江西抚州七校联考2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版
江西抚州七校联考2018-2019学年上学期期末考试
高二数学（理）试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数()cos sin
12
f x x x π
=-的导函数为（ ）
A ．cos sin x x x -
B ．cos sin x x x +
C ．cos sin cos
12
x x x π
-- D ．sin cos
12
x π
--
2.命题：“任意的(1,1)x ∈-，都有2
1x <”的否定是（ ）
A ．任意的(1,1)x ∈-，都有2
1x ≥ B ．任意的(1,1)x ∉-，都有2
1x ≥ C ．存在(1,1)x ∈-，使得2
1x ≥ D ．存在(1,1)x ∉-，使得2
1x ≥
3.平行六面体1111ABCD A BC D -中，(1,2,0)AB =，(2,1,0)AD =，1(0,1,5)CC =，则对角线1AC 的长为（ ）
A ．．．．12
4.从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了120名学生的成绩得到的频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分是（ ）
A ．90
B ．92
C ．100
D ．110
5.下边的茎叶图是某学习小组在一次测验时的成绩，将男女成绩分别输入执行如图中的程序框图，输入男生成绩输出S A =，输入女生成绩输出S B =，则A ，B 的大小关系是（ ）
A ．A
B > B ．A B =
C ．A B <
D ．A ，B 大小不确定
6.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被3sin
6
y x π
=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此
点取自阴影部分的概率为（ ）
A ．
19 B ．112 C ．118 D ．136
7.已知直线l 的方向向量(1,,2)l t t =-，平面α的法向量(21,2,4)m t t t =+，则“3
2
t =-”是“直线l 垂直平面α”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 8.执行如图程序框图，输出的等于（ ）
A ．12
B ．0
C ．1
2
- D ．1 9.已知函数1
()ln
1
x f x a x -=+tan 3b x ++（a ，b 为常数）的导函数是'()f x ，若'(2)3f =，则'(2)f -等于（ ）
A ． 3-
B ．0
C ．3
D ．6
10.椭圆C ：22
221x y a b
+=(0)b a <<的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB ∆的外接圆圆心在
x 轴上，则该椭圆离心率的值为（ ）
A ．
12 B
．12 C
．2
D
．12 11.在一次口试中，要从5道题中随机抽出3道题进行回答，答对其中的2道题就获得优秀.若某考生会回答
5道题中的3道题，则他获得优秀的概率是（ ）
A ．0.3
B ．0.5
C ．0.6
D ．0.7
12.已知双曲线C ：
22
1169
x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线C 右支上的一动点，12PF F ∠的平分线与直线4x =相交于点(4,)R t ，则实数t 的取值范围是（ ） A ．44
(,)33
-
B ．(3,3)-
C ．(4,4)-
D ．(5,5)- 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.双曲线2
2
41x y -=的离心率等于 ．
14.若2
()(21)
x
e f x x =+（e 是自然对数的底），则'(1)f 等于 ． 15.设不同的直线a ，b 的方向向量分别是1e ，2e ，平面α的法向量是n ，则下列推理中
①121//////e e b e n α⎫⎪⇒⎬⎪⎭；②12//////e n a b e n ⎫⎪⇒⎬⎪⎭；③11
2////e n
b b e e
α
α⎫
⎪⊄⇒⎬
⎪⊥⎭
；④121////e e b e n α⎫⎪⇒⊥⎬⎪⎭
. 正确的命题序号是 ． 16.已知函数2()1
x
f x x =
+，记1()()f x f x =，1()[()]n n f x f f x +=(1,2,3,4)n =⋅⋅⋅，则(1)n f 等于 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数31()3f x mx =
2
142
mx x ++，设p ：函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角是锐角；q ：函数'()y f x =有两个零点.如果p ，q 是命题，并且命题“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围.
18.某个体服装店经营某种服装，在过去的五周进行试销，得到单周销量y （百件）与单件利润x （元）之间的数据关系如下表：
已知：
5
2
1
14500i
i x
==∑，5
1
860i i i x y ==∑.（参考公式：1
2
2
1
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑∑，a y bx =-）
（1）求出该种单周销售y （百件）与单件利润x （元）之间的回归直线方程；
（2）若该种服装进价是47元，你认为该种服装单价定价为多少时，销售该服装的周总利润最大.（精确到
1元）
19.已知函数()x f x e =（e 为自然对数的底）过原点作曲线()y f x =
的切线，过切点作x 轴的垂线，垂足记为11(,0)A a
，再过点1A 作曲线()y f x =的切线，过切点作x 轴的垂线，垂足记为22(,0)A a ，……，依次重复下去，得到数列
{}n a . （1）求1a
，2a ，3
a ；
（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.
20.如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 是矩形，AB =1AA =点D 是侧棱1AA 的中点，AC BD ⊥，AC =DC =
（1）求证：平面BDC ⊥平面11AA B B ； （2）求直线DC 与平面11DB C 所成角的正弦值.
21.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过焦点F 的动直线l 与抛物线C 交于11(,)P x y ，
22(,)Q x y （1x ，2x 均不等于1
4
，4）两点，且122PQ x x =++.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）设1(,0)4
A ，(4,0)
B ，直线PA 与直线QB 相交于点S ，试判断点S 是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，说明理由.
22.如图，椭圆C 的方程为22
221x y a b
+=(0)a b >>，点P 是直线l ：2x =上的动点，过点P 作圆O ：
222x y a +=的两条切线，切点分别为M ，N ，直线MN 与椭圆C 相交于两点A ，B .已知椭圆C 的离心
，且当点P 在x 轴上时，AB =.
（1）求椭圆C 的方程； （2）求面积OAB ∆的取值范围.。
2018-2019学年江西省名校联考高二(上)数学试卷
2018-2019学年江西省名校联考高二（上）数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.某市教委为了了解全市初三学生的身体状况，从中抽取了500名学生的体重进行分析.在这个问题中，下列说法正确的是（）A. 全市初三学生的身体是总体B. 从中抽取的500名学生是总体的一个样本C. 其中每一名学生的体重是个体D. 500名学生的体重是样本容量2.设函数，a＝f（4），b＝f（5.3），c＝f（6.2），则（）A. a＜b＜cB. c＜b＜aC. c＜a＜bD. b＜a＜c3.已知=2（a＞0，b＞0），则ab的最小值是（）A. 4B. 5C. 6D. 74.设一组数据31，37，33，a，35的平均数是34，则这组数据的方差是（）A. 2.5B. 3C. 3.5D. 45.一元二次不等式x2-3x+ab＜0（a＞b）的解集为{x|1＜x＜c}，则的最小值为（）A. B. 4 C. 2 D. 26.已知等比数列，若，则的最小值等于A. 1B.C.D.7.某变量满足约束条件则的最大值为A.B. 10C. 3D. 98.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图，估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（）A. 73.3，75，72B. 72，75，73.3C. 75，72，73.3D. 75，73.3，729.已知变量x，y满足约束条件，则的最小值为（）A. 0B.C.D. 310.为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是( ).A. 各月的平均最高气温都不高于25度B. 七月的平均温差比一月的平均温差小C. 平均最高气温低于20度的月份有5个D. 六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于10度11.对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：（a，b）=（c，d），当且仅当a=c，b=d；运算“⊗”为：（a，b）⊗（c，d）=（ac-bd，bc+ad）；运算“⊕”为：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），设p，q∈R，若（1，2）⊗（p，q）=（5，0），则（1，2）⊕（p，q）=（）A. （4，0）B. （2，0）C. （0，2）D. （0，-4）12.若实数a，b，c满足a2+b2+c2=8，则a+b+c的最大值为（）A. 9B. 2C. 3D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=ax+ln x，若f（x）≤1在区间（0，+∞）内恒成立，实数a的取值范围为______．14.x，y）满足约束条件则实数m的取值范围是________．15.在数列{a n}中，a1=-2，=，则= ______ ．16.如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB=______，AC=______三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.某企业共有3 200名职工，其中青、中、老年职工的比例为3：5：2．若从所有职工中抽取一个容量为400的样本，则采用哪种抽样方法更合理？青、中、老年职工应分别抽取多少人？每人被抽取的可能性相同吗？18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求sin B sin C的最大值．