4 拉丁方设计解析
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第八章 单因素拉丁方设计
为2×2阶拉丁方，2×2阶拉丁方只有这两 个。 A B C B C A C A B 为3×3阶拉丁方。
第一行与第一列的拉丁字母按自然顺序排 列的拉丁方，叫标准型拉丁方。3×3阶标准型 拉丁方只有上面介绍的1种，4×4阶标准型拉 丁方有4种，5×5阶标准型拉丁方有56种。若 变换标准型的行或列，可得到更多种的拉丁方。 在进行拉丁方设计时，可从上述多种拉丁 方中随机选择一种；或选择一种标准型，随机 改变其行列顺序后再使用。
第八章 单因素拉丁方设计
第一节 拉丁方实验设计的基本原理
一、 拉丁方实验设计
拉丁方设计是从横行和直列两个方向进行双 重局部控制，使得横行和直列两向皆成区组的设 计。在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一 个完全区组，而每一处理在每一行或每一列都只 出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，实验处 理数=横行区组数=直列区组数=实验处理的重复 数。即拉丁方是一个含有n行、n列、把n个字母 分配给方格的管理方案，其中每个字母在每行、 每列中各出现一次，处理数等于行数和列数，且 实行双重局部控制的设计。
3) 无关变量（纵列）的总体平均数相等
H0 : 1 2 3 4
第二步：平方和及自由度的计算
SS总变异 = SS处理间 +SS处理内
= SS处理间 +（SSb+ SSc+SSe）
d f总变异 = d f处理间 + d f处理内
= d f A +（d f B + d f C +d fe）
F0.01(3 , 6)=9.78
方差分析结论表明：
实验中的自变量——啤酒品牌的效应在统 计上是极显著的，表明不同品牌的啤酒对于消 费者的确存在不同的差异； 实验中的无关变量——不同年龄段饮用者 区组B的效应统计上也是极显著的，说明来自 四个不同的人群对啤酒的口感和喜好有极其显 著的差异； 实验中的另一无关变量即饮用顺序的效应 统计上是不显著的，表明饮用顺序的不同并未 对实验的结果产生影响。
拉丁字母字体造型规律
图为运用字母笔画规律设计的纸构成作品
图为“金· 特瑞69姿势”年历设计
3．视觉规律
拉丁字母的外形可归纳为方形、圆形和三角形这三种几何 形，比如，B，M可归纳为矩形，A，P可归纳为三角形。等 高等宽的方形、圆形和三角形的大小在视觉上是有差别的， 而拉丁字母协调得好不好同各个字母外形大小比例有关系， 因此在进行字体设计时要对字母大小作一些调整。由于方形 在视觉上最显大，三角形最显小，所以一般外形呈方形的字 母要适当缩小长宽尺寸，而外形呈三角形的字母则可以适当 放大长宽尺寸， 以求视觉上的协调统一。
1．外形规律
方形、圆形、三角形三种几何形是拉丁字体的基本造型。不同 的组合结构形成了不同的外形特征。归纳起来，有的字母是单一 的方形、圆形、三角形，就像圆形的0、方形的H和三角形的A； 而有些字母是由不同几何形结合而成的，有的是上下结构，比如B， 有的是左右结构，比如M和W。人们为规范拉丁字母长宽比例，总 结前人的一些成果，提出一些参考数据，比如宽窄比例的4x4(M)、 4x3(A)、4x2(S)。这些数据反映了拉丁字母的一些基本规律；但作 为设计者，不要生搬动硬套，而要符合文字的使用需要，因为字 体的协调、美观才是我们所需要的效果。
如图，美国孚美石油公司(Mobil)标志。 是1 968年由当时美国最杰出的C&G 设计公司设计的，主要设计师斯蒂 夫· 盖斯布勒主持了这一任务。他将 “Mobil的五个字母以无饰线字体横 向排列，其中“0”采用红色，其他 四个字母采用深蓝色，形成一种整体 上的特殊效果。在这个设计里，”o” 有”石油”(oil)之意，表示这是一个 石油企业。该标志是运用拉丁宁母进 行变化的典型范例，也是美国最杰出 的企业标志之一。
图为不同字形的应用
第4章拉丁方试验设计与分析
拉丁方试验设计
