九年级数学上册第四章图形的相似8图形的位似第2课时位似变换的坐标变化规律习题课件新版北师大版

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(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》测试题(含答案解析)(2)

一、选择题1．如图，A B C '''是ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若A B C '''与ABC 的周长比是2:3，则它们的面积比为（）A ．2:3B ．4:5C ．2:3D ．4:92．如图，ABC 中，AD BC ⊥于点D ，下列条件中不．能判定ABC 是直角三角形的是（）A ．B DAC ∠=∠ B ．90B DAC ∠+∠=︒ C ．2AB BD BC =⋅D ．2AC CD BC =⋅3．如图，小颖身高为160cm ，在阳光下影长240AB cm =，当她走到距离墙角（点D ）120cm 的C 处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE 的长度为（）A ．120cmB ．80cmC ．60cmD ．40cm4．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对角线//BD x 轴，若(1,0),(0,2)A D ，则点C 的坐标为（）A ．(4,3)B ．(4,4)C ．(3,4)D ．(2.5,4)5．如图，4AB=，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，12BE DB=，作EF DE⊥并截取EF DE=，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE x=，BC y=，则y关于x的函数解析式是（）A．124xyx=--B．21xyx=--C．31xyx=--D．84xyx=--6．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN分为两线段MG、GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足512MG GNMN MG-==，后人把512-这个数称为“黄金分割数”，把点G称为线段MN的“黄金分割点”．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若点D是边BC边上的一个“黄金分割点”，则△ADC的面积为（）A．55-B．355-C．2085-D．1045-7．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（）A．（540）cm B．（540）cmC．（120﹣5cm D．（5160）cm8．如图，在△ABC中，中线AE、BD相交于点F，连接DE，则下列结论：①12DEAB=；②14CD CE DEAC BC AB++=++；③CD EFCA FA=；④13FDECDESS=△△．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt ABC △的两条直角边的长分别为5和12,则它的内接正方形CDEF 的边长为（）A ．2517B ．6017C ．10017D ．1441710．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABO 的两个顶点分别为A （﹣8，4），B （﹣2，﹣2），以原点O 为位似中心画△A B O ''，使它与△ABO 位似，且相似比为12，则点A 的对应点A '的坐标为（）A ．（4，2）B ．（1，1）C ．（﹣4，2）D ．（4，﹣2）11．如图，线段1AB =，点1P 是线段AB 的黄金分割点(且11AP BP <)，点2P 是线段1AP 的黄金分割点（212AP PP <），点3P 是线段3AP 的黄金分割点()323,,AP P P <依此类推，则线段2020AP 的长度是（）A ．202051-⎝⎭B ．202151-⎝⎭C ．202035-⎝⎭D ．202135-⎝⎭12．如图，在四边形ABCD 中，如果ADC BAC ∠=∠，那么下列条件中不能判定ADC 和BAC 相似的是（）A ．DAC ABC ∠=∠B ．CA 是BCD ∠的平分线C ．AD DCAB AC= D ．2AC BC CD =⋅二、填空题13．边长为4的正方形ABCD ，在BC 边上取一动点E ，连接AE ，作EF ⊥AE ，交CD 边于点F ，若CF 的长为34，则CE 的长为 _____ ．14．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为CD 中点，点F 为BC 边上一点，且CF=1，连接AF ，EG ⊥AF 交BC 于点G ，则BG=________．15．如图，在ABC 中，D 在AC 边上，:1:2AD DC =，O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于点E ，若3BE =，则EC 的长为____．16．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝1，∠ADC ＝120°，以AC 为边作菱形ACC 1D 1，且∠AD 1C 1＝120°；再以AC 1为边作菱形AC 1C 2D 2，且∠AD 2C 2＝120°…；按此规律，菱形AC 2020C 2021D 2021的面积为_____．17．已知点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，△ADE ，△DEC ，△BCD 的面积之比为4：2：3，∠ACD=∠ADE ，CD=6，则BC 的长为_______．18．如图所示，在ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，已知FC 长是6，则线段OC 的长为______．19．在平面直角坐标系中，ABC 与DEF 是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，相似比为1:2；若B 点的坐标为(2,1)，则B 的对应点E 的坐标为________． 20．如图，在ABC 中，AB AC >，将ABC 以点A 为中心顺时针旋转，得到AED ，点D 在BC 上，DE 交AB 于点F ．如下结论中：①DA 平分EDC ∠；②AEF DBF △∽△；③BDF CAD ∠=∠；④EF BD =．所有正确结论的序号是_____．三、解答题21．在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将BCE ∆沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处．（1）如图1，若2BC BA =，求CBE ∠的度数；（2）如图2，当5AB =，且10AF FD =时，求BC 的长；22．已知ABC ∆中，90C =∠．你能画一条直线把它分割成两个相似三角形吗？如果可以，请用尺规作出这条分割线，保留作图痕迹，并说明两个三角形相似的理由．23．如图，已知O 为坐标原点，B ，C 两点坐标为(3,1)-，(2,1)．（1）在y 轴的左侧以O 点为位似中心将OBC 放大到原来的2倍，画出放大后111O B C ；（2）写出11B C ，的坐标；（3）在（1）条件下，若OBC 内部有一点M 的坐标为(,)x y ，请直接写出M 的对应点1M 的坐标．24．如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果DEF 与ABC 互为母子三角形，则DEAB的值可能为（）A．2 B．12C．2或12（2）已知：如图1，ABC中，AD是BAC∠的角平分线，2,AB AD ADE B=∠=∠．求证：ABD△与ADE互为母子三角形．（3）如图2，ABC中，AD是中线，过射线CA上点E作//EG BC，交射线DA于点G，连结BE，射线BE与射线DA交于点F，若AGE与ADC互为母子三角形．求AGGF的值．25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点E，过点E作MN∥AD，分别交AB，CD于点M，N．（1）求证：△AME~△ABC；（2）求证：111 ME AD BC=+；（3）若AD=5，BC=7，求MN的长．26．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点、顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．求面积最大的三角形的斜边长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】直接利用位似是相似的特殊形式，利用相似的性质可知对应边A′B′与AB之比等于△A′B′C′的周长与△ABC 的周长之比为2：3，再根据面积比等于相似比的平方求解即可．【详解】解：∵△A'B'C'是△ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，△A'B'C'的周长与△ABC 的周长比是2：3， ∴A B C '''∽ABC ，23A B AB ''=， ∴222439A B C ABC A S B S B A '''⎛''⎛⎫== ⎪⎝⎫= ⎪⎝⎭⎭．故选：D ．【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边平行、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．2．B解析：B 【分析】根据已知对各个条件进行分析，从而得到答案．【详解】解：A.能， ∵AD ⊥BC ， ∴∠B+∠BAD=90°， ∵∠B=∠DAC ，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠B=90°； ∴△ABC 是直角三角形； B.不能， ∵AD ⊥BC ， ∴∠B+∠BAD=90°， ∵∠B+∠DAC=90°， ∴∠BAD=∠DAC ， ∴△ABD ≌△ACD （ASA ）， ∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形， ∴无法证明△ABC 是直角三角形； C.能，∵2AB BD BC =⋅ ∴AB BCBD AB= ∵∠B=∠B ∴△CBA ∽△ABD ， ∴∠ADB=∠BAC ，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠BAC=90°∴△ABC是直角三角形；D.能，∵2AC CD BC=⋅，∴AC BC=CD AC∵∠C=∠C∴△CBA∽△CAD，∴∠ADC=∠BAC=90°∴△ABC是直角三角形．故选：B【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意相似三角形的判定与性质的应用．3．B解析：B【分析】过E作EF⊥CG于F，利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子DE长度即可．【详解】解：如图，过E作EF⊥CG于F，设投射在墙上的影子DE长度为x，由题意得：△GFE∽△HAB，∴AB：FE＝AH：（GC−x），则240：120＝160：（160−x），解得：x＝80．答：投射在墙上的影子DE长度为80cm．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是正确地构造直角三角形．4．B解析：B【分析】过点B 作BF ⊥x 轴，垂足为F ，证明△ADO ∽△BAF ，确定点B 的坐标，利用中点坐标公式确定点E 的坐标，二次运用中点中点坐标公式即可确定点C 的坐标．