2017北京四中高二(下)期中数学(理)含答案
北京市第四中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题(有答案)[精品]
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北京四中2016~2017学年度第一学期期中测试高三数学 期中试卷（理）（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.） 1．已知全集{}1,2,3,4U =,集合{1,2}A =,则U A =ðA ．{4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{1,3,4}2．设命题2:,2n p n n ∃∈>N ，则p ⌝为A ．2,2n n n ∀∈>NB ．2,2n n n ∃∈N ≤C ．2,2n n n ∀∈N ≤D ．2,2n n n ∃∈<N 3．为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点 A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．32D ．25．等比数列{}n a 满足11353,21,a a a a =++=则357a a a ++=A ．21B ．42C ．63D ．846．已知x ∈R ，则“απ=”是“sin()sin x x α+=-”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在区间[1,0]-上单调递增，设)3(f a =， )2(f b =，)2(f c =，则c b a ,,大小关系是A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >b >a8.已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+=⎨+>⎩≤，若()f x ax ≥，则实数a 的取值范围是A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.） 9．设i 是虚数单位，则1i1i-=+ .10．执行如图所示的框图，输出值x = .11．若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大．12．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式()0x f x >的解集为______.13．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米200元，侧面造价是每平方米100元，则该容器的最低总造价是________元．14．已知函数()y f x =，任取t ∈R ，定义集合{|t A y =()y f x =，点(,())P t f t ，(,())Q x f x 满足||PQ .设,M m t t 分别表示集合A t 中元素的最大值和最小值，记()h t M m t t =-.则 (1) 若函数()f x x =，则(1)h =______；（2）若函数π()sin 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()h t 的最小正周期为______.三、解答题（共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 15．（本题满分13分）集合2{|320}A x x x =-+<，11{|28}2x B x -=<<，{|(2)()0}C x x x m =+-<， 其中m ∈R . （Ⅰ）求A B ；（Ⅱ）若()A B C ⊆，求实数m 的取值范围.16．（本题满分13分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ．17．（本题满分13分）已知函数()4sin cos 6f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.18．（本题满分13分）已知函数()1()ln(1)01xf x ax x x-=+++≥，其中0a >. （Ⅰ）若1a =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.19．（本题满分14分）设函数()ln e x b f x a x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程为e(1)2y x =-+. （Ⅰ）求,a b ； （Ⅱ）设()2()e 0ex g x x x -=->，求()g x 的最大值； （Ⅲ）证明函数()f x 的图象与直线1y =没有公共点.20．（本题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,().1,M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合,M N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,16}B =. （Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；（Ⅱ）用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值；（Ⅲ）有多少个集合对(),P Q ，满足,P Q A B ⊆，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆？参考答案一．选择题（每小题5分，共40分）()4,+∞215. 解：（Ⅰ）()2{|320}1,2A x x x =-+<=；()1{|28}0,42x B x -=<<=； 所以()1,2A B =； （Ⅱ）()0,4A B =，若2m >-，则()2,C m =-，若()0,4A B C =⊆，则4m ≥； 若2m =-，则C =∅，不满足()0,4A B C =⊆，舍； 若2m <-，则(),2C m =-，不满足()0,4A B C =⊆，舍； 综上[)4,m ∈+∞.16. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --===. 所以1(1)3,n a a n d n n *=+-=∈N ． 设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得344112012843b a q b a --===--，解得2q =.所以()11112n n n n b a b a q ---=-=. 从而11232,n n n n b a n n --*=+=+∈N ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知132,n n b n n -*=+∈N ．123n n S b b b b =++++01211(32)(62)(92)(32)2n n n --=++++++++0121(3693)(2222)n n -=+++++++++(33)12212n n n +-=+-2332122n n n =++- 所以，数列{}n b 的前n 项和为2332122n n n ++-.17. 解：()4sin cos 6f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭14sin sin 2x x x ⎫=-⎪⎪⎝⎭2cos 2sin x x x =-2cos21x x =+-12cos2)12x x =+-π2sin(2)16x =+-. （Ⅰ）令3222,262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，解得263k x k ππππ+≤≤+， 所以函数()f x 的单调减区间为2[+,],63k k k ππππ+∈Z . （Ⅱ）因为02x π≤≤，所以72666x πππ≤+≤，所以1sin(2)126x π-≤+≤ ， 于是 12sin(2)26x π-≤+≤ ，所以2()1f x -≤≤.当且仅当2x π=时 ()f x 取最小值min ()()22f x f π==-; 当且仅当262x ππ+=，即6x π=时最大值max ()()16f x f π==.18. 解定义域为[)0,+∞.22222()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-'=-=++++.（Ⅰ）若1a =，则221()(1)(1)x f x x x -'=++，令()0f x '=，得1x =（舍1-）.所以1a =(0,1).（Ⅱ）222()(1)(1)ax a fx ax x +-'=++，∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +>①当2a ≥时，在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 在[)1,+∞单调递增，所以()(0)1;f x f =的最小值为②当02a <<时，由'()0'()0f x x f x x >><<解得由解得 ∴()f x +∞的单调减区间为（0）.所以()f x 在x =处取得最小值，注意到(0)1,f f <=，所以不满足 综上可知，若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞ 19. 解：()f x ∞（I ）函数的定义域为(0,+),()2()ln ln ln .x x x b b a bb f x a x e a x e a x e x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)2,(1).f f e '==由题意可得 21,.a b e==故 （Ⅱ）2(),'()(1)x x g x xe g x e x e--=-=-则.(0,1)()0;(1,)()0.()1()(0,)(1).x g x x g x g x g x g e''∈>∈+∞<∞∞=-所以当时当时，故在（0,1）单调递增，在(1,+)单调递减，从而在的最大值为 （Ⅲ）12()ln ,x x f x e x e x -=+由（I ）知又0(1)ln12=21,f e e =+>于是函数()f x 的图象与直线1y =没有公共点等价于()1f x >。
2017-2018年北京四中高二(下)期中数学试卷(理科)和解析PDF
18． （5 分）对于函数 f（x）＝（2x﹣x2）ex （1） （2） 是 f（x）的单调递减区间； 是 f（x）的极小值， 是 f（x）的极大值；
（3）f（x）有最大值，没有最小值； （4）f（x）没有最大值，也没有最小值． 其中判断正确的是 ．
