圆的基本概念
圆的基本概念
圆的基本概念圆是几何学中一个常见的形状，它在我们日常生活中无处不在。
圆具有独特的特征和性质，本文将详细介绍圆的基本概念及其相关内容。
一、圆的定义在几何学中，圆是由与其内部的所有点到一个固定点（称为圆心）的距离相等的点的集合。
圆的周长是圆的边界，由无数个点连续构成。
圆的内部区域称为圆的内部，外部区域称为圆的外部。
二、圆的要素1. 圆心：圆的中心点叫做圆心，通常用大写字母O表示。
在圆上任意取两点，连接圆心和这两个点，这两条线段就是半径。
2. 半径：半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，它的长度决定了圆的大小。
3. 直径：直经是通过圆心，且两端点都在圆上的线段。
直径是圆最长的线段，通常用大写字母D表示，它的长度是半径的二倍。
4. 弦：弦是圆上两点之间直线段，可以不经过圆心。
5. 弧：弧是圆上的一段弯曲部分。
圆的周长可以看作无限个弧的总和，其中半径为弧长的一半，而直径为整个圆的弧长。
三、圆的性质1. 圆的周长：圆的周长可以通过公式C = 2πr计算，其中C表示周长，r表示半径。
可以看出，圆的周长与半径成正比关系。
2. 圆的面积：圆的面积可以通过公式A = πr²计算，其中A表示面积，r表示半径。
圆的面积与半径的平方成正比关系。
3. 弧长、扇形面积和圆心角：圆上的弧长可以通过弧度制或度数制进行度量。
当我们以弧度制来度量时，一个完整的圆周长为2π弧度。
扇形指的是圆心和圆上两点所对应的弧所形成的图形，可以根据圆的半径和圆心角来计算扇形的面积。
4. 圆与其他几何图形的关系：圆与直线、多边形等几何图形之间有着紧密的关联。
例如，圆与直线只有两个交点；圆与正多边形相切于多个点；圆与圆之间可以相切、相离或相交。
四、应用领域圆的基本概念和性质在日常生活和各个领域中得到广泛应用。
以下是一些例子：1. 建筑和设计：在建筑和设计中，圆的形状经常被使用，例如圆形的建筑结构、圆形的花园设计等。
2. 工程和机械：在工程和机械领域，圆的运动学和动力学特性经常被应用，例如圆形齿轮、同心轴、传动系统等。
圆的认识认识圆的基本概念和相关术语
圆的认识认识圆的基本概念和相关术语圆的认识：认识圆的基本概念和相关术语圆，作为数学中的重要概念之一，具有广泛的应用和研究价值。
本文将从圆的基本定义、属性以及相关术语等方面进行介绍和讨论。
一、圆的基本概念圆是由平面上所有到一个点的距离等于该点到一个确定点的距离的点构成的集合。
其中，距离相等的那个点被称为圆心，距离等于圆心到圆上任意一点的距离称为半径。
圆的基本要素包括圆心、半径和圆周。
二、圆的属性1. 圆心和半径的关系圆心到圆上任意一点的距离均相等，这一特性决定了圆心与圆上的任意一点的连线称为半径。
圆的半径可以用r表示。
2. 圆的直径和周长圆的直径是连接圆上两个相对点的线段，直径的长度是半径长度的两倍，即直径等于2r。
圆的周长是指圆周上的一条线段的长度，记为C。
圆的周长与直径之间有着特定的关系，即周长等于πd（π是一个常数，约等于3.14）。
3. 圆的面积圆的面积是指圆内部的所有点构成的区域的大小。
记圆的面积为S，半径为r，则圆的面积可以表示为S = πr^2。
圆的面积与半径的平方成正比。
三、圆的相关术语1. 圆弧圆弧是圆上的一段弯曲线。
弧两端所连接的线段称为弧的弦，弧与弦的中点连线称为弦的中心角。
圆弧的长度与圆周上所对应的中心角有密切的关系，其中，圆弧的长度可以通过圆心角的计算公式得到。
2. 弦段弦段是连接圆上两点的线段。
弦段的长度可以通过两点间的距离公式计算得到。
3. 弧度弧度是一个用来衡量角度大小的单位，用符号rad表示。
一个完整的圆周对应的弧长等于2πr，而对应的度数为360°，因此，1圆周对应的弧度是2π rad。
四、圆的应用圆的概念和性质在数学中具有广泛的应用，并且在实际生活中也有许多实际应用。
在几何学中，圆被用来研究角度、线段和三角函数等概念。
在工程学中，圆被广泛应用于建筑设计、测量和制图。
在物理学和工业领域，圆在力学、光学和电路设计等方面都有着重要的应用。
总结：通过本文的介绍，我们了解到了圆的基本概念和相关术语，包括圆心、半径、直径、周长、面积、圆弧、弦段和弧度等。
圆的认识知识点总结
圆的认识知识点总结圆是我们数学中的一个基本几何概念，在日常生活中也经常遇到。
本文将对圆的定义、性质及相关定理进行总结，希望能够更好地帮助大家理解和应用圆的相关知识。
一、圆的定义及基本术语1. 圆的定义：圆是平面上到一个固定点的距离等于定长的点的集合。
2. 圆心：圆形的中心点称为圆心，通常用大写字母O表示。
