布里渊区路径
布里渊区1
—— 简单立方格子 —— 第一布里渊区
2) 体心立方格子 —— 正格子基矢 —— 倒格子基矢
第一布里渊区 —— 边长
的面心立方格子
—— 第一布里渊区 原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体
—— 体心立方格子第一布里渊区各点的标记
3) 面心立方格子 —— 正格子基矢 —— 倒格子基矢
布里渊区和能带 —— 在k空间把原点和所 每个区域内 E ~ k 是连续变化的
而在这些区域的边界上能量E(k)发生突变 这些区域称为布里渊区
—— 布里渊区
简单立方晶格k空间的二维示意图
—— 属于同一个布里渊区的能级构成一个能带 —— 不同的布里渊区对应不同的能带 —— 每一个布里渊区的体积相同___倒格子原胞的体积 —— 每个能带的量子态数目 _____ 2N (计入自旋)
第一布里渊区 —— 边长
的体心立方格子
—— 第一布里渊区为原点和8个近邻格点连线的垂直平分 面围成的正八面体，和沿立方轴的6个次近邻格点连 线的垂直平分面割去八面体的六个角, 形成的14面体
面心立方格子 —— 第一布里渊区 —— 八个面是正六边形 —— 六个面是正四边形
布里渊区通俗理解
布里渊区通俗理解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述布里渊区是一个在物理和数学领域中具有重要意义的概念，它主要用来描述在给定条件下某一物体或物体集合的邻域。
布里渊区的概念源于法国物理学家亚历山大·布里渊的研究成果，他发现了一种描述物体在空间中的局部特性的方法。
布里渊区的概念不仅在物理学领域中被广泛应用，同时也在计算机图形学、材料科学、生物学等领域中具有重要作用。
在本文中，我们将深入探讨布里渊区的概念、应用以及重要性，希望能够对读者有所启发和帮助。
通过了解布里渊区的相关知识，我们可以更好地理解物体在空间中的局部结构和特性，为我们探索和应用这些知识提供了理论基础。
在日常生活中，布里渊区的概念也有着重要的意义，可以帮助我们更好地理解世界的复杂性，促进科学技术的发展和创新。
展望未来，布里渊区的研究和应用将会不断深化和拓展，为人类社会的进步和发展做出更大的贡献。
1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来讨论布里渊区的通俗理解。
在引言部分，我们将简要介绍布里渊区的概念、文章结构和撰写本文的目的。
在正文部分，我们将详细探讨布里渊区的概念，其在实际应用中的情况以及在各领域中的重要性。
最后，在结论部分，我们将总结布里渊区的作用，讨论其在日常生活中的意义，并展望未来布里渊区的发展方向。
通过这样的结构安排，读者可以系统地了解布里渊区的相关知识，并深入理解其在现实生活中的应用和意义。
1.3 目的2.正文2.1 布里渊区的概念布里渊区（英文名为Boulevard区）是一种在计算机科学领域中常用的概念，用于描述一种数据结构的布局方式。
布里渊区是指内存中的一段连续地址空间，通常用来存储程序代码、全局变量和静态变量。
在操作系统中，布里渊区还可以用于存放动态链接库和共享库的代码段和数据段。
布里渊区的特点是具有一定的大小和位置，可以在运行时被操作系统动态地分配和回收。
布里渊区的概念主要用于优化内存管理和提高程序的执行效率。
布里渊区图示
a 3 正格子原胞基矢 a1 = ai, a2 = i + aj 2 2 取单位矢量k垂直于i, j 则，a1，a2和k构成的体积 3 2 Ω= a 2
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
倒格子原胞的基矢为 2π (a2 × k ) 2π 2π b1 = i− j = Ω a 3a 2π (k × a1 ) 4π b2 = = j Ω 3a
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形状
—— 每个布 里渊区经过适 当的平移之后 和第一布里渊 区重合
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子的第一布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形状
—— 每个布里 渊区经过适当 的平移之后和 第一布里渊区 重合
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
平面正三角形，相邻原子间距为 求正格矢和倒格矢 求正格矢和倒格矢， 平面正三角形，相邻原子间距为a,求正格矢和倒格矢，画 出第一和第二布里渊区
的垂直平分线和第一 布里渊区边界所围成 —— 第二布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
第三布里渊区 由4个倒格点 个倒格点
的垂直平分线和第二布 里渊区边界边界所围成 第三布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
布里渊区边界方程证明
布里渊区边界方程证明为了证明布里渊区的边界方程，我们首先需要了解什么是布里渊区。
布里渊区是准周期结构中的第一布里渊区。
准周期结构是一种具有周期性和拓扑性质的结晶结构，如多孔材料、非晶态材料等。
