伯努利分布参数p的区间估计 _ 贝叶斯估计 _ 二项分布 - 贝塔分布法
五分钟概率论-Beta分布
五分钟概率论-Beta分布Beta分布是一种非常接近直觉的分布，这篇文章主要介绍Beta分布和说明为什么我们需要Beta分布。
对于贝叶斯主义者，从贝叶斯的角度去看伯努利过程，会得到一些重要而且有意思的结果。
数学公式说明，需要在段中显示数学公式，用的是标准Latex语法，_表示角标，{}表示整体缩写说明，pdf：函数密度函数文章结构•伯努利过程•第一个抛硬币试验•Beta分布形状•贝叶斯推断•第二个抛硬币试验•淘宝商家例子伯努利过程伯努利过程是一系列离散的独立同分布随机试验，当我们具体看伯努利过程的一些分布函数的时候，会发现这一类分布有着相似的结构。
二项分布（抛n次硬币，正面出现k次的概率）几何分布（抛硬币，第一次抛出正面所需次数的概率）帕斯卡分布（抛硬币，第k次出现正面所需次数的概率）找到一个统一的公式去描述这些分布，那就是Beta分布了：其中 B(a,b) 是标准化函数，他的作用是使总概率为1，a 和 b 是形状参数，不同的参数选择不但可以表示常见的二项分布，几何分布等，它更有一个好处，那就是你跟本不用去管某个试验服从什么分布。
用形状参数 a,b 可以调出任意你想使用的分布图像。
抛个硬币吧写概率论的文章总是一言不合就抛硬币，这就像是达芬奇画鸡蛋，基础的掌握也是思维的形成。
抛硬币的试验可以从几何学角度来直观了解Beta分布的工作原理。
先撇开Beta分布，来看下简单的变体，没有了-1的次方项，也没有了用于归一化的常数。
如果抛硬币，抛出7次正面，3次反面，如何判断这个硬币的概率分布。
注意我们都是贝叶斯主义者，硬币的概率是个随机变量，不要用频率主义去把概率当作一个定值。
思考最简单的伯努利过程，7次正面，3次反面，概率分布是关于x的函数（随机变量），那么这个类似Beta分布的函数就是：这幅图是很直观的表达，当某次试验出现正面7次，背面3次的情况下，函数图像在0.7附近得到最大值。
也就是说，现在的概率极有可能是0.7，当然也有可能是其他的情况，比如说0.5，只是概率更小罢了。
二项分布和泊松分布参数的区间估计
令：
n
X
X
xi x
i 1
n
（近似服从） （近似服从）
（近似服从）
u X / n ~ N (0,1), n
X /n
对于给定的 查标1 准正态分布双侧临界值表：
（近似服从）
P{u / 2 u u / 2 } 1
P{u / 2
解： Q X 12, 0.01
查附表9可得总菌落数nλ的置信区间的上限： 上限：24.14，下限：4.94 所以同样条件下该菌落数的99%置信区为:
(4.94,24.14)
小结
1.二项分布总体率 P 的置信区间
p(1 p)
p u / 2
n , p u / 2
1 D(
n
n i 1
xi )
n
x
1 n
n i 1
xi
~
N ( , ),
n
n
（近似服从）
x
1 n
n i 1
xi
~
N ( , ),
n
n
u x ~ N(0,1), n /n
Q
x
1 n
n i 1
xi
u x ~ N(0,1), n
1.总体率与样本率的定义
总体率:设总体的容量为N,其中具有某种特点的个体数为M,则称
P M N
为具有某种特点的个体的总体率。
置信区间
样本率:设总体中抽取容量为n的样本，其中具有某种特点的个体数为m,则 称
p m n
为具有某种特点的个体的样本率。
伯努利分布参数p的区间估计_F分布法
Assuming n 0 && 0 p 1 && k Integers && 0 k n,
k 11 p CDF FRatioDistribution 2 n k , 2 k 1 ,
nk p
FullSimplify
, k Integers && 0 k n && 0 p 1
FullSimplify
Out[101]=
参数p的置信水平为 1 Α的经典等尾置信区间的下限和上限由 FB n,p k 1
1 Α Β和 FB n,p k Β决定，其中0 Β Α。根据定理二及其推论 ，得到
FB n,p k 1
2 伯努利分布参数p的区间估计_F分布法.nb
FF 2 n k 1 ,2 k 和
k 1p nk1 p
1 FF 2 k,2 n k 1
In[362]:=
伯努利分布参数p的区间估计_F分布法.nb 3
Α 0.05;
"1.等尾置信区间 ："
"1.2常规区间估计 ——F比分布："
If k 0, pL 0, F FRatioDistribution 2 n k 1 , 2 k ,
q Quantile F, 1 Α 2 ,
pL k k n k 1 q ;
k1 pU
k 1 n k FΑ 2 2 n k , 2 k 1
k 1 F1 Α 2 2 k 1 , 2 n k n k k 1 F1 Α 2 2 k 1 , 2 n k
其区间长度
k L1 pU pL
k n k 1 F1 Α 2 2 n k 1 , 2 k
k1
k1 n k FΑ 2 2 n k , 2 k 1
伯努利分布参数p的区间估计_贝塔分布法
Out[109]=
