简单六方结构二维光子晶体能带的COMSOL模拟

简单六方结构二维光子晶体能带的COMSOL 模拟
北京东之星应用物理研究所
伍勇 1.引言
COMSOL 携带的案例库里，其中一篇<Bandgap Analysis of a Photonic Crystal>(以下简称< Bandgap >)对砷化镓简单正方格子2D 光子能带进行了完整计算和研究。

本文将程序用于简单六方结构，并将结果在此做一介绍。

2. 关于 Floquet (弗洛盖） 波矢F k
这是入门COMSOL 光子晶体能带模拟的重要概念，在另一案例<Porous Absorber>中，在Floquet 周期性边界条件一段写明：
)
d k (i e
)d x (p )x (p
⋅-+=由此我判断Floquet 波矢就是Bloch （布洛赫）波矢,但“帮助”文档中有：
)sin a n cos a (sin k k 21211F ααα ⨯+=，以正格子基矢21a ,a
表示
（其文没有任何几何插图和物理说明），使我决定必须在六方格子中选择矩形单胞作为周期单元，以使计算机程序能够运行我的几何方案。

3.几何建模
图1作为试探选择的几何模型，圆形柱代表以GaAs 作为格点材料，
a 是晶格方向的单位
1b ，
a
=a
a 32=
a i )
a a (a a a x 0
2223213
2π
π=⨯⋅⨯ )
a a (a a a 3211
32
⨯⋅⨯π
里渊区六方结构光子晶体的布图2.
4.二维光子晶体主方程
COMSOL 在< Bandgap > “模型开发器” [电磁波，频域] 写出方程形式如下：
0)()(0
2
01=--⨯∇⨯∇-E j k E r
r ωεσεμ，
在< Bandgap >中，下面目录 [波方程，电] 中直接简化为，
020=-⨯∇⨯∇E k )E (r ε
电磁波在光子晶体中的传播遵从麦克斯韦方程，上述方程可由麦克斯韦方程组出发导出 介质中的麦克斯韦方程组
)(D 1ρ=⋅∇ )(B 30=⋅∇
)(t B E 2∂∂-=⨯∇ )(t
D
J H 4∂∂+=⨯∇ E D ε=，H B μ=，E J
σ=
在电介质中一般认为自由电荷，自由电流密度（电导率）为零。

本文档不考虑磁性质，0=ρ，0=J
，1=r μ
传播模态电场函数
COMSOL
表达为：
)(t i e
z z ik e )y ,x (E )t ,z ,y ,x (E 5ω-= ，
在周期结构中，它应具有Bloch 波的性质，不考虑衰减损耗。

注意这里次上标的符号与我们习惯的教科书里正负符号相反。

由(2)两端取旋度，将（4）代入得：
2
2t E )E (∂∂-=⨯∇⨯∇
με ， μεω2
2=k 绝缘介质，
2
2020
2
0022n k c k r r r r ==
=μεωμμεεω， r r v c n μεμεεμ
==
=0
0折射率，
1=r μ 2n r =ε，
000c k ω
μεω=
= 为真空波数，应用（5），
如期得到前面提到的< Bandgap >中的假设波方程：
0220=-⨯∇⨯∇E n k )E ( 利用 E E )E ()E ( 22-∇=∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇
E 偏振时（又称横磁场模式TM ）对应的二维光子晶体主方程是： )()y ,x (z E k n )y ,x (z E )y x (
602022
22
2=+∂∂+
∂∂ 这里电场方
向平行于z 轴，而磁场方向只分布在x-y 平面内。

二维光子晶体主方程 )(6是计算光子能带的出发点和源依据。

5.折射率色散函数)f (n
)f (n 是COMSOL 计算能带的第二个关键点，描述折射率随频率参量f 的变化。

格点材料砷化镓的)f (n ，在< Bandgap >有如下定义
n_GaAs=3.3285e5[s/ m]*c_const/f+3.5031，参变量f,单位Hz ；下限：0，上限：1
]s /m [const _c 299792458=表示真空光速，我在软件
Mathematica 上化简这个函数，给出
f /^*..GaAs _n 131097884950313+=，并绘制图3如下：
的折射率随频率的变化光子晶体图GaA s 3.
经COMSOL 计算机程序进行求解，得到E 偏振情况下2D 介质（GaAs)光子晶体能带结构。

6.光子能带图（选取能量最低的5个能带） (1)沿布里渊区 [10]方向(K →Γ) (图2): (2)沿布里渊区 [01]方向(M →Γ):
(1)
(2)
7. 电场传播模态Z分量)y,x(z E的平面图(1)和高度图(2):
A [10],band=1 （平移组合了6个单胞图）
(1)
(2)
B [01],band=5
(1)
(2)
8.讨论
作者又在文献“Bandgap And Field Propagation Analysis Using Photonic Crystal”（I nternational J ournal of I nnovative R esearch in C omputer and C ommunication E ngineering
An ISO 3297: 2007 Certified Organization Vol.3, Special Issue 1, February 2015）中，看到晶体周
期单元适合计算机运行的相同本文的图示:
受到启发：计算机看自然可能不会拘于人类目光所决定的一种格式，晶体状态也会有它本身具有的所有高低不同对称性和不同的能量范围的本征态。

AlphaGo人机大战挑战人类的思维。

如果以往在试题中出现选择矩形为六方晶格的布拉菲格子单胞的答案，一定不给分数的，但自然本身却有更大的包容和可能。

致谢百度文库，百度学术，道客巴巴的文献支持及小木虫生动深入有益的学术讨论。

作者仅在此抛砖引玉。