高中数学第五章数系的扩充与复数的引入2.1复数的加法与减法同步练习北师大选修2-2讲解
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 2.1 复数的加法与减法
同步练习 北师大版选修2-2
高手支招6体验成功
基础巩固
1.如果复数z 满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是（ ） A.1 B.2 C.2 D.5
答案:A
思路分析：由复数模的几何意义知|z+i|+|z-i|=2表示复平面上以点Ａ(０,1),Ｂ(０,-1)为端点的线段ＡＢ上的点,从而|z+i ＋1|＝|z-(-1-i)|表示线段ＡＢ上的点Z 到点C(-1,-1)的距离.∴|z+i＋1|的最小值为|BC|＝1.
2.设f(z)=1-z,z 1=2+3i,z 2=5-i,则f(z 1-z 2)的值为____________.
答案：4-4i
思路分析：f(z)=1-z 可视为关于z 的函数,自变量是复数,然后将z 1-z 2代入.f(z 1-z 2)=1-(z 1-z 2)=1-z 1+z 2=1-(2+3i)+(5-i)=4-4i.
3.复平面内的三点A 、B 、C,A 点对应的复数为2+i,对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求点C 对应的复数.
解：∵BA 对应的复数是1+2i,向量BC 对应的复数为3-i, ∴对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i. 又+=,∴C 对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.
思路分析：由复数、点及向量对应关系可知,所求复数即为向量对应的复数.由加减法几何意义得AC OA OC +=.
4.已知M={1,(m 2-2m)+(m 2
+m-2)i},P={-1,1,4i}.若M∪P=P,求实数m 的值.
解：∵M∪P=P,∴M ⊆P,∴由(m 2-2m)+(m 2+m-2)i=-1
得⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-,02,1222m m m m 解之得m=1. 由(m 2-2m)+(m 2
+m-2)i=4i,
得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-,42,0222m m m m 解之得m=2. ∴实数m 的值为1或2.
思路分析：由M∪P=P 知,M 是P 的子集,从而可知(m 2-2m)+(m 2+m-2)i=-1或4i,利用复数相等
就可求得m 的值.
综合应用
5.已知复数|z|=2,求复数1+3i+z 的模的最大值、最小值.
解：由已知,复数z 对应的点Z 在复平面内以原点为圆心,半径为2的圆上,设ω=1+3i+z,∴z=ω-1-3i.
∴|z|=|ω-(1+3i)|=2,所以复数ω对应的点在复平面内,以(1,3)为圆心,半径为2的圆上,此时圆上的点A,对应的复数ωA 的模有最大值,圆上的点B,对应的复数ωB 的模有最小值.如上图,故|1+3i+z|max =4,|1+3i+z|min =0.
思路分析：可以由复数的几何意义采用数形结合的方法来解.
6.设z 1=1+2ai,z 2=a-i(a∈R ）.已知A={z||z-z 1|≤2},B={z||z-z 2|≤22},A∩B=∅,求a 的取值范围.
解：将z 1=1+2ai 代入|z-z 1|≤2,得|z-(1+2ai)|≤2,它表示以(1,2a)为圆心,以2为半径的圆及其内部;将z 2=a-i(a∈R ）代入|z-z 2|≤22,得|z-(a-i)|≤22,它表示以(a,-1)为圆心,以22为半径的圆及其内部;∵A∩B=∅,∴两圆相离,∴两圆圆心距大于两圆半径之和,即|z 1-z 2|>2+2
2,∴|1+2ai -a+i|>32,∴a<-2或a>58,∴a 的取值范围是(-∞,2)∪(5
8,+∞). 思路分析：充分利用复数的几何意义,可知集合A 、B 均是圆及其内部,要使A∩B=∅,只要使两圆相离.因此,只要符合d>R+r(其中d 是圆心距,R 是大圆半径,r 是小圆半径).
7.设复数z=2+ai(a∈R ),求|z+1-i|+|z-1+i|的最小值.
解：如右图,复数z=2+ai(a∈R )所对应点的轨迹是直线x=2,而|z+1-i|+|z-1+i|的几何意义是直线x=2上的点到点A(-1,1)、B(1,-1)的距离之和,作点A 关于直线x=2的对称点A′,可知A′坐标为(5,1),则求复数z 所对应点到点A(-1,1)、B(1,-1)的距离之和的最小值即求复数z 所对应点到点(5,1)、B(1,-1)的距离之和的最小值,而两点之间线段最短,故复数z 所对应点到点A(-1,1)、B(1,-1)的距离之和的最小值即|A′B|=52)1(1()15(22=--+-.
