5.4最小均方算法
最小均方差公式
最小均方差公式在统计学和机器学习中，我们经常需要根据一组数据来拟合出一个函数或模型，以便进行预测或推断。
而最小均方差公式提供了一种衡量拟合效果的指标，即均方差，通过最小化均方差来选择最佳的拟合曲线或估计参数。
我们来定义什么是均方差。
均方差是指实际观测值与预测值之差的平方的平均值。
对于给定的一组数据，我们可以用一个函数或模型来进行拟合，并根据拟合结果计算出每个观测值与预测值之差的平方，然后将这些平方求平均得到均方差。
假设我们有一组观测值y和对应的预测值y_hat，那么均方差可以表示为：MSE = (1/n) * Σ(y - y_hat)^2其中，n表示观测值的个数，Σ表示求和运算。
最小均方差的目标就是找到一个函数或模型，使得均方差达到最小值。
最小均方差公式的应用非常广泛。
例如在线性回归问题中，我们可以通过拟合一条直线来预测因变量和自变量之间的关系。
通过最小均方差公式，我们可以选择最佳的斜率和截距，使得拟合直线与观测值之间的均方差最小。
除了线性回归，最小均方差公式还可以应用于其他问题，如多项式拟合、逻辑回归、神经网络等。
在这些问题中，我们可以通过调整模型的参数，使得均方差最小化，从而得到最佳的拟合效果或参数估计。
接下来，我们来推导最小均方差公式的数学表达。
假设我们有一组数据(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们希望通过一个函数或模型y = f(x)来拟合这些数据。
我们可以用最小化均方差的方法来选择最佳的函数或模型。
我们假设函数或模型的形式为y = a + bx，其中a和b是待确定的参数。
我们的目标是找到最佳的a和b，使得均方差最小。
我们可以定义误差e为观测值与预测值之差，即e = y - (a + bx)。
然后，我们将均方差公式代入误差的定义中，得到：MSE = (1/n) * Σ(y - (a + bx))^2接下来，我们需要对这个均方差公式进行求导，并使得导数等于0，从而找到最小化均方差的参数值。
均方计算公式
均方计算公式
均方计算公式是用于计算一组数据值的离散程度或变异程度的数学工具，通常用于统计学和数据分析领域中。
均方计算公式可以用来计算数据的方差和标准差，是对数据分布范围和集中程度的一种度量。
具体来说，均方计算公式的步骤如下：
1.计算所有数据值与平均值之差的平方，即(xi - x_avg)^2。
2.将所有差值平方的和除以样本数或总体数N，即Σ(xi - x_avg)^2 / N。
3.得出的结果即为数据的方差，标准差则是方差的平方根。
其中，xi代表数据的每一个数值，x_avg代表所有数据的平均值，N代表数据的样本数或总体数。
均方计算公式的应用范围很广，可以用于衡量不同组数据的差异，或者比较同一组数据在不同时间或条件下的变化情况。
第三章最小均方(LMS)算法
E{| e(n) |2} E{e(n)e* (n)} E{| d (n) |2} w H rxd (w H rxd )* w H R xxw
E{| d (n) |2} 2 Re{w H rxd } w H R xxw
rxd (0)
rxd
E{x(n)d * (n)}
rxd (1)
x(n)
xT
(n)w*
i 1
e(n) d (n) y(n) d (n) w H x(n)
rxx (i) E{x(n)x* (n i)} rxx (i) rx*x (i) rxd (i) E{x(n)d * (n i)} rdx (i) rd*x (i)
f (w) E{| e(n) |2}
2 11
2 22
1
v'12
v'
2 2
1
(C1 / 1) (C2 / 2 )
1 均方误差椭圆
的长轴正比于
min
短轴正比于 1 max
§3.3 最陡下降法 3.3.1 最陡下降法的递推公式
＝E{| d (n) |2} 2 Re{w H rxd } w H R xxw
w 2R xxw 2rxd
v(n) (I 2QΛQ1)n v(0) [Q(I 2Λ)Q1]n v(0)
正交原理
w＝w E{| e2 (n) |} 0 e(n) d (n) w H x(n)
e er je j d dr jd j x xr jx j w w r jw j
| e |2 er2 e2j
[dr
(w
T r
x
r
wTj x
j
)]2
[d
j
(wTr x
j
最小均方算法依据最小均方误差准则产生了最小均方
LMS自适应均衡器可以有两种模
式：训练模式和面向判决模式。
