Wilson_法两种积分格式的稳定性探讨
Newmark-精细积分方法的选择及稳定性
2
4
因此 ,基于平均常加速度的基本假定 ,即 :
x¨i+1 + x¨i = xi+1 - xi
(2)
2
dt
xi +1
= xi
+ d txi
+
1 4
d t2
( x¨i+1
+ x¨i)
(3)
其中 : x¨i , xi , xi 分别为 ti 时刻的加速度值 、速度值和位移值 ; x¨i + 1 , xi + 1 , xi + 1分别为 ti + 1时刻的各项值 ; ti + 1 = ti + d t, d t为时间步长 , i = 0, 1, 2, …。
引言
结构动力响应的求解方法一般有直接积分方法和振型叠加方法 。直接积分方法包括传统的中心差分 方法 、W ilson法 、Newmark法 等 [1 ] 。文献 [ 2～4 ]提出了结构动力方程求解的精细时程积分法 ,结合指数矩阵 的精细算法能够获得高度精确的结果 。然而 ,精细时程法在将二阶微分方程降为一阶的同时 ,系统的自由度 数翻倍 ,矩阵的阶数和方程的个数将增加一倍 。如果将精细积分法直接应用于自由度数目较多的工程结构 中 ,则存在矩阵尺度太大的困难 。文献 [ 5 ]将 Newmark - β法中平均常加速度法的基本假定引入结构动力微 分方程 ,在实现方程降阶时 ,方程的个数保持不变 。然后运用精细指数运算和柯特斯积分 ,提出了 Newmark2 精细直接积分法 。
T0
= Dτ + (Dτ) 2 2!
+ … + (Dτ) l
l!
(8)
其中 l表示保留项数 。 然后通过以下方式得到 :
对流方程差分格式稳定性判定
对流方程差分格式稳定性判定李五明【摘要】The paper decided the stability of different difference schemes of the one dimension convection equation using Fourier stability analysis. The fundamental idea of Fourier stability analysis is to extend periodically the error of solution for the linear differential equation and express it using Fourier series, then check the enlargement and decay of every component of the Fourier series. According to Fourier series for each component change over time, we judged the stability of difference schemes by the magnification factor. Using the method, the paper decided the stability of different difference schemes for the given equation.%用傅里叶稳定性分析法判断一维对流方程不同差分格式的稳定性．傅里叶稳定性分析法的基本思想是：对于线性微分方程，将解的误差做周期延拓并用傅里叶级数表示出来，然后考察每一个傅里叶级数分量的增大和衰减情况；根据傅里叶级数每一个分量随时间的变化情况，由放大因子判断差分格式的稳定性．用该方法对给定方程不同差分格式的稳定性进行了判断．【期刊名称】《河南理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(031)003【总页数】4页(P369-372)【关键词】对流方程;差分格式;稳定性【作者】李五明【作者单位】河南理工大学数学与信息科学学院,河南焦作454000【正文语种】中文【中图分类】O175.210 引言用有限差分法数值求解偏微分方程是计算数学中的一个重要课题．在有限差分法中，差商代替了微商，差分方程代替了微分方程．然而，并不是任何情况下，差分方程都可以逼近原微分方程．因为，方程形式的逼近是一回事，方程解的逼近又是一回事．因此，在基本理论上必须解决数值计算中可能出现的诸如稳定性、精度等问题．