高三数学参数法
高考数学解题思想方法-参数法
六、参数法参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。
直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。
换元法也是引入参数的典型例子。
辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。
参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。
参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。
运用参数法解题已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。
Ⅰ、再现性题组：1. 设2x＝3y＝5z>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。
2. （理）直线x ty t=--=+⎧⎨⎪⎩⎪2232上与点A(-2,3)的距离等于2的点的坐标是________。
（文）若k<－1，则圆锥曲线x2－ky2＝1的离心率是_________。
3. 点Z的虚轴上移动，则复数C＝z2＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________。
4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。
5. 设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。
(填“增”或“减”)6. 椭圆x216＋y24＝1上的点到直线x＋2y－2＝0的最大距离是_____。
A. 3B. 11C. 10D. 22【简解】1小题：设2x＝3y＝5z＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝±2时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝11+k，所以e＝－1kk k2+；3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b2＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线；4小题：设三条侧棱x、y、z，则12xy＝6、12yz＝4、12xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。
高中数学参数问题
高中数学参数问题
高中数学中的参数问题通常涉及到曲线的参数方程式、含参数的曲线方程、含参变系数的函数式、方程式、基本不等式等。
这些问题往往与函数的性质、图象和图形
转换等有关，是数学中的“开朗”元素。
在处理参数问题时，常用的方法有分离参数和分类讨论。
首先考虑分离参数，如果分离参数不行或不方便，再考虑分类讨论。
因为分离参数解题效率相对高一点。
有些问题可能需要将这两种方法结合起来，对学生的能力要求更高。
在具体的高中数学参数问题中，比如在导数中参数的处理上，参数问题既是热点、重点和难点，也是学生感到比较棘手的问题。
导数中参数问题的处理最常用的有分离参数和分类讨论两种方法，并且先考虑分离参数，如果分离参数不行或不方便，可以再考虑分类讨论。
高三文科参数知识点
高三文科参数知识点在高三阶段，文科学生们不可避免地会接触到参数知识点。
参数是数学中的一个重要概念，也是文科学生们需要掌握的核心内容之一。
本文将详细介绍高三文科参数的基本定义、性质以及应用，帮助学生们更好地理解和应用参数知识。
一、参数的基本定义参数在数学中指的是影响一种数学关系的固定量，通常使用字母表示。
在数学公式或方程中，参数常常扮演着不同变量之间的角色，起到调节和影响的作用。
举例来说，对于一条直线方程y = kx + b，其中k和b分别表示直线的斜率和截距，它们就是参数。
通过改变k和b的值，可以得到不同的直线方程，从而描述不同的直线。
参数的引入使得数学模型更加灵活适用于不同的情境。
二、参数的性质1. 参数和变量的区别参数是在math里面的一个概念，类似于变量，但是与变量不同的是，参数在特定的数学模型中是固定不变的，而变量是可取任意值的。
参数的存在可以使得数学模型更加具有一般性和普适性。
2. 参数的影响改变参数的数值可以直接改变数学关系的性质。
以一元二次函数y = ax^2 + bx + c为例，其中a、b、c分别是参数。
当a>0时，函数的图像开口向上；当a<0时，函数的图像开口向下。
对于同一函数，通过调节参数a的值，可以获得不同的函数图像。
3. 参数的相关性在一些数学模型中，参数之间可能存在一定的相关性。
改变一个参数的值时，可能会对其他参数产生影响。
这种相关性需要在具体问题中进行综合考虑和分析。
三、参数的应用参数作为数学中的一种重要工具，在各个学科和领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的参数应用示例：1. 经济学领域在经济学中，参数经常用来描述需求曲线、供给曲线等经济关系。
通过调节参数的值，可以分析市场的均衡价格和数量，并预测市场的发展趋势。
2. 物理学领域在物理学中，参数常用来描述物体的运动规律和力学行为。
例如，质点的位移可以由其初速度、时间和加速度等参数来描述。
3. 社会调查领域在社会调查中，参数被用来表示人口统计数据、社会经济指标等。
高三数学参数方程知识点
