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2021年高二下学期周末训练数学(理)试题(12)含答案

2021年高二下学期周末训练数学（理）试题（12）含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题．．卡．相应的位置上．．．．．．.1.已知集合，则= .2.i+i2+i3+i xx= .3.命题“对所有的正数x，”的否定是 .4.命题“使x为31的约数”是命题。

（从“真”和“假”中选择一个填空）5.若A=+i，则A2= .6.“a=b”是“”的条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填空）7.复数z1，z2满足|z1|=|z2|=|z2-z1|=2，则|z1+z2|= .8.设a>1，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则a= .9.如果复数是纯虚数，那么实数= .10．若关于的方程=3+a有实数根，则实数的取值范围是 .11.在等差数列中，若已知两项a p和a q，则等差数列的通项公式a n=a p+（n-p）.类似的，在等比数列中，若已知两项a p和a q（假设pq），则等比数列的通项公式a n= .12．若是上的单调递增．．函数，则实数的取值范围为 .13.从等式2c os，2c os，2c os，中能归纳出一个一般性的结论是 .14．已知f(x)=|x+1|+|x+2|+|x+3|++|x+xx|+|x-1|+|x-2|+|x-3|++|x-xx|（R），且则a的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15.已知命题p：∀x∈[1,12]，x2－a≥0.命题q：∃x0∈R，使得x20＋(a－1)x0＋1<0.若p或q 为真，p且q为假，求实数a的取值范围．16.实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是 (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？17．证明：（1）>；（2）1,,3不可能是一个等差数列中的三项。

18．某地区的农产品第天的销售价格（元∕百斤），一农户在第天农产品的销售量（百斤）。

2022年北京四中高二数学期末考试卷及答案(一)