三、解答题：本大题共 4 小题，每小题 15 分，共 60 分. 19． （15 分）已知函数 f（x）＝ax3+x2（a∈R）在 （1）确定 a 的值； （2）若 g（x）＝f（x）ex，讨论 g（x）的单调性． 20． （15 分）设 f（x）＝a（x﹣5）2+6ln x，其中 a∈R，曲线 y＝f（x）在点（1， f（1） ）处的切线与 y 轴相交于点（0，6） ． （1）确定 a 的值； （2）求函数 f（x）的单调区间与极值． 21． （15 分）已知函数 f（x）＝ex+ ． 处取得极值．
11． （5 分）设函数 f′（x）是奇函数 f（x） （x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当 x＞0 时， xf′ （x） ﹣f （x） ＜0， 则使得 f （x） ＞0 成立的 x 的取值范围是 （ A． （﹣∞，﹣1）∪（0，1） C． （﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B． （﹣1，0）∪（1，+∞） D． （0，1）∪（1，+∞） ）
14． （5 分）如图，函数 y＝f（x）的图象在点 P 处的切线方程是 y＝﹣x+8，则 f （2018）+f'（2018）＝ ．
15． （5 分）已知函数 f（x）＝ex﹣2x+a 有零点，则 a 的取值范围是 16． （5 分） 已知函数 （ f x） ＝x3+ax2+bx+a2 在 x＝l 处有极值 10， 则 （a， b） ＝
北京四中高二第二学期数学期中模拟考试(理科卷)
北京四中高二第二学期数学期中模拟考试（理科卷）2018年度（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将答案写在答题纸上，考试结束后只交答题纸.第I 卷一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．物体运动方程为4134S t =-，则2t =时瞬时速度为（ ）A ．2B ．4C ． 6D ．82．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( ) A ．假设三个内角都不大于60度 B ．假设三个内角都大于60度 C ．假设三个内角至多有一个大于60度 D ．假设三个内角至多有两个大于60度 4．曲线13sin 3+-=x x y 在点(0,1)P 处的切线的倾斜角为 ( )A ．30B ．60C ．120D ．1505．如图，由曲线12-=x y ,直线0=x ,2=x 和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．32C ．34 D ．26．平面几何中，有边长为a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（ ）A ．3a B C D7．函数x xe x f -=)(的( )A ．极大值为1e - B ．极小值为1e - C ．极大值为e - D ．极小值为e -8．用数学归纳法证明2321242n n n +=++++，当n=k+1时左端应在n=k 的基础上添加的式子为（ ）A.222)1()2()1(++++++k k k B.2(1)k + C.42(1)(1)2k k +++ D. 21k +9．若1,,a xdx b c ===⎰⎰⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a << 10．观察按下列顺序排列的等式：9011⨯+=，91211⨯+=，92321⨯+=，93431⨯+=，…，猜想第*()n n ∈N 个等式应为（ ） A ．9(1)109n n n ++=+ B ．9(1)109n n n -+=- C ．9(1)101n n n +-=-D ．9(1)(1)1010n n n -+-=-11.下列不等式对任意的(0,)x ∈+∞恒成立的是（ ）A ．xe ex > B ． 20x x -> C ． sin 1x x >-+ D ． ln(1)x x >+12.已知可导函数()f x )(R x ∈满足)()('x f x f >，则当0a >时，()f a 和e (0)a f 大小关系为（ ）A. ()<e (0)a f a fB. ()=e (0)a f a fC. ()>e (0)a f a fD. ()e (0)a f a f ≤第II 卷二．填空题：(本题共4小题，每小题5分，满分20分)13．若3()log (1)(1)f x x x =->，则(2)f '=．14．=-++-⎰dx x x x)12(1123．15．仔细观察下面图形：图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是 ．16. 如果a b b a b b a a +>+，则实数b a ,应满足的条件是________ ．三．解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）若0,0a b >>，求证：11()()4a b a b++≥．18.（12分）已知函数321()22f x x x x c =--+，若对于[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围．19.（12分）一质点从时刻)(0s t =开始以速度)/(342s m t t v +-=沿直线运动，求该质点：(1)在)(4s t =时的位置；(2)在)](4,0[s t ∈时间段内运动的路程.20.（12分）如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M N ，分别是AB PC ，的中点．求证：（1）MN ∥平面PAD ；（2）MN CD ⊥．21．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知.,2,1),1(,2121 =--==n n n a n S a n n （1）写出n S 与1-n S 的递推关系式)2(≥n ，并求n S 关于n 的表达式； （2）设))((,)('1R p p f b x nS x f n n n n n ∈==+，求数列{}n b 的前n 项和.n T22.（12分）设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1(),()()().f x g x f x f x x''==+ （1）求()g x 的单调区间和最小值； （2）讨论()g x 与1()g x的大小关系． （3）是否存在00>x ，使得xx g x g 1)()(0<-对任意0>x 成立？若存在，求出0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.19.（本题12分）22.（本题12分）解 （Ⅰ）由题设易知()ln f x x =，1()ln g x x x=+， ∴21'()x g x x -=，令'()0g x =得1x =， 当(0,1)x ∈时，'()0g x <，故（0,1）是()g x 的单调减区间， 当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，故(1,)+∞是()g x 的单调增区间，因此，1x =是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(1)1g =. （Ⅱ）1()ln g x x x=-+，设11()()()2ln h x g x g x x x x =-=-+，则22(1)'()x h x x-=-， 当1x =时，(1)0h =，即1()()g x g x=， 当(0,1)(1,)x ∈⋃+∞时'()0h x <，'(1)0h =， 因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减，当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()()g x g x>， 当1x >时，()(1)0h x h <=，即1()()g x g x<. （Ⅲ）满足条件的0x 不存在. 证明如下：证法一 假设存在00x > ，使01|()()|g x g x x-< 对任意0x > 成立， 即对任意0x >，有 02()Inx g x Inx x<<+ ，（*） 但对上述0x ，取0()1g x x e=时，有 10()Inx g x =，这与(*)左边不等式矛盾，因此，不存在00x > ，使01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立。
2017北京师大附中高二(下)期中数学(理)
2017北京师大附中高二（下）期中数 学（理）一、 选择题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答题纸上．1．复数2z i =-+所对应的点在复平面的（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是（ ）．A ．()π1,2B ．()π1,2-C ．()0,1D ．()1,03．定积分π2(sin cos )π2x x dx +-⎰的值为（ ）． A ．0 B ．π4 C ．2 D ．44．设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a =（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．35．若函数()f x 在R 上可导，()2()ln f x xf e x '=+，则()f e '=（ ）．A ．1B ．1-C ．1e -D ．e -6．若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ）．A ．sin y x =B ．ln y x =C ．x y e =D ．3y x =7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）．A ．O y x B ．x yOC ．x y O D ．x yO8．设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，且22()()f x xf x x '+>．下面的不等式在R 上恒成立的是（ ）．A ．()0f x >B ．()0f x <C ．()f x x >D ．()f x x <二、填空题：本大题共6道小题，每小题5分，共30分，请将答案填写在答题纸上．9．若43z i =+，则z z =__________． 10．参数方程34cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），化为普通方程为__________． 11．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为__________．12．函数()ln f x x ax =+(0)a <的单调增区间为__________．13．已知函数()(0)b f x ax b x=+>的图象在点(1,(1))P f 处的切线与直线210x y +-=垂直，且函数()f x 在区间)1,2⎡+∞⎢⎣上是单调递增，则b 的最大值等于__________． 