第4章拉丁方试验设计与分析
试验设计与统计分析 第四章 常用的试验设计方案
(2) B C D E A 行间调整 D E A B C A B C D E E A B C D C D E A B
5×5拉丁方
3. 优缺点： 优缺点：
优点：满足试验设计的原则，能提供无偏的试验 优点：满足试验设计的原则， 误差估计；由于两个方向都设计的区组，因此可 误差估计；由于两个方向都设计的区组， 以控制两个方向的土壤差异，精度较高；设计简 以控制两个方向的土壤差异，精度较高； 单，统计分析简单；缺区能补充。 统计分析简单；缺区能补充。 缺点：缺乏伸缩性，因为重复数等于处理数； 缺点：缺乏伸缩性，因为重复数等于处理数；要求 一块规则平整的地形，一个试验不能分开设置，缺 一块规则平整的地形，一个试验不能分开设置， 乏灵活性。 乏灵活性。
3. 局部控制： 局部控制：
局部控制：在试验的一个小范围内， 局部控制：在试验的一个小范围内，保持除试 验处理以外的一切影响试验结果的因素要控制 相似或相同的条件下 。 局部控制的作用： 局部控制的作用： 1）降低试验误差 2）正确的估计试验处理的效应值
重复
随机排列
局部控制
无偏估计试验误差
降低试验误差
处理数＝重复数＝行数＝ 处理数＝重复数＝行数＝列数 根据处理数×重复数（处理数的平方数） 根据处理数×重复数（处理数的平方数）将 试验地分成若干个小区， 试验地分成若干个小区，然后将应用的拉丁方设 计方案安排到各小区中。 计方案安排到各小区中。
2、设计方案
1）根据处理数查标准的拉丁方表（P25页）， 根据处理数查标准的拉丁方表（P25页 也可以人工排标准的拉丁方表。 也可以人工排标准的拉丁方表。 常用拉丁方理论方案
缺点： 缺点：
要求试验地能满足安排全部试验小区，且 要求试验地能满足安排全部试验小区， 规则的地块； 规则的地块；
拉丁方试验和统计方法
第十三章拉丁方试验和统计方法知识目标：●掌握拉丁方试验设计方法；●掌握拉丁方试验结果统计分析方法。
技能目标：●学会拉丁方试验设计；●学会拉丁方试验结果统计分析。
第一节拉丁方试验设计一、拉丁方设计将k个不同符号排成k列，使得每一个符号在每一行、每一列都只出现一次的方阵，叫做k×k拉丁方。
应用拉丁方设计〔latin square design〕就是将处理从纵横二个方向排列为区组(或重复)，使每个处理在每一列和每一行中出现的次数相等〔通常一次〕，即在行和列两个方向都进行局部控制。
所以它是比随机区组多一个方向局部控制的随机排列的设计，因而具有较高的精确性。
二、拉丁方设计步骤拉丁方设计的特点是处理数、重复数、行数、列数都相等。
如图13-1为5×5拉丁方，它的每一行和每一列都是一个区组或一次重复，而每一个处理在每一行或每一列都只出现一次，因此，它的处理数、重复数、行数、列数都等于5。
C D A E BE C D B AB A EC DA B C D ED E B A C图13-1 5×5拉丁方拉丁方试验设计的步骤如下：〔1〕选择标准方标准方是指代表处理的字母，在第一行和第一列均为顺序排列的拉丁方。
如图13-2。
在进行拉丁方设计时，首先要根据试验处理数k从标准方表中选定一个k×k的标准方。
例如处理数为5，那么需要选定一个5×5的标准方，如图13-2。
随后我们要对选定的标准方的行、列和处理进行随机化排列。
本例处理数为5，因此根据随机数字表任选一页中的一行，除去0、6以上数字和重复数字，满5个为一组，要得到这样的3组5位数。
假设得到的3随机数字为14325，53124，41235。
〔2〕列随机用第一组5个数字14325调整列顺序，即把第4列调至第2列，第2列调至第4列，其余列不动。
如图13-3。
〔3〕行随机用第二组5个数字53124调整行顺序，即把第5行调至第1行，第3行调至第2行，第1行调至第3行，第2行调至第4行，第4行调至第5行。
拉丁方设计
▪
Ｃ×Ｄ
Ｂ×Ｄ Ａ×Ｄ
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11
按正交表Ｌ８ (２７)安排试验，各处理的组合为
处理 编号
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
A因素 B因素
１列 １ １ １ １ ２ ２ ２ ２
２列 １ １ ２ ２ １ １ ２ ２
３列 １ １ ２ ２ ２ ２ １ １
C因素
４列 １ ２ １ ２ １ ２ １ ２
５列 １ ２ １ ２ ２ １ ２ １
