正方形，∴∠FCE＝12∠DCE＝45°，∴∠H＝∠FCE.由正方形ABCD知∠B＝90°，∠HAE＝90°＋∠DAE＝90°＋∠AEB,而AE⊥EF，∴∠FEC＝90°＋∠AEB，∴∠HAE＝∠FEC.由正方形ABCD知AB＝BC，∴BH－AB＝BE－BC，∴HA＝CE,∴△AHE≌△ECF （ASA）,∴AE＝EF.【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：【变式】如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形．(1)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形．(2)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形．(3)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．【答案】四边形EFGH为平行四边形；形.正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角①邻边相等的矩形是正方形 ②对角线垂直的矩形是正方形 ③有一个角是直角的菱形是正方形 ④对角线相等的菱形是正方形类型一、矩形的判定1、如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD BC ，于E F ，点，连结CE ，则CDE △的周长为（） A ．5cm B ．8cmC ．9cmD ．10cm【解析】D 举一反三【变式】如图，已知矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，记点C 的对应点为C ′，若∠ADC ′＝20°，则∠BDC 的度数为________．【答案与解析】55°【变式2】矩形的边长为10和15,其中一个内角平分线分长边为两部分,这两部分的长度分别为( ) A. 6和9 B. 5和10 C. 4和11 D. 7和8【解析】【答案】B【变式3】四边形ABCD 的对角线交于点O ，在下列条件中，不能说明它是矩形的是（） A. AB=CD ，AD=BC ，∠BAD =90° B.∠BAD=∠ABC =90°,∠BAD+∠ADC=180° C 、∠BAD=∠BCD,∠ABC+∠ADC=180° D. AO=CO,BO=DO,AC=BD 【答案】C2、在平行四边形ABCD 中，过点D 作AB DE ⊥于点E ，点F 在边CD 上，BE DF =，连接AF ，BF 。

(完整)平行四边形全部讲义

平行四边形1、平行四边形的性质考点一、平行四边形的概念（1）定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.（2） "表示，平行四边形ABCD ABCD”,读作“平行四边形ABCD”。

平行四边形一定按顺时针或逆时针依次注明各顶点。

（3）平行四边形定义的作用：平行四边形的定义既是判定，又是性质.①由定义知平行四边形两组对边分别平行；②由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。

（4）平行四边形的基本元素：边、角、对角线。

例1中，EF∥AB，GH∥BC,EF、GH相交于点P，写出图中的平行四边形.A E DG P HB F C考点二、平行四边形的性质（1）边的性质:平行四边形的对边平行且相等。

（2）角的性质:平行四边形的邻角互补，对角相等。

（3）对角线性质:平行四边形的对角线互相平分。

例2中，∠A+∠C=160°，求∠A、∠B、∠C、∠D的度数.A BC D 考点三、平行四边形的对角线的性质（1）平行四边形的对角线互相平分.例3中，对角线AC 、BD 相交于O 点，若AC=14，BD=8，AB=10,则△OAB 的周长为_______。

练习题一、感受理解1．已知 ABCD 的对角线交点,AC=10cm ，BD=18cm ，AD=•12cm ，•则△BOC•的周长是_______．2的对角线AC,BD 交于点O,△AOB 的面积为2,那么平行四边形ABCD 的面积为_____．3．已知平行四边形的两邻边之比为2:3，周长为20cm ，•则这个平行四边形的两条邻边长分别为___________．4．平行四边形的周长为30，两邻边的差为5，则其较长边是________． 5．平行四边形具有，而一般四边形不具有的性质是（） A ．外角和等于360° B ．对角线互相平分 C ．内角和等于360° D ．有两条对角线6.如图，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB =4，AD =3，OF =1。