14．对于函数()f x ，若存在区间[],M a b =，使得{}(),y y f x x M M =∈=，则称函数()f x 具有性质P ，给出下列3个函数：①()sin f x x =；②3()3f x x x =-；③()lg 3f x x =+；其中具有性质P 的函数是__________（填入所有满足条件函数的序号）．三、解答题：本大题共6道题，共80分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．计算题（1）1234i i -+（2）设复数z 满足(4)32i z i -=+（i 是虚数单位），求z ．16．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为()π22cos 4ρθ=+，直线l 的参数方程为122x t y t =⎧⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点．（1）求圆心的极坐标；（2）求PAB △面积的最大值．17．已知函数()11()ln f x m x x m x =++-，（其中常数0m >） （1）当2m =时，求()f x 的极大值；（2）试讨论()f x 在区间(0,1)上的单调性．18．若函数32()(,)f x ax x bx a b R =-+∈．当3x =时，()f x 有极小值9-．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()(68)4g x f x m x '=+-+，()h x mx =，当0m >时，对于任意x ，()g x 和()h x 的值至少有一个是正数，求实数m 的取值范围．19．已知函数()1x f x e ex =--，其中e 为自然对数的底数．函数()(2)g x e x =-．（1）求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；（2）若函数(),,()(),f x x m F x g x x m ⎧=⎨>⎩≤的值域为R ，求实数m 的取值范围．20．已知函数()x f x e ax =+，()a R ∈，其图象与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，且12x x <．（1）证明：a e <-；（2）证明：1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭；（其中()f x '为()f x 的导函数）． （3）设点C 在函数()f x 的图象上，且ABC △t =，求(1)(t a -+的值．。
北京市第四中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题含答案
北京四中2016~2017学年度第一学期期中测试高三数学 期中试卷（理）（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.） 1．已知全集{}1,2,3,4U =,集合{1,2}A =,则U A =ðA ．{4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{1,3,4}2．设命题2:,2n p n n ∃∈>N ，则p ⌝为A ．2,2n n n ∀∈>NB ．2,2n n n ∃∈N ≤C ．2,2n n n ∀∈N ≤D ．2,2n n n ∃∈<N3．为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点 A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．32D ．25．等比数列{}n a 满足11353,21,a a a a =++=则357a a a ++=A ．21B ．42C ．63D ．846．已知x ∈R ，则“απ=”是“sin()sin x x α+=-”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在区间[1,0]-上单调递增，设)3(f a =， )2(f b =，)2(f c =，则c b a ,,大小关系是A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >b >a8.已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+=⎨+>⎩≤，若()f x ax ≥，则实数a 的取值范围是A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.） 9．设i 是虚数单位，则1i1i-=+ . 10．执行如图所示的框图，输出值x = . 11．若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大． 12．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式()0x f x >的解集为______. 13．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米200元，侧面造价是每平方米100元，则该容器的最低总造价是________元．14．已知函数()y f x =，任取t ∈R ，定义集合:{|t A y =()y f x =，点(,())P t f t ，(,())Q x f x 满足||PQ .设,M m t t 分别表示集合A t 中元素的最大值和最小值，记()h t M m t t =-.则 (1) 若函数()f x x =，则(1)h =______；（2）若函数π()sin 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()h t 的最小正周期为______.三、解答题（共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 15．（本题满分13分）集合2{|320}A x x x =-+<，11{|28}2x B x -=<<，{|(2)()0}C x x x m =+-<， 其中m ∈R . （Ⅰ）求A B ；（Ⅱ）若()A B C ⊆ ，求实数m 的取值范围.16．（本题满分13分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ．17．（本题满分13分）已知函数()4sin cos 6f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的单调减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.18．（本题满分13分）已知函数()1()ln(1)01xf x ax x x-=+++≥，其中0a >. （Ⅰ）若1a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.19．（本题满分14分）设函数()ln e x b f x a x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程为e(1)2y x =-+.（Ⅰ）求,a b ； （Ⅱ）设()2()e 0ex g x x x -=->，求()g x 的最大值； （Ⅲ）证明函数()f x 的图象与直线1y =没有公共点. 20．（本题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,().1,M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合,M N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,16}B =. （Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；（Ⅱ）用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值；（Ⅲ）有多少个集合对(),P Q ，满足,P Q A B ⊆ ，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆？参考答案一．选择题（每小题5分，共40分）15. 解：（Ⅰ）()2{|320}1,2A x x x =-+<=；()1{|28}0,42x B x -=<<=； 所以()1,2A B = ； （Ⅱ）()0,4A B = ，若2m >-，则()2,C m =-，若()0,4A B C =⊆ ，则4m ≥； 若2m =-，则C =∅，不满足()0,4A B C =⊆ ，舍； 若2m <-，则(),2C m =-，不满足()0,4A B C =⊆ ，舍； 综上[)4,m ∈+∞.16. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --===. 所以1(1)3,n a a n d n n *=+-=∈N ． 设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得344112012843b a q b a --===--，解得2q =. 所以()11112n n n n b a b a q ---=-=. 从而11232,n n n n b a n n --*=+=+∈N ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知132,n n b n n -*=+∈N ．123n n S b b b b =++++01211(32)(62)(92)(32)2n n n --=++++++++ 0121(3693)(2222)n n -=+++++++++(33)12212n n n +-=+-2332122n n n =++- 所以，数列{}n b 的前n 项和为2332122n n n ++-.17. 解：()4sin cos 6f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭14sin sin 2x x x ⎫=-⎪⎪⎝⎭2cos 2sin x x x =-2cos21x x =+-12cos 2)12x x =+-π2sin(2)16x =+-. （Ⅰ）令3222,262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，解得263k x k ππππ+≤≤+，所以函数()f x 的单调减区间为2[+,],63k k k ππππ+∈Z .（Ⅱ）因为02x π≤≤，所以72666x πππ≤+≤，所以1sin(2)126x π-≤+≤ ，于是 12sin(2)26x π-≤+≤ ，所以2()1f x -≤≤.当且仅当2x π=时 ()f x 取最小值min ()()22f x f π==-;当且仅当262x ππ+=，即6x π=时最大值max ()()16f x f π==.18. 