思路分析：|z+1-i|+|z-1+i|的几何意义是复数z 所对应点到点(-1,1)、(1,-1)的距离之和,通过数形结合便可解之.。
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入教材习题点拨北师大版选修22
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入教材习题点拨 北师大版选修2-2教材习题点拨练习(P 101) 1.解:(1)1＋2i 实部为1,虚部为2,它是虚数; (2)21-+23i 实部为21-21-,虚部为23,它是虚数; (3)（3-1）i 实部为0,虚部为3-1,它是纯虚数;(4)0实部为0,虚部为0,它是实数.思路分析:依据有关复数的基本概念去判断.2.解:(1)（-2x+3)+(y-4)i=0⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧==+-⇒.4,23,4,032y x y x(2)(3x-2y)+(x+2y)i=3-6i ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧-=+=-⇒.852,43,62,323y x y x y x思路分析:(1)复数为零的充要条件是它的实部和虚部都为0.(2)两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等.3.解:A 点表示的复数是4+3i,B 点表示的复数是-3+2i,C 点表示的复数是-4-3i,D 点表示的复数是-3i,E 点表示的复数是3-2i.思路分析:复平面内的点和复数是一一对应的,复平面的横轴表示实部,纵轴表示虚部.4.答案:(1)b=0;(2)a=0;(3)b>0;(4)a<0.思路分析:(1)点Z 位于实轴上,必然是复数的虚部为零;(2)点Z 位于虚轴上,必然是复数的实部为零;(3)点Z 位于实轴上方,必然是复数的虚部大于零;(4)点Z 位于虚轴左方,必然是复数的实部小于零.5.解:(1)|z 1|=2212)5(+-=13;(2)|z 2|=41)5(422=-+;(3)|z 3|=22)1()3(-+=2.思路分析:利用公式|z|=22b a +计算即可.习题51(P 102)A 组1.解:(1)复数（m 2-2m-3)+(m 2-3m-4)i 为实数的充要条件是:m 2-3m-4=0,可以得出m=4或m=-1;(2)复数(m 2-2m-3)+(m 2-3m-4)i 为纯虚数的充要条件是:m 2-2m-3=0且m 2-3m-4≠0,可以得出m=3;(3)复数(m 2-2m-3)+(m 2-3m-4)i 为零的充要条件是:m 2-2m-3=0且m 2-3m-4=0,可以得出m=-1.2.解:(1)⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+,7,1.1,7,7,6y x y x xy y x 或 (2)⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--.1,1,4,1,1,5,4,5,043,05422y x y x y x y x y y y x 或或或 思路分析:利用复数为零或复数相等的条件列出方程组,解出相应的未知数即可.3.解:如下图:-1+2i 对应的点为A,23+21i 对应的点为B,3i 对应的点为C,5对应的点为D. 思路分析:复平面的横轴表示实部,纵轴表示虚部,依据相应的数据分别画出各点即可.4.解:(1)|3-4i|=22)4()3(-+=5; (2)|21-23i|=22)23()21(-+=1; (3)|-6|=6;(4)|-5i|=5.思路分析:利用求复数模的公式即可.B 组解:(1)点Z 不在实轴上实际上就是要求m 2-4m-5≠0,由此可以得出m≠5和m≠-1.(2)点Z 位于虚轴上,实际上就是要求m-1=0,由此可以得出m=1.(3)点Z 在实轴下方,实际上就是要求m 2-4m-5<0,由此可以得出-1<m<5.(4)点Z 在虚轴右方,实际上就是要求m-1>0,由此可以得出m>1.STS数的概念的五次扩充数的概念是现代数学的基本概念之一,它是人类由于生产和生活的实际需要而逐步形成并加以扩展的.人类最初为了实际需要,要对某种物体的集合作出量的估计.随着经验的积累,人们逐渐形成了“多少”的概念.但在这个历史时期里,数还没有被人们从具体的事物中分离出来. 随着历史的发展,人们千百万次地重复进行比较和计算,最后才把数与具体事物相分离,引进了数字符号.希腊人已经知道了自然数1,2,……的集N .公元6世纪,印度数学家运用了“0”.我国古代也在筹算中利用空位来表示“0”.引进数0,把自然数集扩充成为扩大的自然数集,即非负整数集.生产、生活的发展,对于像长度、时间、重量等量,仅用自然数就不能把它们完全表示出来,这便促使人们引进正分数,形成非负有理数集,即算术数集.这是数的概念的第二次扩充.希腊人知道了正有理数qp (p,q 为正整数).由于表示具有相反意义的量的需要,在算术数的基础上,引进负数形成有理数集,这是数的概念的第三次扩充.阿拉伯人受印度的影响而发明了代数之后,提出了求解像3x+2=0一类的方程,“负数”也就应运而生了.我国古代数学巨著《九章算术》第八章“方程”章里,提出了“正负术”,完整地叙述了正负数的不同表示法和正负数的加减法则.公元6世纪,希腊数学家毕达哥拉斯在研究用一个正方形的边长作为单位长,去度量这个正方形的对角线时,发现两者是不能用分数表示.为了解决这个矛盾,导致了无理数概念的产生.这是数的概念的第四次扩充.15世纪中叶,欧洲工商业的繁荣与发展提出了大量的、新的数学问题.1545年,意大利数学家卡丹在解三次方程中引用了负数开平方的运算,并引进了新的数——虚数i=1 .但许多数学家都不承认这种新数.1572年意大利邦别利第一次在代数里给复数的运算以正式的论据,1777年数学家欧拉建立了复数的系统理论,对这种数才有了进一步的认识.这是数的概念的第五次扩充.。
2020版高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.1复数的加法与减法课件北师大版选修2_2
【解析】(1)因为A，C对应的复数分别为3+2i，-2+4i， 由复数的几何意义，知 OA与OC 表示的复数分别为3+ 2i，-2+4i. ①因为 AO＝－OA，所以 AO 表示的复数为-3-2i.
