中学初二之：辅助线的添设(竞赛)
初二辅助线添法思路
初二辅助线添法思路
初二数学辅助线添法是指在数学计算过程中使用辅助线来帮助解题的一种方法。
它可以使计算更加清晰、简便，从而提高解题效率。
以下是初二数学辅助线添法的思路：
1、找到计算中的难点
在计算过程中，有时我们会遇到一些难点，例如复杂的计算、大数字的加减乘除等等。
这时就可以考虑使用辅助线来解决问题。
2、画出辅助线
根据难点的不同，可以选择画出不同的辅助线。
例如，在加减法中，可以画出竖式辅助线；在乘法中，可以画出竖式、横式或斜式辅助线；在几何图形中，可以画出平移、旋转、对称等辅助线。
3、运用辅助线解题
画好辅助线之后，就可以运用它们来解题了。
在解题过程中，要注意辅助线的作用，正确地进行计算，最终得出正确的答案。
总之，初二数学辅助线添法是一种非常实用的解题方法，它可以在解决数学问题时提高效率、增强思维能力，是初中数学学习中不可缺少的一环。
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初二几何辅助线的几种添加方法+详细解析
初二几何辅助线的几种添加方法+详细解析大家都知道初二数学学习的重要性。
今天给大家带来初二的几何知识，希望同学们能好好看看，初三的同学也可以有时间复习一下！几何可以说占了初中数学的半壁江山，囊括了无数的重点知识、难点知识、无数的中考考点……几何知识主要集中在初二学习，如果初二不学好几何，将会拖累整个初三！！在几何问题中，添加辅助线可以说是解题的关键！辅助线画得好，解题轻松有快速！辅助线画不对，可能就是解题绕弯又出错！如何快速、添加利于解题的辅助线？？诀窍都在下面了！由角平分线想到的辅助线一、截取构全等如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。
自已试一试。
二、角分线上点向两边作垂线构全等如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求证：∠ADC+∠B=180分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。
近而证∠ADC与∠B之和为平角。
三、三线合一构造等腰三角形如图，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。
分析：延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。
四、角平分线+平行线如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。
分析：AB上取E使AC=AE，通过全等和组成三角形边边边的关系可证。
由线段和差想到的辅助线截长补短法AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。
分析：过C点作AD垂线，得到全等即可。
由中点想到的辅助线一、中线把三角形面积等分如图，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。
已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。
(完整word版)八年级数学上几何证明中的辅助线添加方法
八年级数学（上）几何证明中的辅助线添加方法数学组 田茂松八年级数学的几何题, 有部分题需要做出辅助线才能完成。
有的时候, 做不出恰当的辅助线,或者做不出辅助线, 就没有办法完成该题的解答。
为了能够更好的让学生在做几何题时得心应手, 现在将八年级数学中几何题的辅助线添加方法总结如下。
常见辅助线的作法有以下几种:1.遇到等腰三角形, 可作底边上的高, 利用“三线合一”的性质解题, 思维模式是全等变换中的“对折”。
2.遇到三角形的中线, 倍长中线, 使延长线段与原中线长相等, 构造全等三角形, 利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
3.遇到角平分线, 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线, 利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”, 所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.4.过图形上某一点作特定的平分线, 构造全等三角形, 利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。