一、拉丁方格 二、标准拉丁方格 三、n阶拉丁方格的个数 四、正交拉丁方格 五、拉丁方格在安排试验中的应用 六、几点说明 七、拉丁方试验的直观分析 八、拉丁方试验的方差分析
一、拉丁方格
1.定义：用 r 个拉丁字母排成 r 行 r 列的方阵， 使每行每列中每个字母都只能出现一次， 这样的方阵叫r阶拉丁方或r×r拉丁方。 2.N阶拉丁方格 • 2阶或2 ×2 拉丁方 A B b a B C a b （I） （2）
问：A1B1C4没出现，那这个试验安排会最优吗？
五、拉丁方格在安排试验中的应用
• 例3：生产某种染料用四种原料：A-硫磺，B-烧碱，C二硝基，D-硫化碱，每种原料均取四个水平，要找最好 配方，试验又该怎样安排？ • CD用II，III正交拉丁方格 B1 A1B1C1D1 A2B1C3D4 A3B1C4D2 A4B1C2D3 B2 A1B2C2D2 A2B2C4D3 A3B2C3D1 A4B2C1D4 B3 A1B3C3D3 A2B3C1D2 A3B3C2D4 A4B3C4D1 B4 A1B4C4D4 A2B4C2D1 A3B4C1D3 A4B4C3D2
对虾饲料配方问题的拉丁方试验结果
机 器 1 2 3 4 5 T..k T..k2 操 2 B=10 C=12 D=15 E=14 A=13 64 4096 作 者 （k列） 4 5 Ti.. D=12 E=12 57 E=13 A=17 67 A=13 B=11 63 B=11 C=11 62 C=15 D=15 64 64 66 T=313 4096 4356 19641
A B C B C A C A B A B C D B C D A C D A B
3 阶或3 ×3 拉丁方
D A B C
一、拉丁方格 二、标准拉丁方格 三、n阶拉丁方格的个数 四、正交拉丁方格 五、拉丁方格在安排试验中的应用 六、几点说明 七、拉丁方试验的直观分析 八、拉丁方试验的方差分析
一、拉丁方格
1.定义：用 r 个拉丁字母排成 r 行 r 列的方阵， 使每行每列中每个字母都只能出现一次， 这样的方阵叫r阶拉丁方或r×r拉丁方。 2.N阶拉丁方格 • 2阶或2 ×2 拉丁方 A B b a B C a b （I） （2）
问：A1B1C4没出现，那这个试验安排会最优吗？
五、拉丁方格在安排试验中的应用
• 例3：生产某种染料用四种原料：A-硫磺，B-烧碱，C二硝基，D-硫化碱，每种原料均取四个水平，要找最好 配方，试验又该怎样安排？ • CD用II，III正交拉丁方格 B1 A1B1C1D1 A2B1C3D4 A3B1C4D2 A4B1C2D3 B2 A1B2C2D2 A2B2C4D3 A3B2C3D1 A4B2C1D4 B3 A1B3C3D3 A2B3C1D2 A3B3C2D4 A4B3C4D1 B4 A1B4C4D4 A2B4C2D1 A3B4C1D3 A4B4C3D2
对虾饲料配方问题的拉丁方试验结果
机 器 1 2 3 4 5 T..k T..k2 操 2 B=10 C=12 D=15 E=14 A=13 64 4096 作 者 （k列） 4 5 Ti.. D=12 E=12 57 E=13 A=17 67 A=13 B=11 63 B=11 C=11 62 C=15 D=15 64 64 66 T=313 4096 4356 19641
A B C B C A C A B A B C D B C D A C D A B
3 阶或3 ×3 拉丁方
D A B C
四方连续纹样
四方连续纹样在生活中的运用 说一说
四
赏一赏
方
连
续
图
案
在
服
装
中
的
运
用
练一练
• 作业：
• 根据连缀式四方连续的骨法作一幅四方连 续纹样。
• 要求：1、单位纹样自定。 2、尺寸：15*15cm 3、色彩：同类色、邻近连缀
• 方形为基础构成的连续性骨架
• (3) 菱形连缀
• 菱形为基础构成的连续性 骨架，若单独作装饰，显 得简明有力、齐整端庄， 再配以对比强烈的鲜明色 彩，则更具现代感；若在 骨架基础上添加一些适合 纹样，会丰富装饰效果， 细腻含蓄、耐人寻味。
绘制步骤