【详解】如图，过点B 作BF ⊥x 轴，垂足为F ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠DAB=90°， ∴∠DAO+∠BAF=90°， ∵∠DAO+∠ADO=90°， ∴∠ADO=∠BAF ， ∴△ADO ∽△BAF ， ∴OA ：BF=OD ：FA ，∵//BD x 轴，若(1,0),(0,2)A D ， ∴OA=1，OD=2,BF=2， ∴1：2=2：FA ， ∴FA=4， ∴点B （5,2）， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴点E 是BD 的，AC 的中点， ∴点E （52,2），设点C 的坐标为（m ，n ），∴150,2,222m n ++== ∴m=4，n=4,∴点C 的坐标为（4，4），故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定与性质，中点坐标公式，平行x 轴直线上点的坐标特点，构造辅助线证明三角形的相似，灵活运用中点坐标公式是解题的关键．5．A解析：A【分析】作FG ⊥BC 于G ，依据已知条件求得△DBE ≌△EGF ，得出FG =BE =x ，EG =DB =2x ，然后根据平行线的性质即可求得．【详解】解：作FG ⊥BC 于G ，∵∠DEB +∠FEC =90°，∠DEB +∠BDE =90°；∴∠BDE =∠FEG ，在△DBE 与△EGF 中，B FGE BDE FEG DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBE ≌△EGF ，∴EG =DB ，FG =BE =x ，∴EG =DB =2BE =2x ，∴GC =y -3x ，∵FG ⊥BC ，AB ⊥BC ，∴FG ∥AB ，CG ：BC =FG ：AB ，即34x y x y-=， ∴124x y x =--，故选：A ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，以及平行线分线段成比例，辅助线的做法是解题的关键．6．A解析：A【分析】作AF ⊥BC ，根据等腰三角形ABC 的性质求出AF 的长，再根据黄金分割点的定义求出CD 的长度，利用三角形面积公式即可解题．【详解】解：过点A 作AF ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BF=12BC=2，在Rt ABF ，AF=2222325AB BF -=-=，∵D 是边BC 的两个“黄金分割”点，∴512CD BC -=即5142CD -=，解得CD=252-，∴12ADC C AF S D ⨯⨯==()125252⨯-⨯=55-，故选：A ．【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DC 和AF 的长是解题的关键．7．D解析：D【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值求出AC ＝BD ＝540，进而得出答案．【详解】解：∵点C 是靠近点B 的黄金分割点，点D 是靠近点A 的黄金分割点，∴AC ＝BD ＝8051-=540， ∴CD ＝BD ﹣（AB ﹣BD ）＝2BD ﹣AB ＝5160，故选：D ．【点睛】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较51-叫做黄金比． 8．C解析：C【分析】根据题意和相似三角形的判定与性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：在△ABC 中，中线AE 、BD 相交于点F ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，DE AB ＝12，故①正确； ∴△CDE ∽△CAB ， ∴12CD DE CA AB ==，12CD CE DE DE AC BC AB AB ++==++，故②错误； ∵DE ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ， ∴12EF DE AF BA ==， ∴CD EF CA FA=，故③正确； ∵CD ＝DA ，12EF AF =， ∴S △CDE ＝S △ADE ，13DEF ADE S S ∆∆=， ∴FDE CDE S S ∆∆＝13，故④正确；故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9．B解析：B【分析】根据正方形的性质得：DE ∥BC ，则△ADE ∽△ACB ，列比例式可得结论．【详解】解：∵四边形CDEF 是正方形，∴CD=ED ，DE ∥CF ，设ED=x ，则CD=x ，AD=5-x ，∵DE ∥CF ，∴∠ADE=∠C ，∠AED=∠B ，∴△ADE ∽△ACB ， ∴DE AD BC AC=，∴5125x x -=， ∴x=6017， ∴正方形CDEF 的边长为6017．故选：B ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．10．D解析：D【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ，即可求得答案．【详解】解：∵△ABO 与A B O ''△的相似比为12，且A '在第四象限， ∴点A 的对应点A '的坐标为118,422⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即(4，-2)，故选：D ．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．11．C解析：C【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值12叫做黄金比进行解答即可．【详解】解：根据黄金比的比值，1BP =则113122AP -=-=， 2323,,AP AP ==⎝⎭⎝⎭…依此类推，则线段20202020AP =⎝⎭，故选C ．【点睛】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．12．D解析：D【分析】已知∠ADC ＝∠BAC ，则A 、B 选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C 选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D 选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似.【详解】在△ADC 和△BAC 中，∠ADC ＝∠BAC ，如果△ADC ∽△BAC ，需满足的条件有：①∠DAC ＝∠ABC 或AC 是∠BCD 的平分线； ②AD DC AB AC=；故选：D ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．二、填空题13．1或3【分析】由正方形的性质结合三角形内角和定理可得出结合可得出由可证出再利用相似三角形的性质可求出的长【详解】解：四边形为正方形即或故答案为：1或3【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质正方形的解析：1或3．【分析】由正方形的性质结合三角形内角和定理可得出90BAE AEB ∠+∠=︒，结合90AEB CEF ∠+∠=︒可得出BAE CEF ∠=∠，由B C ∠=∠，BAE CEF ∠=∠可证出ABE ECF ∆∆∽，再利用相似三角形的性质可求出CE 的长．【详解】解：四边形ABCD 为正方形，90B C ∴∠=∠=︒，90BAE AEB ∴∠+∠=︒．EF AE ⊥，90AEF ∴∠=︒，90AEB CEF ∴∠+∠=︒，BAE CEF ∴∠=∠，ABE ECF ∽， ∴CE CF BA BE ，即4344CE CE， 1CE ∴=或3CE =．故答案为：1或3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形内角和定理，利用“两角对应相等的三角形相似”找出ABE ECF ∆∆∽是解题的关键．14．【分析】证明△ECG △FBA 利用相似三角形的性质求解即可【详解】设EG 交AF 于点Q ∵EG ⊥AF ∴∠FQG=90∴∠QFG+∠QGF=90在正方形ABCD 中∠B=∠C=90∴∠QAB+∠AFB=90∴ 解析：43【分析】证明△ECG ~△FBA ，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】设EG 交AF 于点Q ，∵EG ⊥AF ，∴∠FQG=90︒，∴∠QFG+∠QGF =90︒，在正方形ABCD 中，∠B=∠C =90︒，∴∠QAB+∠AFB =90︒，∴∠QGF =∠FAB ，在△ECG 和△FBA 中，∠B=∠C =90︒，∠QGF =∠FAB ，∴△ECG ~△FBA(两组对应角相等的三角形是相似三角形)，∴EC CG BF AB =， ∴EC CF FG BF AB+=， ∵E 是CD 的中点，∴122CE CD ==， ∵CF=1，∴BF=3， ∴2134FG +=，解得：FG=53， ∴43BG BF FG =-=，故答案为：43．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题．15．9【分析】过D 点作DF ∥CE 交AE 于F 如图先由DF ∥BE 根据平行线分线段成比例得到DF=BE=3再由DF ∥CE 得到然后利用比例的性质求CE 的长【详解】解：过D 点作DF ∥CE 交AE 于F 如图∵DF ∥BE解析：9【分析】过D 点作DF ∥CE 交AE 于F ，如图，先由DF ∥BE ，根据平行线分线段成比例得到DF=BE=3，再由DF ∥CE 得到DF AD CE AC=，然后利用比例的性质求CE 的长．【详解】解：过D 点作DF ∥CE 交AE 于F ，如图，∵DF ∥BE ，∴DF DO BE BO=， ∵O 是BD 的中点，∴OB=OD ，∴DF=BE=3，∵DF ∥CE ，∴DF AD CE AC=，∵AD ：DC=1：2，∴AD ：AC=1：3， ∴13DF CE =， ∴CE=3DF=3×3=9．故答案为9．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．16．【分析】根据题意可以求得菱形ABCD 的面积再根据题意可以知所有的菱形都相似即可得到菱形AC2020C2021D2021的面积【详解】解：作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E 如右图所示由已知可得∠ABC ＝解析：40412【分析】根据题意，可以求得菱形ABCD 的面积，再根据题意，可以知所有的菱形都相似，即可得到菱形AC 2020C 2021D 2021的面积．【详解】解：作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，如右图所示，由已知可得，∠ABC ＝120°，BC ＝1，∠CAB ＝30°，∴∠CBE ＝60°，∴∠BCE ＝30°，∴CE ∴AC∴菱形ABCD 的面积是1×2＝2，∵AC AB ＝1，图中的菱形都是相似的，∴菱形AC2020C 2021D 2021的面积为：2×[（1）2]2020＝2×4040＝40412，【点睛】本题考查了图形的相似、菱形的性质、图形的变化类，解题的关键是明确题意，发现图形的变化特点，利用数形结合的思想解答．17．