19.某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别写出用x表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？20.数列{a n}满足：a n+1-a n=2，a1=1，等比数列{b n}满足：b1=a1，b4=a14．（1）求a n，b n；（2）设C n=a n b n，求{c n}的前n项和T n．21.教育部记录了某省2008到2017年十年间每年自主招生录取的人数．为方便计算，2008年编号为1，2009年编号为2，…，2017年编号为10，以此类推．数据如下：（Ⅰ）根据前5年的数据，利用最小二乘法求出y关于x的回归方程，并计算第8年的估计值和实际值之间的差的绝对值；（Ⅱ）根据（Ⅰ）所得到的回归方程预测2018年该省自主招生录取的人数．其中==，=-22.已知函数f（x）=x-a，g（x）=a|x|，a∈R．（1）设F（x）=f（x）-g（x）．①若a=，求函数y=F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[-2，2]，若对任意x1，x2∈[-2，2]，|h（x1）-h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．参考答案1. C2. B3. C4. D5. B6. C7. B8. B9. B10. C11. B12. D13.（-∞，-]14.15. 316.17.解：因为总体由差异明显的三部分（青、中、老年）组成，所以采用分层抽样的方法更合理．由样本容量为400，总体容量为3200可知，抽样比是=，所以每人被抽到的可能性相同，均为．因为青、中、老年职工的比例是3：5：2，所以应分别抽取：青年职工400×=120（人）；中年职工400×=200（人）；老年职工400×=80（人）．18.解：（Ⅰ）∵=-，∴由正弦定理可得：=-，整理得：cos A sin B+2cos A sin C=-sin A cos B，即2cos A sin C=-sin（A+B），∴2cos A sin C=-sin C，∴cos A=-，又A为三角形的内角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2+bc，①由正弦定理得：===，∴sin B=，sin C=，∴sin B•sin C=，②①代入②，sin B•sin C=≤=，当且仅当b=c时，sin B sin C取最大值．19.解：（1）由已知xy=3000，2a+6=y，则y=，（其中6≤x≤500）；所以，运动场占地面积为S=（x-4）a+（x-6）a=（2x-10）a=（2x-10）•=（x-5）（y-6）=3030-6x-，（其中6≤x≤500）；（2）占地面积S=3030-6x-=3030-（6x+）≤3030-2=3030-2×300=2430；当且仅当6x=，即x=50时，“=”成立，此时x=50，y=60，S max=2430．即设计x=50米，y=60米时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．20.解：（1）∵数列{a n}满足：a n+1-a n=2，a1=1，∴数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n=2n-1，∵等比数列{b n}满足：b1=a1=1，b4=a14=2×14-1=27，∴1×q3=27，解得q=3，∴．（2）C n=a n b n=（2n-1）•3n-1，∴T n=1•30+3•3+5•32+…+（2n-1）•3n-1，①3T n=1•3+3•32+5•33+…+（2n-1）•3n，②①-②，得：-2T n=1+2（3+32+33+…+3n-1）-（2n-1）•3n=1+2•-（2n-1）•3n=-2-（2n-2）•3n，∴．21.解：（Ⅰ）由表中数据可得，=×（1+2+3+4+5）=3，=×（3+5+8+11+13）=8，x i y i=3+10+24+44+65=146，=12+22+32+42+52=55；∴===2.6，=-=8-2.6×3=0.2，∴y关于x的回归方程为=2.6x+0.2∴当x=8时，=2.6×8+0.2=21，则第8年的估计值和实际值之间差的绝对值为|21-22|=1；（Ⅱ）当x=11时，=2.6×11+0.2=28.8，预测2018年该省自主招生录取的人数为28.8．22. 解：（1）F（x）=f（x）-g（x）=x-a-a|x|，①若a=，则由F（x）=x-|x|-=0得：|x|=x-，当x≥0时，解得：x=1；当x＜0时，解得：x=（舍去）；综上可知，a=时，函数y=F（x）的零点为1；②若函数y=F（x）存在零点，则x-a=a|x|，当a＞0时，作图如下：由图可知，当0＜a＜1时，折线y=a|x|与直线y=x-a有交点，即函数y=F（x）存在零点；同理可得，当-1＜a＜0时，求数y=F（x）存在零点；又当a=0时，y=x与y=0有交点（0，0），函数y=F（x）存在零点；综上所述，a的取值范围为（-1，1）．（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=x-a+a|x|，x∈[-2，2]，∴当-2≤x＜0时，h（x）=（1-a）x-a；当0≤x≤2时，h（x）=（1+a）x-a；又对任意x1，x2∈[-2，2]，|h（x1）-h（x2）|≤6恒成立，则h（x1）max-h（x2）min≤6，①当a≤-1时，1-a＞0，1+a≤0，h（x）=（1-a）x-a在区间[-2，0）上单调递增；h（x）=（1+a）x-a在区间[0，2]上单调递减（当a=-1时，h（x）=-a）；∴h（x）max=h（0）=-a，又h（-2）=a-2，h（2）=2+a，∴h（x2）min=h（-2）=a-2，∴-a-（a-2）=2-2a≤6，解得a≥-2，综上，-2≤a≤-1；②当-1＜a＜1时，1-a＞0，1-a＞0，∴h（x）=（1-a）x-a在区间[-2，0）上单调递增，且h（x）=（1+a）x-a在区间[0，2]上也单调递增，∴h（x）max=h（2）=2+a，h（x2）min=h（-2）=a-2，由a+2-（a-2）=4≤6恒成立，即-1＜a＜1适合题意；③当a≥1时，1-a≤0，1+a＞0，h（x）=（1-a）x-a在区间[-2，0）上单调递减（当a=1时，h（x）=-a），h（x）=（1+a）x-a在区间[0，2]上单调递增；∴h（x）min=h（0）=-a；又h（2）=2+a＞a-2=h（-2），∴h（x）max=h（2）=2+a，∴2+a-（-a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，∴1≤a≤2；综上所述，-2≤a≤2．。
【数学学考】江西省抚州市2018-2019常年度上学期学生学业发展水平测试高二试题卷(理)
参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BACBDACCDDAB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若,,a b c 成等比数列，则2b ac = 14．2- 15．2316．55三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）解：（1）依题意4, 4.3x y ==，……………………………………………………（2分） 从而0.5b =， 4.30.54 2.3a y bx =-=-⨯=，…………………………………（6分） 故所求线性回归方程为0.5 2.3y x =+.……………………………………………（8分） （2）令9x =，得0.59 2.3 6.8y =⨯+=.预测该地区在2019年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.……………………（10分） 18．（本小题满分12分）解：22:29128024p m m m m m +>+⇒--<⇒-<<……………………（2分）:04401q m m ∆<⇒-<⇒>，…………………………………………………（4分）（1）由于p q ∨为真命题，故p 为真命题或q 为真命题，从而有24m -<<或1m >，即(2,)m ∈-+∞.……………………………………………………………………………（7分）（2）由于p q ⌝∨为真命题，p q ⌝∧为假命题，所以,p q 均为真命题或,p q 均为假命题，从而有241m m -<<⎧⎨>⎩或241m m m ≤-≥⎧⎨≤⎩或，解得142m m <<≤-或即：(](1,4),2m ∈-∞-.………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）依条件有832M N M NMN x x p x x ⎧=++=⎪⎨+=⎪⎩，故2p =，抛物线2:4C y x =. …………（5分）（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程组21224y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去x 并化简得： 28160y y --= ………………………………………………………………（8分）1216y y =-，2212121644y y x x =⋅= ………………………………………（10分）12120OA OB x x y y ∴⋅=+=，从而OA OB ⊥.所以坐标原点O 在以AB 为直径的圆上…………………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图，可知(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=， 解得0.006a =.……………………………………………………………………………（3分）设该学校的教职工对后勤处评分的中位数为0x ，有：()0(0.0040.0060.022)100.028700.5x ++⨯+⋅-=，解得：076.4x ≈（分）故，该学校的教职工对后勤处评分的中位数约为76.4 …………………………………（6分）（2）由频率分布直方图可知，受访教职工评分在[)40,50内的人数为0.00410502⨯⨯=（人），受访教职工评分在[)50,60内的人数为0.00610503⨯⨯=（人）.设受访教职工评分在[)40,50内的两人分别为12,a a ，在[)50,60内的三人为123,,b b b ，则从评分在[)40,60的受访教职工中随机抽取2人，其基本事件有12(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，12(,)b b ，13(,)b b ，23(,)b b ，共10种，其中2人评分至少有一人在[)50,60内的基本事件有9种，故2人评分至少有1人在[)50,60内的概率为910.………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）//CE CD BD CD BD CE CE BD ∴⊥⊥与共面，，，.//CE ABD CE ABD ⊄∴平面平面又…………………………………………………（4分）(2),BD DA BD DC ⊥⊥ADC ∴∠为二面角A BD C --的平面角，依条件90ADC ∠=，所以AD ⊥平面BCD . 分别以,,DB DC DA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.(0,0,22),(22,0,0),(0,22,0),(2,22,0)A B C E -，(22,0,22),(0,22,22)AB AC =-=-，设平面ABC 的法向量为1111(,,)n x y z =，则11112222022220x z y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，取11z =，则111,1x y ==， 故平面ABC 的一个法向量为1(1,1,1)n =. ……………………………………………（7分） 又(2,22,22)AE =--，设平面ACE 的法向量为2222(,,)n x y z =，则2222222202222000222220n AC y z x n AE x y z ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⋅=-+-=⎪⎪⎩⎩，取21z =，则21y =， 故平面ACE 的一个法向量2(0,1,1)n =. ………………………………………………（9分）12121226cos ,332n n n n n n ⋅===⋅……………………………………………（11分） 根据图形知，二面角B AC E --为钝二面角， 所以二面角B AC E --的余弦值为63-.………………………………………（12分） 22.略。