学一学
勾画轮廓，绘制垂直线、水平线，进行三等分。
菱形为基础构成的连续性骨架若单独作装饰显得简明有力齐整端庄再配以对比强烈的鲜明色彩则更具现代感
想一想 四方连续是如何组成的？
一个单独纹样向两方连续（重复）出现就形成了二方连续
一个单独纹样向四周连续（重复）出现就形成了四方连续
定义 讲一讲 四方连续纹样的
• 四方连续纹样是由一个单位纹样向上、下、 左、右四个方向重复排列而成，可向四周 无限扩展。
设计单位纹样:选择你喜欢的图形，在草稿纸上
精心设计绘制出一个单位纹样。
将设计好的单位纹样复拓到 每一个单位上完成铅笔稿。
着色完成作业。
四方连续纹样的设计要素
上下、左右连续三个以上单 位纹样，并形成面状的图案。 注意各种构成形式的运用。 注意单位纹样相结合时的关系。 组织结构要有节奏感、韵律感。
按基本骨式变化分，四方连续纹样主要有 以下三种组织形式。
• 散点式 • 连缀式 • 重叠式
四方连续图案构成形式之连缀式
拉丁方设计
拉丁方设计-----------------------------------------------------------------“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。
拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。
在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位组设计小，试验精确性比随机单位组设计高。
拉丁方设计又叫平衡对抗设计(baIanced design)、轮换设计。
这三个名称是从其模式、作用和方法三个不同的角度来说明这种设计的意义。
所谓平衡对抗设计，是指在实验中，由于前一个实验处理往往会影响后一个实验处理的效果，而该实验设计的作用就在于提供对实验处理顺序的控制，使实验条件均衡，抵消由于实验处理的先后顺序的影响而产生的顺序误差，因而也可称之为抵消法设计。
所谓轮换设计，是指在实验中，由于学习的首因效应，先实验的内容，被试容易记住；又因为学习的近因效应，对于刚刚学过的内容，被试回忆的效果一般也较好。
因此、在实验方法上，有必要使不同实验条件出现的先后顺序轮换，使情境条件以及先后顺序对各个实验组的机会均等，打破顺序界限。
所谓拉丁方设计，是指平衡对抗设计的结构模式，犹如拉丁字母构成的方阵。
例如四组被试接受A、B、C、D四种处理，其实验模式为：上述模式表可以看出，每种处理即表中的字母在每一行和每一列都出现了一次而且仅出现了一次。
像这样的一个方阵列就称为一个拉丁方。
要构成一个拉丁方，必须使行数等于列数，并且两者都要等于实验处理的种数。
S4 拉丁方设计
D47
192 A314
C31
202 B145
A87
236 C136
A87
205 D240
213
835
1.H0：（1）各动物对药液的反应总体均数相等 （2）各用药次序的反应总体均数相等 （3）各药液的反应总体均数相等 H1：（1）各动物对药液的反应总体均数不全相等 （2）各用药次序的反应总体均数不全相等 （3）各药液的反应总体均数不全相等
自由度
15 3 3 3 6
MS
F值
257.73 90.23 1784.23 176.65
1.46 0.511 10.101
4.P值
F0.05,3,6 5.14 F0.01,3,6 9.78 药液间F>F0.01,3,6 9.78, P 0.01, 有统计学意义。
5.结论
统计分析举例：
例 四只大白鼠对不同药液、不同次序的反 应的拉丁方试验设计的实验数据的方差分 析。
用药次序 大白鼠编号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 1 A75 B45 C25 2 B29 D71 A71 3 C27 A81 D80 4 D42 C53 B23 各动物 合计 173 250 199
Ⅳ
各次序合计 各药液合计
0.05
C
( X ) 2 n
835
16
2
43576.56
2 2 2
2.
