数值分析-正交多项式
数值分析学习课件
§2.正交多项式
性质3. n次多项式 P (x)有n个互异实根，且全部(a, b)内。 n 性质4.设 P (x)的n个实根为x1 , x2 ,..., xn P + 1 (x) 的n+1 ，n n 个实根为 x1 , x2 ,..., xn1 ，则有
a x1 x1 x 2 x2 ...
{ j(x) = e kj x , ki kj } 对应指数多项式 /* exponential
polynomial */
§1.函数逼近的基本概念
定义 权函数：
①
离散型 /*discrete type */
根据一系列离散点 ( xi , yi ) (i 1, ... , n) 拟合时，在每一误
Pk(x)
kl kl
由 P0 1, P1 x 有递推 (k 1) Pk 1 (2k 1) xP kPk 1 k
k
0
1
2 3
P0 ( x) 1 P ( x) x 1
P2 ( x ) =
4
1 P3 ( x ) = (5 x3 - 3x) 2 1 P4 ( x ) = (35 x 4 - 30 x 2 + 3) 8
第三章
函数逼近
/* Approximation Theory */
第一讲
§1.函数逼近的基本概念
§2.正交多项式
§1.函数逼近的基本概念
已知 x1 … xm ; y1 … ym, 求一个简单易算的近 m 似函数 P(x) f(x) 使得 | P ( xi ) yi |2 最小。
i 1
已知 [a, b]上定义的 f(x)，求一个简单易算的 b 近似函数 P(x) 使得 a [ P( x) f ( x)]2 dx 最小。
数值分析课后参考答案06
第六章习题解答1、设函数01(),(),,()n x x x φφφ 在[,]a b 上带权()x ρ正交，试证明{}()nj j x φ=是线性无关组。
证明：设0()nj jj l x φ==∑，两端与01()(,,,)kx k n φ= 作内积，由()jx φ的正交性可知，200(),()((),())((),())()()n n b k j j j k j k k k k k a j j x l x l x x l x x l x x dx φφφφφφρφ==⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑⎰， 于是有001(,,,)k l k n == ，即{}()nj j x φ=是线性无关组。
2、试确定系数,a b 的值使22(()cos )ax b x dx π+-⎰达到最小。
解：定义02,[,]f g C π∈上的内积为20fgdx π⎰，取011(),()x x x ϕϕ==，()s x ax b =+，()cos f x x =，则法方程为0001010111(,)(,)(,)(,)(,)(,)f a f b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中()2000112,dx ππϕϕ=⨯=⎰，()2201018,xdx ππϕϕ=⨯=⎰，()3211024,x xdx ππϕϕ=⨯=⎰，()2001,cos f xdx πϕ==⎰，()21012,cos f x xdx ππϕ==-⎰，于是方程组为22312812824a b πππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，解之得1158506644.,.a b ==-。
3、已知函数11()(,)f x x =∈-，试用二类Chebyshev 多项式()n U x 构造此函数的二次最佳平方逼近元。
解：法一、取20121(),(),(),x x x x x ϕϕϕ===()()()00112222235,,,,,ϕϕϕϕϕϕ===，()()()011202203,,,,ϕϕϕϕϕϕ===，同时由二类Chebyshev 多项式的性质知 ()()()11101211028,,,,,f f f x ππϕϕϕ---======⎰⎰⎰于是可得法方程为0122203220003220835c c c ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，解之得0121.0308,0,0.7363c c c ===-， 于是()f x 的二次最佳逼近元是2001122() 1.03080.7363x c c c x ϕϕϕϕ=++=-法一、二类Chebyshev 多项式2012()1,()2,()41U x U x x U x x ===-，取内积权函数()()x f x ρ==，于是11200114(,)(1)3f U fU dx x dx ρ--==-=⎰⎰，1121111(,)2(1)0f U fU dx x x dx ρ--==-=⎰⎰，112222114(,)(41)(1)15f U fU dx x x dx ρ--==--=-⎰⎰ 由()n U x 正交性及(,)2n n U U π=可得0000(,)8(,)3f U c U U π==，1111(,)0(,)f U c U U ==，2222(,)8(,)15f U c U U π==-， 于是()f x 的二次最佳逼近元为001122()x c U c U c U ϕ=++=21632515x ππ- 4、设012{(),(),()}L x L x L x 是定义于[0,)+∞上关于权函数()xx eρ-=的首项系数为1的正交多项式组，若已知01()1,()1L x L x x ==-，试求出二次多项式2()L x 。
数值分析5 5正交多项式
为 f, g 在 [a, b] 上的内积.
