湖北省宜昌市高一数学上学期期末考试试题

宜昌市第一中学2016年秋季学期高一年级期末考试数 学 试 题考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x ﹣2）＜0，x ∈Z}，则A∪B= （ ） A ．{﹣1，0，1，2，3} B ．{0，1，2，3}C ．{1，2}D ．{1}2. 下列三角函数值的符号判断错误的是 ( ) A ．sin 165°＞0 B ．cos 280°＞0 C ．tan 310°＜0 D ．tan 170°＞0 3．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 （ ） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或44．在定义域内既是奇函数又是减函数的是 （ ） A ．y= B ．y=﹣x+C ．y=﹣x|x|D ．y=5．已知映射f ：A→B，其中A=B=R ，对应法则f ：y=﹣x 2+2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是 （ ） A ．k ＞1B ．k ≥1C ．k ＜1D ．k ≤16．已知点D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量= （ ）A ．B ．C ．D ．7.已知函数f(x)＝x 2＋(sin α－2cos α)x ＋1是偶函数，则sin αcos α＝ （ ） A.25 B ．－25 C ．±25D ．0 8．若将函数f(x)＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是 ( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.3π49．已知2x=72y=A ，且，则A 的值是 （ ） A ．7 B ．C ．D ．9810. 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0<a <3)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则 ( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定 11．设θ是两个非零向量、的夹角，若对任意实数t ，|+t |的最小值为1，则下列判断正确的是 （ ） A ．若θ确定，则||唯一确定B ．若||确定，则θ唯一确定C ．若||确定，则θ唯一确定D ．若θ确定，则||唯一确定12．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋2，x ≤0，ln x ，x ＞0，若k ＞0，则函数y ＝|f(x)|－1的零点个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号的横线上） 13．求值：=+-+-103325.07.012log 21log 2 ． 14.如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于 ． 15．若奇函数f （x ）在其定义域R 上是减函数，且对任意的x ∈R ，不等式 f （cos2x+sinx ）+f （sinx ﹣a ）≤0恒成立，则a 的最大值是 ．16．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数； ③f (x )的最小值是lg 2；④f (x )在区间(－1，0)、(2，＋∞)上是增函数； ⑤f (x )无最大值，也无最小值． 其中所有正确命题的序号是 ．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

) 17. （满分10分） 已知函数21)(-+=x x x f 的定义域为集合A ，函数a a x a x x g +++-=22)12()(的定义域为集合B ． （1）求集合A 、B ；（2）若A B A =I ，求实数a 的取值范围． 18.（满分12分）已知向量=（s inx，），=（cosx，﹣1），（Ⅰ）当∥时，求t an2x的值；（Ⅱ）求函数f（x）=（+）•在[﹣，0]上的值域．19.（满分12分）某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）．（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A、B两种产品的利润f（x）、g（x）表示为投资额x的函数；（2）该团队已筹到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？20．（满分12分）已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx．（1）求f（）的值；（2）求f（x）的单调增区间；（3）若α∈（0，π），f（）=+，求sin（α+）的值．21.(满分12分)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足条件：①f (x )＝f (－x －2)；②函数f (x )的图象与直线y ＝x 相切．(1)求函数f (x )的解析式； (2)若不等式tx x f ->2)()1(ππ在|t |≤2时恒成立，求实数x 的取值范围．22．（满分12分）已知a ∈R ，函数f （x ）=)1(log 2a x+． （1）若f(2)=3-，求实数a 的值；（2）若关于x 的方程f （x ）﹣]52)4[(log 2-+-a x a =0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围．（3）设a ＞0，若对任意t ∈[，1]，函数f （x ）在区间[t ，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．宜昌市一中2016年秋季学期高一年级期末考试试题 数学答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