SS
总
2
X 2 C 75 45 87 C 7456.44
SS动物间
各动物小计的平方和 C 动物数
2
173
SS次序间
213 C 773.19 4 各次序小计的平方和 C 次序数 205 C 270.69 4 各药液小计的平方和 C 药液种类
第二章§5 拉丁方设计与正交拉丁方设计
2.例 Aa Cb Bc
Bb Ac Ca
Cc Ba Ab
三,超方
如果一个拉丁方有若干个与它正交且又相 互正交的拉丁方,则称它们为超方.
�
(
)
y.2j.
2 y... 2 p p
同理SS行,SS列 而SSe = SST SS拉丁 SS行 SS列
4.多重比较
Sy
. j.
MSe = p
5.缺失数据时的统计分析
按照使误差平方和SSe为最小的原则来估计它, 注意总的自由度及误差平方和的自由度有变化
二,希腊-拉丁方设计
1.定义 构造两个拉丁方,使得两个拉丁方重叠时, 任一拉丁字母与每个希腊字母相遇一次, 也只相遇一次,这样一对拉丁方称为相互 正交.两个正交的拉丁方可用来设计包含 四个水平数相等且彼此不存在交互作用的 因子的试验问题,这种设计称为希腊-拉丁 方设计
2.模型
yijk = + αi + τ j + βk + εijk i = 1,, p, j = 1,, p, k = 1,, p εijk i.i.d N 0, σ2 ∑ αi = 0, ∑ τ j = 0, ∑βk = 0 j k i
(
)
3.方差分析 假设
H 0 : τ1 = τ 2 = = τ p H1 : 至少一个τi ≠ 0
两个正交的拉丁方可用来设计包含四个水平数相等且彼此不存在交互作用的因子的试验问题这种设计称为希腊拉丁方设计aabbcccbacbabccaab如果一个拉丁方有若干个与它正交且又相互正交的拉丁方则称它们为超方
§5 拉丁方设计与正交拉丁方设计
例6 本试验问题的响应变量是某种导弹的交流发 电机的AC输出电压,因子及其水平如下: 1)定子的AC线圈的圈数,5个水平分别为 145(A),150(B),155(C),160(D),165(E); 2)转子的铁心体的铁心片数,5个水平分别为 230,240,250,260,270; 3)铁心片表面涂层质量,5个等级分别为 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ 三个因子彼此间都不存在交互作用.
8第八章 拉丁方设计
产 C1 蛋 C2 期 C3
蛋鸡组 B1 B2 B3 A1 A2 A3 A2 A3 A1 A3 A1 A2 蛋
左边的拉丁方表是一个标 准拉丁方，将其进行行变 换和列变换，得到普通方 （这里的变换仅是表内的 A因子，B和C是不动的）
得：
B1 产 C1 A2： 6.8 蛋 C2 A1： 7.9 期 C3 A3：11.2 纵列和： 25.9
各自由度为： dfT＝3×3－1＝8 dfA＝dfB＝dfC＝dfe＝3－1＝2 列方差分析表：
方差分析表
course
饲料间 蛋鸡组 产蛋阶段 误差项 T
SS
22.34 1.70 1.42 1.06 26.52
df
2 2 2 2 8
MS
11.17 0.85 0.71 0.53
F
21.08** 1.60 1.34
A B C B C A C A B A B C D B A D C C D B A D C A B A B C D B D A C C A D B D C B A A B C D E B C D A D E E B A C E B D A C 5×5 E C D A B
3×3
4 ×4
上一页所显示的是几个标准拉丁方，在实际 使用中，标准方是不能使用的，必须经过 行随机变换和列随机变换化成普通方后才 能使用，如： 3×3 4×4 5×5