最 小 均 方 算 法
迫 零 算 法 的 仿 真 性 能
特点3的解释
多径信道冲激响应系数：h0 h1 h2 0.6 0.3 0.1
BPSK信号长度： 10
6
N 值 的 选 择
用 N 阶迫零均衡器去均衡 M 径信道 时，如果 N M，则均衡效果较差， 误码率较高，且不同 N 对应的均衡 效果相差较多；如果N M ，则均衡 效果较好，误码率较低，且不同 N 对应的均衡效果相当。 用 N 阶迫零均衡器去均衡 M 径信道 时，随着 N 的增加，均衡效果越来 越好，误码率越来越低。
均衡器要对整个通道响应进行均衡
准则一： 最小峰值误差准则
迫 零 算 法
依据最小峰值误差准则产生了 迫零算法均衡器 均衡器输入峰值误差 D 1 | x | x
0 0 k k 0 k
均衡器输出峰值误差
1 D y0
k k 0
|y
k
|
当输入峰值误差 D0 1 时，输出峰值误差的极小
如果 C( 2 i / Ts ) 对不同的 i有相同的函数形式， 即 C ( )是以 2 / Ts为周期的周期函数，则只要C ( ) 在( / Ts , / Ts )内满足下式即可消除码间干扰。
C ( ) Ts 2 i H T i s
| |
准则二： 最小均方误差准则
最 小 均 方 算 法
依据最小均方误差准则产生了最小均 方（LMS, Least Mean Square)算法均衡 器。 1 2 2 均方误差的定义为 y 2 yk
最小均方(LMS)算法
第3章最小均方(LMS)算法最小均方算法即LMS算法是B．widrow和Hoff于1960年提出的：由于实现简单且对信号统计特性变化具有稳健件，LMS算法获得了极广泛的应用。
LMS算法是基于最小均方误差准则(MMSE)的维纳滤波器和最陡下降法提出的。
本章将进—步时论最小均方误差滤波器和针对这种滤波器的最陡下降法，并在此基础上详细讨论LMS算法。
LMS算法的缺点在于当输人信号的自相关关矩阵的特征值分散时，其收敛件变差。
为了克服这问题并进一步简化LMs算法，学者们进行广长期研究并提出了不少改进算法，本章将对这些算法进行讨论。
最小均方误差滤波器最小均方误差滤波器的推导第2章2．2节已对均于图1．2的最小均力误差滤波器作了概述。
本分将针对时域滤波情况进一步讨论最小均方误差滤波器。
为便于讨论，I.5国内外MIMO技术研究现状虽然MIMO无线通信技术源于天线分集技术与智能天线技术，但是MIMO系统在无需增加频谱与发射功率下就可以获得令人振奋的容量与可靠性提升，它引发了大量的理论研究与外场实验。
自从1995年Telatar推导出多天线高斯信道容量['6}, 1996年Foschini提出BLAST算法[72]与1998年Tarokh等提出空时编码[(4]以来，MIMO无线通信技术的研究如雨后春笋般涌现[(73-300]。
至2004年底，IEEE数据库收录该领域的研究论文己达数千篇(http://ieeexplore. ieee. org/}，它们包含了MIMO无线通信技术的理论研究到实验验证以及商用化的各个方面。
目前，国际上很多科研院校与商业机构都争相对MIMO通信技术进行深入研究，MIMO技术正以前所未有的速度向前发展[85]。
这里列举一些国内外在研究MIMO 通信技术方面最具有代表性的机构与个人，以洞察MIMO技术的研究现状与发展动态。
A T&T Bell Lab是多天线技术研究的倡导者，其研究员I. E. Telatar ,G.J.Foschini、M.J.Gans,GD.Golden, R.A.V alenzuela, P.W.Wolniansky、D-S.Shiu,J.M.Kahn, J.Ling, J.C.Liberti,Jr.等长期从事MIMO技术研究[68,84]，其第一个空时方案就是著名的BLAST结构[[74一，S,lzz]，其开创性的研究包括【5,72-76,88】等]lproject/blastl] o J.H.Winters等还公布了一些研究与测试结果[ 19,64,96,180,279,282,283,285,286,306]。
最小均方算法(lms)的原理
最小均方算法(lms)的原理
最小均方算法(LMS)是一种用于信号处理和自适应滤波的算法，它是一种迭代算法，
用于最小化预测误差的均方值。
在该算法中，滤波器的系数会根据输入信号实时地调整，
以使得滤波器的输出能够尽可能地接近期望输出。
LMS算法的核心理念是通过不断迭代，不断的调整滤波器的系数，使其能够最大限度
地降低误差。