3. 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段称为半径，通常用小写字母r表示。
4. 圆的直径：通过圆心并且两端点都在圆上的线段称为圆的直径，直径的长度等于半径长度的两倍。
5. 圆的弦：圆上的两个点之间的线段称为圆的弦。
二、圆的性质1. 圆上任意两点之间的线段都是弦，弦的长短决定了其距离圆心的远近。
2. 弦与其所对的圆心角，它们之间的关系是：当一个弦被圆分成两段时，两段弧所对的角相等；而当一个弧被多个弦分成几段时，各弦所对的角之和等于该弧所对的角。
3. 圆的半径相等，即圆的所有半径长度都相等。
4. 圆的直径是圆上最长的弦，并且它等于圆的半径长度的两倍。
5. 在同一个圆中，弧度越大，对应的圆心角越大。
三、圆的相关定理1. 圆心角定理：在同一个圆中，圆心角所对的弧长是一定的。
换句话说，圆心角相等的弧长相等，圆心角不等的弧长不等。
2. 弧长定理：在同一个圆中，两条相交弦所对的弧长之和等于这两条弦所对的圆心角所对应的弧长之和。
3. 弦切角定理：当一个弦与一个切线相交时，两个交角的差等于这条弦所对的弧的圆心角。
4. 切线定理：从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的切点与该外点构成的两个三角形是相似三角形。
5. 弦切线性质：从圆外一点引圆的切点与切线相连，该切线与引线所对的圆心角相等。
综上所述，圆是平面几何中的重要概念，其性质及相关定理也是我们应用数学知识解决问题的基础。
掌握了圆的定义、基本术语、性质和定理，我们就能更加深入地理解和运用圆的相关知识。
希望本文对大家的学习有所帮助。
圆的基本概念
圆的基本概念圆是几何学中的基本概念之一，它在我们的生活中处处可见。
在数学中，圆是由全部和圆心相等距离的点组成的集合。
在本文中，我将会介绍圆的定义、性质和应用。
1. 圆的定义圆的定义非常简明直接：圆是由半径为r的全部点组成的集合。
其中，半径是指从圆心到圆上任意一点的距离，用r表示。
圆心是圆的中心点，用O表示。
圆由无数个点组成，这些点的位置都在圆上。
2. 圆的性质2.1 圆的直径和半径圆的直径是通过圆心并且两端点在圆上的一条线段，它的长度为圆的两倍，即2r。
而圆的半径是从圆心到圆上的一点，它的长度为r。
因此，直径和半径是圆的两个重要性质。
2.2 圆的周长和面积圆的周长也称为圆周长，是圆上任意一点到这个点相邻点之间的距离的总和。
圆的周长计算公式为C = 2πr，其中π是一个常数，约等于3.14。
圆的面积是圆所覆盖的平面区域大小，用A表示。
圆的面积计算公式为A = πr^2。
2.3 圆与圆之间的关系当两个圆有公共的重叠部分时，我们称它们为相交圆。
如果两个圆的半径相等，则它们是同心圆。
如果一个圆完全包含另一个圆，则我们称它们为内切圆。
而两个圆只有一个公共切点，我们称它们为外切圆。
3. 圆的应用圆的概念和性质在日常生活和工程中有许多应用。
3.1 圆在建筑和设计中的应用圆的周长和面积计算广泛应用于建筑和设计领域。
例如，在设计环形地板、圆形天花板或者圆形窗户时，需要根据圆的性质进行计算和设计。
3.2 圆在车辆轮胎和机械零件中的应用许多车辆轮胎都是圆形，在制造过程中需要考虑到圆的性质和设计原则。
机械零件中，例如轴承、齿轮等也常常使用圆形结构。
3.3 圆在地理和天文学中的应用地球是大圆球体, 地图上的纬线和经线是以地球为中心的圈。
天文学中行星的轨道和星座的运动等也与圆的性质有关。
4. 总结圆是数学中的一个基本概念，通过圆的定义、性质和应用，我们可以更好地理解和应用圆形结构。
圆的周长和面积计算以及圆与圆之间的关系为我们的日常生活和工程设计提供了便利。
圆的基本概念
圆的基本概念一、圆的定义1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
(1)劣弧：小于半圆周的弧。
(2)优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
