电阻屏原理详解

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四线电阻触摸屏原理

四线电阻触摸屏原理

四线电阻触摸屏原理
四线电阻触摸屏是一种常见的触摸屏技术,其工作原理基于电阻分压原理。

它由两层透明导电层构成,两层导电层间隔一层透明的绝缘层。

当手指或触控笔接触到屏幕时,导电层会因为外力而发生微小的弯曲,此时绝缘层会被压缩,使两层导电层之间的电阻发生变化。

四线电阻触摸屏需要外部电源为其供电。

其中,一方面的导电层被连接到垂直电压源,另一方面的导电层被连接到水平电压源。

当触摸屏不被触摸时,导电层之间的电场均匀分布。

当手指或触控笔触摸屏幕时,导电层被触摸点处的电阻分压改变,导致水平和垂直电压源之间的电压差发生变化。

触摸屏控制器会测量这两个电压差,并通过一系列算法来计算出触摸点的坐标。

通过校准,可以将电压差与准确的坐标位置相对应,从而实现准确的触摸控制。

由于四线电阻触摸屏需要进行电压测量和计算,因此其响应速度相对较慢,但它具有较低的成本和较好的耐久性。

总的来说,四线电阻触摸屏通过测量电阻分压来确定触摸点的位置,适用于一些应用对触摸准确性要求不高的场景。

虽然它的性能相对较低,但由于其低成本和较好的耐久性,仍然被广泛应用在一些嵌入式设备、消费电子产品和工业控制设备中。

电阻式触摸屏的工作原理

电阻式触摸屏的工作原理

电阻式触摸屏的工作原理
电阻式触摸屏是一种常见的触摸屏技术,其工作原理是利用两层透明导电膜之间的电阻变化来检测触摸位置。

电阻式触摸屏由上下两层透明导电膜组成,上层膜为ITO薄膜,下层膜为玻璃或PET基板上的ITO薄膜。

当手指或触控笔接触到上层膜时,上层膜和下层膜之间的电阻值会发生变化,这种变化会被控制器检测到并转换成坐标信息。

电阻式触摸屏的控制器通常采用四线或五线结构,其中四线结构包括两条X轴线和两条Y轴线,五线结构则在四线结构的基础上增加了一条接地线。

控制器通过对X轴和Y轴线的电压变化进行检测,可以确定触摸点的坐标位置。

电阻式触摸屏的优点是价格相对较低,且可以使用手指或触控笔进行操作。

但是由于其结构较为复杂,需要较高的精度和稳定性,同时也容易受到外界环境的影响,如温度、湿度等因素。

总的来说,电阻式触摸屏是一种常见的触摸屏技术,其工作原理是利用两层透明导电膜之间的电阻变化来检测触摸位置。

虽然存在一些缺点,但其价格相对较低,且可以使用手指或触控笔进行操作,因此在一些应用场景中仍然得到广泛应用。

电阻触摸屏工作原理

电阻触摸屏工作原理

电阻触摸屏工作原理电阻触摸屏工作原理:电阻触摸屏是一种常见的触摸屏技术,它通过检测触摸屏表面的电流变化来实现对触摸位置的感知。

下面将详细介绍电阻触摸屏的工作原理。

1. 结构组成:电阻触摸屏由两层透明导电层构成,其中一层为X轴方向的导电层,另一层为Y轴方向的导电层。

这两层导电层之间隔着一层绝缘层,绝缘层上有一些微小的间隙,这些间隙被称为触摸点。

2. 工作原理:当没有触摸屏时,两层导电层之间的电阻很大,几乎没有电流通过。

当触摸屏被触摸时,触摸点处的导电层之间形成了一个电阻,导致电流通过。

触摸点所在位置的X轴和Y轴导电层会形成一个电阻分压网络。

通过测量电流在X轴和Y轴上的变化,可以确定触摸点的位置。

3. 工作原理详解:当触摸屏被触摸时,导电物体(例如手指)接触到触摸屏表面,压力使得两层导电层之间的触摸点发生接触,形成电阻。

触摸点附近的导电层上的电流会在触摸点处发生分流,形成一个电阻分压网络。

根据欧姆定律,电流在电阻分压网络中的分布与电阻值成正比。

通过测量X轴和Y轴上的电流变化,可以计算出触摸点的位置。

4. 数据处理:触摸屏控制器会将测量到的电流变化转换为数字信号,并通过算法计算出触摸点的坐标。

常见的算法有四线性算法和五线性算法。