②因为 CA＝OA－OC， 所以 CA表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. ③因为 OB＝OA＋所O以C， 表示O的B 复数为(3+2i)+ (-2+4i)=1+6i.
即(x，y)-(1，2)= (-1，-2)-(-2，1)， (x-1，y-2)=(1，-3)，
所以
x y
1 1解, 得
2 3,
x 2, y 1.
故点D对应的复数为2-i. 若BC为平行四边形的一条对角线，则AC B同D，理， 得点D对应的复数为-4-3i. 若AB为平行四边形的一条对角线，则CA B同D，理， 得点D对应的复数为5i.
所以|z|i+z= x2＋y2 i+x+yi= x＋( x2＋y2＋y)i
=1+3i，所以
x＝1，
x2 y
2＋y＝3
所以z=1+ 4 i.
3
答案：1+ 4 i
3
x＝1，
解得
y＝
4 3
,
2.原式=4i+(1-3i)=1+i.
【内化·悟】 1.若z1=a+bi，z2=c+di，则z1±z2如何计算？ 提示：根据复数运算法则：z1±z2=(a±c)+(b±d)i.
【思维·引】1.复数z=a+bi在复平面上对应的向量为 OZ =(a，b).
2.利用向量相等或对称性，求第四个顶点对应的复数.
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入单元测试 北师大版选修2-2(2021年最新整理)
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入单元测试北师大版选修2-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第五章数系的扩充与复数的引入单元测试北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第五章数系的扩充与复数的引入单元测试北师大版选修2-2的全部内容。
第五章 数系的扩充与复数的引入单元检测（时间：45分钟，满分:100分)一、选择题（每题5分，共40分）1．已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，若z 1－z 2是纯虚数，则有（ )．A ．a －c ＝0，且b －d ≠0B ．a －c ＝0，且b ＋d ≠0C ．a ＋c ＝0，且b －d ≠0D ．a ＋c ＝0，且b ＋d ≠02．如果一个复数和它的模的和为5＋,那么这个复数是（ ）．A ．115BC ．115+D ．115+ 3．已知复数z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i,则复数z ＝z 1－z 2在复平面内对应的点Z 位于复平面内的（ )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．ABCD 中，点A ，B ，C 分别对应复数4＋i ，3＋4i ，3－5i ，则点D 对应的复数是( )．A ．2－3iB ．4＋8iC ．4－8iD ．1＋4i5．若x ∈C ,则方程|x ｜＝1＋3i －x 的解是（ ）．A ．12+B ．x 1＝4，x 2＝－1C ．－4＋3iD ．13i 22+ 6．i＝（ ）．A ．14-B ．14C ．12+D ．12 7．i 是虚数单位,若17i 2i +-＝a ＋b i （a ,b ∈R )，则乘积ab 的值是（ ）． A ．－15 B ．－3 C ．3 D ．158．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z＝（ )． A ．iB ．－iC ．±1D ．±i二、填空题(每题5分，共15分）9。
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入2_2复数的乘法与除法教材习题点拨北师大版选修22
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 复数的乘法与除法教材习题点拨 北师大版选修2-2教材习题点拨练习(P 107)1.解:(1)（1+3i ）（3+2i ）=3+2i+9i-6=-3+11i ；（2）（-1-2i ）（2i+4）=-2i+4-4-8i=-10i ；(3)（21-+23i ）2=（21-+23i ）（21-+23i ）=41-43i-43i-43=21-23-i ； (4)(3+2i)(-3+2i)=-9+6i-6i-4=-13.思路分析:按照复数相乘的法则分项相乘即可.2.解:(1)i·i 2·i 3·i 4=i 10=-1；(2)i+i 2+i 3+i 4+i 5+i 6+i 7+i 8=i-1-i+1+i-1-i+1=0.思路分析:利用公式:i 4n =1,i 4n +1=i,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i 分别计算即可.3.解:(1)（-2+3i ）3=［(-2+3i)(-2+3i)］(-2+3i)=(-5-12i)(-2+3i ）=46+9i;(2)(1+2i)4=［(1+2i)(1+2i)］2=(4i-3)2=-7-24i. 思路分析:灵活利用复数相乘的法则进行计算即可. 4.解:(1)i i i i i i i i 1321331323)32)(32()32(32+-=+-=+-+=-; (2)1042231)3)(3()3)(1()1)(1()1)(2(3112i i i i i i i i i i i i i i +++=+-++++-++=-++-+ i i i i 1019107101971042)31(5+=+=+++=. 思路分析:综合应用复数的运算法则计算即可.习题5-(P 107)A 组1.解:(1)i+（3+4i ）=3+（i+4i ）=3+5i ；(2)（1-i ）-（1+i ）=（1-1）+（-i-i ）=-2i ；(3)（2-i ）-（3+i ）=（2-3）+（-i-i ）=-1-2i ；(4)（1-4i ）+（2-i ）=（1+2）+（-4i-i ）=3-5i.2.解:(1)（1+i ）（3+4i ）=3+4i+3i-4=-1+7i ；(2)（1-2i ）（1+2i ）=1+2i-2i+4=5；(3)（3+i ）（3-2i ）（1-i ）=［(3+i)(3-2i)］(1-i)=(9-6i+6i+2)(1-i)=8-14i;(4)［（5-4i ）+（1+3i ）］（5+2i ）=（6-i ）（5+2i ）=32+7i.思路分析:综合应用复数的加、减、乘运算法则运算即可.3.解:(1)i 4n +i 4n +1+i 4n +2+i 4n +3=1+i-1-i=0;(2)i 4n ·i 4n +1·i 4n +2·i 4n +3=1·i·(-1)·(-i)=-1.思路分析:注意利用公式i 4n =1,i 4n +1=i,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i.4.解:(1)132)32(32-+=••-=-i i i i i i i =-2i-3;(2)11121)1)(1()1)(1(11+-+=+-++=-+i i i i i i i =i; (3)i i i i i i i i i i i 545354322412)2)(2()2)(2(2222+-=+-=-+-+=-+--=+-; (4)i i i i i i i i i i i 51513513)2(110563)21)(21()21)(53(215322+=+=-+-+=+-+-=--. 