６列 １ ２ ２ １ １ ２ ２ １
D因素
７列 １ ２ ２ １ ２ １ １ ２
观察 指标
###.# ###.# ###.# ###.# ###.# ###.# ###.# ###.#
8
选择正交表的几个原则
⑴、各实验因素的水平数最好相等。当ｍ＝２时，可 选选LL49（（2334））、 、LL81（ 8（23117））、、LL1267（（231153））等等；；当当ｍ ｍ＝ ＝３ ４时 时， ，可 可 选（４L16×（２454））、、LL3126（（4４9）2×等２。4当）水、平L18数（不2×等3时7），等则。可选L8
⑵、试验的操作简单或希望得到较多的信息，可选择 Ｎ较大的正交表。反之，操作复杂或成本较高的试验， 可选择Ｎ较小的正交表。
⑶、分析交互作用（主要是两因素之间的交互作用）， 选ｋ较大的正交表。若已知因素间的交互作用很小，则 选ｋ较小的正交表。
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9
正交设计
▪ 例5：有研究者为研究某种呼吸机的四个参数 选择对通气量的影响，这四个参数分别为频 率（Ａ因素）、驱动压（Ｂ因素）、呼吸比 （Ｃ因素）和管径（Ｄ因素），每个参数分 高、低两个水平。按析因设计，有２４ ＝１ ６种处理分组，如选择正交表Ｌ８(２７) 进 行试验，只需８种处理分组。
拉丁方设计
拉丁方设计-----------------------------------------------------------------“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。
拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。
在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位组设计小，试验精确性比随机单位组设计高。
拉丁方设计又叫平衡对抗设计(baIanced design)、轮换设计。
这三个名称是从其模式、作用和方法三个不同的角度来说明这种设计的意义。
所谓平衡对抗设计，是指在实验中，由于前一个实验处理往往会影响后一个实验处理的效果，而该实验设计的作用就在于提供对实验处理顺序的控制，使实验条件均衡，抵消由于实验处理的先后顺序的影响而产生的顺序误差，因而也可称之为抵消法设计。
所谓轮换设计，是指在实验中，由于学习的首因效应，先实验的内容，被试容易记住；又因为学习的近因效应，对于刚刚学过的内容，被试回忆的效果一般也较好。
因此、在实验方法上，有必要使不同实验条件出现的先后顺序轮换，使情境条件以及先后顺序对各个实验组的机会均等，打破顺序界限。
所谓拉丁方设计，是指平衡对抗设计的结构模式，犹如拉丁字母构成的方阵。
例如四组被试接受A、B、C、D四种处理，其实验模式为：上述模式表可以看出，每种处理即表中的字母在每一行和每一列都出现了一次而且仅出现了一次。
像这样的一个方阵列就称为一个拉丁方。
要构成一个拉丁方，必须使行数等于列数，并且两者都要等于实验处理的种数。
S4 拉丁方设计
D47
192 A314
C31
202 B145
A87
236 C136
A87
205 D240
213
835
1.H0：（1）各动物对药液的反应总体均数相等 （2）各用药次序的反应总体均数相等 （3）各药液的反应总体均数相等 H1：（1）各动物对药液的反应总体均数不全相等 （2）各用药次序的反应总体均数不全相等 （3）各药液的反应总体均数不全相等
自由度
15 3 3 3 6
MS
F值
257.73 90.23 1784.23 176.65
1.46 0.511 10.101
4.P值
F0.05,3,6 5.14 F0.01,3,6 9.78 药液间F>F0.01,3,6 9.78, P 0.01, 有统计学意义。
5.结论
统计分析举例：
例 四只大白鼠对不同药液、不同次序的反 应的拉丁方试验设计的实验数据的方差分 析。
用药次序 大白鼠编号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 1 A75 B45 C25 2 B29 D71 A71 3 C27 A81 D80 4 D42 C53 B23 各动物 合计 173 250 199
Ⅳ
各次序合计 各药液合计
0.05
C
( X ) 2 n
835
16
2
43576.56
2 2 2
2.