1.等尾置信区间： 0.0771355, 0.385667 等尾区间长度： 0.308531 2.最短置信区间：
Out[112]=
Out[113]=
Out[114]=
Out[116]=
4
伯努利分布参数p的区间估计_贝塔分布法.nb
0.38
0.36
Out[117]=
0.34
0.32
BetaDistribution k, n k Α 2 ; BetaDistribution k 1, n 1 Α 2 ;
1 , k ,
"2.最短置信区间 ：" Plot L Quantile BetaDistribution k 1, n k , 1 Β Quantile BetaDistribution k, n k 1 , Α Β , Β, 0, Α
设X1 , X2 ,
n
, Xn 为伯努利分布 B p 总体的一个 i.i.d. n为样本容量 ，
k
i 1
Xi 为成功数 ，根据定理一 ，知 k B n, p 。 Α的经典等尾置信区间的下限和上限由 FB k FB
n,p n,p
参数 p的置信水平为 1 1 和 FB 从上两式分别得到 Α Β和 FB
n,p
伯努利分布参数 p的区间估计 _贝塔分布法 本文基于 Wolfram Mathematica 9, 在证明伯努利分布与二项分布的关系 、 二项分布与贝塔分布关系的基础上 ，给出了伯努得分布参数 p的经典等尾置信区间和区间长度 ， 以及最短置信区间和区间长度的求法 ，并通过程序实现 。 定理一：n个独立同伯努利分布 B p 的和服从二项分布 B n, p ： CharacteristicFunction BinomialDistribution n, p , t CharacteristicFunction BernoulliDistribution p , t n
概率与数理统计常见分布
离散型1.二项分布Binomial distribution：binom二项分布指的是N重伯努利实验，记为X ~ b(n,p)，E(x)=np,Var(x)=np(1-p)pbinom(q,size,prob)， q是特定取值，比如pbinom(8,20,0.2)指第8次伯努利实验的累计概率。
size指总的实验次数，prob指每次实验成功发生的概率dbinom(x,size,prob), x同上面的q同含义。
dfunction()对于离散分布来说结果是特定值的概率，对连续变量来说是密度（Density）rbinom(n, size, prob)，产生n个b(size,prob)的二项分布随机数qbinom(p, size, prob),quantile function 分位数函数。
分位数：若概率0<p<1，随机变量X或它的概率分布的分位数Za。
是指满足条件p(X>Za)=α的实数。
如t分布的分位数表，自由度f=20和α=0.05时的分位数为1.7247。
--这个定义指的是上侧α分位数α分位数：实数α满足0 <α<1 时，α分位数是使P{X< xα}=F(xα)=α的数xα双侧α分位数是使P{X<λ1}=F(λ1)=0.5α的数λ1、使P{X>λ2}=1-F(λ2)=0.5α的数λ2。
qbinom是上侧分位数，如qbinom(0.95,100,0.2)=27,指27之后P(x>=27)>=0.95。
即对于b(100,0.2)为了达到0.95的概率至少需要27次重复实验。
2.负二项分布negative binomial distribution （帕斯卡分布）nbinom掷骰子，掷到一即视为成功。
则每次掷骰的成功率是1/6。
要掷出三次一，所需的掷骰次数属于集合 { 3, 4, 5, 6, ... } 。
掷到三次一的掷骰次数是负二项分布的随机变量。
伯努利分布的矩估计量
伯努利分布的矩估计量伯努利分布的矩估计量1. 引言伯努利分布是概率论和统计学中经常用到的一种重要的离散概率分布。
它是描述一个随机变量只有两个可能取值的情况，例如投硬币的结果（正面或反面）或者某个产品的合格率（合格或不合格）。
伯努利分布的概率质量函数可以表示为：$$f(x;p) =\begin{cases}p & \text{当} x=1 \text{时}\\1-p & \text{当} x=0 \text{时}\end{cases}$$其中，$p$ 是成功的概率，而 $1-p$ 则是失败的概率。
在实际应用中，我们常常需要通过样本数据来估计伯努利分布的参数，即成功的概率 $p$。
为了得到合理可靠的估计结果，我们可以使用矩估计这一常用的参数估计方法。
2. 伯努利分布的矩估计量矩估计是一种基于样本矩的参数估计方法，它的核心思想是样本矩与理论矩之间的等值关系。
对于伯努利分布而言，我们可以通过样本的均值来估计成功的概率 $p$。
设我们观测到的样本中成功的次数为$X$，则样本均值可以表示为：$$\bar{X} = \frac{X}{n}$$其中，$n$ 是总样本容量。
由于伯努利随机变量的取值只有0和1两种情况，所以 $X$ 的期望值即为成功的概率 $p$，即：$$E(X) = p$$我们可以将样本均值 $\bar{X}$ 作为成功的概率 $p$ 的矩估计量。
3. 伯努利分布的矩估计性质及优缺点矩估计有许多优点，例如计算简单、易于理解和解释等。