【例1】已知⊙O的半径为4cm，如果点P到圆心O的距离为4.5cm，那么点P与⊙O 有怎样的位置关系？如果点P到圆心O的距离为4cm、3cm呢？【例2】如图，已知BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．【例3】已知：如图，点A、B和点C、D分别在同心圆上，且∠AOB＝∠COD．∠C与∠D相等吗？为什么？【变式题组】1、如图,两个同心圆的圆心为O,大圆的半径OC、OD交小圆于A、B, AB与CD有怎样的位置关系？为什么？【例4】如图，扇形OAB的半径OA＝3，圆心角∠AOB＝90°，点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥O B于点E，连接DE，点G、H在线段DE 上，且DG＝GH＝HE．（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；（2）当点C在弧AB上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度，若不存在，请说明理由．【例5】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°。
以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，求∠ACD的度数．【例6】如图，C是⊙O直径AB上一点，过C作弦DE，使DC=OC，∠AOD=40°，求∠BOE的度数．课堂练习1．下列条件中，能确定圆的是()A．以已知点O为圆心画圆B．以1 cm为半径画圆C．经过已知点A，且半径为2 cm画圆D．以点O为圆心，1 cm为半径画圆2．若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为()A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．无法确定3．点P到圆上某点的最大距离为8 cm，最小距离为6 cm，则这个圆的半径为________．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2 cm，BC＝4 cm，CM为中线，以C为圆心， 5 cm为半径作圆，则A，B，M三点中在圆外、圆上、圆内的点分别是哪些？试说明理由．5．已知点A的坐标为(2，0)，点P在直线y＝x上运动．当以点P为圆心，P A长为半径的圆的面积最小时，点P的坐标为()A ．(1，－1)B ．(0，0)C ．(1，1)D ．(2，2)6．如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格点)．若以A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为( )A ．2 2＜r ＜17 B.17＜r ＜3 2 C.17＜r ＜5 D ．5＜r ＜297．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，∠BOC ＝110°，AD ∥OC ，求∠AOD 的度数．8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°.以点C 为圆心，CB 长为半径的圆交AB 于点D ，求∠ACD 的度数．9．如图，四边形PAOB 是矩形，且点A 在OM 上，点B 在ON 上，点P 在以点O 为圆心的MN ︵上，且不与点M ，N 重合，当点P 在MN ︵上移动时，矩形PAOB 的形状随之变化，则AB 的长( )A ．逐渐变大B ．逐渐变小C ．不变D ．不能确定10．如图，以△ABC 的边BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ，连接OD，OE.若∠A＝65°，则∠DOE＝________°.11．如图所示，A，B，C是⊙O上的三点，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，求∠OAC 的度数．12．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC.(1)求∠AOB的度数；(2)求∠EOD的度数．13．已知：如图，O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与∠EPF的两边分别交于点A，B和C，D.求证：∠OBA＝∠OCD.课后作业1．图中有________条直径，________条非直径的弦，图中以A为一个端点的优弧有________条，劣弧有________条．2．如图，图中的弦有__________，圆心角∠AOD所对的弧是________，弦AB所对的弧有____________．3．如图2－1－7，在∠O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中的弦有()A．2条B．3条C．4条D．5条4．下列说法中，错误的是()A．圆有无数条直径B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦C．过圆心的线段是直径D．能够重合的圆叫做等圆5．如图，点A，B，C是∠O上的三点，BO平分∠ABC.求证：BA＝BC.6．如图，在∠O中，AB是直径，AC是弦，连接OC.若∠ACO＝30°，则∠BOC的度数是()A．30°B．45°C．55°D．60°7．如图，AB为∠O的直径，∠COA＝∠DOB＝60°，那么与线段OA相等的弦为________________．。