高三数学参数方程知识点高中数学知识点之参数方程定义一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x=f(t)、y=g(t)并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么上述方程则为这条曲线的参数方程，联系x，y的变数t叫做变参数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
(注意：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义和几何意义的变数，也可以是没有实际意义的变数。
高中数学知识点之参数方程圆的参数方程x=a+rcosθy=b+rsinθ(a,b)为圆心坐标r为圆半径θ为参数椭圆的参数方程x=acosθy=bsinθa为长半轴长b为短半轴长θ为参数双曲线的参数方程x=asecθ(正割)y=btanθa为实半轴长b为虚半轴长θ为参数抛物线的参数方程x=2pt2y=2ptp表示焦点到准线的距离t为参数直线的参数方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a表示直线经过(x',y')，且倾斜角为a,t为参数高三数学复习建议第一：函数和导数。
这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。
第二：平面向量和三角函数。
重点考察三个方面：第一是化简与求值，重点掌握五组基本公式。
第二是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质。
第三是正弦定理和余弦定理来解三角形，难度比较小。
第三：数列。
数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。
第四：空间向量和立体几何。
在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。
第五：概率和统计。
2020高考数学 考前解题基本方法六 参数法
六、参数法参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。
直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。
换元法也是引入参数的典型例子。
辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。
参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。
参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。
运用参数法解题已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。
Ⅰ、再现性题组：1. 设2x＝3y＝5z>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。
2. （理）直线x ty t=--=+⎧⎨⎪⎩⎪2232上与点A(-2,3)的距离等于2的点的坐标是________。
（文）若k<－1，则圆锥曲线x2－ky2＝1的离心率是_________。
3. 点Z的虚轴上移动，则复数C＝z2＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________。
4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。
5. 设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。
(填“增”或“减”)6. 椭圆x216＋y24＝1上的点到直线x＋2y－2＝0的最大距离是_____。
A. 3B. 11C. 10D. 22【简解】1小题：设2x＝3y＝5z＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝±2时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝11+k，所以e＝－1kk k2+；3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b2＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线；4小题：设三条侧棱x、y、z，则12xy＝6、12yz＝4、12xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。
高三数学参数方程知识点
高三数学参数方程知识点数学是一门抽象而又具有普适性的学科，它的应用广泛，对于高三学生来说，数学的学习变得更加重要和密集。
本文将着重介绍高三数学中的参数方程知识点，帮助学生全面理解并有效记忆这一概念。
一、参数方程的定义与特点参数方程是指用一个参数表示所有的自变量和因变量之间的函数关系。
通常用t作为参数，表示自变量的取值范围。
在参数方程中，将自变量和因变量用参数表示，使得函数的自变量和因变量之间的关系更为灵活。
二、参数方程的表示方法参数方程的表示方法有多种形式，常见的有向量表示法和分量表示法。
1. 向量表示法在向量表示法中，自变量和因变量都用向量表示。
例如，对于平面上的一个点P，其参数方程可表示为：P(t) = (x(t), y(t))其中，x(t)和y(t)分别表示点P的x坐标和y坐标，t为参数。
2. 分量表示法在分量表示法中，将自变量和因变量都分别表示为关于参数t的函数。