四线性算法适用于正方形触摸屏,而五线性算法适用于长方形触摸屏。

触摸点的坐标信息可以通过接口传输给计算机或其他设备,实现对触摸操作的响应。

5. 优点和应用:电阻触摸屏具有以下优点:支持多点触控,触摸精度高,适应性强(可以使用手指、手套等触摸物体),可靠性高,适用于各种环境。

因此,它广泛应用于智能手机、平板电脑、工控设备、自动售货机等领域。

总结:电阻触摸屏通过测量触摸点处的电阻来感知触摸位置,具有多点触控、触摸精度高等优点。

它的工作原理是通过两层导电层之间的电阻变化来实现的。

触摸屏控制器将电流变化转换为数字信号,并计算出触摸点的坐标。

电阻触摸屏广泛应用于各种设备中,提供了便捷的人机交互方式。

电阻触摸屏工作原理

电阻触摸屏工作原理

电阻触摸屏工作原理电阻触摸屏是一种常见的触摸屏技术,它通过电阻效应实现对触摸位置的检测。

本文将详细介绍电阻触摸屏的工作原理及其基本构造。

一、电阻触摸屏的基本构造电阻触摸屏由两层透明导电层组成,这两层导电层之间有一层绝缘层隔开。

上层导电层被分成一系列纵向导电条,下层导电层被分成一系列横向导电条。

当用户触摸屏幕时,手指与上层导电条接触,形成电阻。

二、电阻触摸屏的工作原理1. 电流分布原理当用户触摸屏幕时,上层导电条会与下层导电条发生接触,形成一个电阻。

这个电阻会导致电流在触摸点周围产生分布。

根据电流分布的原理,可以通过测量电流的变化来确定触摸位置。

2. 电阻分压原理电阻触摸屏的上层导电条和下层导电条分别连接到电源的两个端口,形成一个电阻分压电路。

当用户触摸屏幕时,上层导电条与下层导电条之间的电阻会发生变化,导致电压分布发生变化。

通过测量电压的变化,可以确定触摸位置。

三、电阻触摸屏的工作过程1. 电压测量电阻触摸屏通过测量电压来确定触摸位置。

当用户触摸屏幕时,会形成一个电阻,导致电压分布发生变化。

触摸屏控制器会对电压进行测量,并将测量结果传输给处理器。

2. 数据处理处理器接收到电压测量结果后,会进行数据处理。

它会根据电压的变化情况计算出触摸位置的坐标,并将结果传输给操作系统。

3. 操作系统响应操作系统接收到触摸位置的坐标后,会根据坐标进行相应的操作。

例如,在触摸位置上显示光标、打开应用程序或者执行其他用户指定的操作。

四、电阻触摸屏的优缺点1. 优点(1)精度高:电阻触摸屏的精度较高,可以实现较准确的触摸定位。

(2)支持多点触控:电阻触摸屏可以支持多点触控,实现多指手势操作。

(3)适应性强:电阻触摸屏可以使用手指、手套、触控笔等多种输入方式。

2. 缺点(1)厚度较大:电阻触摸屏由于需要两层导电层和绝缘层,所以相对较厚。

(2)透光性较差:电阻触摸屏的绝缘层会影响屏幕的透光性,降低显示效果。

(3)耐久性较差:电阻触摸屏的导电层容易受到刮擦和磨损,降低使用寿命。

电阻触摸屏 原理

电阻触摸屏 原理

电阻触摸屏原理
电阻触摸屏是一种常见的触摸屏技术,它主要由两层透明导电层构成。

这两层导电层之间有一定的隔离距离,并被绝缘材料隔开,形成一个电容。

当手指或者触摸笔等物体触摸到电阻屏幕表面时,会在触摸点上形成一个微小的电流。

这种电流可以通过电阻触摸屏上的控制器进行检测和分析。

电阻触摸屏上的控制器通常是一个小型的芯片,它负责接收触摸点的电流信号,并将其转化为相应的坐标信息。

电阻触摸屏的原理是基于电流分压原理。

当手指触摸到屏幕表面时,导电层之间的电阻发生变化,导致触摸点附近的电流分布发生改变。

通过检测这种电流变化,控制器可以确定触摸点的精确位置。

由于电阻屏幕本身的结构特点,电阻触摸屏在一些方面具有一定的局限性。

首先,电阻触摸屏需要物体与屏幕表面直接接触才能实现触摸,因此需要用手指或者特制的触控笔进行操作。

其次,电阻触摸屏对触摸物体的形状和大小灵敏度较低,可能会导致误触情况的发生。

尽管存在这些局限性,电阻触摸屏在一些特定的应用领域仍然得到广泛使用。