5.截长法与补短法, 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等, 或是将某条线段延长, 是之与特定线段相等, 再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法, 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
6.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时, 常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来, 利用三角形面积的知识解答。
常见辅助线的作法举例:例. 如图1, ， . 求证: .分析：图为四边形, 我们只学了三角形的有关知识, 必须把它转化为三角形来解决。
证明: 连接 （或 ）∵//AB CD , //AD BC （已知） ∴∠1＝∠2, ∠3＝∠4 （两直线平行, 内错角相等） 在ABC ∆与CDA ∆中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)(43)()(21已证公共边已证CA AC ∴ABC ∆≌CDA ∆（ASA ） ∴AD BC =（全等三角形对应边相等）例. 如图2,在 中, , , , 的延长于 .求证: .分析: 要证 , 想到要构造线段 , 同时 与 的平分线垂直, 想到要将其延长。
初中几何添辅助线方法
初中几何添辅助线方法初中几何学中，添辅助线是解题的常用方法之一。
通过巧妙地引入辅助线，可以简化问题，帮助我们更好地理解和解决几何问题。
本文将介绍几种常见的初中几何添辅助线方法。
一、三角形的辅助线方法1. 垂心和垂足当我们遇到一个三角形，需要证明某条线段平行于另一条线段时，可以考虑引入垂心和垂足。
通过引入垂心和垂足，我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形，从而简化证明过程。
2. 中位线中位线是连接三角形两个顶点和中点的线段。
在解决三角形问题时，可以考虑引入中位线。
中位线将三角形分成两个全等的三角形，从而简化问题。
3. 角平分线角平分线将一个角分成两个相等的角。
在解决三角形问题时，可以考虑引入角平分线。
通过引入角平分线，我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形，从而简化证明过程。
二、四边形的辅助线方法1. 对角线对角线是四边形两个非相邻顶点之间的线段。
在解决四边形问题时，可以考虑引入对角线。
通过引入对角线，我们可以将四边形分成两个全等的三角形，从而简化问题。
2. 中线中线是连接四边形两个相邻顶点中点的线段。
在解决四边形问题时，可以考虑引入中线。
中线将四边形分成两个全等的三角形，从而简化问题。
三、圆的辅助线方法1. 半径和切线在解决圆的问题时，可以考虑引入半径和切线。
通过引入半径和切线，我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形，从而简化证明过程。
2. 弦和切线在解决圆的问题时，可以考虑引入弦和切线。
通过引入弦和切线，我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形，从而简化证明过程。
四、其他几何图形的辅助线方法1. 高和底边在解决梯形或三角形问题时，可以考虑引入高和底边。
通过引入高和底边，我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形，从而简化证明过程。
2. 中线在解决平行四边形问题时，可以考虑引入中线。
中线将平行四边形分成两个全等的三角形，从而简化问题。
初中几何学中的添辅助线方法是解题的重要手段之一。
通过巧妙地引入辅助线，我们可以简化问题，帮助我们更好地理解和解决几何问题。
初中数学竞赛—— 巧添辅助线
初一数学联赛班七年级第16讲巧添辅助线知识总结归纳一.截长补短法证明某线段长度等于另外两线段的和或者差，可以采取截长补短法。
二.角平分线相关的辅助线因为角平分线是角的两边的对称轴，所以一定要有对称、翻折的感觉。
三.等腰三角形“三线合一”的运用等腰三角形有很多特殊的性质，尤其要注意“三线合一”定理和逆定理的运用。