2022年北京四中高二数学期末考试卷及答案（一）考试时间：120分钟姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.下列叙述不正确的是（）A．已知，是空间中的两条直线，若，则直线与平行或异面B．已知是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，若，则或与只有一个公共点C．已知，是空间两个不同的平面，若，则，必相交于一条直线D．已知直线与平面相交，且垂直于平面内的无数条直线，则2.已知直线和互相平行，则（）A. B.C.或D.或3.若空间向量a，b不共线，且－a＋(3x－y)b＝xa＋3b，则xy＝A.1B.2C.4D.64.已知向量不共线，，，如果，那么（）A.同向B.反向C.同向D.反向5.已知圆，从圆上任意一点M向轴作垂线段MN，N为垂足，则线段MN的中点P的轨迹方程为（）A. B.C. D.6.某省新高考方案规定的选科要求为:学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科.现有甲、乙两名学生按上面规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同的选科方法有（）A.24种B.30种C.48种D.60种7.已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的，且其轴截面的周长为24，则该圆柱的体积为（）A．B．C．D．8.圆E：与圆F：的公切线的条数为（）A.1B.2C.3D.49.双曲线的右焦点为F，点P在椭圆C的一条渐近线上.O为坐标原点，则下列说法错误的是（）A.该双曲线离心率为B.双曲线与双曲线C的渐近线相同C.若，则的面积为D.的最小值为210.设函数，则函数的图像可能为（）A B C D二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11.若则正整数__________．12.在平行六面体中，，，，，则________.13.在的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答）14.椭圆的离心率为．15.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．16.如图，梯形ABCD中，，，，，将△ABC沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为，且平面平面BCD，则下列四个命题中正确的是______________.①；②三棱锥的体积为；③平面④平面平面17.若双曲线经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____．18.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A、B、C、D、E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有__________种.19.已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是.20.已知，，则.三、解答题（本大题共9小题，每小题10分，共90分）21.如图，设点A、B在轴上，且关于原点O对称．点P满足，且的面积为20．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）以A、B为焦点，且过点P的椭圆记为C．设是C上一点，且，求的取值范围．22.在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A；（2）若，求的取值范围.23.已知抛物线，过抛物线C的焦点F且垂直于轴的直线交抛物线C于两点，.（1）求抛物线C的方程，并求其焦点F的坐标和准线的方程；（2）过抛物线C的焦点F的直线与抛物线C交于不同的两点A、B，直线与准线交于点M.连接，过点F作的垂线与准线交于点N.求证：三点共线.24.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，，，E为棱AB的中点，F为线段的中点．（1）求证：平面（2）求直线与平面所成角的正弦值．25.已知函数.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）求函数f(x)在区间[－1,3]上的最大值和最小值.{a n}的前n项和，已知，，．26.设Sn为数列的通项公式；（Ⅰ）求，，并求数列{an}（Ⅱ）求数列的前n项和．27.已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，离心率，椭圆的短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点A，B和C，D.①求的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求面积的最大值.28.已知，，给定个整点，其中，，.（1）当时从上面的2×2个整点中任取两个不同的整点，，求的所有可能值；（2）从上面个整点中任取m个不同的整点，.（i）证明：存在互不相同的四个整点，，，，满足，，；（ⅱ）证明：存在互不相同的四个整点，，，，满足，.29.袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：（Ⅰ）第一次摸到红球的概率；（Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；（Ⅲ）第二次摸到红球的概率.0.2022年北京四中高二数学期末考试卷及答案（一）解析一、选择题1.【答案解析】D【详解】对于A，空间两直线没有公共点，由空间两直线位置关系的分类知，两直线平行或是异面直线，A正确；对于B，直线与平面有公共点，由直线与平面位置关系的分类知，直线与平面有无数个公共点(直线在平面内)或仅只一个，即B正确；对于C，两个不重合平面有公共点，由平面基本性质知，它们有且只有一条经过公共点的公共直线，即C正确；对于D，正三棱锥的侧棱垂直于底面三角形与该棱相对的边，而在底面三角形所在平面内与该边平行的直线都垂直于这条棱，正三棱锥侧棱不垂直于底面，即D不正确.故选：D2.【答案解析】C【分析】根据两直线平行的条件求解．【详解】时，两直线显然不平行，时，则，解得或．故选：C．3.【答案解析】D4.D5.【答案解析】A【分析】利用相关点法即可求解.【详解】设线段的中点，，所以，解得，又点在圆上，则，即.故选：A6.【答案解析】D【分析】以甲，乙所选相同学科是否在物理、历史两科中分为两类，每类中由排列组合公式和基本原理可求．【详解】解：分为两类，第一类物理、历史两科中是相同学科，则有种选法；第二类物理、历史两科中没相同学科，则有种选法，所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有种，故选：．7.【答案解析】D【详解】设圆柱的底面半径为，高为，∵圆柱的侧面积等于表面积的，且其轴截面的周长是24，∴，解得，∴圆柱的体积为，故选:D．8.【答案解析】B【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，由圆心距与半径间的关系可知两圆相交，从而得到两圆公切线的条数．【详解】解：化为，可知圆的圆心坐标为，半径为2；又圆的圆心坐标为，半径为1．而，即．圆与圆相交，则公切线条数为2．故选：．9.【答案解析】D【分析】A.根据双曲线方程，求出a，b，c，利用离心率公式求解判断；B.分别求出两个双曲线的渐近线方程判断； C.根据点P在渐近线上，又，利用直线PO与直线PF的方程联立，求得点P的坐标求解判断；D.由的最小值为点F到渐近线的距离求解判断.【详解】A.因为双曲线方程为，所以，则，故正确；B.双曲线与双曲线的渐近线方程都为，故正确；C.设，因为点P在渐近线上，不妨设渐近线方程为，即为直线PO的方程，又因为，所以直线PF的方程为，由，解得，即，所以，故正确；D.，其中一条渐近线为，则的最小值为点F到渐近线的距离，即，故错误；故选：D10.【答案解析】B解析：，所以为偶函数，排除A，C；，排除D，故选B．二、填空题11.【答案解析】5【分析】按组合数、排列数公式列出等式求解即可.【详解】由得，解得故答案为：512.【答案解析】【分析】在平行六面体中，利用对角线向量，利用向量的平方等于向量模的平方，结合向量数量积的运算律求得结果.【详解】由平行六面体的特征可知，所以，所以，故答案为：.13.【答案解析】15【分析】由二项式展开式通项有，可知常数项的值；【详解】二项展开式通项为，∴当时，常数项，故答案为：1514.【答案解析】15.【答案解析】2分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.详解：因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此16.【答案解析】③④【分析】利用线面垂直、面面垂直的判定定理以及性质定理可判断①③④；利用三棱锥的体积公式可判断②.【详解】解：如图所示：设中点为，连接，对①，，即，，又平面平面，平面，又平面，，若，，平面，又平面，，与已知矛盾，所以①错误；,对②，，，，，又，，，，所以②错误；对③，平面平面，平面平面，，平面，所以③正确；对④，平面，平面，平面平面，所以④正确故答案为：③④.17.【答案解析】【分析】将点的坐标代入双曲线的方程，求出实数的值，进而可得出该双曲线的渐近线方程.【详解】将点的坐标代入双曲线的方程得，，可得，所以，双曲线的方程为，因此，该双曲线的渐近线方程为.故答案为：.18.【答案解析】45【分析】先选出坐对位置的人，再对剩下四人进行错排，最后利用分布计数乘法原理求结果.【详解】先选出坐对位置的人，即从5人中选1人，有5种可能；剩下四人进行错排，设四人座位为，则四人都不坐在自己位置上有这9种可能；所以恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有种故答案为：4519.【答案解析】(1,2)20.【答案解析】三、解答题21.【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）设，根据点满足，得到直线的方程为，直线的方程为，两方程联立用c表示点P的坐标，再根据的面积为，由求得c即可.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，P，从而由求得a，进而得到椭圆的方程，然后根据求解.【详解】（Ⅰ）如图所示：设，则直线的方程为，直线的方程为．由解得所以．故的面积．所以，解得．所以点的坐标为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．所以，．设以为焦点且过点的椭圆方程为．则，又，所以椭圆的方程为．所以，即．因为，所以．所以．所以的取值范围是．22.【答案解析】（1）；（2）.【分析】（1）由余弦定理结合，可得，即，又因为，即可得解；（2）由正弦定理可得，由，再结合三角形为锐角三角形可得，即可得解.【详解】（1）由余弦定理可得，所以，又，所以，因为为锐角三角形，所以，即，又因为，所以；（2）由（1）知，由，可得，,由，且三角形为锐角三角形，所以，且，，，又，所以，所以，，所以的取值范围为.23.【答案解析】（1）抛物线的方程为，焦点坐标为(1,0)，准线方程为（2）证明见解析【分析】（1）根据抛物线通径的性质，得出，即可求出抛物线的标准方程，即可得出焦点坐标和准线方程；（2）根据题意，设直线，与抛物线方程联立，求出则，，通过直线相交分别求出和，从而求出和，通过化简求出，即可证出三点共线.【详解】解：（1），则，故抛物线的方程为：，其焦点坐标为，准线方程为：（2）设直线，联立，得，则，设，，则，法1：直线，由得，故点，直线的斜率，则直线的斜率，直线，则点直线的斜率.直线的斜率，由得，则，所以三点共线.法2：直线，由得，故点，由，得.直线的斜率，直线，得点，由，得.直线的斜率.直线的斜率，由得，由，得，则有.所以三点共线.法3：（1）∵，∴，∴，∴，，∴抛物线的标准方程为：，则焦点坐标为：，准线方程为：.（2）设直线，联立得：，，设，，∴直线，当时，，∴，∴，∴，∴直线，当时，，∴，∴，，∴，∴，∴共线.24.【答案解析】解：（1）如图：取的中点G，连接GF，GB，则，又，，则四边形为平行四边形，，又面，面，平面；（2）如果建立空间直角坐标系,则，则，设面的法向量为，则，即，令，可得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值.25.【答案解析】（1）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）最大值为18，最小值为.【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可．【详解】（1）因为，所以.令，解得，.随着x的变化，，变化情况如下表：x100极大值极小值所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，又，，，所以，函数在区间上的最大值为18，最小值为.26.【答案解析】（Ⅰ）1,2,；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）代入数据计算得到，，利用公式得到，计算得到答案（Ⅱ）直接利用错位相加法得到答案.【详解】(I).当时，,当时，,,是首项为公比为的等比数列.,（II）设则即,上式错位相减:,.27.【答案解析】（1）；（2）①；②分析：（1）由短轴长为2，得到，再由离心率结合计算可得椭圆方程；（2）①由直线，过右焦点，设出直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，计算出弦长，再由两直线的斜率乘积为，将弦长中的斜率变为可得弦，相加即可得解；②由中点坐标公式求出、的坐标，观察坐标知的中点在轴上，所以整理后利用基本不等式即可得到面积的最值；解答：解：（1）依题意可得解得，故椭圆的方程为；（2）①设的方程为，，联立消去并整理得到，于是同理可得②由①知，，，，所以，所以的中点所以当且仅当即时取等号，所以面积的最大值为28.【答案解析】（1）2,3,4；（2）（i）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.【分析】（1）取时，即可表示出整点，进而算出可能的所有取值；（2）（i）假设不存在互不相同的四个整点满足题设条件，进而得出，与已知矛盾，结合反证法，即可证明；（ⅱ）利用关系式，即可作出证明.【详解】（1）当时，4个整点分别为，所以的所有可能的值为；（2）（i）假设不存在互不相同的四个整点，满足，，，即在直线中至多有一条直线上取多余1个整点，其余每条直线上至多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为，而，与已知矛盾，故存在互不相同的四个整点，满足，，.（ⅱ）设直线有个选定的点，若，设上的这个选定的点的横坐标分别为，且满足，由，则中任意不同两项之和的不同的值恰有个，且，可知，存在互不相同的四个整点，满足，.29.【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）求出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可得所求的概率．（Ⅱ）第一次摸到红球后，还余下个红球和个白球，同（Ⅰ）可求概率．（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）利用全概率公式可求第二次摸到红球的概率．【详解】设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球，则事件：第一次摸到白球.（Ⅰ）第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种，所以.（Ⅱ）第一次摸到红球的条件下，剩下的9个球中有2个红球，7个白球，第二次从这9个球中摸一个共9种不同的结果，其中是红球的结果共2种.所以.（Ⅲ）.所以第二次摸到红球的概率.。