江西省抚州市数学高二上学期理数期末考试试卷
江西省抚州市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）设原命题：若a+b≥2，则a,b中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况是（）A . 原命题真，逆命题假B . 原命题假，逆命题真C . 原命题与逆命题均为真命题D . 原命题与逆命题均为假命题2. （2分）已知在区间[-1,1]上是增函数，实数a组成集合A；设关于x的方程的两个非零实根x1,x2实数m使得不等式使得对任意及恒成立，则m的解集是（）A .B .C . (-2.5,2.5)D . (-2,2)3. （2分） (2018高二上·中山期末) 设是实数，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）设平面向量，，则（）A .B .C .D .5. （2分）若等比数列的首项为1，公比为，前n项和为，则（）A .B .C .D .6. （2分） x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A . 或﹣1B . 2或C . 2或1D . 2或﹣17. （2分）已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且，则等于（）A . 1B . 2C . 4D . 88. （2分）抛物线的焦点坐标是（）A .B .C .D .9. （2分）设a，b，c为三角形ABC三边，a≠1，b＜c，若logc+ba+logc﹣ba=2logc+balog c﹣ba，则三角形ABC的形状为（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 无法确定10. （2分）(2020·长沙模拟) 设点、均在双曲线上运动，、是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（）A .B . 4C .D . 以上都不对二、填空题 (共3题；共3分)11. （1分）化简结果是________．12. （1分） (2017高一上·如东月考) 已知向量，若，则实数________.13. （1分）等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于________．三、解答题 (共6题；共60分)14. （5分）已知命题P：函数y=loga（1﹣2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．15. （10分）在△ABC中，已知tanAtanB= ，（1）求tanC的取值范围；（2）若△ABC边AB上的高CD=2．求△ABC面积S的最小值．16. （10分） (2018高二上·凌源期末) 在数列中，，， .（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.17. （10分） (2016高一下·榆社期中) 已知向量、满足：| |=1，| |=4，且、的夹角为60°．（1）求（2 ﹣）•（ + ）；（2）若（ + ）⊥（λ ﹣2 ），求λ的值．18. （10分） (2019高二上·河南期中) 已知数列满足，．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）记，为数列的前项和，若对任意的正整数都成立，求实数的最小值．19. （15分） (2016高二下·衡水期中) 已知椭圆M：： + =1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（1）求椭圆方程；（2）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（3）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共3题；共3分)11-1、12-1、13-1、三、解答题 (共6题；共60分)14-1、答案：略15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、。
江西省抚州市2019年数学高二年级上学期期末学业水平测试试题
江西省抚州市2019年数学高二年级上学期期末学业水平测试试题一、选择题1．若点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为( )A.79B.13C.79或13D.79-或13-2．抛物线的准线方程是A．B．C．D．3．曲线在（其中为自然对数的底数）处的切线方程为（）A．B．C．D．4．已知函数()2lnf x ax x=，(0,)x∈+∞，其中a为实数，'()f x为()f x的导函数.若'(1)4f=，则a 的值为( )A.4B.3C.2D.15．随机变量()~1,4X N，若()20.2p x≥=，则()01p x≤≤为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.66．在△ABC中，60A∠=︒，2AB=，且△ABC的面积ABCS∆=，则边BC的长为（）B.3 D.77．利用秦九韶算法求532()1f x x x x x=++++当3x=时的值为A.121B.321C.283D.2398．设a，b，c是空间的三条直线，给出以下三个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；②若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面；③若a∥b，b∥c，则a∥c．其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.39．已知函数()cos23f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()y f x=的图象向右平移6π后得到函数()y g x=的图象，则下列描述正确的是（）A.(,0)2π是函数()y g x=的一个对称中心B.512xπ=是函数()y g x=的一条对称轴C.5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y g x=的一个对称中心D.2xπ=是函数()y g x=的一条对称轴10．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是（）A．35B．45C．23D．5611．已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线:340l x y-=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．3(0,]4C ．D ．3[,1)412．已知集合{}13A x R x =∈-≤≤，{}22B x R x =∈-≤≤，则AB ＝（ ）A ．{}23x x -≤≤B ．{}12x x -≤≤C ．{}0,1,2D ．{}1,2二、填空题13．设A =，B =A __________B （填入“>”或“<”）．14．已知ABC ∆的面积为A,B,C 成等差数列，则BA BC ⋅=____．15．双曲线2221(0)x y a a-=>的右焦点为F ，左、右顶点为A 、B ，过F 作AB 的垂线与双曲线交于M 、N 两点，若AM BN ⊥，则该双曲线的渐近线为_____________．16．若二项式6x⎛+ ⎝展开式的常数项为15，则实数m 的值为__________．三、解答题17．已知曲线C 的极坐标方程是,以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是，（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）求直线与曲线上点的最远距离.18．的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若，，．（1）求c 的值；（2）求的面积．19．一条光线从点射出,经轴反射后与圆相交于点,且,求反射光线所在的直线方程.20．如图，在圆内画1条线段，将圆分割成两部分；画2条相交线段，彼此分割成4条线段，将圆分割成4部分；画3条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分.那么（1）在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？ （2）猜想：圆内两两相交的n 条线段，彼此最多分割成多少条线段？ （3）猜想：在圆内画n 条线段，两两相交，将圆最多分割成多少部分？ 并用数学归纳法证明你所得到的猜想.21．已知圆，某抛物线的顶点为原点，焦点为圆心，经过点的直线交圆于，两点，交此抛物线于，两点，其中，在第一象限，，在第二象限.(1)求该抛物线的方程； (2)是否存在直线，使是与的等差中项？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.22．求焦点在直线20x y -+=的抛物线的标准方程． 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、选择题13．>. 14．8 15．y x =± 16．±1 三、解答题 17．(1) ．(2)【解析】分析：（1）利用极坐标与直角坐标之间的关系，借助于代入上式，求得曲线的直角坐标方程；（2）利用点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离，利用圆上的点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上圆的半径，求得结果. 详解：（1）由，得的直角坐标方程为．（2）根据题意，直线的普通方程为，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的距离的最大值为.点睛：该题考查的是有关参数方程与极坐标的问题，涉及到的知识点有极坐标与直角坐标的转换关系，圆上的点到直线的距离的最值问题，点到直线的距离公式，正确使用公式是解题的关键. 18．（1）；（2）【解析】 【分析】（1）由正弦定理及，得，再代入角A 的余弦定理，求得。