SS
总
2
X 2 C 75 45 87 C 7456.44
SS动物间
各动物小计的平方和 C 动物数
2
173
SS次序间
213 C 773.19 4 各次序小计的平方和 C 次序数 205 C 270.69 4 各药液小计的平方和 C 药液种类
拉丁方
2.1
3、随机分配处理
（1）对各因素事先编号 首先规定 家兔编号 部位编号 药物编号 1 Ⅰ 2 3 Ⅱ 4 5 Ⅲ Ⅳ Ⅴ
甲 乙 丙 丁 戊
（2）随机化处理 读取5个随机数字10，28，81，47，20， 读取5个随机数字10，28，81，47，20，则 10 R=1， R=1，3，5，4，2，有A（甲）B（丙） C（戊） D （丁） E （乙） （3）随机安排处理 将随机化后的拉丁方行、 将随机化后的拉丁方行、列与字母分别对应于 家兔、注射部位、药物。 家兔、注射部位、药物。
用r个拉丁字母排成 行r列的方阵，使每行 个拉丁字母排成r行 列的方阵 列的方阵， 个拉丁字母排成 每列中每个字母都只出现一次， 每列中每个字母都只出现一次，这样的方阵叫 r阶/r×r拉丁方 。 阶 × 拉丁方 按拉丁方的字母、 按拉丁方的字母、行、列安排处理及影响因 素的试验称为拉丁方试验。 素的试验称为拉丁方试验。
C D A B E D E E B A C A B D E C B C E A D C D E B C A A B D E C E A C D B B C E A D D C D A B E A E B E A D D C C B B C E A D E B C A
3.4
C D A B
D A B E
r×r拉丁方设计方差分析表 × 拉丁方设计方差分析表
变异来源
总变异 处理组间 行间 列间 误差
离均差平方 自由度 DF 和SS
均ห้องสมุดไป่ตู้MS 均方
F
P
∑X
2 ij
−C
r2-1 r-1 r-1 r-1 SS处理/( r-1) MS / MS误差
处理
1 X k2 − C ∑ r
拉丁方实验设计涉及的统计学原理以及使用中的几个问题
拉丁方实验设计涉及的统计学原理以及使用中的几个问题拉丁方实验设计（Latinsquaredesign，LSD）是指利用全排列采样技术对地层因素（如温度、盐度、污染物等）和人工因素（如抽样时期、采样设备等）为每个试验单元构建定量模型的一类实验设计方法，它已经成为多元统计分析（Multivariate statistical analysis）中的重要工具之一。
它使实验者能够迅速而有效地研究出实验变量，也能够发现更多实验变量与实验结果之间的关系及其趋势。
拉丁方实验设计涉及的统计学原理主要有：（1）排列和组合原理。
实验设计的本质是一种排列，因此拉丁方实验设计的基本思想是利用排列的原理来解决实验问题。
拉丁方实验设计需要通过排列和组合手段，让实验变量的不同效应在实验中得到充分展现。
（2）分组原理。
拉丁方实验设计是把所有实验观测数据进行分组处理，使实验结果能够达到最大程度的描述和控制。
每一个分组中，实验设计要求所有变量的单位观测值（平均）达到均衡，这样就可以有效地消除每个实验变量的误差影响。
（3）协方差原理。
拉丁方实验设计涉及的统计学原理还包括协方差原理，它是实验设计时最重要的原理之一。
协方差原理指的是两个变量之间的关系，它可以帮助实验者有效地控制实验当中的干扰因素，以便更好地控制实验结果。
在实际使用拉丁方实验设计过程中，实验者会遇到几个常见的问题：（1）实验变量选择问题。
由于拉丁方实验设计本身具有排列、组合、分组和协方差原理，在实际使用中，实验变量的选择非常重要，否则试验结果会不准确。
（2）试验设计问题。
拉丁方实验设计的本质是实验变量的排列，因此实验者需要合理设计实验，以便能够更好地揭示不同实验变量之间的关系。
（3）实验结果分析问题。
拉丁方实验设计得出的实验结果需要进行相应的分析才能够得出准确的结论，而且拉丁方实验设计是包含多种因素的实验设计，实验结果分析需要对多种变量进行分析，因此，分析的结果会更加准确。