圆的基本概念
圆的基本概念圆的基本概念圆是数学中的一个重要概念，是一种平面图形，由一条固定点到平面上任意一点距离相等的所有点组成。
本文将从定义、特征、性质、公式等方面全面介绍圆的基本概念。
定义圆是平面上一条固定点（圆心）到平面上任意一点距离相等的所有点所组成的图形。
特征1. 圆心：圆心是指固定点，通常用字母O表示。
2. 半径：半径是指圆心到圆周上任意一点之间的距离，通常用字母r表示。
3. 直径：直径是指通过圆心并且两端在圆周上的线段，直径长度为半径长度的两倍，通常用字母d表示。
4. 弧：弧是指连接圆周上两个点所对应的线段，通常用字母AB表示。
性质1. 圆周率π：π是一个无理数，约等于3.1415926。
它表示单位长度下一个完整圆周所对应的长度。
2. 圆周长公式：一个完整圆周的长度等于2πr。
3. 圆面积公式：一个半径为r的完整圆形面积为πr²。
4. 圆心角：圆心角是指以圆心为顶点的角，其所对应的弧长等于半径长度的弧度数，通常用字母θ表示。
5. 弦：弦是指连接圆周上两个点的线段。
6. 切线：切线是指与圆周相切的直线，与半径垂直。
公式1. 弧长公式：一段弧所对应的长度等于该弧所在圆周的半径长度乘以该弧所对应的圆心角度数除以360°。
即L=θr（其中L表示弧长，θ表示圆心角度数，r表示半径长度）。
2. 弦长公式：一条弦所对应的长度等于该弦两端到圆心距离之差的平方根乘以2。
即l=2×√(r²-d²/4)（其中l表示弦长，d表示直径长度）。
3. 切线定理：切线与半径垂直。
当一条切线与一条半径相交时，它们所在点处形成一个直角三角形。
根据勾股定理可得到切线长公式t=√(r²-d²/4)（其中t表示切线长度）。
总结通过本文介绍，我们了解了圆的定义、特征、性质和公式。
圆是数学中的一个基本概念，具有重要的理论和应用价值。
在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
圆的定义概念
圆的定义概念圆的定义概念圆的基本定义•圆是一个平面内离定点距离相等的点的集合。
•圆由圆心和半径组成，圆心是离定点距离相等的点，半径是圆心到圆上任意一点的距离。
圆的性质•圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离，直径的长度是半径长度的2倍。
•圆的周长是圆周上的所有点与圆心的距离之和，记作C。
•圆的面积是圆内的所有点构成的区域，记作A。
圆的相关概念圆心角•圆中心O的两条射线夹成的角称为圆心角。
•圆心角的度数等于所对弧所对的圆心角度数的一半。
圆内接四边形•如果一个四边形的四个顶点都在圆上，那么这个四边形被称为圆内接四边形。
•圆内接四边形的两组对角线互相垂直，并且对角线的交点是圆的中心点。
弧•圆上两点之间的弧是连接这两个点的圆弧。
•弧可以通过它的圆心角度数来度量。
弦•圆上连接两个点的线段叫做弦。
•弦的长度小于或等于圆的直径。
切线•切线是与圆相切的直线，只有一个交点，并且交点与圆接触。
总结•圆的定义是一个平面内离定点距离相等的点的集合。
•圆的性质包括直径、周长和面积。
•圆的相关概念有圆心角、圆内接四边形、弧、弦和切线。
弧长•弧长是指弧所对的圆周的长度。
•弧长可以通过弧度来计算，公式为：弧长 = 弧度× 圆的半径。
弧度•弧度是圆心角所对的弧所占据的圆周的弧长比。
•弧度可以用数值来表示，一周等于2π弧度。
正弦•在直角三角形中，对于一个锐角A，正弦是指对边与斜边之比，记作sin(A)。
•圆的正弦是指以圆心为端点的半径与弧所对应的直线段之比。
余弦•在直角三角形中，对于一个锐角A，余弦是指邻边与斜边之比，记作cos(A)。
•圆的余弦是指以圆心为端点的半径与弦所对应的直线段之比。
切线定理•切线定理是指一条切线与半径所夹的角为直角，证明可以使用切线与半径的垂直性。
切线与弦的关系•切线与弦所夹的角相等，证明可以使用弧与弦所夹角的相等性和切线与弧所夹角的垂直性。
切线与切线的关系•两条切线所夹的角等于两条切线所夹角的对角的弧所夹角的一半。
圆的基本概念
圆的基本概念圆是几何学中的一种基本形状，它具有许多独特的特性和重要的应用。