对于伯努利分布的成功概率 $p$，矩估计量具有以下性质：- 无偏性：当样本容量足够大时，矩估计量是无偏估计，即估计值的期望等于真实参数值。
- 一致性：随着样本容量的增加，矩估计量的方差逐渐减小，同时估计值逐渐接近真实参数值。
- 有效性：在满足一致性的前提下，矩估计量的方差趋于最小，使估计结果更加精确。
然而，矩估计也存在一些缺点。
当样本容量较小时，估计结果可能不够准确，估计量的方差较大；矩估计方法对数据分布的偏离不够敏感，可能会导致估计结果的偏差。
概率分布计算公式
概率分布计算公式概率分布是概率论中重要的概念之一，它描述了随机变量在各个取值上的取值概率。
在实际问题中，我们常常需要计算概率分布以解决相关的概率统计问题。
本文将介绍几种常见的概率分布以及它们的计算公式。
一、二项分布(Binomial Distribution)二项分布是概率论中常用的离散型概率分布，它描述了在一定次数的独立重复试验中，成功事件发生的次数的概率分布。
其计算公式为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功事件发生k次的概率，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率，C(n, k)表示组合数，可以使用n个数任取k个的方式计算。
二项分布的期望为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。
二、泊松分布(Poisson Distribution)泊松分布是一种离散型概率分布，适用于描述单位时间(或单位空间)内随机事件发生的次数。
其计算公式为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ))/k!其中，P(X=k)表示事件发生k次的概率，λ表示单位时间(或单位空间)内事件发生的平均次数，e为自然对数的底。
泊松分布的期望为E(X)=λ，方差为Var(X)=λ。
三、正态分布(Normal Distribution)正态分布是概率论中最重要的连续型概率分布，也称为高斯分布。
它的形状呈钟型曲线，对称于均值。
正态分布在实际问题中得到广泛应用。
其概率密度函数的计算公式为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^((-1/2)*((x-μ)/σ)^2)其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，μ为均值，σ为标准差，π为数学常数3.14159。
正态分布的期望为E(X)=μ，方差为Var(X)=σ^2。
四、指数分布(Exponential Distribution)指数分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数具有常数倍衰减的特点。
概率计算中的常用概率模型与分布
概率计算中的常用概率模型与分布在概率计算中，常用的概率模型和分布是非常重要的工具，能够帮助我们研究和解决各种问题。
本文将介绍几种常见的概率模型和分布，并论述它们在实际应用中的作用和特点。
一、二项分布二项分布是最基础的离散概率分布之一，适用于一系列独立重复实验中成功次数的概率问题。
其概率质量函数为：P(X=k)=C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n为实验次数，k为成功次数，p为每次实验成功的概率。
二项分布在统计学和实验设计中被广泛运用，如市场调研中对不同观众群体的喜好偏好进行调查和分析。
二、泊松分布泊松分布是一种描述单位时间或单位空间内事件发生次数的离散概率分布。
其概率质量函数为：P(X=k)=(e^(-λ) * λ^k) / k!，其中λ为单位时间或单位空间内事件的平均发生率。
泊松分布常被用于模拟和预测罕见事件的发生概率，例如自然灾害、交通事故等。
三、正态分布正态分布又称为高斯分布，是连续型概率分布中最为重要和常用的分布之一。
其概率密度函数为：f(x)=(1 / (σ * √(2π))) * e^(-(x-μ)^2 /(2*σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。
正态分布在自然和社会科学中应用广泛，如模拟金融市场变动、研究人类身高体重等。
四、指数分布指数分布是连续型概率分布中描述时间间隔的常用分布。
其概率密度函数为：f(x)=λ * e^(-λx)，其中λ为事件的平均发生率。
指数分布在可靠性工程、排队论以及金融学等领域有广泛的应用，如分析设备的寿命、计算服务的响应时间等。
五、贝塔分布贝塔分布是常用的连续型概率分布，用于描述一个随机事件成功的概率。
其概率密度函数为：f(x)= (x^(α-1) * (1-x)^(β-1)) / (B(α, β))，其中α和β为正参数，B(α, β)为贝塔函数。
贝塔分布在产品质量控制、医学统计和生物学研究中有着重要的应用，如药物疗效的评估、疾病发病率的研究等。