布里渊区类似于正常晶体的第一布里渊区，但在布里渊区中，所有传统的晶格平移矢量都是平均的，而不是具体的。
布里渊区是测量准晶体物理属性的基本单位，并且在固体物理和材料科学的研究中具有广泛的应用。
因此，描述布里渊区边界方程是重要的。
布里渊区的边界方程描述了布里渊区的边界形状，并且是通过一组数学表达式表示的。
边界方程可以用于计算布里渊区的体积、形状和边界的性质。
我们可以通过以下步骤证明布里渊区的边界方程：1.首先，我们需要定义准周期结构的一维倒格矢量。
准周期结构的一维倒格矢量定义为：G(m)=m*G(1)+G⊥其中，m是整数，G(1)是第一布里渊区的倒格矢量，G⊥是垂直于G(1)的倒格矢量。
2.接下来，我们定义一个点P的坐标为P=n1G(1)+n⊥G⊥，其中n1和n⊥是整数。
3.然后，我们定义一个准周期结构的单位胞为一个基本矩形。
单位胞的边界由四条边组成，我们将这四条边分别记为a1、a2、a3和a44.现在，我们来推导布里渊区的边界方程。
根据定义，布里渊区的边界是由单位胞的四条边和倒格矢量之间的关系确定的。
布里渊区边界的方程可以表示为：a1·G(m1)+a2·G(m2)+a3·G(m3)+a4·G(m4)=0其中，m1、m2、m3和m4是整数。
由于倒格矢量G(m)可以表示为G(m)=mG(1)+G⊥，我们可以将布里渊区的边界方程改写为：(n1a1+n2a2+n3a3+n4a4)·G(1)+(n1a1+n2a2+n3a3+n4a4)·G⊥=0由于G(1)和G⊥是相互独立的，所以上述方程可以被分解为两个方程：(n1a1+n2a2+n3a3+n4a4)·G(1)=0(n1a1+n2a2+n3a3+n4a4)·G⊥=05.最后，我们可以进一步简化上述方程以得到布里渊区的边界方程。
倒格子和布里渊区
于是：
Gh1h2 h3 CA a1 a3 (h1b1 h2b2 h3b3 ) ( ) h1 h3 2 2 0
同理 Gh1h2 h3 CB 0 而且 CA, CB 都在（ABC)面上， 所以 Gh1h2h3 与晶面系 (h1h2h3 ) 正交。
三维例子：
正点阵为简 单点阵，倒 易点阵也是 简单点阵。
正格子空间中长 的基矢a3对应于 倒格子空间短的 基矢b3，反之亦 然。推广，正格 子空间长的线条 对应于倒格子空 间短的线条。
正点阵为有心点阵时，倒易点阵也是有心点阵， 但有心类型可能不同，例如：体心立方点阵的倒格子 为面心立方点阵。
而面心立方点阵的倒格子为体心立方点阵。
倒易点阵仍是简立方点阵：
2 2 2 b1 i, b2 j , b3 k, a a a
所以倒格子也是布拉菲格子。 六角点阵： 六角点阵的倒易点阵： 见Ashcroft p88 c 轴方向不变，a 轴在垂直于c 轴的 平面上旋转30度。
正格子空间六方结构，在倒格子空间亦为六方结 构。不过其基矢尺寸关系发生变化，基矢方向也转了 一个角度。
显然 ： b1 a 2 a 3 , b 2 a 3 a1 , b 3 a1 a 2 ,
b1 2 2 3 a1 a 2 a3 a3 a1 b2 2 a1 a 2 a3 a1 a 2 b3 2 a1 a 2 a3
G G ( k ) 0 2
k
k
G 2
G
G 2
正方点阵布里渊区
第二到第九Brillouin区约化到第一布里渊区
布里渊区
布里渊区
主讲人： 主讲人：许本超 答疑人： 答疑人：李海龙 封福明
固体物理 固体物理
内容
• • • • • • • • • 1.倒易空间 2. 布里渊区基本概念 3. 典型格子的第一布里渊区 4.布里渊区的几何性质 5. 衍射条件在布里渊区诠释 6.布里渊区中的K点 7.布里渊区和能带的关系 8.布里渊区和费米面 9.MS计算能带实例图
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固体物理 固体物理
7.2布里渊区和能带的关系
能带论的基本出发点: 能带论的基本出发点 固体中的电子可以在整个固体中运动 电子在运动过程中要受晶格原子势场的作用 由于周期场的微扰， 由于周期场的微扰，
E
E6
E(k)函数在布里渊区 函数在布里渊区
允许带
E5
边界k=± 边界 ±nπ/a处出现 处出现
3.2体心立方晶格的F.B.Z 体心立方晶格的F.B.Z 体心立方晶格的 体心立方晶格的倒格子为面心立方晶格
可以看出， 可以看出，面心立方倒 格子（即体心立方晶格） 格子（即体心立方晶格） 的F.B.Z为正菱形十二 为正菱形十二 面体（非正十二面体） 面体（非正十二面体）
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固体物理 固体物理
3.3面心立方晶格的F.B.Z 面心立方晶格的 面心立方晶格的F.B.Z 面心立方晶格的倒格子为体心立方晶格
如右图所示， 如右图所示，黑框为体心立方 倒格子，取其体心（黄点） 倒格子，取其体心（黄点）作 为原点，红点（8个 为原点，红点（8个）为此原 点最相邻的倒格点，蓝点（6 点最相邻的倒格点，蓝点（ 个）为此原点次相邻倒格点 可以看出， 可以看出，体心立方倒 格子（即面心立方晶格） 格子（即面心立方晶格） 的F.B.Z为截角的八面体 为截角的八面体 十四面体） （十四面体）
30 布里渊区的知识
*简谐近似是晶格动力学处理许多物理问题的出发点!