3【分析】根据△ADE△DEC△BCD的面积之比为4：2：3可得出AE：EC=2：1AD：BD=2：1则可证明DE∥BC利用平行线的性质与相似三角形的判定可得△ACD∽△ABC与△ACD∽△ADE根解析：3【分析】根据△ADE，△DEC，△BCD的面积之比为4：2：3，可得出AE：EC=2：1，AD：BD=2：1，则可证明DE∥BC，利用平行线的性质与相似三角形的判定可得△ACD∽△ABC与△ACD∽△ADE，根据相似三角形的判定可推出BC CDCD DE=，计算后即可得出结论．【详解】解：如图，∵S△ADE：S△DEC=4：2，∴AE：EC=2：1，∵S△ADE：S△DEC：S△BCD =4：2：3，∴S△ACD：S△BCD=6：3，∴AD：BD=2：1，∵AE ADEC BD=，∴DE ∥BC ，∴∠B=∠ADE ，∵∠ACD=∠ADE ，∴∠ACD=∠B ，∵∠A=∠A ，∴△ACD ∽△ABC ， ∴BC AB AC CD AC AD==，同理可证：△ACD ∽△ADE ， ∴CD AC AD DE AD AE ==， ∴BC CD CD DE=， ∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ，， ∴DE AD BC AB=， ∵AD ：BD=2：1， ∴23AD AB =， ∴23DE BC =， ∴23DE BC =， ∴223BC BC CD ⋅=， ∵，∴3BC =．故答案为：3．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握平行线的判定与相似三角形的判定与性质是解题的关键．18．4【分析】根据已知利用相似三角形的判定可得到△EFO ∽△BCO 根据相似比可求得CO 的长即可【详解】解：∵点EF 分别是△ABC 中ACAB 边的中点∴EF 是△ABC 的中位线∴EF=BCEF ∥BC ∴△EFO解析：4【分析】根据已知利用相似三角形的判定可得到△EFO ∽△BCO ，根据相似比可求得CO 的长即可．【详解】解：∵点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点．∴EF是△ABC的中位线．∴EF=1BC，EF∥BC．2∴△EFO∽△BCO，且相似比为1：2．∴CO=2FO．∵FC=6．∴OC=2FO=4．故答案为4．【点睛】此题主要考查三角形的中位线的定理和相似三角形的判定方法的掌握．19．或【分析】根据位似图形的有两个在原点同侧或异侧分类讨论根据坐标变化规律求解即可【详解】解：与是以坐标原点为位似中心的位似图形分两种情况当与在原点同侧时E点坐标为：当与在原点异侧时E点坐标为：故答案为--解析：(4,2)或(4,2)【分析】根据位似图形的有两个，在原点同侧或异侧分类讨论，根据坐标变化规律求解即可．【详解】解：ABC与DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，分两种情况，当ABC与DEF在原点同侧时，E点坐标为：(4,2)，--，当ABC与DEF在原点异侧时，E点坐标为：(4,2)--．故答案为：(4,2)或(4,2)【点睛】本题考查了平面直角坐标系中位似图形的坐标变化规律，解题关键是注意分类讨论，熟记位似坐标变化规律．20．①②③【分析】由旋转性质得AD=AC∠ADE=∠C利用AD=AC得到∠ADC=∠C即可推出∠ADC=∠ADE判断①正确；根据∠E=∠B∠AFE=∠BFD即可证明△AEF∽△DBF判断②正确；利用三角解析：①②③【分析】由旋转性质得AD=AC，∠ADE=∠C，利用AD=AC得到∠ADC=∠C，即可推出∠ADC=∠ADE，判断①正确；根据∠E=∠B，∠AFE=∠BFD，即可证明△AEF∽△DBF，判断②正确；利用三角形的外角性质判断③正确；由∠FAD不一定等于∠CAD，不能证明△ADF全等于△ADC，故CD不一定等于DF，由此判断④错误．【详解】由旋转得：AD=AC，∠ADE=∠C，∵AD=AC，∴∠ADC=∠C，∴∠ADC=∠ADE ，即DA 平分∠EDC ，故①正确；∵∠E=∠B ，∠AFE=∠BFD ，∴△AEF ∽△DBF ，故②正确；∵∠ADB=∠ADE+∠BDF=∠C+∠CAD ，∠ADE=∠C ，∴BDF CAD ∠=∠，故③正确；∵∠FAD 不一定等于∠CAD ，AD=AD ，∠ADC=∠ADE ，∴不能证明△ADF 全等于△ADC ，故CD 不一定等于DF ，∴DE-DF 不一定等于BC-CD ，即无法证明EF=BD ，故④错误；故答案为：①②③．【点睛】此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，三角形的外角性质，是一道三角形的综合题．三、解答题21．（1）15°；（2）【分析】（1）由翻折易得BC BF =，FBE EBC ∠=∠，由2BF AB =及直角三角形的性质易得30AFB ∠=︒，再由矩形的对边平行即可得结论；（2）根据翻折易得FAB EDF ∆∆∽，从而有对应边成比例，由此可得DE 的长，从而可得EC 的长，即EF 的长，由勾股定理得DF ，最后可得AD 的长．【详解】（1）将BCE ∆沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处，BC BF ∴=，FBE EBC ∠=∠，2BC AB =，2BF AB ∴=，四边形ABCD 是矩形，∴∠A =90º，//AD BC ，30AFB ∴∠=︒，30AFB CBF ∴∠=∠=︒，1152CBE FBC ∴∠=∠=︒；（2）将BCE ∆沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处， 90BFE C ∴∠=∠=︒，CE EF =，又矩形ABCD 中，90A D ∠=∠=︒，90AFB DFE ∴∠+∠=︒，90DEF DFE ∠+∠=︒，AFB DEF ∴∠=∠，FAB EDF ∴∆∆∽，∴AF AB DE DF =， AF DF AB DE ∴=，10AF DF =，5AB =， 2DE ∴=，523CE DC DE ∴=-=-=，3EF ∴=，2222325DF EF DE ∴=-=-=，255AF ∴==， 25535BC AD AF DF ∴==+=+=．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、图形的翻折，关键是图形的翻折这个条件，由它可得出对应线段相等、对应角相等，充分用好用足它们．22．图见解析；理由见解析【分析】作AB 的垂线即可；利用两个角对应相等的两个三角形相似即可判定．【详解】解：如图，作AB 的垂线，垂足为P ，直线CP 就是所求直线；证明：∵CP ⊥AB ，∴∠CPA=∠BPC=90°，∵90C =∠，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACP=90°，∴∠ACP =∠B ，∴△CPA ∽△BPC ．【点睛】本题考查了尺规作图和相似三角形的判定，解题关键是熟悉尺规作图的方法，根据相似确定如何作图．23．（1）见解析；（2）1(6,2)B -，1(4,2)C --；（3）1(2,2)M x y --．【分析】（1）先确定B ，C 的位置，再确定它们各自关于原点的对称点，最后把对称点的坐标各自扩大2倍即可；（2）点B 关于原点的对称点为（-3,1），扩大2倍，得到1B ；点C 关于原点的对称点为（-2,-1），扩大2倍，得到1C ；（3）利用原点对称原理计算，加上倍数即可．【详解】解：（1）如图，△111O B C 即为所求作．（2）∵点B (3,1)-，∴点B 关于原点的对称点为（-3,1），∴扩大2倍，得到1(6,2)B -；∵点C (2,1)，∴点C 关于原点的对称点为（-2,-1），∴扩大2倍，得到1(4,2)C --．（3）∵点M (,)x y ，∴点M 关于原点的对称点为(,)x y --，∴扩大2倍，得到1(2,2)M x y --．【点睛】本题考查了位似的作图与计算问题，熟练将位似与原点的对称密切联系起来是解题的关键．24．（1）C ；（2）见解析；（3）13AG GF =或3．【分析】（1）根据互为母子三角形的定义即可得出结论；（2）根据两角对应相等两三角形相似得出ABD ADE ∽△△，再根据2AB AD =从而得出结论；（3）根据题意画出图形，分当,G E 分别在线段,AD AC 上时和当,G E 分别在射线,DA CA 上时两种情况加以讨论；【详解】（1）∵DEF 与ABC 互为母子三角形， ∴1=2DE AB 或2 故选：C （2）AD 是BAC ∠的角平分线，BAD CAD ∴∠=∠，ADE B ∠=∠，ABD ADE ∴∽．又2AB AD =，ABD ∴与ADE 互为母子三角形．（3）如图，当,G E 分别在线段,AD AC 上时，AGE 与ADC 互为母子三角形，2CD AD GE AG∴==， AG DG ∴=， AD 是中线，BD CD ∴=，又//GE BC ，GEF DBF ∴∽△△．2DF DB CD GF GE GE∴===， 3DG GF ∴=，3AG GF∴=．如图，当,G E 分别在射线,DA CA 上时，AGE 与ADC 互为母子三角形，2CD AD GE AG∴==， 1123AG AD DG ∴==，AD 是中线，BD CD ∴=，又//GE BC ，GEF DBF ∴∽△△．2DF DB CD GF GE GE ∴===， DG GF ∴=， 13AG GF ∴=．综上所述，13AG GF =或3【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解．25．（1）见详解；（2）见详解；（3）356 【分析】（1）利用相似三角形的判定定理直接证明即可（2）利用平行线分线段成比例定理，再证明,ABC DBC △AME ∽△△DEN ∽△，CEN AME ABC △∽CAD,△∽△，根据三角形相似的性质即可解答．（3）结合（2）的结论将AD=5，BC=7，代入即可求得MN 的长【详解】（1）//MN BCAME ABC ∴△∽△，（2）//AD MN ，//AD BCDE AE BD AC ∴= //MN BC,ABC DBC ∴△AME ∽△△DEN ∽△,AE ME DE NE AC BC BD CB ∴== ME NE BC BC∴= ME NE ∴=∴E 是MN 的中点，ME=NE=12MN //BC//AD MNCEN AME ABC ∴△∽CAD,△∽△,NE CE ME AE AD AC BC AC ∴== 1NE ME CE AE AC AD BC AC AC AC ∴+=+== 1NE ME AD BC∴+= 111ME AD BC∴=+ （3）结合（2）的结论，5,7AD BC == 11157MN ∴=+ 3512ME ∴=ME NE =7035126MN ME NE ∴=+== 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，利用比例的等量关系解题．26．【分析】根据相似三角形的性质确定两直角边的比值为1：2，以及6×6网格图形中，最长线段为【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，∴AB＝5，AC：BC＝1∶2，∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1∶2，若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为2，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE10，EF＝10，DF＝2的三角形，∵102105210，5∴△ACB∽△DEF，∴∠DEF＝∠C＝90°，∴此时△DEF1010÷2＝10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为2．【点睛】本题考查了作图-应用与设计、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．。