思路分析:进行复数的除法时,要注意将分母转化为实数.5.解:(1)（1+2i)2=1+4i-4=-3+4i;(2)(3-4i)2=9-12i-12i-16=-24i-7.思路分析:注意利用公式(a+b)2=a 2+2ab+b 2.6.答案:-1.思路分析:(i i -+11)2=ii 22-=-1. 7.解:i m m i m m i i i mi i mi 5122152215)12(221)2)(2()2)(1(2121+++-=++-=++-++=+-+,实部与虚部相等,也就是675122152=⇒+=+-m m m . B 组1.答案:A思路分析：与复数z=3-4i 共轭的复数为3+4i,由于复数的实部和虚部都大于0,因此应该在第一象限.2.解:(1)z =-3-i (2)z =-3i-2 (3)z =1+3i (4)z =3+4i各对复数对应的点如下图所示A ，A′;B,B′;C，C′;D,D′分别对应（1）中的z 和z ；（2）中的z 和z′；（3）中的z 和z ；（4）中的z 和z.思路分析:一个复数的共轭复数实际上就是实部不变、虚部变为相反数时的复数.3.答案：略.4.解:419)23(641)3)(3()3)(2(41322++++-=++-++=+-+ai a a ai ai ai i ai ii a a a a a i a a a a a a a i a a 222222224368124364334368124369424)9(4)9(])23(6[4+++++-=++++++-=+++++-=,由复数的实部和虚部相等可以得出:⇒++=++-222436812436433aa a a a 33-4a+a 2=12+8a ⇒a 2-12a+21=0⇒a=6±15. STS复数的形成与发展(二)挪威的测量学家成塞尔(1745—1818)在1779年试图给予这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视.德国数学家高斯(1777—1855)在1806年公布了虚数的图像表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示.在直角坐标系中,横轴上取对应实数a 的点A,纵轴上取对应实数b 的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C 就表示复数a+bi.像这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“高斯平面”.高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a+bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”.他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合.统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数一一对应,扩展为平面上的点与复数一一对应.高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间一一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法.至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了.经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不虚呵.虚数成为数系大家庭中的一员,从而实数集才扩充到了复数集.随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且对证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据.。
北师大数学选修22配套作业：第五章 数系的扩充与复数的引入 §1 含解析
第5章 §1 数系的扩充与复数的引入A 级 基础巩固一、选择题1．(2019·泉州高二检测)如果复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 为纯虚数，那么实数a 的值为( A )A ．－2B ．1C ．2D ．1或－2[解析] 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0a 2－3a ＋2≠0解得a ＝－2，故选A.2．设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( A ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3[解析] 由题意知(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ∴a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3. 故选A.3．(2019·西安高二检测)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] a ＋b i ＝a ＋b ii 2＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，故选B.4．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( B ) A ．1 B ．2 C ． 3D ．2[解析] 因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝2，选B.5．设x ，y 均是实数，i 是虚数单位，复数(x －2y )＋(5－2x －y )i 的实部大于0，虚部不小于0，则复数z ＝x ＋y i 在复平面上的点集用阴影表示为图中的( A )[解析] 由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x －2y >05－2x －y ≥0，可行域如A 所示，故选A.6．若复数z 1＝sin2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(θ∈R )，z 1＝z 2，则θ等于( D ) A ．k π(k ∈Z ) B ．2k π＋π3(k ∈Z )C ．2k π±π6(k ∈Z )D ．2k π＋π6(k ∈Z )[解析] 由复数相等的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧sin2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ.∴cos θ＝32，sin θ＝12.∴θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，故选D. 二、填空题7．方程(2x 2－3x －2)＋(x 2－5x ＋6)i ＝0的实数解x ＝2.[解析] 方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x －2＝0，x 2－5x ＋6＝0.解得x ＝2.8．(2019·江苏卷，2改编)已知复数a －2＋(a ＋2)i 为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是2.