采用有限差分法求解由偏微分方程所描述的具体问题时，在确定差分离散格式是否可用之前必须解决3个问题：当差分网格的时间与空间步长都趋近于零时，差分方程是否充分逼近原微分方程；差分格式的真解是否充分逼近原微分方程的精确解；差分格式的近似解与真解之间的误差是否有界．这3个问题在有限差分理论中分别称为相容性、收敛性和稳定性．差分格式的相容、收敛和稳定并不是孤立的，而是互有联系．根据LAX等价定理，若线性微分方程的初值问题适定、差分格式相容，则稳定性是收敛性的必要和充分条件．因此，常常通过判定一个差分格式的稳定性来判定其收敛性．因为，直接证明一个差分格式的收敛性是比较困难的，但对稳定性的证明却容易得多，且现有的方法也比较有效．本文介绍其中最常用的一种分析差分格式稳定性的方法：傅里叶稳定性分析法．傅里叶稳定性分析法的基本思想是将解的误差做周期延拓并用傅里叶级数表示出来，然后考察每一个傅里叶级数分量的增大和衰减情况．如果每一个分量的强度(或振幅)是随时间的推移而增大的，则所讨论的差分格式是不稳定的；反之，若每一个分量的振幅是随时间的推移而衰减或保持不变的，则格式是稳定的．为了进行这种分析，可以把某一分量的表达式代入到误差传播方程中，以得出相邻两时间层该分量的振幅比(通常称为放大因子)．稳定性的条件要求放大因子的绝对值(或模)小于或等于1．当放大因子等于1时，称为中性稳定．在这种情况下，任何时刻引进的误差都不会衰减或放大．本文主要针对一维对流方程，利用傅里叶稳定性分析方法讨论其不同差分格式的稳定性．1 傅里叶稳定性分析法针对一个具体的方程来考察傅里叶稳定性分析法，然后再将该方法推广到其他差分格式．一维对流方程的初值问题如下：，(1)问题的定解域为x-t的上平面(图1)，分别引入平行于x轴和平行于t轴的两族直线，把求解域划分为矩形网格．网格线的交点称为节点，x方向上网格线之间的距离Δx称为空间步长，t方向上网格线之间的距离Δx称为时间步长．这样，两族网格可记为x=xi=iΔx,(i=0,±1,±2,…)，t=tn=nΔt,(n=0,1,2,…).网格划定后，就可针对其中的任一节点，如图1中的节点(xi,tn)．将函数u在该点记为,tn)=u(iΔx,nΔt).(2)方程(1)的FTCS(Forward Time Central Space)格式为α.(3)将式(3)改写为易于递推计算的差分格式，有，式中：λ为网格比．相应于上式的误差传播方程为,(4)式中：ε为各节点上的误差．如果对ε在正负方向上作周期延拓，即把ε看作是以某一定值为周期的周期函数，则εn，εn+1可以展开为以下的傅里叶级数[5-6]：.于是，，(5),(6)式中：将式(5)和(6)代入式(4)得.(7)式(7)相当于将零展开成傅里叶级数，式中{ }内相当于傅里叶系数，它对于所有的k都等于零，即，(8)令,(9)则式(8)成为(不失一般性，支掉式中的下标记号k)Cn+1=GCn,(10)表示误差从第n层传播到第n+1层时，以傅里叶级数表示的每一误差分量的振幅放大或衰减了G倍．所以，称G为放大因子．傅里叶稳定性分析法就集中在对G 的分析上，如果|G|>1，则误差的振幅随n的增大而增大，差分格式不稳定；如果|G|≤1，则误差的振幅随n的增大而减小或不变，差分格式稳定．应用欧拉公式e±iz=cos z±isin z，将式(9)改写为G=1-iαλsin kΔx，得|G|2=1+α2λ2sin2kΔx．当sin2kΔx≠0时，选取网格比λ总有|G|>1．因此，差分格式(3)是不稳定的．从上例的分析注意到，以傅里叶稳定性分析法判断差分格式稳定性时，是从误差传播方程出发，将计算节点的误差延拓为傅里叶级数，并通过分析式(7)中傅里叶级数任一系数来确定放大因子G，进而确定差分格式的稳定性．对于齐次线性微分方程，由于误差传播方程与其相应的差分方程形式相同，在傅里叶稳定性分析中，只要令，(11)并将它们代入相应的差分格式中，同样可以得到与上例相同的放大因子G的表达式．为方便起见，在以后的傅里叶稳定性分析讨论中将采用式(11)的方式．2 应用举例例1 试讨论一维对流方程(1)的FTCS隐式差分格式的稳定性．解：方程(1)的FTCS隐式差分格式为α,(12)或写为，λ,将式(11)代入上式，有Cn+1eik(xi-Δx)]=Cneikxi，约去公因子eikxi后，得，即，由此得放大因子为,即≤1，所以，式(12)是无条件稳定的.