4.拉丁方试验设计
• 试验设计见下表：奶牛血色素测定的5×5拉丁方 设计 • 奶牛号 试 管 号 • 1 2 3 4 5 • 1 A（4） D（5） E（2） C（3） B（1） • 2 E（2） C（3） D（5） B（1） A（4） • 3 C（3） A（4） B（1） E（2） D（5） • 4 D（5） B（1） C（3） A（4） E（2） • 5 B（1） E（2） A（4） D（5） C（3） • 注：括号内的数字表示兽医师编号。
• 四、拉丁方试验设计 • 1、根据试验处理数选定一个标准拉丁方。 • 2、随机拉丁方的行、列： • 3阶拉丁方先随机1、2、3列，再随机2、 3行即可； • 4阶拉丁方先随机1、2、3、4列，再随 机2、3、4行即可；也可随机所有的行列。 • 5阶及以上拉丁方先随机所有列，再随机 所有行即可。 • 3、随机确定哪个字母代替何种试验处理。
Chapter 5 拉丁方试验设计
拉丁方试验设计是运用局部控制的原则而进行的一个设计方法。 一、拉丁方试验设计：根据拉丁字母排成的k行k列的方阵来安排 试验处理，每个字母代表一个试验处理，行和列各安排一个影响 试验结果的非处理因素。该设计方法即为拉丁方试验设计。 二、拉丁方：由k个拉丁字母排成的k行k列的方阵，使每个拉丁 字母在每一行每一列均出现一次。 3阶拉丁方： A B C B C A C A B 4阶拉丁方： A B C D B C D A C D A B D A B C
• 由于拉丁方试验设计的处理数=重复数=行 区组数=列区组数，处理数多则重复较多， 造成浪费；处理数少，则重复少，误差就 大；因此，拉丁方试验一般应用于试验处 理数为5-----8个的试验。 • 五、拉丁方试验结果的统计分析 • 用方差分析。行和列各作为一个非处理因 素。 • SST=SSt+SS行+SS列+SSe • dfT=dft+df行+df列+dfe
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一、拉丁方格 二、标准拉丁方格 三、n阶拉丁方格的个数 四、正交拉丁方格 五、拉丁方格在安排试验中的应用 六、几点说明 七、拉丁方试验的直观分析 八、拉丁方试验的方差分析
一、拉丁方格
1.定义：用 r 个拉丁字母排成 r 行 r 列的方阵， 使每行每列中每个字母都只能出现一次， 这样的方阵叫r阶拉丁方或r×r拉丁方。 2.N阶拉丁方格 • 2阶或2 ×2 拉丁方 A B b a B C a b （I） （2）
四、正交拉丁方格
• 定义:凡满足3的两个拉丁方格是相互正交的 • 定理：在nxn方格中，当n(>2)为素数或素 数的幂时就有n-1个正交拉丁方格 • 特例：n=2时，无 n=3时，有n-1=2个 N=4时，有n-1=3个：22 N=5时，有n-1=4个 N=6时，没有：不为素数或素数的幂 N=7时，有n-1=6个 N=8时，有n-1=7个：23
A1 A2 A3 A4
六、几点说明
• 由前知，4X4正交拉丁方只有3个，对具4水 平的因素，用正交拉丁格安排试验最多只 能安排2+3=5个因素。 • 用正交拉丁格安排试验的前提：各因素间 无交互作用。 • 优点：使用简单，搭配均衡。
思考
• 三水平能安排几个因素的试验？ • A，B两因素的全面试验能用4X4的两个正 交方格组成吗？
三、n阶拉丁方格的个数
4.计算总数S S=k· n! · (n-1)! K为标准拉丁方格个数
三、实例： n=2时，k=1, s=1 ·2! ·1!=2 n=3时，k=1, s=1 ·3! ·2!=12 n=4时，k=4, s=4 ·4! ·3!=576
三、3阶拉丁方格的个数:12
