概率统计冲刺讲义答案

P (C ) = 0.5 ,则概率 P (A − C AB U C ) =
.
概率计算: 加减乘除.
P (( A − C )( AB U C )) 【解】 P (A − C AB U C ) = P ( AB U C )
=
P AC AB U ACC P ( AB ) + P (C ) − P ( ABC ) P ABC P ( A)P (B ) + P (C ) − P ( A )P (B )P (C )
1 1 2
且 P {XY = 0} = 1 .求
( ) ( X , Y ) 的概率分布； Ⅰ (Ⅱ) Z = max{X ,Y }的概率分布； (Ⅲ ) Cov ( X , Z ) . ( ) 由题设条件 P{XY = 0} = 1 ,即有 P{XY ≠ 0} = 0 , 【解】 Ⅰ
得 P {X = −1, Y = 1} = P {X = 1, Y = 1} = 0 ,再由联合分布与边缘分布的关系， 得 ( X , Y ) 的概率分布.
4 以考纲为纲，以课本为本，以思维定势拿高分，以常考题型论输赢！
XZ P
−1 0
0 3 4
1 1 4
Z = max{X , Y }的概率分布为
Z P
0 1 4 1 3 4
(Ⅲ ) 再求 Cov ( X , Z ) .
XZ 的概率分布为 XZ P
−1 0 0 3 4 1 1 4 1 3 1 − 0× = . 4 4 4
−( y− x )
2
y∈ R.
( ) 求常数 A ； Ⅰ
(Ⅱ) 求 Y 的边缘概率密度 f Y ( y ) ；
(Ⅲ ) 求概率 P {X > 1 Y ( )1 = 【解】 Ⅰ
+∞
= 2}.
+∞ − ( y − x )2
−∞
∫
fY
X
( y x )dy = A ∫ e
−∞
dx = A ∫ e − t dt = A π , A =
Cov ( X , Z ) = E ( XZ ) − E ( X )E ( Z ) =
常考题型 4 [1, 3 ]
二维连续,二重积分
横着穿
直着穿
斜着穿
【例 5】设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
3 x ,0 < x < 1,0 < y < x , f (x, y ) = 0, 其他
( A) 互不相容.
(B ) 相互独立.
(C ) 相互对立.
(D ) 不独立.
【解】E ( X ) = 3 × 0.4 , E (Y ) = (− 1) × 0.7 , E ( XY ) = 3 × (− 1) × P {X = 3, Y = −1}. 由于 X 与 Y 互不相关,则 E ( XY ) = E ( X )E (Y ) ,解得 P {X = 3, Y = −1} = 0.28 .
X Y + 都是 X , Y 的线性组合，由 3 2
(Ⅲ ) ( X , Y ) 服从二维正态分布， X 与 Z =
二维正态分布的性质知 ( X , Z ) 也服从二维正态分布，故 X , Z 独立. 【例 8】已知随机变量 X 与 Y 相互独立, X 在 (0,1) 上服从均匀分布, Y 的分布
8 以考纲为纲，以课本为本，以思维定势拿高分，以常考题型论输赢！
(
)
3x 3 1 − y 2 ,0 < x < 1,0 < y < x , (Ⅱ) f X Y (x y ) = 2 0, 其他.
(
)
3 1 P − 1 < X < Y = 4 2 =
∫f
1 2
3 4
XY
1 x 2 dx =
∫ 3
0
0