例2 试讨论一维对流方程(1)的格式的稳定性．解：方程(1)的格式为，(13)或，λ，将式(11)代入上式，有，约掉公因子eikxi，得，由此得放大因子为，有|G|2=1.所以，差分格式(13)是无条件稳定的.3 结论(1)本文利用傅里叶稳定性分析法仅讨论一维对流方程不同差分格式稳定性的判断，实际上，该方法对二维对流方程、一(二)维扩散方程、一维对流-扩散方程也是适用的．(2)本文没有给出一维对流方程迎风格式稳定性的判定，主要是因为需要考虑CFL(Courant-Friedrichs-Lewy)条件，并且要对α的正负进行讨论．限于篇幅，略去．(3)傅里叶稳定性分析法只适用于线性微分方程，对于非线性方程差分格式稳定性的判定，目前还没有严格的一般性理论处理．通常的做法是，从非线性方程对应的线性化模型得出的稳定性判定准则出发，对非线性方程差分格式的稳定性进行大致估计，然后在实际计算中采用试算方法将其扩展到非线性问题中去．参考文献：[1] 张国强，吴家鸣.流体力学[M].北京：机械工业出版社，2005.[2] 顾丽珍.求解对流扩散方程的一些高阶差分格式[J].清华大学学报：自然科学版，1996，36(2)：9-14.[3] 管秋琴.一类对流扩散方程组的差分格式与稳定性[J].上海电力学院学报，2009，25(2)：192-195.[4] 余德浩，汤华中.微分方程数值解法[M].北京：科学出版社，2003.[5] 范德辉，陈辉，王秀凤，等.对流扩散方程差分格式稳定性分析[J].暨南大学学报：自然科学与医学版，2006，27(1)：24-29.[6] 阴继翔，李国君，李卫华,等.对流扩散方程不同格式的数值稳定性分析[J].太原理工大学学报：自然科学版，2004，35(2)：121-124，133.[7] 马荣，石建省，张翼龙，等.对流-弥散方程显式差分法稳定性分析方法的初探[J].水资源与水工程学报，2010，21(1)：132-134.[8] 陆金甫，关治.偏微分方程数值解解法[M].北京：清华大学出版社，2004.[9] 王静，王艳.RICCATI方程有理展开法及其在非线性反应扩散方程中的应用[J].河南理工大学学报：自然科学版，2010，29(5)：689-694.[10] 王同科，马明书.二维对流扩散方程的二阶精度特征差分格式[J].工程数学学报，2004，21(5)：727-731.。
wilson法和newmark法的理论过程
第三章离散化结构动力方程的解法(2013.4.24）§3.1 绪言对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，应用瞬时最小势能原理可导出动力方程[]{}[]{}[]{}{}++=（3.1）M u C u K u F(t)这里，{}u、{}u、{}u及{}F t分别表示加速度、速度、位移及所()作用的外力矢量，他们都是与时间有关的。
从数学的角度来看，式（3.1）是一个常系数的二阶线性常微分方程组，对于它的求解原则上并无困难。
但是，由于[]M、[]C 和[]K的阶数非常高，使得式（3.1）的求解必须花费很大的代价，便促使人们去寻求一些效率高的近似计算方法。
目前，用于求解式（3.1）的方法，大致可分为两大类。
一是坐标变换法，它是对结构动力方程式（3.1），在求解之前，进行模态坐标变换，实际上就是一种Ritz变换，即把原物理空间的动力方程变换到模态空间中去求解。
现在，普遍使用的方法是模态（振型）迭加法，即用结构的前q阶实际主模态集（主振型阵）构成坐标变换阵进行变换。
通过这一变换，实现降阶，求较好的近似解，而且，还用解除耦合的办法，简化方程的计算。
还有一种所谓假设模态法，即是用一组假设模态，构成模态坐标变换阵进行变换，获得一组降阶的而不解耦的模态基坐标方程。
显然，这种方法的计算精度，取决于所假设的模态。
用Ritz矢量法求解的近似模态作为假设模态，可得到满足要求的精度。
二是直接积分法，它是对式（3.1）在求解之前，不进行坐标变换，直接进行数值积分计算。
这种方法的特点是对时域进行离散，将式（3.1）分为各离散时刻的方程，然后，将该时刻的加速度和速度用相邻时刻的各位移线性组合而成，于是，式（3.1）就化为一个由位移组成的该离散时刻上的响应值，通常又称为逐步积分法。
线性代数方程组的解法与静力时刻的位移来线性组合，就导致了各种不同的方法。