1 1 A 2 B 3 C 1 1 A 3 C 2 B 2 3 231 B C 1 BCA C A 2 CAB … A B 3 ABC (i) (2) … 2 3 2 3 1 B C 1 BCA A B 3 ABC C A 2 CAB (7) (8) …
对虾饲料配方问题的拉丁方试验结果
机 器 1 2 3 4 5 T..k T..k2 操 2 B=10 C=12 D=15 E=14 A=13 64 4096 作 者 （k列） 4 5 Ti.. D=12 E=12 57 E=13 A=17 67 A=13 B=11 63 B=11 C=11 62 C=15 D=15 64 64 66 T=313 4096 4356 19641
八、拉丁方试验的方差分析
在研究对虾的配合饲料试验时，需要比较5种配 方的效果，现有5台饲料机和5个操作人员，这些机器 的性能和操作人员的技术有所差异，在试验中必须消 除由这两个外来变源造成的影响。对于这个问题可以 按下面的方法进行试验。用每台机器做所有的5种配 方，5个操作人员每人也做所有的5种配方，用这个设 5 5 计进行试验，得到的结果（增重）如表。表中拉丁字 母A、B、C、D、E表示5种配方。拉丁方设计可以在 不增加试验次数的条件下，同时克服两个外来的变源 的影响，但它要求试验总次数为该因素所设水平数的 平方，且要求该因素与这两个方向上的划区作为因素 来看，彼此间没有交互作用。
(6)
(12)
四、正交拉丁方格
• 组合方格（I）和（7）：先编号再组合 A1B1C1 A7B7C7 A1A7 B1B7 C1C7 B1C1A1 C7A7 B7 B1C7 C1 A7 A1B7 C1A1B1 B7C7A7 C1B7 A1C7 B1 A7 • 合成方格具有以下性质 1. A1，B1，C1在各行各列中各出现一次 2. A7，B7，C7在各行各列中各出现一次 3. A1，B1，C1和A7，B7，C7各组合一次（如对A7 ： A1A7 ，B1 A7和C1 A7 各出现一次）
用拉丁方安排试验 B1 A1B1C1 A2B1C2 A3B1C3 B2 18.9 23.4 21.9 64.2 21.4 B2 A1B2C2 A2B2C3 A3B2C1 B3 A1B3C3 A2B3C1 A3B3C2 KCk 58.9 61.8 66.1 k Ck 19.6 20.6 22.0 RC=2.4 RC> RB
五、拉丁方格在安排试验中的应用
再安排C：在4X4中取一个正交拉丁方格，如取第I个。 拉丁方格中的1234分别表示因素C的4个水平C1，C2， C3，C4，按相应位置插到全面试验的相应位置如下表 A1 A2 A3 A4 B1 B2 A1B1C1 A1B2C2 A2B1C2 A2B2C1 A3B1C3 A3B2C4 A4B1C4 A4B2C3 B3 A1B3C3 A2B3C4 A3B3C1 A4B3C2 B4 A1B4C4 A2B4C3 A3B4C2 A4B4C1
I
4×4标准拉丁方有4个
ABCD BADC CDBA DCAB ABCD BADC CDAB DCBA ABCD BCDA CDAB DABC ABCD BDAC CABD DCBA
（I）
（II）
（III） （IV）
三、n阶拉丁方格的个数
一、方法：每个拉丁方格可用标准拉丁方格 对行号或列号随机化排列方法得到其它符 合要求的拉丁方格 二、操作： 1.选中一个标准拉丁方格，编上行号或列号 2.固定行号，列号用不同排列得到。有n!种 3.固定第二步得到的n!个方格的列号及第一 行行号其它行用不同排列生成(n-1)!方格
A1 A2 A3 B1 16.8 18.8 26.2 61.8 20.6
A1 A2 A3 KBj kBj
B3 KAi kAi 16.5 52.2 17.4 20.2 62.4 20.8 24.1 72.2 24.0 60.8 RA=6.6 20.3 RB=1.1 RA >
七、拉丁方试验的直观分析