例如，对于平面上的一个点P，其参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，f(t)和g(t)分别表示x和y的函数，t为参数。
三、参数方程应用领域参数方程在数学中有广泛的应用，特别是在曲线的研究中起到重要作用。
下面分别介绍参数方程在平面曲线和空间曲线中的应用。
1. 平面曲线参数方程在平面曲线中的应用非常广泛，常见的曲线方程如圆、椭圆、抛物线、双曲线等都可以用参数方程表示。
通过参数方程，可以对曲线的形状和性质进行更深入的研究。
例如，对于圆的参数方程为：x = a*cos(t)y = a*sin(t)其中，a为半径，t为参数。
通过改变参数t的取值范围，可以绘制出一条圆的完整轨迹。
2. 空间曲线参数方程在空间曲线的研究中也起到重要作用，例如，直线、曲线、螺旋线等都可以通过参数方程来表示。
通过参数方程，可以描述物体在空间中的运动轨迹，从而研究物体的运动方式和变化规律。
四、参数方程的解法当给定一个参数方程时，我们需要求解参数方程对应的曲线方程或图形。
高中数学 参数法的解题思想素材
参数法在数学解题中的应用数学问题中有这样的量，它本身不是题目所求的最终结果，通常题目并未给出，但它在解题过程中参与运算，起着连结与未知，转化问题形式，替代复杂式子，充当待定因子等作用，这样的量称为参变量.应用参变量解数学题的方法称为参数法.参数法在解题过程中常表现为“设而不求〞，“整体替代〞，“换元法〞，“待定系数法〞等.引入参数便于揭示变量之间的内在联系，变与不变在一定条件下可以相互转化，表现出较大的能动作用和活力，从而沟通题中各量之间的内在联系或改变数量关系的结构，进而求出所需要确定的常数或变量.应用参数法首先要选取恰当参数，引进参数后，要能使问题获解，这是选取参数最基本的原那么.其次，引进参数必须合理，除了要考虑条件与结论的特点外，还必须注意某些量的取值范围，必要时还要对参数的变化范围进行讨论.另外，要注意原问题并非关于参数的问题，参数并不是直接研究对象，它只起“桥梁〞和转化作用，所以当求得间接解后要倒回去确定原问题的解.-下面通过一些例题解析，以帮助同学们体会参数法的思想. 一、 参数法在函数问题中的应用例1 2211()f x x x x -=+，求(1)f x +解 设1x t x -=，那么22212x t x -+=，即22212x t x+=+，从而2()2f t t =+，因此22(1)(1)223f x x x x +=++=++.评析 此题引进了参数t 代替1x x-，先求出2()2f t t =+，而后进一步求出(1)f x +.例2 〔2006 江苏高考试题〕设a 为实数，设函数()f x =()g a .〔1〕设t =t 的取值范围，并把()f x 表示为t 的函数()m t . 〔2〕求()g a . (3)略解 〔1〕∵t =∴要使t 有意义必须1010x x +≥-≥且，即11x -≤≤.又∵[]222,4,0t t =+≥ ， ① ∴t 的取值范围是,2⎤⎦.2112t =-,∴2211()(1)22m t a t t at t a =-+=+-，,2t ⎤∈⎦.〔2〕由题意知()g a 为函数21()2m t at t a =+-，,2t ⎤∈⎦的最大值.注意到直线1t a =-是抛物线21()2m t at t a =+-的对称轴，分以下几种情况讨论：〔Ⅰ〕当0a >时，函数()y m t =，,2t ⎤∈⎦的图象是开口向上的抛物线的一段，由10t a=-<知()m t在,2⎤⎦上单调递增，∴()(2)2g a m a ==+. 〔Ⅱ〕当0a =时，()m t t =，,2t ⎤∈⎦，∴()2g a =.〔Ⅲ〕当0a <时，函数()y m t =，,2t ⎤∈⎦的图象是开口向下的抛物线的一段.假设1(0t a =-∈，即2a ≤-，那么()g a m ==假设1t a =-∈，即1(,]2a ∈-，那么11()()2g a m a a a =-=--. 假设1(2,)t a =-∈+∞，即1(,0)2a ∈-，那么()(2)2g a m a ==+.综上有12,,211(),,22,.2a a g a a a a a ⎧+>-⎪⎪⎪=--<≤-⎨⎪≤- 评析 此题利用参数t，使复杂的()f x 表达式得以化成简单的()m t 的表达式，利用熟悉的二次函数()m t 的性质求出()f x 的最大值()g a .例3 实数x 、y 满足224x -5xy+4y =5 ①，设22S=x +y ，求maxmin11S S +的值. 解法1设x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩代入①式得：4S-5Ssin cos 5αα=，解得1085sin 2S =-α ，∵ 1sin21α-≤≤∴385sin 213α≤-≤ ∴max 103S =，min 1013S = ∴ max min 1185S S += . 解法2 设22S x t =+，22S y t =-，[,]22S S t ∈-，那么xy =45S ±=，移项平方整理得22100391601000t S S +-+=，∴24100(39160100)0S S ∆=-⨯⨯-+≥解得1010133S ≤≤，即有max min 1185S S +=. 解法3 设x m n y m n=+⎧⎨=-⎩代入①式得：223m +13n =5，∴2225-13n 5m =0313n ≤≤且.从而22210S=2(m +n )(12)3n =-，∴1010133S ≤≤，即有max min 1185S S +=.评析 解法1引进参数α，采用了“三角换元法〞，将问题转化为熟悉的简单三角函数问题；解法2引进参数t ，采用了“均值换元法〞，将问题转化为用判别式求解的问题；解法3引进两个参数m ,n ，采用了“对偶换元法〞，将问题转化为熟悉的二次函数问题.