秋九年级数学上册第四章图形的相似8图形的位似第2课时位似变换的坐标变化规律习题课件新版北师大版

y 轴分别交于 A,B 两点,△BOC 与△B′O′C′
是以点 A 为位似中心的位似图形,且相似比为 1∶2,则点 B′的坐标为_(_3_,2_)或__(_－_9_,_－_2_).
图 4－8－12
[解析] ∵直线 y＝13x＋1 与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点,令 x＝0 可得 y＝1；令 y＝0 可得 x＝－3,∴点 A 和点 B 的坐标分别为(－3,0),(0,1). ∵△BOC 与△B′O′C′
且相似比为13,点 A,B,E 在 x 轴上,若正方形 BEFG 的边长为 6,则点 C 的坐标为( A )
A. (3,2)
B. (3,1) C. (2,2) D. (4,2)
图 4－8－11
第2课时位似变换的坐标变化规律
5. (2017·遂宁)如图 4－8－12,直线 y＝13x＋1 与 x 轴、
第四章图形的相似
第2课时位似变换的坐标变化规律
A 知识要点分类练 B 规律方法综合练 C 拓广探究创新练
第2课时位似变换的坐标变化规律
A 知识要点分类练
知识点位似变换的坐标变化
1. 如图 4－8－8,在平面直角坐标系中,已知点 O(0,0),A(6,0),B(0,8),以
某点为位似中心,作出与△AOB 的位似比为 k
的位似△CDE,则位似中心的坐标和 k 的值分
别为( B )
A. (0,0),2
2),2
1 D. (1,1),2
图 4－8－8
第2课时位似变换的坐标变化规律
2. 如图 4－8－9,在边长为 1 的小正方形组成的网格中建立平面直角
坐标系,△ABO 与△A′B′O′是以点 P 为位似中心的位似图形,它们