特殊的平行四边形专题辅导讲义

特殊的平行四边形一、矩形的定义、性质及判定和对称性．（1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．（2）性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等（3）判定：①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形：③两条对角线相等的平行四边形是矩形．（4）对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形．【驻足“双基”】1、下列给出的条件中，不能判断一个四边形是矩形的是（）A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角B．有三个角都是直角C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形D．一组对边平行，另一组对边相等，且两条对角线相等2、一个平行四边形，如果一个内角等于_____时，这个平行四边形变成矩形；如果两条对角线____时，这个平行四边形变成矩形3、四边形ABCD的对角线相交于点O，在下列条件中，不能判别它是矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，∠BAD=90°B．AO=CO，BO=CO，AC=BD C．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°4、如图，有一个矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED的DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（）10A．4 B．6 C．8 D．【提升“学力”】5、（淄博）如图，将一矩形形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后AB与EB在同一条直线上,则∠CBD的度数为（）A.大于90°B.等于90°C.小于90°D.不能确定C6、如图，在矩形ABCD 中，AB=3,AD=4,P 是AD 边上的动点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF= ．7、在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，EF 过点O ，且AF ⊥BC ，求证：四边形AFCE 是矩形【聚焦“中考”】8、（淄博）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD⊥BC，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点E ，（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．9、如图，在矩形ABCD 中，点H 在对角线BD 上．HC ⊥BD ，HC 的延长线交∠BAD 的平分线于点E 。