） B D C C A D A C B A D D二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

） 13．4 14.－89 15．﹣3 16．①③④三、解答题17. 解：（1）10212x x x x +≥⇒>≤--或，22(21)01x a x a a x a x a -+++≥⇒≥+≤或),1[],(),,2(]1,(+∞+-∞=+∞--∞=a a B A Y Y（2）11211≤≤-⇒⎩⎨⎧≤+-≥⇒⊆⇔=a a a B A A B A I18．解：（Ⅰ）∵∥，=（sinx ，），=（cosx ，﹣1）， ∴sinx•（﹣1）﹣•cosx=0，即sinx+cosx=0，得sinx=﹣cosx ， 由此可得tanx==﹣， ∴tan2x==；（Ⅱ）∵=（sinx ，），=（cosx ，﹣1）， ∴•=sinxcosx ﹣，=cos 2x+（﹣1）2=cos 2x+1，f （x ）=（+）•=•+=sinxcosx ﹣+cos 2x+1=sin2x+（1+cos2x ）﹣=sin （2x +），∵x ∈[﹣，0]，可得2x+∈[﹣，]，∴sin （2x+）∈[﹣1，]，f（x）=sin（2x+）∈[﹣，]．即函数f（x）=（+）•在[﹣，0]上的值域为[﹣，]．19. 解：（1）f（x）=k1x，g（x）=k2，f（1）=0.25=k1，g（4）=2k2=2.5，∴f（x）=0.25x（x≥0），g（x）=1.25（x≥0），（2）设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为10﹣x万元．y=f（10﹣x）+g（x）=0.25（10﹣x）+1.25（0≤x≤10），令t=，则y=﹣0.25t2+1.25t+2.5，所以当t=2.5，即x=6.25万元时，收益最大，y max=65/16万元．答：投资B产品6.25万元，A产品2.75万元是，利润最大为65/16万元。

20. 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=cos2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x+）+，∴f （）=sin+=．（Ⅱ）∵f（x）=sin（2x+）+，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为：．（Ⅲ）∵，∴，因为α∈（0，π），∴，．若，则，矛盾，又，所以，，∴=．21. 解(1)由①可知，二次函数f(x)＝ax2＋bx (a≠0)的图象的对称轴方程是x＝－1，∴b＝2a. 又∵函数f(x)的图象与直线y＝x相切，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋bx ，y ＝x 有且只有一解，即方程ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相等的实根，∴b ＝1，a ＝12，∴函数f (x )的解析式是f (x )＝12x 2＋x .(2)∵π>1，∴πf (x )>⎝ ⎛⎭⎪⎫1π2－tx等价于f (x )>tx －2， 即不等式12x 2＋x >tx －2在|t |≤2时恒成立．问题等价于一次函数g (t )＝xt －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋2<0在|t |≤2时恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧g2<0，g －2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4>0，x 2＋6x ＋4>0.解得x <－3－5或x >－3＋5，故所求实数x 的取值范围是(－∞，－3－5)∪(－3＋5，＋∞)．22．解：（1）83-=a（2）由f （x ）﹣log 2[（a ﹣4）x+2a ﹣5]=0得log 2（+a ）﹣log 2[（a ﹣4）x+2a ﹣5]=0． 即log 2（+a ）=log 2[（a ﹣4）x+2a ﹣5]， 即+a=（a ﹣4）x+2a ﹣5＞0，①则（a ﹣4）x 2+（a ﹣5）x ﹣1=0，即（x+1）[（a ﹣4）x ﹣1]=0，②， 当a=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立 当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立 当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x=﹣1或x=，若x=﹣1是方程①的解，则+a=a ﹣1＞0，即a ＞1， 若x=是方程①的解，则+a=2a ﹣4＞0，即a ＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a ≤2． 综上，a 的取值范围是1＜a ≤2，或a=3或a=4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣=设1﹣t=r，则0≤r≤，==，当r=0时，=0，当0＜r≤时，=，∵y=r+在（0，）上递减，∴r+≥=，∴==，∴实数a的取值范围是a≥．。