➢ 内积的性质 (1) ( f, g) ( g, f ) ; (2) (k f, g) ( f, kg ) k( f, g)，k为常数;
(3) ( f1 f2, g) ( f1, g ) ( f2, g ) ; (4) 若在[a, b]上 f (x) 0, 则 ( f, f )>0.
三、正交与正交函数系
➢定义 若内积
b
( f , g) (x) f (x)g(x)dx 0
a
则称 f, g 在 [a, b] 上带权 x 正交.
➢ 正交函数系
定义 若函数系 0x,1x, ) a ( x)i ( x) j ( x)dx ai 0, i j
ci =0
i = 0, 1, … , n .
定理5.6 设 kx 是 最高项系数不为零的k 次多项式, k = 0,1,2,…; 则{kx}是 [a, b] 上带权 x的正交多项式系
对任何次数不高于k 1的多项式 q x , 总有
b
(q,k ) (x)q(x)k ( x)dx 0.
a
证明方法: (1) 表 q x为次数不超过k 1的 jx的线性组合. (2) 说明{kx}为正交系 满足条件的积分为0.
常见的权函数： (x) 1, a x b;
(x) 1 , 1 x 1; (x) 1 x2 , 1 x 1;
1 x2
(x) ex, 0 x ; (x) ex2 , x .
二、内积
➢定义 给定 f x, gxC[a, b], x是(a, b)上的权函数,称
b
( f , g) (x) f (x)g(x)dx
例 x x2, 构造[1,1]上正交多项式系 {kx}, k=0,1,2,3.
3.2 正交多项式
a1
(xP1, P1) (P1, P1)
0.5
,
b1
(P1, (P0 ,
P1 ) P0 )
0.125
,
P2 (x) (x a1)P1(x) b1P0 (x) (x 0.5)2 0.125
所以, 1, x - 0.5, (x 0.5)2 0.125 为所求在点集 {0, 0.25, 0.5, 0.75,1}上的正交多项式序列.
其中的 (x)0为给定的权函数。
（6）
按连续意义下的内积，若多项式组{k(x)}k=0,…n 满
足条件(7),则称它为在区间[a,b] 上的带权 (x)的正交
多项式序列。
第三章 函数逼近
例3.4 三角函数组 1,cos x,sin x,,cos nx,sinnx 在[ , ]
上是关于权函数1的正交组。
(2)
有了内积，就可以定义正交性。若函数 f (x) 和 g (x) 的内积 (f , g)=0，则称两者正交。
第三章 函数逼近
若多项式组{k(x)}k=0,…n 在离散意义下的内积满足
(i
,
j
)
0, ai
i j 0,i
j
(3)
则称多项式组{k(x)}k=0,…n为在离散点集 {xi}i=0,1,…,m 上的带权 { i}i=0,…m的正交多项式序列.
