任意项级数敛散性判断练习及 答案
7.3 任意项级数敛散性的判别
lim u n lim
n
n ln n
lim
x
lim
x
1
x ln x x
0
综上所述原级数条件收敛.
x
(4)
n1
对于级数 当 当
x 1 x 1
x
n
lim
n
n1 x
n1
n
n
lim
n n1
n
x x
n
时 时
原级数 原级数
(B) 条件收敛 (D) 敛散性与 有关
例5 设常数
k 0,
(A)发散
则级数 ( 1) 2 n n 1 (B) 条件收敛
n
k n
(
)
(C) 绝对收敛
(D) 敛散性与 k 有关
正 项 与极限形式 级 数 n n 适用 u n 为 a , P ( n ), n ! , n 比值判别法 的积、商的级数.
n
发散,
n1
从而 ( 1 )
n1
n1
n! 5
n
发散.
( 3 )
( 1)
n1
n1
n ln n
解：对于级数 因 n ln n 再考察
un 1 n ln n
1 n ln n
n1
1
1 n
且
n1
1 n
n1
发散 故
1 n ln n
n
n
un l
N,
故对 当 即
存在正整数
un l
n
n N
无穷级数-任意项级数审敛法
n =1
∑ v n 发散
∞
2 条件收敛性 n 递减、趋于零 分析 需判定 un = n + 10
n 令 x un = ( x > 0) = f (n), f ( x ) = n + 10 x + 10
1 Q f ′( x ) = 2 x ( x + 10 ) ( x + 10 )2 x
o
10 x = 2 x ( x + 10)2
2 关系
n =1
∑ un 发散 ∑ un 发散 （一般地）
n =1
n =1 ∞
∑ un 收敛 ∑ un收敛 √
n =1 ∞理 设任意项级数 ∑ un满足
n =1
∞
un + 1 lim = ρ>1 n → ∞ un
∞ ∞ n =1 n =1
(或 lim
n
n→ ∞
un = ρ > 1)
2 + (1)n 反例：对于 ∑ (1)n1 ， n 2 n =1
2 + (1)n un = >0 n 2
虽然 {un }不单调， 事实上，
3 2 u2k1 = 2k1 = < u2k = 2k , 2k 2 2 2 3 1 u2k = 2k > u2k+1 = 2k+1 2 2
∞
1
2 + (1)n un = 2n
n1 ∞
2. 证明 ∑
∞
∞
sin nα n
4
n=1
绝对收敛 . 绝对收敛 .
n→ ∞
3. 证明 ∑ (1)
n=1
n2 n e
n
4. 设un ≠ 0 (n = 1, 2, 3,L), 且 lim n = 1,
数项级数的敛散性的练习题及解析
数项级数的敛散性的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞=则常数项级数1nn U∞=∑（ D ）A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211n n∞=∑收敛 选D2．设1nn U∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ）A ．1nn U∞=∑ B.()12008nn U ∞=∑C ．()10.001n n U ∞=+∑ D ．11n uU ∞=∑解：()12008nn U ∞=∑＝20081nn U∞=∑1nn U ∞=∑收敛∴由性质()12008nn U ∞=∑收敛3．下列级数中一定收敛的是…( A )A ．21014n n ∞=-∑ B ．10244n n nn ∞=-∑ C ．101nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ D+… 解：214n U n =-0n ≥21n=lim 1n n nU V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ）A ．11n n n ∞=+∑n（－1） B ．()211nn n ∞=-∑C ．1nn ∞=- D ．()1312nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ 解：（1）n ∞∞=n=1发散（112p =<）（2）11nn ∞=-为莱布尼兹级数收敛，选C5．级数()111cos nn k n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑ （k>0）…（ B ）A ．发散B ．绝对收敛C ．条件收敛D ．敛散性与K 相关解：11(1)(1cos )1cos nn n k k n n ∞∞-=⎛⎫--=- ⎪⎝⎭∑∑1cos n kU n=-222k n =lim 1n n nU V →∞=且1n n V ∞=∑收敛，故选B 6．设正项极数!1lim n nn n nU U p U∞+→∞==∑若则（D ）A..当0<p<+∞时，级数收敛B.当p<1时级数收敛，p ≥1时级数发散C.当p ≤1时级数收敛，p>1时级数发散D.当p<1时级数收敛，p>1时级数发散解：当P<1时级数收敛，当P>1时级数发散，当P ＝1时失效。