2018-2019学年江西省抚州市七校高三(上)10月联考数学试卷试题及答案(理科)
2018-2019学年江西省抚州市七校高三（上）10月联考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知集合，＜，则∁A B＝（）A．{0，4}B．（0，4]C．[0，4]D．（0，4）2．过点（2，1）且与直线3x﹣2y＝0垂直的直线方程为（）A．2x﹣3y﹣1＝0B．2x+3y﹣7＝0C．3x﹣2y﹣4＝0D．3x+2y﹣8＝0 3．若函数f（x）的定义域为[1，8]，则函数的定义域为（）A．（0，3）B．[1，3）∪（3，8]C．[1，3）D．[0，3）4．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＞0，，那么a n＜32成立的n的最大值为（）A．4B．5C．6D．75．若命题“∃x0∈R，x02+2mx0+m+2＜0”为假命题，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2）6．将函数y＝sin（3x+φ）的图象向左平移个单位长度后，得到函数f（x）的图象，则”是f （x）是偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必婴不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条仲7．函数f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．8．已知数列{a n}满足，，则a41＝（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．9．已知a＞b＞1，a b＝b a，lna＝4lnb，则（）A．．B．．2C．D．．.410．在斜△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A+b sin B﹣c sin C＝4b sin B cos C，CD是角C的角平分线，且CD＝b，则cos C＝（）A．B．C．D．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝a2＝1，S n＝a n+2﹣1，则下列命题错误的是（）A．a n+2＝a n+1+a nB．a1+a3+a5+…+a99＝a100C．a2+a4+a6+…+a98＝a99D．S1+S2+S3+…+S98＝S100﹣10012．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若2f（x）+f′（x）＞2，f（0）＝5，则不等式f （x）﹣4e﹣2x＞1的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（1，+∞）二、填空题：本大题共4小題，毎小题5分，共20分．将答案填在答题卡中的横线上13．在△OAB中，点C满足，，则y﹣x＝．14．已知，则．15．若对任意的x∈[a，a+2]，均有（3x+a）3≤8x3，则a的取值范围是．16．已知关于x的方程kx﹣1＝cos x（k＞0）恰好有两个不同解，其中α为方程中较大的解，则．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，17．已知函数＞，＜的图象相邻两个对称轴之间的距离为，且f（x）的图象与y＝sin x的图象有一个横坐标为的交点（1）求f（x）的解析式（2）当∈，时，求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的值18．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）若b，C＝120°，求△ABC的面积S（2）若b：c＝2：3，求19．设单调递增的等比数列{a n}的前项和为S n，已知S3＝13，（1）求数列{a n}的通项公式（2）若b n＝4log3a n+2，求数列的前n项和T n20．设函数f（x）x2﹣mx．（1）若f（x）在（0，+∞）上存在单调递减区间，求m的取值范围；（2）若x＝﹣1是函数的极值点，求函数f（x）在[0，5]上的最小值．21．已知圆M与直线相切于点，，圆心M在x轴上（1）求圆M的方程；（2）过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB分别与直线x＝8相交于C，D两点，记△OAB，△OCD的面积分别是S1、S2．求的取值范围22．已知函数f（x）＝x a﹣lnx，其中a≠0．（1）讨论函数f（x）的单调性（2）已知g（x）＝f（e x），A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是函数g（x）图象上的两点．证明；存在x0∈（x1，x2），使得2018-2019学年江西省抚州市七校高三（上）10月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知集合，＜，则∁A B＝（）A．{0，4}B．（0，4]C．[0，4]D．（0，4）【解答】解：A＝{x|x≤4}，B＝{x|x＜0}∴∁A B＝{x|0≤x≤4}＝[0，4]．故选：C．2．过点（2，1）且与直线3x﹣2y＝0垂直的直线方程为（）A．2x﹣3y﹣1＝0B．2x+3y﹣7＝0C．3x﹣2y﹣4＝0D．3x+2y﹣8＝0【解答】解：设过点（2，1）且与直线3x﹣2y＝0垂直的直线方程为2x+3y+m＝0，把点（2，1）代入可得：4+3+m＝0，解得m＝﹣7．∴要求的直线方程为：2x+3y﹣7＝0，故选：B．3．若函数f（x）的定义域为[1，8]，则函数的定义域为（）A．（0，3）B．[1，3）∪（3，8]C．[1，3）D．[0，3）【解答】解：∵f（x）的定义域为[1，8]，∴要使有意义，则，解得0≤x＜3，∴函数的定义域为[0，3）．故选：D．4．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＞0，，那么a n＜32成立的n的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：数列{a n}满足a1＝1，a n＞0，，所以：数列{}是以1为首项1为公差的等差数列．所以（首项符合通项），故：，所以：，所以：a n＜32，整理得n2＜32，所以：n的最大值为5，故选：B．5．若命题“∃x0∈R，x02+2mx0+m+2＜0”为假命题，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2）【解答】解：∵命题：“∃x0∈R，使得x02+2mx0+m+2＜0”为假命题，∴命题的否定是：“∀x∈R，x2+2mx+m+2≥0”为真命题，∴△≤0，即4m2﹣4（m+2）≤0，解得﹣1≤m≤2．∴实数m的取值范围是[﹣1，2]．故选：C．6．将函数y＝sin（3x+φ）的图象向左平移个单位长度后，得到函数f（x）的图象，则”是f （x）是偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必婴不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条仲【解答】解：由条件，将函数y＝sin（3x+φ）的图象向左平移个单位长度后，得到f（x），则φ 时，f（x）cos3x，此时f（x）是偶函数∴“”推出“f（x）是偶函数”；反之，f（x）是偶函数时，则φ可以是φ 2kπ，k∈Z，∴“f（x）是偶函数”推不出“”；故“”是“f（x）是偶函数”的充分不必要条件．故选：A．7．函数f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：因为f（﹣x）f（x），所以f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，所以排除A、B，又x＞2时，f（x）＞0，所以排除C．故选：D．8．已知数列{a n}满足，，则a41＝（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．【解答】解：数列{a n}满足，，所以，整理得，，…，，所有的上式相加得：，则，所以．故选：C．9．已知a＞b＞1，a b＝b a，lna＝4lnb，则（）A．．B．．2C．D．．.4【解答】解：∵a＞b＞1，lna＝4lnb，∴lna＝lnb4；∴a＝b4；∵a b＝b a，∴b4b＝b a，∴4b＝a，∴4．故选：D．10．在斜△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A+b sin B﹣c sin C＝4b sin B cos C，CD是角C的角平分线，且CD＝b，则cos C＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵a sin A+b sin B﹣c sin C＝4b sin B cos C，∴由正弦定理得a2+b2﹣c2＝4b2cos C＝4b2•，即1，则a＝2b，∵CD是角C的角平分线，且CD＝b，∴由三角形的面积公式得S△ACD+S△BCD＝S△ABC，即b•b sin a•b sin a•b sin C，即b2sin2b2sin2b2•2sin cos，即1+2＝4cos，即cos，即cos C＝2cos21＝2×（）2﹣1＝21，故选：B．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝a2＝1，S n＝a n+2﹣1，则下列命题错误的是（）A．a n+2＝a n+1+a nB．a1+a3+a5+…+a99＝a100C．a2+a4+a6+…+a98＝a99D．S1+S2+S3+…+S98＝S100﹣100【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝a2＝1，S n＝a n+2﹣1①，所以当n≥2时，S n﹣1＝a n+1﹣1②，①﹣②得a n＝S n﹣S n﹣1＝a n+2﹣a n+1，即a n+2＝a n+1+a n，故A正确．所以a100＝a99+a98，a98＝a97+a96，a96＝a95+a94，…，a4＝a3+a2＝a3+a1，故：a100＝a99+a97+a95+…+a3+a1．故B正确．S1+S2+S3+…+S98＝（a3﹣1）+（a4﹣1）+（a5﹣1）+…+（a100﹣1），＝（a1+a2+a3+…+a100）﹣a1﹣a2﹣98，＝S100﹣100．故D正确．故选：C．12．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若2f（x）+f′（x）＞2，f（0）＝5，则不等式f （x）﹣4e﹣2x＞1的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：设函数g（x）＝e2x f（x）﹣e2x﹣4，则g′（x）＝2e2x f（x）+e2x f′（x）﹣2e2x；＝e2x（2f（x）+f′（x）﹣2）由条件可知，g′（x）＞0在R上恒成立；则g（x）在R上单调递增；又f（0）＝5，则g（0）＝0；由不等式f（x）﹣4e﹣2x＞1有，e2x f（x）﹣e2x﹣4＞0；即g（x）＞0，由g（x）在R上单调递增，则x＞0；故选：A．