主要有中央差分法，Houbolt 方法，Wilson -θ法和Newmark 方法等。
基于matlab的地震反应谱计算方法的比较【matlab源码】
毕业论文（设计）题目学院学院专业学生姓名学号年级级指导教师教务处制表基于MATLAB的地震反应谱计算方法的比较一、程序说明本团队长期从事matlab编程与仿真工作，擅长各类毕业设计、数据处理、图表绘制、理论分析等，程序代做、数据分析具体信息联系二、写作思路与程序示例地震反应谱是进行结构抗震分析与设计的重要工具，反应谱的计算在反应谱法和时域逐步积分方法中有重要地位，引起了学者的重视和广泛研究。
而对计算方法优劣的评定常取决于其计算的耗时、稳定性和精度等因素。
目前，计算反应谱的方法有很多，以往常规方法主要有中心差分法、Newmark-法、线性加速度法及Wilson-法等，这些方法虽然存在一些弊端，但是其计算精度能够满足一般实际工程计算的需要，仍被广泛应用于工程实践。
因此有必要对这些方法进行深入的比较和探讨。
目前，我国现行建筑抗震设计规范中对阻尼比规定：混凝土结构通常取0.05，钢结构通常取0.02，阻尼比均比较小，因此利用拟反应谱是可靠的。
然而，随着高层和超高层的出现，建筑新形式、新材料的使用、隔震、减震耗能机构的研究以及抗震减灾新要求的不断提出，传统理论也越来越不能适应新要求，使用拟反应谱可能带来较大误差，这应当引起我们的注意。
同时，通过反应谱理论分析得到：当周期超过3s以后，结构地震反应已不是由地面加速度控制，而可能是由速度甚至是位移控制。
然而，现代的超大跨、超高层和巨型结构的自振周期大都达到了10s以上，如果仍然采用加速度谱来对其进行分析将不合适。
我们应当采用能更好反应三个周期段的反应谱来对长周期结构进行分析，而三联反应谱就具有这一特点，它是将位移、速度以及加速度联合反应谱同时表示在一张图上的四坐标对数图，能够使我们更直接地掌握上述三种物理量与结构自振周期之间的控制关系。
因此，采用MATLAB的GUI编程三联反应谱图形界面，并将其应用于工程实践，将是一项很有意义的工作。
论文基于以上内容，主要进行了以下具体工作：1.基于数值算法的相关研究及应用现状，本文以MATLAB为平台，建立数值算法在不同影响因素下的三维图形，并结合理论对比分析。
偏微分方程数值解挑战偏微分方程的数值解法与稳定性分析
偏微分方程数值解挑战偏微分方程的数值解法与稳定性分析偏微分方程数值解挑战——偏微分方程的数值解法与稳定性分析偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）是数学中一个重要的研究领域，广泛应用于各个科学领域和工程实践中。
这些方程描述了动态系统中随时间、空间和其他自变量变化的物理规律，例如热传导、扩散、波动等。
然而，由于这些方程往往难以直接求解，研究者们发展了一系列数值方法来近似求解偏微分方程，并对其稳定性进行分析。
一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是最常见的数值解法之一，其基本思想是在求解区域上构建一个网格，将连续的偏微分方程离散化为差分方程，通过迭代求解差分方程来逼近真实解。
在空间上，可以采用中心差分、向前差分或向后差分等方法，以近似对应的偏导数；在时间上，通常采用欧拉显式格式或隐式格式来进行时间步进。
有限差分法简单易懂，适用于较为简单的情况，并且具有较好的稳定性。
二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种更为广泛适用的数值方法，其基本思想是将求解区域分割成多个小单元，通过在这些小单元上构造插值函数，将偏微分方程转化为代数方程组。
有限元法可以灵活地处理各种几何形状和边界条件，并且对于复杂问题具有较高的适用性。
通常，有限元法需要进行单元划分、构造刚度矩阵和质量矩阵，并通过求解线性或非线性代数方程组来得到数值解。
有限元法在实际工程问题中发挥着重要作用。
三、稳定性分析除了选择合适的数值方法，稳定性分析也是解偏微分方程数值解过程中必不可少的一步。
稳定性分析用于评估数值解法的解是否趋近于真实解，并且在数值计算过程中不会发散或发生不稳定的情况。
一种常用的稳定性条件是Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) 条件，它要求数值方法中时间步长和空间步长之间满足一定关系，以确保数值解的稳定性。