2023-2024学年北京四中高二(上)期中数学试题和答案

2023北京四中高二（上）期中数学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为（）A．B．C．D．﹣12．已知点A（﹣2，3，0），B（1，3，2），，则点P的坐标为（）A．（4，3，4）B．（﹣4，﹣1，﹣4）C．（﹣1，6，2）D．（﹣5，3，﹣2）3．已知直线方程kx﹣y﹣2k＝0，则可知直线恒过定点的坐标是（）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（0，2）4．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都是1，O为A1C1中点，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，，则（）A．x＝1，y＝1B．x＝1，C．，D．，y＝15．“a＝﹣3”是“直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．7．过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y＝1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝5B．C．（x﹣3）2+（y﹣8）2＝50D．（x﹣3）2+y2＝28．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为正方形ABCD中心，A1P＝λA1B1（λ∈[0，1]），直线OP与平面ABC所成角为θ，则θ取最大时λ的值为（）A．B．C．D．9．A（1，y1），B（﹣2，y2）是直线y＝﹣x上的两点，若沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A、B两点间的距离是（）A．6B．C．D．10．点M（x0，y0）到两条直线：x+3y﹣2＝0，x+3y+6＝0距离相等，y0＜x0+2，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）若向量与向量共线，则x的值为．12．（5分）直线2x﹣y﹣1＝0与2x﹣y+1＝0之间的距离是．13．（5分）以A（2，3），B（4，9）为直径的两个端点的圆的方程是．14．（5分）在空间四边形ABCD中，＝．15．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝1，AA1＝2，点D在棱AC 上滑动，点E在棱BB1上滑动，给出下列四个结论：①三棱锥C1﹣A1DE的体积不变；②A1D+DB的最小值为；③点D到直线C1E的距离的最小值为；④使得A1D⊥C1E成立的点D、E不存在．其中所有正确的结论为．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16．（13分）已知点A（1，2），B（﹣3，5），C（6，2）．（1）求△ABC的面积；（2）过点C的直线l与点A（1，2），点B（﹣3，5）距离相等，求直线l的方程．17．（13分）如图，在△ABC中，，BC＝4，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED．（1）平面A1OB⊥平面BCED；（2）若F为A1C的中点，求点F到面A1OB的距离．18．（14分）已知直线l过点P（2，3），圆C：x2+4x+y2﹣12＝0．（1）求与圆C相切的直线l的方程；（2）当直线l是圆C的一条对称轴，交圆C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于D，E两点，求|DE|．19．（15分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD，|CD|＝|DA|＝|AF|＝|FE|＝2，|AB|＝4．（1）求证：DF∥平面BCE；（2）求二面角C﹣BF﹣A的余弦值；（3）线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．20．（15分）已知圆和圆（r＞0）．（1）若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；（2）若直线l：y＝kx+1与圆C1交于P、Q两点，且，求实数k的值；（3）若r＝2，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．21．（15分）对于n维向量A＝（a1，a2，…，a n），若对任意i∈{1，2，…，n}均有a i＝0或a i＝1，则称A为n维T向量．对于两个n维T向量A，B，定义d（A，B）＝．（Ⅰ）若A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），求d（A，B）的值．（Ⅱ）现有一个5维T向量序列：A1，A2，A3，…，若A1＝（1，1，1，1，1）且满足：d（A i，A i+1）＝2，i∈N*．求证：该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A1，A2，A3，…，若且满足：d（A i，A i+1）＝m，m∈N*，i＝1，2，3，…，若存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．【答案】D【分析】利用斜率公式求解．【解答】解：因为直线l的一个方向向量为，所以直线l的斜率为．故选：D．2．【答案】A【分析】设P（x，y，z），表示出、，即可得到方程组，解得即可．【解答】解：设P（x，y，z），因为A（﹣2，3，0），B（1，3，2），所以，，因为，所以（x+2，y﹣3，z）＝2（3，0，2），所以，解得，即P（4，3，4）．故选：A．3．【答案】B【分析】依题意可得（x﹣2）k﹣y＝0，令，解得即可．【解答】解：直线kx﹣y﹣2k＝0，即（x﹣2）k﹣y＝0，令，解得，所以直线kx﹣y﹣2k＝0恒过点（2，0）．故选：B．4．【答案】C【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得．【解答】解：依题意＝＝，又，所以，．故选：C．5．【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的判定分析判断即可．【解答】解：当直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直时，a+a（a+2）＝0，得a2+3a＝0，解得a＝0或a＝﹣3，所以当a＝﹣3时，直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直，而当直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直时，a＝0或a＝﹣3，所以“a＝﹣3”是“直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直”的充分不必要条件．故选：A．6．【答案】C【分析】因为点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，那么把这两个点代入ax﹣y﹣1，它们的符号相反，乘积小于0，求出a的范围，设直线l倾斜角为θ，则a＝tanθ，再根据正切函数的图象和性质即可求出范围．【解答】解：因为点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，所以，（a+2﹣1）（a﹣1）＜0，即：（a+1）（a﹣）＜0，解得﹣1＜a＜，设直线l倾斜角为θ，∴a＝tanθ，∴﹣1＜tanθ＜，∴0＜θ＜，或＜θ＜π，故选：C．7．【答案】D【分析】由圆心和切点连线与切线垂直可得k BC＝﹣1，得到关于圆心的一个方程，根据圆的性质，可知圆心C在AB的垂直平分线x＝3上，由此可求得a，b的值，得到圆心坐标，进而可求得圆的半径即可求解．【解答】解：设圆心C（a，b），因为直线x﹣y＝1与圆C相切于点B（2，1），所以，即a+b﹣3＝0，因为AB中垂线为x＝3，则圆心C满足直线x＝3，即a＝3，∴b＝0，所以半径，所以圆C的方程为（x﹣3）2+y2＝2．故选：D．8．【答案】A【分析】在平面ABB1A1中过点P作PP1⊥AB交AB于点P1，连接P1O，即可得到∠POP1即为线OP与平面ABC所成角，且，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则，从而求出（tanθ）max，即可得解．【解答】解：在平面ABB1A1中过点P作PP1⊥AB交AB于点P1，连接P1O，由正方体的性质可知PP1⊥平面ABCD，则∠POP1即为直线OP与平面ABC所成角，则，设正方体ABCD﹣A 1B1C1D1的棱长为2，则，所以当OP1＝1时（tanθ）max＝1，此时θ取最大值，P1为AB的中点，又A1P＝λA1B1，所以当时θ取最大值．故选：A．9．【答案】C【分析】求出沿x轴将坐标平面折成60°的二面角后，点A在平面xOy上的射影C的坐标，作BD ⊥x轴，交x轴于点D（﹣2，0），然后利用空间向量表示，利用向量的模的性质进行求解，即可得到答案．【解答】解：∵A（1，y1），B（﹣2，y2）是直线y＝﹣x上的两点，∴y1＝﹣，y2＝2，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角后，点A在平面xOy上的射影为C（1，0），作BD⊥x轴，交x轴于点D（﹣2，0），∴＝++，∴＝+++2•+2•+2•＝3+9+12﹣2××2×＝18，∴||＝3．故选：C．10．【答案】B【分析】利用点到直线的距离公式得到x0+3y0+2＝0，结合y0＜x0+2求出x0，再由x0≠0及计算可得．【解答】解：依题意，所以x0+3y0+2＝0，即，又y0＜x0+2，所以，解得x0＞﹣2，显然x0≠0，所以，当﹣2＜x0＜0时，所以，当x0＞0时，所以．综上可得．故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．【答案】3．【分析】利用向量共线定理求解．【解答】解：因为向量与向量共线，所以，解得x＝3．故答案为：3．12．【答案】．【分析】由平行线间的距离公式可求得结果．【解答】解：易知直线2x﹣y﹣1＝0与2x﹣y+1＝0平行，这两条直线间的距离为．故答案为：．13．【答案】（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．【分析】利用圆的标准方程待定系数计算即可．【解答】解：易知该圆圆心为A（2，3），B（4，9）的中点C（3，6），半径，所以该圆方程为：（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．故答案为：（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．