本文将介绍圆的基本概念、性质和应用，以及与圆相关的一些重要定理和公式。
一、圆的定义圆是由平面上距离中心固定距离的所有点构成的图形。
其中，距离中心最远的点称为圆的边界，也称为圆周；距离中心的长度称为圆的半径，用字母r表示；直径是通过圆心并且两端点都在圆周上的线段，直径的长度是半径长度的两倍。
二、圆的性质1. 圆上的任意两点与圆心的距离相等。
2. 圆的直径是圆周长的两倍。
3. 圆的面积公式为S = π * r²，其中π是一个常数，约等于3.14。
4. 圆的周长公式为C = 2 * π * r。
5. 在圆内任取一点A，与圆心连线，得到线段OA。
以OA为半径，做圆心在圆上作弦AB，与OA所关的扇形和三角形OAB的面积之和等于全圆的面积。
三、圆的重要定理1. 切线定理：如果一条直线与圆相切于点T，那么切线的斜率等于与圆心连线的斜率。
2. 弧长定理：弧所对的圆心角的大小等于弧长与半径的比值。
3. 弦长定理：弦所对的两个圆心角的大小相等。
四、圆的应用1. 圆在几何图形的构建中具有重要作用，可以通过给定的半径和圆心画出一个确定的圆。
2. 圆的应用广泛，例如建筑设计中的圆形窗户和圆形拱门，以及机械工程中的圆锥和齿轮系统。
3. 圆的性质在计算机图形学和计算机编程中被广泛应用，例如设计和绘制圆形图标、圆形按钮等。
总结：圆作为几何学中的基本形状，具有着丰富的性质和重要的应用价值。
通过对圆的定义、性质和定理的理解，我们可以更好地认识和应用圆形图形。
在实际生活和工作中，我们经常会遇到和使用圆，因此深入理解圆的基本概念对我们的学习和工作具有重要意义。
通过不断学习和探索，我们可以更好地利用圆的特性，将其应用于各个领域，促进我们的创新和发展。
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圆的基本概念Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GTABC圆的基本概念1、定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。
固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，点的距离等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）； 以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ” 2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
3.直径：经过圆心的弦叫直径。
注：圆中有无数条直径 4圆的对称性及特性：(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴;(2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 5.圆弧：(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧” 以A,B 两点为端点的弧.记作AB ⋂,读作“弧AB”.(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。
如弧AD.(3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ⋂(用两个字母). (4)大于半圆的弧叫做优弧,如记作ACB ⋂(用三个字母).学习重点:圆及其有关概念学习难点:用集合的观念描述圆【例1】已知：如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N 分别为OA、OB的中点．求证：MC=NC．【例2】由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响【随堂针对练习】1．圆上各点到圆心的距离都等于，到圆心的距离等于半径的点都在．2．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（）A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径C．⊙O上有两点到点P的距离最小D．⊙O上有两点到点P的距离最大3．以已知点O为圆心作圆，可以作（）A．1个B．2个C．3个D．无数个4．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（）A．1个B．2个C．3个D．