子结构拟动力试验的CD-Wilson θ法研究
Ｒｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｏ ｎ ＣＤ － Ｗ ｉ ｌ ｓ ｏ ｎ ０ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｉ ｎ ｓ ｕ ｂ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕｒ ｅ ｐ ｓ ｅ ｕ ｄｏ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｔ ｅ ｓ ｔ ＷＡ Ｎ Ｇ Ｘ ｉ ａ ｏ ｆ ｅ ｎ ｇ ， Ｃ Ａ Ｉ Ｘ ｉ ｎ ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ， Ｔ Ｉ Ａ Ｎ Ｓ ｈ ｉ ｚ ｈ ｕ ’
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｔ ｈ ｅ ａ ｄ ｖ ａ ｎ ｔ ａ ｇ ｅ ｓ ｏ ｆ ｃ ｏ ｍｂ ｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｎ ｕ ｍｅ ｉ ｒ ｃ ａ ｌ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｃ ａ ｌ ｌ ｂ ｅ ｃ ｏ ｎ ｓ ｉ ｄ ｅ ｒ ｅ ｄ ａ ｓ ｔ ｈ ｅ ｅ ｘ ｐ ｌ ｉ ｃ ｉ ｔ ｎ ｕ ｍｅ ｉｃ ｒ ｌ ａ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒａ ｇ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｄ ｏ ｗ ｉ ｈｏ ｔ ｕ ｔ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｉ ｍｐ ｉ ｌ ｃ ｉ ｔ ｎ ｕ ｍｅ ｒ ｉ ｃ ｌ ａ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒａ ｇ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｄ ｏ ｗ ｉ ｔ ｈ ｕ ｎ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｉ ｌ ｔ ｙ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｕ ｂ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ｐ ｓ ｅ ｕ ｄ ｄｙ ｏ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｔ ｅ ｓ ｔ ． Ａｃ ｃ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ｇ ｔ ｏ ｈｅ ｔ Ｃ Ｄ・ Ｎｅ ｗ ｍａ ｒｋ ｍｅ ｔ ｈ ｄ ｏ ｉｔ ｗ ｈ ｌ ｒｇ ａ ｅ ｕ ｐ ｐ ｅ ｒ ｆ ｅｑ ｒ ｕ ｅ ｎ ｃ ｅ ｔ ｈ ａ ｔ ｌ ｅ ａ ｄ ｓ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｔ ｉ ｍｅ ｓ ｔ ｅ ｐ ｂ ｅ ｃ ｏ ｍｅ ｓ ｍａ ｌ ｌ ｅ ｒ ， ｔ ｈ ｅ ＣＤ－ Ｗｉ ｌ ｓ ｏ ｎ ０ ｍｅ ｔ ｈ ｄ ｏ ｉ ｓ ｃ ｏ ｍｂ ｉ ｎ ｅ ｄ ｂ ｙ ｅ ｘ ｐ ｌ ｉ ｃ ｉ ｔ ｃ ｅ ｎ ｔ ｅ ｒ ｄ ｉ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｄ ｏ ｎｄ ａ ｉ ｍｐ ｌ ｉ ｃ ｉ ｔ Ｗｉ ｌ ｓ ｏ ｎ － ０ ｍｅ ｔ ｈ ｄ． ｏ Ａｆ ｔ ｅ ｒ ｃ ｌｃ ａ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｍｏ ｄｉ ｉ ｆ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ Ｗｉ ｌ ｓ ｏ ｎ － ０ ｍｅ ｔ ｈ ｄ， ｏ