4
(xP0 , P0 ) i xi P02 (xi ) 2.5 i0
a0
(xP0 , P0 ) (P0 , P0 )
0.5
P1(x) x a0 x 0.5
第三章 函数逼近
数值分析(04)内积空间
数值分析
成 立, 则 , 必 线 性 相 关 为 若 , 线 性 无 关则k R, .因 , 非 零, 都 有 k 0.从 而( k , k ) 0 所 以 等 号 不 成 立 盾. ,矛
数值分析
数值分析
在不同的空间中 , Cauchy Schwarz不 等 式 有 不同的表达形式 .
x T Ax
i , j 1
xa
i
ij
xj
特别，A为n阶对角阵, x的A范数,定义为 x
A
x T Ax
aii xi2
i 1
n
数值分析
数值分析
( 3) f ( x ) C[a , b],
f f ( x ), f ( x ) f ( x ) dx 称 f 为[a , b]上连续函数f ( x )的内积范数。
数值分析
数值分析
前述三种空间关系
线性空间
(,)
内积 空间
|| ||
赋范线性空间
(,) || ||
1 2
数值分析
数值分析
三、内积空间中的正交系
定理1 若1 , 2 , , r是一组两两正交的非零向量, 则1 , 2 , , r 线性无关.
证明
设有 1 , 2 ,, r 使 11 2 2 r r 0
证明 : 任取实数k , 考虑内积 ( k , k ) ( , ) 2k ( , ) k 2 ( , ) 0 利用一元二次方程根的判别式, 有4( , )2 4( , )( , ) 0 所以有( , )2 ( , )( , ) 当 k ( k R, 非 零), 显 然 定 理 中 等 号 成 立 之, 如 果 等 号 ;反
东北大学数值分析-总复习+习题
二、(13分)设函数(x)=x2-sinx-1 (1)试证方程(x)=0有唯一正根; (2)构造一种收敛的迭代格式xk+1=(xk),k=0,1,2,…计算精度为=10-2的近似根; (3)此迭代法的收敛阶是多少?说明之.
解 (1)因为0<x1时,(x)<0,x2时,(x)>0,所以(x)仅在(1,2)内有零点,而当1<x<2 时,(x)>0,故(x)单调.因此方程(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内.
(1) xkp阶收敛于是指: (2) 若()0,则迭代法线性收敛.
lim xk1 C k xk p
4.会建立Newton迭代格式；知道Newton迭代法的优缺点.了解Newton迭代法的变形.
xk 1
xk
f (xk ) f (xk )
局部平方收敛.
五、矩阵特征值问题
1. 了解Gerschgorin圆盘定理, 会估计特征值. 2. 了解乘幂法、反幂法的思想及加速技巧. 3. 了解Jacobi方法的思想以及平面旋转矩阵的构造.
总复习
一、绪论
1.掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限及有效数字的概念。掌握误差 限和有效数字之间的关系。会计算误差限和有效数字。
一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的 半个单位。
定义1 设数x是数x*的近似值，如果x的绝对误差限是它的某一数位的半个单位，并 且从x左起第一个非零数字到该数位共有n位，则称这n个数字为x的有效数字，也 称用x近 似x*时具有n位有效数字。
是不是一种向量范数_____. 是
正交多项式模型
正交多项式模型正交多项式模型一、引言正交多项式模型是统计学中一个重要的概念，主要用于回归分析和时间序列分析等。
它利用正交性，将高维问题转化为低维问题，从而简化计算和建模过程。
本文将介绍正交多项式模型的基本概念、应用和实现方法。
二、正交多项式模型的基本概念正交多项式是一种特殊的多项式，它的各个项之间是正交的，即各项的系数互为相反数。
这种特性使得正交多项式在统计学中有广泛的应用。
正交多项式模型是指利用正交多项式来拟合数据的一类模型，具有简洁、高效和易于解释等特点。
三、正交多项式模型的应用时间序列分析：在时间序列分析中，很多数据的趋势和季节性因素可以用正交多项式来描述。
例如，使用正交多项式模型可以有效地提取时间序列中的长期趋势、季节性和周期性变化。
回归分析：在回归分析中，正交多项式模型可以用来处理自变量和因变量之间的关系，特别是当自变量之间存在多重共线性时，使用正交多项式模型可以有效地消除这种影响。