二、参数法在不等式问题中的应用例4 设2351xyz==>，试比较2x 、3y 、5z 的大小.解 设2351xyzt ===>，那么2log x t =，3log y t =，5log z t =，从而2x =，3y t =，5z =,∴230x y t t -==>，23x y >，同理，520z x t -=>，52z x >,故：523z x y >>.评析 此题通过引进中间参数t ，使2x 、3y 、5z 都表示为t 的关系式，而后通过熟悉的作差〔或作商〕比较，使大小比较问题得以解决.例 5 设a R ∈，R θ∈，求证：sin (cos )a θθ+≤⎝指出等号成立的条件.证明 令sin (cos )y a θθ=+，引入参数λ得：22221sin (cos )y a θλλθλ=+22222222222222222211sin cos 11sin (cos )()()()()()22a a a θλθλθλθλλλλλλ+++≤++≤+=+ ①, 等号当且仅当2222cos sin cos a λθθλθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩即221)41cos )4a a λθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时成立，将221)4a λ=代入①式，即得24sin (cos )8a a θθ⎛++≤ ⎝评析 此题通过引进待定“调和〞参数λ，使两次不等成立的条件能同时成立，从而证得不等式成立.这是一种非常有效的不等式证明方法，多加体会，在不等式证明过程中充分加以利用，常能起到化难为易的效果.例6 设a ，b ，c 为三角形三边，求证：3a b cb c a a c b a b c++≥+-+-+-.证明 设,,b c a x a c b y a b c z +-=+-=+-=，因为a ，b ，c 为三角形三边，所以0,0,0x y z >>>，且有,,222y z z x x ya b c +++===.从而a b c b c a a c b a b c+++-+-+-11[()()()]322222y z z x x y y x x z z y x y z x y z x y z +++=++=+++++≥= 原不等式得证.评析 此题通过引进参数x ,y ,z ，将不等的分母进行整体代换，进一步将不等的左边化为三对互为倒数的式子的和，应用基本不等式，使问题轻松解决.三、参数法在数列问题中的应用例7 数列{}n a 中，11a =，21a =且21n n n a a a ++=+，求{}n a 的通项公式.分析 这是求斐波拉契数列的通项问题.给出了数列{}n a 相邻三项之间的关系，假设能求出相邻两项间的关系，问题便有所改善，于是设想211()n n n n a ta a ta λ++++=+，通过求出参数t ，λ，从而得到1{}n n a ta ++是公比为λ的等比数列，再进一步求解.解 令211()n n n n a ta a ta λ++++=+，那么21()n n n a t a ta λλ++=-+，比较21n n n a a a ++=+得11t t λλ-=⎧⎨=⎩，解得111212t λ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或221212t λ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以令11n n n b a t a +=+，那么11n n b b λ+=，即{}n b 是首项为1211111b a t a t λ=+=+=，公比为λ1的等比数列，从而111111n n n n n b a t a λλλ-+=+=⋅=①，同理，令12n n n c a t a +=+，那么122n n n n c a t a λ+=+= ②. ①-②得：1212()n nn t t a λλ-=-即：121211[((]22n nn nn a t t λλ-==--.评析 此题通过引入待定参数t ，λ，并用换元法求出两个等比数列{}n b 、{}n c 的通项，进一步求出了{}n a 的通项.四、参数法在三角中的应用例8sin cos x y θθ= ①，且222222cos sin 103()x y x y θθ+=+ ②，求x y 的值. 解 由①式，设sin cos k x yθθ==，那么sin kx θ=，cos ky θ=且22222sin cos ()1k x y θθ+=+=,即2221x y k +=. 代入②式得：2222222103k y k x k x y +=，即：2222103y x x y +=.设22x t y =，那么1103t t +=,解得：133t =或，所以x y =或评析 此题通过引进中间参数k ，将条件中的正弦、余弦方便地消去，再利用整体代换22x t y=，直接求出xy的值. 五、参数法在解析几何中的应用例9 〔2006 福建高考试题〕椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点. 〔Ⅰ〕略 ；〔Ⅱ〕设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆与A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.