四.倍长中线法倍长中线的目的是构造全等三角形，转移边和角的关系，从而使条件变得集中。
典型例题一.截长补短法【例1】如图，ABC△中，2C B∠=∠，AD平分BAC∠，求证：AB AC CD-=．【例2】如图，在Rt ABC△中，90C︒∠=，AC BC=,AD平分CAB∠，求证：AB AC CD=+．ACBDBCA初一数学联赛班 七年级【例3】 如图，AB CD ∥，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上，求证：BC AB CD =+．【例4】 已知，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，180B D ∠+∠=．求证：AE AD BE =+．二. 等腰三角形经典模型的运用【例5】 如图，BO 平分CBA ∠，CO 平分ACB ∠，MN 与BC 平行，如12AB =，24BC =，18AC =，求AMN △的周长．M CBANOEDCB ADBACE初一数学联赛班七年级【例6】如图，已知在ABC△中，AD平分BAC∠，BD AD⊥，DE AC∥，求证：BE AE=．三.等腰三角形“三线合一”的运用【例7】如图，在等腰ABC△中，AB AC=，D是BC的中点，过A作AE DE⊥，AF DF⊥，且AE AF=．求证：EDB FDC∠=∠．【例8】如图，在等腰ABC△中，AB AC=，D是BC的中点，过A的直线//MN BC，在直线MN上点A的两侧分别取点E、F，且AE AF=．求证：DE DF=．ECDBACBFEADNCBAMFED初一数学联赛班 七年级【例9】 如图，2AB AC =，BAD CAD ∠=∠，DA DB =，求证：DC AC ⊥．【例10】 已知：3ABC C ∠=∠，BAE CAE ∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．四. 倍长中线法【例11】 已知，如图ABC △中，3AB =，5AC =，求中线AD 长度的取值范围．DCBADCBAECBA初一数学联赛班七年级【例12】如图，AD为ABC△的中线，AE EF=．求证：BF AC=．【例13】如图，在ABC△中，AD为中线，并且90BAD∠=，45DAC∠=．求证：2AB AD=．【例14】如图，在ABC△中（AB AC≠），D、E在BC上，且DE EC=，过D作DF BA∥交AE于点F，DF AC=．求证：AE平分BAC∠．FECBADDCBAE CDBAF初一数学联赛班 七年级【例15】 如图，在ABC △中，90C ∠=，M 为AB 的中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且PM QM⊥于M ．求证：222PQ AP BQ =+．思维飞跃【例16】 如图，已知100BAC ∠=，AB AC =，BE 平分ABC ∠，求证：AE BE BC +=．【例17】 已知，在ABC △中，60A ∠=，BD CE 、分别平分ABC ∠和ACB ∠．BD CE 、交于点O ，试判断BE CD BC 、、的数量关系，并加以证明．ABECDOBECA初一数学联赛班七年级【例18】如图，已知锐角ABC△中，BE CF、是高，在BE或者CF的延长线上，分别截取BQ CA=，CP BA=，且BM BC⊥，QN BC⊥．求证：PM QN BC+=．【例19】如图，AM是ABC△的中线，ABF△和AEC△均为等腰直角三角形，且90FAB EAC∠=∠=．求证：2EF AM=．作业1.已知：AD平分BAC∠，AC AB BD=+，求证：2B C∠=∠；AB D CEFPNM CBQA初一数学联赛班 七年级2. 如图，在四边形ABCD 中，已知AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，1()2AE AB AD =+，求证：180ABC ADC ∠+∠=．3. 如图，已知108BAC ∠=，AB AC =，BE 平分ABC ∠，求证：AB CE BC +=．4. 已知，AD 是ABC △的角平分线，CD DE =，EF AB ∥，求证：EF AC =．CA BDFEBECAABDCE初一数学联赛班七年级5.如图，已知OA OB=，AC BD=，且O A A C⊥，OB BD⊥，M为CD的中点．证明：OM平分AOB∠．6.如图，ABC△中，2AB AC=，AD平分BAC∠，且AD BD=，求证：CD AC⊥．