7.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛-习题
1．判别下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？⑴11(1)n n ∞-=-∑；【解】级数11(1)n n ∞-=-∑属于交错级数，它满足关系1n n u u +=>=（1,2,3,n =L）且lim 0n n n u →∞==，即由莱布尼兹定理知，级数11(1)n n ∞-=-∑收敛，但11(1)n n ∞-=-∑1n ∞==是112p =<的P 级数，发散，综上知，级数1(1)n n ∞-=-∑条件收敛。
⑵111(1)3n n n n∞--=-∑； 【解】级数111(1)3n n n n∞--=-∑属于交错级数， 由于111(1)3n n n n ∞--=-∑113n n n∞-==∑， 因为111113lim lim lim 1333n n n n n nn n u n n u n +→∞→∞→∞-++==<，由正项级数的比值判别法知，级数113n n n∞-=∑收敛， 综上知，级数111(1)3n n n n∞--=-∑绝对收敛。
⑶11ln (1)n n nn∞-=-∑； 【解】级数11ln (1)n n nn∞-=-∑属于交错级数，由于函数ln x y x =有21ln '0xy x -=>当x e >时恒成立， 知ln xy x=当x e >时为增函数， 从而满足关系1n n u u +>（3,4,5,n =L ）且1ln lim lim lim 01n n n n nn u n →∞→∞→∞===，即由莱布尼兹定理知，级数11ln (1)n n nn∞-=-∑收敛， 但由于11ln (1)n n n n ∞-=-∑1ln n n n ∞==∑11n n ∞=>∑，而11n n∞=∑为调和级数，发散， 综上知级数11ln (1)n n nn∞-=-∑条件收敛。
⑷111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑；【解】级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑属于交错级数，它满足关系111ln(1)ln(2)n n u u n n +=>=++（1,2,3,n =L ）且1lim lim0ln(1)n n n u n →∞→∞==+，即由莱布尼兹定理知，级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑收敛，但由于1limn n nu u +→∞1ln(1)lim 11n n n →∞+=+1lim ln(1)n n n →∞+=+1lim 11n n →∞=+lim(1)n n →∞=+=∞， 且级数111n n ∞=+∑21n n∞==∑为调和级数，发散，即由比较判别法的极限形式知，级数11ln(1)n n ∞=+∑发散， 综上知，级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑条件收敛。
高数-任意项级数敛散性判别法
x)
.
所以当x ≥ 1时 , f ( x) ≤ 0 .
即函数
f
(x)
2x 1 x2
单调减小.
即 un un+1 (n = 1 , 2 , 3 , ) .
(
n1
1 )n1
2n 1 n2
又
lim
n
un
lim
n
2n 1 n2
0
.
因此交错级数 (1)n1
n1
2n 1 n2
收敛
.
二、绝对收敛与条件收敛
高等数学第十二章 第三节
任意项级数敛散性判别法
第三节 任意项级数敛散性判别法
一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛 三、小结 提高题
一、交错级数收敛性判别法
在级数 un 中，总含有无穷多个正项和负项 n1
叫任意项级数.
1.定义： 如果级数的各项是正、负交错的，即
(-1)n-1 un = u1 - u2 + u3 - u4 +
如下：
u1v1, u1v2, u1v3, u2v1, u2v2, u2v3,
u3v1, u3v2, u3v3,
,
u1v
，
n
,
u2v
，
n
,
u3v
，
n
unv1, unv2, unv3,
,
un
v
，
n
将它们排成下面形状的数列.