三类偏微分方程唯一性与稳定性问题
三类偏微分方程唯一性与稳定性问题张政 1110050024摘要：本文主要利用能量积分法、极值原理等方法讨论波动方程、热传导方程和调和方程初边值问题的唯一性及稳定性问题。
旨在证明三类偏微分方程在不同初边值条件下具有的唯一性和稳定性。
关键词：能量积分、极值原理、强极值原理、热传导方程、调和方程一、波动方程初边值问题的唯一性和稳定性能量积分：对于膜振动问题，总能量由动能与位能两部分组成，其和称为能量积分。
在没有外力作用的情况下，薄膜振动的能量是守恒的。
薄膜的动能U 和位能V 的表示式，分别写为212t U u dxdy ρΩ=⎰⎰ 221()2x y V T u u dxdy Ω=+⎰⎰.其中ρ是密度，T 是张力。
（不计一个常数因子）薄膜的总能量可写为()222221()()2t x y T E t u a u u dxdy a ρΩ⎡⎤=++=⎣⎦⎰⎰. 定理1设(,,)u x y t 是混合问题2()(,,)(,,0)(,),(,,0)(,)(,,)tt xx yy t u a u u f x y t u x y x y u x y x y u x y t ϕψμ∂Ω⎧=++⎪==⎨⎪=⎩ （1）的解，那么能量积分()E t 保持不变，即()(0)E t E =，其中22221(0)()2x y E a dxdy ψϕϕΩ⎡⎤=++⎣⎦⎰⎰. 定理2 波动方程混合问题2()(,,)(,,0)(,),(,,0)(,)(,,)tt xx yy t u a u u f x y t u x y x y u x y x y u x y t ϕψμ∂Ω⎧=++⎪==⎨⎪=⎩ (2)的解是唯一的。
证：设1(,,)u x y t ，2(,,)u x y t 为问题（1）的任意两个解，则12u u u =-是如下波动方程2()(,,0)0,(,,0)00tt xx yy t u a u u u x y u x y u ∂Ω⎧=+⎪==⎨⎪=⎩ 的解。
newmarkbeta法 -回复
newmarkbeta法-回复什么是newmarkbeta法？Newmarkbeta法，也被称为Wilson-Newmark法，是一种数值积分方法，用于求解结构动力学问题。
它是基于普通微分方程的数值求解方法之一，适用于求解线性和非线性、自由和强迫响应的结构动力学问题。
该方法基于Newmark积分方法，考虑了质量矩阵和刚度矩阵对结构响应的影响，通过引入一个积分参数beta，使得在不同的参数设定下可以得到不同阶数的数值积分方法。
注意事项：在使用Newmarkbeta法时，需要明确一些注意事项：1. 时间步长的选择：时间步长需要根据所研究的问题和模型的特性来进行选择。
通常情况下，较小的时间步长可以提高精度，但也增加了计算量。
如果时间步长选择过大，可能会导致数值解的不稳定性。
2. 弛豫因子的选择：在Newmarkbeta法中，引入了一个松弛因子gamma来平衡速度和加速度的权重。
gamma为0.5时，等效于中点积分法。
gamma为0时，等效于显式向前差分法。
根据所研究问题的稳定性和精度要求，可以选择不同的gamma值。
3. 初始条件的设定：在数值解求解之前，需要设定初始条件，即结构的初始位移和速度。
这些初始条件将影响数值解的准确性和稳定性。
通常情况下，可以根据结构的静态平衡状态设定初始条件。
数值解求解步骤：下面将一步一步介绍使用Newmarkbeta法求解结构动力学问题的步骤：步骤1：建立结构模型首先，需要根据所研究的结构问题建立相应的有限元模型。
这包括定义结构的几何形状、材料性质和边界条件等。
步骤2：离散化将结构模型离散化，将结构划分成一系列有限元单元。
对于每个有限元单元，可以根据其几何形状和材料性质计算出相应的刚度矩阵和质量矩阵。
步骤3：时间积分将时间划分成一系列离散时间步长。
通过使用Newmarkbeta法中的数值积分公式，可以迭代计算每个时间步长内的结构响应。
步骤4：计算每个时间步长内的位移和速度根据Newmarkbeta法的数值积分公式，可以计算出每个时间步长内的位移和速度。