解 由题设有(1,0)F -，〔如图1〕设11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点00(,)M x y ， (,0)G G x ，那么221112x y +=，222212x y +=，两式相减得：21212121()()()()02x x x x y y y y -++-+=，从而21210021210022()222y y x x x xx x y y y y -+=-=-=--+⋅，即直线AB 亦FM 的斜率为002x y -，其方程为00(1)2x y x y =-+.进一步MG 的斜率为002yx ，其方程为：00002()y y y x x x -=-.因为G 点的坐标适合MG 的方程，所以00002()G yy x x x -=-，即02G x x =.又因为点00(,)M x y 的坐标适合FM 的方程，所以0000(1)2x y x y =-+，即20001(1)02y x x =-+> ① .由点M 在椭圆内，得220012x y +< ② .由①②得010x -<<，从而102G x -<<，即G 点横坐标的范围为1(,0)2-. 评析 此题引进了A 、B 、M 点的坐标作为参数，从而最终将G 点横坐标表示成M 点的横坐标0x 的关系式，利用M 点的横坐标的范围，求出了G 点横坐标的范围.例10 设0a b <<，过两定点(,0)A a 和(,0)B b 分别引直线l 和m ，使与抛物线2y x =有四个不同的交点，当这四点共圆时，求直线l 和m 的交点P 的轨迹.解 设直线l 和m 的交点为00(,)P x y ，其倾角分别为1θ和2θ，l 交抛物线2y x =于A 1和A 2，m 交抛物线2y x =于B 1和B 2. 于是：l ：0101cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩〔t 为参数〕 ① m ：0202cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩〔t 为参数〕 ②将①代入抛物线2y x =得： 222101100sin(2sin cos )()0t t y y x θθθ+-+-= ③图 1设③的两根为1t ，2t ，由韦达定理， 2001221sin y x t t θ-=，根据参数的几何意义得 2001221sin y x PA PA θ-= 同理，由②代入抛物线y 2=x 后可得 2001222sin y x PB PB θ-=.∵A 1，A 2，B 1，B 2四点共圆，由圆幂定理得 1212PA PA PB PB =，∴2212sin sin θθ=，即12sin sin θθ=.故12θθ=或12θπθ=-.但当12θθ=时，l ‖m ∴只能12θπθ=- .于是，过定点(,0)A a 和(,0)B b 的直线的交点P 的轨迹为线段AB 的中垂线〔除去其与x 轴及抛物线2y x =的交点〕.评析 此题通过引进表示有向线段数量的参数t ，方便地将四点共圆的条件转化为两直线的倾斜角互补，从而根据几何意义，得知交点P 的轨迹.六、参数法在平面几何中的应用例11 〔如图2〕P 是△ABC 的BC 边上的一点，过P 作PQ ‖BA 交AC 于Q ，作PR ‖CA 交AB 于R ，问P 点在什么位置时，△PQR 的面积达到最大？分析：由题设不难看出P 点在BC 上的位置将决定△PQR 面积的大小，而点P 将BC 分为以BP 与PC 两段，从而点P 的位置将以BP ：CP 的大小来表示，因此我们将线段比BP mCP n=作为参数，计算△PQR 的面积〔以△ABC 的面积为单位〕解 令△ABC 的面积为S ，BP mCP n=. ∵ PQ ‖BA ，∴△BPR ∽△ABC ，∴2()BPRm S S m n=+.同理2()CPQ n SS m n =+，∴222111[()()]22()4PQR PQARm n mn S S S S S S S m n m n m n ==--=≤=+++ 〔当且仅当m n =时取等号〕.即当P 点是BC 中点时△PQR 的面积达到最大，此时它的面积为△ABC 面积的14. 评析 此题通过引进两个参数m ,n ，而后将△PQR 的面积表示为m ,n 的函数，通过基本不等式，方便地求出了△PQR 的面积的最大值.七、参数法在立体几何中的应用.例12 (如图3)三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AC =BC ，G 、D 分别是AB ，AP 的中点，E 为PB 上的点，且BP =3BE ，假设:AP AB =〔1〕求证：EG ⊥平面DGC ；〔2〕求截面CDE 分棱锥P -ABC 所成两部分的体积之比. 〔1〕证明 ∵:AP AB =，∴设AP k =，AB ，从而BAPRQ图 2CBPE图 3CAD GPB ，cos 3ABP ∠=.在△BGE 中，3BE k =，2BG k =，∴22221)()2226EG k k k =+-⨯=.因此 222222211)()622EG BE k k k BG +=+===,∴△BEG 是Rt △， ∴EG ⊥EB . 又∵G 、D 是AB ，AP 的中点，∴GD ‖PB ，∴EG ⊥GD .∵PA ⊥底画ABC ，∴PA ⊥CG ，又∵AC =BC ，在等腰△ABC 中G 是底边AB 的中点,∴CG ⊥AB ，∴CG ⊥平面PAB ，∴CG ⊥EG∵CG GD G =,∴EG ⊥平面DGC ； 〔2〕解 设△PBC 面积为S ，点A 、D 到平面PBC 的距离分别为h ，h 1， 那么32PECS S =，12h h =.进一步，三棱锥A -PBC 的体积为：111131()(2)3()33323A PBC PECPEC D PEC V Sh S h Sh V --====∴截面CDE 分棱锥P -ABC 所成两部分体积之比:1:2P ECD ED ABC V V --=.评析 第〔1〕题中引入了比例参数k ，使各边长度统一用k 表示，从而算得关键的结论EG ⊥BE .第〔2〕中引入△PBC 面积参数S 及距离参数h ，h 1 ，使体积转换灵活简捷.从以上的例题可以看到，在数学问题中参数的选取、消去、确定、讨论很普遍，而且在解题中，参数的选取多种多样.由于综合性强，牵涉知识面较广，一般都需要根据问题的条件作出透彻分析，才能恰当地选取参数，使运算简便，问题得以迎刃而解.。