九年级数学上册第四章图形的相似 8 图形的位似位似课标解读素材 (新版)北师大版

位似课标解读一、课标要求包括位似图形和直角坐标系中的位似图形．?义务教育数学课程标准〔 2022年版〕?对位似一节相关内容提出的要求是：1．了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小．2．在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标〔有一个顶点为原点、有一个边在横坐标轴上〕分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的．二、课标解读1．课标定位于让学生知道位似是一种变换，一种可以将图形放大或缩小的变换，强化了图形变换的意识，在学习位似之前，学生已经学习了平移、旋转〔含中心对称〕、轴对称三种变换，变换前后两个图形是全等形．在学习了相似形的知识后，还有必要让学生了解：初等几何变换还有相似变换，其中最简单的是位似变换，它是可以把图形放大缩小的一种变换．这种变换在生活中的例子除了在放映机、照相机等成像过程中常见外，还可以用位似变换来设计艺术字．几何图形的直观，为运用图形运动的方法研究图形性质提供了有利条件．通过图形的运动探索发现并确认图形的一些性质，有助于学生开展几何直观能力和空间观念，有利于学生提高研究图形性质的兴趣、体会研究图形性质可以有不同的方法．学生通过观察图形的共同特点，从而归纳出位似图形的概念和简单特性，表达了研究几何问题的一般方法．对于图形的概念学习，尤其要注重概念的生成过程和根本含义，并且将图形的相似、位似与简单作图等内容巧妙地结合在一起，让学生进一步体会图形相似、位似的应用价值和丰富的内涵，有意识地培养学生积极的情感和态度，促进学生观察、操作、分析、概括等一般能力和审美意识的开展．2．学生已经学过在平面上建立直角坐标系，在直角坐标系中确定图形的位置：如用坐标描述点的位置、刻画一个简单图形的位置等．之后学习了在直角坐标系中进行图形的运动，并描述运动后图形的位置及其对应顶点坐标之间的关系：如把一个多边形沿坐标轴平移、或以坐标轴为对称轴进行轴对称变换后，能用坐标描述图形的位置，并体会对应顶点坐标之间的关系．本节的主要内容是在直角坐标系中把一个多边形放大或缩小，并且变化后的图形与原图形是位似图形．这实际上是图形的位似变换，有助于学生体会如何在坐标系中画一个图形的位似图形．经过这种变换，“对应顶点的坐标之间的关系〞是显然的，但给出的多边形的顶点坐标以整数为宜，以防止给画图带来不便．本节内容是在平面直角坐系下研究位似图形的点的坐标的变化特点及应用这个特点画图，是在平面直角坐标系下研究相似变换的根底．在学习本节课前学生已学习了在平面直角坐标系中画平移、轴对称和旋转〔中心对称〕，由于一般的相似变换在平面直角坐标系下的描述比较复杂，所以只研究平面直角坐标系下的位似变换，而且是位似中心在原点的特殊情况，也是最简单的情况．在生活和生产中有时需要放大〔或缩小〕一个图形，利用位似〔特别是利用平面直角坐系下的位似〕可以很方便地将一个图形放大或缩小．本节可以采用“问题情境──探究规律──归纳规律──解释应用〞的根本模式，在探究归纳局部，由于要画的图较多，学生画图然后总结会需要很长时间，所以老师可以通过画板演示〔利用画板可以很方便地让图形动起来，有利于学生发现数量关系〕，学生观察归纳的方法，让学生经历了知识的形成与应用过程，从而更好的理解平面直坐标系下位似图形的点的坐标变化特点及利用这个特点画出平面直角坐标系下的位似图形，开展学生应用数学的意识，增强学生学好数学的愿望和信心．。

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位似中考直播厅随着课标的实施和课标教材的推广，一大批体现新课标理念的试题悄悄的走进了各地的中考试题中，集中考察了同学们利用所学知识解决问题的能力，现以关于位似图形的中考题来加以说明，帮助同学们了解这部分知识的考试动态．一．根据位似求比值例1 （青海）如图1，DEF △是由ABC △经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D E F ，，分别是OA OB OC ，，的中点，则DEF △与ABC △的面积比是（）A ．1:6B ．1:5C ．1:4D ．1:2解析:依题意得△DEF∽△ABC,41)(2==∆∆AB DE S S ABC DEF ,所以应选C ．例2 （湖北荆州）如图2，五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，O 为位似中心，OD =12OD′，则A′B′:AB 为（）A ．2:3B ．3:2C ．1:2D ．2:1解析:因为位似一定相似，且位似比为OD: OD′=1:2,所以五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′,所以A′B′:AB=2:1,故应选D ．二．确定位似中心例3 （威海）如图3，已知△EFH 和△MNK 是位似图形，那么其位似中心是点_______．解析:在位似图形中,对应顶点的连线相交于一点，这一点叫做位似中心,所以连接HK 和FN 交于B 点，所以其位似中心是点B ．三．作位似图形例4 （宁夏回族自治区，有改动）如图4，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB 的顶点O 、A 、B 均在格点上，且O 是直角坐标系的原点，点A 在x 轴上．以O 为位似中心，将△OAB 放大，使得放大后的△△OA 1B 1与△OAB 对应线段的比为2：1，画出△OA 1B 1．（所画△11B OA 与△OAB 在原点两侧）．解析:本题考查了同学们对位似图形的掌握，能够正确应用位似图形的概念画出位似图形．画位似图形时，关键是要抓住位似中心和位似比．解:如图3，△11B OA 就是△OAB 放大后的图象．M。