例如,在工业控制设备、医疗仪器等领域中,电阻触摸屏由于其较为坚固的结构和较高的可靠性,被认为是一种比较适合的选择。

电阻屏原理详解

电阻屏原理详解

电阻式触摸屏的基本结构和驱动原理四线电阻式触摸屏四线电阻式触摸屏的结构如上图,在玻璃或丙烯酸基板上覆盖有两层透平,均匀导电的ITO层,分别做为X电极和Y电极,它们之间由均匀排列的透明格点分开绝缘。

其中下层的ITO与玻璃基板附着,上层的ITO附着在PET薄膜上。

X电极和Y电极的正负端由“导电条”(图中黑色条形部分)分别从两端引出,且X电极和Y电极导电条的位置相互垂直。

引出端X-,X+,Y-,Y+一共四条线,这就是四线电阻式触摸屏名称的由来。

当有物体接触触摸屏表面并施以一定的压力时,上层的ITO导电层发生形变与下层ITO发生接触,该结构可以等效为相应的电路,如下图计算触点的X,Y坐标分为如下两步:1.计算Y坐标,在Y+电极施加驱动电压Vdrive, Y-电极接地,X+做为引出端测量得到接触点的电压,由于ITO层均匀导电,触点电压与Vdrive电压之比等于触点Y坐标与屏高度之比。

2.计算X坐标,在X+电极施加驱动电压Vdrive, X-电极接地,Y+做为引出端测量得到接触点的电压,由于ITO层均匀导电,触点电压与Vdrive电压之比等于触点X坐标与屏宽度之比。

测得的电压通常由ADC转化为数字信号,再进行简单处理就可以做为坐标判断触点的实际位置。

四线电阻式触摸屏除了可以得到触点的X/Y坐标,还可以测得触点的压力,这是因为top layer施压后,上下层ITO发生接触,在触点上实际是有电阻存在的,如下图的Rtouch。

压力越大,接触越充分,电阻越小,通过测量这个电阻的大小可以量化压力大小。

怎么得到Rtouch的阻值?有两种方法。

第一种方法:要做如下准备工作,如下图:1. X- 接地,X+接电源,Y+接ADC得到触点的X坐标2. X- 接地,Y+接电源,X+接ADC得到Z1点的位置Z13. X- 接地,Y+接电源,Y-接ADC得到Z2点的位置Z2现在知道了X坐标,即ADC的输出数值, Z1, Z2,还要知道X-line Y-line的总电阻值就可以计算了112RX I Z Z Rtouch −=其中是流过R X1的电流 1RX I 111X RX R Z I = 则⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=1121Z Z R Rtouch X 而R1又可以由ADCx 和R X_plate 根据比例得到,所以最后 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅=−1124096Z Z ADC R Rtouch X PLATE X (如果ADC 12位精度)第二种方法:要做如下准备工作1. X- 接地,X+接电源,Y+接ADC 得到触点的X 坐标 ADCx2. Y- 接地,Y+接电源,X+接ADC 得到触点的Y 坐标 ADCy 2. X- 接地,Y+接电源,X+接ADC 得到Z1点的位置Z1 还要已知X-plate Y-plate 的总电阻值21Y X R R Rtotal Rtouch −−=140964096140961Z ADC R Z R Rtotal X PLATE X X ⋅⋅=⋅=− 40962ADCyR R PLATEY Y −= 40961140964096ADCy R Z ADC R Rtouch PLATE Y X PLATE X −−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅⋅=上面的计算有一个缺陷,就是没有考虑电极抽头引线和驱动电极的电路的寄生电阻,这部分电阻并不包含在ITO 电阻之内,而且受环境温度影响阻值波动,很可能影响计算的正确性,因此产生了八线电阻触摸屏的概念。