高三数学参数方程知识点
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2008年二轮复习高中数学方法讲解：4、参数法在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题的方法叫参数法是指。
直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。
换元法也是引入参数的典型例子。
辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。
参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。
参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。
运用参数法解题已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。
若动点P（x，y）的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程．例1. [00.北京、安徽春招]设点A和B为抛物线 y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅-=⋅==112121212122112221211144x x y y x x y y x x y y x y x y x y px y px y①－②得(y 1－y 2)(y 1+y 2)=4p(x 1－x 2) 若x 1≠x 2,则有2121214y y px x y y +=-- ⑥①×②,得y 12·y 22=16p 2x 1x 2③代入上式有y 1y 2=－16p 2 ⑦ ⑥代入④，得yxy y p -=+214 ⑧⑥代入⑤，得py x y y x x y y y y p442111121--=--=+所以211214)(44y px y y p y y p --=+ 即4px －y 12=y(y 1+y 2)－y 12－y 1y 2⑦、⑧代入上式，得x 2+y 2－4px=0(x ≠0) 当x 1=x 2时，AB ⊥x 轴，易得M(4p,0)仍满足方程.故点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px=0(x ≠0)它表示以(2p,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.解法二：设M(x,y)，直线AB 的方程为y=kx+b 由OM ⊥AB ，得k=－yx① ②③ ④ ⑤由y 2=4px 及y=kx+b ，消去y,得k 2x 2+(2kb －4p)x+b 2=0 所以x 1x 2=22kb ,消x,得ky 2－4py+4pb=0所以y 1y 2=kpb 4，由OA ⊥OB ，得y 1y 2=－x 1x 2所以k pk4=－22kb ,b=－4kp故y=kx+b=k(x －4p),用k=－yx 代入，得x 2+y 2－4px=0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px=0(x ≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.例2.实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，求a 2＋b 2＋c 2的最小值。
【分析】由a ＋b ＋c ＝1 想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a ＝13＋t 1，b ＝13＋t 2，c ＝13＋t 3，代入a 2＋b 2＋c 2可求。
【解】由a ＋b ＋c ＝1，设a ＝13＋t 1，b ＝13＋t 2，c ＝13＋t 3，其中t 1＋t 2＋t 3＝0，∴ a 2＋b 2＋c 2＝（13＋t 1）2＋（13＋t 2）2＋(13＋t 3)2＝13＋23(t 1＋t 2＋t 3)＋t 12＋t 22＋t 32＝13＋t 12＋t 22＋t 32≥13所以a 2＋b 2＋c 2的最小值是13。
【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧。
例3.椭圆x 216＋y 24＝1上有两点P 、Q ，O 为原点。
连OP 、OQ ，若k OP ·k OQ ＝－14，①．求证：|OP|2＋|OQ|2等于定值； ②.求线段PQ 中点M 的轨迹方程。
【分析】由“换元法”引入新的参数，即设xy==⎧⎨⎩42cossinθθ（椭圆参数方程），参数θ1、θ2为P、Q两点，先计算kOP·kOQ得出一个结论，再计算|OP|2＋|OQ|2，并运用“参数法”求中点M的坐标，消参而得。
【解】由x 216＋y24＝1，设xy==⎧⎨⎩42c o ss i nθθ，P(4cosθ1,2sinθ1)，Q(4cosθ2,2sinθ2),则kOP ·kOQ＝2411sincosθθ∙2422sincosθθ＝－14，整理得到：cosθ1 cosθ2＋sinθ1sinθ2＝0,即cos（θ1－θ2）＝0。