当然也可以是3个或以上的因子每一因子有多个水平进行组合但因子和水平太多将会使得拉丁方很庞大以至于无法进行正常的拉丁方试验上页k变异来源自由度处理间a因子e因子p生产周期c误差项e与回归分析的结合当所使用的拉丁方较大如k4而试验主因子a和指标又是定量的可将试验结果与因子a的水平结合起来建立一回归方程进行回归分析在进行回归分析时一般可不考虑b因子和c因子仅求出a因子各个水平的和根据试验结果的走向来进行回归分析回归分析既可以是简单回归分析又可以是多项式回归分析这需要根据具体情况来加以判断正交拉丁方试验设计当两个同阶的拉丁方迭合时一个拉丁方中的每一字母与另一拉丁方中的每一字母相遇且仅相遇一次这样的两个拉丁方称为互为正交如下面的两个拉丁方即为正交拉丁方
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1. 选择标准方
根据试验的处理数k选一个k×k的标准方。
例1：研究5种不同饲料对乳牛产乳量影响的试验 饲料
5种不同饲料（分别用1、2、3、4、5表示）
个体
时期
5头乳牛（分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ）
5个泌乳期（分别为一月、二月、三月、四月、五月）
5×5拉丁方设计。
一、拉丁方设计
1. 选择标准方
表2 饲料类型对乳牛产乳量影响的拉丁方设计
（i = 1,2,…,k; j = 1,2,…k, k = 1,2,…k）
式中: μ 为总体平均数，
i 为横行的效应，
j 为纵列的效应，
ij (t ) 为独立的随机误差，具有 N (0, 2 )。
t 为处理的效应，
平方和与自由度的分解为：
SST = SSr+SSc+SSt+SSe
饲料号
泌乳时间 Ⅰ Ⅱ 牛号 Ⅲ Ⅳ Ⅴ
一月 二月 三月 四月 五月 2 5 1 3 4 4 3 2 1 5 1 2 4 5 3 5 4 3 2 1 3 1 5 4 2
拉丁方设计
处理间
误差
变异
行区组
列区组
二、结果分析
拉丁方试验的任一观测值的线性模型为：
xij (t ) i j (t ) ij (t )
表4 水稻品比5×5拉丁方试验的产量结果(kg)
横行 区组
纵列区组
Ⅰ D(37) B(48)
C(27) E(28) A(34)
Ⅱ A(38) E(40)
B(32) D(37) C(30)
Ⅲ C(38) D(36)
A(32) B(43) E(27)
Ⅳ B(44) C(32)
E(30) A(38) D(30)
2 T r
横行平方和：SS r k ( xr x) 2 纵列平方和：SS
c
k
2 T c
C
k ( xc x)
2
k
2 t
C
处理平方和：
SSt k ( xt x)
2
T k
C
误差平方和：SS SS - SS - SS - SS e T r c t
不同捕蛾灯的捕蛾效果比较试验。
不同的灯位？
不同的日期？ 烟叶毒素病不同毒素浓度诱病试验。 不同植株？ 同一植株上不同部位的叶片（老、嫩）？
如何将试验单元的两个干扰因子最大程度地减小？
拉丁方设计
双向随机区组设计
将试验单元按这两个干扰因子从两个方向划分区组， 在每个区组组合中安排一个试验单元，
5 4 3 1
E
D B A C
A
C E D B
B
E D C A
C
B A E D
D
A C B E
2
5 4 3 1
2
4 1 5 3
5
3 2 4 1
1
2 4 3 5
3
1 5 2 4
4
5 3 1 2
2 5 4 3 1
3 2 4 1 5 3
2 5 3 2 4 1
1 1 2 4 3 5
4 3 1 5 2 4
5 4 5 3 1 2
2 360
4 400 1 380 1850
4 400
3 390 5 350 1810
5 260
2 280 4 430 1730
3 400
1 370 2 320 1740
1770
1720 1880 T=8880
(1)原始资料的整理