电阻式触摸屏工作原理

电阻式触摸屏工作原理

电阻式触摸屏工作原理
电阻式触摸屏是一种常见的触摸屏技术,其工作原理基于电阻效应,实现对触摸位置的检测。

下面将详细介绍其工作原理。

电阻式触摸屏由两层特殊涂层的透明导电材料构成,这两层彼此平行但不直接接触。

一层位于屏幕上方,另一层位于底部。

这两层称为感应层和载流层。

当没有触摸屏幕时,系统中的控制器向载流层的四个角施加电流,并测量在感应层的四个角产生的电压。

由于载流层和感应层没有直接接触,所以感应层的电压较低。

当用户触摸屏幕时,手指或其他导电物体会导致感应层和载流层之间发生电流。

这个电流会在触摸位置附近集中,并且会改变感应层的电压分布。

控制器能够通过测量感应层上四个角的电压变化,确定触摸位置。

它可以根据欧姆定律计算所需测量电流的大小,并使用触摸位置与电流大小的关系来确定具体的触摸点。

通过这种方式,电阻式触摸屏能够实现对触摸位置的准确检测。

然而,它对压力敏感,需要用户用一定的压力来触摸屏幕。

另外,这种触摸屏无法实现多点触控,只能实现单点触控。

总结起来,电阻式触摸屏的工作原理是利用电阻效应,通过测量感应层和载流层之间的电流变化来确定触摸位置。

它具有较高的准确性,但对压力敏感且无法实现多点触控。

电阻触摸屏工作原理

电阻触摸屏工作原理

电阻触摸屏工作原理电阻触摸屏是一种常见的触摸屏技术,广泛应用于各种电子设备中,如智能手机、平板电脑、导航系统等。

它通过电阻效应来实现触摸操作的检测和定位。

电阻触摸屏由两层透明导电膜组成,中间夹有弱小的间隙。

一层为外层导电膜,另一层为内层导电膜。

两层导电膜之间的间隙填充有导电物质,如ITO(铟锡氧化物)等。

当用户触摸屏幕时,外层导电膜和内层导电膜之间的电阻值会发生变化。

电阻触摸屏的工作原理如下:1. 电流传导:当用户触摸屏幕时,手指会导电。

电流从一侧的导电膜流入手指,然后从另一侧的导电膜流回触摸屏。

2. 电阻变化:由于两层导电膜之间的间隙填充有导电物质,触摸屏的电阻值会随着手指触摸的位置发生变化。

触摸点附近的导电物质会与手指接触,形成一个电阻器。

触摸点离开的地方,电阻值较大。

3. 电压测量:触摸屏上的控制电路会对两层导电膜之间的电压进行测量。

通过测量电压的变化,可以确定触摸点的位置。

4. 坐标计算:通过测量多个触摸点的电压,可以计算出触摸点的坐标。

通常,电阻触摸屏可以支持多点触控,即同时检测和定位多个触摸点。

5. 数据传输:触摸屏的控制电路会将触摸点的坐标信息传输给设备的处理器。

处理器根据这些信息来实现相应的操作,如挪移、缩放、点击等。

电阻触摸屏的优点包括:1. 精准度高:电阻触摸屏可以实现较高的触摸精度,能够准确地检测和定位触摸点的位置。

2. 可靠性强:电阻触摸屏的结构相对简单,没有复杂的电子元件,因此具有较高的可靠性和稳定性。

3. 兼容性好:电阻触摸屏可以适合于各种操作系统和设备,具有较好的兼容性。

4. 支持多点触控:电阻触摸屏可以同时检测和定位多个触摸点,支持多点触控操作。

然而,电阻触摸屏也存在一些缺点:1. 透光性差:由于电阻触摸屏需要两层导电膜,因此会影响屏幕的透光性,可能会降低显示效果。

2. 灵敏度较低:相比于其他触摸屏技术,电阻触摸屏的灵敏度较低,可能需要较大的触摸力才干实现触摸操作。

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电阻式触摸屏的基本结构和驱动原理
四线电阻式触摸屏
四线电阻式触摸屏的结构如上图,在玻璃或丙烯酸基板上覆盖有两层透平,均匀导电的ITO层,分别做为X电极和Y电极,它们之间由均匀排列的透明格点分开绝缘。