数据降维：由于正交多项式具有将高维问题转化为低维问题的特性，因此可以用于数据降维。
通过选择合适的正交多项式，可以将高维数据投影到低维空间，从而降低计算复杂度和提高可视化效果。
四、正交多项式模型的实现方法选择合适的正交多项式：根据数据的特性和问题要求，选择合适的正交多项式类型，如Legendre多项式、Chebyshev多项式等。
拟合模型：利用选定的正交多项式对数据进行拟合，通过最小二乘法或其他优化算法求解系数，得到最佳拟合模型。
预测与评估：利用拟合得到的模型进行预测，并对预测结果进行评估和比较，选择最优的模型。
五、结论正交多项式模型是一种高效、简洁和易于解释的统计模型，在回归分析、时间序列分析和数据降维等方面有广泛的应用。
通过选择合适的正交多项式类型，可以有效地提取数据中的特征和规律，为实际问题的解决提供有力支持。
未来的研究可以进一步探讨正交多项式模型的优化算法和应用领域，为更多领域的数据分析和处理提供新的思路和方法。
数值分析引论 易大义Ch3.2
， k 1
( k , k ) ( k 1 , k 1 )
且于 [ a , b ]带权函数
( x )为正交多项式组
n { k ( x )} k 0 ,（ k ( x )为首项系数
为 1的 k 次多项式） 是唯一的。
定理5 设 { k }为 [ a , b ]上带权 ( x )的正交多项式序列 式 n ( x ) 在[a,b]内恰好有n个不同的实根. 说明：用反证法利用定理3即得证. 应用：求最佳一致逼近多项式.
i0
i n 0 生成（张成）的集合. 为由 i 结论 （1 Span 0 , , n an
a i i ( x ), a i 为实数
1, x ， , x 是
n n
Span
0 , , n 的特例
（2 P ( x ) H n 为任一次数 ）
n 多项式，则
（ P , ） i
①
{ 0 ( x ), 1 ( x ), , n ( x )} 于 [ a ， b ] 线性无关；
n
② P(x) 证明： ①
c i i ( x )
，其中
i0
ci ( i 0 ,1 , , n ) （ i , ） i
2 n ! dx
( 2 .8 )
（1） Pn ( x ) 的首项系数 a n
则有 d dx
2n 2n
1
n
( 2 n )!
2 n! n!
，若令 ( x ) ( x 2 1 ) n ，
( x ) ( 2 n )!.
事实上， ( x )
(n)
2 nx
2n1
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正交化所得正交多项式称为n次切比雪夫多项式.
可表为
Tn( x) cos(narccos x), (1 x 1,n 0,1,2,)
若令x cos，则Tn( x) cos(n ),0 .
T0( x) cos(0) 1,
(2.10)
T1( x) cos(arccos x) x, T2( x) cos(2arccos x) 2x2 1, T3( x) 4x3 3x,
为[a,b]上的权函数, 若多项式序列{ pn( x)}0 ,满足正交性
(2.2)，则称{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交 多项式序列. 称pn( x)为以( x)为权函数的[a,b]上的n次正
交多项式.
只要给定[a,b]上的权函数(x), 由{1, x, xn, }利用逐个
项式正交.
（4）有递推关系
pn1( x) ( x n ) pn( x) n pn1( x), n 0,1,, (2.4)
其中 p0( x) 1，p1( x) 0，
n ( xpn, pn ) /( pn, pn ), n ( pn , pn ) /( pn1, pn1)，n 1,2,,
称为n次 Legendre多项式 .
其首项系数an
2n (2n 1)(n 2n n!
1)
(2n)! 2n ( n! )2
.
首项系数为1的勒让德多项式为
P~n (
x)
n! (2n)!
dn dxn
[( x 2
1)n
],
(n 0,1,2,)
(2.5) (2.6)
勒让让德多项式性 :
正交化手续立得正交多项式序列:
p0( x) 0,
pn( x)
xn
n1( xn,
j0 ( pj,
p p
j j
) )
p
j
,
n 1,2,.