对角线法
u1v1
u2v1
u3v1
u4v1
u1v 2 u2v 2 u3v2 u4v2
定义2 如果级数 un 收敛，则称级数 un 绝对收敛；
n=1
n=1
(习题解答)习题9 常数项级数收敛性的判定
习题 9-21.判断下列级数的敛散性.<1）； <2）； <3）；<4）； <5）； <6）<）．解：<1）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为，而调和级数发散，从而也发散；由正项级数的比较判别法，得级数发散。
方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而调和级数发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。
<2）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为，而级数收敛<级数的结论）；由正项级数的比较判别法，得级数收敛。
方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而级数收敛<级数的结论），则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。
<3）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为<），且调和级数发散；则由正项级数的比较判别法，得级数发散。
方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而，所以，即，又调和级数发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。
<4）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为，而级数收敛<级数的结论），由正项级数的比较判别法，得级数收敛。
方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而级数收敛<级数的结论），则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。
<5）；因为，而调和级数发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。
注：本题中，级数的一般项要进行适当的缩小不易，所以采用正项级数的比较判别法做起来相对比较困难一些，而采用正项级数的比较判别法的极限形式相对容易一些。
<6）<）．当时，，则由级数收敛的必要条件，得级数<）发散；当时，，则由级数收敛的必要条件，得级数<）发散；当时，，且级数是公比为<）的等比级数，是收敛的，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。
任意项级数敛散性的判别
另一方面, S 2 m u 1 (u 2 u 3 ) (u 4 u 5 ) (u 2 m 2 u 2 m 1 ) u 2 m
u 1 , 即 {S 2m } 有 上 界 ,
故 {S2m } 收敛,记 mlimS2m S ,显然有 Su1 .
解
因为 si nn
n2
1 n2
,而
n1
1 n2
收敛,
故原级数绝对收敛.
例2
判定
(1)n
n1
1 3n
(11)n2 n
是绝对收敛、条件
收敛还是发散.
解
n
un
1(11)n 3n
1 n3 e
1
，
绝对收敛.
5
定义：正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un (其中 un0)
n1
定理(莱布尼兹判别法) 如果交错级数满足条件
判 2. 当 n ,un 0,则级数 ; 发散
别 3. 按基本性质;
4.充要条件
法 5.比较法
4.绝对收敛 5.交错级数
6.比值法 7.根值法
(莱布尼兹定理)
16
思考题
设 正 项 级 数un收 敛 ,能 否 推 得un 2 收 敛 ?
n1
n1
反 之 是 否 成 立 ? 若 是 任 意 项 级 数 呢 ?
（ 1 ） u n u n 1 , 即 { u n } 单 调 减 少 ；
（ 2）ln im un0,
称莱布尼茨 型级数
则 交 错 级 数 (1)n1un收 敛 ,且 其 和 Su1.
n1
6
证 S 2 m ( u 1 u 2 ) ( u 3 u 4 ) ( u 2 m 1 u 2 m ) ,
习题参考解答(第四部分) 收敛判定
无穷级数部分练习题参考解答1、 判断级数()()31ln ln ln pqn n n n ∞=∑的敛散性.解：考察反常积分()()3ln ln ln p q dx x x x +∞⎰()ln3ln tx eq pdt t t =+∞=⎰当1p >时，取充分小的0ε>，使1p ε->，则有()1lim 0ln p q p t tt t ε-→+∞=，从而()ln3ln q p dt t t +∞⎰收敛. 当1p <时，取充分小的0δ>，使1p δ+<，则有()1lim ln p q p t tt t δ+→+∞=+∞，从而()ln3ln q p dt t t +∞⎰发散.当1p =时，()ln3ln ln3ln ut eq qdt dt u t t =+∞+∞=⎰⎰，知1q >时，()ln3ln q dt t t +∞⎰ 收敛，1q ≤时()ln3ln q dt t t +∞⎰发散.又显然函数()()()1ln ln ln pqf x x x x =在()3,+∞上非负递减，于是由积分判别法知：当1p >或1p =且1q >时级数收敛，其余情况级数发散. 2、讨论级数111(1)n p n n-∞+=-∑的敛散性，如果收敛，讨论是绝对收敛还是条件收敛.