其中下层的ITO与玻璃基板附着,上层的ITO附着在PET薄膜上。

X电极和Y电极的正负端由“导电条”(图中黑色条形部分)分别从两端引出,且X电极和Y电极导电条的位置相互垂直。

引出端X-,X+,Y-,Y+一共四条线,这就是四线电阻式触摸屏名称的由来。

当有物体接触触摸屏表面并施以一定的压力时,上层的ITO导电层发生形变与下层ITO发生接触,该结构可以等效为相应的电路,如下图
计算触点的X,Y坐标分为如下两步:
1.计算Y坐标,在Y+电极施加驱动电压Vdrive, Y-电极接地,X+做为引出端测量得到接触点的电压,由于ITO层
均匀导电,触点电压与Vdrive电压之比等于触点Y坐标与屏高度之比。

2.计算X坐标,在X+电极施加驱动电压Vdrive, X-电极接地,Y+做为引出端测量得到接触点的电压,由于ITO层
均匀导电,触点电压与Vdrive电压之比等于触点X坐标与屏宽度之比。

测得的电压通常由ADC转化为数字信号,再进行简单处理就可以做为坐标判断触点的实际位置。

四线电阻式触摸屏除了可以得到触点的X/Y坐标,还可以测得触点的压力,这是因为top layer施压后,上下层ITO发生接触,在触点上实际是有电阻存在的,如下图的Rtouch。

压力越大,接触越充分,电阻越小,通过测量这个电阻的大小可以量化压力大小。

怎么得到Rtouch的阻值?有两种方法。

第一种方法:要做如下准备工作,如下图:
1. X- 接地,X+接电源,Y+接ADC得到触点的X坐标
2. X- 接地,Y+接电源,X+接ADC得到Z1点的位置Z1
3. X- 接地,Y+接电源,Y-接ADC得到Z2点的位置Z2
现在知道了X坐标,即ADC的输出数值, Z1, Z2,还要知道X-line Y-line的总电阻值就可以计算了
112RX I Z Z Rtouch −=
其中是流过R X1的电流 1RX I 1
11
X RX R Z I = 则⎟⎠


⎝⎛−=1121Z Z R Rtouch X 而R1又可以由ADCx 和R X_plate 根据比例得到,所以最后 ⎟⎠


⎝⎛−⋅
=−1124096Z Z ADC R Rtouch X PLATE X (如果ADC 12位精度)
第二种方法:要做如下准备工作
1. X- 接地,X+接电源,Y+接ADC 得到触点的X 坐标 ADCx
2. Y- 接地,Y+接电源,X+接ADC 得到触点的Y 坐标 ADCy 2. X- 接地,Y+接电源,X+接ADC 得到Z1点的位置Z1 还要已知X-plate Y-plate 的总电阻值
21Y X R R Rtotal Rtouch −−=
14096409614096
1Z ADC R Z R Rtotal X PLATE X X ⋅
⋅=⋅=− 4096
2
ADCy
R R PLATE
Y Y −= 40961140964096ADCy R Z ADC R Rtouch PLATE Y X PLATE X −−−⎟⎠

⎜⎝⎛−⋅⋅
=
上面的计算有一个缺陷,就是没有考虑电极抽头引线和驱动电极的电路的寄生电阻,这部分电阻并不包含在ITO 电阻之内,而且受环境温度影响阻值波动,很可能影响计算的正确性,因此产生了八线电阻触摸屏的概念。

八线电阻式触摸屏
八线电阻式触摸屏的结构与四线类似,所区别的是除了引出X- drive ,X+ drive ,Y- drive ,Y+ drive 四个电极,还在每个导电条末端引出一条线:X- sense ,X+ sense ,Y- sense ,Y+ sense ,这样一共八条线。

八线电阻式触摸屏工作时,首先测量导电条电压:
在Y+电极施加驱动电压Vdrive , Y-电极接地,分别测出Y+ sense 和Y- sense 的电压,分别记为V YMAX 和
V YMIN ,
在X+电极施加驱动电压Vdrive , X-电极接地,分别测出X+ sense 和X- sense 的电压,分别记为V XMAX 和
V XMIN
然后计算触点的X,Y 坐标,分为如下两步:
1 计算Y 坐标,在Y+电极施加驱动电压Vdrive , Y-电极接地, X+做为引出端测量得到接触点的电压。