7.如图，已知ABC△中，AH BC⊥于点H，35C∠=，且AB BH HC+=，求B∠的度数．8.如图，ABC△是等腰直角三角形，90BAC∠=，点P、Q分别是AB、AC上的动点，且满足BP AQ=，DCOBAB CDA⋅ADHCB初一数学联赛班 七年级D 是BC 的中点．（1）求证：PDQ △是等腰直角三角形；（2）P 运动到什么位置时，四边形APDQ 是正方形，并说明理由．9. 已知：如图，过ABC △的边BC 的中点D 作BAC ∠的平分线AG 的平行线，交AB 及CA 的延长线于点E 、F ．求证：BE CF =．10. 如图，ABC △内，60BAC ∠=，40ACB ∠=，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是BAC ∠、ABC ∠的角平分线．求证：BQ AQ AB BP +=+．ABQPCGEF CBAD QPDCBA。
八年级数学常用辅助线添加方法~倍长中线法
八年级数学常用辅助线添加方法~倍长中线法中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法” 添加辅助线。
所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而利用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。
倍长中线法最重要的一点：延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。
一、常用辅助线添加方法 ~ 倍长中线法如图在△ABC 中， AD 是 BC 边上的中线：图1方法一、延长 AD 到 E ，使 DE = AD ，连接 BE ：图2方法二、间接倍长：① 如图作CF⊥AD 于点 F ，作BE⊥AD 的延长线于点 E ，图3② 如图延长 MD 到 N 使 DN = MD ，连接 CN ，图4二、典型例题例题1、在△ABC 中，AB = 5 ， AC = 3 ，求中线 AD 的取值范围。
思路：用方法一（利用三角形中三边关系确定中线范围）例题2、已知在△ABC 中，AB = AC , D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于点 F ，且 DF = EF ，求证： BD = CE图5证明：过点 D 作DG∥AC 交 BC 于点 G图6∵ DG∥AC ∴ ∠GDF = ∠E ，∠DGB = ∠ACB∵ DF = EF ，∠DFG = ∠EFC∴ △DFG ≌ △EFC ∴ DG = CE∵ AB = AC ∴ ∠B = ∠ACB∴ ∠B = ∠DGB ∴ BD = DG = CE例题3、已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE = AC ，延长 BE 交 AC 于点 F ，求证：AF = EF图7证明：延长 AD 到点 G 使 ED = DG ，连接 CG图8∵ BD = DC , ED = GD , ∠BDE = ∠CDG∴ △BDE ≌ △CDG ∴ BE = CG ，∠BED = ∠G∵ BE = AC ∴ AC = CG ∴ ∠G = ∠CAG∵ ∠BED = ∠AEF ∴ ∠AEF = ∠FAE∴ AF = EF三、拓展提高（作业题）例题4、如图，在△ABC 中，AB ≠ AC ，D , E 在 BC 上，且 DE = EC , 过点 D 作DF∥BA ，交 AE 于点 F ，DF = AC 。
初中数学常见辅助线的添加方法
初中数学常见辅助线的添加方法在初中数学中，辅助线常被用来帮助解题，简化计算过程，提高解题思路的清晰度。
下面是一些常见的辅助线添加方法：1.均分法：在一条线段上取任意几点，通过连接这些点，将线段分成相等的几段。
这种方法常用于等分线段、等分角和相似三角形的证明。
2.垂线法：通过在其中一点上引垂线，将原问题转化为几个几何图形的关系，从而求解。
常见的应用包括求两直线的夹角、判断直线的平行性和垂直性等。
3.平行线法：通过在题目已给直线上引一条与之平行的线，通过相应角的等量关系，直接求得所求的角度。
这种方法常用于证明两线平行、比较两条直线角度大小等问题。
4.相似三角形法：通过在三角形中添加一条平行于边的辅助线，从而构成一形似的三角形，以解决问题。
这种方法常用于求解三角形的边长、角度和面积。