(2.3)
性质：
注意：这些多项
(1) pn( x)的首项系数为1.
式是线性无关的
(2)Qn( x) Hn均可表为p0( x), p1( x),, pn( x)的线性组合. (3)当k j时，( p j , pk ) 0,且pk ( x)与任一次数小于k的多
哈尔滨工程大学信息与计算科学系
§2 正交多项式
一、正交函数族与正交多项式
定义5 若f ( x), g( x) C[a,b], ( x)为[a,b]上的权函数, 且
( f , g) ab( x) f ( x)g( x)dx 0，
(2.1)
则称f ( x)与g( x)在[a,b]上带权ρ(x)正交 .
例如，三角函数族 1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,,
为[ , ]上的正交函数族, (1,1) 2 ,(cos kx,cos kx) (sin kx,sin kx) ,其他内积 0.
定义6 设pn( x)是[a,b]上首项系数an 0的n次多项式, ( x)
1)n
]dx
1
dm
2mn m!n!dxm
[( x 2
1)m
]ddxnn11 [( x2
1)n
1
]
1
1 2mn m!n!
11
dm1 dx m 1
[( x 2
1)m
dn1 ]dxn1
[( x 2
1)n ]dx
(1)m
1 2mn m!n!
11
d2m dx 2m
设在[a,b]给定函数族0( x),1( x),,n( x),, 且满足
(
i
(
x
),
k
(
x))
0, Ak
,
i
k, ik
,
(i,k 0,1,2,)
(2.2)
则称函数族{n( x)}为[a,b]上带权ρ(x)的正交函数族 .
特别地, 当Ak 1时, 则称该函数系为标准正交函数族 .
（5）设{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交多项式
序列. 则pn( x)(n 1)的n个根都是在(a,b)内的单重实根;
二、勒让德多项式
区间[1,1]上带权( x) 1的正交多项式
Pn( x)
1 2n
n!
dn dxn
[( x 2
1)n ],
(n 0,1,2,)
切比雪夫多项式的性质: (1) 递推关系
TTn0(1x( x)
1, )2
T1( x) xTn( x)
x, Tn1(
x).
Tn( x)的最高次幂xn的系数为2n1,(n 1).
事实上，只需由
(2.11)
cos(n 1) 2cos cos n cos(n 1) , n 1.
[(
x2
1)m
]ddxnnmm
[(
x2
1)n ]dx
(1)m
(2m)! 2mn m!
n!
dnm1 dx n m 1
[(
x2
1)n
1
]
1
0.
(ii)当m n时.
11
Pn2 (
x)dx
(1)n
(2n)! 22n ( n! )2
11(
x2
1)ndx
x s in t
(1) 正交性
11
Pm
(
x ) Pn (
x)dx
0, 2
2n
, 1
m n, m n.
(2.7)
证：(i) 当m n时,不妨m n. 做m次分部积分
11 Pm
( x) Pn
( x)dx
2mn1m!n!11
dm dxm
[(x2
1)m
]
dn dxn
[(x2
(4) 递推关系
Pn1(
P0( x) 1,
x)
2n 1 n1xPnBiblioteka (P1( x) x,
x)
n
n
1
Pn1
(
x
),
(n
1,2,)
(2.9)
可得
P2( x)
1 (3 x2 2
1),
P3( x)
1 (5 x3 2
3 x ),
三、切比雪夫多项式
区间为[1,1],权函数为( x) 1 ，序列{1, x, xn,}
(2n)! (2n n!)2
/
2 /2
cos2n1
tdt
(2n)! (2n n!)2
2 (2n)(2n 2)2 (2n 1)(2n 1)3
2. 2n 1
(2) 奇偶性
Pn( x) (1)n Pn( x).
(2.8)
(3) Pn( x)在(1,1)内部有n个互异的实零点.