线性最小均方误差估计的估计规则
mmse最小均方误差
mmse最小均方误差
MMSE (Minimum Mean Squared Error) 最小均方误差是一种用于估计随机过程或信号的线性算法。
它通过最小化平均误差来估计信号参数。
MMSE估计法在通信理论、信号处理和数字图像处理等领域有广泛应用。
MMSE 估计法的基本思想是，在所有可能的估计值中，选择一个使得期望误差最小的估计值。
该估计值可以用线性函数或非线性函数来表示。
在线性函数中，MMSE 估计值通常是线性无偏估计值。
MMSE 估计法是一种最优线性估计（Optimal Linear Estimation）算法，它有很好的统计性质，如最小均方误差性质和最小偏差性质等。
在信号处理和通信系统中，MMSE 估计法常用于信号解调、信道估计、信噪比估计等应用中。
在数字图像处理中，MMSE 估计法常用于图像压缩、图像恢复、图像去噪等应用中。
在计算机视觉和机器学习领域中，MMSE 估计法常用于目标跟踪、目标识别、人脸识别等应用中。
总的来说, MMSE 估计是一种广泛应用的估计方法, 其优秀的统计性质和良好的数学基础使其在很多研究领域中都有着重要的应用.。
第四章 估计理论
估计理论通常是对以下三种情况而言： 估计理论通常是对以下三种情况而言： 一种情况是指根据观测样本直接对观测样本的 各类统计持性作出估计，如观测样本的均值， 各类统计持性作出估计，如观测样本的均值，均 方差，各阶矩，各阶累量，相关函数等作出的估 方差，各阶矩，各阶累量， 计，这类估计在随机信号分析和处理中是经常遇 到的一类估计。 到的一类估计。 第二种情况是根据观测的样本，对观测样本中的 第二种情况是根据观测的样本， 信号部分的未知特定参量作出估计 未知特定参量作出估计----参量估计 信号部分的未知特定参量作出估计 参量估计 第三种情况则是根据观测样本对随时间变化的 信号s(t) 作出其波形估计 过程（或波形）估计。 作出其波形估计 过程（或波形）估计。 波形估计---过程 信号
θˆ = ∫ θ f (θ \ Y ) dθ = E[θ \ Y ]
θ
θ 的条件均值
ˆ |≥ ∆ ˆ ) = 1, | θ − θ C (θ , θ 2 0, E lse
C (θˆ\Y ) = ∫ C (θ , θˆ ) f (θ \ Y ) d θ
θ
=
∫
θˆ −
∆ 2
−∞
ˆ ) f (θ \ Y ) dθ + ∞ ∆ (θ − θˆ ) f (θ \ Y ) d θ (θ − θ ∫ˆ
ˆ ˆ C(θ\Y) =∫ C(θ ,θ ) f (θ \ Y )dθ
θ
条件平均估计代价
ˆ 使平均估计代价最小等价于条件平均估计代价 C(θ\Y) 最小 .
ˆ) =| θ − θ |2 ˆ C (θ , θ
ˆ) = E （θ − θ ) 2 为估计的均方误差 。 ˆ 此时 C (θ ˆ 使 C (θ )最小的估计又称为最小均方误差 估计。
北大随机过程课件：第 6 章 第 1 讲 最小均方误差线性估计汇编
a = E{s(t )x(t)}/ E{x(t) x(t)} = Rss (0) /[Rss (0) + Rnn (0)]
{ } { } 相应的最小均方误差是， E⎩⎨⎧ξ − ξˆ 2 ⎭⎬⎫ = E ξ 2 − E ξξˆ*
{ } E s(t) − sˆ(t) 2 = E{[s(t) − ax(t)]s(t)}
为了使均方误差最小，
应使 K = E{ξ/η }，即：ξˆ(η= Y) = E{ξ/η= Y}
定理
设随机矢量 ξ = (ξ 1,ξ 2,"ξ n) 和 η = (η 1,η 2,"η m) 的联合概率密度函数是，
fξ η (x1, x2 ,", xn ; y1, y2 ," ym ) 且 fη ( y1, y2 ," ym ) ≠ 0 ，则ξ关于η的最小均方误
讨论 2：在上述条件下，估计误差正交于 s(u), u < t
E{[s(t + λ ) − as(t )]⋅ s(u)} = Rs s (t + λ − u) − aRs s (t − u)