解:定义域为[)0,+∞.22222()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-'=-=++++. （Ⅰ）若1a =，则221()(1)(1)x f x x x -'=++，令()0f x '=，得1x =（舍1-）.所以1a =时，()f x 的单调增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1).（Ⅱ）222()(1)(1)ax a f x ax x +-'=++，∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +> ①当2a ≥时，在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 在[)1,+∞单调递增，所以()(0)1;f x f =的最小值为②当02a <<时，由'()0'()0f x x f x x >><<解得由解得∴()f x +∞的单调减区间为（0）.所以()f x在x =处取得最小值，注意到(0)1,f f <=，所以不满足 综上可知，若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞19. 解：()f x ∞（I ）函数的定义域为(0,+),()2()ln ln ln .x x x b b a bb f x a x e a x e a x e x x x xx '⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)2,(1).f f e '==由题意可得 21,.a b e==故 （Ⅱ）2(),'()(1)x x g x xe g x e x e--=-=-则.(0,1)()0;(1,)()0.()1()(0,)(1).x g x x g x g x g x g e ''∈>∈+∞<∞∞=-所以当时当时，故在（0,1）单调递增，在(1,+)单调递减，从而在的最大值为 （Ⅲ）12()ln ,x x f x e x e x-=+由（I ）知又0(1)ln12=21,f e e =+>于是函数()f x 的图象与直线1y =没有公共点等价于()1f x >。
北京市第四中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题
2016-2017学年北京四中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．复数21i=-（ ）AB +C ．1i -D ．1i +【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【解答】解：22(1i)1i 1i (1i)(1i)+==+--+． 故选：D ．2．下列求导正确的是（ ）．A ．2(32)3x x -'=B ．21(log )ln2x x '=⋅ C ．(cos )sin x x '=D ．1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭【考点】63：导数的运算．【分析】先根据基本导数公式和导数的运算法则求导，再判断 【解答】解：2(32)6x x -'=，21(log )ln2x x '=⋅，(cos )sin x x '=-，211ln ln x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故选：B ．3．曲线e x y x =⋅在1x =处切线的斜率等于（ ）．A ．2eB ．eC ．2D ．1【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出函数的导数，然后求解切线的斜率即可． 【解答】解：曲线e x y x =⋅，可得e e x x y x '=+，曲线e x y x =⋅在1x =处切线的斜率：e e 2e +=． 故选：A ．4．设0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a b >”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【考点】2L ：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：0a >，0b >，则“a b >”⇔“ln ln a b >”．因此0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a b >”的充要条件． 故选：D ．5．函数：()3ln f x x x =+的单调递增区间是（ ）．A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．(e,)+∞C ．1,e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞D ．1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出()f x 的导函数，令导函数大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围即为函数的单调递增区间．【解答】解：由函数()3ln f x x x =+得：()ln 1f x x =+，令()ln 10f x x '=+>即1ln 1ln e x >-=，根据e 1>得到此对数函数为增函数，所以得到1ex >，即为函数的单调递增区间． 故选C ．6．在复平面内，复数2i1i -+（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）． A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数2i1i-+的共轭复数对应的点的坐标得答案． 【解答】解：由2i (2i)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222----===-++-， 得13i 22z =+， ∴在复平面内，复数2i 1i -+的共轭复数对应的点的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限．7．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ）．A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【考点】2J ：命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 【解答】解：命题的否定是：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故选：C ．8．已知23()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ，则(0)f '=（ ）．A ．nB ．1n -C ．(1)2n n -D ．1(1)2n n +【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，对函数()f x 求导，计算可得()f x '，将0x =代入计算可得答案． 【解答】解：根据题意，23()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ，则其导数231()12(1)3(1)4(1)(1)n f x x x x n x -'=+++++++++L ， 则(1)(0)12342n n f n +'=+++++=L ； 故选：D ．9．已知32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为（ ）．A ．[]3,6-B ．(3,6)-C ．]([,36,)-∞-+∞UD ．(,3)(6,)-∞-+∞U【考点】6C ：函数在某点取得极值的条件．【分析】先求出导数()f x '，由()f x 有极大值、极小值可知()0f x '=有两个不等实根． 【解答】解：函数32()(6)1f x x ax a x =++++，所以2()32(6)f x x ax a '=+++，因为函数有极大值和极小值，所以方程()0f x '=有两个不相等的实数根， 即232(6)0x ax a +++=有两个不相等的实数根，∴0∆>，∴2(2)43(6)0a a +-⨯⨯>，解得：3a <-或6a >．10．方程2sin cos x x x x =+的实数解个数是（ ）．A ．3B ．0C ．2D ．1【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】令2()sin cos f x x x x x =--，判断()f x 的单调性，计算极值，从而得出()f x 的零点个数．【解答】解：令2()sin cos f x x x x x =--，则()2sin cos sin (2cos )f x x x x x x x x '=--+=-， ∵2cos 0x ->，∴当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>， ∴()f x 在(0)-∞，上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， ∴当0x =时，()f x 取得最小值1-，又x →-∞时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞， ∴()f x 有2个零点，即发出2sin cos x x x x =+有2解． 故选C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 11．复数(2i)i +⋅的模为__________． 【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解答】解：∵(2i)i 12i +⋅=-+，∴复数(2i)i +⋅12．命题 “若0a b -=，则()()0a b a b -+=”的逆否命题为__________． 【考点】25：四种命题间的逆否关系． 【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【解答】解：根据逆否命题的定义得命题的逆否命题为：若()()0a b a b -+≠则0a b -≠， 故答案为：()()0a b a b -+≠则0a b -≠．13．曲线3()2f x x x =+-在点0P 处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点坐标为__________． 【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设切点坐标，然后对()f x 进行求导，根据曲线在0P 点处的切线平行于直线4y x=建立等式，从而求出切点的横坐标，代入到()f x 即可得到答案． 