* 对热膨胀和热传导等问题必须考虑高阶项 --- 特别是3次和4次项的作用 → 这称为非谐项或非谐作用 – V非谐 * 具体处理问题时,把非谐项看成是对起主要作用 的简谐项的微扰!
简正振动模式：在简谐近似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振 动, 可变为3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称 为简正振动模式 简正振动模式对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是 晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动 —格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.
2
a
i
倒格矢的垂直平分面 构成第一布里渊区
a
O
一维晶格点阵
b
-π/a
O
倒格子点阵
π/a
二维晶格点阵的布里渊区 取正格子基矢为 a1 ai 和a2 a j 可求出倒格子基矢为
2 2 b1 i 和b2 j a a
作原点0至其它倒格点连线的中垂线，它们将二维倒 格子平面分割成许多区域
第三章 晶格动力学和 晶体的热学性质
固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即晶体点阵模型）， 即认为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列，在该框架内， 我们讨论了X 光衍射发生的条件，求出了晶体的结合能，以后还将 在此框架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。然而它只 是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严 格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围 内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了晶格振动的规律， 更多的晶体性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传导， 融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位 移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。
布里渊区的选取
布里渊区的选取————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ电子科技大学光电信息学院课程设计论文课程名称固体与半导体物理题目名称布里渊区的选取学号29053０1０14 29053０1015 ２９05３０１０16姓名李雄风寿晓峰陈光楠指导老师刘爽起止时间2０１1．10.１－2011．10.１５20１１年１0月１日布里渊区的选取摘要本文着重介绍了布里渊区的选取。
首先,本文给出了倒格子和布里渊区的相关概念；随后,本文以一维的简单格子、二维的有心长方格子、三维的面心立方格子和体心立方格子为例，详细说明了布里渊区的选取过程;最后,本文介绍了制作面心立方格子和体心立方格子的第一布里渊区的实物模型的方法（附上实物模型）。
一、相关概念介绍１.1倒格子假设晶格原胞基失为a 1⃑⃑⃑ 、a 2⃑⃑⃑⃑ 和a 3⃑⃑⃑⃑ ，则对应的倒格子原胞基失为b 1⃑⃑⃑⃑ 、b 2⃑⃑⃑⃑ 和b 3⃑⃑⃑⃑ ,它们满足如下关系：{ b 1⃑⃑⃑⃑ =2πΩ(a 2⃑⃑⃑⃑ ×a 3⃑⃑⃑⃑ )b 2⃑⃑⃑⃑ =2πΩ(a 3⃑⃑⃑⃑ ×a 1⃑⃑⃑ )b 3⃑⃑⃑⃑ =2πΩ(a 1⃑⃑⃑×a 2⃑⃑⃑⃑ ) 其中Ω=a 1⃑⃑⃑ ∙(a 2⃑⃑⃑⃑ ×a 3⃑⃑⃑⃑ )为原胞体积。
b 1⃑⃑⃑⃑ 、b 2⃑⃑⃑⃑ 和b 3⃑⃑⃑⃑ 是不共面的，因而由b 1⃑⃑⃑⃑ 、b 2⃑⃑⃑⃑ 和b 3⃑⃑⃑⃑ 也可以构成一个新的点阵,我们称之为倒格子。
倒格子原胞基失也可以通过下式来定义（在处理一维和二维问题时我们将用到它）：b i ⃑⃑⃑ ∙a j ⃑⃑⃑ =2πδij ={2π 当i =j 0 当i ≠ji,j =1,2,3 倒格子的一个基矢是和晶格原胞中一组晶面相对应的,它的方向是该晶面的法线方向，而它的大小则为该晶面族面间距倒数的2π倍。