13_梁的应力

面上的切应力同时存在，且两者大小相等。这些水平切应力在梁的上、下表面处必须为零， 除非在上、下表面处还作用有可以平衡这些切应力的边界面力。因此切应力必定在梁内某
8
处达到最大值。
为了确定水平切应力随垂直位置 y 而变化的规律，可从梁中高于中性轴为 y 处切出一
宽为 d x 的自由体，如图 9 所示。设自由体左端横截面上的弯矩为 M (x) ，右端横截面上的
矩形横截面，其 I 值为：
∫ I = h/2 y2b d y = bh3
−h/ 2
12
（5）
从式（4）解出梁的曲率 v,xx 为：
v, xx
=
M EI
（6）
3
5、将式（6）代入式（3），即可得到应力的直接计算式：
σx
=
−yE
M EI
=
−M I
y
（7）
最后得到的正应力表达式（7），与圆轴扭转时的切应力表达式τθ z = Tr/ J 相似：横截
y = ∫A y d A ∫A d A
因此 y = 0 ，也就是中性轴通过梁横截面的形心。经过思考,这一结果是显而易见的：因为
在中性轴上方受压侧和下方受拉侧的应力都以相同的变化率线性地增加，仅当中性轴正好 通过形心时，这些应力才能自相平衡，使水平方向的合力为零，保持梁在水平方向的平衡。
压应力和拉应力虽可互相平衡使得水平方向无合力，但是这些应力还会产生一个逆时
梁的应力
MA 02139，剑桥 麻省理工学院
材料科学与工程系 David Roylance
引言
2000 年 11 月 21 日
为了弄清楚梁由弯曲载荷而引起的应力，人们经历了漫长的岁月。伽利略曾经研究过 这个问题，但通常认为，我们今天应用的理论主要由伟大的数学家欧拉,L.（Leonard Euler 1707－1783）所创建。我们下面将讲到梁在横截面上正应力的变化规律：在下（或上）边 缘处拉应力达到最大值，靠近中性层时拉应力渐减，在中性层上应力为零，到上（或下） 边缘处达到最大压应力。梁在横截面上也有切应力，但是当梁的跨度与梁高之比很大时， 切应力与正应力相比往往可以忽略不计。当梁受到不同载荷的作用或是梁的横截面形状不 同时，其横截面上应力的计算方法，恐怕是简明的材料力学教程中最重要的内容了，我们 将在下面详加论述。学习这一理论前，要求读者已具备画梁的剪力图和弯矩图的能力，相 关知识可参见前面的模块（如模块 12）。
最大正应力：
( ) σ
x
=
c2d
4
+
3d2c +6abd+3ab2 wL2 4abcd3 +6ab2cd2 + 4ab3cd
+
a2b4
在实际运算中，每一步求解都得到一个具体数值，而不是代数表达式。
在纯弯曲情况下，梁的横截面上只有弯矩、没有横向或轴向的内力，仅有正应力σ x ，
其值由式（7）给出。所有其他的应力都为零，即σ y = σ z = τ xy = τ xz = τ yz = 0 。但是由
弯矩出现在与墙相连的固定端，容易求得其值为 Mmax = (wL)(L/ 2) 。随后可用式（7）求
应力，但要先知道中性轴的位置，因为 y 和 I 值都由中性轴位置而定。 用“组合图形定理”（见习题 1）可求出梁的底部到过形心的中性轴的距离 y 。该定理
指出：若总图形由若干个简单图形组合而成，则总图形的形心到任一轴的距离，等于各个 简单图形的面积与其形心到该轴的距离的乘积的代数和除以这些图形面积之和（即总图形 的面积）：
注意到与 Pcr 与 L2 有关，所以屈曲载荷与杆长的平方成反比。
既然杆长对屈曲载荷有如此明显的影响，就不难理解横向支承对预防屈曲的重要性了。 如果在梁的中点处加支承（见图 7）以消除中点处的挠度，将迫使屈曲形态下挠曲线的波
长变为 L ,不再是原来的 2L 。这相当于梁的长度减半，从而使临界屈曲载荷增至原来的四
正应力
梁在正弯矩的作用下，其轴线将会变成一条向上凹的曲线。直觉告诉我们，这意味着
靠近梁顶部的材料在 x 方向（即轴线方向）受压；而梁的底部区域则受拉。在压缩区和拉
伸区之间的过渡线上，应力为零，这条线就是梁的中性轴。像粉笔和玻璃这一类抗拉能力 差的材料，将先在梁底部受拉表面产生裂纹，然后裂缝扩展，直至最后断裂。如果材料抗 拉能力强而抗压能力弱，梁会先在顶部受压表面发生破坏，这一现象可以从木条压弯时的 外表纤维的屈曲中观察到。
4、平衡关系：由于梁在轴向（ x 方向）不受外载荷的作用，于是，由正应力σ x （图
2 所示）引起的总的轴向力必须为零，可用下式表示
图 2 梁的力矩平衡和力平衡
2
要上式成立，必须
∑ ∫ ∫ Fx = 0 =
σ
A
x
d
A
=