σ σ σ σ =
e2 −α (t+λ −u) − a e2 −α (t−u) =
e − e e 2 −α (t+λ −u)
其中一个重要的问题就是确定估值参数 估值的评估：分析估值误差
均方误差最小的最佳线性估计
估值问题
设ξ和η是两个随机矢量，两者存在联合分布，其中η是观察矢量，通过η对ξ进 行估值，得到符合某种准则的最佳估值ξ。
1 均方误差最小的估值问题
均方误差最小的估值问题
设ξ和η是两个随机矢量，两者存在联合分布，设η是观察矢量，通过η对ξ进行 估值，求均方误差最小的估值ξ。
递推线性最小均方估计
A
zˆ1/0
z0
z1
z1
A
Aˆ[1]
z1
z0
zˆ1/0
z1,
||
z0 z0
||
||
z0 z0
||
z1, z0
|| z0 ||2
z0
E(z1z0 ) E(z02 )
z0
zˆ1/0
zˆ1/0
E[( A E(
w1)( A w0 A2 ) E(w02 )
)]
z0
2A 2A 2
z0
z0
z1
z1
zˆ1/0
z1
2A 2A 2
z0
A
z1
z1
Aˆ[1]
A,
||
z1 z1
||
||
z1 z1
||
A, z1|| z1||2z1E( Az1) E(z12 )
z1
A
Aˆ[1]
z1
z0
Aˆ[1] Aˆ[0] Aˆ[1]
E( Az1) E(z12 )
z1
K[1]
E( Az1) E(z12 )
2A 22A 2
Aˆ[1] Aˆ[0] K[1](z1 zˆ1/0 )
按这个过程继续求 Aˆ[2]
Aˆ[2] Aˆ[1] K[2](z2 zˆ2/1)
2
Aˆ[0]
z0
A
Aˆ[1]
z1
Aˆ[1]
推导过程总结：
Aˆ[1] Aˆ[0] Aˆ[1]
linear regression的均方误差
linear regression的均方误差均方误差（Mean Squared Error, MSE）是一种常用的评估回归模型性能的指标，它用于衡量模型预测值与真实值之间的差距。
在线性回归中，我们可以使用均方误差来评估模型的拟合程度。
均方误差的计算公式如下：MSE = (1/n) * Σ(y(i) - y_pred(i))^2其中，n是样本的数量，y(i)是第i个样本的真实值，y_pred(i)是模型预测的值。
均方误差越小，说明模型的拟合程度越好，预测值与真实值之间的差距越小。
反之，均方误差越大，说明模型的拟合程度越差。
在实际应用中，为了更好地理解和解释均方误差，可以结合以下相关概念和内容进行参考和分析。
1. 线性回归介绍：线性回归是一种常见的回归分析方法，用于建立一个线性模型来预测一个连续因变量（响应变量）与一个或多个自变量（特征变量）之间的关系。
线性回归模型的基本假设是，自变量与因变量之间存在线性关系。
2. 最小二乘法：最小二乘法是线性回归模型参数估计的一种方法，它通过最小化目标函数来确定使得模型预测值与真实值之间差距最小的参数。
在线性回归中，最小二乘法就是通过最小化均方误差来确定参数。
3. 拟合优度：拟合优度是衡量线性回归模型拟合程度的指标之一。
常用的拟合优度指标是确定系数R^2，它表示模型所能解释的响应变量方差的比例。
拟合优度越接近于1，说明模型的拟合程度越好；越接近于0，说明模型的拟合程度越差。
4. 正规方程法和梯度下降法：正规方程法和梯度下降法是线性回归模型参数估计的两种常用方法。
正规方程法通过代数求解得到闭式解，而梯度下降法则是通过迭代优化算法逐步逼近最优解。
这两种方法都可以用来求解使均方误差最小化的参数。
5. 残差分析：残差是指实际观测值与模型预测值之间的差异，残差分析是用来评估模型拟合效果的重要工具。
通过分析残差的统计特性和图形分布，可以检验线性回归模型是否满足模型假设以及是否存在系统性误差。
mmse准则
mmse准则MMSE准则（最小均方误差准则）是一种基于信号处理中的线性估计的准则，其主要作用是通过降低预测误差方差最小化均方误差（MSE）的方法，帮助系统进行最佳的信号预测和估计。