[解析] a －2＋(a ＋2)i 为纯虚数， ∴实部为0且虚部不为0，故a ＝2. 三、解答题9．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是： (1)对应点在x 轴上方；(2)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．[解析] (1)由m 2－2m －15>0，得知m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方； (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得知：m ＝－3－414或m ＝－3＋414，z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．10．(2019·会宁期中)设复数z ＝(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i ，试求实数m 的取值，使得(1)z 是纯虚数；(2)z 对应的点位于复平面的第二象限．[解析] (1)复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0由⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3＝0m 2＋3m ＋2≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或m ＝3m ≠－1且m ≠－2，得m ＝3.(2)当复数对应的点在第二象限时，由⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3<0m 2＋3m ＋2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3m >－1或m <－2，得－1＜m ＜3.B 级 素养提升一、选择题1．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R )，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围为( D )A ．－7≤λ≤916B ．916≤λ≤7C ．－1≤λ≤1D ．－916≤λ≤7[解析] 由z 1＝z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，消去m ，得λ＝4sin 2θ－3sin θ ＝4(sin θ－38)2－916.由于－1≤sin θ≤1，故－916≤λ≤7.2．(2019·哈尔滨高二检测)若复数z ＝(sin θ－35)＋(cos θ－45)i(θ∈R )是纯虚数，则tan(θ－π4)的值为( A )A ．－7B ．－17C ．7D ．－7或－17[解析] 因为复数z 是纯虚数，所以满足实部为零且虚部不为零，即⎩⎨⎧sin θ＝35，cos θ≠45，因为sin θ＝35且cos θ≠45，所以cos θ＝－45，所以tan θ＝－34，所以tan(θ－π4)＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7.二、填空题3．若复数z ＝log 2(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)为实数，则x 的值为4. [解析] ∵复数z ＝log 2(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)为实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0x －3＝1，解得：x ＝4. 4．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是5.[解析] 由复数的几何意义可知，O C →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i ，由复数相等可得，⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.∴x ＋y ＝5. 三、解答题5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1，求实数x ，y 的值．[解析] 由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1＝3x ＋2y ＋y i ， 故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i. 因为x ，y 为实数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，得x ＝－1，y ＝2.6．已知复数z 0＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z ＝(a ＋3)＋(b －2)i ，若|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹．[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则复数z 的对应点为P (x ，y )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋3，y ＝b －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x －3，b ＝y ＋2.① ∵z 0＝a ＋b i ，|z 0|＝2，∴a 2＋b 2＝4. 将①代入得(x －3)2＋(y ＋2)2＝4.∴点P 的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．C 级 能力拔高已知z ∈C ，|z －2i|＝2，当z 取何值时，|z ＋2－4i|分别取得最大值和最小值？并求出最大值和最小值．[解析] 解法一：如图所示，|z －2i|＝2在复平面内对应点的轨迹是以(0,2)为圆心，2为半径的圆．|z ＋2－4i|＝|z －(－2＋4i)|，欲求其最大值和最小值，即在圆上求出点M ，N ，使得M 或N 到定点P (－2,4)的距离最大或最小．显然过P 与圆心连线交圆于M ，N 两点，则M ，N 即为所求．不难求得M (1,1)，N (－1,3)，即当z ＝1＋i 时，|z ＋2－4i|有最大值，为32；当z ＝1＋3i 时，|z ＋2－4i|有最小值，为 2.解法二：如图所示，设ω＝z ＋2－4i ，则z ＝ω－2＋4i ，代入|z －2i|＝2得|ω－2＋2i|＝2，在复平面内ω对应的点在以(2，－2)为圆心，2为半径的圆上运动．欲求|ω|的最值，即求圆上的点到原点的距离的最值．圆心与原点的连线交圆于M，N两点，则M(3，－3)，N(1，－1)即为所求．当ω＝3－3i，即z＝1＋i时，|ω|取最大值，为32；当ω＝1－i，即z＝－1＋3i时，|ω|取最小值，为 2.。
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入52复数的四则运算第29课时复数的加法与减法作业课件北师大版选
(2)|Z→1Z2|＝|Z→2Z1|＝|9＋i|＝ 82. ∴复数 z1，z2 对应两点间距离为 82.