无数个5．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是cm．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15cm，BC=10cm，以A为圆心，12cm为半径作圆，则点C与⊙A的位置关系是．7．⊙O的半径是3cm，P是⊙O内一点，PO=1cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是．8．如图，公路MN和公路PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/时，那么学样受影响的时间为多少秒垂径定理及其推论:（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；（2）推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
垂径定理归纳为：一条直线，如果具有：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分例题1、如图3－5，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，若CE a ，ED=b.求：（1）=的长；（2）AB 的长.例题2、如图所示，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，若5cm ，OC=1cm ，则⊙O 的半径长为______cm ．例题3、（易错题）在直径为50cm 的圆中，弦AB 为40cm ，弦CD 为48cm ，且AB ∥CD ，求AB•与CD 之间距离． 解：如图所示，过O 作OM ⊥AB ， ∵AB ∥CD ，∴ON ⊥CD ． 在Rt △BMO 中，BO=25cm ． 由垂径定理得BM=12AB=12×40=20cm ， ∴22222520OB BM --=15cm ． 同理可求22222524OC CN -=-， 所以MN=OM-ON=15-7=8cm ．以上解答有无漏解，漏了什么解，请补上 【巩固练习】基础题：ABC DE .O1．下列命题中，正确的是（ ）A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧2．下列命题中错误的有（）①弦的垂直平分线经过圆心；②平分弦的直径垂直于弦；③梯形的对角线互相平分；④圆的对称轴是直径. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.在半径为25cm 的⊙O 中，弦AB ＝40cm ，则此弦和所对的弧的中点的距离为()10cm15m40cm10cm 或40cm4.如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，cm 6,cm 10==CD AB ，则AC 的长为（）A ．0.5cmB ．1cmC ．1.5cmD ．2cm5.过⊙O 内一点P 的最长的弦长为13cm ，最短的弦长5cm ，则OP=.6.直径是1000mm 的圆柱形水管面积如图所示，若水面宽800=AB mm ，则水的最大深度CD 为_______mm. 6题图7题图8题图7.如图，是一个水平放置的圆柱形水管的截面，已知水面高22+=CD cm ，水面宽cm AB 22=．那么水管截面圆的半径是_________cm ．8.如图，弦cm 24=AB ，直径AB CD ⊥于M ，且cm 8=CM ，求⊙O 的半径。
◆拓展创新8．（应用题）如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗请说明理由．提高题：1．如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦AB∠的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包CD⊥，OCD括A、B两点）上移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．等分D．随C点的移动而移动2.圆的两条平行弦与圆心的距离分别为3和4，则此二平行弦之间的距离为.3.⊙O的直径为15cm.弦AB和CD互相平行，两弦之间的距离为10.5cm，AB=9cm，则CD=.4.如图，矩形ABCD边AB经过⊙O的圆心，E，F分别为AB，=，cm=，DF5=，cmCD与⊙O的交点，若cmAE3AD4则⊙O的径等于__________．