在MMSE准则中，线性无偏估计器尝试利用已知的某些数据来推测未知的数据。
它是一种非常有用和基本的方法，被广泛应用于信号处理领域的许多应用场景中。
MMSE准则在数字信号处理中被广泛使用，特别是在数字通信中。
在这个领域，它的主要目的是优化传输系统的性能。
通过使用MMSE准则中提供的线性估计器，传输系统可以更好地抵抗信道噪声、干扰和多路径干扰等不利影响。
同时，MMSE准则还能够扩展到更广泛的信息论和统计领域，例如模糊控制和模式识别等。
MMSE准则的核心概念是通过最小化预测误差方差来实现最小化均方误差（MSE）。
这个概念可以通过下面的公式来表达：MSE = E[（X - X）^2]在这个公式中，X代表信号本身，而X代表使用估计器得到的信号。
这个公式相当于衡量信号预测或估计器的精度。
MMSE准则的目的就是尽可能让X与X接近，从而最小化MSE。
MMSE准则模型可以理解为一个简单的估计问题：给定一个输入信号X，通过一些已知信息，预测一个未知的Y信号，使得预测误差最小化。
在这个问题中，已知的信息可能包括信号的先验统计信息（例如平均值和方差），以及与输入信号相关的其它变量（例如上一个时间段的信号值）。
当已知数据是高斯分布时，MMSE成为一种特别有用的估计器。
在这种情况下，MMSE准则中的线性无偏估计器就变成了一个简单的求均值的操作。
通过应用MMSE准则，系统可以更好地管理高斯噪声和其它变异的信号，并且预测器的精度将达到理论最佳值。
总之，MMSE准则是信号处理领域中非常有用和基础的方法之一。
它可以应用于广泛的实际场景，包括数字通信、模拟信号处理、图像处理和语音识别等。
对于需要预测信号的问题，MMSE准则提供了一种简单而有效的方法来最小化预测误差，并提高系统的性能和精度。
均方误差最小时方程参数的估计结果
一、概述均方误差最小时是统计学中常用的一种参数估计方法。
通过最小化观测值与估计值的均方差来求得模型参数的估计结果，该方法在各个领域中都有着广泛的应用，包括经济学、工程学、医学等领域。
本文将就均方误差最小时的方程参数估计结果进行探讨。
二、均方误差最小时的原理均方误差最小时是一种优化方法，其核心思想是通过调整模型参数，使得观测值与模型估计值的差异最小化。
假设我们有一个参数模型：Y = f(X, β) + ε其中，Y是观测值，X是自变量，β是待估计的参数，ε是误差项。
我们的目标是求得参数β的估计值，使得观测值Y与模型估计值f(X, β)之间的均方误差最小。
三、均方误差最小时的数学表达为了求得均方误差最小时的参数估计结果，我们可以通过以下数学表达来描述最小化均方误差的过程：目标函数：MSE(β) = (Y - f(X, β))^2通过最小化目标函数MSE(β)，我们可以得到最优的参数估计结果。
四、参数估计的最小二乘法在实际的应用中，均方误差最小时常常采用最小二乘法来求解参数估计结果。
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，其核心思想是通过最小化残差平方和来调整参数值，从而得到最优的估计结果。
五、均方误差最小时的应用实例以下是一个简单的应用实例，以帮助读者更好地理解均方误差最小时的参数估计过程：假设我们有一组观测数据{(x1, y1), (x2, y2), ... , (xn, yn)}，我们需要求得一个线性模型来描述自变量x与因变量y之间的关系。
线性模型的表达式为：y = β0 + β1x我们的目标是通过最小化观测值与模型估计值之间的均方差来求得最优的参数估计结果。
六、结论通过对均方误差最小时的方程参数估计结果的探讨，我们可以得出以下结论：1. 均方误差最小时是一种常用的参数估计方法，其核心思想是通过最小化观测值与模型估计值之间的均方差来求得最优的参数估计结果。
2. 最小二乘法是一种常用的数值计算方法，通过调整参数值使得目标函数最小化，从而求得最优的参数估计结果。
线性判别分析（LDA）准则：FIsher准则、感知机准则、最小二乘（最小均方误差）准则