解：当0p ≤时，通项不趋于零，发散；当1p >时，111p p n n n+<，原级数绝对收敛；当01p <≤时，11(1)n p n n -∞=-∑收敛，11nn 单调有界，由Abel 判别法知原级数收敛. 又 11(1)lim11n p nn pnn -+→∞-=，知111(1)n p n nn-∞+=-∑发散. 故原级数条件收敛.3、已知1221(1)12n n n π-∞=-=∑，计算10ln(1)x dx +⎰. 解：函数ln(1)x +在0x =点的Taylor 级数为123(1)ln(1)23n n x x x x x n--+=-+-++ ，(1,1)x ∈- 112ln(1)(1)123n n x x x x x n --+-=-+-++ ，1232220ln(1)(1)23n n x t x x x dt x t n -+-=-+-++⎰ 10ln(1)x dx x +⎰1232222011ln(1)(1)lim lim 1223n n x x x t x x x dt x t n π-→→+-⎛⎫==-+-++= ⎪⎝⎭⎰ . 4、证明（1）方程10nx nx +-=（n 为正整数）存在唯一正实根n x ；（2）级数1n n x α∞=∑当1α>时收敛.证：（1）令()1nn f x x nx =+-,[]0,1x ∈ 则()01n f =-，()10n f n =>，∴()0n f x =在()0,1内有根n x .由()10n n f x nx n -'=+>知()1n n f x x nx =+-在()0,+∞ .∴ ()0n f x =即10nx nx +-=存在唯一正实根n x .（2）由10nnn x nx +-=， 110nn n x x n n -<=<，当1α>时，10n x nαα<<， 而11n n α∞=∑是1p α=>的p 级数，收敛. ∴ 级数1nn x α∞=∑收敛.5、用多种方法求级数1212nn n∞=-∑的和S.解法1： 2n n n S S S =-=121111212121112122212n n n n n n -----++++-=+-- ，∴ lim 3n n S S →∞==. 解法2： ()112121222n n n n n n n ∞∞==-=-∑∑，而111211212n ∞===-∑；对12n n n ∞=∑：1211(1)n n nx x ∞-==-∑. 21,1(1)nn x n x x x ∞==<-∑.12x =时，12n n n ∞=∑＝2 . ∴ 1214132n n n ∞=-=-=∑.解法3：考虑级数()()2021nn n xs x ∞=+=∑，从0到x 逐项积分，得()2121xn n x s t dt x x ∞+===-∑⎰，1x <.再求导,得()()22211x s x x +=-,1x <.令()1,1x =- 得()201121262112n n n s ∞=++===-∑ ∴ 1212nn n ∞=-∑= 100211213222n n n n n n ∞∞+==++==∑∑.6、证明函数项级数1(1)cos n n n x∞=-+∑在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上一致收敛.证法1：记1()(1),()c o s nn n a x b x n x =-=+.显然1()n n a x ∞=∑的部分和函数列在[,22ππ-]上一致有界，{}()n b x 关于n 单调递减趋于零，且[,]22lim sup()00n n x b x ππ→∞∈--=.即,22()0n b x ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦−−−−→−−−−→.由Dirichlet 判别法知()()1n n n a x b x ∞=∑在[,22ππ-]上一致收敛.证法2：记(1)(),()cos n n n n a x b x n n x -==+.1()n n a x ∞=∑是收敛的数项级数，当然在[,22ππ-]上一致收敛；{}()n b x 关于n 单调，且在[,22ππ-]上一致有界.由Abel 判别法知()()1n n n a x b x ∞=∑在[,22ππ-]上一致收敛.7、证明：① 1ln nn x x ∞=∑在(]0,1不一致收敛；② 2101ln 16n n x x dx π∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑⎰.证：① 级数1ln nn x x ∞=∑的每一项在(]0,1都连续，容易求出其和函数()()ln ,0,110,1x x x x S x x ⎧∈⎪-=⎨⎪=⎩由()10lim 1x S x →-=，知()S x 在(]0,1不是处处连续，所以1ln nn xx ∞=∑在(]0,1不一致收敛.② 对01x δ∀<<<，易知ln ln 1nn t tt t∞==-∑在[],x δ上一致收敛，有()110000ln ln ln 1x x nnxn n t dt t tdt t tdtt δδδ∞∞====---∑∑⎰⎰⎰⎰⎰ （*）∵ ()1201ln 1nt tdt n =-+⎰， ∴ 2100ln 6n n t tdt π∞==-∑⎰.又∵ ()21ln 1nt tdt n δ≤+⎰，()121ln 1n xt tdt n ≤+⎰∴ln nn t tdt δ∞=∑⎰和1ln n xn t tdt ∞=∑⎰分别在01δ≤≤和01x ≤≤上一致收敛.在（*）式两端令0,1x δ→→，得 210ln t dt π=-⎰，或 2101ln 16n n x x dx π∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑⎰. 8、给出1sinpn nx n∞=∑(0)p >一致收敛的区间，并证明之.证：当1p >时，sin 1p p nx n n ≤，(,),1,2,x n ∈-∞+∞= ，且11p n n∞=∑收敛. 由Weierstarss 判别法,知1sinpn nx n∞=∑在(,)-∞+∞上一致收敛.当01p <≤时，因对n N ∀∈，有 1212sin sin cos cos 222nk x n x kx x =+-=-∑.对(0,)επ∀∈，[,2]x επε∈-，有 121cos cos 2211sin 2sin 2sin sin 222nk n xx kx x x ε=++≤≤≤∑ 由Dirichlet 判别法知：1sinpn nx n∞=∑在[,2]επε-上一致收敛，即在(0,2)π上内闭一致收敛.同理可证：1sinpn nx n∞=∑在任意不包含2,0,1,2,k k π=±± 的闭区间上一致收敛.。