【解答】解：设0P 点的坐标为(())a f a ，，由3()2f x x x =+-，得到2()31f x x '=+，由曲线在0P 点处的切线平行于直线4y x =，得到切线方程的斜率为4， 即2()314f a a '=+=，解得1a =或1a =-， 当1a =时，(1)0f =；当1a =-时，(1)4f -=-， 则0P 点的坐标为(1,0)或(1,4)--． 故答案为：(1,0)或(1,4)--．14．函数26()1xf x x=+在区间[]0,3的最大值为__________． 【考点】7F ：基本不等式．【分析】对x 分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：0x =时，(0)0f =．3](0,x ∈时，6()31f x x x==+，当且仅当1x =时取等号．∴函数26()1xf x x =+在区间[]0,3的最大值为3． 故答案为：3．15．若命题“{}250|4x x x x -∈+>”是假命题，则x 的取值范围是__________． 【考点】2K ：命题的真假判断与应用．【分析】由题意可得对于任意x ，不等式2540x x +>-不成立，即2540x x +-≤成立．求解不等式得答案．【解答】解：命题“{}250|4x x x x -∈+>”是假命题，说明对于任意x ，不等式2540x x +>-不成立， 即2540x x +-≤成立． 解得14x ≤≤．∴x 的取值范围是14x ≤≤．故答案为：14x ≤≤．16．对于函数()y f x =，x D ∈，若对于任意1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，M ，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M ．那么函数32()1f x x x -=+，在[]1,2x ∈上的几何平均数M =__________． 【考点】34：函数的值域．【分析】根据已知中对于函数()y f x =，x D ∈，若存在常数C ，对任意1x D ∈，存在唯一的2x D ∈M ，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M ．我们易得若函数在区间D 上单调递增，则M 应该等于函数在区间D 上最大值与最小值的几何平均数，由32()1f x x x -=+，[]1,2D =，代入即可得到答案．【解答】解：根据已知中关于函数()f x 在D 上的几何平均数为M 的定义，由于()f x 的导数为2()32f x x x '=-，在[]1,2内()0f x '>， 则32()1f x x x -=+在区间[]1,2单调递增， 则11x =时，存在唯一的22x =与之对应，且1x =时，()f x 取得最小值1，2x =时，取得最大值5，故M ．三、解答题：本大题共2小题，共20分. 17．设函数2()ln f x x x x =-+． （I ）求()f x 的单调区间．（II ）求()f x 在区间1,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）求出函数的单调区间，得到函数的最大值和最小值即可． 【解答】解：（I ）因为2()ln f x x x x =-+其中0x >，所以1(1)(21)()21x x f x x x x-+'=-+=， 令()0f x '>，解得：1x >，令()0f x '<，解得：01x <<， 所以()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞．（II ）由（I ）()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在[]1,e 上单调递减，∴max ()(1)0f x f ==．18．已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程． （Ⅱ）求()f x 的单调区间．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）当1a =时，求导函数，确定切点坐标与切线的斜率，即可得到曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）求导函数可得，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间． 【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，22()1x f x x =+，222(1)(1)()(1)x x f x x +-'=-+． ∴(0)2f '=， ∵(0)0f =，∴曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=． （Ⅱ）求导函数可得，222()(1)()(1)x a ax f x x +-'=-+．当0a =时，222()(1)xf x x '=+，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减．当0a ≠，221()()2(1)x a x a f x ax ⎛⎫+- ⎪⎝⎭'=-+． ①当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x a=，()f x 与()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间是(,)a -∞-，,a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞；单调增区间是,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．②当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∞，(,)a -+∞；单调减区间是,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(,)a -+∞．综上，0a >时，()f x 在(,)a -∞-，1,a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞单调递减；在1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增．0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减；0a <时，()f x 在1,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∞，(,)a -+∞单调递增；在1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减．一、卷（II ）选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．19．若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间(1,)+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．(2],-∞D ．(,2)-∞【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．【解答】解：3211()(1)132f x x ax a x =-+-+，[]2()(1()(1)1)f x x ax a x a x '=+-=----，11a -≤时，符合题意，11a ->时，令()0f x '≥，解得：1x a -≥或1x ≤，若()f x 在区间(1,)+∞上为增函数， 则11a -≤，解得：2a ≤， 故选：C ．20．观察211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，323)(x x '=，(sin )cos x x '=，由归纳推理可得：若函数()f x 在其定义域上满足()()f x f x -=-，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=（ ）．A ．()f x -B ．()f xC ．()g xD ．()g x -【考点】F1：归纳推理．【分析】由已知中211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，323)(x x '=，(sin )cos x x '=，L 分析其规律，我们可以归纳推断出，奇函数的导数是偶函数，即可得到答案．【解答】解：由给出的例子可以归纳推理得出“奇函数的导数是偶函数”，∵若函数()f x 在其定义域上满足()()f x f x -=-， ∴()f x 为奇函数， ∵()g x 为()f x 的导函数， ∴()()g x g x -=． 故选：C ．21．若i 为虚数单位，设复数z 满足1z =，则1i z -+的最大值为（ ）．A1B．2C1D．2【考点】A8：复数求模．【分析】由题意画出图形，再由1i 1i)z z --=+-(的几何意义，即动点Z 到定点(1,1)P -的距离求解．【解答】解：1i 1i)z z --=+-(，其几何意义为动点Z 到定点(1,1)P -的距离， 又1z =，如图：则1i z -+1． 故选：C ．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 22．曲线n y x =在2x =处的导数为12，则n =__________． 【考点】63：导数的运算．【分析】求出函数线n y x =的导函数，把2x =代入导函数解析式可求n 的值． 【解答】解：由n y x =，得1n y nx -'=，又曲线n y x =在2x =处的导数为12， 所以1212n n -⋅=，3n =． 故答案为3．23．若0a >，0b >，且函数32()42f x x ax bx --=在1x =处有极值，则ab 的最大值为__________．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值．【分析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a ，b 满足的条件，利用基本不等式求出ab 的最值．【解答】解：由题意，导函数2(_1222f x x ax b -'=-，∵在1x =处有极值，(1)0f '=， ∴6a b +=， ∵0a >，0b >，∴292a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，当且仅当3a b ==时取等号，∴ab 的最大值等于9． 故答案为：9．24．已知函数1()sin 3f x x x =-，[]0,πx ∈，[]001cos (0,π)3x x =∈，那么下面命题中真命题的序号是__________． ①()f x 的最大值为0()f x ； ②()f x 的最小值为0()f x ； ③()f x 在[]00,x 上是减函数； ④()f x 在[]0,πx 上是减函数．