该算法首先需要确定一组初始系数，并计算出当前的滤波器输出以及误差。
然后，根据误差的大小和方向来调整滤波器的系数，并重复这个过程，直到误差的均方值
达到最小。
这个过程的数学原理可以用一个简单的公式来表示：
w(n+1) = w(n) + µe(n)X(n)
其中， w(n)是当前滤波器的系数，µ是一个可调节的步长参数，e(n)是当前的误差，
X(n)是输入数据的向量。
在该算法中，步长参数µ的大小对LMS算法的性能有重要的影响。
如果其选择过大，
会导致算法不稳定，收敛到一个错误的值；而如果µ的值过小，则算法收敛速度慢。
此外，在使用LMS算法时，还需要进行一些预处理。
比如，在对输入信号进行滤波时，通常需要进行预加重处理，以便在高频段上增强信号的弱化部分。
同时，在为滤波器确定
初始系数时，还需要利用一些特定的算法来进行优化，以使得滤波器的性能能够得到进一
步的提升。
最小均方算法
第3章 最小均方算法3．1 引言最小均方(LMS ,least -mean -square)算法是一种搜索算法，它通过对目标函数进行适当的调整[1]—[2],简化了对梯度向量的计算。
由于其计算简单性，LMS 算法和其他与之相关的算法已经广泛应用于白适应滤波的各种应用中[3]-[7]。
为了确定保证稳定性的收敛因子范围，本章考察了LMS 算法的收敛特征。
研究表明，LMS 算法的收敛速度依赖于输入信号相关矩阵的特征值扩展[2]—[6]。
在本章中，讨论了LMS 算法的几个特性，包括在乎稳和非平稳环境下的失调[2]—[9]和跟踪性能[10]-[12]。
本章通过大量仿真举例对分析结果进行了证实。
在附录B 的B ．1节中，通过对LMS 算法中的有限字长效应进行分析，对本章内容做了补充。
LMS 算法是自适应滤波理论中应用最广泛的算法，这有多方面的原因。
LMS 算法的主要特征包括低计算复杂度、在乎稳环境中的收敛性、其均值无俯地收敛到维纳解以及利用有限精度算法实现时的稳定特性等。
3．2 LMS 算法在第2章中，我们利用线性组合器实现自适应滤波器，并导出了其参数的最优解，这对应于多个输入信号的情形。
该解导致在估计参考信号以d()k 时的最小均方误差。
最优(维纳)解由下式给出：其中，R=E[()x ()]T x k k 且p=E[d()x()] k k ，假设d()k 和x()k 联合广义平稳过程。
如果可以得到矩阵R 和向量p 的较好估计，分别记为()R k ∧和()p k ∧，则可以利用如下最陡下降算法搜索式(3．1)的维纳解：w(+1)=w()-g ()w k k k μ∧w()(()()w())k p k R k k μ∧∧=-＋２ (3.2) 其中，k ＝0，1，2，…,g ()w k ∧表示目标函数相对于滤波器系数的梯度向量估计值。
一种可能的解是通过利用R 和p 的瞬时估计值来估计梯度向量，即 10w R p -=(3.1)()x()x ()T R k k k ∧=()()x()p k d k k ∧= (3.3) 得到的梯度估计值为(3.4) 注意，如果目标函数用瞬时平方误差2()e k 而不是MSE 代替，则上面的梯度估计值代表了真实梯度向量，因为2010()()()()2()2()2()()()()T e k e k e k e k e k e k e k w w k w k w k ⎡⎤∂∂∂∂=⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦ 2()x()e k k =-()w g k ∧= (3.5) 由于得到的梯度算法使平方误差的均值最小化．因此它被称为LMS 算法，其更新方程为 (1)()2()x()w k w k e k k μ+=+ (3.6) 其中，收敛因子μ应该在一个范围内取值，以保证收敛性。
均衡的三种算法ZFMMSE和MLSE
均衡的三种算法ZFMMSE和MLSE均衡是一种在通信系统中用于抵消信道传输带来的畸变和干扰的技术。
它通过利用信道状态信息（CSI）和等化器来改善信号的传输质量。
在均衡算法中，有三种常见的方法：零离子最小均方（ZF）等化、最小均方（MMSE）等化和最大似然序列估计（MLSE）。
下面将逐一介绍这三种算法的原理和特点。
1.零离子最小均方（ZF）等化器：ZF等化器的主要思想是抵消信道的影响，使接收信号在通信系统的终端接近发送信号。
它使用逆矩阵来消除信道引起的畸变，并恢复原始信号。
如果信道是非奇异的，ZF等化器可以完全恢复发送信号。
但是，如果信道是奇异的，ZF等化器会出现零除错误。