九年级数学上册图形的相似4.8图形的位似位似图形的概念及性质精练含年新题北师大版

第四章图形的相似8 图形的位似第1课时位似图形的概念及性质测试时间:25分钟一、选择题1.下列说法中正确的是( )A.位似图形可以通过平移得到B.位似图形的对应边平行且相等C.位似图形的位似中心不只有一个D.位似中心到对应点的距离之比都相等答案 D 位似是相似的特殊形式,位似图形的对应边平行(或在同一条直线上),但不一定相等,位似图形的位似中心只有一个.能通过平移而得到的图形是全等图形,且没有位似中心.位似中心到对应点的距离之比都相等,∴故选D.2.两个位似图形的位似中心是指( )A.对应边的延长线的交点B.两个图形顶点连线的交点C.对应角平分线的交点D.对应顶点连线的交点答案 D3.下列关于位似图形的表述:①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形;②位似图形一定有位似中心;③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形;④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.其中正确结论的序号是( )A.②③B.①②C.③④D.②③④答案 A 由位似图形的定义可知①④错误,②③正确,故选A.4.下列图形中,不是位似图形的是( )答案 B A、C、D符合位似图形的定义,B不符合位似图形的定义,故选B.5.如图,以点O为位似中心,将△ABC放大后得到△DEF,已知△ABC与△DEF的面积比为1∶9,则OC∶CF的值为( )A.1∶2B.1∶3C.1∶8D.1∶9答案 A ∵△ABC与△DEF位似,∴△===,∴=,∴=,故选A.△6.如图,在平面直角坐标系中,与△ABC是位似图形的是( )A.①B.②C.③D.④答案 C 因为题图中③与△ABC不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,所以与△ABC是位似图形的是③.二、填空题7.在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,以点A为位似中心,把△ABC放大为原来的2倍后得△AB´C´,则∠B´等于.答案72°解析在△ABC中,因为∠A=36°,AB=AC,所以∠B=(180°-∠A)=72°.因为△ABC和△AB´C´是以点A为位似中心的位似图形,所以△ABC∽△AB´C´,所以∠B´=∠B=72°.三、解答题8.如图所示,在△ABC中,已知DE∥BC.(1)△ADE与△ABC相似吗?为什么?(2)它们是位似图形吗?如果是,请指出位似中心.解析(1)△ADE与△ABC相似.理由:∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE.(2)是位似图形.由(1)知△ADE∽△ABC.∵△ADE和△ABC的对应顶点的连线BD,CE相交于点A,∴△ADE和△ABC是位似图形,位似中心是点A.9.如图,△DEF是△ABC经过位似变换得到的,位似中心是点O,请确定点O的位置,如果OC=3.6 cm,OF=2.4 cm,求它们的相似比.解析连接AD,CF交于点O,则点O即为所求.∵OC=3.6 cm,OF=2.4 cm,∴OC∶OF=3∶2,∴△ABC与△DEF的相似比为3∶2.10.如图,已知四边形ABCD,用尺规将它放大,使放大前后的图形对应线段的比为1∶2.(画出一种即可)解析解法一:延长AD到点D1,使DD1=AD;连接AC并延长到点C1,使CC1=AC;延长AB到点B1,使BB1=AB.连接D1C1,C1B1,则四边形AB1C1D1即为所求(如图).解法二:延长DA到点D1,使AD1=2AD;连接CA并延长到点C1,使AC1=2AC;延长BA到点B1,使AB1=2AB.连接B1C1,C1D1,则四边形AB1C1D1即为所求(如图).解法三:任取一点O,连接OA并延长到点A1,使AA1=OA,连接OB并延长到点B1,使BB1=OB,连接OC并延长到点C1,使CC1=OC,连接OD并延长到点D1,使DD1=OD,顺次连接A1B1,B1C1,C1D1,D1A1,则四边形A1B1C1D1即为所求(如图).11.如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,已知点O及△ABC的顶点均为网格线的交点.(1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将△ABC放大为原来的三倍,得到△A´B´C´,请画出△A´B´C´;(2)B´C´的长度为个单位长度,△A´B´C´的面积为个平方单位.解析(1)如图所示,△A´B´C´即为所求.(2)如图所示,B´C´的长度==3.∵A´C´=3,∴△A´B´C´的面积=×3×6=9,故答案为3;9.。

图形的位似(第2课时)(优质课件)九年级数学上册(北师大版)

A′ -6 -4 -2 O
-2
A 24
6
y （2） △OAB和△OA′B′是位似的
，位似中心是点O，相似比是-2.
-4
-6 B′
在直角坐标系中，四边形OABC 的顶点坐标分别为A(4,2)，B(8,6)， C(6,10)， D(-2,6).将点O，A，B， C的横、纵坐标都乘 1 ，得到四个
2
点，以这四个点为顶点的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比.
随堂练习
1.如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是
()
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
2.将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中
属于位似变换的是
()
A. 将各点的纵坐标乘 2，横坐标不变
B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变
C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘 2
D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2
y 10
C
8 D 6 C′(3,5) B
D′4(-1,3B)′(4,3) 2 A′(2,A1)
-4-2 O 2 4 6 8 x -2
-4
-6
将点O，A，B，C的横、纵
坐标都乘
1 2
呢？
y 10
C
8 D 6 C′(3,5) B
D′(4-1,3)B′(4,3)
2 A′(2,A1)
-4 -2A′O ′2(-24,-16) 8 x B′′(---24,-D3′)′(1,-3)
2 C'' A'' -4 -2 O
-2
B'' -4
B B'