14．【答案】见试题解答内容【分析】如图：设；由向量的加、减运算知：，，代入上式即得结论．【解答】解：如图，设＝，＝，＝，则，＝，＝，＝．所以，＝＝0故答案是：015．【答案】①②③．【分析】根据锥体的体积公式判断①，将将△ABC翻折到与矩形ACC1A1共面时连接A1B交AC 于点D，此时A1D+DB取得最小值，利用勾股定理求出距离最小值，即可判断②，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到距离，再根据函数的性质计算可得③，利用，即可判断④．【解答】解：∵BB1⊥平面ABC，对于①：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，CC1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC，又CC1⋂AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，又点D在棱AC上滑动，∴，∴，∴三棱锥C1﹣A1DE的体积不变，故①正确；对于②：如图将△ABC翻折到与矩形ACC1A1共面时连接A1B交AC于点D，此时A1D+DB取得最小值，∵A1C1＝CC1＝2，BC＝1，∴A1B＝＝，∴A1D+DB的最小值为，故②正确；对于③：如图建立空间直角坐标系，设D（a，0，0），a∈[0，2]，E（0，1，c），c∈[0，2]，C1（0，0，2），∴，，则点D到直线C1E的距离d＝＝＝，当c＝2时，，当0≤c＜2时，0＜（c﹣2）2≤4，∴，∴，∴，∴∈（0，]，∴当取最大值，且a2＝0时，，即当D在C点E在B点时，点D到直线C1E的距离的最小值为，故③正确；对于④：A1（2，0，2），，，∴，∵c∈[0，2]，∴当c＝2时，，∴，即A1D⊥C1E，故④错误．故答案为：①②③．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16．【答案】（1）；（2）3x+14y﹣46＝0或3x+4y﹣26＝0．【分析】（1）求出三角形的三边长，并求其中一个角的余弦值，代入公式即可求得面积．（2）过点C的直线l与点A（1，2），点B（﹣3，5）距离相等，即直线l与直线AB平行或经过AB的中点，代入求解即可．【解答】解：（1）由点A（1，2），B（﹣3，5），C（6，2）可得，，，，在△ABC中，，所以，△ABC的面积为．（2）过点C的直线l与点A（1，2），点B（﹣3，5）距离相等，即直线l与直线AB平行或经过AB的中点，当过点C的直线l与平行时，，则直线方程为3x+4y﹣26＝0；当过点C的直线l过AB的中点，AB的中点坐标，，所以直线方程为，即3x+14y﹣46＝0．所以直线方程为3x+14y﹣46＝0或3x+4y﹣26＝0．17．【答案】（1）证明过程请见解答；（2）．【分析】（1）由A1O⊥DE，平面A1DE⊥平面BCED，可知A1O⊥平面BCED，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（2）作DP⊥BC于P，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离，即可得解．【解答】（1）证明：由题意知，A1D＝A1E，因为点O是DE的中点，所以A1O⊥DE，因为平面A1DE⊥平面BCED，平面A1DE∩平面BCED＝DE，A1O⊂平面A1DE，所以A1O⊥平面BCED，又A1O⊂平面A1OB，所以平面A1OB⊥平面BCED．（2）解：作DP⊥BC于P，则BP＝1，因为DE∥BC，所以DP⊥DE，以D为坐标原点，DP，DE所在直线分别为x，y轴，作Dz⊥平面BCED，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，1，2），O（0，1，0），B（2，﹣1，0），C（2，3，0），因为F为A1C的中点，所以F（1，2，1），所以＝（0，0，2），＝（2，﹣2，0），＝（1，1，1），设面A1OB的法向量为＝（x，y，z），则，即，取x＝1，则y＝1，z＝0，所以＝（1，1，0），故点F到面A1OB的距离为＝＝．18．【答案】（1）x＝2或7x+24y﹣86＝0；（2）10．【分析】（1）将圆的方程化为标准式，再分斜率存在与不存在两种情况讨论；（2）依题意直线l过圆心C，即可求出直线l的方程，即可得到，利用锐角三角函数求出|AD|，从而求出|CD|，从而得解．【解答】解：（1）圆C：x2+4x+y2﹣12＝0，即（x+2）2+y2＝16，所以圆心C（﹣2，0），半径r＝4，当斜率不存在时直线的方程为x＝2，符合题意；当斜率存在时，设斜率为k，则y﹣3＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+3＝0，则，解得，所以切线方程为7x+24y﹣86＝0，综上可得切线方程为x＝2或7x+24y﹣86＝0．（2）因为直线l是圆C的一条对称轴，所以直线l过圆心C，则直线l的方程，即3x﹣4y+6＝0，则，又，即，所以|AD|＝3，则，同理可得|CE|＝5，所以|DE|＝10．19．【答案】（1）证明见解答；（2）；（3）线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF．【分析】（1）先证明四边形CDFE为平行四边形，从而得到DF∥CE，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）在平面ABEF内，过A作Az⊥AB，证明AD⊥AB，AD⊥Az，Az⊥AB，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BCF的法向量，由向量的夹角公式求解即可；（3）利用待定系数法求出平面ACE的法向量，利用向量垂直的坐标表示，证明平面ACE与平面BCF不可能垂直，即可得到答案．【解答】（1）证明：因为CD∥EF，且CD＝EF，所以四边形CDFE为平行四边形，所以DF∥CE，因为DF⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，所以DF∥平面BCE；（2）解：在平面ABEF内，过A作Az⊥AB，因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，又Az⊂平面ABEF，Az⊥AB，所以Az⊥平面ABCD，所以AD⊥AB，AD⊥Az，Az⊥AB，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz．由题意得，A（0，0，0），B（0，4，0），C（2，2，0），E（0，3，），F（0，1，），所以＝（2，﹣2，0），＝（0，﹣3，），设平面BCF的法向量为＝（x，y，z），则，令y＝1，则x＝1，z＝，所以＝（1，1，），平面ABF的一个法向量为＝（1，0，0），则cos＜，＞＝＝，所以平面CBF和平面BFA的夹角的余弦值为；（3）解：线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF，理由如下：设平面ACE的法向量为＝（a，b，c），所以，令b＝1，则a＝﹣1，c＝﹣，所以＝（﹣1，1，﹣），因为•＝﹣1+1﹣3≠0，所以平面ACE与平面BCF不可能垂直，从而线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF．20．【答案】（1）（﹣2，+2）；（2）k＝；（3）（，）或（，）．【分析】（1）利用相交时圆心距的位置关系可求r的取值范围；（2）联立直线与圆C1，写出韦达定理，结合数量积代换可求实数k的值；（3）由两圆半径相等，两直线11和12截得圆C1和圆C2，弦长相等可得弦心距相等，得＝，转化为求方程组的解即可．【解答】解：（1）由题意得，圆C1的圆心C1（﹣3，1），r1＝2，圆C2的圆心C2（4，5），半径为r，|C1C2|＝＝，∵圆C1与圆C2相交，∴|r﹣2|＜|C1C2|＜r+2，即|r﹣2|＜＜r+2，解得：﹣2＜r＜+2，∴r∈（﹣2，+2）．（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），直线与圆C1联立，得（1+k2）x2+6x+5＝0，由Δ＞0得k2＜，x1+x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1，∵，∴x1x2+y1y2＝（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1＝4，∴5+﹣3＝0，解得：k＝，∵k2＜，∴k＝．（3）由题意得C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝4，设P（m，n），直线l1和l2的方程分别为y﹣n＝k（x﹣m），y﹣n＝﹣（x﹣m），即kx﹣y+n﹣kn＝0，﹣x﹣y+n+＝0，由题意可知，圆心C1到直线l1的距离等于C2到直线l2的距离，则＝，化简得（2﹣m﹣n）k＝m﹣n﹣3或（m﹣n+8）k＝m+n﹣5，则有或，故P（，）或（，）．21．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）由于A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），由定义，求d（A，B）的值．（Ⅱ）利用反证法进行证明即可；（Ⅲ）根据存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．【解答】解：（Ⅰ）由于A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），由定义，可得d（A，B）＝4．…（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T向量序列，A1，A2，A3，…A n，使得A1＝（1，1，1，1，1），A m＝（0，0，0，0，0）．因为向量A1＝（1，1，1，1，1）的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，不妨设A1的第i（i＝1，2，3，4，5）个分量1变化了2n i﹣1次之后变成0，所以将A1中所有分量1变为0共需要（2n1﹣1）+（2n2﹣1）+（2n3﹣1）+（2n4﹣1）+（2n5﹣1）＝2（n1+n2+n3+n4+n5﹣2）﹣1次，此数为奇数．又因为，说明A i中的分量有2个数值发生改变，进而变化到A i+1，所以共需要改变数值2（m﹣1）次，此数为偶数，所以矛盾．所以该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．…（9分）（Ⅲ）存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，此时m＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．…（13分）。