线性判别分析（LDA）准则：FIsher准则、感知机准则、最⼩⼆乘（最⼩均⽅误差）准则准则采⽤⼀种分类形式后，就要采⽤准则来衡量分类的效果，最好的结果⼀般出现在准则函数的极值点上，因此将分类器的设计问题转化为求准则函数极值问题，即求准则函数的参数，如线性分类器中的权值向量。
分类器设计准则：FIsher准则、感知机准则、最⼩⼆乘（最⼩均⽅误差）准则Fisher准则Fisher线性判别分析LDA（Linearity Distinction Analysis）基本思想：对于两个类别线性分类的问题，选择合适的阈值，使得Fisher准则函数达到极值的向量作为最佳投影⽅向，与投影⽅向垂直的超平⾯就是两类的分类⾯，使得样本在该⽅向上投影后，达到最⼤的类间离散度和最⼩的类内离散度。
Fisher线性判别并不对样本的分布进⾏任何假设，但在很多情况下，当样本维数⽐较⾼且样本数也⽐较多时，投影到⼀维空间后样本接近正态分布，这时可以在⼀维空间中⽤样本拟合正态分布，⽤得到的参数来确定分类阈值。
类间离差平⽅和最⼤，类内离差平⽅和最⼩的投影⽅向。
准则函数：组间离差平⽅和/组内离差平⽅和；准则：超过阈值？感知机准则基本思想：对于线性判别函数，当模式的维数已知时，判别函数的形式实际上就已经确定下来，线性判别的过程即是确定权向量 。
感知机是⼀种神经⽹络模型，其特点是随意确定判别函数初始值，在对样本分类训练过程中，针对分类错误的样本不断进⾏权值修正，逐步迭代直⾄最终分类符合预定标准，从⽽确定权向量值。
可以证明感知机是⼀种收敛算法，只要模式类别是线性可分的，就可以在有限的迭代步数⾥求出权向量的解。
优点：简单、便于实现。
缺点：结果不唯⼀，在线性不可分情况下不收敛。
给定初始权值向量，通过样本的训练分类过程逐渐修正权值直到最终确定。
准则函数：错分样本数，准则：错分样本数为0上述两个准则的区别和联系Fisher线性判别是把线性分类器的设计分为两步，⼀是确定最优⽅向，⼆是在这个⽅向上确定分类阈值；感知机则是通过不断迭代直接得到完整的线性判别函数。
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收发端已知
接收端未知 D=N-P
1
P P+1
N
导频xP
数据xD
hp, p=1,…,P
hd, d=1,…,D
Phase I：信道估计 Phase II：信号检测
❖ 信道估计：根据yP、xP以及hP的统计 信息，估计hP，即： (yP, xP, stat_info(hP))hP （如yP=hPxP+w)
p
xd
1
ˆmse
p x d
11
ˆm最se 小均p 方xd误差估计
注： 1.最小均方误差估计的估计量实际是条件均值
ˆmse
p x d E x
2.最小均方误差估计的条件平均代价实际是条件方差
Cmse ˆ x
ˆmse
2
p
x
d
E x
2 p x d
观测方程为 xk nk , k 1,2,, N
其中nk是均值为零，方差为
2 n
的独立同分布高斯随机噪声
被估计量
是均值为零，方差为
❖ 可行性：一般信道都是slowly time varying的（相干时间>>时延要 求），因此hd≈hp
❖ 其他估计问题：载波频率、相位、时延等
1
建模
θ 参量空间
观测空间 R
px θ
估计规则
θˆ x
➢参量空间： 需要接收端作出估计的参量集合 ➢观测空间： 接收端收到的观测信号的集合
➢概率映射： 信源发送信号到接收端过程中，会有噪声的影响，观测信号中 包含被估计矢量的信息，所以观测信号是以被估计矢量为参
2
θ~x θ θˆx
本章的核心问题之一就是研究上述函数的构造方法，评估所构造估计量的优劣。
3
3.2 随机参量的贝叶斯估计
❖ 常用代价函数 ❖ 贝叶斯估计的概念 ❖ 最小均方误差估计 ❖ 最大后验概率估计 ❖ 条件中值估计 ❖ 最佳估计的不变性
4
贝叶斯估计：使平代均代价价函最小数的一和种估贝计准叶则斯。 估计
误差平方代价函数
c~ ˆ 2