——能力提升—— 14．(5 分)设复数 z 满足条件|z|＝1，那么|z＋2 2＋i|的最大值 是4 .
解析：复数 z 满足条件|z|＝1，z 所对应的点的轨迹是单位圆， 而|z＋2 2＋i|即表示单位圆上的动点到定点(－2 2，－1)的距离．从 图形(图略)上可得|z＋2 2＋i|的最大值是 4.
解析：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝ a2＋b2， 代入方程得 a＋bi＋ a2＋b2＝2＋8i.
所以a＋ a2＋b2＝2， b＝8，
解得ab＝ ＝－ 8. 15，
所以 z＝－15＋8i.
11．已知 z∈C，且|z－2i|＝1，则复数 z 的虚部的取值范围是 [1,3]．
解析：根据复数中的轨迹方程可知|z－2i|＝1 表示的图形是以 (0,2)为圆心，1 为半径的圆，数形结合易求复数 z 虚部的取值范围 是[1,3]．
A. 3
B. 5
C. 6
D. 7
解析：由 z－(1－i)＝1，得 z＝(1－i)＋1＝2－i， 所以|z－4|＝|(2－i)－4|＝|－2－i|＝ 5.
4．在复平面内的平行四边形 ABCD 中，A→C对应的复数是 6＋
8i，B→D对应的复数是－4＋6i，则D→A对应的复数是( D )
A．2＋14i
B．1＋7i
C．2－14i
D．－1－7i
解析：依据向量的平行四边形法则，可得D→A＋D→C＝D→B，D→C－
D→A＝A→C，由A→C对应的复数是 6＋8i，B→D对应的复数是－4＋6i，
可得D→A对应的复数是－1－7i.
5．若复数 z1＝a－i，z2＝－4＋bi，z1－z2＝6＋i，z1＋z2＋z3＝
2021年高中数学 第5章 数系的扩充与复数的引入(一)同步练习 北师大版选修2-2
2021年高中数学第5章数系的扩充与复数的引入（一）同步练习北师大版选修2-21. 下列表示数集的等价关系式中错误的是（）A. B.C. D.2. 满足等式的复数在复平面内所对应得点表示的轨迹是（）.A. B.C. D.3. 复数对应的点在虚轴的右侧，则（）A. B.C. D.4. 复数的模（）A. B. C. D.5. 向量对应的复数是（）A. B. C. D.6. 复数，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限7. （）A. B. C. D.8. 如图，若用表示复数的实部，表示复数的虚部，则与复平面的阴影部分（含边界）对应得复数集合是（）A.B.C.D.9. 满足条件的复数在复平面内对应点的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 两条直线D. 一条直线10. 在复数范围内可因式分解为（）A. B.C. D.11. 在复平面内，复数对应的点位于_____________。
12. 设复数ii y i x R y x yi x z 315121),,(,+=+++∈+=，则。
13. ),0(,,1321R b a ai b z bi a z z ∈>+=+==，且成等比数列，则。
14. 复平面内表示复数的点位于虚轴（除原点外）上，则实数。
15. 在复平面内，复数所对应的向量分别为，O 是原点，求向量和所对应得复数以及A 、B 两点间的距离。
16. 复数212221,43,25,z z i z b a bi a z +==++=是纯虚数，求。
17. 复数的模记为，求方程的解。
18. 问实数取何值时，复数在复平面内对应的点：（1）位于第二象限；（2）位于第一或第三象限；（3）在直线上。
19. 设复数在复平面内对应的点分别是，复平面内的动点满足：，（为原点），且，求动点的轨迹方程。
参考答案：1. D2. A ；原式=，可理解为点到点的距离之和为5，故选A。
3. D ；即y轴右侧的点。
高中数学第5章1数系的扩充与复数的引入课时作业北师大版选修2-2
【成才之路】-高中数学 第5章 1数系的扩充与复数的引入课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1．复数1－i 的虚部是( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i[答案] B[解析] 分清复数的实部、虚部是解题的关键．2．(2019·济宁一模)复数z 满足(1＋i)2·z ＝－1＋i(i 为虚数单位)．则在复平面内，复数z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A [解析] 由于z ＝－1＋i 1＋i 2＝－1＋i 2i ＝i ＋12，其在复平面对应点坐标为(12，12)，位于第一象限，故选A ．3．复数(2x 2＋5x ＋2)＋(x 2＋x －2)i 为虚数，则实数x 满足( ) A ．x ＝－12B ．x ＝－2或x ＝－12C ．x ≠－2D ．x ≠1且x ≠－2[答案] D[解析] 由题意得x 2＋x －2≠0， 解得x ≠1，且x ≠－2.4．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i (a 、b ∈R )为实数的充要条件是( ) A ．a ≤0 B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠b D ．a >0且a ＝|b |[答案] A[解析] a ＋|a |＝0，∴a ≤0.5．若2＋a i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则复数z ＝a ＋b i 的模等于( ) A ．1 B ．2 C ． 5 D ．5[答案] C[解析] a ，b ∈R,2＋a i ＝b －i ⇔a ＝－1，b ＝2， 则|z |＝1＋4＝ 5. 二、填空题6．