2023-2024学年北京四中高二(下)期中数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京四中高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共13小题，共62分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.将一枚均匀硬币抛3次，设正面朝上的硬币数为X，则()A. B. C. D.2.在的展开式中，x的系数为()A.4B.C.1D.3.从2位男生中选1人，3位女生中选2人，组成一个由其中一名女生为组长的活动筹备组，可以选择的方法种数为()A.36B.24C.18D.124.从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张.则第一张抽到奇数且第二张抽到偶数的概率是()A. B. C. D.5.在一段时间内，甲去博物馆的概率为，乙去博物馆的概率为，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去博物馆的概率是()A. B. C. D.6.由数字0，1，2，3，4，5组成三位数允许重复，各位数字之和等于6的有()A.13个B.15个C.17个D.20个7.某成品仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器成品，第一、二车间生产的成品比例为2：3，已知第一车间的一等品率为，第二车间的一等品率为今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，该产品是一等品的概率为()A. B. C. D.8.某射手射击所得环数的分布列如下：78910P x y若，x，，y成等差数列，则()A. B. C.9 D.9.动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离．经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为()A.7B.9C.11D.1310.一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.试验一：从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，每次抽取后都放回，记取到白球的个数为；实验二：从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，每次抽取后都不放回，记取到白球的个数为则下列判断正确的是()A. B. C. D.11.设等比数列的前n项和为，若，，则()A.31B.32C.63D.6412.已知1，，成等比数列，3，a，b成等差数列，则该等差数列的公差为()A.或B.或4C.D.213.某人有一笔闲置资金想用于投资，现有三种投资时间均为10天的方案，这三种方案的回报预期如下：方案一：风险投资，有的概率获得回报400元，有的概率获得回报800元；方案二：第一天获得回报10元，以后每天获得的回报比前一天多10元；方案三：第一天获得回报元，以后每天获得的回报都是前一天的两倍.若为使投资的回报最多，应该选择的投资方案是()A.方案一B.方案二C.方案三D.都可以二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。