将试验结果整理成处理的总和与平均数表：
饲料 Tt xt 5号 1480 296 1号 1860 372 3号 1970 394 4号 2030 406 2号 1540 308 总和 T=8880
3
1 2 C E
2
B A
1
A B
4
D C
5
E D
1
2 3 4 5
A
B C D E
B
A D E C
C
E A B D
D
C E A B
E
D B C A
3
4 5
A
B D
D
E C
C
D E
E
A B
B
C A
一、拉丁方设计
3. 行随机 按照行随机数字串的排列顺序“25431”进行行随机。
3
1 2 C E
2
B A
1
4号 3号
平均产乳量
406 394
1号
2号 5号
372
308 296
a
b b
A
B B
☼ 饲料4号、3号和1号的产乳量极显著高于饲料2号和5号；
☼ 饲料4号、3号和1号间差异未达显著； ☼ 饲料2号和5号间差异未达显著。
在进行拉丁方试验时，某些区组因素，如奶牛的泌
乳阶段，试验因素的各处理要逐个在不同阶段实施，
df T = dfr+ dfc+ dft+dfe
式中: r 表示横行, r = 1,2,…,k； c 表示纵列, c = 1,2,…,k; t 表示处理, t = 1,2,…k;
e 表示随机误差。
校正数：
T2 C k k
2 SS ( x x ) 总平方和： T
x2 C
(2)平方和和自由度的分解
T 8880 3154176 k k 5 5
2 2
平方和的分解：
C
SST x2 C 3002 3202 3202 3154176 63224
SS r T k
2 r 2 2 2 （ 1780 1730 1880 ） C 3154176 3224 5 2 2 2 （ 1750 1850 1740 ） C 3154176 2144 5 2 2 2 （ 1480 1860 1540 ） C 3154176 50504 5
泌乳时间 Ⅰ Ⅱ
牛号 Ⅲ Ⅳ
一月 A B
C D
二月 B A
D E
三月 C E
A B
四月 D C
E A
五月 E D
B C
Ⅴ
E
C
D
B
A
一、拉丁方设计
1. 选择标准方
列随机
32154
行随机
25431
处理随机
51342
一、拉丁方设计
2. 列随机
按照列随机数字串的排列顺序“32145”进行列随机。 1 2 3 4 5
Ⅳ Ⅴ
Tc
E(28) A(34)
174
D(37) C(30)
177
B(43) E(27)
176
A(38) D(30)
174
C(41) B(41)
181
187 162
T=882
(1)原始资料的整理
各品种总和和品种平均数 品 A 种 Tt 38+35+32+38+34=177 xt 35.4
B C D E
SS c
T
k T k
t2 c2Fra bibliotekSS t
SS e SS T - SS r - SS c - SS t 7352
(2)平方和和自由度的分解
自由度的分解：
dfT=k×k-1=25-1=24
dfr =k-1=5-1=4
dfc =k-1=5-1=4 dft =k-1=5-1=4 dfe =dfT - dfr - dfc - dft=12
如果前一阶段有残效，在后一阶段的试验中，就会
产生系统误差而影响试验的准确性。此时应根据实
际情况，安排适当的试验间歇期以消除残效。
横行、纵列区组因素与试验因素间不存在交互作用 ， 否则不能采用拉丁方设计。
例2：有A、B、C、D、E 5个水稻品种作比较试验，其中E为 标准品种，采用5×5拉丁方设计，其田间排列和产量结果见 下表，试进行统计分析。
A B C
B C A
C A B
4×4标准拉丁方
5×5标准拉丁方
注：5×5标准拉丁方有56种，此为部分标准拉丁方
将标准方的行、列进行调换，可以转化出许多不同的拉丁方，
k k标准方
k!(k 1)!