【考点】2K ：命题的真假判断与应用；6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】可求出1()sin 3f x x x =-的导数，研究出它的单调性确定出最值，再由这些性质对四个命题进行比较验证，选出正确命题【解答】解：1()sin 3f x x x =-的导数1()cos 3f x '=-， 又[]001cos (0,π)3x x =∈， ∴函数()f x 在[]00,x 上是增函数，()f x 在[]0,πx 上是减函数，∴()f x 的最大值为0()f x ，由此知①④是正确命题，故答案为①④．三、解答题：本大题共2小题，共20分．25．已知函数322()f x x ax bx a =+++．（I ）若()f x 在1x =处有极值10，求a ，b 的值．（II ）若当1a =-时，()0f x <在[]1,2x ∈恒成立，求b 的取值范围．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6K ：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于导函数的方程组，求出a ，b 的值即可； （Ⅱ）分离参数，问题转化为321x x b x -+-<在[]1,2x ∈恒成立，令321()x x g x x-+-=，根据函数的单调性求出b 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）2()32f x x ax b '=++，由题设有(1)0f '=，(1)10f =，即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，解得：33a b =-⎧⎨=⎩或411a b =⎧⎨=-⎩， 经验证，若33a b =-⎧⎨=⎩，则22()3633(1)f x x x x +=--'=， 当1x >或1x <时，均有()0f x '>，可知此时1x =不是()f x 的极值点，故33a b =-⎧⎨=⎩舍去411a b =⎧⎨=-⎩符合题意， 故411a b =⎧⎨=-⎩． （Ⅱ）当1a =-时，32()1f x x x bx -=++，若()0f x <在[]1,2x ∈恒成立，即3210x x bx ++<-在[]1,2x ∈恒成立， 即321x x b x-+-<在[]1,2x ∈恒成立，令321()x x g x x-+-=， 则2323222(32)(1)21()x x x x x x x g x x x -+--+--++'==， 由32322111()x x x x x -++=-+-可知[]1,2x ∈时()0g x '<， 即321()x x g x x-+-=在[]1,2x ∈单调递减， max 5()(2)2g x g ==-， ∴52b <-时，()0f x <在[]1,2x ∈恒成立．26．已知函数3()3e f x x ax -=+，()1ln g x x =-，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,)(1)f 处的切线与直线:20l x y +=垂直，求实数a 的值． （Ⅱ）设函数1()()22F x x g x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，若()F x 在区间(,1)()m m m +∈Z 内存在唯一的极值点，求m 的值．（Ⅲ）用{}m a x ,m n 表示m ，n 中的较大者，记函数{}()max (),()(0)h x f x g x x =>．若函数()h x 在(0,)+∞ 上恰有2个零点，求实数a 的取值范围．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算(1)f '，求出a 的值即可；（Ⅱ）求出函数()F x 的导数，根据函数的单调性求出函数的极值点，求出对应的m 的值即可；（Ⅲ）通过讨论a 的范围求出函数()f x 的单调区间，结合函数的单调性以及函数的零点个数确定a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ） 易得，2()33f x x a '=-，所以(1)33f a '=-， 依题意，1(33)12a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得13a =； （Ⅱ）因为2111()()2(1ln )2ln 222F x x g x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+-=--+-=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 则()ln 11ln 2F x x x x x '=+-+=-+．设()ln 2t x x x =-+， 则11()1x t x x x-'=-=． 令()0t x '=，得1x =．则由()0t x '>，得01x <<，()F x '为增函数；由()0t x '<，得1x >，()F x '为减函数； 而222111220e e e F ⎛⎫'=--+=-< ⎪⎝⎭，(1)10F '=>． 则()F x '在(0,1)上有且只有一个零点1x ，且在1(0,)x 上()0F x '<，()F x 为减函数；在1(,)1x 上()0F x '>，()F x 为增函数．所以1x 为极值点，此时0m =．又(3)ln310F '=->，(4)2ln220F '=-<，则()F x '在(3,4)上有且只有一个零点2x ，且在2(3,)x 上()0F x '>，()F x 为增函数；在2(),4x 上()0F x '<，()F x 为减函数．所以2x 为极值点，此时3m =．综上0m =或3m =．（Ⅲ）（1）当(0,e)x ∈时，()0g x >，依题意，()(0)0h x g >≥，不满足条件； （2）当e x =时，(e)0g =，3()3f e e ae e -=+，①若3(e)e 3e e 0f a -=+≤，即2e 13a +≥，则e 是()h x 的一个零点； ②若3(e)e 3e e 0f a -=+>，即2e 13a +<，则e 不是()h x 的零点； （3）当(e,)x ∈+∞时，()0g x <，所以此时只需考虑函数()f x 在(e,)+∞上零点的情况．因为22()333e 3f x x a a ->-'=，所以①当2e a ≤时，()0f x '>，()f x 在(e,)+∞上单调递增．又3(e)e 3e e f a -=+，所以（i ）当2e 13a +≤时，(e)0f ≥，()f x 在(e,)+∞上无零点； （ii ）当22e 1e 3a +<≤时，(e)0f <， 又333(2e)8e 6e e 8e 6e e 0f a =+-+->≥，所以此时()f x 在(e,)+∞上恰有一个零点；②当2e a >时，令()0f x '=，得x =由()0f x '<，得e x <由()0f x '>，得x >所以()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增．因为3(e )e f a -=<+-+<，32222(2)86e 86e 2e 0f a a a a a a =+=->+-+>，所以此时()f x 在(e,)+∞上恰有一个零点； 综上，2e 13a +>．。
2017海淀区高二(下)期中(数学)理含答案
2017海淀区高二（下）期中数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．（4分）复数1﹣i的虚部为（）A．i B．1 C．D．﹣2．（4分）xdx=（）A．0 B．C．1 D．﹣3．（4分）若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i4．（4分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在 B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个5．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有三个极大值点，无极小值点B．有两个极大值点，一个极小值点C．有一个极大值点，两个极小值点D．无极大值点，只有三个极小值点6．（4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1 B．﹣ C．D．或﹣7．（4分）函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．8．（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；（2）乙同学没有加入“汉服社”；（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；（5）乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A．楹联社 B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（4分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：x 1 2 3 4f（x） 2 3 4 1f′（x） 3 4 2 1g（x） 3 1 4 2g′（x） 2 4 1 3则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是；函数f（g（x））在x=2处的导数值是．11．（4分）如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是．12．（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：（1）；（2）f′（6）f′（10）．13．（4分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么•=x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么•=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么•= ．14．（4分）函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16．（10分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n=﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（12分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18．（12分）设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．