已知z 1＝m 2－3m ＋m i ，z 2＝4＋(5m ＋4)i ，其中m 为实数，i 为虚数单位，若z 1＝z 2，则m 的值为________．[答案] －1[解析] 由题意得m 2－3m ＋m i ＝4＋(5m ＋4)i ，从而⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝4m ＝5m ＋4，解得m ＝－1.7．已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈R )，且z ＜0，则k ＝____________. [答案] 2[解析] 认真审题，把握“z ＜0”，说明“z 是实数且小于0”，然后具体求解．因为z ＜0，则z ∈R ，所以虚部k 2－5k ＋6＝0解得k ＝2或k ＝3.当k ＝3时，z ＝0，不合题意，故舍去，所以k ＝2.8.关于实数x 的不等式mx 2－nx ＋p >0(m ，n ，p ∈R )的解集为(－1,2)，则复数m ＋p i 所对应的点位于复平面内的第________象限．[答案] 二[解析] 因为mx 2－nx ＋p >0(m ，n ，p ∈R )的解集为(－1,2)．所以⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－1＋2＝nm ，－1×2＝p m，即m <0，p >0.故复数m ＋pi 所对应的点位于复平面内的第二象限．[点评] 复数与复平面内的点形成了一一对应关系，在判断复数所在象限时，一定要明确复数的实部和虚部．三、解答题9．实数m 取什么值时，复数z ＝m (m －1)＋(m －1)i 表示的点位于 (1)实轴上？ (2)第一象限？ (3)第四象限？[解析] (1)由表示复数z 的点位于实轴上，可得m －1＝0，解得m ＝1，即当m ＝1时，表示复数z 的点位于实轴上；(2)由表示复数z 的点位于第一象限，可得⎩⎪⎨⎪⎧mm －1>0m －1>0，解得m >1，即当m >1时，表示复数z 的点位于第一象限．(3)由表示复数z的点位于第四象限，可得⎩⎪⎨⎪⎧m m －1>0m －1<0，解得m <0，即当m <0时，表示复数z 的点位于第四象限．10．在复平面内，分别用点和向量表示下列复数，并求出它们的模． 1，－12＋12i ，－12－32i.[分析] 在复平面内先找出各复数对应的点，从而画出各复数对应的向量．[解析] 如图，点A ，B ，C 分别表示复数1，－12＋12i ，－12－32i ，与之对应的向量可用OA →，OB →，OC →来表示．|1|＝1； |－12＋12i| ＝－122＋122＝22； |－12－32i|＝－122＋－322＝1.一、选择题1．以3i －2的虚部为实部，以－3＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i c C ．－2＋2i D ．2＋2i[答案] A[解析] 3i －2的虚部为3，－3＋2i 的实部为－3，故以3i －2的虚部为实部，以－3＋2i 的实部为虚部的复数是3－3i.2．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z ＋2|－|z －2|＝4，那么复数z 所对应的点(x ，y )的轨迹是( )A ．实轴在x 轴上的双曲线B ．实轴在x 轴上的双曲线的右支C ．两条射线D ．一条射线 [答案] D[解析] |z ＋2|－|z －2|＝4的意义为在数轴上到－2和2的距离之差为4的点的集合，即以2为端点向右的射线．3．在复平面内，复数z ＝sin2＋icos2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] D[解析] 因为π2<2<π，所以0<sin2<1，－1<cos2<0，所以复数z ＝sin2＋icos2对应的点位于第四象限．故选D.4．若x 、y ∈R ，i 为虚数单位，且x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，则复数x ＋y i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] ∵x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴复数1＋2i 在复平面内所对应的点在第一象限． 二、填空题5．已知复数z ＝x ＋2＋y i(x ，y ∈R )的模是7，则点(x ，y )的轨迹方程为________． [答案] (x ＋2)2＋y 2＝7[解析] x ，y ∈R ，且∵|z |＝|x ＋2＋y i|＝7， ∴x ＋22＋y 2＝7.∴(x ＋2)2＋y 2＝7为所求的轨迹方程．6．已知M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，实数a ＝__________.[答案] －1[解析] 按题意(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a 2－3a －1＝3得a ＝－1.三、解答题7．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋2m －15)i(a ∈R )对应的点Z .(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？[解析] (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －15＝0m ＋3≠0时即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－5或m ＝3m ≠－3，∴当m ＝－5或m ＝3时，z 是实数．