误差绝对值代价函数Biblioteka c~ ˆ均匀代价函数
c
c ˆ
1,
/2
0, / 2
代价函数的基本特性：非负性和 ~ 0 时的最小性。
5
平均代价
设被估计的单随机变量的先验概率密度函数为 p
易知代价函数 c ~ 是随机参量 和观测矢量 x的函数
平均代价C为
j
lim
M
i
cij
P
Ri
x|Hj
dxP
Hj
lim M j
c j, x P
R
x|Hj
dxP
Hj
R c , x P x | dxp d
R c , x P x, dxd
估计：参数连续取值；检测：参数取自有限个离散点集合。
8
检测与估计的联系
❖ 检测：参量的状态是有限的（M-ary检测） ❖ 估计：参量的状态是连续的（比如实数域，
最小。
C ˆ x
c ~
p
xd
条件平均代价
7
Relation with cost in M-ary Detection
M 1 M 1
C
lim
M
j0
i0
cij P
Hi | H j
P
Hj
lim M
j
lim
M
i
cij P
Hi | H j
P
Hj
lim M
3.最小均方误差估计量的另一种形式
ˆmse
p x d
p , x px
d
p
,
x
d
p
,
x d
p
px
d
p
px
d
12
选定的代价函数为 c 最 c大 后ˆ 验1估, 计 / 2
C ˆ x
c ~
p
xd
0, / 2
ˆ
2p x
d
p ˆ
x
d
2
ˆ
1
p 2
ˆ
C c ~ px, dxd
在 p 给定，选定代价函数的条件下，使平均代价最小的估计称为贝叶斯 估计。
6
由 px, p xpx 平均代价
C c ~ px, dxd
c ~
p
xpxdxd
px
c
~
p
xd dx
c ~
p
x d
是非负值，
因此使平均代价最小，就等价于使
C ˆ x
c ~
p x d
ˆ
2
p
xd
求解方法
使条件平均代价最小的一个必要条件是对上式中 ˆ 求偏导 令偏导为零来求得最佳的估计量 ˆ
10
最小均方误差估计
C ˆ x
ˆ
ˆ
ˆ
2
p
xd
ˆ
2 2ˆ ˆ2
p
x d
2
p
x
d 2ˆ
p
x
d
0
ˆˆmse
数的随机矢量，用 p x θ 来描述。
2
建模 ➢估计规则： 利用被估计矢量的先验知识和观测信号的统计特性，根据指标
要求，构造观测矢量的函数来定义估计量。
θˆx gx gx1, x2,, xN
估计量性能的评估
估计量的均值 E θˆ x
估计量的均方误差
E
θ~ 2 x
E
θ
θˆx
ln p x
0
ˆmap
ln p x
ln p
ˆmap
0
p
x
px p
px
14
选定的代价函数为
条件中值估计
c~ ˆ
C ˆ x
c ~
p
x d
ˆ p
xd
ˆ ˆ
p
x d ˆ ˆ
p
x d
求解方法
使条件平均代价最小的一个必要条件是对上式中 ˆ 求偏导 令偏导为零来求得最佳的估计量 ˆ
x
d
2
ˆ p 2
ˆ
x
d
p
ˆ
x
2
使条件平均代价最小，应该使
ˆ
2 ˆ
p
x
d 取到最大值
当 很小时，为保证上式最大，应2 当选择估计量 ˆ ，
使它处于后验概率密度函数 p x 最大值的位置。
13
最大后验估计
根据上述分析，得到最大后验概率估计量为
两种等价形式
p x
0
ˆmap
复数域） ❖ 当M∞时，检测就变成了估计 ❖ 用检测做估计：复杂度太高，不合适 ❖ 用估计做检测：可以，实际上经常这样用
比如，在衰落信道y=hx+w的信号检测中，经常 对信号先进行估计得到x的估计值x1（复数域上 的任意值），然后将其量化到信号星座上的某个9
选定的代价函数为 最小均方误差估计
c~ ˆ 2
15
ˆ
ˆ
ˆ
条件中值估计
p
xd
ˆ
ˆ
p
xd
ˆ
ˆ ˆ
p
xd
ˆ
p
xd
p
ˆ
xd
ˆ ˆ
p
xd
ˆ
p
x d
ˆp ˆ x
ˆp ˆ x
ˆp ˆ x
ˆ
p
x d
ˆp ˆ x
ˆ
p
x d
ˆ
p
x d
ˆ
p
x d
ˆ
p
x d
16
例1 研究在加性噪声中单随机参量 的估计问题。