2017海淀区高二（下）期中数学（理科）参考答案一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．【解答】复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．2．【解答】xdx=x2|=，故选：B3．【解答】∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A4．【解答】假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B5．【解答】F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．6．【解答】由题意，f′（x）=，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a=，故选C．7．【解答】y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x=，∴f（x）只有1个零点x=，当x时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．8．【解答】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3），可得乙加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．【解答】复数==﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．10．【解答】f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；1211．【解答】由图象可得S=（1+sinx）dx=（x﹣cosx）|=π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+212．【解答】（1）由函数图象可知=，==2，∴．（2）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．13．【解答】由题意可知•=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．14．【解答】对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：x （﹣∞﹣﹣1 （﹣1，3） 3 （3，+∞）1）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大↘极小↗所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20．16．【解答】（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1=，a3+a2=﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2=﹣1，a3=﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，a n =﹣，①当n=1时，由a1=1=﹣，猜想成立．②假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即a k =﹣则由a k+1+a k =﹣，得a k+1=﹣，即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{a n}的通项公式为a n =﹣．17．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx ﹣，函数f′（x）=≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+=，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）．18．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（ 1分）若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，．…（2分）因为f′（1）=0，…（3分）且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；…（4分）x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；…（6分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0.；…（7分）令，则，故g（x）单调递增．…（8分）又g（1）=0，…（9分）当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）．…（11分）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立．…（12分）。
北京四中2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题
北京四中2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分，考试时间120分钟卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1. 复数i-12= A. 2+2i B. 22+22i C. 1-i D. 1+i2. 下列求导正确的是A. （3x 2-2）'=3xB. （log 2x ） '=2ln 1⋅xC. （cosx ） '=sinxD. （xln 1）'=x 3. 曲线y=x ·e x 在x=1处切线的斜率等于A. 2eB. eC. 2D. 1 4. ⎰421dx x等于 A. -21n 2 B. 21n 2 C. -ln 2 D. ln 25. 函数f （x ）=3+x lnx 的单调递增区间为A. （0，e 1）B. （e ，+∞）C. （e 1，+∞）D. （e 1，e0，31，221，e-1，+∞） B. （-1，+∞） C. （-∞，-11，2g （x ）+21x-2 三、解答题：本大题共2小题，共20分.17. （本小题满分8分）解：（I ）因为f （x ）=lnx-x 2+x 其中x>0所以f '（x ）=x 1-2x+1=xx x )12)(1(+- 所以f （x ）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）.（II ）由（I ）f （x ）在hslx3y3h 21，11，e1，21，21，21，21，21，2g （x ）+21x-2（1-lnx ）+21x-2hslx3y3h=xlnx-21x 2+x, 则F'（x ）=lnx+l-x+l=lnx-x+2. 设t （x ）=lnx-x+2，则t '（x ）=x 1-1=xx -1. 令t '（x ）=0，得x=1.则由t '（x ）>0，得0<x<1，F '（x ）为增函数；由t '（x ）<0，得x>1，F '（x ）为减函数；而F '（21e ）=-2-21e +2=-21e <0，F '（1）=1>0. 则F '（x ）在（0，1）上有且只有一个零点x 1，且在（0，x 1）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数；在（x 1，1）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数.所以x 1为极值点，此时m=0.又F '（3）=ln3-1>0，F '（4）=21n2-2<0,则F '（x ）在（3，4）上有且只有一个零点x 2，且在（3，x 2）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数；在（x 2，4）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数.所以x 2为极值点，此时m=3.综上m=0或m=3. …………………9分（III ）（1）当x ∈（0，e ）时，g （x ）>0，依题意，h （x ）≥g （x ）>0，不满足条件；（2）当x=e 时，g （e ）=0，f （e ）=e 3-3ae+e ，①若f （e ）=e 3-3ae+e≤0，即a≥312+e ，则e 是h （x ）的一个零点； ②若f （e ）=e 3-3ae+e>0，即a<312+e ，则e 不是h （x ）的零点； （3）当x ∈（e ，+∞）时，g （x ）<0，所以此时只需考虑函数f （x ）在（e,+∞）上零点的情况. 因为f '（x ）=3x 2-3a>3e 2-3a ，所以①当a≤e 2时，f '（x ）>0，f （x ）在（e ，+∞）上单调递增.又f （e ）=e 3-3ae+e ，所以（i ）当a≤312+e 时，f （e ）≥0，f （x ）在（e ，+∞）上无零点； （ii ）当312+e <a≤e 2时，f （e ）<0， 又f （2e ）=8e 3-6ae+e≥8e 3-6e 3+e>0，所以此时f （x ）在（e ，+∞）上恰有一个零点；②当a>e 2时，令f '（x ）=0，得x=±a .由f '（x）<0，得e<x<a；由f '（x）>0，得x>a；所以f（x）在（e，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增. 因为f（e）=e3-3ae+e<e3-3e3+e<0，f（2a）=8a3-6a2+e>8a2-6a2+e=2a2+e>0，所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；综上，a>312e. …………12分。
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方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
11.【答案】
【解析】
.
12.【答案】
【解析】因为由题意得：所求封闭图形的面积为
。
13.【答案】（1，0）或（-1，-4）
【解析】函数求导，
，令
A. [-1，+∞） B. （-1，+∞） C. （-∞，-1] D. （-∞,-1）
20. 观察（ ）'=- ，（x3）'=3x2，（sinx）'=cosx，由归纳推理可得：若函数 f（x）在其定义域上满足 f（-x）=-f
（x），记 g（x）为 f（x）的导函数，则 g（-x）=
A. -f（x） B. f（x） C. g（x） D. -g（x）
3. 曲线 y=x·ex 在 x=1 处切线的斜率等于 A. 2e B. e C. 2 D. 1
Байду номын сангаас4.
等于
A. -21n 2 B. 21n 2 C. -ln 2 D. ln 2 5. 函数 f（x）=3+x lnx 的单调递增区间为
A. （0， ） B. （e，+∞） C. （ ，+∞）
D. （ ，e]
+∞）上恰有 2 个零点，求实数 a 的取值范围.