北京四中高二数学试卷

北京四中高二数学试卷[理]（考试时间为100分钟，试卷满分为100分）一.选择题（每题3分，共36分）1. 抛物线的焦点到准线的距离为（）．A．2B．4C．D．2. 双曲线的两条准线间的距离为（）．A．B．C．D．3. 不等式的解集是（）.A．B．C．D．4. 下列命题正确的是（）.A．与两条异面直线都垂直的直线叫做这两条异面直线的公垂线B．三条直线两两相交，则这三条直线共面C．垂直于同一条直线的两条直线平行D．空间中四个点最多可以确定4个平面5. 正方体的各面对角线所在的直线中，与成角的异面直线有（）.A．2条B．4条C．6条D．8条6. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．无数条7. 椭圆（为参数）的焦点坐标为（）．A．B．C．D．8.同一坐标系中，方程的曲线大致是（）．A．B．C．D．9. 设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（）.A． B. C. D.10. 已知双曲线的左支上有一点M到右焦点的距离为18，N是的中点，O为坐标原点，则（）．A．4 B．2 C．1 D．11. 若圆与直线相切，则的最小值为（）.A．1 B．2 C．D．不存在12. 已知实系数方程的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率,则的取值范围是（）.A. B. C. D.二.填空题（每题4分，共24分）13. 已知椭圆过点，则m的值为.14. 中心在原点，焦点在x轴上, 离心率，一条准线方程为的双曲线方程是.15. 过点且被P平分的椭圆的弦所在直线的方程为.16. 双曲线上的点到直线的最短距离是.17. 在空间四边形中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，，，与所成的角为，则四边形的面积为__________ .18. 过抛物线焦点F的弦AB被焦点F分成3：1两部分，则直线AB的方程为.三.解答题（10分´ 4 = 40分）19. （10分）已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，且过点，（1）求椭圆的方程；（2）若是椭圆的弦，是坐标原点，，且的坐标是，求点的坐标..20. （10分）在棱长为2的正方体中，E为BC的中点，O为AC与BD 的交点.（1）求异面直线与DE所成的角的正切值；（2）求证：CO为BD与的公垂线；（3）求BD与的距离.21. （10分）有一系列双曲线的右顶点都在抛物线上，且它们的实轴长都是4，又都以y轴为右准线，（1）求双曲线中心的轨迹方程；（2）求离心率e达到最小值时的双曲线的方程.22. （10分）已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为1，（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线的左支交于A、B两点，且，求直线的方程；（3）在（2）的条件下，如果在双曲线的左支上存在点C，使，求m的值和的面积S.答题纸行政班级______________姓名_______________学号_____________一.选择题（3分´ 12 = 36分）题号123456答案B A A D B C题号789101112答案D C C A B C二.填空题（4分´ 6 = 24分）13161415 1617618三.解答题（10分´ 4 = 40分）19.答案：（1）.（2）或.20.答案：（1）.（2）略.（3）.21. 答案：（1）.（2）当离心率达到最小值2时，双曲线的方程为.22.答案：（1）.（2）直线的方程为.（3）m=4，.高二数学单元练习(文)一、选择题：1. 在空间，四点共面是三点共线的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件2. 一个动圆与两个圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹是()A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线3. 和椭圆有共同焦点，且率心率为2的双曲线方程是()A. B. C. D.4. 设F1和F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是( )A. 1B.C. 2D.5. 抛物线y2=2px过点A(2,4)，F是其焦点，又定点B的坐标为(8，-8)，那么|AF|：|BF|的值为( )A. 1：4B. 1：2C. 2：5D. 3：86. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P是AA1的中点，E是BB1上一点，则PE+EC 的最小值为( )A. 2B.C.D.7. 与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是( )A. 8B. 4C. 2D. 18. 已知椭圆上三点A、B、C的横坐标x1，x2，x3成等差数列，F 为椭圆的左焦点，则|AF|、|BF|、|CF|()A. 成等差数列B. 成等比数列C. 的倒数成等差数列D. 的倒数成等比数列9. 过点(2,2)引椭圆x2+4y2=4的切线，则切线方程为( )A. 3x-8y+10=0B. 5x+8y-2=0C. 3x-8y+10=0或x-2=0D. 5x+8y-2=0或3x+10=010. 抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k不为0)交于A，B两点，且此两点的横坐标为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则恒有()A. x3=x1+x2B. x1x2=x1x3+x2x3C. x1+x2+x3=0D. x1x2+x2x3+x3x1=0二、填空题：11. 以为渐近线的双曲线的离心率为_______12. 抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线x-2y-4=0上，则此抛物线方程为_______13. 已知双曲线E的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率，且双曲线过点，则双曲线E的方程为______14. 已知等轴双曲线上有一点P到中心距离为2，则点P到两个焦点距离之积是_____三、解答题：15. 已知抛物线y2=2px(p>0)有一内接直角三角形，直角顶点在坐标原点，一直角边所在直线方程为y=2x，斜边长为(如图)求抛物线方程。

北京市北京四中高二上学期期末考试(数学理).doc

北京市北京四中高二上学期期末考试（数学理）（试卷分为两卷，卷（I）100分，卷（II）50分，满分共计150分）考试时间：1卷（I）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．椭圆的焦距等于（）A． B．C． D．2．“”是“直线平行于直线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．若双曲线的焦点为，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C．D．4．圆与直线相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A． B．C．D．5．空间中，若向量、、共面，则（）A． B．C．D．6．棱长为的正方体中，顶点到平面间的距离（）A．B．C．D．7．直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，该椭圆的离心率等于（）A．B．C． D．8．矩形中，，，，，那么二面角的大小为（）A．B．C．D．9．抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）A．B．C．D．10．直三棱柱中，，，则与平面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共11．二面角的大小为，为异面直线，若，则所成的角为_____．12．若经过点的双曲线C与椭圆有相同的焦点，则双曲线C的方程为______．13．抛物线上的点到直线距离的最小值是__________．14．正方体中，给出下列四个命题：①；②；③和的夹角为；④正方体的体积为。

其中错误命题的序号为____________．三．解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分15．已知：直线：与抛物线交于两点，求：的面积（为坐标原点）．16．已知：正方体中，棱长，、分别为、的中点，、是、的中点，（1）求证：//平面；（2）求：二面角的大小．17．已知：双曲线的左、右焦点分别为、，动点满足。

（1）求：动点的轨迹的方程；（2）若是曲线上的一个动点，求：的最大值和最小值．卷（Ⅱ）一．选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分1．直线m、n和平面、.下列四个命题中，①若m∥，n∥，则m∥n；②若m，n，m∥，n∥，则∥；③若，m，则m；④若，m，m，则m∥，其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．3．三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（）A． B．C．D．二．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分4．以椭圆的中心为顶点，上焦点为焦点的抛物线方程是___________．5．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是___________．6．正三角形中，若点、分别为、的中点，则以、为焦点，且过点、的双曲线的离心率为__________．三．解答题：本大题共2小题，每小题10分，共7．已知：直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点D是AB的中点，（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC 1//平面CDB1。

北京市北京四中数学高二上期末测试卷(含答案解析)