1.由RB<RC<RA由知对折断力影响从主到次的 因素排序为A，C，B 2.由kA3> kA2>kA1由知A的水平3好；同理…. 最佳工艺条件为A3B2C3 3.当最佳点在试验范围的边界时，要扩大试 验范围。 如A3，C3工还可取水分14，碾压 重取340kg. 4. A3B2C3在试验中没有安排，但拉丁方却具 备找出的此类结果的能力。 5.实际上这是一个极差分析法。
3X3，4X4正交拉丁方格系
3X3 I 123 231 312 II 123 312 231 I 1234 2143 3412 4321 4X4 II 1234 3412 4321 2143 III 1234 4321 2143 3412
五、拉丁方格在安排试验中的应用
• 消除与试验目的无关因素的影响 • 例1：考察ABC三种不同水稻品种对亩产量的影响， 需安排“单因素三水平”试验 A C A C B B B A C (a) (b) A B C B C A C A B (c)
SST = SS行 + SS列 + SS处理 + SSe
自由度是 其中
2Байду номын сангаас
fT = f 行 + f列 + f处理 + f e
f列 = p − 1
fT = p − 1 f e = ( p − 2)( p − 1)
在H0:b1=…=bp下 F=S处2/Se2 服从自由度为((p-1),(p-2)(p-1))的分布。
A B C B C A C A B A B C D B C D A C D A B
3 阶或3 ×3 拉丁方
D A B C
4 ×4拉丁方
二、标准拉丁方格
1。定义：方格的第一行和第一列按拉丁字母 顺序排列。 2. N阶标准拉丁方格的个数 2 ×2 标准拉丁方只有一个 A B B A I 3 ×3 标准拉丁方只有一个 A B C B C A C A B
1 A=12 B=10 C=11 D=13 E=11 57 3249
3 C=11 D=15 E=13 A=13 B=10 62 3844
T.j. 68 52 60 70 63
拉丁方设计的统计模型是 解：1.拉丁方设计的统计模型是 拉丁方设计的统计模型 Xijk=u+ai+bj+ck+eijk i,j,k=1,2,…,p, Xijk是第 行、第k列、第j个处理的观察值， 是第i行 个处理的观察值， 列 个处理的观察值 u是试验的总均值，ai是第 行效应，bj是第 个 是试验的总均值， 是第i行效应 行效应， 是第j个 是试验的总均值 处理的效应， 是第k列效应 列效应， 处理的效应，ck是第 列效应，eijk~N(0,d2). 2.方差分析是把总离差平方和分成行、列、处理 方差分析是把总离差平方和分成行、 方差分析是把总离差平方和分成行 和误差四部分，行和列分别代表了两个外来变 和误差四部分， 源。
答案
• 4个 1。A和B的全面试验 2。C与D的3X3正交方格的组合 3。1和2的组合 • 可以。只要各因素的4个水平与另一个因素 的4个水平各相遇一次，搭配均匀即可。
七、拉丁方试验的直观分析
例：烟灰砖折断力试验 试验目的：寻找最佳工艺条件,折断力是指标 因素水平：生产经验知应选如下： 因素 水平 1 2 3 A (％) 成型水分 8 10 12 B (分) 碾压时间 7 10 13 C (公斤) 一次碾压料重 340 370 400
以下是
饲料配方试验的方差分析
问：A1B1C4没出现，那这个试验安排会最优吗？
五、拉丁方格在安排试验中的应用
• 例3：生产某种染料用四种原料：A-硫磺，B-烧碱，C二硝基，D-硫化碱，每种原料均取四个水平，要找最好 配方，试验又该怎样安排？ • CD用II，III正交拉丁方格 B1 A1B1C1D1 A2B1C3D4 A3B1C4D2 A4B1C2D3 B2 A1B2C2D2 A2B2C4D3 A3B2C3D1 A4B2C1D4 B3 A1B3C3D3 A2B3C1D2 A3B3C2D4 A4B3C4D1 B4 A1B4C4D4 A2B4C2D1 A3B4C1D3 A4B4C3D2