3 / 12
2017 北京四中高二（下）期中数学（文）
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 1.
【答案】D
【解析】
，故选 D.
2. 【答案】B
3. 【答案】A
【解析】
时，
，故选 A.
4. 【答案】D
【解析】
故选 C
可得规律:奇函数的导函数是偶函数.由 f（-x）=-f（x）可知 是奇函数,故 为偶函数,
,故
选 C.
21.
【答案】C
【解析】|z-1+i|的几何意义是单位圆上的点与(1,1)点的距离,因为圆心到(1,1)点的距离为 ,所以|z-1+i|的最大
值为
,故选 C.
【答案】1 【解析】由题意,阴影部分的面积
为:
,故填 1.
15.【答案】
【解析】
,故填
.
16.【答案】 【解析】根据已知中关于函数 f(x)在 D 上的几何平均数为 M 的定义，
由于 f(x)的导数为
在[1,2]内 f′(x)>0，
则 f(x)=x3−x2+1 在区间[1,2]单调递增， 则 x1=1 时,存在唯一的 x2=2 与之对应， 且 x=1 时,f(x)取得最小值 1，x=2 时，取得最大值 5， 故 M= 故答案为： . 三、解答题：本大题共 2 小题，共 20 分.
6. 在复平面内，复数 （i 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
7. 函数 f（x）= 在区间[0，3]的最大值为
A. 3 B. 4 C. 2 D. 5 8. 已知 f（x）=1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n，则 f '0）=
18. 已知函数 f（x）=
，其中 a∈R.
（I）当 a=1 时，求曲线 y=f（x）在原点处的切线方程； （II）求 f（x）的极值.
卷（II） 一、选择题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
19. 若 f（x）=- x2+bln（x+2）在（-1，+∞）上是减函数，则实数 b 的取值范围是
（I）解：当 a=1 时，f（x）= ，f '（x）=-2
.…………2 分
由 f '（0）=2，得曲线 y=f（x）在原点处的切线方程是 2x-y=0.………4 分
（II）解：f '（x）=-2
. ………6 分
①当 a=0 时，f '（x）= .
所以 f（x）在（0，+∞）单调递增，（-∞，0）单调递减. ………………7 分
21. 若 i 为虚数单位，设复数 z 满足| z |=1，则|z-1+i|的最大值为
A. -1 B. 2-
C. +1 D. 2+
2 / 12
二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 22. 曲线 y=xn 在 x=2 处的导数为 12，则正整数 n=__________. 23. 设函数 y=-x2+l 的切线 l 与 x 轴，y 轴的交点分别为 A，B，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为__________. 24. 对于函数①f（x）=4x+ -5，②f（x）=|log2 x|-（ ）x，③f（x）=cos（x+2）-cosx，判断如下两个命题的真 假：
，解得
，
当
，
，
；
当
，
.
综上：P0 坐标为（1,0）或（-1，-4）.
点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点
及斜率，其求法
为：设
是曲线
上的一点，则以 的切点的切线方程为：
．若曲线
在
点
的切线平行于 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为
．
5 / 12
14. 如下图，由函数 f（x）=x2-x 的图象与 x 轴、直线 x=2 围成的阴影部分的面积为__________.
5. 【答案】C
【解析】
，令
，解得 ，故增区间为（ ，+∞），故选 C.
6. 【答案】D
考点：复数的运算及表示． 7.
【答案】A 【解析】
,令
,解得
或
(舍),当
时,
;当
时,
8. 【答案】D
【解析】
;所以当
时,函数有极大值
,即 f（x）在[0，3]的最大值为 3,故选 A.
，
，故选 D.
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9. 【答案】C 【解析】
当 a≠0，f '（x）=-2a
.
②当 a>0 时，令 f '（x）=0，得 x1=-a，x2= ,f（x）与 f '（x）的情况如下：
x
（-∞，x1）
x1
（x1,x2）
x2
f '（x）
-
0
+
0
f（x）
↘
f（x1）
↗
f（x2）
故 f（x）的单调减区间是（-∞，-a）,（ ,+∞）；单调增区间是（-a， ）.
命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数； 命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点 x1，x2，且 x1x2<1. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是_____________. 三、解答题：本大题共 2 小题，共 20 分学&科&网... 25. 已知函数 f（x）=x3+ax2+bx+a2. （I）若 f（x）在 x=1 处有极值 10，求 a，b 的值； （II）若当 a=-1 时，f（x）<0 在 x∈[1，2]恒成立，求 b 的取值范围 26. 已知函数 f（x）=x3-3ax+e，g（x）=1-lnx，其中 e 为自然对数的底数. （I）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线 l：x+2y=0 垂直，求实数 a 的值； （II）设函数 F（x）=-x[g（x）+ x-2]，若 F（x）在区间（m,m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求 m 的值； （III）用 max{m，n}表示 m，n 中的较大者，记函数 h（x）=max{f（x），g（x）}（x>0）. 若函数 h（x）在（0，
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（II）由（I）f（x）在[ ，1]单调递增，在[1，e]上单调递减，
∴f（x）max=f（1）=0，f（x）max=f（1）=a-1. 18. 【答案】（I）2x-y=0; （II）见解析. 【解析】试题分析：（1）求出在原点处的导数值，得斜率，即可求出切线方程；
（2）求出导数，讨论单调性得极值. 试题解析：
的几何平均数为 M. 那么函数 f（x）=x3-x2+1，在 x∈[1，2]上的几何平均数 M=____________.
f(x)=x2-x
三、解答题：本大题共 2 小题，共 20 分. 17. 设函数 f（x）=lnx-x2+x.
（I）求 f（x）的单调区间；
（II）求 f（x）在区间[ ，e]上的最大值.
2017 北京四中高二（下）期中 数 学（理）
卷（I） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 1. 复数 =
A. + i B. + i C. 1-i D. 1+i 2. 下列求导正确的是
A. （3x2-2）'=3x B. （log2x） '=
C. （cosx） '=sinx D. （ ）'=x
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 11. 复数（2+i）·i 的模为__________. 12. 由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形的面积为__________.
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13. 若曲线 y=x3+x-2 上的在点 P0 处的切线平行于直线 y=4x-1，则 P0 坐标为__________. 14. 如下图，由函数 f（x）=x2-x 的图象与 x 轴、直线 x=2 围成的阴影部分的面积为__________.