一、选择题1．(0分)[ID ：13328]在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则(P = ) A ．23B ．12C ．49D ．292．(0分)[ID ：13319]气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于022C .现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8 则肯定进入夏季的地区有（） A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①3．(0分)[ID ：13318]某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（）A ．频率分布直方图中a 的值为 0.040B ．样本数据低于130分的频率为 0.3C ．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D ．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数不相等4．(0分)[ID ：13310]如图是把二进制的数11111化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．4i >？B ．5i >？C ．4i ≤？D ．5i ≤？5．(0分)[ID ：13309]下面的程序框图表示求式子32×35×311×323×347×395的值, 则判断框内可以填的条件为（）A ．90?i ≤B ．100?i ≤C ．200?i ≤D ．300?i ≤6．(0分)[ID ：13301]己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若求得其线性回归方程为 6.5ˆˆyx a =+，其中ˆˆa y bx =-，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（） A ．42万元B ．45万元C ．48万元D ．51万元7．(0分)[ID ：13297]日本数学家角谷静夫发现的“31x + 猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的6N =，则输出i 值为（）A．6B．7C．8D．98．(0分)[ID：13293]某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；③西部地区学生小刘被选中的概率为1 50；④中部地区学生小张被选中的概率为1 5000A．①④B．①③C．②④D．②③9．(0分)[ID：13283]把8810化为五进制数是（）A．324(5)B．323(5)C．233(5)D．332(5)10．(0分)[ID：13280]执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填入的条件为（）A．4i≤B．5i≤C．6i≤D．7i≤11．(0分)[ID：13259]运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为480，则判断框中可以填()A．60i>B．70i>C．80i>D．90i>12．(0分)[ID：13254]从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．27B．57C．29D．5913．(0分)[ID：13232]执行如图的程序框图，若输出的4n=，则输入的整数p的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．1514．(0分)[ID ：13231]已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )A ．92，94B ．92，86C ．99，86D ．95，9115．(0分)[ID ：13267]如图所示，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设36DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A ．37B ．217C ．413D ．1313二、填空题16．(0分)[ID ：13418]已知实数]9[1x ∈，，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为________．17．(0分)[ID：13405]执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为10，则输入的x的值是________．18．(0分)[ID：13392]如果执行如图的程序框图，那么输出的S __________．19．(0分)[ID：13381]根据如图所示算法流程图，则输出S的值是__．20．(0分)[ID：13375]从边长为4的正方形ABCD内部任取一点P，则P到对角线AC 的距离不大于2的概率为________.21．(0分)[ID：13368]如图所示的程序框图，输出的S的值为()A．12B．2C．1-D．12-22．(0分)[ID：13362]如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是__________．23．(0分)[ID：13355]从甲、乙、丙、丁四人中选3人当代表，则甲被选上的概率为______．24．(0分)[ID ：13329]某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________．25．(0分)[ID ：13333]为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为__________．三、解答题26．(0分)[ID ：13512]A B 两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：(1)试估计B 班的学生人数；(2)从A 班和B 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，B 班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量X .规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记1X =-；当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记X 0=；当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记1X =.求随机变量X 的分布列及数学期望.(3)再从A 、B 两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小.（结论不要求证明）27．(0分)[ID ：13508]随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.（1）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[)6.5,7.5（时）内的频率；（2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作代表）；（3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在[)4.5,6.5（时）内的周数为X ，求X 的分布列以及数学期望.28．(0分)[ID ：13489]已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36，24，12.现采用分层抽样的方法从中抽取6人，进行睡眠质量的调查. （1）应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？（2）设抽出的6人分别用A 、B 、C 、D 、E 、F 表示，现从6人中随机抽取2人做进一步的身体检查.（i ）试用所给字母列出所有可能的抽取结果；（ii ）设K 为事件“抽取的2人来自同一兴趣小组”，求事件K 发生的概率.29．(0分)[ID ：13469]某洗车店对每天进店洗车车辆数x 和用次卡消费的车辆数y 进行了统计对比，得到如下的表格：车辆数x 10 18 26 36 40 用次卡消费的车辆数y710171823(Ⅰ)根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；(b ∧的结果保留两位小数)(Ⅱ)试根据()I 求出的线性回归方程，预测50x =时，用次卡洗车的车辆数．参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是ˆˆˆybx a =+；其中，()1122211())()nni i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-．30．(0分)[ID ：13450]某校高二年级800名学生参加了地理学科考试，现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组[)4050，；第二组[)5060，；……；第六组[]90100，，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）求每个学生的成绩被抽中的概率；（2）估计这次考试地理成绩的平均分和中位数；（3）估计这次地理考试全年级80分以上的人数.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．D 2．B 3．C 4．C 5．B 6．C 7．D 8．B 9．B10．B11．B12．D13．A14．B15．A二、填空题16．【解析】设实数x∈19经过第一次循环得到x=2x+1n=2经过第二循环得到x=2(2x+1)+1n=3经过第三次循环得到x=22(2x+1)+1+1n=4此时输出x输出的值为8x+7令8x+7⩾5517．3【解析】【分析】分析出算法的功能是求分段函数的值根据输出的值为10分别求出当时和当时的值即可【详解】由程序语句知：算法的功能是求的值当时解得(或不合題意舍去)；当时解得舍去综上的值为3故答案为3【18．42【解析】【分析】输入由循环语句依次执行即可计算出结果【详解】当时当时当时当时当时当时故答案为42【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环语句的运算求出输出值较为基础19．9【解析】【分析】该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】模拟程序的运行可得S＝0n＝1满足条件n＜6执行循环体S＝1n＝3满足条20．【解析】如图所示分别为的中点因为到对角线的距离不大于所以点落在阴影部分所在区域由对立事件的概率公式及几何概型概率公式可得到对角线的距离不大于为故答案为21．A【解析】【分析】模拟执行程序框图依次写出每次循环得到的k的值当k=2012时不满足条件退出循环输出的值为【详解】模拟执行程序框图可得满足条件满足条件满足条件满足条件由此可见S的周期为3故当k=2022．7【解析】执行程序框图当输入第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；第五次循环结束循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点23．【解析】【分析】先算出基本事件总数再求出甲被选上包含的基本事件个数即可求得甲被选上的概率【详解】从甲乙丙丁四人中选人当代表基本事件总数甲被选上包含的基本事件个数则甲被选上的概率为故答案为【点睛】本题24．1【解析】分析：根据平均数与对应概率乘积的和得总平均数计算结果详解：点睛：本题考查平均数考查基本求解能力25．12【解析】分析：由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率即可求出第三组中有疗效的人数得到答案详解：由直方图可得分布在区间第一组和第二组共有20人分布唉区间第一组与第二组的频率三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可.【详解】如图所示，01,01x y ≤≤≤≤表示的平面区域为ABCD ，平面区域内满足23x y +≤的部分为阴影部分的区域APQ ，其中2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为1222233119p ⨯⨯==⨯. 本题选择D 选项.【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.2．B解析：B【解析】试题分析：由统计知识①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24中有可能某一天的气温低于22C ，故不符合题意，③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．若由有某一天的气温低于22C 则总体方差就大于10.8，故满足题意，选C 考点：统计初步3．C解析：C【解析】【分析】由频率分布直方图得的性质求出0.030a =；样本数据低于130分的频率为：0.7；[)80,120的频率为0.4，[)120,130的频率为0.3.由此求出总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.41203123.30.3-+⨯≈分；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等．【详解】由频率分布直方图得：()0.0050.0100.0100.0150.0250.005101a ++++++⨯=，解得0.030a =，故A 错误；样本数据低于130分的频率为：()10.0250.005100.7-+⨯=，故B 错误；[)80,120的频率为：()0.0050.0100.0100.015100.4+++⨯=，[)120,130的频率为：0.030100.3⨯=．∴总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.412010123.30.3-+⨯≈分，故C 正确；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等，故D 错误．故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.4．C解析：C【解析】【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】根据程序框图：1,1S i ==；3,2S i ==；7,3S i ==；15,4S i ==；31,5S i ==，结束.故选：C .【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.5．B解析：B【解析】【分析】根据题意可知该程序运行过程中，95i =时，判断框成立，191i =时，判断框不成立，即可选出答案。