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收稿日期:2006 09 21;修改稿收到日期:2007 04 06基金项目:国家自然科学基金(50578066/E080507);福建省自然科学基金(E0410023;E 0540005);厦门市科技计划项目(3502Z20074039)资助项目作者简介:方德平*(1965 ),男,副教授(E mail:fdp@);王全凤(1946 ),男,教授,博士生导师第25卷第4期2008年8月计算力学学报C hinese Journal of C omputational MechanicsV ol.25,N o.4Aug ust 2008文章编号:1007 4708(2008)04 0539 03Wilson 法两种积分格式的稳定性探讨方德平*, 王全凤(华侨大学土木工程学院,福建泉州362021)摘 要:W ilso n 法分为加速度未经过和经过动力平衡方程修正的Wilson 法和W ilson 法;推导了单自由度体系的W ilson 、 法的状态传递算子,由传递算子的谱半径来判断W ilso n 、 法的稳定性。
计算结果表明:W ilso n 法的稳定性是无条件的,Wilson 法的稳定性不是无条件的;并给出了W ilson 法的稳定范围。
关键词:W ilso n 法;稳定性;状态传递算子;谱半径中图分类号:T U 311 3 文献标识码:A1 引言Wilson 法通过建立在t + t 时刻的动力平衡方程求解出t+ t 时刻的位移,再结合t 时刻的位移、速度、加速度来计算t + t 时刻的位移、速度及加速度[1]。
该法是线性加速度法的一种修正形式。
Wilso n 法的稳定性分析表明:当 !1 37时,它是无条件稳定的,在大多数情况下,取 =1 4左右,可望得出很好的结果[2]。
无条件稳定的Wilson 法的时间步长不受结构周期长短的限制,因此得到广泛应用。
同时还对该法作了种种的改进[3 5]。
不过,在求t + t 时刻的加速度时,有两种方法:未经过t + t 时刻的动力平衡方程修正,为Wilso n 法;经过t+ t 时刻的动力平衡方程修正,为Wilson 法。
Wilson 法是无条件稳定的[5],但是许多文献错误地认为Wilso n 法也是无条件稳定的。
本文证明了Wilson 法不再是无条件稳定的。
多自由度体系可通过振型分解法解耦成各振型的单自由度体系的叠加,因此单自由度与多自由度体系的稳定性是相同的,为简化公式表达,本文只考虑单自由度体系。
2 W ilson 、 法的状态传递算子各种各样的直接积分法最终可归结为如下的递推关系:x (t+ t)x ∀(t+ t)x ∀∀(t+ t)=[A]x (t)x∀(t)x ∀∀(t)+f 1f 2f 3F (t + t)(1)式中x (t),x ∀(t),x ∀∀(t)和x (t + t),x ∀(t + t)和x ∀∀(t + t)分别为t 和t + t 时刻的位移、速度及加速度;f 1,f 2和f 3为荷载算子;F(t+ t)为动力荷载;[A ]为状态传递算子。
直接积分法的稳定性仅依赖于[A]的谱半径 (A ), (A )=max |!i |,i =1,2,3,!i 为[A ]的特征值,由M atlab 中eig (A )命令求得, #1是积分法稳定的充要条件[3]。
所以求出[A]和它的谱半径 ,就能判定直接积分法的稳定性。
由式(1)可知,x (t+ t),x ∀(t+ t)和x ∀∀(t+ t)表达为x (t)和x ∀(t),x ∀∀(t)的函数,所以W ilson 法的计算步骤相应重写如下:(1)选择时间步长 t 及 值,计算∀= t 和常数#0=6/∀2,#1=3/∀,#2=6/∀,#3=∀/2,#4=#0/ ,#5=-#2/ ,#6=1-3/ ,#7= t/2,#8= t 2/6。
(2)根据x (t)、x ∀(t)、x ∀∀(t),刚度K 、阻尼C 、质量M 、动力荷载F(t+∀),求有效刚度K ~和有效动力荷载F ~(t +∀)。