为了解决这个问题，可以使用正则化技术或使用其他等化算法。
2.最小均方（MMSE）等化器：MMSE等化器是一种最优的等化方法，它最小化了接收信号与原始信号之间的均方误差。
与ZF等化器不同，MMSE等化器可以应对任意的信道。
它利用信道状态信息和先验统计信息来均衡接收信号，减小传输信号的误差。
MMSE等化器在信号噪声比较低时性能更好，但计算复杂度相对较高。
3.最大似然序列估计（MLSE）等化器：MLSE等化是一种通过计算序列的概率来恢复发送信号的方法。
它通过考虑所有可能的发送信号序列，找到其中最有可能的一组序列。
MLSE等化器的主要优点是它可以适应任意复杂度的信道，包括多径信道和干扰等。
然而，MLSE等化器的计算复杂度非常高，尤其是当信号维数和符号序列长度增加时。
综上所述，ZF、MMSE和MLSE等化器是一些常见的在通信系统中使用的均衡算法。
它们各自具有不同的特点和适用范围。
选择合适的均衡算法取决于信道环境、计算复杂度和性能要求等因素。
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uv
uv
uv
w(n 1) w(n) 2e(n)x N (n)
问题：
能否由任意起始位置w(0)经迭代最终收敛到最优解w*
跟最速梯度法权向量的收敛性有何区别？
uvT uv Q e(n) d(n) w (n)xN (n)
uvT uv d(n) xN (n)w(n)
uv
uv
w(n 1) w(n) 2
页页
2 1(1 k22 ) 3 4 (1 k22 )
k2
[RX
(2)
1 i 1
a1 (i ) RX
(2
i)]/
1
1 3
则 2 3 4 (11 9) 2 3
2
k3 [RX (3) a2 (i)RX (3 i)] / 2
i 1
[ 1 4
a2 (1)RX
(2)
a2 (2)RX
(1)] /
c(2)
4.58
所以，ARMA(2,1)模型的系统函数为
1 0.57z1 H1(z) 1 2.93z1 2.59z2
X
第第
2. 已知平稳随机信号x(n)的自相关函数值：
1177 页页
R(0) 1, R(1) 0.5, R(2) 0.5, R(3) 0.25,
现用AR(3)模型估计它的功率谱，设模型参
i 1 p
1 ai zi
i 1
p
q
差分方程： x(n) ai x(n i) Gbi(n i)
i 1
i0
功率谱：
q
2
1 bie ji
Sx
(e
j
)
G 2
2
i 1 p
1 aie ji
i 1
X
失调量与收敛时间常数的关系
页页
i
1
2 i
M
uv N
tr R i
i 1
N
i 1
1
2 i
1 N 1
2 i1 i
N 1
2 ave
N 4
1
mse
ave
若R的N个特征值相等，则 M N 1 4 mse
X
第第
结论：
1133 页页
（1）若选择足够长的时间常数（足够多的迭代次 数），失调量M可以控制到任意小。
X
第第
1100
三. 均方误差的收敛性分析及失调量
页页
LMS算法： 收敛后权向量在最佳权向量附近随机起伏，稳态
均方误差在附近随机起伏，产生额外的均方误差：
LMS的稳态均方误差
excess MSE E (n) min
excess MSE
失调量M=
min
N
Q excess MSE E (n) min min i
uv
2 E d(n)x N (n)
EEwuvwuv((nn))22EEuxvNuxv(NnR()nuxv)TNuxv(TnN)(nE)wuv(wuvn()n) 22EEdd((nn)u)pvuxvuxvNN((nn))
v uv uv
uv
I 2 R E w(n) 2 p
X
uv
v uv uv
uv
uv 2E e(n)xN (n)
若用平方误差e 2 (n)代替均方误差E[e 2 (n)], 则可得梯度
向量的近似表达式为
ˆ w (n)
e2u(vn) w
2e(n)
e(uvn) w
uv 2e(n)x N
(n)
ˆ w (n)是w(n)的无偏估计，其均值等于真值w(n)。
将上式带入权系数迭代公式，得
uv
uv
M tr R
i 1uv
mintr R
X
第第 1111 页页
uv
M tr R
uv tr R是矩阵R的迹，是R的N个特征值之和，也等于 矩阵R的主对角线元素之和。即NRx (0)。 步长因子和信号功率都对失调有影响。
控制失调量和加快收敛速度矛盾，故采用变步长因 子的方法。
X
第第
1122
wi (n 1) wi (n) 2e(n)x(n i)