5.三角形中位线法：在三角形的一边上取一点作为中点，连接该点与另外两个顶点，得到两条中位线。
这种方法常用于证明三角形的重心等于重心的证明。
6.等腰三角形法：通过在题目中已给的等腰三角形上引一条高，来处理问题。
这种方法常用于相似三角形的证明和等腰三角形的性质证明。
7.矩形法：通过在题目中给出的矩形中添加一条线段，构成一个直角三角形或相似三角形，以解决问题。
这种方法常用于矩形的中点连接问题和直角三角形的性质证明。
8.圆的性质法：通过在题目中给出的圆中添加一条直线，以引出线段和角的关系，解决问题。
这种方法常用于圆与直线的相交性质证明和切线与弦的关系。
9.对称法：通过在题目中给出的图形中添加一条对称轴，找出对称关系，简化计算过程。
这种方法常用于图形的旋转、拆分和等比例放大缩小等。
10.长方形法：通过在题目中给出的长方形中添加一条线段，构成一个直角三角形或相似三角形，通过相似三角形性质求解问题。
这种方法常用于长方形的对角线、中点和三角形的关系证明。
这些辅助线添加方法可以帮助学生把复杂问题简化为易于解决的小问题，提高解题的效率和准确性。
初二辅助线的常见添法
初二辅助线的常见添法哎呀，今天咱们聊聊初二数学里的辅助线吧，嘿，别一听到数学就头大，这可是个有趣的话题呢！辅助线可不是啥神秘的东西，简单来说就是在图形里加上一些线，让问题变得更简单，大家都知道吧？就像做菜的时候加点调料，瞬间让味道提上去，数学也是如此，嘿嘿。
想象一下，你在解决一个几何题，画出个三角形，然后发现里面的一些角度怎么也算不出来，这时候，辅助线就像你的好朋友，给你捎来个大大的提示！老师一出题，大家都愁眉苦脸，怎么画都觉得没头绪。
这个时候你就可以大胆地尝试加条辅助线，哎，别小看这条线，可能它就是打开你思路的金钥匙！比如说，那个常见的直角三角形，可能一开始你只看到一条边，可是你加上一条高度线，瞬间就能让你看到更多的角和边，哎哟，这样算起来就容易多了，真是“小步快跑，稳中求胜”啊！然后有些小伙伴可能会问，辅助线到底怎么加？这可没啥固定模式，主要是根据题目的需求来。
想要找面积？加条平行线，打个标记，一眼就能看出各部分的关系。
找角度？那就得想想加条斜线，弄个三角形出来，嘿，你发现不，原来这条线能把难题变简单，真是“画龙点睛”的妙招！还有哦，很多时候你只要想想，如果这条线能帮助我找出某个点、某个角，或者某个面积，那就大胆画吧，反正不试试怎么知道呢！说到这里，有个小故事跟大家分享。
有次我在做几何题，愣是想不出解法，脑袋像被撞了一下，突然脑海里冒出个“灵光一闪”，赶紧加了一条辅助线，没想到一算，哦豁，原来这条线让题目变得简单无比，瞬间豁然开朗，真是让人觉得“柳暗花明又一村”啊！所以，别怕，多尝试，多画几条线，灵感说不定就来了。
再说说那些常见的几何题，哎呀，真的是让人哭笑不得。
有时候题目里的图形就像个迷宫，横七竖八的线让人眼花缭乱。
这个时候，画上几条辅助线，像极了给迷宫加上指示牌，一下子就能找到出路。
比如说，你要找三角形的面积，搞清楚底和高不容易？加一条垂线，问题立马迎刃而解，简直就是“事半功倍”！辅助线的运用可不止于此，很多时候它还能帮助你理解题目，尤其是那些复杂的图形。
八年级常见几何模型及辅助线添法
条件：AD平分∠CAB，∠CAB=45° 条件：P在∠AOB内部，∠AOPB=30° AB=2
条件：∠ADB=∠ACB=90°，P,Q分别为AB,DC中点
C Q
D E
D
A
P
B
Q
A
P
B
C
结论：（1）△DPC为等腰三角形 （2）PQ⊥CD
条件：△ABC为等腰直角三角形，DE⊥DF
C
B
F
E
F
A
D
C
B
线段之和+截长（补短）法
例3.如图，△ABC的两条角平分线BD,CE相交于点O， ∠A=60°，求证：CD+BE=BC.
中点（中线）+倍长中线法
例4.已知，如图△ABC中，AB=7，AC=5，则中线AD的取 值范围是_________.
A
B
D
C
等腰直角三角形+三垂直
例5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AD=7， BC=9，若DE⊥DC，且DE=DC，则△ADE的面积是_________.
一线三等角（K字型、三垂直）
1、已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线 m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、 E.证明:DE=BD+CE.
C B
D
A
Em
解决K字模型，常用同角的余角相等.