九年级数学第四章图形的相似课时练习题及答案

九（上）第四章图形的相似分节练习第1节成比例线段1、在某市城区地图（比例尺1：9000）上;新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16 cm 和10 cm . ★（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？2、【基础题】已知P 是线段AB 上的一点;且AP ：PB ＝2：5;则AB ：PB ＝______. ★★★3、【基础题】已知a;b;c;d 是成比例线段;其中a ＝3 cm;b ＝2 cm;c ＝6 cm;求线段d 的长. ★【基础题】已知DC BD EA BF ＝;且3＝BD ;2＝DC ;4＝EA ;则BF ＝______. ★★★ 4、【基础题】（1）已知2＝b a ;求b b a ＋; （2）已知25＝b a ;求ba b a ＋－. ★★★ 5、【基础题】若2＝＝＝fe d c b a ;且4＝＋＋f d b ;则＝＋＋e c a ______. ★ k c b a b c a a c b ＝＋＝＋＝＋（0≠c b a ＋＋）;那么函数k kx y ＋＝的图象一定不经过第______象限. ★6、【综合题】若235cb a ＝＝;且8＝＋－c b a ;则a ＝______. ★ 6.1【提高题】已知151110a c c b b a ＋＝＋＝＋;求a ：b ：c ☆第2节平行线分线段成比例 7、【基础题】如左下图;321l l l ∥∥;两条直线被它们所截; AB ＝2;BC ＝3;EF ＝4;求DE. ★7.1【综合题】如右上图;321////l l l ;AM ＝2;MB ＝3;CD ＝4.5;则ND ＝______;CN ＝______. ★8、如左下图;ABC △中;DE BC ∥;2AD =;3AE =;4BD =;则AC =______. ★★★8.1、【综合题】如右上图;在△ABC 中;EF ∥CD ;DE ∥BC ;求证：AF ·BD ＝ AD ·FD ★l 3l 2l 1F E D C B A第3节相似多边形9、【基础题】下列各组图形中;两个图形形状不一定相同的是（） ★A 、两个等边三角形B 、有一个角是35°的两个等腰三角形C 、两个正方形D 、两个圆9.1、【综合题】下列各组图形中相似的图形是（） ★A 、对应边成比例的多边形B 、四个角都对应相等的两个梯形C 、有一个角相等的两个菱形D 、各边对应成比例的两个平行四边形10、【基础题】以正方形各边中点为顶点;可以组成一个新正方形;求新正方形与原正方形的相似比. ★10.1、【综合题】两个正六边形的边长分别为a 和b ;请问它们是否相似？不相似请说明理由;相似求出相似比. ★11、【基础题】已知矩形草坪长20 m ;宽10 m ;沿草坪四周外围有1 m 宽的环形小路;小路内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？11.1【综合题】如图有一张矩形纸片;折成一半后形成的矩形与原矩形相似;则原矩形的长、宽的比是多少？ ★12、六边形ABCDEF ∽六边形111111F E D C B A ;ο62＝B ∠;则1B ∠＝______.第4节探索三角形相似的条件13、【基础题】从下面这些三角形中;选出相似的三角形． ★★★13.1【基础题】如图;在下列每个图形中（每个图形都各自独立）;是否存在相似的三角形;如果存在;把它们用字母表示出来;并简要说明识别的根据． ★★★14、【基础题】如左下图;D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点;DE ∥BC;AD ＝2;BD ＝3;DE ＝4;求BC 的长. ★★★14.1【基础题】如右上图;BD 和EC 相交于点A;ED ∥BC;BD ＝12;AD ＝4;EC ＝9;则AC ＝______. ★★★14.2、【基础题】如左下图;在△ABC 中;点D 、E 在BC 上;且FD ∥AB ;FE ∥AC ;那么△ABC 和△FDE是否相似;为什么？ ★★★14.3【基础题】如右上图;为了估算河的宽度;我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ;再在河的这一边选点B 和C ;使BC AB ⊥;然后再选点E ;使BC EC ⊥;确定BC 与AE 的交点为D ;测得120=BD 米;60=DC 米;50=EC 米;你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？ ★★★14.4【综合题】如左下图;△ABC 为等边三角形;双向延长BC 到D 、E;使得∠DAE ＝120°;求证：BC 是BD 、CE 的比例中项. ★15、【基础题】如右上图在Rt △ABC 中; ∠ACB ＝90°;CD ⊥AB 于D . ★★★（1）请指出图中所有的相似三角形; （2）你能得出AD CD ＝2·DB 吗？15.1、【综合题】如右图;正方形ABCD 的边长为2;AE ＝EB;MN ＝1;线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动;当CM= 时;ΔAED 与N;M;C 为顶点的三角形相似. ★16、【综合题】右边四个三角形;与左边的三角形相似的是（） ★★★16.1、【综合题】如右图;在大小为4×4的正方形网格中;是相似三角形的是（） ★★★A. ①和②B. ②和③C. ①和③D. ②和④17、【综合题Ⅱ】（巴中）如图;在平行四边形ABCD 中;过点A 作AE ⊥BC;垂足为E;连接DE;点F 为线段DE 上一点;且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF ∽△DEC;（2）若AB=8;AD=6;AF=4;求AE 的长．黄金分割18、【综合题Ⅰ】如图;点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ）;已知AB ＝2 cm;求AC 的长度和ABAC 的值. ★18.1【基础题】已知M 是线段AB 的黄金分割点;且AM ＞BM . （1）写出AB 、AM 、BM 之间的比例式;（2）如果AB ＝12 cm ;求AM 与BM 的长. ★【基础题】一支铅笔长16 cm ;把它按黄金分割后;较长部分涂上橘红色;较短部分涂上浅蓝色;那么橘红色部分的长是 _____ cm ;浅蓝色部分的长是 ____ cm . （结果保留一位小数） ★第5节相似三角形判定定理的证明19、【综合题Ⅰ】如左下图;BC AE AB DE AC AD ＝＝. 求证：AE AB ＝. ★20、【综合题Ⅲ】如右上图;在等边三角形ABC 中;点D 、E 、F 分别是三边上的点;且AE ＝BF ＝CD ;那么△ABC 与△DEF 相似吗？请说明理由. ☆21、【综合题Ⅲ】如图;在ABC △中（∠B ≠∠C ）;AB =8 cm;BC =16 cm;点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2 cm/s 的速度移动;点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4 cm/s 的速度移动;如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发; 经几秒钟△PBQ 与△ABC 相似？试说明理由. ★第6节利用相似三角形测高22、【基础题】高4 m 的旗杆在水平地面上的影子长6 m;此时测得附近一个建筑物的影长24 m;求该建筑物的高.★★★、【基础题】旗杆的影子长6米;同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10米;如果此时附近的小树影子长3米;那么小树有多高？ ★22.2【综合题Ⅰ】（2007湖南怀化）如图;九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度;已知标杆高度3m CD =;标杆与旗杆的水平距离15m BD =;人的眼睛与地面的高度 1.6m EF =;人与标杆CD 的水平距离2m DF =;人的眼睛E 、标杆顶点C 和旗杆顶点A 在同一直线;求旗杆AB 的高度． ★★★22.3、【综合题Ⅲ】张明同学想利用树影测校园内的树高。

北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》图形的位似同步练习及答案 (1)

4.8图形的位似同步练习第1课时位似多边形及其性质1.了解位似多边形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别；（重点）2.掌握位似图形的性质，会画位似图形；（重点）3.会利用位似将一个图形放大或缩小.（难点）一、情景导入生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的.观察下图，图中有相似的多边形吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？二、合作探究探究点一：位似多边形如图所示，指出下列各图中两个图形是否是位似图形？若是，请指出位似中心.解：（1）（2）（4）三图中的两图形都是位似图形，位似中心分别为A，P，P.方法总结：解决此类题的关键是首先要判断两个图形是不是相似图形，然后再找出对应点，作出几对对应点所在的直线，观察是否经过同一个点.若两个图形是相似图形，且所作的直线经过同一个点，则这两个图形是位似图形，据此可判断（1）（2）（4）是位似图形，（3）不是位似图形.探究点二：位似多边形的性质如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O位似，BO＝3，B′O＝6.（1）若AC＝5，求A′C′的长；（2）若△ABC的面积为7，求△A′B′C′的面积.解：（1）因为△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比为OB：OB′＝3：6＝1：2，所以AC A ′C ′＝12，即5A ′C ′＝12，所以A ′C ′＝10；（2）根据题意，得S △ABC S △A ′B ′C ′＝（AC A ′C ′）2＝14，即7S △A ′B ′C ′＝14，所以S △A ′B ′C ′＝7×4＝28. 方法总结：位似多边形是一种特殊的相似图形，图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比，可利用相似三角形的性质解决有关问题.探究点三：位似多边形的画法（1）如图甲，在位似中心点O 的异侧，作出已知四边形ABCD 的位似图形A ′B ′C ′D ′，使四边形A ′B ′C ′D ′与四边形ABCD 的相似比为2：3；（2）如图乙，已知五边形ABCDE ，在位似中心点O 的同侧作五边形ABCDE 的位似图形A ′B ′C ′D ′E ′，使五边形A ′B ′C ′D ′E ′与五边形ABCDE 的相似比为1：3；（3）如图丙，已知六边形ABCDEF ，位似中心点O 在AB 边上，在点O 的另一侧作位似图形A ′B ′C ′D ′E ′F ′，使六边形A ′B ′C ′D ′E ′F ′与六边形ABCDEF 的相似比为1：2.解：（1）画法如下：①分别连接OA ，OB ，OC ，OD 并反向延长；②分别在AO ，BO ，CO ，DO 的延长线上截取OA ′，OB ′，OC ′，OD ′，使OA ′OA ＝OB ′OB ＝OC ′OC＝OD ′OD ＝23； ③顺次连接A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′A ′.四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的四边形；（2）画法如下：①分别连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ；②分别在AO ，BO ，CO ，DO ，OE 上截取OA ′，OB ′，OC ′，OD ′，OE ′，使OA ′OA ＝OB ′OB ＝OC ′OC ＝OD ′OD ＝OE ′OE ＝13； ③顺次连接A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′E ′，E ′A ′.五边形A ′B ′C ′D ′E ′就是所求作的五边形；（3）画法如下：①分别连接AO ，BO ，CO ，DO ，EO ，FO 并延长；②分别在AO ，BO ，CO ，DO ，EO ，FO 的延长线上截取OA ′，OB ′，OC ′，OD ′，OE ′，OF ′，使OA ′OA ＝OB ′OB ＝OC ′OC ＝OD ′OD ＝OE ′OE ＝OF ′OF ＝12； ③顺次连接A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′E ′，E ′F ′，F ′A ′.六边形A ′B ′C ′D ′E ′F ′就是所求作的六边形.方法总结：（1）画位似图形时，要注意相似比，即分清楚是已知原图与新图的相似比，还是新图与原图的相似比.（2）画位似图形的关键是画出图形中顶点的对应点.画图的方法大致有两种：一是每对对应点都在位似中心的同侧；二是每对对应点都在位似中心的两侧.（3）若没有指定位似中心的位置，则画图时位似中心的取法有多种，对画图而言，以多边形的一个顶点为位似中心时，画图最简便.三、板书设计位似多边形及其性质⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P ，P ′所在的直线都经过同一点O ，且有OP ′＝k ·OP （k ≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形性质⎩⎪⎨⎪⎧①两个图形相似②对应点的连线相交于一点，对应边互相平行或在同一条直线上③任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比作位似图形：关键是确定位似中心、相似比和找关键点的对应点位似是相似图形的延伸和深化.经历位似图形的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，培养学生动手操作的能力，体验学习的乐趣.位似图形在实际生产和生活中有着广泛的应用，通过现实情境，进一步发展学生从数学角度提出问题、分析问题、解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的联系. 第2课时平面直角坐标系中的位似变换1.理解位似图形的坐标变化规律；（难点）2.能熟练在坐标系中根据坐标的变化规律作出位似图形.（重点）一、情景导入观察如图所示的坐标系中的几个图形，它们之间有什么联系？二、合作探究探究点：平面直角坐标系中的位似变换【类型一】求在坐标系中进行位似变化对应点的坐标在平面直角坐标系中，已知点A （6，4），B （4，－2），以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是（） A.（3，2） B.（12，8）C.（12，8）或（－12，－8）D.（3，2）或（－3，－2）解析：根据题意画出相应的图形，找出点A 的对应点A ′的坐标即可.如图，△A ′B ′O 与△A ″B ″O 即为所作的位似图形，可求得点A 的对应点的坐标为（3，2）或（－3，－2）.故选D.方法总结：位似图形与位似中心有两种情况：（1）位似图形在位似中心两侧；（2）位似图形在位似中心同侧.若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解.【类型二】在平面直角坐标系中画位似图形如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （2，4），C （4，5），D （3，1）围成四边形ABCD ，作出一个四边形ABCD 的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2：1，位似中心是坐标原点.解析：以坐标原点O 为位似中心的两个位似图形，一种可能是位似图形在位似中心同侧，此时各顶点的坐标比为2；另一种可能是位似图形在位似中心的两侧，此时各顶点的坐标比为－2，此题作出一个即可.解：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，分别取A ′（2，4），B ′（4，8），C ′（8，10），D ′（6，2），顺次连接A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′A ′.则四边形A ′B ′C ′D ′就是四边形ABCD 的一个位似图形.方法总结：画以原点为位似中心的位似图形的方法：将一个多边形各点的横坐标与纵坐标都乘±k （或除以±k ），可得新多边形各顶点的坐标，描出这些点并顺次连接这些点即可.三、板书设计平面直角坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k （k ≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k |.位似变换是特殊的相似变换.以学生的自主探究为主线，培养学生的探索精神和合作意识.注重数形思想的渗透，通过坐标变换，在平面坐标系中，让学生画图、观察、归纳、交流，得出结论.在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律.通过交流合作，体验到成功的喜悦，树立学好数学的自信心.。