K ~=K +#0M +#1C(2)F~(t+∀)=F(t+∀)+B1x(t)+B2x∀(t)+B3x∀∀(t)(3)式中B1=#0M+#1C, B2=#2M+2CB3=2M+#3C(3)根据拟静力方程K~x(t+∀)=F~(t+∀),求出:x(t+∀)=f k+D1x(t)+D2x∀(t)+D3x∀∀(t)(4)式中f k=F(t+∀)/K~,D1=B1/K~,D2=B2/K~ D3=B3/K~(4)由下式求出x∀∀(t+ t)、x∀(t+ t)、x(t+ t):x∀∀(t+ t)=#4f k+E1x(t)+E2x∀(t)+E3x∀∀(t)(5)式中E1=#4(D1-1),E2=#4D2+#5E3=#4D3+#6x∀(t+ t)=#7#4f k+G1x(t)+G2x∀(t)+G3x∀∀(t)(6)式中G1=#7E1,G2=#7E2+1,G3=#7(E3+1) x(t+ t)=#8#4f k+H1x(t)+H2x∀(t)+H3x∀∀(t)(7)式中H1=#8E1+1,H2=#8E2+ tH3=#8(E3+2)(5)由式(6)、(7)求得x(t+ t)和x∀(t+ t),通过t+ t时刻的动力平衡方程:M x∀∀(t+ t)+Cx∀(t+ t)+K x(t+ t)= F(t+ t)(8)计算出x∀∀(t+ t),以减少误差,则x∀∀(t+ t)=(F(t+ t)-#7#4f k C-#8#4f k K)/M+J1x(t)+J2x∀(t)+J3x∀∀(t)(9)式中J1=-(CG1+K H1)/MJ2=-(CG2+K H2)/MJ3=-(CG3+K H3)/M(6)计算状态传递算子:由式(5)求出的x∀∀(t+ t),未经过式(8)修正,即Wilso n 法,状态传递算子为[A1];由式(9)求出x∀∀(t+ t),满足式(8),即Wilson 法,状态传递算子为[A2],表达式为[A1]2H2E2E图1 不同 值的谱半径1( t=10000T) Fig.1 S pectral radii1for differen t valu es( t=10000T)对于很大的时间步长 t, t=10000T,T为单自由度体系的周期,计算表明[5]:当 !1 37,[A1]的谱半径1#1,所以W ilson 法是无条件稳定的,如图1所示。
3 [A2]谱半径2对单自由度体系而言,谱半径为周期T、阻尼比∃、 值和时间步长 t的函数,当 t/T足够小,算法将是稳定的。
表1和图2为不同 和 t/T值的表1 不同 和 t/T值的[A2]谱半径2T ab.1 Spectral radii2of[A2]for differentand t/T values2t/T=0 12t/T=0 22t/T=0 52t/T=0 6 1 00 9710 9510 9421 5091 20 9720 9601 0121 1801 40 9740 9721 1161 1931 60 9760 9861 2221 3401 80 9781 0021 3201 4712 00 9801 0171 4081 5842 20 9831 0321 4841 6822 40 9851 0461 5511 7662 60 9881 0601 6091 8402 80 9911 0721 6591 9043 00 9931 0841 7051 960图2 不同 和 t/T值的谱半径2Fig.2 Spectral radii2for differ ent and t/T values540计算力学学报 第25卷[A 2]谱半径 2,∃=0 05。
当 =1时,即线性加速度法[6], t/T =3/%, =1; t/T =3/%~5,=1~3 7; t/T =5~1000, ∃3 3~3 8。
当 =1~3, 2随 t/T 和 增加而增加,特别是 t/T >0 6, 2随 t/T 增加大约呈抛物线加速增加,当 t/T =1000, 2=(6 58~13 2)%106( =1 5~3)。
为方便表达,图2中的 t/T =0 0001~1。
从稳定性条件 2#1来看,当 t/T #0 1时,Wilson 法对 =1~3是稳定的;当 t/T #3/%时,Wilso n 法对 =1是稳定的。
总之,Wilson 法不再是无条件稳定的。
4 结 论基于上述计算分析,得出以下结论:(1)Wilson 法,加速度满足t+ t 时刻的动力平衡方程,可减少计算误差,不再是无条件稳定的。
(2)Wilso n 法的稳定范围: =1~3时, t/T #0 1;随着 的增加,稳定范围减少。
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