当到达稳态时，应有
i 0,1, 2L N 1
LMwSi算(n法稳1)态解w存i (n在) 随 w机i*波(n动) 。
即e(n)x(n i) 0 i 0,1, 2L N 1 X
第第
二. LMS权系数的收敛性分析
66 页页
LMS算法迭代公式
数b(0) 1，试用Levinson - Durbin算法求模
型参数a3 (1), a3(2), a3(3)及b(0)。
解： 0 RX (0) 1
a1 (1)
k1
RX RX
(1) (0)
1 2
由 m m1(1 km2 ) 知
1 0 (1 k12 ) 11 4 3 4
X
第第 1188
E w(n 1) (I 2 R)E w(n) 2 p
uv
v uv uv
uv
w(n 1) (I 2 R)w(n) 2 p
第第 99 页页
比较
LMS算法迭代过程中权向量的平均特性跟最速梯度 法迭代过程中权向量的特性相同。
权向量将围绕最优点随机变化，在碗底附近徘徊。
均方误差的稳态值将大于最小均方误差，产生了额 外的均方误差（excess MSE）,也叫超量均方误差。
uv
uv
w(n) 2d(n)xN
(nd)(n)2uxvuxvTNTN((nn))wuwuvv((nn))uxvuxvNN((nn))
X
第第 77
页页
uv w(n)
2d
uv (n) x N
(n)
2
uvT xN
uv uv (n)w(n) x N
(n)
uv w(n)
uv
2d (n) x N
(n)
uv
（2）当时间常数一定时，失调量随着权系数的数目 N正比的增长。
（3）N越大，失调量M越大，但因权系数较多，故可 以更好地逼近所希望的脉冲响应和频响特性。
X
第第
3、4章作业部分参考答案
1144 页页
1. 某随机过程用AR模型拟和的结果是
1 H (z) 1 3.5z-1 4.58z2 2.6z3 0.58z4 试由它导出一个ARMA(2,1)模型。
若信号ur 非u平r 稳，统计特性是时变的，需要不断重新 估计 R和P ，因而运算量很大，这是自适应调整过
程不允许的。
X
ur ur 解决问题的关键：合理估计梯度而不需要用 R和P
第第 33页页ຫໍສະໝຸດ LMS算法：其基本思路与梯度下降法一致，不同之处在于 用梯度的估计值代替真实的梯度，既不需要求 相关矩阵，又不涉及矩阵求逆。
一. 权系数的迭代解 Q (n) E[e2 (n)]
w
(n)
ur w
E[e2
(n)]
2E[e(n)
ur w
e(n)]
其中
e(n)
d (n)
wT
(n)xN
(n)
，所以
ur e(n) w
r xN
(n)
X
uv
uv
第第
w(n 1) w(n) w (n)
44 页页
w (n)
ur w
E[e2 (n)]
2 xN
uvT (n) x N
uv (n)w(n)
I
2
uv xN
uvT (n) x N
(n)
uv w(n)
2d
uv (n) x N
(n)
E
uv xN
uvT (n) x N
(n)
uv R
uv
uv
最E速d梯(n度)法x N权(n) p
系数迭代公式
则上式变为：
uv
uv uv
uv
w(n 1) I 2 R w(n) 2 p
解：设ARMA(2,1)的系统函数为
H1(z)
B(z) A(z)
1
1 b1z1 a1z1 a2z2
AR模型的系统函数为
H(z) 1 C(z)
X
第第
令H1(z) H (z)得，B(z)C(z) A(z)
1155 页页
1
a(n) n 0,1, 2
即 k0 b(k)c(n k) 0
n3
当n=3时，b(0)c(3) b(1)c(2) 0
§5.4 最小均方(LMS)算法
1
第第
最速梯度法权系数迭代公式为
22 页页
uv
uv
w(n 1) w(n) w (n)
其中，梯度向量
uv uvuv
w (n) 2 p 2Rw(n)
代入迭代公式得：
uv
uv
uv uvuv
w(n 1) w(n) 2 wp(n)Rw(n)
ur ur
若信号平稳，则 R和P 可以由观测值估计得到。
2
1 8
X
第第 1199
页页
11 1 3
a3
(1)
a2
(1)
k3
a2
(2)
3
8
(
) 3
8
a3
(2)
a2
(2)
k3
a2
(1)
1 3
1 8
(
1) 3
3 8
min
RX (0)
p
ak RX
k 1
(k)
21 32
由 H(z)
G b0
p
1 ak zk
k 1
G 1知
min
2
b02
b0 21 32 42 8 X
b(1) c(3) 2.6 0.57 c(2) 4.58