=
1 1 f ( x )dx = ≠ 1 .排除 (C ) . ∫ 2 −∞ 2
+∞
常考题型 3 [1, 3 ]
二维离散,同一表格
【例 2】设随机变量 X 与 Y 互不相关，它们的概率分布分别为 0 3 0 X −1 Y 0.6 0.4 0.7 0.3 P P 则随机事件 {X = 0} 和 {Y = −1}
先两头,后中间, 分段讨论是神仙!
3 z 2 ,0 < z < 1, ′ (z ) = f Z (z ) = F Z 0, 其他.
1 【例 6】设随机变量 X 服从正态分布 N 0, ,在 X = x ( x ∈ R ) 的条件下，Y 2
的条件概率密度为
fY
X
( y x ) = Ae
选 (D ) .
还可用排除法.Q X ≥ 0 ,故当 x < 0, f 1 ( x ) = 0 .排除 ( A ) 和 (B ) .
+∞ +∞ +∞ +∞ f ( x ) + f (− x ) 1 ( ) ( ) ( ) 对于 C , ∫ f 1 x dx = ∫ dx = ∫ f x dx + ∫ f (− x )dx 2 2 −∞ 0
x
分布函数, 定义搞定.
=
−x
∫ f ( x )dx = F ( x ) − F (− x ) ,
此时 f 1 ( x ) = F1′( x ) = f ( x ) + f (− x ) ,
f ( x ) + f (− x ), x > 0, ∴ f1 (x ) = x≤0 0,
先两头,后中间, 分段讨论是神仙!
1 +∞
∫ f ( x,2)dx ∫ f ( x,2)dx
=
1 . 2
−∞
1 X Y 【例 7】已知随机变量 ( X , Y )～N 1,0;3 2 ,4 2 ;− ,设 Z = + .求： 2 3 2
( ) Z 的概率密度 f Z (z ) ； Ⅰ
(Ⅱ) X 与 Z 的相关系数 ρ XZ ；
1 Y , X ≤ 2 , 函数为 FY ( y ) ,令随机变量 Z = 1 X , X > . 2
( ) 求 Z 的分布函数 FZ (z ) ； Ⅰ
(Ⅱ) 若 Y
= X 2 ,求 Z 的数学期望 E (Z ) .
1 Y , X ≤ 2 , 1,0 < x < 1, ( ) 已知 f X ( x ) = Z= 【解】 Ⅰ 且随机变 1 0, 其他. X , X > . 2 量 X 与 Y 相互独立,所以 FZ (z ) = P {Z ≤ z} 1 1 = P Z ≤ z, X ≤ + P Z ≤ z, X > 2 2 1 1 = P Y ≤ z , X ≤ + P X ≤ z , X > 2 2 1 1 = P {Y ≤ z}P X ≤ + P X ≤ z , X > 2 2 = 1 1 FY (z ) + P X ≤ z , X > 2 2
当0 < y < 1 ,
fY ( y ) =
1 +∞
−∞
∫ f ( x , y )dx .
y
1
∫ f ( x , y )dx
y
1
= ∫ 3 xdx =
y
3 1 − y2 ; 2
(
)
1
x
在其他点， f Y ( y ) = 0 .
3 1 − y2 ,0 < y < 1, ∴ fY ( y ) = 2 其他. 0,
( ) 求 Y 的边缘概率分布密度 f Y ( y ) ； Ⅰ
3 (Ⅱ) 求条件概率 P − 1 < X < Y 4 1 = ； 2
5 以考纲为纲，以课本为本，以思维定势拿高分，以常考题型论输赢！
(Ⅲ ) 求 Z = max{X ,Y }的概率密度 f Z (z ) . ( ) fY ( y ) = 【解】 Ⅰ
1 2
3 4
3x
2
1 1 − 2 2

dx =
∫ 3 xdx = 12 .
1 2
3 4
8
5
(Ⅲ ) FZ (z ) = P{Z ≤ z}
= P {max{X , Y } ≤ z} = P {X ≤ z , Y ≤ z}.
① z ≤ 0, FZ (z ) = 0, ② z ≥ 1, FZ (z ) = 1,
0.4 × 0.5 × (1 − 0.5 ) 1 = . 0 .4 × 0 .5 + 0 .5 − 0 .4 × 0 .5 × 0 .5 6
(
)
=
(
)
=
常考题型 2 [1, 3 ]
分布函数,定义搞定
【例 3】设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ,则随机变量 X 的概率密度为 (
)
( A) f 1 ( x ) = f ( x ) +
y − x =t
−∞
π
.
−
x2 1 2 ⋅ 2
2
1 (Ⅱ) X～N 0, , f X ( x ) = 2
1 2π ⋅ 1 2
e
=
1
π
e−x .
2
( X , Y ) 的概率密度为
f ( x, y ) = f X (x ) fY
X
(y x) =
+∞
1
π
e −x ⋅
2
1
π
e −( y − x ) =
2
1
π
e −( y − x )
2
2
− x2