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任意项级数敛散性判断
下列级数是否收敛，说明是绝对收敛还是条件收敛 1、 ()
∑
∞
=--1
1
11n n n
2、 ()∑∞=--1131n n n
n
3、 ()
∑∞=+121sin n n na
4、 ()()011>-∑∞=a na n n
n
5、 ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+2ln 1sin n n n π
6、 +-+-+-
332210
3
211032110321 7、 ()()()∑∞=+-+-+11
2
212
12121n n n n n 8、 ()()
[]
()01111
>-+-∑∞=-p n n p n n
答 解：1、()
∑
∞
=--1
1
11n n n
取绝对值 ()∑
∑∞=∞
=-=-1
11
1
1n n n n
n >∞
（ 2
1
=p 的p 级数）
而原级数是交错级数
且： 01lim 1
111==<+=∞
→+n
u n
n u n n
n
由莱布尼兹定理，原级数收敛。
所以是条件收敛。
2、()∑∞
=--113
1n n n
n
13111lim 313
31lim lim 11<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∞→-∞→+∞→n n n u u n n n n n n n
绝对值级数 ()∞<-∑∞
=-113
1n n n
n
所以原级数绝对收敛
3、()
∑∞
=+12
1sin n n na
()()
22111sin +≤+n n na ()
∑∞
=+1211n n 是p=2 的p 级数。
收敛！ 所以由比较判别法，原级数绝对收敛 4、()
()011>-∑
∞
=a na
n n
n
()111lim lim 11<=+=+∞
→+∞→a
a n na u u n n n n n a>1 时原级数绝对收敛 0<a<1 时 ()
01lim lim ≠-=∞
→∞
→n
n
n n
n na
u 级数发散
（ 0ln 1
lim lim lim =-==-∞
→∞
∞
-∞→∞→a a a n na n n n n n
n ())01lim ≠∞=-∴∞
→n n
n na a=1 时 ()∑∞=-11n n
n
满足莱布尼兹定理，
原级数条件收敛
5、 ∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+2ln 1sin n n n π
n
n n
n n n ln 1sin cos ln 1cos
sin ln 1sin ⋅+⋅=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+πππ ()n n n n n n ln 1sin
1ln 1sin 11-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+∑∑∞=∞
=π 因为当x y x sin 2,0=⎪
⎭⎫
⎝⎛∈π 单调递增 且
()n
n n u n
n u n
=<+==+∞
→ln 1
sin 1ln 1sin 0ln 1
sin lim 1
∞<⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+∴∑∞
=1ln 1sin n n n π
所以原级数条件收敛
6、 +-+-+-
3322103
211032110321 b a b a +≤+
∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-110321n n n ∑∞=⎪⎭
⎫
⎝⎛-+110321n n n
设： n n n
n v u 10
321
==
∞<∞
<∑∑∞
=∞
=1
1
n n n n v u
所以原级数绝对收敛
7、()()()
∑∞
=+-+-+1
1
2
2
12
12121
n n n n n
()()12
1122232lim lim 21
22
1<=+⋅+=++∞
→+∞→n n u u n n n n n n 所以原级数绝对收敛
8、 ()()[]()01111
>-+-∑∞
=-p n n p n n ()()[]
∑∞=--+-11
11n p n n n
()[]()1111lim
1
11
lim
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=-+∞
→∞
→p
n
n p p
n n n n
n
p>1 原级数绝对收敛 p ≦1 原级数发散
（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
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