2 计算X 坐标,在X+电极施加驱动电压Vdrive , X-电极接地, Y+做为引出端测量得到接触点的电压。

screen XMIN XMAX XMIN Y screen YMIN YMAX YMIN X width V V
V V x height V V
V V y ×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−−=×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=++
四线/八线电阻式触摸屏的优点是不但可以计算横向X,Y 坐标,通过一系列方法还可以测得纵向Z 坐标,即手指的压力大小,这是通过测量纵向接触电阻Rtouch 来得到的,因为接触发生时,接触电阻与压力大小成反比,压力越大,接触电阻越小,测得这个电阻的数值可以用来量化接触压力。

四线/八线电阻式触摸屏的缺点是耐用性不够,长时间的触按施压会使器件损坏。

因为每次触按,上层的PET 和ITO 都会发生形变,而ITO 材质较脆,在形变经常发生时容易损坏。

一旦ITO 层断裂,导电的均匀性也就被破坏,上面推导坐标时的比例等效性也就不再存在。

这种断裂的情况极易发生在经常发生触按的区域,比如“确认”键的位置。

另外一个缺点是附着在PET 活动基板上的ITO 不会充分氧化,一旦暴露在潮湿或者受热的环境下,氧化会导致电阻上升,同样破坏导电均匀性,使坐标计算出现误差,即出现“漂移”现象。

由此催生了五线电阻屏的概念。

五线电阻式触摸屏
针对四线电阻式触摸屏的缺点,五线电阻式触摸屏采用的结构是,将X,Y 电极都做在附着在玻璃基板上的ITO 层,而上层的ITO 只作为活动电极。

底层ITO 的X,Y 电极从四个角引出UL,UR,LL,LR ,加上上层的活动电极,这样一共五条线。

五线电阻式触摸屏的优点是玻璃基板比较牢固不易形变,而且可以使附着在上面的ITO 充分氧化。

玻璃材质不会吸水,并且它与ITO 的膨胀系数很接近,产生的形变不会导致ITO 损坏。

而上层的ITO 只用来作为引出端电极,没有电流流过,因此不必要求均匀导电性,即使因为形变发生破损,也不会使电阻屏产生“漂移”。

五线电阻式触摸屏的电极不能像四线电阻屏一样,由导电条从四边引出,那样会造成短路。

电极被分散为许多电
阻图案分布在触摸屏四周,然后从四角引出,这些图案的作用是使触摸屏X,Y 方向电压梯度线性,便于坐标的测量。

五线电阻式触摸屏工作时,UL 施加驱动电压Vdrive ,LR 接地,测量触点X,Y 坐标分为如下两步:
1 计算Y 坐标,在UR 电极施加驱动电压Vdrive , LL 电极接地, 活动电极做为引出端测量得到接触点的电压。

2 计算X 坐标,在LL 电极施加驱动电压Vdrive , UR 电极接地, 活动电极做为引出端测量得到接触点的电压。

screen DRIVE
TESTX
screen
DRIVE
TESTY
width V V x height V V y ×=
×=
UL LL UL UR LL LR 下层ITO 电阻网络
电压梯度
六线电阻式触摸屏
在五线电阻式触摸屏的基础上,六线电阻式触摸屏是在玻璃基板的背面增加了一个接地的导电层,用来隔绝来自玻璃基板背面的信号串扰。

七线电阻式触摸屏
同四线电阻式触摸屏一样,五线电阻式触摸屏也没有考虑电极抽头引线和驱动电极的电路的寄生电阻,这部分电阻并不包含在ITO 电阻之内,很可能影响计算的正确性,因此七线电阻式触摸屏在五线电阻式触摸屏的基础上,从UL,LR 两端各引出一条线用来感应实际触摸屏末端电压,分别记为Vmax, Vmin ,工作原理与五线电阻式触摸屏相同。

screen MIN
MAX MIN TESTX screen MIN
MAX MIN TESTY width V V
V V x height V V
V V y ×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−−=×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−−=
作者: 吴仲远
zhongyuan.wu@。

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