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图 4－8－12
1 [解析] ∵直线 y＝ x＋1 与 x 轴、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 轴分别交于 A,B 两点,令 x＝0 可得 y＝1；令 3 y＝0 可得 x＝－3,∴点 A 和点 B 的坐标分别为(－3,0),(0,1). ∵△BOC 与△B′O′C′ OB AO 1 是以点 A 为位似中心的位似图形,且相似比为 1∶2,∴ ＝＝ ,∴O′B′＝ O′B′ AO′ 2 2,AO′＝6,∴当点 B′在第一象限时,点 B′的坐标为(3,2)；当点 B′在第三象限时,点 B′的坐标为(－9,－2). ∴点 B′的坐标为(3,2)或(－9,－2).
第2课时位似变换的坐标变化规律
2. 如图 4－8－9,在边长为 1 的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系,△ABO 与△A′B′O′是以点 P 为位似中心的位似图形,它们的顶点均在格点(网格线的交点)上,则点 P 的坐标为( C ) A. (0,0) B. (0,1) C. (－3,2) D. (3,－2)
图 4－8－10
第2课时位似变换的坐标变化规律
解：(1)平面直角坐标系如图所示 ,B(2,1).
(2)画出△A′B′C′如图所示. 1 (3)S＝ ×4×8＝16. 2
第2课时位似变换的坐标变化规律
B 规律方法综合练
4. [2016· 烟台] 如图 4－8－11,在平面直角坐标中,正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形, 1 且相似比为 ,点 A,B,E 在 x 轴上,若正方形 BEFG 3 的边长为 6,则点 C 的坐标为( A ) A. (3,2) B. (3,1) C. (2,2) D. (4,2) 图 4－8－11
第2课时位似变换的坐标变化规律
解：(1)△A1B1C1 如图所示,B1(1,3). (2)△A′B′C′如图所示,B′(－2,－6).
第四章图形的形似
8 图形的位似
第四章图形的相似
第2课时位似变换的坐标变化规律
A 知识要点分类练 B 规律方法综合练 C 拓广探究创新练
第2课时位似变换的坐标变化规律
A 知识要点分类练
知识点位似变换的坐标变化
1. 如图 4－8－8,在平面直角坐标系中,已知点 O(0,0),A(6,0),B(0,8),以某点为位似中心,作出与△AOB 的位似比为 k 的位似△CDE,则位似中心的坐标和 k 的值分别为( B ) A. (0,0),2 C. (2,2),2 1 B. (2,2), 2 1 D. (1,1), 2 图 4－8－8
第2课时位似变换的坐标变化规律
1 5. (2017· 遂宁)如图 4－8－12,直线 y＝ x＋1 与 x 轴、 3 y 轴分别交于 A,B 两点,△BOC 与△B′O′C′ 是以点 A 为位似中心的位似图形,且相似比为
(3,2)或(－9,－2) 1∶2,则点 B′的坐标为____________.
图 4－8－9
第2课时位似变换的坐标变化规律
[解析] 如图所示,点 P 即为所求,故点 P 的坐标为(－3,2). 故选 C.
第2课时位似变换的坐标变化规律
3. 如图 4－8－10 所示,△ABC 在网格中(每个小方格的边长均为 1). (1)请在网格上建立平面直角坐标系,使 A 点坐标为(2,3),C 点坐标为(6,2),并求出 B 点坐标； (2)在(1)的基础上,以原点 O 为位似中心,相似比为 2,在第一象限内将△ABC 放大,画出放大后的△A′B′C′； (3)计算△A′B′C′的面积 S.
第2课时位似变换的坐标变化规律
C 拓广探究创新练
6. 在平面直角坐标系中,△ABC 的位置如图 4－8－13 所示,其中点 B(－3,1),解答下列问题： (1)画出△ABC 绕着点 O(0,0)顺时针旋转 90°得到的△A1B1C1,并写出点 B1 的坐标； (2) 画出以点 O 为位似中心 , 在另一侧将 △A1B1C1 放大为原来的 2 倍得到的△A′B′C′, 并写出点 B′的坐标. 图 4－8－13