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第十八章四边形第一节平行四边形一、课标导航二．核心纲要1．平行四边形的定义两组对边分别平行四边形叫做平行四边形．平行四边形ABCD 记作“□ABCD ”． 2．平行四边形的性质 (1)边：对边平行且相等． (2)角：对角相等，邻角互补． (3)对角线：对角线互相平分．(4)对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点． (5)面积＝底×高． 3．平行四边形的判定(1)边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等四边形是平行四边形；③一组对边平行四边形且相等的四边形是平行四边形； (2)角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (3)对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 4．三角形的中位线(1)定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；(2)定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．ABCD5．平行四边形中的面积关系(1)12ABC ABD DBC ADC ABCDS S S S S ∆∆∆∆====Å； (2)123412ABCDS S S S S ====Å；(3)12312ABCDS S S S =+=Å； (4)132412ABCDS S S S S +=+=Å；(5)1423S S S S =或S 1S 3＝S 2S 4．6．已知三点确定平行四边形的方法已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，那么，以A 、B 、C 为顶点，可在平面上画出平行四边形的个数是3个，其作法分别为过三角形ABC 的三个顶点作对边的平行线，交点即为平行四边形的第四个顶点，如图所示．本节重点讲解：一个图形，四个性质，五个判定，五个面积关系．三、全能突破ABCDES S S 4321S A BCDPS 13S 24S S ABCDABCDEF基础演练1．在平行四边形中，一定有( )．A ．两条对角线相等B ．两条对角线垂直C ．两条对角线互相平分D ．一条对角线平分一组对角2．在□ABCD 中，∠A ＝145°，则∠B ，∠C 的度数分别是( )．A ．30°，150°B ．35°，145°C ．40°，140°D ．45°，135°3．如图18－1－1所示，在周长是10cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC ，BD 相交于点O ，点E 在AD 边上，且OE ⊥BD ，则△ABE 的周长是( )．A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm4．□ABCD 的周长是28cm ，AC 与BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△OBC 的周长大4cm ，那么AB 等于( )．A ．8cmB ．9cmC ．10cmD ．11cm5．如图18－1－2所示，在□ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，若AE ＝2，AE ∶ED ＝2∶1，则□ABCD 的周长是( )．A ．10B ．12C ．9D ．156．下列命题：(1)一组对边平行，一组邻角互补的四边形是平行四边形；(2)一组对边相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；(4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，其中，错误的有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．47．如图18－1－3所示，点D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点，若△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长为( )．A ．5B ．10C ．20D ．408．若平行四边形相邻两边为a ＝3，b ＝5，它们与对边的距离分别为a h 和b h ，那么a h ∶b h 等于( )．A ．5∶3B ．3∶5C ．10∶3D ．3∶10能力提升9．如图18－1－4所示，E 是□ABCD 内任一点，若ABCD S 四边形＝6，则图中阴影部分的面积为( )．A ．2B ．3C ．4D ．510．国家级历史文化名名城――金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛(如图18－1－5所示)，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB ∥EF ∥DC ，BC ∥GH ∥AD ，那么下列说法中错误的是( )．A ．红花、绿花种植面积一定相等B ．紫花、橙花种植面积一定相等C ．红花、蓝花种植面积一定相等D ．蓝花、黄花种植面积一定相等ABCDEF 图18－1－3图18－1－2图18－1－1OEDCBAABCDE11．平行四边形的两条对角线长分别是x ，y ，一边长为12，则x ，y 可能是下列各组中的( )．A ．8与14B ．10与14C ．18与20D ．10与3812．如图18－1－6所示，在ABCD Å中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，AC 分别交BE 、DF 于点G 、H ，试判断下列结论：①△ABE ≌△CDF ；②AG ＝GH ＝HC ；③EG ＝12BG ；④ABE AGE S S ∆∆=．其中正确的结论有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．若以A (－0.5，0)、B (2，0)、C (0，1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．如图18－1－7所示，□ABCD 的对角线BD 上有点E 、F ，若要使四边形AECF 是平行四边形，则要添加一个条件，可以添加的条件是＿＿＿＿＿．15．如图18－1－8所示，P 是平行四边形ABCD 内一点，且PAB S ∆＝5，PAD S ∆＝2，则阴影部分的面积为＿＿＿＿．16．如图18－1－9所示，平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 边于点M ，而MD 平分∠AMC ，若∠MDC ＝45°，则∠BAD ＝＿＿＿＿＿，∠ABC ＝＿＿＿＿．