二、填空题：本大题共4小題，毎小题5分，共20分．将答案填在答题卡中的横线上13．在△OAB中，点C满足，，则y﹣x＝．【解答】解：由题可得，又因为，所以x，y，所以y﹣x（）．故答案为：．14．已知，则．【解答】解：已知，则，故答案为：．15．若对任意的x∈[a，a+2]，均有（3x+a）3≤8x3，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【解答】解：对任意的x∈[a，a+2]，均有（3x+a）3≤8x3，则3x+a≤2x，即a≤﹣x恒成立．∵函数y＝﹣x为减函数，所以当x＝a+2时，函数y＝﹣x取到最小值为﹣a﹣2，∴a≤﹣a﹣2，∴a≤﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1]．16．已知关于x的方程kx﹣1＝cos x（k＞0）恰好有两个不同解，其中α为方程中较大的解，则﹣1．【解答】解：由题意可得，函数y＝kx﹣1（k＞0）与y＝cos x恰好有两个不同交点；由图象可得，直线必与曲线相切于一点，又因为k＞0，所以直线必与曲线相切于较大的根对应的点；由导数的几何意义知，（cos x）'＝﹣sin x，k＝﹣sinα；且kα﹣1＝cosα；故k＝﹣sinα ，∴α ；∴αtan•1；故答案为：﹣1．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，17．已知函数＞，＜的图象相邻两个对称轴之间的距离为，且f（x）的图象与y＝sin x的图象有一个横坐标为的交点（1）求f（x）的解析式（2）当∈，时，求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的值【解答】解：（1）数＞，＜的图象相邻两个对称轴之间的距离为，所以：函数的周期T＝π，故ω＝2．且f（x）的图象与y＝sin x的图象有一个横坐标为的交点所以 φ）＝sin，且＜，解得φ ．所以f（x）＝cos（2x）．（2）由于∈，，所以∈，，所以当时，即函数的最小值为﹣1．18．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）若b，C＝120°，求△ABC的面积S（2）若b：c＝2：3，求【解答】解：（1）由正弦定理知，c sin B＝b sin C；由2a sin C c sin B，得2a sin C b sin C，故2a b，∵b，∴a＝6；又C＝120°，△ABC的面积S18，故△ABC的面积S为18．（2）由2a，b：c＝2：3，∴，∴，2cos A；；∴2cos A1．故．19．设单调递增的等比数列{a n}的前项和为S n，已知S3＝13，（1）求数列{a n}的通项公式（2）若b n＝4log3a n+2，求数列的前n项和T n【解答】解：（1）单调递增的等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，由S3＝13，，可得a1+a1q+a1q2＝13，且（1），由1+q+q2＞0，可得a1＞0，q＞1，解得q＝3，a1＝1，则a n＝3n﹣1；（2）b n＝4log3a n+2＝4log33n﹣1+2＝4n﹣2，（），则前n项和T n（1）（1）．20．设函数f（x）x2﹣mx．（1）若f（x）在（0，+∞）上存在单调递减区间，求m的取值范围；（2）若x＝﹣1是函数的极值点，求函数f（x）在[0，5]上的最小值．【解答】解：（1）f′（x）＝x2﹣2x﹣m，由题意得f′（x）＝x2﹣2x﹣m＜0在（0，+∞）上有解，故m＞x2﹣2x，则m＞﹣1，故m的范围是（﹣1，+∞）；（2）∵f′（﹣1）＝1+2﹣m＝0，解得：m＝3，故f′（x）＝x2﹣2x﹣3，令f′（x）＝0，解得：x＝﹣1或x＝3，故x∈（0，3）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减，x∈（3，5）时，f′（x）＞0，函数f（x）递增，故f（x）在[0，5]的最小值是f（3）＝﹣9．21．已知圆M与直线相切于点，，圆心M在x轴上（1）求圆M的方程；（2）过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB分别与直线x＝8相交于C，D两点，记△OAB，△OCD的面积分别是S1、S2．求的取值范围【解答】解：（1）由题可知，设圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，则，解得a＝4，r＝4，所以圆的方程为（x﹣4）2+y2＝16．（2）由题意知，∠AOB，设直线OA的斜率为k（k≠0），则直线OA的方程为y＝kx，由，得（1+k2）x2﹣8x＝0，解得或，则点A的坐标为（，），又直线OB的斜率为，同理可得点B的坐标为（，），由题可知，C（8，8k），D（8，），因此，又，同理，所以，当且仅当|k|＝1时取等，又＞0，所以的取值范围是（0，]．22．已知函数f（x）＝x a﹣lnx，其中a≠0．（1）讨论函数f（x）的单调性（2）已知g（x）＝f（e x），A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是函数g（x）图象上的两点．证明；存在x0∈（x1，x2），使得【解答】（1）解：∵f（x）＝x a﹣lnx（x＞0）；∴；当a＜0时，f′（x）＜0恒成立；∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，令f′（x）＝0，解得；当x∈ ，时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈ ，时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（2）证明：g（x）＝f（e x）＝e ax﹣x，g′（x）＝ae ax﹣1；令；则；；令F（t）＝e t﹣t﹣1，则F′（t）＝e t﹣1；当t＜0时，F′（t）＜0，F（t）单调递减；当t＞0时，F′（t）＞0，F（t）单调递增；∴当t≠0时，F（t）＞F（0）＝0，即e t﹣t﹣1＞0；∴＞，＞；又＞，＞；∴h（x1）＜0，h（x2）＞0；∵函数y＝h（x）在区间[x1，x2]上的图象是连续不断的一条曲线；∴存在x0∈（x1，x2），使得h（x0）＝0；即存在x0∈（x1，x2），使得．。
江西省抚州市高二上学期期末数学试卷(理科)
江西省抚州市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·黄陵期末) 下列命题中的假命题是（）A . 任意x∈R，x3＞0B . 存在x∈R，sin x＝0C . 存在x∈R，lg x＝1D . 任意x∈R，2x＞02. （2分） (2018高二上·巴彦期中) 已知是椭圆上一定点，是椭圆两个焦点，若，，则椭圆离心率为（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高三上·吉林月考) 下列命题中，为真命题的是（）A . ,使得B .C .D . 若命题P：，使得，则：，都有4. （2分） (2015高二下·铜陵期中) 抛物线y=﹣的焦点坐标是（）A .B .C . （﹣2，0）D . （0，﹣2）5. （2分） (2020高二下·泸县月考) 命题“ ”的否定是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高二上·庐阳月考) 直三棱柱，中，，，．则异面直线与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·嘉祥模拟) 已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分）“”是“”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充分必要条件D . 既非充分又非必要条件9. （2分）已知平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=(2，4)，=(1，3)，则=（）A . 8B . 6C . 6D . 810. （2分）若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（）A .B . 5C .D . 211. （2分）(2018·杨浦模拟) 已知长方体的表面积为，棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大值为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·揭阳模拟) 已知曲线﹣ =1右焦点为F，P为双曲线左支点上一点，点A（0，），则△APF周长的最小值为（）A . 4（1+ ）B . 4+C . 2（ + ）D . +3二、填空题：. (共4题；共4分)13. （1分）已知=(-3,2.1),=(-1,0,4)，则向量与﹣λ垂直的充要条件是λ=________14. （1分）如图所示，椭圆 + =1（a＞b＞0）与过点A（2，0）、B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e= ，则椭圆方程是________．15. （1分）(2017·丰台模拟) 双曲线的焦点坐标是________．16. （1分）(2016·江苏模拟) 若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (共4题；共35分)17. （10分） (2019高二下·南昌期末) 设函数的定义域为，函数，的值域为．（1）当时，求；（2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数的取值范围．18. （10分） (2019高二上·北京期中) 已知椭圆的长轴长为4，左､右顶点分别为 .经过点的在直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.（1）求椭圆方程､离心率及短轴长；（2）当直线轴时，求四边形的面积.19. （10分） (2019高二下·上海期末) 已知点是双曲线上的点．（1）记双曲线的两个焦点为，若，求点P到x轴的距离；（2）已知点M的坐标为，Q是点P关于原点的对称点，记，求的取值范围．20. （5分）如图，在四棱锥ABCD﹣PGFE中，底面ABCD是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA=1．（Ⅰ）求PD与BC所成角的大小；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC；（Ⅲ）求二面角A﹣PC﹣D的大小．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (共12题；共24分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题：. (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (共4题；共35分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、。
2019学年江西省高二上期末理科数学试卷【含答案及解析】