表1 k×k的标准方个数和拉丁方总数
k× k 2× 2 3× 3 4× 4 5× 5 6× 6 7× 7
Ⅱ
牛号 Ⅲ Ⅳ
Ⅴ
(1)原始资料的整理
将试验结果整理成横行、纵列两向表：
泌乳时间 Ⅰ Ⅱ 一月 2 300 4 420 二月 5 320 3 390 三月 1 390 2 280 四月 3 390 1 370 五月 4 380 5 270 Tr 1780 1730
牛号
Ⅲ
Ⅳ Ⅴ Tc
1 350
5 280 3 400 1750
Ⅴ E(38) A(35)
D(26) C(41) B(41)
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ Ⅳ Ⅴ
(1)原始资料的整理 将试验结果整理成横行、纵列两向表：
横行 区组 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 纵列区组 Ⅰ D(37) B(48) C(27) Ⅱ A(38) E(40) B(32) Ⅲ C(38) D(36) A(32) Ⅳ B(44) C(32) E(30) Ⅴ E(38) A(35) D(26) Tr 195 191 147
总 和
44+48+32+43+41=208 38+32+27+41+30=168 37+36+26+37+30=166 38+40+30+28+27=163 T=882
根据试验的处理数k选一个k×k的标准方。
例1：研究5种不同饲料对乳牛产乳量影响的试验 饲料
5种不同饲料（分别用1、2、3、4、5表示）
个体
时期
5头乳牛（分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ）
5个泌乳期（分别为一月、二月、三月、四月、五月）
5×5拉丁方设计。
一、拉丁方设计
1. 选择标准方
表2 饲料类型对乳牛产乳量影响的拉丁方设计
（i = 1,2,…,k; j = 1,2,…k, k = 1,2,…k）
式中: μ 为总体平均数，
i 为横行的效应，
j 为纵列的效应，
ij (t ) 为独立的随机误差，具有 N (0, 2 )。
t 为处理的效应，
平方和与自由度的分解为：
SST = SSr+SSc+SSt+SSe
饲料号
泌乳时间 Ⅰ Ⅱ 牛号 Ⅲ Ⅳ Ⅴ
一月 二月 三月 四月 五月 2 5 1 3 4 4 3 2 1 5 1 2 4 5 3 5 4 3 2 1 3 1 5 4 2
拉丁方设计
处理间
误差
变异
行区组
列区组
二、结果分析
拉丁方试验的任一观测值的线性模型为：
xij (t ) i j (t ) ij (t )
表4 水稻品比5×5拉丁方试验的产量结果(kg)
横行 区组
纵列区组
Ⅰ D(37) B(48)
C(27) E(28) A(34)
Ⅱ A(38) E(40)
B(32) D(37) C(30)
Ⅲ C(38) D(36)
A(32) B(43) E(27)
Ⅳ B(44) C(32)
E(30) A(38) D(30)
2 T r
横行平方和：SS r k ( xr x) 2 纵列平方和：SS
c
k
2 T c
C
k ( xc x)
2
k
2 t
C
处理平方和：
SSt k ( xt x)
2
T k
C
误差平方和：SS SS - SS - SS - SS e T r c t
不同捕蛾灯的捕蛾效果比较试验。
不同的灯位？
不同的日期？ 烟叶毒素病不同毒素浓度诱病试验。 不同植株？ 同一植株上不同部位的叶片（老、嫩）？
如何将试验单元的两个干扰因子最大程度地减小？
拉丁方设计
双向随机区组设计
将试验单元按这两个干扰因子从两个方向划分区组， 在每个区组组合中安排一个试验单元，
5 4 3 1
E
D B A C
A
C E D B
B
E D C A
C
B A E D
D
A C B E
2
5 4 3 1
2
4 1 5 3
5
3 2 4 1
1
2 4 3 5
3
1 5 2 4
4
5 3 1 2
2 5 4 3 1
3 2 4 1 5 3
2 5 3 2 4 1
1 1 2 4 3 5
4 3 1 5 2 4
5 4 5 3 1 2
2 360
4 400 1 380 1850
4 400
3 390 5 350 1810
5 260
2 280 4 430 1730
3 400
1 370 2 320 1740
1770
1720 1880 T=8880
(1)原始资料的整理
将试验结果整理成处理的总和与平均数表：
饲料 Tt xt 5号 1480 296 1号 1860 372 3号 1970 394 4号 2030 406 2号 1540 308 总和 T=8880
3
1 2 C E
2
B A
1
A B
4
D C
5
E D
1
2 3 4 5
A
B C D E
B
A D E C
C
E A B D
D
C E A B