6.如图，已知：在⊙O中，AB是直径，CD是弦，CDCE⊥交AB于E，DF⊥交AB于F．CD求证：BFAE=．7.如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为ba,.求证：22b⋅（相交弦定理） A C D B=aBDAD-8.已知：如图，以O 为圆心，︒=∠120AOB ，OD ⊥AB,4=ND cm ，矩形EFGH 的两顶点E 、F 在弦上，H 、G 在上，且HE EF 4=HE 的长. 10.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证：FD EC =. ◆课后自测1．下列说法正确的有_______．（填序号）①直径是弦;②弦是直径;③半圆是弧，但弧不一定是半圆; ④长度相等的两条弧是半圆2．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9mm ，如图所示，则小孔的直径AB 为______．3．一个已知O 点到圆周上的点的最大距离为5cm ，最小距离为1cm ，•则此圆的半径为________．4．如图所示⊙O 的半径为5，弦AB 长为8，点M 在线段AB （包括端点A 、B ）上移动，则OM 的取值范围是（） A ．3≤OM ≤5B ．3≤OM<5 C ．4≤OM ≤5D ．4≤OM<55．如图所示，矩形ABCD 与⊙O 相交于M 、N 、F 、E ，若AM=2，DE=1，EF=•8，•则MN 的长为（） A ．2B ．4 C ．6D ．86．如图所示，D 、E 分别是弧AB 、AC 的中点，DE 交AB 于M 、交AC 于N.求证AM=AN ．A OBH E NDMGF7．（教材变式题）如图所示，⊙O的直径AB垂直于弦CD，AB、CD相交于点E，∠COD=100°，求∠COE，∠D的度数．圆心角同步练习例5.如图，已知△ABC内接于⊙O，点A、B、C把⊙O三等分.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求∠AOB的度数例6.如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，交AC于点E,BD=CE．求证：AB=AC.例7.如图，在⊙O中，弦AD300 C图，P为⊙O的直径EF延长线上一点，PA交⊙O于点B,A，PC交⊙O于点D,C两点，∠1=∠2，求证：PB=PD.提高训练1.如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A,B两点）上移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．等分DB D．随C点的移动而移动2.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD是半径，且OD CD BD图，MN为半圆O的直径，半径OA⊥MN,D为OA的中点，过点D作BC 184.如图，AB,CD是⊙O的两条弦，且AB=CD,点M是AC的中点，求证：MB=MD.5.如图,AB,CD是⊙O的两条直径，过点A作AE证：BD=DE.圆周角【知识要点】1．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.例1.如图，在⊙O中，弦AB例2.如图，A,B,C,D四点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，且AD=6cm，若∠ABC=∠CAD．求弦AC的长．提高训练1.如图，已知AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E，∠ACD=600，∠ADC=500，则∠AEC=．2.已知3cm长的一条弦所对的圆周角是1350,那么圆的直径是.3.如图，A,B,C为⊙O上三点，∠BAC=1200，∠ABC=450,M,N分别为BC,AC的中点，则OM:ON的值为,AC与4.已知AB是⊙O的直径C,D是⊙O上在AB同旁的两点，且CD DEBD的延长线相交于点E，线段AE与AB有怎样的关系请加以证明．5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=2∠A,BM平分∠ABC交外接圆于点M,ME三个定理1．相交弦定理弦AB、CD交于点E=>A E·BE=CE·DE 2.切割线定理AD是切线=>AD2=DB·DCDBC是割线3.割线定理EAB是割线=>EA·EB=EC·EDECD是割线。