2019学年江西省高二上期末理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知实数，，则“ ”是“ ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 下面关于复数的四个命题：，，的共轭复数为，在复平面内对应点位于第四象限．其中真命题为（）A ．、______________B ．、______________C ．、____________________ D ．、3. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市．有超级可判断乙去过的城市为（）A ．____________________B ．____________________C ．______________________________ D ．不确定4. 一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为的正方形，如图所示，则原平面图形的面积为（）A ．______________B ．________________________C ．______________ D ．5. 已知与之间的一组数据如下表：则关于的线性回归直线必过（）A ．点______________B ．点____________________C ．点______________ D ．点6. 椭圆以轴和轴为对称轴，经过点，长轴长是短轴长的倍，则椭圆的方程为（）A．B ．___________C．或________________________D ．或7. 若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（）A． B． C． D．8. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则判断框内的取值范围是（）A ．_________B ．______________C ．______________D ．9. 已知两条不重合的直线和两个不重合的平面、，有下列命题：①若，，则；②若，，，则；③若是两条异面直线，，，，则；④若，，，，则．其中正确命题的个数是（）A． B． C． D．10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．______________B ．______________C ．______________ D ．11. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为，体积为，则这个球的表面积是（）A． B． C． D．12. 定义一种运算“ ”：对于自然数满足以下运算性质：（1），（2），则等于（）A ．______________B ．____________________C ．______________D ．二、填空题13. “设的两边，互相垂直，则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，在立体几何中，可得类似的结论是“设三棱锥中三边、、两两互相垂直，则___________” ．14. ①命题“存在”的否定是“不存在”②若是纯虚数，则______________③若，则或④以直角三角形的一边为旋转轴，旋转一周所得的旋转体是圆锥以上正确命题的序号是________ ．15. 在棱长为的正方体中，在正方体内随机取一点，则点到点的距离大于的概率为________ ．16. 椭圆的左右焦点为，，椭圆上恰有个不同点，使为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是_______ ．三、解答题17. 为何实数时，复数是：（ 1 ）虚数；（2）若，求．18. 设命题：实数满足，其中，命题：实数满足（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．19. 对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）求出表中，及图中的值；（2）若该校高二学生有人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于次的学生中任选人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率．20. 对喜欢数学课程是否与性别有关系进行问卷调查，将调查所得数据绘制成二堆条形图，如图所示．根据图中相关数据完成以下列联表，并计算有多大把握认为性别与是否喜欢数学课程有关系？从该班喜欢数学的女生中随机选取人，参加学校数学兴趣课程班，已知该班女生喜欢数学课程，求女生被选中的概率．参考数据与公式：由列联表中数据计算，临界值表：21. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，，，点、、分别为棱、、的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积．22. 已知椭圆的点到左、右两焦点，的距离之和为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线交椭圆于、两点：①若轴上一点满足，求直线斜率的值；②是否存在这样的直线，使得的最大值为（其中为坐标原点）？若存在，求直线方程；若不存在，说明理由．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
江西省2018--19年高二会考[数学]考试真题与答案
江西省2018--19年高二会考[数学]考试真题与答案一、选择题1.下面四个命题中正确命题的个数是（）①；②任何一个集合必有两个或两个以上的子集；③空集没有子集；④空集是任何一个集合的子集。
A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B答案解析：①是不含有任何元素的集合，含有元素０，故错误；②含有个元素的集合共有个子集，而，故错误；③空集是它本身的子集，故错误；④空集是任何一个集合的子集，故正确．2.下列表示图书借阅的流程正确的是（ ）A．入库阅览借书找书出库还书B．入库找书阅览借书出库还书C．入库阅览借书找书还书出库D．入库找书阅览借书还书出库答案：B答案解析：流程图是由图形符号和文字说明构成的图示，流程图可以用来表示一些动态过程，它可直观、明确的表示动态过程的开始到结束的全部步骤。
在绘制流程图之前，要弄清实际问题的解决步骤和事物发展的过程。
可以按以下步骤：①将实际问题的过程划分为若干个步骤；②理清各部分之间的顺序关系；③用简洁的语言表述各步骤；④绘制流程图，并检查是否符合实际问题。
本题是一个图书借阅的流程，把借书的过程分为以上6个步骤，正确的顺序为B选项。
3.已知向量，，且，那么等于（）A．B．C．D．答案：A答案解析：因为，所以，所以，所以，解得，所以，选答案A.4.与圆都相切的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条答案：A答案解析：两圆方程配方得：，，∴圆心距=,∴圆和圆相内切，所以与两圆都相切的直线有1条.5.下面是2×2 列联表y1y2合计x1a2173x222527合计b46100则表中a 、b处的值分别为（）A．94 、96 B．52 、50 C．52 、54 D．54 、52答案：C答案解析：根据列联表可知四个变量之间的关系，在每一行中，前两个数字的和等于最后一个数字，在每一列中，前两个数字的和等于最后一个数字，根据这种关系得到结果解：根据列联表可知，∵a+21=73，∴a=52．又∵a+2=b，∴b=54．故答案为C6.设为虚数单位，则复数的虚部为（）A．－4B．－4i C．4D．4i答案：A答案解析：∵，其虚部为-4，∴复数的虚部为-4，故选A7.函数有（）A．极小值-1，极大值1B．极小值-2，极大值3C．极小值-1，极大值3D．极小值-2，极大值2答案：C答案解析：∵，∴，令得，令得，令得，根据极值的概念知，当时，函数y有极大值3，当时，函数y有极小值-1，故选C8.函数y=xlnx在区间（0，1）上是（）A．单调增函数B．单调减函数C．在(0,)上是减函数，在(,1)上是增函数D．在(0,)上是增函数，在(,1)上是减函数答案：C答案解析：因为y=xlnx，所以由>0，得，；由<0,得，，即函数在(0,)上是减函数，在(,1)上是增函数，故选C。
江西省抚州市七校2018届高三上学期联考理数试题 含解
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合{}|6M x N x =∈<，{}2|11180N x x x =-+<，则M N 等于（ ）A ．{}3,4,5B ．{}|26x x <<C ．{}|35x x ≤≤D ．{}2,3,4,5 【答案】A 【解析】试题分析:由题意得{}5,4,3,2,1,0=M ，{}92<<=x x N ，故{}5,4,3=N M ，故选A. 考点：（1）一元二次不等式的解；（2）集合的运算.2.A ，B ，C 三个学生参加了一次考试，A ，B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．在下列四个命题中，为p 的逆否命题的是（ ）A ．若及格分不低于70分，则A ，B ，C 都及格 B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分 C ．若A ，B ，C 至少有1人及格，则及格分不低于70分D ．若A ，B ，C 至少有1人及格，则及格分高于70分 【答案】C【解析】考点：原命题与逆否命题. 3.设1()()2x xf xg x tdt ++=⎰，x R ∈，若函数()f x 为奇函数，则()g x 的解析式可以为（ ）A ．3x B ．1x + C ．cos x D ．xxe 【答案】B试题分析：()()()121222112+=-+===+++⎰x x x t tdt x g x f x xx x，则()()x g x x f -+=12，代入()1+=x x g ，得()x x f =为奇函数，满足题意，故选B. 考点：（1）函数的奇偶性；（2）定积分的计算.4.在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2cos cos b A a B c +=，2a b ==， 则△ABC 的周长为（ ）A ．7.5B ．7C ．6D ．5 【答案】D 【解析】试题分析：由正弦定理得C c B A A B sin cos sin cos sin =+，即C c C sin sin =得1=c ，故ABC ∆的周长为5122=++=++c b a ，故选D.考点：正弦定理.5.在正项等差数列{}n a 中，21592a a a =-，且56718a a a ++=，则（ ） A ．1a ，2a ，3a 成等比数列 B ．4a ，6a ，9a 成等比数列 C ．3a ，4a ，8a 成等比数列 D ．2a ，3a ，5a 成等比数列【答案】B 【解析】考点：（1）等差数列的性质；（2）等比数列的性质. 6.若1sin()63x π+=，则tan(2)3x π+=（ ）A ．79 B ．79± CD ．