(2)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －15≠0m ＋3≠0时，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－5且m ≠3m ≠－3∴当m ≠5且m ≠±3时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －6＝0m ＋3≠0m 2＋2m －15≠0时，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－2m ≠－3m ≠－5且m ≠3∴当m ＝－2时，z 是纯虚数．8.已知：复数z ＝log 2(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，其中x ∈R . 求证：复数z 不可能是纯虚数． [证明] 假设复数z 是纯虚数，则有⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2－3x －3＝0， ①log 2x －3≠0. ②由①得x 2－3x －3＝1，解得x ＝－1或x ＝4. 当x ＝－1时，log 2(x －3)无意义；当x ＝4时，log 2(x －3)＝0，这与log 2(x －3)≠0矛盾，故假设不成立，所以复数z 不可能是纯虚数．[点评] 本题是结论本身是否定形式的命题，故在证明时一般采用反证法．。
高中数学 第5章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入课后演练提升 北师大版选修2-
复数的引入课后演练提升北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第5章数系的扩充与复数的引入1 数系的扩充与复数的引入课后演练提升北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第5章数系的扩充与复数的引入1 数系的扩充与复数的引入课后演练提升北师大版选修2-2的全部内容。
充与复数的引入课后演练提升北师大版选修2—2一、选择题1．复数a＋b i(a,b∈R)为纯虚数是a＝0的( ）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解析：由复数的概念知:若a＋b i为纯虚数，则必有a＝0成立，故为充分条件;但若a＝0且b＝0时,a＋b i＝0为实数,故不是必要条件．所以复数a＋b i为纯虚数是a＝0的充分非必要条件．答案：A2．设z＝（2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2）i,t∈R，则下列结论中正确的是( ）A．z对应的点在第一象限B．z一定不是纯虚数C．z对应的点在实轴上方D．z一定是实数解析：t2＋2t＋2＝（t＋1）2＋1≥1∴z的对应点在实轴上方．答案：C3．复数4－3a－a2i与复数a2＋4a i相等,则实数a的值为（）A．1 B．1或－4C．－4 D．0或－4解析：由错误!得a＝－4答案: C4．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量错误!和错误!，其中O为坐标原点，则｜错误!|等于（)A. 2 B．2C.错误!D．4解析：∵错误!＝（1,1)，错误!＝(1，3)，∴错误!＝错误!－错误!＝(1,3）－(1，1）＝（0，2)，∴｜错误!|＝2。
北师大版高中数学选修2-2第五章数系的扩充与复数的引入同步练习(二).docx
高中数学学习材料唐玲出品第五章 数系的扩充与复数的引入 同步练习(二)1. 复数i z 43+-=的平方根是（ ）A. i 21+B. i i 2121--+或C. i 21--D.i i 2121-+或 2. 复数=-+54)31()22(i i （ ）A. i 31+B. i 31--C. i 31-D. i 31+- 3. 复数125-i 的共轭复数是（ ） A. i 21+- B. i 21-- C. i -2 D. i +24. 设复数,1-≠Z 则p ：“1=Z ”是q ：“11+-Z Z 是纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 已知复数z 满足条件2≤z ，则复数i z 21++=ω在复平面内对应点的区域是（ ）A. 以)2,1(为圆心，以2为半径的圆面B. 以)2,1(为圆心，以2为半径的圆C. 以)2,1(--为圆心，以2为半径的圆面D. 以)2,1(--为圆心，以2为半径的圆6. 复数yi x z +=对应点在复平面内满足条件的区域⎩⎨⎧≥--≤≤01221y x x 是（ ）xyO 12xyO 12A. B.xyO 12xyO 12C. D. 7. 当23215<<-m 时，复数i m m m m z )384()1(22+---+=在复平面内的对应点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧-=+--+--=+-i i b y x ay x iy y i x 89)4()2()3()12(有实数解，则实数b a ,的值分别为（ ）A. 1,2B. 1,2--C. 2,1--D. 2,19. 复数2121,,43z z i t z i z +=+=是实数，则实数=t （ ）A. 43B. 34C. 43-D. 34-10. 下列命题中正确的是（ ）A. 虚数单位i 的平方根是1±B. i i z 4321-+=的共轭复数是521i+- C. 方程)(03)12(2R k i k x i x ∈=-+--有实根的充要条件是41-≤kD. 当实数2=m 时，复数i m m m m )3(6522-++-是纯虚数11. 若1=-i z ，则复数z 对应的点的轨迹是________________。