条件：△ABD和△BCE是等边三角形
结论：（1） △ABE≌△DBC （3） AE与DC的夹角为60。 （4）连接BH，HB平分∠AHC
（2） AE=DC
条件：△ABE和△ACF是等腰直角三角形
F
E
A
M
初二数学辅助线技巧及例题
初二数学辅助线技巧及例题摘要：1.引言：初二数学的重要性2.辅助线的概念和作用3.辅助线添加的方法和技巧4.典型例题解析5.总结：如何运用辅助线解决数学问题正文：【引言】初二数学是中学阶段的一个重要转折点，对于学生的数学素养和逻辑思维能力的培养具有重要意义。
在这一阶段，辅助线的添加成为了解决许多数学问题的关键。
因此，掌握辅助线的技巧和方法显得尤为重要。
【辅助线的概念和作用】辅助线是在解决数学问题时，为方便分析问题、找到解题思路而添加的线段。
它可以帮助我们更好地理解问题，将复杂问题简化，从而找到解决问题的方法。
在初二数学中，辅助线广泛应用于几何、代数等领域，对于提高解题效率具有重要意义。
【辅助线添加的方法和技巧】1.观察题目，分析问题：在解题过程中，首先要认真观察题目，找到问题的关键点，分析问题所涉及的知识点。
2.灵活运用知识点：根据分析，将相关知识点运用到题目中，添加合适的辅助线。
3.寻找规律：通过多次练习，总结辅助线添加的规律和方法，提高解题速度。
4.结合已知条件：在添加辅助线时，要充分利用已知条件，将问题转化为容易解决的形式。
5.注重几何图形的性质：在解题过程中，要熟练掌握几何图形的性质，如垂直、平行、相等、相似等，以便更好地添加辅助线。
【典型例题解析】例题1：已知等腰三角形ABC，AB=AC，BC=2AB，求角B的大小。
解：添加辅助线，作AD⊥BC，垂足为D。
由于AB=AC，BD=CD，所以∠ADB=∠ADC。
又因为∠B+∠C=180°，所以∠ADB=∠ADC=60°。
故角B的大小为60°。
例题2：求解方程组：x+y=4，2x-3y=7。
解：添加辅助线，将方程组转化为几何问题。
作直线l1：x+y=4，作直线l2：2x-3y=7。
求解两条直线的交点，得到x=1，y=3。
所以方程组的解为：x=1，y=3。
【总结】掌握辅助线添加的技巧和方法，能够帮助我们更快地解决数学问题。
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初中几何证明
——辅助线的添设
江苏省木渎高级中学高福龙
一、师生互动
例1(1) 在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，I为内心，D为AB上一点，使得BD=BI．则∠BCD的度数为．
(2) 在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，在边AB、AC上取点D、E，使得∠EBC=60°，
∠DCB=50°，则∠BED的度数为．
(3) 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，CE是∠BCD的平分线，CE⊥AD于点E，DE=2AE，CE把梯形的面积分为S1、S2两部分．若S1=1，则S2= ．
(4)在△ABC中，已知E是边BC上的一中点，D是AC上的一点，AC=1，∠BAC=60°，∠ABC=100°，∠DEC=80°，则S⊿ABC+2S⊿CDE的值．
(5) 一个六边形的六个内角都是120°，连续四条边的长依次为1、3、3、2．则六边形的周长为．
C D
D C
例2凸六边形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，FA-CD=3求BC+DE．
例3 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上的一点，且AE垂直BD 的延长线于点E，又有AE=BD．求证：BD平分∠ABC．
例4在△ABC中，∠A=20°，AB=AC=a，BC=b．求证：a3+b3=3a2b
B C
例5(1)如图，已知四边形ABCD 中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，
，
BC=5，CD=6，则AD 的长为 ．
(2)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠CAB=45°，BC=3，CD=2，求S △ABC ．