±【答案】D试题分析：由316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ，得322)6sin(16cos ±=+-±=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππx x ，故 tan 2tan 236x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22tan 61-tan 6x x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D. 考点：（1）两角和的正弦；（2）三角恒等式.7.在Rt △AOB 中，0OA OB ⋅=，||OA =||OB =AB 边上的高线为OD ，点E位于线段OD 上，若34OE EA ⋅= ，则向量EA在向量OD 上的投影为（ ）A ．32B ．1C ．1或12D ．12或32【答案】D 【解析】考点：向量的数量积.8.已知函数()f x 与'()f x 的图象如下图所示，则函数()()x f x g x e=的递减区间（ ）A ．(0,4)B ．(,1)-∞，4(,4)3 C ．4(0,)3D ．(0,1)，(4,)+∞【答案】D 【解析】 试题分析：()()()()()()xx xx ex f x f e e x f e x f x g -'=-'='2，令()0<'x g 即()()0<-'x f x f ，由图可得()()+∞∈,41,0 x ，故函数单调减区间为()()0,1,4,+∞，故选D. 考点：利用导数研究函数的单调性. 9.将函数()2sin(2)6f x x π=+的图象向左平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图象．若12()()9g x g x =，且1x ，[]22,2x ππ∈-，则122x x -的最大值为（ ） A ．4912π B ．356π C ．256πD ．174π 【答案】A 【解析】考点：三角函数的性质.10.若数列{}n a 满足11(23)(25)(23)(25)lg(1)n n n a n a n n n++-+=+++，且15a =，则数列23n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的第100项为（ ） A ．2 B ．3 C ．1lg99+ D ．2lg99+ 【答案】B 【解析】考点：数列递推式.【方法点晴】本题主要考查了通过数列递推式，构造特殊数列求数列的通项公式，解决该题的关键是寻找式子的特征，在递推式两边同时除以()()5232++n n ，难度中档；在求数列的通项公式中，形如()n f a a n n =-，用累加法求通项公式，即11221a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=-- ；形如()n g a a n n=-1时，利用累乘法求其通项，即112211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=--- ，在该题中利用累加法.11.已知函数()25x f x =-，2()4g x x x =-，给出下列3个命题：1p ：若x R ∈，则()()f x f x -的最大值为16．2p :不等式()()f x g x <的解集为集合{}|13x x -<<的真子集．3p :当0a >时，若1x ∀，2x [],2a a ∈+，12()()f x g x ≥恒成立，则3a ≥．那么，这3个命题中所有的真命题是（ ）A ．1p 、2p 、3pB ．2p 、3pC ．1p 、2pD ．1p 【答案】A 【解析】 试题分析：由()52-=x x f 得()52-=--x x f ，故()()()()()252526522x xxxfx f x --⋅-=--=-+265216≤-⋅=，当且仅当x x -=22，即0=x 时取等号，故其最大值为16，即1p 为真；如图所示作出()()225,4xf xg x x x =-=-的简图，且()()11-<-g f 由图可知不等式()()f x g x <的解集为集合{}|13x x -<<的真子集，即2p 为真；要使[]()()1212,,2,x x aa f x g x∀∈+≥恒成立，只需()()max min x g x f ≥即可，通过观察图象可知3a ≥，即3p 正确，故选A.考点：（1）基本不等式；（2）恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查了函数的解析式以及利用基本不等式求函数最值问题，同时还考查了数形结合在函数中的重要性，画出函数()x f 、()x g 的简图是判断2p 、3p 正确性的关键所在；对于1p 代入()x f -的解析式结合基本不等式可直接得到最大值；要使不等式()()f x g x <成立，即()x f y =的图象始终在()x g y =图象的下方；[]()()1212,,2,x x a a f x g x ∀∈+≥恒成立，即在给定区间内()x f y =的最低点不低于()x g y =的最高点.12.已知函数2,0,()1,0,x x a x f x x x⎧++<⎪=⎨->⎪⎩的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,)4-∞B ．(2,)+∞C ．1(2,)4- D ．1(,2)(,)4-∞+∞ 【答案】C 【解析】考点：利用导数研究曲线上某点处的切线方程.【方法点晴】本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法．先根据导数的几何意义写出函数()x f 在点A 、B 处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出a 的表达式，构造()412214124+--=t t t t h ，（10<<t ），最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a 的取值范围．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.sin 63cos18cos63cos108︒︒+︒︒= ．【答案】2【解析】 试题分析：原式()2245sin 18sin 63cos 18cos 63sin 1890cos 63cos 18cos 63sin ==-=++= ，故答案为2. 考点：（1）诱导公式；（2）两角差的正弦. 14.设函数621log ,4,()(),4,x x f x f x x +≥⎧=⎨<⎩则(3)(4)f f += ．【答案】4 【解析】考点：分段函数的值.15.在△ABC 中，D 为线段BC 上一点（不能与端点重合），3ACB π∠=，AB =，3AC =，1BD =，则AD = ．【解析】试题分析：在ABC ∆，BCAC AB BC AC ⋅⋅-+=23cos 222π，化简得0232=+-BC BC ，得1=BC （舍去）2=BC ，1=-=∴BD BC CD ，在ACD ∆中721312192=⨯⨯⨯-+=AD ，则7=AD ，故答案为7.考点：余弦定理.16.在数列{}n a 及{}n b 中，1n n n a a b +=+，1n n n b a b +=+-11a =，11b =．设112()n n n nc a b =+，则数列{}n c 的前n 项和为 ． 【答案】224n +-【解析】考点：数列求和.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知0m ≠，向量(,3)a m m = ，向量(1,6)b m =+，集合{}2|()(2)0A x x m x m =-+-=．（1）判断“//a b ”是“||a”的什么条件；（2）设命题p ：若a b ⊥，则19m =-．命题q ：若集合A 的子集个数为2，则1m =．判断p q ∨，p q ∧，q ⌝的真假，并说明理由．【答案】（1）充分不必要条件；（2）q p ∨为真命题p q ∧为假命题q ⌝为真命题. 【解析】试题分析：（1）由a b ，得)1(36+=m m m 可得1=m 的值，由a = 1±=m ，故可得a b” 是“a = （2）先判断p 、q 的真假，然后判断复合命题的真假.试题解析：（1）若a b，则()631,1(0m m m m m =+∴==舍去），此时，()1,3,a a ==若a = 1m =±，故“a b” 是“a = .（2）若a b ⊥，则()1180,19(0m m m m m ++=∴=-=舍去),p ∴ 为真命题.由()()220x mx m -+-=得2x m=，或2x m =-，若集合A 的子集个数为2，则集合A 中只有1个元素，则22,1m m m =-∴=或2-，故q 为假命题p q ∴∨为真命题p q ∧为假命题q ⌝为真命题.考点：（1）充分条件、必要条件的判断；（2）复合命题的真假.【方法点睛】本题主要以向量平行、垂直的关系和真子集的个数为背景，考查了充分条件、必要条件的判断以及复合命题的真假的判断，注重了对基础的考查，难度不大；假设A 是条件，B 是结论；由A 可以推出B ，由B 不可以推出A ，则A 是B 的充分不必要条件(B A ⊆)；若由A 不可以推出B ，由B 可以推出A ，则A 是B 的必要不充分条件(A B ⊆)；q p ∨只要有一个为真即为真，q p ∧有一个为假即为假，q ⌝的真假性和q 相反.18.已知△ABC AB AC ⋅ ，且2AC =，3AB =．（1）求sin sin AB； （2）若点D 为AB 边上一点，且△ACD 与△ABC 的面积之比为1:3． （i ）求证：AB CD ⊥；（ii ）求△ACD 内切圆的半径r ． 【答案】（1）27；（2）（i ）证明见解析；（ii ）213-=r . 【解析】（2）（i ）∵△ACD 与△ABC 的面积之比为:1:3AD AB =，∴1AD =，由余弦定理得CD ，∴222AD CD AC +=，∴AD ⊥CD ，即AB ⊥CD ．（ii ）在Rt △ADC 中，2AD CD AC r +-==． 考点：（1）余弦定理；（2）三角形面积公式；（3）三角形内切圆.【方法点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合运用，以及三角形中的面积和三角形的内切圆的性质，是平面向量和解三角形的综合，比较注重基础，难度一般；首先将面积公式和向量数量积的公式同时代入可得A ，在三角形中已知两边及其夹角运用余弦定理解三角形，结合正弦定理baB A =sin sin 得所求；运用勾股定理证明垂直也是常用的一种手段. 19.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现这种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a （单位：万元）满足80P =+，11204Q a =+．设甲大棚的投入为x （单位：万元），每年能两个大棚的总收益为()f x （单位：万元）． （1）求(50)f 的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益()f x 最大？【答案】（1）5.277；（2）甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大, 且最大收益为282万元. 【解析】（2）()()118020012025044f x x x =+-+=-+,依题意得202018020020x x x ≥⎧⇒≤≤⎨-≥⎩,故()()1250201804f x x x =-+≤≤.