17．已知，如图18－1－10所示，在□ABCD 中，延长DA 到点E ，延长BC 到点F ，使得AE ＝CF ，连接EF ，分别交AB 、CD 于点M 、N ，连接DM 、BN ．(1)求证：△AEM ≌△CFN ．(2)求证：四边形BMDN 是平行四边形．18．如图18－1－11所示，在ABCD Å中，分别以AD 、BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF ，连接BE 、DF ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．图18－1－4HFGEABC D红绿橙紫蓝黄H G FEABCD图18－1－6图18－1－5图18－1－7图18－1－8图18－1－9D CBACABCDE FM图18－1－10ABC DMNE F图18－1－11ABCDEF19．如图18－1－12所示，在□ABCD 中，AB ＞BC ，∠A 与∠D 的平分线交于点E ，∠B 与∠C 的平分线交于F 点，连接EF ．(1)延长DE 交AB 于M 点，则图中与线段EM 一定相等的线段有哪几条？说明理由(不再另外添加字母和辅助线)．(2)EF 、BC 与AB 之间有怎样的数量关系？为什么？(3)如果将条件“AB ＞BC ”改为“AB ＜BC ”，其他条件不变EF 、BC 与AB 的关系又如何？直接写出结论．20．如图18－1－13所示，已知点C 是线段AB 上的点，△ACD 与△BCE 都是等边三角形，F 、G 、M 、N 分别是线段AC 、CE 、CD 、CB 的中点，求证：FG ＝MN ．21．如图8－1－14所示，ABCD Å内一点E 满足ED ⊥AD 于点D ，且∠EBC ＝∠EDC ，∠ECB ＝45°，找出图中一条与EB 相等的线段，并加以证明．FEMMFEAB CDABCD图18－1－12N M FGED BC A图18－1－13图18－1－14DC B AE中考链接22．(2012·黑龙江)如图18－1－15所示，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝30°，则∠PFE 的度数是( )．A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°23．(2012·武汉)在面积为15的ABCD Å中，过点A 作AE 垂直直线BC 于点E ，作AF 垂直直线CD 于点F ，若AB ＝5，BC ＝6，则CE ＋CF 的值为( )．A．11B．11C．112+或112-D．112+或12+24．(2012·鞍山)如图18－1－16所示，点G 、E 、F 分别在平行四边形ABCD 的边AD 、DC 和BC 上，DG ＝DC ，CE ＝CF ，点P 是射线GC 上一点，连接FP 、EP ．求证：FP ＝EP ．巅峰突破25．如图18－1－17所示，等腰Rt △ABD 中，AB ＝AD ，点M 为边AD 上一动点，点E 在DA 的延长线上，且AM ＝AE ，以BE 为直角边，向外作等腰Rt △BEG ，MG 交AB 于点N ，连NE 、DN ．(1)求证：∠BEN ＝∠BGN ． (2)求NG ∶AB 的值．(3)当M 在AD 上运动时，探究四边形BDNG 的形状，并证明之．26．如图18－1－18所示，四边形ABCD 中，∠C ＝∠DAB ，∠CDA ＝∠CBA ，连接BD ，延长DA 到H ，使AH ＝AD ，连接BH ，BC ＝3，CD ＝4，DB ＝6，求BH 的长．图18－1－15ABP F CD图18－1－16PF EGAB C D图18－1－17EA M DNBG图18－1－18HACDB第二节矩形、菱形、正方形一、课标导航：二、核心纲要： 1.矩形：（1）定义：有一个角是直角的的平行四边形叫矩形. （2）性质：①边：对边平行且相等 ②角：四个角都是直角③对角线：对角线互相平分且相等④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形. （3）判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形. ②对角线相等的平行四边形是矩形. ③有三个角是直角的四边形是矩形. （4）其他判定（需要证明）：①对于平行四边形，若存在一点到两对顶点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形.若平行四边形ABCD 中，2222PB PD PC PA +=+,则平行四边形ABCD 是矩形，证明方法如下右图所示，将△PAB 平移至△DMC ，证明D C ⊥PM ；②对角线相互平分且相等的四边形是矩形；③对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形.2.菱形：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.（2）性质：①边：对边平行且四边相等；②角：邻角互补，对角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角；④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形；⑤菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半.（3）菱形的判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形.3.正方形：（1）定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. （2）性质：①边：对边平行，四条边都相等；②角：四个角都是直角；③对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形；（3）判定：①有一组邻边相等的的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；③定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. （4）其他判定（需要证明）①对角线互相垂直的矩形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.④四边均相等，对角线相等的四边形是正方形；⑤四边相等，有三个角是直角的的四边形是正方形； ⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形.（5）平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系（如下图所示）4.直角三角形斜边中线等于斜边的一半.5.