(3)如图，把一张边长超过10 的正方形纸片剪成5个部分．则中间小正方形(阴影部分) 的周长为 ．(2007 ，浙江省初中数学竞赛初赛)
(4)如图，在梯形ABCD 中， AD ∥BC (BC >AD )，∠D =90°，BC =CD =12 ，∠ABE =45°．若AE =10，则CE 的长度为 (2004 ，全国初中数学竞赛)
例6 如图， 已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD 、BC 为边分别向外作正方形ADEF 与正方形BCGH ， I 为线段EG 的中点，联结ID 、IC ． 证明: ID = IC ．(2004 ，全国初中数学联赛)
例7在等腰三角形的两腰AB 、AC 上分别取两点E 和F ，使AE=CF ，若BC=2． 求证：EF ≥1
例6如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAF=∠BCE ．求证：∠EBA=∠ADE ．
D B
F
C D B
B
C A B
例7如图，AD 、CE 是△ABC 的高线，在AB 上取一点F ，使AF=AD ．过点F 作BC 的平行线交BC 的平行线交AC 于G ．求证：FG=CE ．
例8如图，P 为△ABC 的中位线DE 上的一点，BP 交AC 于N ，CP 交AB 于M ．求证：
1=+MB
AM
NC AN ．
例9如图，O 为正方形ABCD 内一点，∠OAD=∠ODA=15°． 求证：△OBC 是等边三角形．
例10 ABCD 为任意四边形，E 、F 、G 、H 分别为AB 和CD 的三等分点，而M 、N 分别为AD 、BC 的中点．求证EG 、FG 被MN 平分，而MN 被EG 、FH 三等分．
例11如图，设a 、b 、c 表示△ABC 的顶点A 、B 、C 所对的边，h 表示AB 边上的高， 求证：（1
）a b +≥（2）当已知△ABC 具备什么条件时，上述结论的等号成立．
D
B D
例12直角∠POQ 内有一动点C ，试在OP 上求一点A ，使BC+CA 等于定长l ，且四边形AOBC 的面积最大．
例13如图，在梯形ABCD 内作半圆，使其与梯形上底及两腰相切，且直径在下底上，若AB=2，CD=3，求下底BC 的长．
C
B O
三、自主探究 1、凸六边形ABCDEF 的六个内角都相等，AB=a ，BC=b ，CD=c ，DE=d ，求六边形ABCDEF 的面积．
2、在四边形ABCD 中，∠A=60°∠B=∠C=90°，CD=2，CB=11，求AC 的长．
3、如图， A 、B 、C 三个村庄在一条东西走向的公路沿线上， AB =2km ，BC =3km ，在B 村的正北方向有一个D 村， 测得∠ADC =45°．今将△ADC 区域规划为开发区， 除其中4km 2的水塘外，均作为建筑或绿化用地． 试求这个开发区的建筑及绿化用地的面积是多少? (1995 ，北京市初二数学竞赛复赛)
4、如图，在直角梯形ABCD 中， AB = BC =4 ，M 为腰BC 上一点，且△ADM 为等边三角形．
则S △CDM ∶S △ABM = ．(2007 ， 全国初中数学联赛四川初赛)
5、在△ABC 中，AB=AC ，∠A=80°，D 为形内一点，且∠DAB=∠DBA=10°，则∠ACD= °．
6、设P 是平行四边形ABCD 内一点，∠BAP=∠BCP ．求证：∠PBC=∠PDC ．
7、分别以△ABC 的AB 、AC 边为一边向形外作正方形ABDE 、ACFG ，过A 作BC 边的垂线交EG 于M ，H 为垂足．求证；EM=MG ．
8、AB 为⊙O 的弦，C 、D 为直线AB 上的点，AC=BD ．分别过C 、D 作⊙O 的切线，E 、F 为切点，且E 、F 为切点，且E 、F 分别在直线CD 的两侧．求证：EF 平分CD ．
9、以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形
BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，AB=4，AO=．求AC 的长．（2007年浙江省初中数学竞赛复赛）
D
B
M
B
C
A。