令t ⎡=⎣,则()(221125028244f x t t =-++=--+,当t =即128x =时,()max 282f x =,所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大, 且最大收益为282万元. 考点：二次函数的应用.20.已知数列{}n a 的前n 项和21n n S n a =+-，且1a ，4a 是等比数列{}n b 的前两项，记n b 与1n b +之间包含的数列{}n a 的项数为n c ，如1b 与2b 之间包含{}n a 中的项为2a ，3a ，则12c =． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a c 的前n 项和．【答案】（1）21n a n =+，nn b 3=；（2）n n n n 2321--⋅+.【解析】（2）3n n b =，113n n b ++=，因为数列{}n a 是由连续的奇数组成的数列，而n b 和1n b +都是奇数，所以n b 与1n b +之间包含的奇数个数为1331312n nn +--=-，所以31n n c =-． (21)(31)(21)3(21)n n n n a c n n n =+-=+-+．设{}(21)3n n +的前n 项和为n T ， 123335373(21)3n n T n =⨯+⨯+⨯+++…，①2313 3353(21)3(21)3n n n T n n +=⨯+⨯++-++…,②①-②，得1193292(21)313n n n T n ++--=+⨯-+-123n n +=-⋅，则13n n T n +=⋅，所以数列{}n n a c 的前n 项和为1232n n n T S n n n +-=⋅--． 考点：（1）数列的通项公式；（2）数列求和.【方法点睛】本题主要考查的是等差、等比数列的定义和等差、等比数列的通项公式以及数列的前n 项和公式，注重对基础的考查，有一定难度；解题中，利用1--=n n n S S a 是数列中常见的恒等式，常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n b a c +=，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11+=n n a n ，错位相减法类似于n n n b a c ⋅=，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等；在该题中错位相减法和分组求和相结合.21.已知函数()()x f x x a e =+，其中a R ∈．（1）若曲线()y f x =在点(0,)A a 处的切线l 与直线|22|y a x =-平行，求l 的方程； （2）若[]1,2a ∀∈，函数()f x 在(,2)a b e -上为增函数，求证：232ae b e -≤<+．【答案】（1）43y x =+，4133y x =+；（2）证明见解析. 【解析】（2）由题意可得'()(1)0x f x x a e =++≥对(,2)ax b e ∈-恒成立，∵0xe >，∴10x a ++≥，即1x a ≥--对(,2)ax b e ∈-恒成立，∴1aa b e --≤-，即1ab e a ≥--对[]1,2a ∈恒成立，设()1a g a e a =--，[]1,2a ∈， 则'()10ag a e =->，∴()g a 在[]1,2上递增，∴2max ()(2)3g a g e ==-，∴23b e ≥-．又2a b e -<，∴232ae b e -≤<+．考点：（1）利用导数研究函数在某点处的切线；（2）利用导数研究函数的单调性. 【方法点睛】本题考查利用导数研究切线方程、函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，是一道基础题．切线与22y a x =-平行，由导数的几何意义以及直线平行时斜率间的关系可得()220-='a f ；将函数在某个区间内为增函数转化为在该区间内()0>'x f 恒成立，在该题中分离参数1ab e a ≥--对[]1,2a ∈恒成立，在转化为()max 1--≥a e b a 即可.22.记{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，如{max ={}2()max 1,2ln f x x x =-，2221()max ln ,()242g x x x x a x a a ⎧⎫=+-+-++⎨⎬⎩⎭．（1）设21()()3()(1)2h x f x x x =---，求函数()h x 在(0,1]上零点的个数； （2）试探讨是否存在实数(2,)a ∈-+∞，使得3()42g x x a <+对(2,)x a ∈++∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）2个；（2）存在，ln 21(,2]4-. 【解析】试题解析：（1）设2()12ln F x x x =--，22(1)(1)'()2x x F x x x x-+=-=， 令'()0F x >，得1x >，()F x 递增；令'()0F x <，得01x <<，()F x 递减．∴min ()(1)0F x F ==，∴()0F x ≥，即212ln x x -≥，∴2()1f x x =-．设21()3()(1)2G x x x =--，结合()f x 与()G x 在(0,1]上图象可知，这两个函数的图象在(0,1]上有两个交点，即()h x 在(0,1]上零点的个数为2．（ii ）若2(2)()0x x a +->对(2,)x a ∈++∞恒成立，则22a a +≥，∴[]1,2a ∈-．由（i ）及（ii ）得，ln 21(,2]4a -∈． 故存在实数(2,)a ∈-+∞，使得3()42g x x a <+对(2,)x a ∈++∞恒成立，且a 的取值范围为ln 21(,2]4-． 考点：（1）函数零点个数的判断；（2）利用导数研究函数的最值.。
2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题+答案
参考答案一、选择题，每小题5分，共60分.1-12、CDACD ACBBA BD二、填空题，每小题5分，共20分.13. 2 14. 85 15. 18 16. ②③ 三、解答题，共70分.17. 解：（Ⅰ）由题意知)5,8(),21,1(A D - ∴ k AD =2118215=+-………………………………3′ ∴ 直线AD 的方程为)8(215-=-x y ………………………5′ 即 x-2y+2=0 ………………………………6′（Ⅱ）由已知得 k BC =21)6(432-=---- ……………………………7′ ∴ k AE =2 ………………………………9′∴ 直线AE 的方程为y-5=2(x-8) ……………………………11′即 2x-y-11=0 ……………………………12′18. 解：（Ⅰ）6)108642(51=++++=x 10)5.475.91316(51=++++=y ………2′ 45.165)1006436164(3004556575232ˆ2-=⨯-++++-++++=b ………………………4′ 7.186)45.1(10ˆ=⨯--=a………………………5′ ∴ y 关于x 的回归直线方程为7.1845.1ˆ+-=x y……………………6′ （Ⅱ）由题意知 )2.1775.105.0(7.1845.12+--+-=x x x z=5.13.005.02++-x x ……………………9′∴ 3)05.0(23.0=-⨯-=x 时，z 最大. ∴ x=3时，销售利润取最大值. ……………………12′19. 解：（Ⅰ）如图 ………1′已知AO m m A PA O PO ⊥⊂⊥,,,ααα于交平面于 ……………………3′ 求证：PA m ⊥ ……………………………4′证明：PAO m AO m m PO m PO 平面又平面∵⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα PA m ⊥∴ ……………………………8′（Ⅱ）逆命题：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直. ………………………10′逆命题是真命题 ……………………………12′20. 解：（Ⅰ）由题意知，直线AB 的方程为y-2=k(x-0) 即y=kx+2 ……………………1′代入圆方程，整理得： 036)124()1(22=+-++x k x k ………………3′∵ A 、B 是不同两点， ∴ △=036)1(4)124(22>⋅+--k k ……………4′解得 043<<-k ∴ k 的取值范围为)0,43(- ……………………6′ （Ⅱ）∵ P （0,2）， Q （6,0） ∴ )2,6(-=PQ ……………………7′设 A(x 1，y 1) B(x 2，y 2), 由（Ⅰ）知2211412kk x x +-=+ ∴ 221212114124)(22k k x x k kx kx y y ++=++=+++=+ ∴ )14121412(22k k k k OB oA +++-=+， ……………………9′ 要OB OA +与PQ 共线，则221412214126k k k k +-⋅-=++⋅解得 43-=k ……………………11′ 由（Ⅰ）知)0,43(-∈k ∴ 不存在常数k ，使OB OA +与PQ 共线. ……………………12′21. 解：（Ⅰ）连接AC 交BD 于O ，连接EO∵ 正方形ABCD ，∴⇒⎭⎬⎫中点是中点是PC E AC O （Ⅱ）z y,x ,DP DC,DA,D 分别为为原点，射线以轴的正半轴建立直角坐标系设PD =DC=1,易知：D （0，0，0），A （1，0，0），C （0，1，0），B （1，1，0），P（0，0，1）∴ )1,1,1(),21,21,0(),21,21,0(--==PB DE E EFD PB EF PB DE PB PB DE 平面∵又⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥∴=⋅,0 ……………………7′ （Ⅲ）由（Ⅱ）可知：)0,0,1(),0,1,0(),1,1,1(-==--=BC AB PB设平面PAB 的法向量为m=（x,y,z ）,则⎩⎨⎧==+--00x y z y ∴x=z,y=0，取m =(1,0,1) ……………………9′ 同理可得平面PCB 的法向量n =(0,1,1)21221,cos =⋅>=<n m ∴ ︒60的夹角为与n m ……………………11′EDB PA EDB PA EDB EO PA EO 平面∥平面平面∥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂ ……………3′结合图形可知，二面角A —PB —C 为120° ……………………12′22. 解：（Ⅰ）区域D 如图……………………2′)1(01---=+=x y x y z 即连线的斜率与定点为动点)0,1(),(z -P y x ……………………4′∴ 2)1(002z =---=PB k 的最大值为 ……………………5′ （Ⅱ）由（Ⅰ）知A （2,0），B （0,2），C （4,4）设 △ABC 的外接圆方程为022=++++F Ey Dx y x 代入各点得⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++=++04432024024F E D F E F D ……………………7′ 解得： 314-==E D 316=F ∴ △ABC 的外接圆方程为0316********=+--+y x y x ………………10′。