A− yEv,xx ຫໍສະໝຸດ A∫A y d A = 0
而中性轴到横截面形心的距离 y 为：
v,xx ≡ d2v/dx2 是梁的挠曲线的斜率的变化率，是“斜率的斜率”，称为梁的曲率。
3、本构方程：由于应力是直接从胡克定律
σ x = Eε x = −yEv,xx
（3）
求得的，这就限定由此得出的结果只适用于线弹性材料。上式表明，梁横截面上的轴向正 应力也像线应变一样，从中性轴上的零值线性地增加，在梁横截面的上、下边缘处达到最 大值。
于泊松效应，除了线应变 ε x 外，还有其他方向的线应变。泊松效应并不会引起切应变，
γ xy = γ xz = γ yz = 0 。各个方向的线应变为：
[ ( )] εx
=
1 E
σx
−ν
σ
y
+σz
= σx E
[ ] εy
=
1 E
σy
−ν (σ x
+σz )
= −ν
σx E
[ ( )] εz
=
1 E
σz
x 的导数来近似1，于是 x 方向的位移为：
u = − yv,x
(1)
( ) 式中的逗号表示对其后的变量求导数 v,x ≡ d v /d x 。中性轴上方的 y 值为正，但中性轴在
1曲率的精确表达式是
当分母中导数项的平方与 1 相比很小时，就得出θ ≈ dv / dx 。
1
梁内的位置尚未确定。
图 1 梁弯曲时的几何关系
切应力
如前所述，横向载荷引起的梁沿 x 轴方向的拉、压应变使梁弯曲。另外，横向载荷引
起的剪切效应有使横截面沿截面的切线方向相对滑动的趋势，如图 8 所示，与扑克牌相对
图 8 粱弯曲时的剪切位移
滑动的情形十分相似。与剪切作用相关的切应力τ xy 合成铅垂方向的剪力V 。现研究梁横 截面上切应力的分布规律。由于τ xy =τ yx ，横截面上某点处的切应力必定与过该点的水平
−ν
σx
+σy
= −ν σx E
这些应变也可以用曲率来表示。从式（2）可得，梁沿着轴向的曲率为：
v, xx
=
−εx y
梁同时还有横向（垂直于轴线方向）的曲率，其值由下式给出：
v,zz
=−
εz y
=νεx y
=−νv,xx
这种横向弯曲如图 5 所示，称为鞍形弯曲。如果你用手指弯曲一块“红珍珠”牌橡皮，就 可看到这种弯曲。
针方向的力矩，此力矩必须等于该横截面上的弯矩值 M(x) ，这一结论从对 O 点的力矩平
衡方程就能看出：
∑ ∫ Mo
=
0=M+
σ
A
x
⋅
y
dA
∫ ( ) ∫ M =
A
yEv,xx
⋅ y d A = Ev,xx
y2 d A
A
（4）
图 3 矩形横截面的惯性矩
∫ 式中， y2 d A是矩形对水平形心轴的惯性矩，记作 I 。对于图 3 所示的高为 h 、宽为 b 的
面上的正应力在中性轴上为零，随 y绝对值的增加而线性地变化，到上、下边缘处达到最
大值。正应力与横截面的惯性矩成反比，与材料的性质无关。正如设计师喜欢用空心的驱
动轴以得到最大的极惯性矩 J 一样，梁的上、下表面处常带有宽的翼缘，以增加惯性矩 I 。
图 4 T 形截面悬臂梁
例 1 T 形截面悬臂梁的尺寸如图 4 所示，梁上均布载荷的集度为 w N m。梁的最大
∑ y = i Ai yi ∑i Ai
对本例，上式即
y = (d /2)(cd)+(d +b/2)(ab)
cd +ab
组合图形中的各组成部分对其自身形心轴的惯性矩分别为 ab3 /12 和 cd3 /12 。应用“平
行轴定理”（见习题 3），可从这些惯性矩进一步求得各组成部分对通过组合图形形心的水
平轴的惯性矩。该定理指出：若任意轴 z′平行于过图形形心的轴 z ，两轴间的距离为 d ， 则图形对 z′轴的惯性矩 Iz′ 等于图形对 z 轴的惯性矩 Iz 加上图形面积 A 和距离 d 平方的乘
v = c1 sin
P EI
x
+
c2
cos
Px EI
因为在 x = 0 和 x = L 处挠度为零，显然 c2 必须等于零。此外，在上述两处正弦项必须为 零，这就要求长度 L 恰是正弦函数半波长的正整数倍：
n = 1时，得到能使梁变弯的 P 的最小值，即临界屈曲载荷 Pcr
Pcr
=
π 2EI L2
（11）
引起的一种弯曲现象。现研究图 6 所示两端铰支、受到轴向压力 P 作用的梁，一个偶然的 侧向载荷或横截面的缺陷，使梁产生横向偏移 v ， 于是 P 力在梁的各横截面上引起的弯矩
为
M (x) = P v(x)
（9）
梁自身的刚度有消除这种偏移、并重新恢复原来直线形状的趋势，但是弯矩的影响使梁产 生更大的偏移。这好比是一场“对抗”，看哪种影响胜出。如果弯矩使偏移增加的趋势超过