对角线互相垂直的四边形的性质：①面积是对角线乘积的一半：BD AC S ABCD ∙=21四边形; ②对边平方和相等：2222AD BC CD AB +=+.本节重点讲解：两个特殊性质，三个定义，三个性质，三个判定.平行四边形正方形菱形矩形B三、全能突破1.如图18-2-1所示，在△ABC 中，AB=AC ，B E ⊥AC ，D 是AB 中点，且DE=BE=21AB ，则∠C 的度数是（）A ．65°B ．70°C ．75°D ．80°2.如图18-2-2所示，菱形花坛ABCD 的边长为6m ，∠A =120°,其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（）A ．12mB ．20mC ．22mD ．24m 3.菱形的周长为20cm ，两邻角的比为1:3，则菱形面积为（） A ．25cm 2B ．16cm 2C ．2225cm 2D ．216cm 2 4.如图18-2-3所示，平移△ABC 到△BDE 的位置，且点D 在边AB 的延长线上，连接EC 、CD ，若AB=BC ，那么在以下四个结论：①四边形ABEC 是平行四边形；②四边形BDEC 是菱形；③AC ⊥DC ；④DC 平分∠BDE ，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个18-2-318-2-218-2-1BA5.如图18-2-4所示，在矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，F 是CD 上的点，已知ABCD ADF ABE S S S 矩形31==∆∆，则CEF AEF S S ∆∆:的值等于（）A ．2B ．3C ．4D ．56.如图18-2-5所示，点E 、F 分别是菱形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且∠EAF=∠D=60°, ∠FAD=45°,则∠CFE = 度.7.如图18-2-6所示，正方形ABCD 的边长为1，E 为AD 中点，P 为CE 中点，F 为BP 中点，则F 到BD 的距离等于 .18-2-618-2-518-2-4B8.如图18-2-7所示，四边形ABCD 是矩形，∠EDC=∠CAB, ∠DEC=90°. (1)求证：A C ∥DE .（2）过点B 做BF ⊥AC 于点F ，连接EF ，试判断四边形BCEF 的形状，并说明理由.18-2-79.如图18-2-8所示，矩形ABCD 的面积为36cm 2，E,F,G 分别为AB,BC,CD 中点，H 为AD 上任意一点，则图中阴影部分的面积为（）A ．18cm 2B ．16cm 2C ．20cm 2D ．24cm 210.如图18-2-9所示，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个矩形色块图的面积为（）A ．142B ．143C ．144D ．14511.从菱形的一个钝角顶点向它的两条边做垂线，这两条垂线分别垂直平分对边，则该菱形的钝角等于（）A ．135°B ．150°C ．110°D ．145°12.如图18-2-10所示，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°M 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，若PM+PB 的最小值是3，则AB 的长为（）A ．3B ．3C ．6D ．3218-2-1018-2-918-2-8E A13.如图18-2-11所示，两个边长相等的正方形ABCD 和OEFG ，若将正方形OEFG 绕点O 按逆时针方向旋转150°，则两个正方形的重叠部分四边形OMCN 的面积（）A ．不变B ．先增大再减小C ．先减小再增大D ．不断增大14.矩形的周长为p ，对角线长为d ，则此矩形的长与宽的差可表示为（） A ．22821p d - B ．22821p d + C ．22621p d - D ．22621p d +15.如图18-2-12所示，在□ABCD 中，∠ADC=78°,AF ⊥BC 于点F ，AF 交BD 于点E ，若DE=2AB ,则∠AED= .18-2-1318-2-1218-2-11BA16.（1）如图18-2-13所示，菱形ABCD 的对角线的长度分别为4,5，P 是对角线AC 上的一点，P E ∥BC 交AB 于点E ,PF ∥CD 交AD 于点F ，则图中阴影部分的面积是 .（2）如图18-2-14所示，在矩形ABCD 中，AB =5cm ，BC=3cm ,EF ∥GH ∥BC ,点P,Q 是EF 上的任意两点，R 为BC 的中点，则图中阴影部分的面积是 .17.如图18-2-15所示，在直线l 上平放有3个面积相等的矩形，其高分别为2m ，3m ，6m ，先做一平行于l 的直线m ，使截得的三部分阴影面积之和恰好等于一个矩形的面积，则l ，m 之间的距离为 .18.如图18-2-16所示，线段AB 的长为220cm ，点D 在线段AB 上，△ACD 是边长为10cm 的等边三角形，过点D 作与CD 垂直的射线DP ，过DP 上一动点G (不与D 重合)作矩形CDGH ，记矩形CDGH 的对角线交点为O ，连接OB ，则线段BO 的最小值为 .lm 18-2-1618-2-1518-2-1419. 如图18-2-17所示，在四边形ABCD中，∠ABC=135°, ∠BCD=120°,AB=6,BC=5-3,CD=6,求AD 的长.20. 如图18-2-18所示，在R t △ABC 中，∠C=90°,AC=3,BC=4,点P 为AB 边上任一点，过点P 分别作PF ⊥AC 于点E ,PF ⊥BC 于点F ，求线段EF 的最小值.21. 如图18-2-19所示，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果AB=4,AO=26,求AC 的值.18-2-1718-2-1818-2-1922.已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作菱形ADEF （A,D,E,F 按逆时针排列），使∠DAF=60°连接CF .（1）如图18-2-20(a)所示，当点D 在边BC 上时，求证：①BD=CF ，②AC=CF+CD . （2）如图18-2-20（b ）所示，当点D 在边BC 的延长线上且其它条件不变时，结论上AC=CF+CD .是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由.（3）如图18-2-20（c ）所示，当点D 在边CB 的延长线上且其它条件不变时，补全图形，并直接写出A C 、CF 、CD 之间存在的数量关系.18-2-20(c)(b)(a)23.（2012·威海）如图，在ABCD 中，AE ，CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线。