E
D B C A
3
4 5
A
B D
D
E C
C
D E
E
A B
B
C A
一、拉丁方设计
3. 行随机 按照行随机数字串的排列顺序“25431”进行行随机。
3
1 2 C E
2
B A
1
4号 3号
平均产乳量
406 394
1号
2号 5号
372
308 296
a
b b
A
B B
☼ 饲料4号、3号和1号的产乳量极显著高于饲料2号和5号；
☼ 饲料4号、3号和1号间差异未达显著； ☼ 饲料2号和5号间差异未达显著。
在进行拉丁方试验时，某些区组因素，如奶牛的泌
乳阶段，试验因素的各处理要逐个在不同阶段实施，
df T = dfr+ dfc+ dft+dfe
式中: r 表示横行, r = 1,2,…,k； c 表示纵列, c = 1,2,…,k; t 表示处理, t = 1,2,…k;
e 表示随机误差。
校正数：
T2 C k k
2 SS ( x x ) 总平方和： T
x2 C
(2)平方和和自由度的分解
T 8880 3154176 k k 5 5
2 2
平方和的分解：
C
SST x2 C 3002 3202 3202 3154176 63224
SS r T k
2 r 2 2 2 （ 1780 1730 1880 ） C 3154176 3224 5 2 2 2 （ 1750 1850 1740 ） C 3154176 2144 5 2 2 2 （ 1480 1860 1540 ） C 3154176 50504 5
泌乳时间 Ⅰ Ⅱ
牛号 Ⅲ Ⅳ
一月 A B
C D
二月 B A
D E
三月 C E
A B
四月 D C
E A
五月 E D
B C
Ⅴ
E
C
D
B
A
一、拉丁方设计
1. 选择标准方
列随机
32154
行随机
25431
处理随机
51342
一、拉丁方设计
2. 列随机
按照列随机数字串的排列顺序“32145”进行列随机。 1 2 3 4 5
Ⅳ Ⅴ
Tc
E(28) A(34)
174
D(37) C(30)
177
B(43) E(27)
176
A(38) D(30)
174
C(41) B(41)
181
187 162
T=882
(1)原始资料的整理
各品种总和和品种平均数 品 A 种 Tt 38+35+32+38+34=177 xt 35.4
B C D E
SS c
T
k T k
t2 c2Fra bibliotekSS t
SS e SS T - SS r - SS c - SS t 7352
(2)平方和和自由度的分解
自由度的分解：
dfT=k×k-1=25-1=24
dfr =k-1=5-1=4
dfc =k-1=5-1=4 dft =k-1=5-1=4 dfe =dfT - dfr - dfc - dft=12
如果前一阶段有残效，在后一阶段的试验中，就会
产生系统误差而影响试验的准确性。此时应根据实
际情况，安排适当的试验间歇期以消除残效。
横行、纵列区组因素与试验因素间不存在交互作用 ， 否则不能采用拉丁方设计。
例2：有A、B、C、D、E 5个水稻品种作比较试验，其中E为 标准品种，采用5×5拉丁方设计，其田间排列和产量结果见 下表，试进行统计分析。
A B C
B C A
C A B
4×4标准拉丁方
5×5标准拉丁方
注：5×5标准拉丁方有56种，此为部分标准拉丁方
将标准方的行、列进行调换，可以转化出许多不同的拉丁方，
k k标准方
k!(k 1)!
表1 k×k的标准方个数和拉丁方总数
k× k 2× 2 3× 3 4× 4 5× 5 6× 6 7× 7
Ⅱ
牛号 Ⅲ Ⅳ
Ⅴ
(1)原始资料的整理
将试验结果整理成横行、纵列两向表：
泌乳时间 Ⅰ Ⅱ 一月 2 300 4 420 二月 5 320 3 390 三月 1 390 2 280 四月 3 390 1 370 五月 4 380 5 270 Tr 1780 1730
牛号
Ⅲ
Ⅳ Ⅴ Tc
1 350
5 280 3 400 1750
Ⅴ E(38) A(35)
D(26) C(41) B(41)
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ Ⅳ Ⅴ
(1)原始资料的整理 将试验结果整理成横行、纵列两向表：
横行 区组 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 纵列区组 Ⅰ D(37) B(48) C(27) Ⅱ A(38) E(40) B(32) Ⅲ C(38) D(36) A(32) Ⅳ B(44) C(32) E(30) Ⅴ E(38) A(35) D(26) Tr 195 191 147
总 和
44+48+32+43+41=208 38+32+27+41+30=168 37+36+26+37+30=166 38+40+30+28+27=163 T=882