2021年高二下学期周末训练数学(理)试题(10) Word版含答案

2021年高二下学期周末训练数学（理）试题（10） Word 版含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．. 1. 命题“，有”的否定是 ▲ .2. 若（为虚数单位），则的值为 ▲ .3. 观察下列式子：，，，…，根据以上式子可以猜想 ▲ .4. 若（为虚数单位），则是的 ▲ 条件. （填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）5.设的展开式中的系数为，二项式系数为，则 ▲ ．6.已知函数是上的增函数，，命题“若，则”与它的逆命题，否命题，逆否命题四个命题中真命题的个数为 ▲ .7. 已知，，则可化简为▲ . （用含有的式子表示）8. 已知条件和条件，若是的充分条件，则实数的取值范是 ▲ .9. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为. 类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ▲ .10. 若()()()()99221091...112+++++++=++x a x a x a a m x ，且 ()()9293128203......=+++-+++a a a a a a ，则实数m 的值为 ▲ .11. 下列四个命题中，真命题的序号是 ▲ .①，使是幂函数，且在上递减；②，函数有零点；③，使；④，函数都不是偶函数．12．已知（其中为给定的正整数），则对任意整数（），恒为定值是▲.13. 已知二次函数的值域为，且当，时，不等式恒成立，则实数的最大值为▲．14. 设集合,选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有▲种．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）已知是虚数，是实数．（1）求为何值时，有最小值，并求出|的最小值；（2）设，求证：为纯虚数．16．（本小题满分14分）已知命题：函数在定义域上单调递增；命题：不等式对任意实数恒成立，若是真命题，求实数的取值范围．颜色（其中一种为红色）对图中四个三角形进行染色，且每个三角形用一种颜色图染.（1）若必须使用红色，求四个三角形中有且只有一组相邻三角形同色的染色方法的种数；（2）若不使用红色，求四个三角形中所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数.18．（本小题满分16分）已知函数（且），函数、分别是上的奇函数和偶函数，并且．（1）求和的解析式；（2）计算，探索它们之间的关系并推广到一般情形，并给予证明；（3）类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，结合（2）的结论，试写出与（2）结果不相同的三个关于、的关系式，并给予证明．19．（本小题满分16分）已知数列满足，且．（1）计算的值，由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）求证：．20．（本题满分16分）已知函数和函数.（1）若方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围；（2）若对,均，使得成立，求实数的取值范围.评分标准1．，有 2． 3． 4．充分不必要 5．4 6．4 7． 8． 9． 10．1或－3 11．①②③ 12． 13． 14． 4915．解：设，则i b a b b b a a a b a bi a bi a bi a bi a z z ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+-++=+++=+22222211 所以，，又可得 …………………………………4分（1）22)1()2()1()2(2-++=-++=-+b a i b a i z表示点到点的距离，所以最小值为 ………7分解方程组并结合图形得 …………………………………9分（2）()()()[]()[]()a bi ba bi a bi a bi a bi a z z u +-=++-+⋅--=++--=+-=1111111122 又，所以为纯虚数 ……………………………………………………………………14分16．解： ……………………………………………………………………5分当时恒成立； …………………………………………………………………7分当时，，解得：……………………………………………………………………………11分所以， ……………………………………………………………………………14分17．解：（1）同色的相邻三角形共有种，不妨假设为，①若同时染红色，则另外两个三角形共有种染色方法，因此这种情况共有种染色方法； ②若同时染的不是红色，则它们的染色有种，另外两个三角形一个必须染红色，所以这两个三角形共有，因此这种情况共有种染色方法．综上可知有且只有一组相邻三角形同色的染色方法的种数为种；……7分（2）因为不用红色，则只有四种颜色．若一共使用了四种颜色，则共有种染色方法；若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在对顶的区域，所以一共有种染色方法；若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组对顶区域，所以共有种染色方法．综上可知所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数为种． ………………14分18．解：（1）将代入 ①得，因为函数、分别是上的奇函数和偶函数，所以 ②，①②得,①②得； ………………………………4分（2）,,,,,所以, ………………………………6分推广得到．证明：+； …………………………………………………………9分（3）；；． …………………………………………………12分证明：+将和中用代替得，因为函数、分别是上的奇函数和偶函数，所以，．…………16分19．解：（1），由此猜想数列 ……………………3分证明：当时，，符合；假设当时，成立，那么当时，1)1(21)1()1(1221++=+=++-+=+-=+k k k k k ka a a k k k所以，当时也成立． …………………………………………………………7分（2）即证 …………………………………………………………9分 2111...111111221=⋅+≥⋅++⋅+⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n C n C n C n C n n n n n n n n ………………………11分又1212...211!11...21!11-=⋅⋅⋅≤≤+-⋅⋅-⋅-⋅⋅=k k k nk n k n n n n n n n k n C ， …………………13分故有32123211211121...2121111112<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+++++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n n n 综上：，即．……………………………………………16分20．（1）或或所以，且即且………………………………………5分（2）…………………………………………………………8分…………………………………………………………13分当时，，解得当时，，解得当时，，解得综上，…………………………………………………………16分L31758 7C0E 簎24168 5E68 幨;k21766 5506 唆36139 8D2B 贫31589 7B65 筥31143 79A7 禧27124 69F4 槴4qT32482 7EE2 绢j。

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北京四中
高二数学周末练习六
1. 已知α、β是平面，m、n是直线，下列命题中不正确的是（）
A. 若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B. m∥α，α∩β=n，则m∥n
C. 若m⊥α，m⊥β，则α∥β
D. m⊥α，mβ，则α⊥β
2. 已知m，n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：
（1）若m∥β，n∥β，且mα，nα，则α∥β；
（2）若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；
（3）若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
（4）若α∥β，γ∩α=m，γ∩β=n，则m∥n
其中的正确命题是（）
A.（1）和（3）
B.（1）和（4）
C.（2）和（4）
D.（3）和（4）
3. 设直线l和平面α、β，且lα，lβ,给出下列论断：①l⊥α,②α⊥β,③l∥β,从中取两个作为条件，其余的一个作为结论，在构成的诸命题中，正确命题的个数是（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
4.如图正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF、C1E与AB所成的角分别为α、β，则α+β等于（）
A.120°
B.90°
C.75°
D.60°
5. 如果一个平面与一个正方体的十二条棱所在的直线都成相等的角，记作θ，那么sinθ=（）
A. B. C. D.1
6. 有一块直角三角板ABC，∠A=30°，∠B=90°，BC边在桌面上，当三角板所在平面与桌面成45°角时，AB边与桌面所成的角等于（）
A. B. C. D.
7. 若∠A=60°边长为α的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，则AC与BD的距离为（）
（A）（B）（C）（D）
8. 对于不共面的三个向量、、，下列命题正确的是（）
（A）=；
（B）总可以找到两个实数λ、μ，使；
（C）这三个向量不能相加；
（D）对空间任意向量，存在有序实数组x1、x2、x3、x4，使，其中x1不等于零。

9.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点。

若
，则下列向量中与相等的向量是（）（A）（B）（C）（D）
10. 正四面体ABCD中，E为AB中点，F为CD的中点，则异面直线EF与DA所成的角为（）
（A）90°（B）60°（C）45°（D）30°
11. 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD边长为1，侧棱长AA1=2，E为BB1中点，则异面直线AD1与A1E所成的角为（）
（A）（B）（C）90°（D）
12. 空间四边形ABCD中，连结AC、BD若△BCD是正三角形，且E为其中心，则
的化简结果是（）
A. B. C. D.
13. 如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=（1，0，1），b=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是（）
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
14. 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，E、F分别为AB、BC的中点，则异面直线C1O与EF所成的角是____，距离是____。

15. 已知：四边形ABCD是平行四边形，P为面ABCD外一点，、
、，（1）求证：PA⊥底面ABCD；（2）求：PC的长。

答案：
1. B
2. D
3. C
4. B
5. B
6. C
7. A
8. D
9.A 10.
C 11. A 12. C 13. B14. 15.。