∴ |OP|2＋|OQ|2＝16cos2θ1＋4sin2θ1＋16cos2θ2＋4sin2θ2＝8＋12(cos2θ1＋cos2θ2)＝20＋6（cos2θ1＋cos2θ2)＝20＋12cos（θ1＋θ2）cos（θ1－θ2）＝20，即|OP|2＋|OQ|2等于定值20。
由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为x y MM=+ =+⎧⎨⎩21212(cos cos)sin sinθθθθ，所以有(x2)2＋y2＝2＋2(cosθ1cosθ2＋sinθ1sinθ2)＝2, 即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为x28＋y22＝1。
【注】由椭圆方程，联想到a2＋b2＝1,于是进行“三角换元”，通过换元引入新的参数，转化成为三角问题进行研究。
本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”，在由中点坐标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cosθ1＋ cosθ2）2＋（sinθ1＋sinθ2）2，这是求点M轨迹方程“消参法”的关键一步。
一般地，求动点的轨迹方程运用“参数法”时，我们可以将点的x 、y 坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运用“消去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。
例4.已知正四棱锥S —ABCD 的侧面与底面的夹角为β，相邻两侧面的夹角为α,求证：cos α=-cos 2β。
【分析】要证明cos α=-cos 2β，考虑求出α、β的余弦，则在α和β所在的三角形中利用有关定理求解。
【解】连AC 、BD 交于O ，连SO ；取BC 中点F ，连SF 、OF ；作BE ⊥SC 于E ，连DE 。
则∠SFO ＝β，∠DEB ＝α。
设BC ＝a (为参数)， 则SF ＝OF cos β＝a2cos β, SC ＝SF FC 22+＝(cos )()a a 2222β+ ＝a 2cos β12+cos β又 ∵BE ＝SF BC SC·＝a 22cos β⨯1212acos cos ββ+＝a 12+cos β在△DEB 中，由余弦定理有：cos α＝22222BE BD BE -＝2122122222⨯+-⨯+a a a cos cos ββ＝－cos 2β。
D CO F A B所以cos α＝－cos 2β。
【注】 设参数a 而不求参数a ，只是利用其作为中间变量辅助计算，这也是在参数法中参数可以起的一个作用，即设参数辅助解决有关问题。
例5 .[94.上海]设椭圆中心为原点O ，一个焦点为F （0，1），长轴和短轴的长度之比为t ． （A ）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q ，点P 在该直线上，且12-=t t OQOP ，当t 变化时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．解：（1）设所求椭圆方程为 ).0(12222＞＞b a bx a y =+由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==-,,122t b a b a 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.11.122222t b t t a 所以椭圆方程为222222)1()1(t y t x t t =-+-．(2)设点),,(),,(11y x Q y x P 解方程组⎩⎨⎧==-+-,,)1()1(1122122122tx y t y t x t t得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.)1(2,)1(212121t t y t x 由12-=t t OQOP 和1x x OQOP =得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,2,2,2222ty t x t y t x 或其中t ＞1．消去t ，得点P 轨迹方程为)22(222>=x y x 和)22(222-<-=x y x ． 其轨迹为抛物线y x 222=在直线22=x 右侧的部分和抛物线y x 222-=在直线22-=x 在侧的部分． 巧解练习：1. 设2x ＝3y ＝5z >1，则2x 、3y 、5z 从小到大排列是________________。
2. 直线x t y t=--=+⎧⎨⎪⎩⎪2232上与点A(-2,3)的距离等于2的点的坐标是________。
4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。
6. 椭圆x 216＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是_____。
A. 3B. 11C. 10D. 22 【简解】1小题：设2x ＝3y ＝5z ＝t ，分别取2、3、5为底的对数，解出x 、y 、z ，再用“比较法”比较2x 、3y 、5z ，得出3y<2x<5z ； 2小题：A(-2,3)为t ＝0时，所求点为t ＝±2时，即(-4,5)或(0,1)；4小题：设三条侧棱x 、y 、z ，则12xy ＝6、12yz ＝4、12xz ＝3,所以xyz ＝24,体积为4。
6小题：设x ＝4sin α、y ＝2cos α，再求d ＝|sin cos |4425αα+-的最大值，选C 。